[0] ÚVOD: [0.1] Stručná historie. [0.2] Systém GPS-NAVSTAR

Transkript

1 [] ÚVOD: [.] Stručná historie Zde bych rád napsal několik málo řádek o budování systému GPS NAVSTAR. To začalo v roce 973 a bylo koncipováno jako obranný navigační sytém Spojených Států Amerických. Vedením tohoto projektu bylo pověřeno U.S. Air Force (Letectvo Spojených Států). Dále s touto institucí spolupracovalo U.S. Army Navy (Vojenské námořnictvo Spojených Států) a DMA (Defense Mapping Agency). O pět let později, v roce 978, se k tomuto projektu připojilo i dalších devět členských států NATO (North Atlantic Treaty Organization). Požadavky na vybudování takového navigačního systému byly, aby bylo možno v reálném čase kdykoliv a kdekoliv zjistit přesné určení polohy (řádově do m) libovolného počtu i rychle se pohybujících objektů. [.] Systém GPS-NAVSTAR Systém GPS-NAVSTAR (Global Positioning System NAVigation System using Time And Ranging) tvoří tři části: řídící, kosmická a uživatelská. Řídící část tvoří sledovací stanice (obr. č.:) rozmístěné po celé Zemi a hlavní řídící stanice (Colorado Springs), jež obr. č.:

2 zpracovává telemetrické informace a výsledky sledování pohybu družic z ostatních sledovacích stanic a přes jejich vysílače tyto informace předává jednotlivým družicím spolu s povely pro řízení provozního režimu a korekcemi drah. Kosmickou část tvoří nominálně 4 družic rovnoměrně rozmístěných na šesti oběžných drahách (obr. č.:). Dráhy družic mají sklon 55 o a jsou téměř kruhové. Výška družic nad povrchem Země je 83 km a jejich oběžná doba činí hod 58 min, tedy hvězdných hodin. Družice (obr. č.:3) mají hmotnost 845 kg a přibližné rozměry jsou obr. č.:, x, x,5 metrů. Životnost družic je počítána na 7,5 roku provozu. Palubní baterie jsou dobíjeny slunečními články o ploše 7,5 m. Do družic se původně zabudovávaly rubidiové oscilátory, které jsou dnes nahrazovány oscilátory vodíkovými či cesiovými. Tyto oscilátory mají za úkol udržovat velmi přesné časové a kmitočtové informace. A nakonec uživatelský segment. Ten je tvořen přijímači signálů GPS pomocí antén a registračních zařízení. Signál GPS tvoří řada obr. č.: 3 koherentních kmitočtů, které jsou odvozeny ze základní frekvence f =,3 MHz. Ta je ale kvůli kompenzaci průměrného relativistického efektu snížena o 4,45 x - f. Tento základní kmitočet je udržován oscilátory na družicích s relativní přesností lepší než -3.

3 3 [.3] Použitá symbolika v kapitolách [.5] - [.7] p, p vektor, skalár (velikost vektoru) skalární součin vektorový součin F j Delauneyovy proměnné, j=(,,, 5) z, θ, ζ precesní úhly Δ ψ, Δ ε nutace v délce, nutace ve sklonu ε g střední sklon ekliptiky střední anomálie Země L, L, L, L 3 vektorový integrál ploch, jeho složky H integrál energie, hamiltonián λ, λ, λ, λ 3 vektorový integrál Laplaceův, jeho složky T, V kinetická energie družice, její silová funkce GM geocentrická gravitační konstanta [ρ,u] polární souřadnice družice v rovině její dráhy m hmotnost družice ρ, x, x, x 3 geocentrický průvodič družice, jeho složky r, x, x, x 3 x, x, x, x 3 geocentrický průvodič družice, jeho složky vektor polohy družice, jeho složky ρ = r = x platná relace v, v, v, v 3 Ω e i a ν E ω u vektor rychlosti družice, jeho složky výstupní uzel dráhy družice rektascenze výstupního uzlu dráhy družice excentricita dráhy družice sklon dráhy družice velká poloosa dráhy družice pravá anomálie dráhy družice excentrická anomálie družice argument perigea dráhy družice argument deklinace dráhy družice

