Reciprokou funkci znáte ze základní školy pod označením nepřímá úměra.

Transkript

1 @ Reciproá funce Reciproou funci znáte ze záladní šoly pod označením nepřímá úměra. Definice: Reciproá funce je dána předpisem ( 0 je reálné číslo) f : y R \ {0} A) Definiční obor funce: Je třeba vyloučit číslo 0 (jmenovatel musí být různý od nuly, neboť nulou nelze dělit), proto D f = R\{0} Poznáma: Všechny body, teré musíme vyloučit proto, aby ve jmenovateli nebyla nula (nesmí být), mají při sestrojování grafu funcí zvláštní význam: čárovaně vyznačíme přímy rovnoběžné s osou y protínající osu v těchto vyloučených bodech a graf funce se nim (těmto čárovaným přímám) zleva nebo zprava čím dál tím víc blíží, ale neprotne je. Tyto přímy se nazývají asymptoty. V tomto urzu se setáme ještě z dalšími typy asymptot. B) Symetrie Musíme prozoumat f ( ) f ( ) Reciproá funce je lichá, tedy středově symetricá olem počátu souřadnic. C) Derivace Vypočítáme derivaci a najdeme body možné etrémy a určíme, ve terých intervalech je funce rostoucí, lesající, onstantní. f '( ) 2 f () = 0 právě dyž = 0, což je v definici vyloučeno. Reciproá funce nemá žádná loální minima ani maima. Protože 2 > 0 je pro všechna definičního oboru ladná, znaméno derivace určuje znaméno parametru. Je-li < 0 je derivace f () > 0 a reciproá funce je rostoucí na intervalu (- ; 0) a rostoucí intervalu (0; + ). Je-li > 0 je derivace f () < 0 a reciproá funce je lesající na intervalu (- ; 0) a lesající intervalu (0; + ). D) Funční hodnoty - asymptoty Reciproá funce má dvě asymptoty.

2 Vyloučený bod = 0, tj osa y, je (vertiální) asymptota. Roste-li do vysoých (ladných či záporných) hodnot, např. milion, miliarda, bilion, jsou funční hodnoty stále menší a menší, tj. blíží se nule, což je ose. Osa je (horizontální) asymptota. E) Průsečíy se souřadnými osami = 0 nelze dosadit => neeistuje průsečí s osou y. Rovnice / = 0 nemá řešení => neeistuje průsečí s osou. Ze šoly víte, že grafem reciproé funce je rovnoosá hyperbola. Prozoumejme trochu blíže vliv oeficientu. Úol: Načrtněte reciproou funce f: y = / pro následující hodnoty. {-2, -1, -1/2, 1/2, 1, 2, 3} Lehce si do grafu přireslete rovnoběžy s osou, protínající osu y v bodech -1 a 1. Jaý je vliv oeficientu? výslede

3 @093 Shrnutí do atlasu funcí: 5 reciproá funce název: reciproá funce (nepřímá úměra) předpis: y, 0 zařazení: patří do supiny racionálních lomených funcí definiční obor: celá množina reálných čísel R, romě 0 obor hodnot: celá množina reálných čísel R, romě 0 graf: tvar řivy závisí na znaménu oeficientu řiva: rovnoosá hyperbola asymptoty: má dvě asymptoty, teré jsou totožné se souřadnými osami a y funce inverzní: reciproá funce je prostá, funce inverzní je táž reciproá funce y derivace: y 2 užití: velmi časté; všude tam, de jsou jevy spolu svázány nepřímo úměrně poznáma: reciproá funce je zvláštním případem funce lineární lomené poračování

4 @092 Načrtněte reciproou funce f: y = / pro následující hodnoty. {-2, -1, -1/2, 1/2, 1, 2, 3} Lehce si do grafu přireslete rovnoběžy s osou, protínající osu y v bodech -1 a 1. Jaý je vliv oeficientu? Vliv oeficientu lze říci asi tato: Pro >0 nalézá se graf funce pouze v I. a III. vadrantu, pro <0 nalézá se graf funce pouze ve II. a IV. vadrantu. Pomocnou přímu protíná graf funce v bodě [; 1], resp. [-; -1]. poračování

5 @093a Pravidlo šťastného návratu odpovědného řidiče: Měj před sebou volný prostor v délách aut (tj. v 5 metrech) jao je rychlost, terou jedeš v m/hod. Přílad: Podmínu šťastného návratu z jízdy aut v oloně, lze vyjádřit funcí R : de v je rychlost olony aut v m/hod, d v metrech je vzdálenost od auta jedoucího přede mnou a je reační doba řidiče v seundách. poznáma: Výše uvedené pravidlo odpovídá reační době zdravého soustředěného řidiče = 1 s, tedy v = d. Čím má řidič pomalejší reflei, tím větší vzdálenost musí mít od předchozího auta. d = v Úol: a) Určete definiční obor funce R. b) nareslete její graf pro vzdálenost vozidel d=20 m c) z grafu odečtěte nutnou reační dobu pro rychlosti v = 20, 60, 80, 120 m/hod d v výslede

6 @094 Zoumáme funci R : 20 v Definiční obor funce: v je rychlost, terá nemůže být nidy záporná (vždyť by taé reační doba vyšla záporná) D R = (0; + ) Graf: z grafu odečtěte nutnou reační dobu pro rychlosti rychlost v 20 m/hod 60 m/hod 80 m/hod 120 m/hod reační doba v = 20 m/hod = 5,5 = 3,6 60 m/hod = 16,6 = 1,2 80 m/hod = 22,2 = 0,9 120 m/hod = 33,3 = 0,6 KONEC LEKCE

7