ÚPGM FIT VUT Brno,

Transkript

1 Náhodné signály Jan Černocký ÚPGM FIT VUT Brno, 1

2 Náhodné signály deterministické signály (můžeme je zapsat rovnicí) mají jednu zásadní nevýhodu nesou velmi málo informace (např. kosínusovka: amplituda, frekvence, počáteční fáze). signály reálného světa se dají popsat deterministicky velmi těžce nebo vůbec (např. fyzikální model pro řečový signál je velmi složitý a stejně se jedná o zjednodušení). na tyto užitečné signály se budeme z hlediska teorie dívat jako na náhodné signály (procesy) (např. řeč, cirkulace zásilek pobočkami České pošty, kurs Kč/EUR... ). Podle charakteru časové osy děĺıme na náhodné signály se spojitým časem (definovány pro všechna t) a s diskrétním časem (jen pro diskrétní n). Signály nemůžeme popsat ve všech časech (to by byly deterministické), budeme spíše hledat charakteristické vlastnosti náhodných signálů, jako střední hodnota, funkce hustoty rozložení pravděpodobnosti, atd. 2

3 Definice náhodného procesu spojitý čas: systém {ξ t } náhodných veličin definovaných pro všechna t R se nazývá náhodný proces, označujeme ξ(t). diskrétní čas: systém {ξ n } náhodných veličin definovaných pro všechna n N se nazývá náhodný proces, označujeme ξ[n]. Množina realizací náhodného procesu možnou reprezentací náhodného procesu je nekonečně mnoho jeho různých průběhů realizací. Omezíme se na konečný počet Ω a každou realizaci označíme ξ ω (t), případně ξ ω [n]. Pokud budeme na souboru realizací náhodného procesu odhadovat nějaké jeho parametry, bude se jednat o souborové odhady. Příklad: náhodný proces je zvukový signál vody tekoucí vodovodní trubkou doma u Černockých. Bylo nahráno 168 realizací po 2 ms. Pro výklad spojitých náhodných procesů si je budeme představovat jako spojité signály ξ ω (t), pro výklad diskrétních náhodných procesů jako ξ ω [n]. 3

4 ξ ω (t) pro ω = 1, 2, 5,

5 ξ ω [n] pro ω = 1, 2, 5,

6 Distribuční funkce je definována pro jednu náhodnou veličinu: náhodný proces pro určitý čas t nebo n je takovou náhodnou veličinou. Definice: F (x, t) = P{ξ(t) < x}, F (x, n) = P{ξ[n] < x}, kde P{ξ(t) < x} nebo P{ξ[n] < x} je pravděpodobnost toho, že náhodná proměnná zde nabude hodnoty menší než x. Uvědomme si prosím, že x není nic náhodného, je to pomocná proměnná, kterou nasadíme na nějakou hodnotu a pro tuto hodnotu sledujeme pravděpodobnost. Souborový odhad distribuční funkce: posadíme se do určitého času t nebo n, vezmeme Ω realizací, které máme k disposici a pro x odhadujeme: ˆF (x, t) = ˆF (x, n) = Ω ω=1 1 pokud ξ ω(t) < x, Ω Ω ω=1 1 pokud ξ ω[n] < x, 6 Ω jinak jinak

7 1.9 F(x,.1ms) F(x,3.1ms) F(x,6.3ms) F(x,9.4ms) x 7

8 1.9 F(x,1) F(x,5) F(x,1) F(x,15) x 8

9 Funkce hustoty rozdělení pravděpodobnosti je opět definována pro jednu náhodnou veličinu (náhodný proces pro určitý čas t nebo n je takovou náhodnou veličinou). Definice: p(x, t) = p(x, n) = δf (x, t) δx δf (x, n) δx Souborový odhad funkce hustoty rozdělení pravděpodobnosti: Funkci můžeme získat numerickým derivováním z odhadnuté ˆF (x, t) nebo ˆF (x, n) nebo ji odhadnout pomocí histogramu: posadíme se do určitého t nebo n Musíme si zvolit L hodnot x od x min do x max, nejlépe s pravidelným krokem = x max x min L 1 : x 1 = x min, x 2 = x min +, x 3 = x min x L 1 = x min + (L 2), x L = x min + (L 1) = x max 9

10 dostaneme tak L chĺıvků o šířce, pro x i je daný chĺıvek ch i od x i 2 do x i + 2. Levý okraj spodního chĺıvku (1) natáhneme až do, pravý okraj horního (L) do +. odhad pro x i počítáme jako ˆp(x i, t) = ˆp(x i, n) = Ω ω=1 1 pokud ξ ω(t) ch i, Ω Ω ω=1 1 pokud ξ ω[n] ch i, Ω jinak jinak 1