4 4 [] TEORETICKÉ ZÁKLADY: [.] Fourierova transformace Pro interpolaci dat, kterou jsem v této práci prováděl, bylo nutné nejprve určit frekvence (resp. periody) a amplitudy harmonických průběhů hodnot ať už reprezentovaných terestrickými souřadnicemi nebo přímo Keplerovými dráhovými elementy. V některých případech tyto hodnoty (amplitudy a periody) lze vyčíst přímo z vynesených dat, nicméně tato transformace představuje mnohem přesnější nástroj jak se těchto hodnot dopátrat. Analýzu výchozích dat jsem prováděl v systému Matlab 4., který tuto transformaci po výpočetní stránce zajišťoval. Zde bych chtěl jenom nastínit Fourierovu analýzu po teoretické stránce. Mějme tedy definovanou funkci g(x), která splňuje podmínku absolutní integrovatelnosti: g ( x) dx < a vyhovuje i ostatním Dirichletovým podmínkám. Tuto funkci chceme rozvinout do řady Fourierových funkcí:, cos(x), sin(x), cos(x), sin(x), což je systém funkcí, který je na intervalu <-π,π> ortogonální a tvoří bázi. Funkci g(x) tedy můžeme rozepsat do Fourierovy řady: a g ( x) = + k = [ a.cos( kx) + b.sin( kx) ] k k

5 5 přičemž koeficienty a k a b k mají tvar: a b k k = π = π π π π π g( x).cos( kx). dx g( x).sin( kx). dx a říká se jim Fourierovy koeficienty. Ty vypočteme na základě MNČ minimalizací výrazu: g( x) g v němž funkce g N (x) má tvar: g N a ( x) = N ( x) = + N π ( g( x) g N ( x) ) π dx [ ak.cos( kx) + bk.sin( kx) ] k = Za použití Eulerových vzorců pro přechod ke komplexním číslům se rozvoj funkce g(x) ještě zjednoduší. Tyto vzorce mají tvar: e cos( x) = e sin( x) = ix ix + e e i a původní báze se změní na bázi komplexních čísel:, e ix, e -ix, e ix, e -ix, ix ix Potom funkci g(x) můžeme psát ve tvaru: g x ( ) = c. e k π k = ikx Koeficienty c k mají pak tvar: π ikx k = ( ak i.sgn( k bk ) nebo jinak: ck = π g( x). e. π c ). dx Až do této chvíle jsme se pohybovali pouze v intervalu <-π,π>. Nyní tento interval rozšíříme. A to substitucí proměnou τ <-N,N>. A dále: N N τ = x a po derivaci dx = τ π π d

6 6 Změní se také Fourierovy koeficienty, které nabudou tvaru: c k = N N N g( τ ). e π ik τ N. dτ a rozvoj funkce g(x) bude vypadat takto: N g( x) = N k = N π ik τ N g( τ ). e. dτ. e π ik x N Logický požadavek je, aby se N. Proto zavedeme tuto symboliku: N = Δf a dále k N = k.δf = f k Tím rozvoj funkce g(x) přejde na tvar: g( x) N = k = N g( τ ). e dτ. e πif τ πif x k k. Δf a pakliže vyjdeme z našeho požadavku aby N, musí Δf a dále sumační znak přejde na integrál a f k přejde na f. Tedy: g( x) πifτ πifx = g( τ ). e. dτ. e. df Výraz v hranatých závorkách označíme jako G(f). Takto dostáváme dvě funkce: π g( x) = G( f ). e ifx. df G( f ) π = g( x). e ifx. dt Funkce G(f) nazýváme Fourierovým obrazem nebo též spektrem dat. Funkce g(x) je pak nazývána jako zpětná Fourierova transformace. Originál (g(x)) a obraz (G(f)) nazýváme též Fourierovou dvojicí.

7 7 Problémem Fourierovy transformace je ale to, že tato není schopna detekovat takové periodické jevy, které mají frekvenci blížící se počtu měření. Nejlepších výsledků této transformace, ve smyslu důvěryhodnosti, se dosahuje v případech, kdy frekvence periodických jevů je menší než / počtu měření. [.] Harmonická anlýza Fourierovou řadou Používá se vykazují-li data jasnou periodicitu. Potom považujme interval od bodu x=a do bodu x=b, za nímž se průběh naměřených dat alespoň zhruba opakuje, za periodu P=b-a. Fourierova řada bude mít tedy tvar: ( t + A) + b.sin( t + B) + c.sin( 3t + )... yi = A + a.sin i i i C + přičemž t je nová proměnná, která se získá z proměnné x transformací: t π = P i x i V obou posledně uváděných vztazích je index i={,,3,,n}, kde n značí počet dat vstupujících do vyrovnání a je tedy shodný s počtem rovnic, ze kterých jsou pak následně počítány koeficienty interpolační funkce. Je dále výhodné Fourierovu řadu upravit (zjednoduší se derivace Fourierovy řady) pomocí substituce: na tvar: y a.sin A = A, a.cos A = A b.sin B = B, b.cos B = B c.sin C = C, c.cos C = C i = i A + A costi + A sinti + B costi + B sin ti + C cos3t i + C sin3t +... Rovnice oprav tedy bude vypadat takto: v i = A + A costi + A sinti + B costi + B sin ti + C cos3ti + C sin3t +... y i i

