KVADRATICKÉ FUNKCE. + bx + c, největší hodnotu pro x = a platí,

Transkript

1 KVADRATICKÉ FUNKCE Definice Kvadratická funkce je každá funkce na množině R (tj. o definičním ooru R), daná ve tvaru y = ax + x + c, kde a je reálné číslo různé od nuly,, c, jsou liovolná reálná čísla. Výraz ax + x + c se nazývá kvadratický trojčlen; výraz ax se nazývá kvadratický člen, výraz x se nazývá lineární člen, číslo c se nazývá asolutní člen kvadratického trojčlenu. Čísla a,, c se nazývají koeficienty kvadratického trojčlenu. Číslo D = 4ac se nazývá diskriminant kvadratického trojčlenu. Křivka, která je grafem kvadratické funkce se nazývá paraola. ( ) Bod O na orázku se nazývá vrchol paraoly (ovykle je značen V). Přímka, která prochází vrcholem paraoly a je rovnoěžná s osou y, se nazývá osa paraoly. Grafem kvadratické funkce y = x je paraola ( ). Pro funkci g : y = x platí:. Její oor hodnot je interval 0, ).. Je sudá funkce. 3. Je klesající v intervalu (, 0, rostoucí v intervalu 0, ) 4. Je zdola omezená, není shora omezená. 5. V odě x = 0 má ostré minimum. Souřadnice vrcholu paraoly jsou V = ; c. 4a Věta Je-li koeficient a kvadratického členu kladný,, c, jsou liovolná reálná čísla, naývá kvadratická funkce f: y = ax + x + c, nejmenší hodnotu pro x = a platí, že vrchol je nejnižší od paraoly; (paraola je otevřena nahoru). Je-li koeficient a kvadratického členu záporný,, c, jsou liovolná reálná čísla, naývá kvadratická funkce f: y = ax + x + c, největší hodnotu pro x = a platí, že vrchol je nejvyšší od paraoly; (paraola je otevřena dolů). Graf kvadratické funkce je souměrný podle své osy. Kvadratické funkce... Strana

2 Je-li diskriminant D < 0, neprotíná paraola osu x; je-li D = 0, je vrchol paraoly jediný společný od s osou x; je-li D > 0, protíná paraola osu x ve dvou odech kořenech rovnice ax + x + c = 0. Na orázcích jsou vyznačeny všechny možné polohy grafu kvadratické funkce vzhledem k ose x. Postup při sestrojování grafů kvadratických funkcí y = ax + x + c :. Upravíme nejprve výraz ax + x + c doplněním na druhou mocninu dvojčlenu: ax + x + c =... = a x + + c 4a Tedy můžeme psát ax x + c =... = a( x m) + n Vrchol má souřadnice [ m, n] +, kde V.. Sestrojíme graf funkce f : y = ax + 3. Sestrojíme graf funkce f : y a( x m) n m = a n = c. 4a = a to z grafu funkce f pomocí posunutí Grafem každé kvadratické funkce je paraola, která je souměrná podle osy rovnoěžné s osou y. Pomocí grafů kvadratických funkcí lze řešit kvadratické rovnice i nerovnice (předem je ovšem nutné převést tyto rovnice a nerovnice na anulovaný tvar). Výsledky získáme z grafu celkem jednoduše, pracné ovšem může ýt sestrojení samotného grafu kvadratické funkce. Poznámka Kvadratická funkce Poznámka Funkce y = ax + x + c, kde a 0 je: a) pro a < 0 konkávní ) pro a > 0 konvexní y = ax + x + c, kde a 0 není na množině všech reálných čísel prostá funkce. Kvadratické funkce... Strana

3 Souhrnný přehled vlastností funkce f, jejíž D(f) = R: Kvadratické funkce... Strana 3

4 Grafické řešení kvadratické rovnice Kvadratickou rovnici ax + x + c = 0, kde a,, c R, a 0, lze v ooru R řešit také graficky a to dvěma způsoy:. Sestrojíme graf kvadratické funkce y = ax + x + c (což je paraola) a jeho průsečíky s osou x zorazují hledané reálné kořeny x, x. (Or. ) Počet reálných kořenů rovnice ax + x + c = 0 je roven počtu průsečíků paraoly y = ax + x + c s osou x.. Jednodušeji: upravíme řešenou kvadratickou rovnici na tvar ax = x c, resp. c x = x a sestrojíme a a průsečíky grafu kvadratické funkce y = ax, resp. y = x c s grafem lineární funkce y = x c, resp. y = x, jejichž x-ové souřadnice představují reálné kořeny řešené kvad- a a ratické rovnice. (Or. ) Podle vzájemné polohy paraoly y = x a přímky, která je grafem funkce y = px q, a není tedy rovnoěžná s osou y, mohou nastat následující případy: a) přímka a paraola mají dva společné ody; rovnice x + px + q = 0 má dva různé kořeny Or. ) přímka se paraoly dotýká; rovnice x + px + q = 0 má jediný kořen (dvojnásoný) Or. c) přímka a paraola nemají žádný společný od; rovnice x + px + q = 0 nemá žádný kořen. Or. Kvadratické funkce... Strana 4

5 Grafické řešení kvadratické nerovnice Nejprve se udeme zaývat nerovnicemi x + px + q > 0 a x + px + q < 0 kde p, q R. Oě nerovnice upravíme na tvar x > px q a x < px q. (Pokud koeficient kvadratického členu je jiný než, nejdříve jím nerovnici vydělíme). Stejně jako při grafickém řešení kvadratické rovnice sestrojíme graf funkce y = x (paraola) a graf funkce y = px q (přímka). Má-li rovnice x + px + q = 0 dva kořeny x, x ( x < x ), protíná přímka paraolu ve dvou odech. Z orázku je vidět, pro které hodnoty x leží příslušný od paraoly y = x nad, resp. pod odpovídajícím odem přímky y = px q, tedy kdy platí x > px q, resp. x < px q. Na orázku je část paraoly a část přímky, jejichž ody leží nad odpovídajícími ody druhé z těchto křivek, vyznačena souvisle; část paraoly a část přímky, jejichž ody leží pod odpovídajícími ody druhé z těchto křivek, vyznačena čárkovaně. Průsečíky oou křivek jsou vyznačeny prázdnými kolečky, neoť do žádné z těchto částí nepatří. Kdyy v daných nerovnicích yly neostré nerovnosti, yly y hodnoty x odpovídající průsečíku řešeními oou nerovnic. Podoně je to v případech, kdy rovnice x + px + q = 0 má jeden dvojnásoný kořen neo nemá žádný kořen. Kvadratické funkce... Strana 5