11 3.5 3 p(x,.1ms) p(x,3.1ms) x x p(x,6.3ms) p(x,9.4ms) x x 11

12 3.5 3 p(x,1) p(x,5) x x p(x,1) p(x,15) x x 12

13 F (x, t), p(x, t) a pravděpodobnosti pokud máme za úkol vypočítat pravděpodobnost toho, že se hodnota procesu v čase t nebo n vyskytne v intervalu [a, b], máme tyto možnosti (budeme ukazovat jen na spojitém čase, vzorečky pro diskrétní jsou naprosto stejné): vypočítat tuto pravděpodobnost z distribuční funkce, pokud si uvědomíme její definici: F (x, t) = P{ξ(t) < x}, pak P{a < ξ(t) < b} = F (b, t) F (a, t) vypočítat ji z funkce hustoty rozdělení pravděpodobnosti. Už jsme si zvykli, že pokud je někde hustota, bude se integrovat: P{a < ξ(t) < b} = b a p(x, t)dx 13

14 Z těchto vzorečků vyplývají důležité vlastnosti distribuční funkce a funkce hustoty rozdělení pravděpodobnosti: hodnoty náhodného procesu budou těžko menší než, proto F (, t) = P{ξ(t) < } =. hodnoty náhodného procesu zřejmě všechny menší než, proto F (+, t) = P{ξ(t) < + } = 1. funkce hustoty rozdělení pravděpodobnosti je dána jako derivace distribuční funkce, naopak platí integrál: F (x, t) = x 14 p(g, t)dg

15 jelikož F (+, t) = 1, musí být + p(x, t)dx = 1 hodnota funkce hustoty rozdělení pravděpodobnosti pro určité x není pravděpodobnost!!! (častý chyták statistiků). 15

16 Ilustrace F (x, t), p(x, t) bečka piva... na kolejích se od x = 18. do 22. pije bečka piva. Definujeme funkci p(x) jako okamžitou spotřebu piva (picí funkce) a F (x) jako funkci vypitého piva (x je v tomto příkladu výjimečně čas): Chování je podobné funkci hustoty rozdělení pravděpodobnosti a distribuční funkci, pouze za 1 dosad te 1 bečka : F (x) je nulová v čase (je nulová dokonce až do 18.), protože pivo nebylo. 16

17 F (x) je 1 bečka v čase + (dokonce už ve 22.), protože pivo je vypité a víc ho nebude. množství vypitého piva v čase x: F (x) = x p(g)dg. celkové množství vypitého piva: F (+ ) = + p(x)dx = 1 bečka. množství vypitého pivo od času x 1 do času x 2 je možné spočítat jako rozdíl dvou bodů F (x) nebo integrací p(x). hodnotě p(x) (např. p(19.))nemůžeme říkat množství piva za nekonečně krátký časový interval ho do nikoho nevtekla ani kapka. 17

18 Momenty na rozdíl od funkcí jsou momenty čísla, která charakterizují náhodný proces v daném čase t nebo n: střední hodnota nebo též Expectation (očekávání), první moment: a(t) = E{ξ(t)} = + xp(x, t)dx a[n] = E{ξ[n]} = + xp(x, n)dx souborový odhad střední hodnoty je pro každý čas t nebo n dán jako průměr vzorků přes všechny realizace: â(t) = 1 Ω ξ ω (t) Ω â[n] = 1 Ω 18 ω=1 Ω ξ ω [n] ω=1

19 Pro naše signály: 5 x t 5 x n 19

20 rozptyl (disperze), směrodatná odchylka D(t) = E{[ξ(t) a(t)] 2 } = + [x a(t)] 2 p(x, t)dx D[n] = E{[ξ[n] a[n]] 2 } = + [x a[n]] 2 p(x, n)dx směrodatná odchylka (std - standard deviation) je odmocninou rozptylu: σ(t) = D(t) σ[n] = D[n] souborový odhad rozptylu a směrodatné odchylky je pro každý čas t nebo n dán: ˆD(t) = 1 Ω ˆD[n] = 1 Ω Ω [ξ ω (t) â(t)] 2, ˆσ(t) = ˆD(t) ω=1 Ω [ξ ω [n] â[n]] 2, ˆσ[n] = ˆD[n] ω=1 2