8 8 Úloha tak přejde na vyrovnání zprostředkujících měření, kde neznámé parametry jsou A, A, A, B, B, C, C,. Členy matice plánů A (design matrix A) pak tvoří parciální derivace Fourierovy harmonické řady: mat A, i, j = def{, cos ti, sin ti, cos ti, sin ti, } i j Vektor neznámých je tedy dán vztahem: h = h + dh kde h výrazu: je vektor přibližných neznámých, vektor dh je roven T T ( A. A). A. l' dh =, který je dán podmínkou: v T.v min přičemž vektor l je vektor redukovaných měření a je roven: l' = l l a l = A.h a to za předpokladu, že vektor oprav jednotlivých měření (v našem případě souřadnic resp. Keplerových dráhových elementů) je: v = A. h l A dále zavedeme kovarianční matici neznámých parametrů: T ( A. ) Q = A potom střední chyby neznámých parametrů Fourierovy řady jsou dány vztahem: mh i = m Q i, i. Výraz m je odhad jednotkové střední chyby: m = T v. v n k

9 9 kde n je počet všech měření (v podobě jednotlivých souřadnic nebo Keplerových dráhových elementů) a k je počet nutných měření. [.3] ITRS a rámec ITRF Souřadnice družic GPS tak jak jsou uváděny a publikovány v oficiálních datových souborech jsou v systému ITRS (International Terrestrial Reference System). Tento systém je realizován souřadnicemi bodů ITRF (International Terrestrial Reference Frame). Počátek tohoto referenčního rámce (frame) je definován v těžišti Země a to s přesností určení cm. Referenční pól (je identický s osou Z kartézské soustavy) a referenční poledník (je identický s rovinou tvořenou osami XZ) jsou konzistentní s odpovídajícími směry systému BTS (BIH Terrestrial System, BIH Bureau International de l Heure) s přesností,3. Osa X leží v nultém poledníku procházejícím Greenwichem a v rovině rovníku. BIH referenční pól byl připojen k CIO (Conventional International Origin) s přesností,3. Vzhledem k pohybům tektonických desek, jsou časové změny souřadnic bodů definujících rámec ITRF určovány kombinací přímého měření a teoretických hodnot vyšlých z modelů pohybů a to za podmínky tzv. NNR (No Net Rotation). Tj. za podmínky nulové rotace sítě, což odpovídá Tisserandově podmínce minimálního diferenciálního přírůstku kvadrátu momentu hybnosti. Protože tento systém je pevně spjat s rotující Zemí, není systémem inerciálním. [.4] ICRS a rámec ICRF Vzhledem k tomu, že Newtonův gravitační zákon platí v inerciálním systému a pohybové rovnice jsou v něm jednodušší (nemusí se zavádět korekce z neinerciality systému zrychlení Eulerovo, Coriolisovo, dostředivé) je výhodné pro výpočet

10 Keplerových dráhových elementů vyjít právě z onoho inerciálního systému. Takovým systémem je ICRS (International Celestial Reference System). Systém ICRS je realizován souborem mimogalaktických zdrojů elektromagnetického záření, tzv. kvasarů, které tvoří referenční rámec ICRF (International Celestial Reference Frame). Počátek ICRF je v barycentru sluneční soustavy. Osa Z kartézského souřadného systému směřuje do polohy středního rotačního pólu v epoše J.. Osa X směřuje do Jarního bodu v epoše J. a osa Y doplňuje tento systém na pravoúhlý v matematicky kladném směru. Zde bych chtěl uvést na pravou míru to, proč jsem jako inerciální systém označil systém ICRS. Pravda je ta, že přísně inerciální systém být ICRS nemůže a to proto, že je vázán na vesmírné objekty, které vykonávají svůj vlastní pohyb. Nicméně tento pohyb je vzhledem k obrovským vzdálenostem kvasarů tak malý, že, přihlédneme-li k naší přesnosti úhlového měření, chyby způsobené tímto zjednodušením jsou zanedbatelné. [.5] Transformace [x,y,z] ITRS [x,y,z] ICRS Abychom mohli spočítat Keplerovy dráhové elementy družic je nejprve nutné provést transformaci terestrických souřadnic družice na její hvězdné souřadnice. Tato transformace je realizována maticí rotace, které sestává z pěti dílčích matic rotace. Ty popisují vliv precese, nutace, rotace Země a pohybu pólu na terestrické souřadnice. Samotná transformace je dána vztahem: a tedy R = R. R. R. R. R T P T N T T Xp Yp X Y Z ICRS X = R. Y Z ITRS

