Matematika 2. Prof. RNDr. Jan Chvalina, DrSc. RNDr. Zdeněk Svoboda, CSc. RNDr. Michal Novák, Ph.D. ÚSTAV MATEMATIKY

Transkript

1 Matematika 2 Prof. RNDr. Jan Chvalina, DrSc. RNDr. Zdeněk Svoboda, CSc. RNDr. Michal Novák, Ph.D. ÚSTAV MATEMATIKY

2

3 Matematika 2 1 Obsah 1 Funkce více proměnných Definice a základní pojmy Bodové množiny Limita, spojitost Parciální derivace, derivace ve směru Diferenciál funkce Některé aplikace pro řešení rovnic Cvičení Obyčejné diferenciální rovnice Základní pojmy Lineární diferenciální rovnice Nalezení obecného řešení homogenní lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty Nalezení obecného řešení nehomogenní lineární diferenciální rovnice Systémy diferenciálních rovnic Poznámka o stabilitě Diferenční rovnice Základní pojmy Lineární diferenční rovnice s konstantními koeficienty Funkce komplexní proměnné Základní pojmy Limita, spojitost a derivace Elementární funkce komplexní proměnné Integrál funkce komplexní proměnné Řady v komplexním oboru a jejich využití při integrování Integrální transformace Matematický aparát pro signály Diracova zobecněná funkce δ(t), zobecněná derivace Periodické a harmonické funkce Fourierovy trigonometrické řady Fourierův integrál Fourierova transfomace Užití Fourierovy transformace Slovník Fourierovy transformace Laplaceova transformace Zpětná Laplaceova transformace Užití Laplaceovy transformace k řešení rovnic Slovník Laplaceovy transformace

4 2 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 5.4 Cvičení Z transformace Souvislost Z a Laplaceovy transformace Zpětná Z transformace Předmět k racionální funkci Řešení diferenčních a rekurentních rovnic Cvičení Signály Pojem signálu Zavedení pojmu a klasifikace signálu Signály se spojitým časem Periodické signály, harmonické signály a jejich spektra Aperiodické signály, spektrum signálu Diskretní signály Systémy Zavedení pojmu a klasifikace Matematický model systému se spojitým časem Řešení vstupně-výstupní rovnice Laplaceovou transformací Impulsní a frekvenční charakteristika Vazby mezi systémy sériové, paralelní spojení systémů, zpětná vazba Sériové spojení Paralelní spojení Zpětnovazební (antiparalelní) spojení Matematický model systému se spojitým časem Stabilita spojitých systémů Hodnocení stability systému podle vnějšího projevu Stabilita ve smyslu Ljapunova

5 Kapitola 1 Funkce více proměnných V této kapitole se stručně seznámíme se základními pojmy, které se týkají funkcí více proměnných a jsou nezbytné pro výklad dalších tematických celků probíraných v rámci předmětu AMA 2. To znamená, že i náplň kapitoly je tak poznamenána a neobsahuje proto i některé standardně probírané pasáže a řešení některých typických příkladů. Dalším omezením je zaměření se zejména při geometrických interpretacích na funkce pouze dvou proměnných. Toto je motivováno zachováním názornosti, neboť při tomto omezení budou naše úvahy probíhat v trojrozměrném Euklidovském prostoru. 1.1 Definice a základní pojmy Definice 1 Reálnou funkcí n reálných proměnných rozumíme zobrazení f množiny D(f) na množinu H(f), tj. f : D(f) H(f), kde D(f) R n nazýváme definičním oborem a H(f) R oborem hodnot funkce f. Funkci obvykle zapisujeme ve tvaru y = f(x 1, x 2,..., x n ) nebo zkráceně f(x 1,..., x n ). V případě funkce dvou proměnných resp. tří proměnných obvykle preferujeme zápis z = f(x, y) resp. u = f(x, y, z). Příklady takovýchto funkcí mohou být známé jednoduché vzorce. Objem V rotačního válce je funkcí poloměru R podstavy a výšky v, což zapíšeme V = V (R, v) = π R 2 v. Analogicky objem V komolého rotačního kužele je funkcí tří proměnných výšky v a poloměrů R, r jeho spodní a horní podstavy, což zapíšeme V = V (R, v, r) = π v 3 ( R 2 + Rr + r 2). Funkci dvou proměnných z = f(x, y) obvykle znázorňujeme pomocí grafu jako množinu bodů [x, y, f(x, y)] v Euklidovském prostoru dimenze 3 (E 3 ). Pro grafické znázornění využíváme často tzv. metodu rovinných řezů. Speciálním případem těchto křivek jsou vrstevnice, což jsou průsečnice grafu funkce s rovinami typu z = z 0. Interpretujeme-li zemský povrch lokálně jako funkci dvou proměnných, kdy dvojici čísel, chápaných jako zeměpisná 3

