Fulereny. Ing. Zuzana Benáková 1

Transkript

1 Fuleeny Ing. Zuzana Benáková 1 1. FULLER ( ) geodetické kopule Richad Buckminste Fulle je známý jako achitekt a podnikatel. Jeho aktivity yly velmi šioké, posadil se však pávě v olasti achitektuy. Snažil se o koncipování takových návhů, kteé y v soě asoovaly základní filosofické koncepty a také je vyjadřovaly. Ve svých úvahách akceptoval Einsteinův čtyřdimenzionální svět fyziky a jako jeho možné řešení konečný vesmí jako kouli. Fulleovým cílem ylo přilížit se sféické fomě postoovou sítí z ovnostanných tojúhelníků, jejichž dvanáct společných vcholů leží na povchu imaginání koule. Této podmínce vyhovoval ikosaed. Ten může ýt ozdělen na oktaedy, a dále na tetaedy. To znamená, že všechny mnohostěny mohou ýt složeny z jediné základní komponenty čtyřstěnu. Fulle si představoval, že čtyřstěn ude základ konstukčního systému a všechny konstukce v postou můžeme utvořit pávě z něj. Byl nadšen, že ojevil (podle něj) pojítko mezi tojúhelníkem a koulí. Poté usoudil, že je možné zkonstuovat sféickou konstukci (kopuli), kteá y yla tvořena polovinou sféy, zfomovanou z 1 kužnic (výsledek enegické události) na jejím povchu, potínajících se tak, že vzniknou ovnostanné tojúhelníky ůzných velikostí. Tyto tojúhelníky na povchu koule udou epezentovat jednu ze stěn čtyřstěnů. Tyto všechny čtyřstěny udou mít čtvtý vchol ve středu koule. Idea ikosaedu, pětiúhelníku a kulového útvau vznikla z enegeticko-synegetických úvah Fullea. O. 1 Jedna enegická - událost: akce, eakce a výsledek (po představu na oázku skákajícího muže z loďky do loďky). Koule ikosaed jako výsledek enegické události. Je zde osaženo 1 kužnic na povchu koule. 1 Kateda matematiky, FSv ČVUT v Paze, enakova@mat.fsv.cvut.cz

2 O. Tojúhelník a tetaed: Synegetická úvaha (1+1 ): dva tojúhelníky mohou ýt zkominovány tak, že získáme čtyřstěn, těleso tvořené čtyřmi tojúhelníky tedy 1+1 (dvě otevřené tojúhelníkové spiály mohou ýt uvažovány jako enegetická událost, osahující akci, eakci a výsledek. Tyto dvě události - jedna pozitivní a jedna negativní - utvoří čtyřstěn. V letech pacoval Fulle spolu s Shoji Sodaem na pojektu US-pavilonu EXPO 67 v Montealu (Kanada). Tato nejznámější geodetická kopule v kulové fomě má půmě 76, m, výšku 61m. O. ve výstavě O. ealizace

3 . CO JSOU TO FULERENY Fuleeny jsou oří molekuly složené z 0 a více atomů uhlíku ve vcholech mnohostěnů více méně kulovitých tvaů. Představují tak třetí známou fomu uhlíku (později yly vyáěny i nanotuičky na ázi fuleenu). Gafit je v ideálním případě tvořen z ovin vydlážděných pavidelnými šestiúhelníky uhlíku. Tato stuktua odáží přiozeně ovinné uspořádání tří vaze atomu uhlíku. Ay se taková stuktua svinula do uzavřeného postoového útvau, musí se v ní ojevit pětiúhelníkové pouchy. Podle Euleovy věty o mnohostěnech (učuje vztah mezi počtem vcholů, han a stěn uzavřených těles) musí ýt těchto pětiúhelníků pávě dvanáct, ay utvořily uzavřené těleso. Počet šestiúhelníků pak může ýt v podstatě liovolný O. Tedy platí: s + v h +, kde v počet uhlíků (vcholů), s počet stěn, h počet han. s n + n6, kde n, esp. n6 je počet pětiúhelníků, esp. šestiúhelníků. h n + 6n6 a v n + 6n6, (což dává po n stálou hodnotu 1) Fuleeny tedy začínají od nejméně stailního C 0 (pavidelný dvanáctistěn, jehož stěny jsou pětiúhelníky) a pak téměř po každý sudý počet atomů (vyjma ) existuje další fulleen. Výjimečné postavení má C 60 je nejkulatější, nejsymetičtější a nejznámější z fuleenů. Všechny uhlíky v něm mají zcela ovnocenné postavení, takže napětí v takové stuktuře je nejlépe ozpostřeno a i stailita je největší. Geometicky jde o komolý dvacetistěn (Achimédovský polopavidelný mnohostěn), kde 1 pětiúhelníků a 0 šestiúhelníků jsou sovnáno tak, že žádné dva pětiúhelníky nesousedí. O. 6 C 60 a C 70 Významnou vlastností molekuly C60 je její souměnost podle pětičetné osy, kteá je v kystalových stuktuách zakázána, ale je ovyklá v iologických stuktuách (akteiofág, ůzné duhy viů). Stuktuu fuleenů mají také iologické molekuly iofuleeny. Pameny s další taxonomií fuleity, fuleidy a jejich vlastnostmi, viz [1], [].

