Vlnění příklady Equation Chapter 1 Section 1

Transkript

1 Vlnění přílady Equation Chapter 1 Setion 1 1. Nadsvětelné ryhlosti prasáto Zadání: Světelným zdrojem můžeme otočit o 90 za 0.1 s. Ja daleo musí být proječní ploha, aby se světelná svrna (prasáto) pohybovala nadsvětelnou ryhlostí? Řešení: Úhlová ryhlost prasáta je ω = Δφ/Δt. Obvodová ryhlost na proječní stěně ve vzdálenosti l bude v = lω. Tato ryhlost má být větší než ryhlost světla. Odsud plyne podmína l > Δt/Δφ. Výslede: l > m. To je podstatně méně než je oběžná dráha Měsíe ( m!) a srovnatelné s oběžnými výšami něterýh sond.. Jety vasaru fitivní nadsvětelná ryhlost Zadání: Vzdálený vasar je zdrojem dvou výtrysů láty (jetů) z nihž jeden se pohybuje směrem pozorovateli pod malým úhlem téměř ryhlostí světla. Určete, jaou ryhlost naměří pozorovatel. Řešení: Poloha objetu je dána vztahy: x( t) vt sin ; y( t) y0 vt os. Signál přihází pozorovateli se zpožděním v čase yt () t. Ryhlost, terou zjistí pozorovatel proto bude dx d x/dt v sin sin v 1. d d /dt v v 1 os 1 os 1 (1 /) y 0 y a v x Z výsledu je zřejmé, že pohybuje-li se jet směrem pozorovateli, tato fitivní pozorovaná ryhlost snadno převýší ryhlost světla. 3. Exploze Zadání: Při explozi nálože byla uvolněna energie 10 5 J. Exploze trvala 1 s. Jaá bude maximální intenzita detonační vlny ve vzdálenosti 10 metrů od exploze a ve vzdálenosti 0 metrů od exploze? Předpolady: Detonační vlna je ulově symetriá. Řešení: I = ΔE/(ΔS Δt) = ΔE/(4πr Δt) Výslede: I 1 = 80 Wm, I = 0 Wm. 4. Hlu Zadání: Ja se sníží hladina hluu, vzdálím-li se od zdroje hluu do dvojnásobné vzdálenosti? Předpolady: Zdroj hluu je malý vzhledem e vzdálenostem, ve terýh poslouháme a hlu se šíří sfériy symetriy.

