Písemná zkouška z Matematiky II pro FSV vzor

Transkript

1 Písemná zkouška z Matematik II pro FSV vzor. (0 bodů) Určete a nakreslete definiční obor funkce sin x f(x, ) = (Kalenda 00/) spočtěte její parciální derivace podle všech proměnných všude, kde existují, a napište rovnici funkce, jejímž grafem je tečná rovina ke grafu funkce f v bodě [0, 5, f(0, 5)].. (0 bodů) Ukažte, že rovnice cos(x + ) + sin(x + ) = určuje v jistém okolí bodu [, ] implicitně zadanou funkci = f(x). Spočtěte f ( ) a f ( ) a napište rovnici tečn ke grafu f v bodě.. (8 bodů) Nalezněte supremum a infimum funkce f na množině M a zjistěte, zda f těchto hodnot nabývá. f(x,, z) = x, M = {[x,, z] R : x + + z = 4, xz } 4. (0 bodů) Spočtěte hodnost následující matice v závislosti na parametrech x, R: x ( bodů) Všetřete, zda následující řada konverguje absolutně, konverguje neabsolutně nebo diverguje. ( ) n ( n n 7 ) n n=

2 Řešení. úloh Definiční obor je Řešení D f = {[x, ] R : ( > 0 & sin x ) nebo ( < 0 & sin x )}. Uvnitř definičního oboru, tj. v bodech, kde sin x máme x (x, ) = cos x = cos x a sin x (x, ) = sin x sin x sin x = sin x sin x. Pro bod na hranici definičního oboru, tj. v bodech, kde = sin x, je situace následující: / neexistuje, protože [x, + ε], [x, ε] nebo [x, ] neleží v D f. / x neexistuje kromě lokálních extrémů funkce sinus, protože [x ε, ] nebo [x + ε, ] neleží v D f. Zbývá všetřit / x v bodech lokálních extrémů funkce sinus, tj. [π/ + kπ, ], [kπ π/, ]. Ukážeme, že v těchto bodech se nerovnají derivace zprava a zleva, tj. derivace neexistuje. Máme Takže a x (x, ) = cos x sin x (kπ + π/, ) = x + (kπ + π/, ) = x Podobně v bodech kπ π/ máme = cos x + sin x sin x = cos x + sin x cos x. lim x π/+kπ+ lim x π/+kπ x (x, ) = cos x + sin x = cos x sin x sin x Takže jednostranné derivace vjdou ±/. Tečná rovina v bodě [0, 5, f(0, 5)] je (x, ) = x (x, ) =. x = sin x sgn(cos x). T (x, ) = f(0, 5) + (0, 5)(x 0) + x (0, 5)( 5) = 0 x. Bodování: bod - definiční obor + obrázek, bod - parciální derivace uvnitř D f, 5 bodů - derivace na hranici ( bod mimo extrémů sinu, 4 bod za výpočet jednostranných derivací), bod - tečná rovina.

3 Řešení. úloh Pro funkci F (x, ) = cos(x+ )+sin(x +) jistě platí:. F C (R ),. F (, ) = cos 0 + sin 0 = 0 a. F (x, ) = sin(x + ) + cos(x + ), takže F/ (, ) = sin 0+cos 0 = 0. Takže dle vět o implicitní funkci definuje rovnice ze zadání na okolí bodu [, ] funkci = (x) C (U). Zderivováním rovnice podle x dostaneme cos(x + (x) ) + sin(x + (x)) = 0 sin(x + )( + ) + cos(x + )(x + ) = 0. () Po dosazení x =, ( ) = máme sin(0)( ( )) + cos(0)( + ( )) = 0, tj. ( ) =. Zderivujme ještě jednou rovnici () cos(x+ )(+ ) sin(x+ )( + ) sin(x +)(x+ ) +cos(x +)(+ ) = 0. Po dosazení x =, ( ) =, ( ) = máme ( 4) ( + ( )) = 0, tj. ( ) = 7. Bodování: 4 bod - ověření předpokladů vět o IF, bod - ( ), 4 bod - ( ). Řešení. úloh Množina M je uzavřená, protože je průnikem dvou množin, které jsou uzavřené podle Vět : {[x,, z] : x + + z = 4} a {[x,, z] : xz }. Množina je omezená, protože x,, z. Je ted kompaktní a protože f je spojitá, nabývá na M svého maxima a minima. Nalezneme bod podezřelé z extrémů nejprve na množině M = {[x,, z] : x + + z = 4, xz > } a pak na množině M = {[x,, z] : x + + z = 4, xz = }. Na M : Dle vět o multiplikátoru musí platit buď g = o, nebo f + λ g = o, kde g(x,, z) = x + +z 4. Protože g = (x,, 4z), je g = o, jen pokud x = = z = 0, a [0, 0, 0] M. Druhá rovnost odpovídá soustavě x + λx = 0 () x + λ = 0 () 4λz = 0 (4) x + + z = 4. (5)