11 [.5.] Vliv precese Precese je pohyb rotační osy Země okolo pólu ekliptiky a dále pohyb tohoto pólu vůči inerciální soustavě realizované rámcem ICRF. Je to pohyb téměř věkovitý (sekulární) a dá se rozdělit na složku planetární a lunisolární. Lunisolární složka je způsobena Měsícem a Sluncem. Planetární složka, jak již název napovídá, je způsobena působením planet. Složku lunisolární nazveme lunisolární precesí a planetární složku nazveme analogicky planetární precesí. Působením lunisolární precese (viz. obrázek č.:4) se střední světový pól pohybuje okolo pólu ekliptiky. Tento pohyb P e P N obr. č.: 4 ε = 3,5 o má periodu 5 8 let a říká se jí Platónský rok. Poloměr tohoto pohybu je roven sklonu ekliptiky vůči rovníku, a to 3,5 o. Proto se mění i poloha jarního bodu a to o 5,3 za rok. Planetární složka precese má pak za následek pohyb pólu ekliptiky vůči inerciální soustavě. Pohyb pólu ekliptiky je téměř kruhový s poloměrem 9 a periodou 7let. Vliv planetární precese je mnohem menší než lunisolární. Precesní matice vyjadřující působení precese je součinem tří dílčích rotačních matic. Pro naplnění dílčích rotačních matic je třeba spočítat hodnoty precesních úhlů. Tyto úhly se počítají řadami, které jsou níže uvedeny. V těchto řadách se počítá s časovým intervalem T mezi danou epochou a epochou J. v Juliánských stoletích. Při výpočtu T by bylo správnější použít barycentrický dynamický čas (TBD). Ale pro naše účely postačí počítat s terestrickým dynamickým časem (TDT). Ten je s barycentrickým časem, až na periodické variace vůči času atomovému, shodný. Jeho výpočet je také jednodušší.

12 Výpočet terestrického dynamického času je dán vztahem: TDT = TGPS , TGPS se udává v MJD (Modifikované Juliánské Datum) a pak i TDT vyjde v MJD. Výpočet precesních úhlů je dán řadami: 36, 8. T+, T +, 83. T z = 664, 8 3 4, 39. T, T, T θ = 664, , 8. T+, 388. T +, T ς = 664, 8 3 kde T je časový interval mezi danou epochou a epochou J. vyjádřen v juliánských staletích o délce 3655 dnů a je tedy dán vztahem: TDTMJD 5544,5 T = 3655 Precesní matice má tvar: ( z). R ( θ ) R ( ζ ) R. = Rz y z [.5.] Vliv nutace Nutační pohyb je pohyb, který vykonává pravý (okamžitý) světový pól okolo středního světového pólu. Tento pohyb je způsoben periodickými změnami polohy Slunce a Měsíce vůči Zemi. Hlavni nutační perioda je 8,6 roku a její amplituda má hodnotu 9,. Schematicky vypadá nutační pohyb jak je ukázáno na obrázku č.:5.

13 3 Nutace má dvě složky, nutaci v délce Δψ a nutaci P e 5,6 obr. č.: 5 ε = 3,5 o dráha středního světového pólu P N 9, dráha pravého světového pólu P N ve sklonu Δε. Nutace v délce je rozdíl mezi ekliptikální délkou ovlivněnou nutací a délkou nutací neovlivněnou. Nutace ve sklonu je rozdíl mezi sklonem roviny ekliptiky vůči rovině rovníku ovlivněné nutací a rovině rovníku neovlivněné nutací. Dále rozlišujeme ještě nutaci dlouhoperiodickou (složky Δψ a Δε ) a krátkoperiodickou (složky dψ a dε). Nutace v délce a nutace ve sklonu rozepsaná podle tohoto rozdělení mají tvar: Δψ = Δψ + dψ a Δε = Δε + dε Sklon roviny ekliptiky vůči rovině rovníku (střední sklon ekliptiky) je dán řadou: = 3 6', 448" 46, 85". T, 59". T +, 83". T ε 3 kde je T časový interval mezi danou epochou a epochou J. vyjádřen v juliánských staletích o délce 3655 dnů a je tedy definován vztahem: TDTMJD 5544,5 T = 3655 Další nutační parametry jsou dány řadami: Δψ = Δε = 63 ( A + A'. T ).sin( i i j j i i= j= j= 63 ( B + B'. T ).cos( i i j j i i= j= j= 5 5 N F ) + A".cos( N F ) + B".sin( 5 5 N j Fj ) N j Fj )