2 Řešení: Intenzita je úměrná vadrátu amplitudy a pro ulovou vlnu je I ~ 1/r. Proto ve dvojnásobné vzdálenosti bude I = I 1 /4. Hladina hluu se sníží o ΔL = 10 log(i 1 /I 0 ) 10 log(i /I 0 ) = 10 log(i 1 /I ) = 10 log(4). Výslede: ΔL = 6 db. 5. Vlny na hluboé vodě (rozměrová analýza) I bez znalosti teorie a bez znalosti fyziálníh proesů probíhajííh v dané situai je nědy možné odvodit disperzní relai. Tvar fyziálníh záonů je mnohdy natoli omezen rozměry veličin, že zbývá jen něoli málo variant. V těhto případeh postačí jen rozměrová analýza problému. Typiou uázou je problematia vln na hluboé vodě. Na mělčině závisí vlastnosti vln samozřejmě na hloube vody a taové vlny mohou být velmi ompliované. Jsme-li ale na hluboé vodě a vlny dosahují rozměrů od milimetrů po něoli desíte metrů, nemůže jejih tvar ovlivnit hlouba oeánu. Taové vlně je jedno, zda je dno 500 m pod hladinou nebo 5 m pod hladinou. Tím se problematia značně zjednodušuje. Úlohu rozdělíme na dvě části vlny dlouhé a vlny ráté. Dlouhé vlny na hluboé vodě Pousíme se určit disperzní relai z rozměrové analýzy problému. Na čem může záviset frevene vln? Z úvodu již víme, že frevene nebude záviset na hloube oeánu. Vlastnosti dlouhýh vln taé nebudou záviset na povrhovém napětí. To ovlivňuje prohnutí hladiny malýh rozměrů, tedy vlny ráté. Vzpomeňte si na šolní experiment s jehlou ležíí na hladině vody. Jehlu na hladině drží právě povrhové napětí a průhyb hladiny je patrný na milimetrové vzdálenosti od jehly. Zbývá ta závislost na hustotě apaliny, na tíhovém zryhlení a samozřejmě na vlnovém vetoru (jde o disperzní relai, tj. vztah mezi a ): (, g, ). Předpoládejme nejjednodušší možnou závislost, tj. moninou g. Na první pohled se zdá nemožné z jedné rovnie určit tři neznámé exponenty,,. Fyziální veličiny se ale sládají z hodnoty a rozměru. Právě rozměry jsou zde podstatné. Zapišme rozměr veličin hledaného vztahu: 1 3 s g m m s m. Disperzní relae musí platit pro široou šálu parametrů. To je možné jen tehdy, jestliže exponenty rozměrů budou souhlasit u všeh záladníh jednote SI: m: 0 3, g : 0, s: 1. Tyto tři rovnie mají jediné řešení: 0 ; 1/ ; 1/ a hledaná disperzní relae má tvar g. (1) Disperzní relai jsme odvodili z rozměrové analýzy bez znalosti proesů probíhajííh ve vlně. Je třeba přiznat, že výsledný vztah je sie jednoznačný, ale až na násobíí bezrozměrný oefiient ( onst g ). Ten je nutné určit experimentálně a v tomto případě je roven jedné. Nyní určíme fázovou a grupovou ryhlost:

3 v g g f, 1 g 1 g 1 vg v. f U dlouhýh vln na hluboé vodě dohází disperzi (závislosti ryhlosti vln na vlnové déle). Dlouhé vlny se šíří vyšší ryhlostí. Grupová ryhlost je rovna polovině fázové ryhlosti. Tou se šíří balí dlouhýh vln (napřílad za lodí). Kráté vlny na hluboé vodě Kráté vlny jsou dominantně ovlivněny povrhovým napětím, naopa zanedbatelný je vliv tíhového pole (to ovlivňuje především velé vlny). Obdobnou rozměrovou analýzou můžeme zísat vztah 3. () Standardním postupem určíme fázovou a grupovou ryhlost vf, vg v. f U rátýh vln je situae opačná než u dlouhýh. Kratší vlny se šíří ryhleji a grupová ryhlost je větší než fázová ( v 1.5 v ). g f Obené vlny na hluboé vodě Předhozí dva limitní vztahy pro dlouhé a ráté vlny lze spojit do disperzní relae pro vlny libovolné vlnové dély: 3 g. (3) Pro fázovou a grupovou ryhlost standardně nalezneme g g vf, v g 3 1 g 6 g 4. g g 3/ v f 1/ 1/ 1/ 1/