21 Pro naše signály: t n 21

22 Korelační funkce Udává podobnost mezi hodnotami náhodného procesu v časech t 1 (nebo n 1 ) a t 2 (nebo n 2 ): R(t 1, t 2 ) = R(n 1, n 2 ) = x 1 x 2 p(x 1, x 2, t 1, t 2 )dx 1 dx 2, x 1 x 2 p(x 1, x 2, n 1, n 2 )dx 1 dx 2, kde p(x 1, x 2, t 1, t 2 ), resp. p(x 1, x 2, n 1, n 2 ) je dvourozměrná funkce hustoty rozdělení pravděpodobnosti mezi časy t 1 a t 2, resp. n 1 a n 2. Teoreticky ji vypočítáme z dvourozměrné distribuční funkce: F (x 1, x 2, t 1, t 2 ) = P{ξ(t 1 ) < x 1 a ξ(t 2 ) < x 2 }, F (x 1, x 2, n 1, n 2 ) = P{ξ[n 1 ] < x 1 a ξ[n 2 ] < x 2 } 22

23 pomocí derivace podle x 1 a x 2 : p(x 1, x 2, t 1, t 2 ) = δ2 F (x 1, x 2, t 1, t 2 ) δx 1 δx 2 p(x 1, x 2, n 1, n 2 ) = δ2 F (x 1, x 2, n 1, n 2 ) δx 1 δx 2 Nás bude ale spíše zajímat souborový odhad, který zařídíme pomocí dvourozměrného histogramu: podobně jako u standardního histogramu vytvoříme chĺıvky, tentokrát ale budou dvourozměrné (čtverečky): ch ij je pro první rozměr od x i 2 do x i + 2 a pro druhý rozměr od x j 2 do x j

24 24

25 hodnota 2D histogramu pro chĺıvek ch ij určený hodnotami x i a x j bude: ˆp(x i, x j, t 1, t 2 ) = ˆp(x i, x j, n 1, n 2 ) = Ω ω=1 1 pokud ξ ω(t 1 ), ξ ω (t 2 ) ch ij, Ω 2 Ω ω=1 1 pokud ξ ω[n 1 ], ξ ω [n 2 ] ch ij, Ω 2 jinak jinak 25

26 Pro naše signály (uvádíme jen diskrétní časy, stejně jste už přišli na to, že ty se spojitým časem jsou úplně stejné... ): n 1 =, n 2 =, 1, 5, x1 6 x x x x1 8 x x x2 26

27 Pro n 1 =, n 2 =, 1, 5, 11 nám po numerické integraci vyšly následující autokorelační koeficienty R(, ) =.188: ve stejném bodě je sám sobě proces vždy nejvíce podobný... R(, 1) =.151: posuneme-li se do vedlejšího vzorku, je stále ještě dost podobný času n 1 =. R(, 5) =.3: časy n 1 = a n 2 = 5 si nejsou vůbec podobné. R(, 11) =.133: v časech n 1 = a n 2 = 11 si je proces podobný, ale s opačným znaménkem! Je pravděpodobné, že když bude hodnota ξ[n 1 ] kladná, bude ξ[n 2 ] záporná, a naopak. 27

28 Korelační funkce pro n 1 =, n 2 = n 1 +k pro k =... 4, srovnání s n 1 = 1, n 2 = n 1 +k pro k =... 4: R(,k) k R(1,1+k) k 28

29 STACIONARITA NÁHODNÉHO PROCESU lidově řečeno, chování stacionárního náhodného procesu se nemění v čase. Statistické veličiny nejsou závislé na aktuálním t nebo n. Korelační funkce není závislá na přesné poloze t 1, t 2 nebo n 1, n 2, ale pouze na jejich rozdílu: τ = t 2 t 1, k = n 2 n 1. Pro stacionární systémy se spojitým časem: F (x, t) F (x) p(x, t) p(x) a(t) a D(t) D σ(t) σ p(x 1, x 2, t 1, t 2 ) p(x 1, x 2, τ) R(t 1, t 2 ) R(τ) Podobně pro diskrétní čas: F (x, n) F (x) p(x, n) p(x) a[n] a D[n] D σ[n] σ p(x 1, x 2, n 1, n 2 ) p(x 1, x 2, k) R(n 1, n 2 ) R(k) 29

30 V příkladu s tekoucí vodou jsme zřejmě měli stacionární signál, protože: střední hodnota byla pro všechny časy podobná (pokud bychom měli k disposici více realizací, byla by ještě stejnější ). směrodatná odchylka také (dtto). korelační funkce pro n 1 =, n 2 = n 1 + k a pro n 1 = 1, n 2 = n 1 + k vypadala podobně. 3