14 4 kde F j jsou Delauneyovy proměnné, které postupně znamenají: F = l = střední anomálie Měsíce F = l = střední anomálie Slunce F 3 = F = L - Ω = střední délka Měsíce - střední délka výstupního uzlu Měsíce F 4 = D = střední elongace Měsíce F 5 = Ω = střední délka výstupního uzlu Měsíce Hodnoty A i, A i, A i, B i, B i, B i, N j jsou uvedeny v příloze č.:. Delauneyovy proměnné jsou dány řadami, které jsou uvedeny v literatuře [] na straně. Nutační matice má tvar: R N = R x ( ε Δε ). R ( Δψ ) R ( ε ) z. x [.5.3] Vliv rotace Země otočení o hvězdný čas Protože rámec ITRF je připojen k rotující Zemi, je třeba tyto souřadnice od ní odpojit. Přenásobímeli tyto souřadnice příslušnou maticí rotace, získáme souřadnice, jejichž osa Z směřuje do pravého světového pólu v příslušné obr. č.: 6 epoše. Hvězdný čas, o který se bude soustava otáčet je čas GST (Greenwich Sideral Time), tedy Greenwichský hvězdný čas. Čas GST je závislý na časovém rozdílu mezi okamžikem výpočtu a epochou J.. Je ale nutné tento časový rozdíl počítat v čase UT, protože ten nejlépe odpovídá kolísavosti rychlosti rotace Země, jejíž velikost dosahuje řádově milisekund (viz. obr. č.:6).

15 5 Předpokladem k tomuto výpočtu je znalost času TGPS. Tedy známe-li TGPS můžeme vypočítat UT pomocí tohoto vztahu: UT = TGPS (TGPS UTC)+(UT UTC) Hodnota (UT UTC) je udávána v souborech se souřadnicemi pólu (*.erp). Díky nepravidelnosti v rotaci Země i tato hodnota kolísá. Proto je službou IERS (International Earth Rotation Service) udržován tak, aby tato hodnota byla menší než je vteřina. Hodnota (TGPS-UTC) byla do včetně rovna: (TGPS-UTC)= sec. Výpočet Greenwichského zdánlivého hvězdného času je dán vztahem: S GA rad = S + Δψ.cos( ε + Δε) GM kde výrazy Δψ, Δε, ε jsou nutační úhly počítané dle vztahů rad v kapitole [.5.] a hodnota S GM je střední Greenwichský hvězdný čas v radiánech. Ten se vypočte dle následujících vztahů a řad: S GM = 4, , T +, 934. T -6,. -6. T3 + c kde písmenko c představuje korekci času pro UT : T c= T int

16 6 Hodnota časového rozdílu T (mezi danou epochou a epochou J.) je počítána v čase UT v juliánských stoletích. Je dána vztahem: T UT 5544, = MJD A dále je třeba hodnotu S GM převést na radiány: S S. π S. π = int. π π rad GM GM GM Rotační matice otočení o hvězdný čas bude mít tedy tvar: R T = R z ( S ) GA [.5.4] Vliv pohybu pólu volná nutace Vektor pravého světového pólu se nachází velmi blízko okamžitého vektoru rotace Země. Tato rotační osa mění stále svoji polohu v tělese Země a to způsobuje stálou změnu souřadnic pozorovacích míst na povrchu Země. Euler a později i Chandler stanovili, že pravý světový pól vykonává pohyb přibližně kruhový okolo hlavní osy setrvačnosti (pohyb bývá také nazýván volná nutace). Hlavní perioda tohoto pohybu je tzv. Chandlerova perioda a její naměřená hodnota činí 433 dnů. Maximální amplituda pohybu dosahuje hodnoty,5. Pohyb rotační osy je obr. č.: 7 znázorněn na obrázku č.:7.

17 7 Aby nedocházelo ke stálým změnám souřadnic pozorovacích stanovisek na Zemi byl v letech 9 95 určen průměrný vektor rotace Země a do něj byla vložena osa Z systému ITRS. Takto stvořený pól je označován jako CIO (Convetional International Origin). Od tohoto vektoru se dále počítají souřadnice pravého (okamžitého) pólu. Tyto souřadnice jsou určovány z měření VLBI (Very Long Baseline Interferometry), SLR (Satellite Laser Ranging) a GPS a bývají uváděny v bulletinech službou IERS. Souřadnou soustavu v níž jsou uváděny souřadnice pravého pólu tvoří osa x - je vložena do směru Greenwichského poledníku a osa y - je vložena do směru poledníku o západní zeměpisné délce 9 o. Matice rotace vyjadřující pohyb pólu jsou následující: R = R Xp R = R Yp x y ( y p ) ( x ) p [.5.5] Časové systémy použité při výpočtech Vzhledem k tomu, že jsem při řešení transformace mezi terestrickým systémem souřadnic a hvězdným systémem souřadnic použil hned několik časových systémů, považuji za vhodné se o nich zmínit ve zvláštní kapitole. Časy, které jsem v této práci použil, ať již přeneseně nebo přímo, jsou časy rotační, dynamické a atomové. Čas UT je časem rotačním a je použit pro výpočet matice otočení o hvězdný čas. A to proto, že, jak již bylo výše zmíněno, tento čas nejlépe vyhovuje nerovnoměrnostem v rotaci Země, způsobeným mnoha fyzikálními vlivy. Sekunda UT je kvůli těmto nerovnoměrnostem v rotaci Země delší než sekunda TAI (viz. dále), což se projevuje rozbíhavostí času rotačního a času atomového.