4 Poznáma 1: Vztahy jsme odvodili bez znalosti fyziálníh záonitostí. Sama teorie šíření vln na hluboé vodě není jednoduhá. Vlnění není příčné, ja by se na první pohled mohlo zdát. Částie vody se nepohybují v hřebeni nahoru a dolů (nalevo). Je tomu ta proto, že voda je nestlačitelná a jdeli hřeben dolů, musí se voda roztéat do strany. Výsledem je pohyb vodníh částeče po ružnii. Vlny na vodě nejsou příčné (nejsou ani podélné, jde o směsii příčného a podélného vlnění). NE ANO Poznáma : Na mělčině závisí disperzní relae na hloube vody. Ta se i fázová ryhlost stává závislou na hloube. Přibližně platí v f gh. (4) Vznine-li na vodní hladině shodovitý útvar, šíří se horní část vyšší ryhlostí a vlna známým způsobem přepadává. v( ) h 1 v( h ) 6. Kruhová vlna na membráně Zadání: Tenou pružnou homogenní membránu ve tvaru ruhu o poloměru 1,5 m ve středu prudým úderem paličou vyhýlíme o 1 m. Hlavie paličy má tvar vále o průměru 1,5 m. Osa hlavie paličy při úderu byla olmá na rovinu membrány. Ryhlost úderu a tuhost membrány byly taové, že se při úderu protáhla membrána pouze v bezprostředním oolí hlavie paličy. Jaá bude amplituda vlny vznilé na oraji membrány? Útlum a energii předanou zpět paliče zanedbejte. Řešení: U ruhové vlny pro amplitudu platí Proto 1 A (5) r r A A r 1 = (6) 1 Výslede: Pro hodnoty r 1 = 15 mm, r = mm a A 1 = 10 mm vyhází A = 1 mm. 7. Eletromagnetiá vlna v ionosféře Zadání: Standardní disperzní relae rovinné eletromagnetié vlny ω = je při průhodu světla plazmatem modifiována na tvar ω = ω p +. Ryhlost šíření světla ve vauu je označena. Veličina ω p se nazývá plazmová frevene (jde o freveni osilaí eletronů olem iontů). Nalezněte závislost ω() a disutujte její průběh. Určete fázovou a grupovou ryhlost šíření této vlny. Řešení: Zadaný výraz pro disperzní relai nejprve upravíme do tvaru p p 1. (7)

5 Závislost ω() lze nyní snadno vyreslit a je uvedena na obrázu. Z grafu je zřejmé, že vlna se šíří jen pro frevene ω > ω p. Při nižšíh freveníh eletromagnetié vlny se eletrony prostředí totiž stihnou rozmitat a vlna je absorbována, plazma je pro taovou vlnu neprůhledné. p Fázová ryhlost je p p f v 1 1, (8) 4 závisí na vlnové déle vlny (disperze!) a je větší než ryhlost světla. Grupová ryhlost v g (9) p 1 4 je menší než ryhlost šíření světla (jde o ryhlost šíření informae). Součin obou ryhlostí splňuje relai vv f g. (10) 8. Směrový diagram Zadání: Nalezněte tvar vlnoploh pro vlnu s disperzní relaí w = w + os a. Řešení: Směrový diagram je závislost veliosti fázové ryhlosti na úhlu α v polárním diagramu. Zřejmě je: p p f os os v (11) 4 p 9. Ono Zadání: Ono, jehož ploha je m, je otevřeno na ulii. Pouliční hlu má v rovině ona průměrnou hladinu intenzity 80 db. Ja velý austiý výon vstupuje zvuovými vlnami do pooje? Řešení: Zvuový výon vstupujíí do místnosti

6 P I S. Intenzitu stanovíme ze zadané hladiny intenzity 0 L 10 I L10 log I I010. I de L/10 je hladina vyjádřená v belleh a I 0 je referenční intenzita, 1 I 0 10 W m. Austiý výon je 10. Hlu stroje L W P SI. Zadání: V prostředí, jehož hladina intenzity hluového pozadí je 60 db, byl změřen hlu stroje. Byla naměřena hodnota 64 db. Jaou hodnotu hladiny intenzity hluu stroje byhom naměřili, dybyhom měřili v tihé místnosti? Řešení: Sčítat můžeme v tomto případě pouze energie resp. intenzity zvuů. Ke sládání austiýh tlaů nebo výhyle nemáme přesné informae o amplitudáh a fázíh jednotlivýh slože zvuového spetra ve sčítaím bodě. Je tedy IM IP IS, de indexy znamenají: M (měření), P (pozadí), S (stroj). Platí IS IM IP. Intenzity vyjádříme pomoí příslušnýh hladin intenzity LS LM LP I I I, (L S /10 je hladina v belleh atd.). Ve výrazu zrátíme referenční intenzitu 11. Ladiča LS LM LP Zadání: Zdroj zvuu se pohybuje na vozíu ryhlostí v = 5 m s 1 směrem e stěně. Na opačné straně slyší pozorovatel rázy na freveni f R = 3 Hz. Jaá byla frevene zdroje zvuu, jestliže je ryhlost zvuu S = 340 m/s? Řešení: Pozorovatel slyší jedna přímou vlnu nižší frevene (zdroj se vzdaluje) a jedna vlnu odraženou od stěny (vyšší frevene zdroj se pohybuje e stěně). Obě vlny se sládají v rázy na rozdílové freveni: æ vö æ vö v f = f 1, 1, 1 0 f f - = f f f f 0 + = - = R 1 0 ç è ø èç ø Koree frevene na pohyb zdroje jsme napsali do čitatele (v<< S ). Vidíme, že f 0 = f R S /(v). Výslede: f 0 = 040 Hz. S (1)