31 Stacionární vs. nestacionární signál: x k (t) t x k (t) t 31

32 ERGODICITA NÁHODNÉHO PROCESU nutnost mít k disposici mnoho realizací k jakémukoliv odhadu je trochu svazující. U ergodických náhodných procesů můžeme parametry odhadnout z jediné realizace. 32

33 Příklad stacionárního a ergodického a stacionárního, ale neergodického procesu: x k (t) t x k (t) t 33

34 Všechny souborové odhady můžeme nahradit časovými odhady, máme k disposici interval o délce T (pro spojité procesy) případně o počtu vzorků N (pro diskrétní). Jedinou realizaci, kterou máme k disposici, nazveme klasicky x(t), resp. x[n]: pomocí histogramů můžeme stejným způsobem jako u souborových odhadů odhadnout distribuční funkci a funkci hustoty rozdělení pravděpodobnosti. střední hodnota, rozptyl, směrodatná odchylka: â = 1 T T x(t)dt ˆD = 1 T T [x(t) â] 2 dt ˆσ = ˆD korelační funkce â = 1 N N 1 n= x[n] ˆD = 1 N ˆR(τ) = 1 T ˆR(k) = 1 N T N 1 n= 34 [x[n] â] 2 ˆσ = ˆD N 1 n= x(t)x(t + τ)dt x[n]x[n + k]

35 Náhodné signály II. Jan Černocký ÚPGM FIT VUT Brno, 1

36 Časový odhad autokorelačních koeficientů pro ergodický náhodný proces s diskrétním časem. ˆR[k] = 1 N N 1 n= x[n]x[n + k], kde N je počet vzorků, které máme k disposici, se nazývá vychýlený odhad (biased estimation). Když totiž odsouváme signály od sebe, odhadujeme R(k) pouze z N k vzorků. Děĺıme však stále N, takže se hodnoty ke krajům budou snižovat. ˆR[k] = 1 N k N 1 n= x[n]x[n + k], je nevychýlený odhad, kdy se děĺı skutečně použitým počtem vzorků. Krajní koeficienty k N 1, k N + 1 jsou ale zatíženy značnou chybou (protože se k jejich odhadu používá málo vzorků!), proto dáváme přednost vychýlenému odhadu. 2

37 1 x x

38 Spektrální hustota výkonu spojitý čas I u náhodných procesů nás bude zajímat chování ve frekvenční oblasti, ale: nemůžeme použít FŘ, protože náhodné signály nejsou periodické. nemůžeme použít ani FT, protože náhodné signály mají nekonečnou energii (FT na tyto signály šla aplikovat, ale pouze ve speciálních případech) Budeme uvažovat pouze ergodické náhodné signály, realizaci x(t). Odvození spektrální hustoty výkonu (power spectral density PSD) definujeme interval o délce T, vezmeme pouze úsek od T/2 do T/2: x(t) pro t < T/2 x T (t) = jinde 4

39 x definujeme Fourierův obraz: -.5T +.5T t X T (jω) = + x T (t)e jωt dt definujeme spektrální hustotu energie (viz přednáška o FT): x 2 T(t)dt =... = 1 2π X T (jω)x T ( jω)dω = L T (jω)dω L T (ω) nazýváme (dvoustranná) spektrální hustota energie 5

40 L T (jω) = X(jω) 2 2π pokusíme se natáhnout T až do. V tomto případě by ale energie (i její hustota) rostly nade všechny meze. Definujeme tedy (dvoustrannou) spektrální hustota výkonu dělením T (analogie P = E/T): G T (jω) = L T(jω) T nyní už můžeme natažení provést a spočítat spektrální hustotu výkonu nejen pro úsek délky T, ale pro celý signál: Vlastnosti G(jω) G(jω) = lim T G T(jω) = lim T Pro spektrální funkci reálného signálu X T (jω) platí: X T (jω) = X T( jω) X T (jω) 2 G(jω) je prakticky dána jejími hodnotami na druhou, bude tedy čistě reálná a sudá. 6 2πT

41 Výkon náhodného procesu v intervalu [ω 1, ω 2 ] můžeme spočítat jako: P [ω1, ω 2 ] = ω2 ω 1 G(jω)dω + ω1 ω 2 G(jω)dω = 2 ω2 ω 1 G(jω)dω. Pro celkový střední výkon náhodného signálu platí: P = + G(ω)dω Často je ve sdělovací technice a =. Pak je střední výkon roven rozptylu: P = D a efektivní hodnota X ef = σ. 7