4 Začátek ojevu fuleenů můžeme z hlediska jejich geometické stuktuy posunout až do řecké geometie a ještě dál. Staří Řekové studovali pavidelné konvexní mnohostěny, z nichž pět známe jako Platónova tělesa. Později se ukázalo, že po stuktuu dnes nejznámějšího fuleenu je ozhodující dvacetistěn a dvanáctistěn. Tva C 60 yl znám už dávno. Znal ho již Leonado da Vinci a jeho ozvinutou síť vytvořil v tomtéž odoí ovněž Alecht Düe. Ve dvacátém století ylo vytvořeno mnoho ikosaedických modelů molekul čistě teoetickými úvahami několik desetiletí před ojevem fuleenu C 60. V oce 19 zpacoval L.Tosza odové gupy po ikosaedové molekuly a v oce 1970 E. Osawa předpokládal vysokou stailitu ikosaedických molekul C60. Ruští vědci Bochva a Galpen v oce 197 vypočetli elektonovou stuktuu C60. Již v oce 1966 napsal D. Jones článek o možnosti syntézy kulovitých molekul v podoě fotalového míče z gafitu. Výpočty ukazovaly na polomě 100nm. Jeho intuitivní představy o vytvoření uzavřené kulové molekuly z gafitu ale tehdy neyly doceněny. Musely ýt znovu ojeveny až v expeimentálních pacích H. W. Kotoa, R. E. Smalleyho, R. F. Cula (od oku 1996 nositelé Noelovy ceny za chemii). 1. listopadu 198 vyšel o jejich ojevu článek v časopise Natue. Oni dali uzavřeným molekulám uhlíku název fulleeny, potože se podoaly geodetickým kopulím, kteé v achitektuře studoval a ealizoval R. B. Fulle. Původně navžený název uckminste fulleen se zjednodušil na postý fuleen, ale familiéně se nazývá také uckyall kvůli své podoě s fotalovým míčem. Dnes je uhlík C60 předmětem intenzivního výzkumu, neoť jeho neoyčejná, na "enegeticko-synegetické" teoii založená tuhost je spojena s opávněnou nadějí na jeho technické využití v celé řadě technologických olastí. Jeho ojevem se dostalo zadostiučinění nejen Fulleově teoii, chápající stuktuální stailitu jako polém synegetické koexistence komplementáních funkcí, nýž i pastaé teoii o analogických funkcích mikokosmu a makokosmu, kteá přinejmenším v případě geodetické kopule vede od molekulání chemie současnosti až k filosofickým školám antického Řecka.. OBJEM C 60 a C 70 Z hlediska možného uplatnění stuktuy fuleenů v podoě konstukčního systému kopule jsou zajímavé jak jejich geometické chaakteistiky, tak otázky staility a tuhosti možných konstukcí (např. největší staility dosahuje C 60, vzhledem k ovnocennému postavení všech uhlíků). Cílem tohoto příspěvku je vyšetření ojemu oou mnohostěnů v závislosti na velikosti jejich hany. Označme a délku hany dvacetistěnu ρ polomě opsané kužnice pětiúhelníku s hanou velikosti délka hany C 60 a ρ (10 ) Označme dále v výšku jehlanů, kteé odstaníme z pavidelného dvacetistěnu, aychom odželi fulleen C 60. Platí

5 v ρ (10 1 (10 Ojem C 60 pak vypočítáme jako V C60 V 1-1V. Dostaneme a ( + V V Spv ρ 8 ( v ( + V C O.7 C 60 Mnohostěn C 70 dostaneme z C 60 pomocí lomená čáy, kteou vytvoří uhlíky nejlíže k hoizontální ovině symetie C 60. Tato čáa ozdělí C 60 na dvě části. Posuneme-li honí část o polovinu vzdálenosti středních vstev uhlíků ( ) a otočíme vhodně o (tak, že od C ude pod odem A a D pod B, toto udou vcholy nových šestiúhelníků). Pak přidáme 10 uhlíků (modře na oázku 9), tak že nám doplní chyějící vcholy nových šestiúhelníků. Ty hoizontální kužnice (oázek 8), na kteých leží ody A, B a C, D jsou shodné. Rovník je v polovině mezi nimi.

6 O.8 O.9 C 70 Při výpočtu ojemu C 70 ojemu využijeme znalost ojemu C 60 : V C70 V C60 + V PÁS Označme a délku hany dvacetistěnu délka hany C 60 a polomě kužnice opsané řezu ve vcholech C, D (viz předešlý oázek) R polomě koule opsané C 60 (se středem S na dalším oázku), můžeme využít např. zlatého řezu. Pak po odelník o stanách a, l platí a a + l l l l al a 0 1 a( + (1 + l R + l 9 + ( (1 + R + 9 ( ( (1 + V PÁS vypočteme jako součet ojemů jehlanů, na kteé pás ozložíme, ozklad najdeme na o. 10. Střed koule o poloměu R je upostřed pásu. V PÁS V I + 10V II V I 1 v Sp. P I ( 1 + )

7 1 V II Sp. v II II V PÁS ( 1 1 R ( + ) 1 + ) +10 R ( + ) 1 ( + C 70 ( ) +10 R ( + ) + O. 10 LIITERATURA: [1] Fulleene C60 Histoy, Physics, Nanoiology, Nanotechnology - D. Kouga, S. Hameoff, J. Withes, R. Loutfy, M. Sundaeshan, - Noth Holland, 199 [] An Atlas Of Fulleenes - P. W. Fowle, D. E. Manolopoulos - Claendon Pess, Oxfod, 199