7 1. Rotujíí hvězda Zadání: Nalezněte vztah pro rozšíření spetrální čáry způsobené rotaí hvězdy. Vztah přepište pro vlnovou délu čar. Řešení: Rotae hvězdy způsobuje, že jeden oraj hvězdy se nám přibližuje ryhlostí v = R ω a druhý oraj se toutéž ryhlostí vzdaluje. R je poloměr hvězdy a ω úhlová ryhlost rotae hvězdy. Výsledem je dopplerovsé rozšíření spetrální čáry. Krajní frevene budou dány vztahy f 1, = f 0 (1 ± Rω/) a rajní vlnové dély λ 1, = /[f 0 (1 ± Rω/)] ~ ( ± Rω)/f 0. Opět jsme využili toho, že oree jsou malé a lze je se změnou znaména převézt z jmenovatele do čitatele (1/[1 + x] ~ [1 x]). Rozdíl vlnovýh déle obou čar tedy bude Δλ = Rω/f Fermatův prinip Zadání. Odvoďte záon lomu z Fermatova prinipu. Řešení: Podle Fermatova prinipu, ze všeh možnýh trajetorií bude realizována trajetorie s minimální dobou hodu paprsu z bodu A 1 do bodu A. A 1 ( x1, y1) n 1 0 B ( x, 0) n A ( x, y) Pro trajetorii na obrázu je elová doba t 1 1 ( x x ) y ( xx ) y v v 1 Tato doba je funí x, proto tuto závislost derivujeme podle proměnné x a položíme rovnou nule (nutná podmína minima). Zísáme ta podmínu 1 xx1 1 x x, v1 ( x x ) y v ( xx ) y ze teré plyne sin sin sin v1 n1sin nsin. v v sin v 1. sin n sin n (13) ( úhel dopadu, úhel lomu, n1, n jsou indexy lomu obou prostředí)

8 14. Seismografiá stanie Zadání. Vypočítejte úhlovou vzdálenost od hypoentra A do seismografié stanie B, je-li ze záznamu seismografu patrno, že podélné vlny přišly o t = 80 s dříve než vlny příčné. Ryhlost šíření podélnýh vln v zemsé ůře předpoládejte L = 6,5 m/s, ryhlost příčnýh vln v témže prostředí T = 4,4 m/s. Stanovte interval úhlovýh vzdáleností, pro něž je metoda použitelná, je-li tloušťa zemsé ůry d = 15 až 60 m. Poloměr Země je R = m. d A R s B Řešení: Přímou vzdálenost s mezi body A a B lze vyjádřit pomoí ryhlosti podélnýh nebo příčnýh vln a odpovídajíí doby průhodu vlny úseem s LtL TtT. Časový interval mezi příhodem obou vln t tt tl vyjádříme pomoí s, L a T 1 1 L T t s s (14) T L LT a vzdálenost s pomoí úhlu s sin s (15) R R Spojením (14) a (15) obdržíme pro hledané tlt arsin 9,8. RL T Metoda je použitelná, poud nedojde průhodu nebo odrazu vln rozhraním mezi zemsou ůrou a zemsým pláštěm (Mohorovičičova disontinuita). Z obrázu lze psát max R d os, odud max aros R d. R R Pro d 15 m obdržíme max15 4,5º, pro d 60 m max 60 15,7º. 15. Rázová vlna za letadlem Zadání. Letadlo Conorde letí v onstantní výše h 18 m ryhlostí w 376 m/h. Za jaou dobu uslyší pozorovatel na povrhu země soniý třes letadla poté, o jej uviděl olmo