42 Wiener-Chinchinovy vztahy Spektrální hustota výkonu je vázána FT s autokorelační funkcí R(τ) (někdy se tak dokonce definuje je to jednodušší než limitní přechod T ): G(jω) = 1 2π + R(τ)e jωτ dτ R(τ) = + G(jω)e +jωτ dω 8

43 Spektrální hustota výkonu diskrétní čas PSD náhodného procesu s diskrétním časem budeme definovat přímo pomocí autokorelačních koeficientů (všimněte si terminologie: autokorelační funkce R(τ) pro spojitý čas, autokorelační koeficienty R[k] pro diskrétní čas): G(e jω ) = k= R[k]e jωk (jaká je zde ω kruhová frekvence?). G(e jω ) je Fourierovou transformací s diskrétním časem (DTFT) autokorelačních koeficientů. Pokud tyto odhadneme (souborový odhad, časový odhad u ergodických), můžeme G(e jω ) spočítat. Zpětný přechod od G(e jω ) k autokorelačním koeficientům (zpětná DTFT): R[k] = 1 2π π π G(e jω )e +jωk dω 9

44 Pro tekoucí vodu (R[k] odhadovány z jedné realizace):.5 normalized omega f x 1 4

45 zoom od Fs/2 do Fs/2: normalized omega f tekoucí voda má silnou hodně výkonu okolo 7 Hz, že by rezonance trubky? 11

46 vlastnosti G(e jω ) jsou opět dány standardními vlastnostmi obrazu DTFT: autokorelační koeficienty jsou reálné, proto bude pro G(e jω ) platit G(e jω ) = G (e jω ), autokorelační koeficienty jsou symetrické (sudé), proto bude G(e jω ) všude reálná. z toho vyplývá, že G(e jω ) bude reálná a sudá, podobně jako G(jω). je periodická (s periodou 2π, 1, F s, 2πF s podle frekvence, kterou si vyberete) protože signál je diskrétní. Výkon náhodného procesu v intervalu [ω 1, ω 2 ] můžeme spočítat jako: P [ω1, ω 2 ] = 1 2π ω2 ω 1 G(e jω )dω + 1 2π ω1 ω 2 Pro celkový střední výkon náhodného signálu platí: G(e jω )dω = 1 π ω2 ω 1 G(e jω )dω. P = 1 2π +π π G(e jω )dω 12

47 to je ale hodnota zpětné DTFT pro k = : R[] = 1 2π π π G(e jω )e +jω dω = R[] = 1 2π +π π G(e jω )dω takže jsme dostali vztah: R[] = P 13

48 Odhad spektrální hustoty výkonu G(e jω ) pomocí DFT Máme-li k disposici realizaci náhodného procesu x[n] o N vzorcích, můžeme PSD odhadnout pomocí Diskrétní Fourierovy transformace (DFT to je ta, co se jako jediná dá slušně spočítat), pro připomenutí: X[k] = N 1 n= x[n]e j 2π N kn G(e jω ) dostaneme pouze pro diskrétní frekvence: ω k = 2π N k: Ĝ(e jω k ) = 1 N X[k] 2. Tento odhad bývá někdy velice nespolehlivý (zašuměný), proto se často využívá Welchova metoda průměrování odhadu PSD přes několik časových úseků: Signál rozděĺıme na M úseků po N prvcích a pro každý spočítáme DFT: X m [k] = N 1 n= x m [n]e j 2π N kn pro m M 1 14

49 Odhad PSD spočítáme: Ĝ W (e jω k ) = 1 M M 1 m= 1 N X m[k] 2. 15

50 Ukázka pro odhad PSD z jednoho 32-vzorkového segmentu a z 168 takových segmentů: one realization averaging Welch odhad získaný průměrováním je mnohem hladší. 16

51 Průchod náhodných signálů lineárními systémy spojitý čas: lineární systém má komplexní kmitočtovou charakteristiku H(jω). Pro vstupní signál se spektrální hustotou výkonu G x (jω) je výstupní spektrální hustota výkonu dána: G y (jω) = H(jω) 2 G x (jω) diskrétní čas: lineární systém má komplexní kmitočtovou charakteristiku H(e jω ). Pro vstupní signál se spektrální hustotou výkonu G x (e jω ) je výstupní spektrální hustota výkonu dána: G y (e jω ) = H(e jω ) 2 G x (e jω ) V obou případech násobíme vstupní PSD druhou mocninou modulu komplexní kmitočtové charakteristiky. Tvar funkce hustoty rozdělení pravděpodobnosti se průchodem lineárním systémem nemění mění se jen parametry. 17