18 8 Čas TAI je atomový čas, který byl zaveden v roce 967 a jehož jedna sekunda byla definována na základě záření atomu Cesia Cs 33. Počátek tohoto času byl určen tak, aby se shodoval s časem UT dne Velikost atomové obr.č.: 8 sekundy byla stanovena tak, aby odpovídala efemeridové sekundě v roce 9. Čas UT je definován jako světový čas na okamžitém greenwichském poledníku zjištěný astronomickým měřením a opravený o pohyb pólu a vlivy sezónních variací v rychlosti rotace Země. Čas UTC, který je použit v rozdílu (UT-UTC), tabelovaném v souborech souřadnic pólu *.erp, je založen na základě času TAI. UTC je používán v občanském životě a je udržován v přibližné shodě s časem rotačním. To znamená, že rozdíl (UT-UTC) je udržován tak, aby nepřekročil hodnotu s přičtením resp. odečtením právě jedné sekundy k resp. od času UTC. Časový rozdíl (UTC-TAI) činí dnes 3 sekund. Dalším časovým systémem použitým při výpočtech je čas GPS, TGPS. Je založen na čase atomovém a byl definován tak, aby se v roce 98 rovnal času UTC. Jeho rozdíl od času UTC je stálý a má hodnotu 9 sekund. Dále byl použit časový systém TDT, tedy terestrický dynamický čas. Ten navazuje na efemeridový čas a platí, že..977 h m s TAI =..997 h m 3,84 s TDT. Na základě tohoto vztahu lze tedy spočítat čas TDT při znalosti času atomového. Barycentrický dynamický čas TDB nebyl při výpočtech použit, protože byl nahrazen časem TDT, který je výpočetně jednodušší a pro naše účely plně postačil. Nicméně i o něm

19 9 bych se rád zmínil. Čas TDB se liší od času TDT pouze periodickými variacemi, které vyjadřují tyto vztahy: s TDB = TDT +,658.sin + ( g,67.sin( g) ) přičemž g je střední anomálie Země a je dána vzorcem: g = o o π ( 357, ,5. T ) o 36 a T je časový interval mezi epochou J. a počítanou epochou v juliánských staletích. Obrázek č.:8 přehledně ukazuje vzájemné vztahy časových systémů, které jsem výše popsal. [.6] Výpočet stavových vektorů Abychom mohli z hvězdných souřadnic spočítat Keplerovy dráhové elementy, je nutné určit nejprve tzv. stavové vektory. Stavový vektor definuje jak polohu družice v daném časovém okamžiku, tak i její rychlost. Pro výpočet těchto vektorů jsem zvolil polynom stupně. To znamená, že pro výpočet jednoho vektoru bylo zapotřebí 3 časových okamžiků. Čas, pro který jsem vektor počítal se tedy nacházel uprostřed intervalu, který byl použit pro výpočet. Stavové vektory jsem počítal pro týdenní data. Tj. pro pozorování, která pokrývají dobu 7 dnů a to po 5 minutách. Vzhledem k tomu, že pro výpočet jednoho vektoru je třeba 3 časových okamžiků, nebylo možné určit vektory pro prvních a posledních šest časů pozorování. To znamená, že celkový počet stavových vektorů byl 7x4x4-6-6=66. Jako složku polohy stavového vektoru jsem vzal souřadnice družice v systému ICRS. Druhou složku vektoru, rychlost, jsem počítal jako derivaci polohy v daném čase a to pro každou souřadnici zvlášť. Konkrétní způsob jakým jsem vektory

20 vypočetl je následující. Vektor měření (v našem případě souřadnice družice): x T = ( x, x, x x ) 3,..., 3 Vektor koeficientů funkce času je dán takto: h T = ( a, a, a a ),..., a konečně matice derivací funkce času je definována jako: A = M t t t t 3 M 3 t t 3 t t M 3 L L L O L t t t 3 M t3 Pro větší numerickou stabilitu řešení byl výpočet prováděn v hodinách a kilometrech a zároveň sloupce -4 v matici A byly zvětšeny desetkrát. Vektor koeficientů h je tedy dán vztahem: h = A. x Pro souřadnice v daném časovém okamžiku (v tomto případě v časovém okamžiku t 7 ) platí rovnice: + a. t7 + a. t a. t7 x = a + a pro rychlost družice v čase t 7 je: dx v = = a + dt 3 + a. t7 + 3a3. t7 + 4a4. t a. t7 [.7] Transformace souřadnic [x,y,z] ICRS družice a její rychlosti na Keplerovy dráhové elementy Existuje šest Keplerových dráhových elementů, které odpovídají šesti integračním konstantám, tj. složkám vektorového integrálu ploch a složkám vektorového integrálu Laplaceovu. Dělí se na vnější dráhové elementy rektascenze