9 nad hlavou? (Zanedbejte zařivení a ostatní nerovnosti zemsého povrhu a nehomogenitu atmosféry, pro výpočet uvažujte = 330 m/s. Jaý další předpolad je v následujíím řešení obsažen? w h P Řešení: Letadlo letí nadzvuovou ryhlostí, vytvoří se rázová vlna. Její čelo se pohybuje (normálovou) ryhlostí a dorazí pozorovateli za čas. Pro poloviční vrholový úhel rázové vlny platí sin w /. Poloha pozorovatele je vša určena výšou h, terou vyjádříme pomoí, a w h os 1 sin 1 w h 1 47, s w. Předpoládá se, že ryhlost šíření světla (viz slovo uviděl ) je dostatečně velá oproti ryhlosti zvuu, aby ji bylo možno zanedbat. 16. Zvuové vlny v pohyblivém prostředí Zadání: Nalezněte disperzní relai pro zvuové vlny v pohybujíím se plynu Řešení: Za výhozí soustavu rovni využijme rovnii ontonuity, pohybovou rovnii a stavovou rovnii ve tvaru div u 0, t u u u p, (16) t p p( ) K. Připusťme nyní nenulovou ryhlost ve staionárním řešení (to odpovídá šíření zvuu v pohybujíím se prostředí) a požadujme řešení ve tvaru, uu u, p p p. (17) Výpočet probíhá zela analogiy jao u zvuovýh vln v nepohyblivém prostředí. Nejprve provedeme linearizai (v rovniíh poneháme členy lineární v poruháh):,

10 div 0 uu0 0, t u 0 0u0u p, (18) t p p ;. Po Fourierově transformai máme ( u0 ) 0u0, p ( u0 ) 0u, (19) p p ;. Po eliminai proměnnýh ( z poslední rovnie určíme δp, z předposlední δu zhísáme disperzní relai p u 0 ( 0) 0; (0) a z ní pozorovanou úhlovou freveni u0 p s u 0 s u0os s 1 os.; S (1) s Ve výrazu jsme označili úhel mezi vlnovým vetorem a ryhlostí prostředí u 0. značímeli ještě freveni zvuu v nepohyblivém prostředí 0 s, máme výsledný vztah u os, () s terý není ni jiného než Dopplerův vzore pro změnu frevene vlivem pohybu zdroje vlnění. U pohybujííh se teutin se tedy v disperzní relai objeví místo úhlové frevene ω ombinae Ω = ω u Disperzní relae vlnové rovnie Zadání: Nalezněte disperzní relai vlnové rovnie Řešení: Na lasiou vlnovou rovnii narazíme v mnoha vědníh odvětvíh. Odpovídá jednoduhým vlnám bez disperze. 1 0 (3) t Rovnie je lineární a aždé její rozumné řešení je možné zapsat pomoí Fourierovy transformae jao superpozii rovinnýh vln. Po dosazení rovinné vlny do vlnové rovnie zísáme disperzní relai Standardním postupem určíme fázovou a grupovou ryhlost:. (4)

