Geometrické a fyzikální aplikace určitého integrálu. = b a. je v intervalu a, b záporná, je integrál rovněž záporný.

Transkript

1 4. přednášk Geometické zikální plikce učitého integálu Geometické plikce. Osh ovinného útvu A. Pokud se jedná o ovinný útv omezený osou přímkmi gem spojité nezáponé unkce pk je jeho osh dán učitým integálem jk lo uvedeno u geometické intepetce učitého integálu: d. V přípdě že unkce je v intevlu záponá je integál ovněž záponý. Vzhledem k tomu že osh kždého ozce je vžd nezáponé číslo použijeme po liovolnou unkci ve výpočtu oshu její solutní hodnotu: d - d. Jestliže unkce nývá v intevlu jk kldných tk i záponých hodnot potom tento intevl ozdělíme n dílčí intevl ve kteých unkce nývá pouze nekldných hodnot esp. nezáponých hodnot vpočteme osh podle předcházejících úvh. Tzn. pokud chom počítli integál odečítli. d n celém kldné záponé části se Příkld: Vpočtěte osh útvu kteý je ohničen křivkou - 4 osou přímkmi B. Pokud je ovinný útv ohničený dvěm unkcemi křivkmi g přičemž pltí ³ g přímkmi je jeho osh učen: g d. - Příkld: Vpočtěte osh útvu kteý je ohničen křivkmi 3-.

2 . Je-li g unkce učen pmetickými ovnicemi jt t t Î unkce t je spojitá nezáponá n ůznou od nul j t je integovtelná n gem unkce n intevlu : unkce jt má n intevlu kde deivci pltí po osh útvu ohničeného t j t dt.. Délk ovinné křivk Vět: Je-li unkce deinovná n má zde spojitou deivci pk po délku jejího gu pltí: [ ] l d. Nní se podíváme n oecnější přípd kd křivk nemusí ýt gem unkce může se jednt o tjektoii nkeslenou odem spojitě se pohujícím v ovině. Tzn. zdáme křivku pomocí pmetických ovnic j t t. Z zikálního pohledu je délk křivk vlstně dhou kteou od uzí od okmžiku α do okmžiku β. Po délku křivk dné pmetickými ovnicemi lze dokázt následující tvzení: l j& t & t dt. Příkld: Vpočtěte délku steoid. 3. Ojem otčního těles Necháme-li ovinný útv otovt kolem os vznikne otční těleso jehož ojem můžeme vpočítt pomocí učitého integálu.

3 Vět: Nechť je unkce spojitá nezáponá n. Pk otční těleso vzniklé otcí křivk kolem os v intevlu má ojem: V p d. Poznámk: Odoný vzoec pltí je-li osou otce os. Ojem těles kteé vznikne otcí spojité křivk h po Î c d kolem os vpočteme ze vzthu: V p h d. c d Pokud získáme těleso otcí útvu ohničeného křivkmi g g kolem os n pk ojem tkového těles učíme jko V p [ - g ] d. Vět: Je-li g unkce učen pmetickými ovnicemi jt t t Î pltí po ojem těles kteé vznikne otcí útvu kolem os : V p t j t dt. Příkld: Vpočtěte ojem otčního těles kteé vznikne otcí křivek kolem os po Î 0. 3

4 4. Osh otční ploch Pomocí učitého integálu vpočítáme i osh pláště otčního těles. Vět: Nechť je unkce spojitá nezáponá n má zde spojitou deivci. Pk po osh otční ploch kteá vznikne otcí křivk kolem os v intevlu pltí: p d. Poznámk: Rotce kolem os : p h h d. c d Vět: Je-li g unkce učen pmetickými ovnicemi jt t t Î pltí po osh ploch těles kteé vznikne otcí gu unkce kolem os : j t t dt. t Příkld: Vpočtěte povch pláště otčního komolého kužele kteé vznikne otcí křivk kolem os po Î 3. 4

5 Fzikální plikce. Hmotnost moment setvčnosti souřdnice těžiště ovinné křivk Předstvme si kus dátu kteý je v oecném přípdě nehomogenní. Mtemtickým modelem je křivk. Předpokládejme že máme nezáponou unkci ρ kteá je deinovná ve všech odech křivk kždému odu přiřzuje délkovou hustotu v tomto odě. Křivk je dán pmetickými ovnicemi j t t kde t Î Vět: Nechť jt t mjí spojitou deivci n intevlu t je spojitá nezáponá. Pk křivk mjící délkovou hustotu t má hmotnost M Po souřdnice jejího těžiště pltí [ j t ] [ t ] dt. t T é ù ê ú ë M M û kde t t j t t [ j t ] [ t ] dt [ j t ] [ t ] dt. Veličin nzýváme sttické moment křivk vzhledem k ose. Moment setvčnosti této křivk dostneme ze vzthů: t t j t t [ j t ] [ t ] dt [ j t ] [ t ] dt. Poznámk: Je-li křivk gem unkce udává její délkovou hustotu v odě dostáváme z předchozího zjednodušenou vezi: 5

6 6 Po souřdnice těžiště gu unkce pltí stejný vzoec ú û ù ê ë é M M T kde. d d d d d M Příkld: Učete hmotnost souřdnice těžiště homogenní půlkužnice : K 0. 0 > ³