52 Příklad: filtrování jedné realizace tečení vody filtrem H(z) = 1.9z 1. Vstupní signál a jeho PSD:

53 Modul komplexní kmitočtové charakteristiky a jeho druhá mocnina: H H

54 Výstupní signál a jeho PSD:

55 Příklad náhodného procesu Gaussovský bílý šum V Matlabu funkce randn jednotlivé vzorky na sobě nezávisí, funkce hustoty rozdělení pravděpodobnosti je dána Gaussovým rozložením: p(x) = N(x; µ, σ) = 1 σ [x µ] 2 2π e 2σ 2 µ=, σ=1 1 µ=, σ= p(x).2 F(x) x x Generování v Matlabu: x = sigma*randn(1,n) + mu 21

56 Autokorelační koeficienty: R[] = µ 2 + D, R[k] = µ 2 pro k 22

57 Spektrální hustota výkonu je u bílého šumu konstantní (proto bílý): G(e jω ) = R[] 23

58 averaging Welch Pro spojitý čas nejde čistě bílý šum vygenerovat: pokud by G(jω) byla nenulová pro všechny ω, měl by nekonečný výkon... 24

59 Kvantování Representace vzorků diskrétního signálu x[n] není možná s libovolnou přesností kvantování. Nejčastěji zaokrouhlujeme na fixní počet L kvantovacích hladin, které jsou očíslované od do L 1. Pokud máme na kvantování k disposici b bitů, L = 2 b. Uniformní kvantování má rovnoměrné rozložení kvantovacích hladin q...q L 1 od minimální hodnoty signálu x min do maximální hodnoty x max : Kvantovací krok je dán: = x max x min, L 1 25

60 pro velká L můžeme použít přibližný vztah: = x max x min L Kvantování: pro hodnotu x[n] je index nejlepší kvantovací hladiny dán: i[n] = arg min x[n] q l, l=...l 1. a kvantovaný signál je: Chyba kvantování: x q [n] = q i[n]. e[n] = x[n] x q [n]. může být také považována za signál. 26

61 Ilustrace na kvantování kosinusovky x[n] = 4 cos(.1n), L = 8:

62 Abychom zjistili, jak je signál kvantováním narušen, bude dobré spočítat výkon chybového signálu P e a srovnat jej s výkonem užitečného signálu P s : poměr signálu k šumu signal-to-noise ratio (SNR): SNR = 1 log 1 P s P e [db]. Pro výpočet výkonu chybového signálu využijeme teorie náhodných procesů: neznáme hodnoty e[n], ale víme, že budou v intervalu [ 2, + 2 ] a že budou rovnoměrně rozložené. Funkce hustoty rozdělení pravděpodobnosti pro e[n] bude: 28

63 ...výška 1 vychází z toho, že plocha: 2 p e (g)dg! = 1. 2 Tento proces má nulovou střední hodnotu (snadno bychom zjistili, že 2 2 výkon bude tedy roven rozptylu: gp e (g)dg = ), P e = D e = g 2 p e (g)dg = 2 2 g 2 p e (g)dg = 1 [ g 3 3 ] 2 2 = 1 3 ( ) =

64 Výpočet SNR pro kosinusovku amplituda A, kosinusovka má výkon P s = A2 2 x min = A, x max = A, takže Poměr signálu k šumu: = 2A L P e = 2 12 = 4A2 12L 2 = A2 3L 2. SNR = 1 log 1 P s P e = 1 log 1 A 2 2 A 2 3L 2 = 1 log 1 3L2 2. Pokud máme k disposici b bitů a počet kvantovacích hladin L = 2 b : SNR = 1 log (2b ) 2 = 1 log log 1 2 2b = b log 1 2 = b db. Konstanta 1.76 závisí na charakteru signálu (cos, šum), ale platí, že přidání/ubrání jednoho bitu zlepšuje/zhoršuje SNR o 6 db. 3

65 Příklad: kosinusovky s A = 4 kvantované na L = 8 hladinách: SNR teor = = db SNR exp = 1 log 1 1 N 1 N N 1 n= N 1 n= s 2 [n] e 2 [n] Matlab: snr = 1*log1 (sum(x.^2) / sum(e.^2))...celkem to vychází. = db 31