11 vf ; v g. (5) Fázová i grupová ryhlost je stejná a nezávisí na vlnové déle pariální vlny, ož je harateristié pro lineární disperzní relae typu ω =. 18. Disperzní relae Kleinovy-Gordonovy rovnie Zadání: Nalezněte disperzní relai Kleinovy-Gordonovy rovnie Řešení: Kleinova-Gordonova rovnie je správnou relativistiou rovnií pro volnou částii se spinem rovným nule 1 m 0;. (6) t Jde o vlnovou rovnii s onstantním členem, terá se využívá pro popis části s nulovým spinem v vantové teorii. Rovnie je lineární, její řešení opět budeme hápat jao superpozii rovinnýh vln. Po provedení Fourierovy transformae Kleinovy-Gordonovy rovnie zísáme disperzní relai. (7) Standardním postupem určíme fázovou a grupovou ryhlost: vf 1 1, 4 vg Na první pohled je zřejmé, že grupová ryhlost je vždy podsvětelná. Oproti tomu fázová ryhlost je vždy nadsvětelná a nemá význam přenosu informae. Mezi oběma ryhlostmi je jednoduhý vztah v f v g =. Obě ryhlosti závisí na vlnové déle pariální vlny (tzv. disperze). 19. Sládání vln Zadání. Dvě rovinné harmonié vlny o stejné freveni a amplitudě, polarizované lineárně v navzájem olmýh směreh (os y a z ) se šíří stejnou ryhlostí v ladném směru osy x. Popište výslednou vlnu vznilou jejih složením, má-li fázový rozdíl obou vln hodnotu a) 0, b), ) /, d) 3 /, a rozhodněte, o jaou polarizai výsledné vlny se v uvedenýh případeh jedná. Řešení: Polarizované vlnění musí být příčné. Kmitání se děje v různýh směreh, proto je třeba sládat vlny vetorově. Vzhledem příznivému zadání lze přímo onstatovat, že výsledný vetor výhyly u je sin u= ju sin t x U t x. 0 0 Zvolme nyní místo na ose x, v němž budeme sledovat polohu vetoru u a tedy i roviny mitů v čase, pro jednoduhost x 0. Přílad se ta reduuje na sládání navzájem olmýh sinusovýh mitů v rovině se vzájemným fázovým posunem y U 0 sint (9) (8)

12 a z U t (30) 0 sin Rovnie (9) a (30) jsou parametriou formulaí trajetorie onového bodu vetoru u v rovině y, z. Vyloučením parametru obdržíme rovnie trajetorií v názornější formě: Pro 0 je y z 1. Příslušnou trajetorií je příma y z, vlna je tedy lineárně polarizována, rovina mitu je určena osou x a uvedenou přímou, polarizační rovina je rovině mitu olmá. Pro je y z 1. Situae je podobná, jen rovina mitu i polarizační rovina jsou vůči předhozímu případu pootočeny o 90º (trajetorií je příma y z). V případě lze rovnii (30) přepsat do tvaru z U0sin t U0ost. Umoněním na druhou a sečtením s vadrátem (9) obdržíme vztah y z U 0. Konový bod vetoru u se tedy pohybuje po ružnii o poloměru U 0, rovina mitu i polarizační rovina se v prostoru otáčí; jde proto o polarizai ruhovou. Případ 3 / se od předhozího liší pouze opačným směrem otáčení (levotočivá a pravotočivá polarizae). 0. Osvětlení stolu Zadání: Lampa je umístěna nad ulatým stolem o poloměru R v jeho středu. Určete optimální výšu lampy nad stolem ta, aby osvětlení nihy ležíí na oraji stolu bylo maximální. Předpolady: Zdroj je dostatečně malý, vlnoplohu považujte za ulovou. Řešení: Osvětlení, stejně ta jao to světelné energie, ubývá s vadrátem vzdálenosti r od zdroje a závisí na úhlu dopadu: I I os r 0. (31) Dosadíme-li os α = h/r a za vzdálenost r z Pythagorovy věty r = (h + R ) 1/, zísáme závislost:

13 Ih ( ) I h 0 3/ h R. (3) Při maximálním osvětlení musí být derivae této fune podle h nulová, ož vede na podmínu: h R h h R 3/ 1/ 3 0 (33) Po vydělení rovnie členem (h + R ) 1/ snadno nalezneme řešení R h. (34)