NMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 26. ledna x. x 1 + x dx. q 1. u = x = 1 u2. = 1 u. u 2 (1 + u 2 ) (1 u 2 du = 2.

Transkript

1 Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, ale co nejpřesněji odůvodněte Pokud používáte nějaké tvrzení, nezapomeňte ověřit splnění předpokladů Jméno a příjmení: Skupina: Příklad 4 Celkem bodů Bodů Získáno [5] Spočtěte x x + x dx Pečlivě popište definiční obor integrandu a definiční obor nalezené primitivní funkce, určete na jakém množině platí vztah F f Řešení: Definiční obor integrandu je zjevně,, Mysleme si, že výpočet probíhá na jednom z těchto intervalů Počítejme x x + x dx spočtěme si zvlášt a du q u x u +u u + u u u 4u + u du 4 u u + u du + + u + u du u u du u u + u du Celkem proto u u 4 dx u +u u + u u du du du + u du u + u du + du u arctanu + u + u du + u + u u du, u + ln + u u u + u + u u du u + ln + u u + u arctanu ln u + u + arctanu ln + + arctan konečně proto x x + x dx ln + x x + arctan + x + x x + x + C x + x, Kde konstanta C může být jiná na každém z uvažovaných intervalů Primitivní funkce je definována na množině x,,, vztah F f platí na intervalu, a na intervalu,

2 [6] Spočtěte itu n + + cos n n + n Řešení: Počítejme n + + cos n n + n e n + +cos n n + A e n + n +cos n lnbb n C A + C A +cos n n + +cos n n + e +cos n lnbb n C A + C A +cos n n + n +cos n n + n e n + +cos n lnbb n C A + C A +cos n n + e n ln +cos n n ln +cos n ln+cos n e ln

3 [] Vyšetřete průběh následující funkce definiční obor, obor hodnot, prostá, sudá nebo lichá, spojitost, body nespojitosti, ity v bodech nespojitosti, diferencovatelnost, spojitost derivace, ity derivace v bodech nespojitosti derivace, monotonie, konvexní, konkávní, lokální a globální extrémy, inflexní body, tečny v inflexních bodech, asymptoty, graf fx arcsin x + x Řešení: Prozkoumejme nejdříve definiční obor Funkce arcsin y je definována pro y [, ], proto musí být x + x, zřejmě řešením rovnice x + x + x, x + x ± jsou body x a x Vnitřní funkce je tedy hyperbola s singularitou v x a horizontální asymptotou v y, hyperbola protíná přímky y ± v bodech x, viz Obrázek Funkce x+ x tedy dáva hodnoty v intervalu [, ] pro x, ] [, + Definičním oborem zkoumané funkce je proto, ] [, + Limity v krajních bodech definičního oboru jsou x + arcsin π x x, x + arcsin π x + x, x + arcsin arcsin <, x + x x + arcsin arcsin < x x Funkce má tedy horizontální asymptotu o rovnici y arcsin Funkce je na svém definiční oboru spojitá složení spojitých funkcí, není sudá ani lichá, není periodická Spočtěme první derivaci, jest d x + dx arcsin d x + x dx x x+ x x+ x x > Derivace existuje na celém vnitřku definičního oboru a je zde spojitá, ity derivace v krajních bodech definičního oboru jsou d x + x dx arcsin +, x d x + x + dx arcsin + x Funkce je tedy na svém definičním oboru rostoucí, přesněji funkce je rosoucí na intervalu, ] a na intervalu [, + Spočtěme druhou derivaci d x + dx arcsin d x dx x+ x x+ x x x + x+ x x+ x x+ x d x + dx x x + 9 x x 4 x x 4x 7x + x xx xx x

4 Kořeny rovnice 4x 7x + jsou x,4 7 8 ± 8 Funkce je tedy zjevně konvexní na intervalu, a konkávní na intervalu [, + Nyní jsme schopni načrtnout graf funkce viz Obrázek Z grafu vyčteme zbývající informace: fukce je prostá, obor hodnot je [ π, arcsin ] arcsin, π, v bodě x nabývá funkce globálního maxima, hodnota funkce v bodě globálního maxima je π, v bodě x nabývá funkce globálního minima, hodnota funkce v bodě globálního minima je π

5 [8] 4 Najděte Taylorův rozvoj do řádu o y 6 funkcí sin y + π a cos y + π pro y Spočtěte itu x π cosx +sin x Řešení: Proved me nejdříve jednoduchou substituci a zkoumejme výraz cos y + π +sin y+ π pro y, oba požadované rozvoje tedy budou při výpočtu zmíněné ity nanejvýš užitečné Jest cos y + π + k sin y + π + k k! k! d k dy k cos y + π y k y + y y! y5 5! + o y 6, d k dy k sin y + π y k y y! + y4 4! + y6 6! + o y 6 Pochopitelně jsme si mohli všimnout, že cos y + π siny a sin y + π cosy a použít známé vzorce Pokračujme dál v hledání Taylorových rozvojů pro jednotlivé výrazy v zkoumané itě, na náledujícím řádku vždy využíváme výsledek z řádku předchozího Celkem tedy sin y + π y + y4 4 + o y 5 y + y4 + o y 5, + sin y + π y + 7 y4 + o y 5, + sin y + π y + 7 y4 + o y 5 y 7 y4 + o y 5 cos y + π y + y 6 y5 + o y 5 +sin y+ π y 7 y4 + o y 5 y + y 6 y4 + o y 5 y 7 y + oy 4 y Poznámka: Vyjasněte si prosím, co znamená Taylorův rozvoj funkce se středem v bodě x Jste zvyklí psát sinx x x! + x5 5! + o x 6 což je Taylorův rozvoj funkce sin se středem bodě x, aneb jinými slovy nejlepší aproximace funkce sin polynomem v okolí bodu x, uvážíme-li první dva členy ve výše uvedeném rozvoji, situace bude vypadat tak, jako na obrázku 4 Podívejme se nyní, co je potřeba udělat, pokud chceme znát Taylorův rozvoj funkce sin v bodě x π Nenapadne-li nás nic lepšího, musíme vyjít z obecného vzorečku, kde nyní klademe x π fx fx + df dx x x + d f xx! dx x x + o x x, xx tedy x π sin x + o x x! Uvážíme-li pouze první dva členy rozvoje, situace bude vypadat tak jako na obrázku V žádném případě nesmíte psát nesmysly jako sin x x π! + o x, což bylo bohužel velmi často vidět ve zkouškové písemné práci

6 A nyní se konečně věnujme prvnímu úkolu ve výše zadaném příkladu, chceme napsat Taylorův rozvoj funkce sin y + π pro y +, aneb chceme prozkoumat chování zadané funkce na okolí bodu π Je tedy potřeba dosadit za x y + π do posledního vzorce, což dává sin y + π y! + o y Můžete si také povšimnout, že v mnohých učebnicích je Taylorův vzorec uváděn ve tvaru fa + h fa + df dx h + d f xa! dx h + o h, xa což přesně odpovídá přístupu sedíme v bodě a a pozorujeme, co se stane, pokud s z tohoto bodu pohneme o h Všechy přístupy jsou samozřejmě vzájemně záměnné, stačí jen vše dobře promyslet

7 x Obrázek : Graf funkce arcsin x+ x

8 x Obrázek : Graf funkce x+ x x - - sinx -x-pi/^/ Obrázek : Taylorův rozvoj funkce sin se středem v π, tedy sinx x π! + o x π

9 x - - sinx x-x^/! Obrázek 4: Taylorův rozvoj funkce sin se středem v nule, tedy sin x x x! + o x 4