21 B výstupního uzlu Ω, sklon roviny dráhy i, argument perigea ω -(obr. č.:9) a vnitřní dráhové elementy hlavní poloosa dráhy a, excentricita e, pravá anomálie ν - (obr. č.:). A pro transformaci do těchto dráhových elementů jsem zvolil a b S E P a.e η P P v ω P M ξ N x i L Ω 9 o z 9 o obr. č.: 9 postup, při němž se používá výpočtu právě zmíněných integrálů. Kromě toho se mi tento postup zdál, co do programového zajištění, nejvýhodnější. Máme tedy šest počátečních podmínek. Jsou to souřadnice družice ( x j ) v systému ICRS (definují její polohu) a složky obr. č.: dx rychlosti j v epoše t. Nejprve je dt vhodné vypočítat pět integrálů. První tři jsou složky vektorového integrálu ploch a jsou dány vektorovým součinem vektoru polohy a vektoru rychlosti: ρ ρ λ i ω v y a v rozepsaném tvaru: d x () L = x dt L L L 3 = = = dx dt dx dt dx dt 3 ( x ). ( x ). ( x ). ( x ). 3 dx dt dx3 dt dx dt ( x ). ( x ). 3 Dále je třeba vypočítat integrál energie, hamiltonián H. Ten plyne, v případě konzervativních soustav, ze zákona zachování energie. H = T V = konst.

22 kde T je kinetická energie družice o hmotnosti m: + = dt du dt d m T ρ ρ a V je její silová funkce: ρ GM m V = přičemž [ρ,u] jsou polární souřadnice družice v rovině její dráhy. Úhel u je úhel měřený od polární osy o (směřuje do výstupního uzlu dráhy družice) ve směru pohybu družice. Vzhledem k posledním dvěma uvedeným vztahům je tedy hamiltonián H roven: ρ ρ ρ GM m dt du dt d m H + = A vzhledem k tomu, že výraz v hranaté závorce je vlastně výrazem pro rychlost družice, můžeme psát: ρ GM m mv H = a potom se bude hamiltonián H rovnat výrazu: ( ) / 3 3. = = = j j j j x m GM dt dx m H Posledním integrálem, který je třeba spočítat je vektorový integrál Laplaceův. Ten je definován vektorovým vztahem: ρ ρ ρ λ GM L dt d =

23 3 a rozepsán ve složkách má tvar: λ = L λ = L 3 3 dx dt dx λ = L dt 3 dx dt L L 3 dx dt 3 dx dt dx L dt x GM ρ x GM ρ GM x 3 ρ A nyní můžeme přejít rovnou na výpočet Keplerových dráhových elementů. Z vektorového integrálu ploch dostáváme hned několik výrazů pro výpočet rektascenze výstupního uzlu Ω a sklonu i: L tan Ω = L tan i = ( L + L ) L 3 sin Ω.sin i = L L cos Ω.sin i = L L cos i = L 3 L Excentricitu můžeme spočítat podle vzorce: λ e = GM Velká poloosa je dána vztahem: GM a = m nebo také H L a = GM e ( ) Pravou anomálii můžeme spočítat dle vzorce: cos v = λ 3 / ( ) j= 3 x j λ j. x j= j Posledním Keplerovým dráhovým elementem je argument perigea. Ten určíme na základě skalárního součinu Laplaceova vektoru λ a vektoru uzlové přímky (cos Ω; sin Ω; ): λ λ cosω = cos Ω + sin Ω λ λ

24 4 Vzhledem k tomu, že dráhy družic GPS jsou téměř kruhové, bude výhodnější interpolovat argument deklinace u=ω+ν než samostatně argument perigea a pravou anomálii. Argument deklinace je dán vztahem: cosu = sin r ( x.cosω + x. Ω) Další úprava pro výpočty spočívá v tom, že nebudeme interpolovat hlavní poloosu dráhy družic (a tedy i jejich excentricitu), ale přímo průvodič družic: r = a. ( e. cos E) přičemž excentrickou anomálii E spočteme ze vztahu: tan E = ( x v).. GM v x x GM. a [.8] Interpolace terestrických souřadnic [x,y,z] ITRS Vzhledem k časovému průběhu souřadnic (viz. obr. č.: a, b a c) jsem se rozhodl nepoužít polynomickou funkci, ale interpolaci pomocí Fourierovy harmonické řady. Ta je popsána km (vztaženo ke geocentru) Průbě h souřadnice X v čase (GPS týden 899, družice č.: ) čas (počátek MJD =, dílek = 5 m in) obr. č.: a