4 Ze třetí rovnice máme buď λ = 0 (pak ale x = 0, takže není splněna podmínka xz > ) nebo z = 0 (pak opět není splněna podmínka xz > ). Takže v množině M žádné podezřelé bod nejsou. Na M : Dle vět o multiplikátorech musí platit buď g, g lineárně závislé nebo f + a g + b g = o, kde g (x,, z) = x + + z 4 a g (x,, z) = xz. Vektor (x,, 4z) a (z, 0, x) jsou lineárně závislé jen pokud = 0, x = cz a 4z = cx, tj. c = ± a x = ± z. Protože xz =, máme x = ± 4 a z = ±/ 4, což ovšem nevhovuje rovnici x + + z = 4. Zbývá vřešit soustavu x + ax + bz = 0 (6) x + a = 0 (7) 4az + bx = 0 (8) x + + z = 4 (9) xz =. (0) Jistě x, z 0, ted ani 0 a získáváme z = /x a a = x / a b = 4az/x = 4a/x = /. Po dosazení do první a čtvrté rovnice máme neboli Vjádříme z druhé rovnice x a dosadíme do první: tj. Ted x x / + /x = 0 () x + + /x = 4, () x x 4 + = 0 () x 4 + x + = 4x. (4) x x x 4 + = x 4 + 8x = 0, x = 6 ( 8 ± 64 4) = (4 ± 0). z = (4 0) a = ( 4 ± 0) Protože 0, máme x = ±, z = ± Evidentně, maximum je v bodě ±, 0 4, ± a = ±

5 a má hodnotu a minimum v bodě ± 4 + 0, 0 4, ± 4 0 a má hodnotu Bodování: 4 bod - nabývání extrémů (uzavřenost bod, omezenost bod, spojitost bod), 4 bod - M ( g = o bod, soustava bod), 0 bodů - M (lineární nezávislost bod, vřešení soustav 6 bodů, odpověď bod). Řešení 4. úloh Provedeme řádkové a sloupcové úprav: x x x x 4 4 x x x x x x x x x x x Nní rozlišíme několik případů:. x a 4, pak je hodnost matice rovna 4,. x = a 4, pak je hodnost matice rovna,. x a = 4, pak matice není schodovitá a poslední řádek lze vnulovat, takže hodnost je, 4. x = a = 4, pak je hodnost matice. Bodování: 6 bodů - úprav matice, 4 bod - závěrečná diskuse. Poznámka: Pokud v prvním kroku odečtete první řádek jednou od každého ze zbývajících, dostanete elegantnější řešení. Zkuste si to. 5

6 Řešení 5. úloh Upravujme výraz n ( n 7 ) n = n = 6 n n 4 n 7 (n ) n 7 + n 7 n + n 7 n + 7 n + n = 6 n A n, n kde A n = 7 n + 7 n + n. n Všetříme absolutní konvergenci: označíme-li člen zadané řad a n, pak a n = 6/n A n (pro n, ab A n blo kladné). Tuto řadu srovnáme s b n = /n, spočtěme a n lim n b n = lim 6A n = 6 = (0, + ) n + + podle Heineho vět aplikované na posloupnost /n a spojitosti funkce f(x) = 7x + 7x x + x v nule. Protože harmonická řada diverguje, diverguje také řada a n, tj. řada a n není absolutně konvergentní. Nní všetřeme konvergenci: Ukážeme, že řada konverguje, pomocí Leibnizova kritéria. Jistě lim a n = lim 6 n A n = lim n = 0 podle aritmetik limit. Nní ukážeme monotonii posloupnosti 6 n A n. Jistě /n je klesající, ted /n je rostoucí a také 7 n + 7 n n + n je rostoucí (pro n ), A n je ted klesající a po vnásobení /n je také klesající. Předpoklad Leibnizova kritéria jsou splněn a řada ted konverguje. Bodování: 7 bodů - absolutní konvergence ( bod odvození správné srovnávací řad, bod výpočet limit, bod aplikování srovnávacího kritéria), 5 bodů - konvergence ( bod limita, bod monotonie, bod aplikování Leibnizova kritéria). 6