= b a. V případě, že funkce f(x) je v intervalu <a,b> záporná, je integrál rovněž záporný.

Transkript

1 5. přednášk APLIKAE URČITÉHO INTERÁLU Pomocí integálního počtu je možné vpočítt osh ovinných útvů ojem otčních těles délk ovinných křivek. Velké upltnění má učitý integál tké ve zice chemii. eometické plikce. Osh ovinného útvu Pokud se jedná o ovinný útv omezený osou přímkmi gem spojité nezáponé unkce pk je jeho osh dán učitým integálem jk lo uvedeno u geometické intepetce učitého integálu: V přípdě že unkce je v intevlu <> záponá je integál ovněž záponý. Vzhledem k tomu že osh kždého ozce je vžd nezáponé číslo použijeme po liovolnou unkci ve výpočtu oshu její solutní hodnotu: d - Jestliže unkce nývá v intevlu <> jk kldných tk i záponých hodnot potom tento intevl ozdělíme n dílčí intevl ve kteých unkce nývá pouze nekldných hodnot esp. nezáponých hodnot vpočteme osh podle předcházejících úvh. Příkld: Vpočtěte osh útvu kteý je ohničen křivkou - 4 osou přímkmi -3 4.

2 Pokud je ovinný útv ohničený dvěm unkcemi křivkmi g přičemž pltí ³ g přímkmi je jeho osh učen: g - V přípdě že je ovinný útv ohničený pouze dvěmi unkcemi musíme pvní učit -ové souřdnice půsečíků křivek řešíme ovnici g. Příkld: Vpočtěte osh útvu kteý je ohničen křivkmi 3-. Je-li g unkce učen pmetickými ovnicemi j t Î je spojitá nezáponá n unkce j má n intevlu kde unkce deivci ůznou od nul j je integovtelná n pltí po osh útvu ohničeného gem unkce n intevlu : j dt.. Délk ovinné křivk Vět: Je-li unkce deinovná n má zde spojitou deivci pk po délku l jejího gu pltí: [ ] Nní se podíváme n oecnější přípd kd křivk nemusí ýt gem unkce může se jednt o tjektoii nkeslenou odem spojitě se pohujícím v ovině. Tzn. zdáme křivku pomocí

3 pmetických ovnic. Z zikálního pohledu je délk křivk vlstně dhou kteou od uzí od okmžiku α do okmžiku β. Po délku křivk lze dokázt následující tvzení: j & & dt. - e e Příkld: Vpočtěte délku křivk po Î Ojem otčního těles Necháme-li ovinný útv otovt kolem os vznikne otční těleso jehož ojem můžeme vpočítt pomocí učitého integálu. Nechť otční těleso vznikne otcí křivk kolem os v intevlu pk po jeho ojem pltí: V p Poznámk: Odoný vzoec pltí je-li osou otce os. Pokud získáme těleso otcí útvu ohničeného křivkmi g n pk V p - g Je-li g unkce učen pmetickými ovnicemi j t Î pltí po ojem těles kteé vznikne otcí útvu kolem os : V p j dt. Příkld: Vpočtěte ojem těles kteé vznikne otcí útvu ohničeného osou křivkou - přímkou -. 3

4 4. Osh otční ploch Pomocí učitého integálu vpočítáme i osh pláště otčního těles: Po pmetick zdnou unkci pltí: p j dt. Fzikální plikce Hmotnost souřdnice těžiště ovinné křivk Předstvme si kus dátu kteý je v oecném přípdě nehomogenní. temtickým modelem je křivk. Předpokládejme že máme nezáponou unkci ρ kteá je deinovná ve všech odech křivk kždému odu přiřzuje délkovou hustotu v tomto odě.. Křivk je dán pmetickými ovnicemi j kde t Î Vět: Nechť j mjí spojitou deivci n intevlu je spojitá nezáponá. Pk křivk mjící délkovou hustotu má hmotnost Po souřdnice jejího těžiště pltí [ j ] [ ] dt. T é ù ê ú ë û kde j [ j ] [ ] dt [ j ] [ ] dt. Veličin nzýváme sttické moment křivk vzhledem k ose. 4

5 5 Poznámk: Je-li křivk gem unkce udává její délkovou hustotu v odě dostáváme z předchozího zjednodušenou vezi: Po souřdnice těžiště gu unkce pltí stejný vzoec ú û ù ê ë é T kde [ ] [ ] [ ]. d d d Příkld: Učete hmotnost souřdnice těžiště homogenní půlkužnice : K 0. 0 > ³