25 5 v kapitole [.]. Z grafů (obr. č.: a, b) je patrné, že časová závislost dat, v tomto případě souřadnice X a Y, je součtem dvou periodicky se opakujících funkcí. Dále můžeme odhadnout periody obou funkcí (P h je hlavní perioda a P v je vedlejší km (vztaženo ke geocentru) Průběh souřadnice Y v čase (GPS týden 899, družice č.: ) čas (počátek MJD =, dílek = 5 min) obr. č.: b perioda) a hlavní amplitudu. Vedlejší amplituda se z těchto grafů odhaduje velmi spatně. Číselné hodnoty těchto veličin jsou uvedeny v kapitole pojednávající o praktickém řešení jednotlivých problémů. Tyto hodnoty nejsou pouze odhadem, ale jsou podpořeny i analýzou pomocí Fourierovy transformace. Avšak z informací, které nyní máme, můžeme sestavit interpolační funkci (pro interpolaci v souřadnicích X,Y), která by se co nejlépe přimykala danému časovému průběhu dat. Je to funkce: ( ) ( ) ( t + A) + b.sin t ( B) y = a. sin + kde neznámé jsou: a jako hlavní perioda, A je hlavní fázový posun, b je vedlejší perioda a konečně B je vedlejší fázový posun. Dále, jak je popsáno v kapitole [.], jsou t () a t () (čísla v závorkách nejsou mocniny, ale indexy odlišující od sebe obě proměnné) nové proměnné, které dostaneme z původních proměnných x takto:

26 6 t () π π = i xi P a t ( ) i = x i h Pv Využijeme nyní součtový vzorec pro součet argumentů ve funkci sinus a dále zavedeme substituci: a.sin A = A, a.cos A = A b.sin B = B b.cos B = B Potom bude konečný tvar interpolační funkce tento: () ( ) ( ) ( ) y = A. + t cost + A.sint + B.cost B. sin Je zřejmé, že funkce pro interpolaci v souřadnicích Z (obr. č.: c) bude jednodušší. Bude obsahovat pouze první člen km (vztaženo ke geocentru) Průběh souřadnice Z v čase (GPS týden 899, družice č.: ) čas (počátek MJD =, dílek = 5 min) obr. č.: c Fourierovy harmonické řady. Její odvození zde ale uvádět nebudu, neboť je naprosto analogické s výše odvozenou funkcí pro souřadnice X a Y, s omezením na jeden člen řady. Konečný tvar tedy bude: y = A. cos t + A. sin t kde t π = P i x i

27 7 [.9] Interpolace Keplerových dráhových elementů Interpolační funkce dráhových elementů jsou součtem dvou dílčích funkcí. Jsou to funkce polynomické (v některých případech i konstantní), které vystihují trend dráhových elementů po dobu, kterou zabírají analyzovaná data (jeden GPS týden), a pak jsou to funkce harmonické, které vystihují harmonický časový průběh dráhových elementů samotných. V některých případech je použita funkce polynomická pro vystižení týdenního trendu, ale ve skutečnosti, vezmeme-li v potaz data většího časového úseku než jeden týden, přejde tento trend na funkci harmonickou, jejíž perioda je mnohem větší než právě jeden týden. A dlouhodobý časový vývoj dráhových elementů by pak měl ještě další průběhy. Konečné podoby interpolačních funkcí uvedené v této kapitole jsou výsledkem několikadenních pokusů o co nejlepší vystižení průběhu časové závislosti dráhových elementů za použití analýzy pomocí Fourierovy transformace. V kapitole [.9] a v jejích podkapitolách budu uvádět konečné tvary interpolačních funkcí, které budou komentovány na základě grafů časových průběhů jednotlivých dráhových elementů. Komentáře založené na analýze pomocí Fourierovy transformace budou uvedeny dále v textu v kapitole [.3], která se týká praktických výpočtů a mezivýsledků. Tam také budou uvedeny číselné hodnoty period a amplitud jednotlivých harmonických průběhů. Ještě je třeba podotknout, že pro praktickou část této práce, tedy pro výpočty, jsem si náhodným výběrem zvolil družici PRN. Nicméně vše co je v této práci uvedeno platí i pro všechny ostatní družice GPS. Výpočty byly prováděny ještě pro některé další družice. Výsledky výpočtů ale nemohu uvádět a to z toho důvodu, že by tato práce nabyla ohromných rozměrů.