6 4 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně šířka a délka bodu zemského povrchu, přiřadíme jeho nadmořskou výšku, je takto zavedená křivka vrstevnicí na mapě. Pro funkce n proměnných definujeme hladinu funkce y = f(x 1, x 2,..., x n ) na úrovni c R jako množinu bodů {[x 1,..., x n ] D(f) f(x 1,..., x n ) = c}. V následujících obrazcích je pro výše uvedenou funkci objemu rotačního válce v závislosti na poloměru podstavy R [0, 2] a výšky tělesa v [0, 2] znázorněn graf a vrstevnice: Obr : :Graf a vrstevnice funkce objemu rotačního válce v závislosti na poloměru a výšce. Poznamenejme, že volba intervalů R [0, 2], v [0, 2] nezávisle proměnných byla dána rozhodnutím autorů. Pokud není součástí zadání funkce stanovení definičního oboru D(f), např. u zmíněného příkladu je vhodné požadovat D(f) = [0, ) [0, ) ve shodě s geometrickým významem proměnných R, v, má se za to, že jím je maximálně přípustná množina. Nalezení D(f) a vymezení oboru hodnot je H(f) a vrstevnic je typickým příkladem. Dalším důležitým pojmem je zobrazení z R n do R m Definice 2 Nechť je definnována m-tice f i funkcí n reálných proměnných y i = f i (x 1,..., x n ) pro i = 1,..., m s definičním oborem D(F ) R n. Tuto m- tici nazveme zobrazením z R n do R m a funkce f i (X) nazveme jeho složkami a zapisujeme je Y = (y 1,..., y m ) = F (X) = (f 1 (X),..., f m (X)) (1.1.1) Množinu všech bodů Y R m takových, že existuje bod X D(F ), pro který platí Y = F (X) nazveme oborem hodnot zobrazení F a zapisujeme jej H(F ) = {Y R m X D(F ) takové, že Y = F (X)} Je-li k = m, můžeme si takové zobrazení představit jako přemísťování bodů v k- rozměrném prostoru neboli jeho transformaci.

7 Matematika 2 5 Příklad 1 V matematice se často používá transformace do polárních souřadnic, která je definována vztahy: x = ρ cos ϕ y = ρ sin ϕ. Pro bod (x, y) R 2 roviny, veličina ρ = x 2 + y 2 značí vzdálenost bodu (x, y) od počátku - pólu a ϕ značí úhel - azimut, který svírá vektor s počátečním bodem v pólu a koncovým bodem (x, y) (polohový vektor), který můžeme určit ze vztahu tg ϕ = y/x. Příklad 2 V třídimenzionálním prostoru se používají souřadnice cylindrické - válcové x = ρ cos ϕ y = ρ sin ϕ z = z, které se takto nazývají, neboť kvádru v proměnných ρ, ϕ, z odpovídá válec nebo jeho část v proměnných x, y, z. sférické - kulové x = ρ cos ϕ sin ψ y = ρ sin ϕ sin ψ z = ρ cos ψ, které se takto nazývají, neboť kvádru v proměnných ρ, ϕ, ψ odpovídá koule nebo její výseč v proměnných x, y, z. Geometrický význam veličin je: ρ je vzdálenost bodu (x, y, z) od počátku ϕ je úhel, který svírá průmět polohového vektoru do půdorysny (rovina obsahující osy x, y) s kladným směrem osy x. ψ je úhel, který svírá polohový vektor s kladným směrem osy z Pro funkce resp. zobrazení, které mají neprázdný průnik definičních oborů, zavádíme analogicky jako u funkce jedné reálné proměnné algebraické operace, což jsou funkce definované na tomto průniku vztahy: (f ± g)(x) = f(x) ± g(x)), α f(x) = α f(x), α R (fg(x)) = f(x) g(x), f g f(x) (X) =, je-li g(x) 0, g(x) Při operaci skládání funkcí více proměnných resp. zobrazení je situace složitější. Situaci popíšeme pro zobrazení neboť funkce více proměnných je speciální případ. Uvažujme dvě zobrazení Y = F (Z), Z = G(x) takové, že platí H(G) D(f) potom zobrazení přiřazující každému X D(G) bod Y H(F ) předpisem Y = F (G(X)) nazveme složeným zobrazením. Poznamenejme, že bod Z musí ležet současně v oboru hodnot zobrazení G, které nazýváme vnitřním, a v definičním oboru zobrazení F, které nazýváme vnějším, to znamená, že počet složek vnitřního zobrazení musí být stejný jako dimenze definičního oboru vnějšího zobrazení.

8 6 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 1.2 Bodové množiny Při studiu lokálních vlastností funkcí více proměnných je vhodné zavést některé pojmy popisující vlastnosti podmnožin v R n. Základním pojmem jevzdálenost dvou bodů : v(x, Y ) = v([x 1,..., x n ], [y 1,..., y n ]) = (x 1 y 1 ) (x n y n ) 2. δ okolím bodu X 0 nazýváme množinu U(X 0, δ) = {X R n v(x, X 0 ) < δ}, případně redukovanýmδ-okolím bodu X 0 nazýváme množinu U (X 0, δ) = {X R n 0 < v(x, X 0 ) < δ}. Dále řekneme, že bod X 0 je vnitřním bodem množiny A, jestliže existuje δtakové,že U(X 0, δ) A, dále jej nazveme hromadným bodem množiny A, jestliže v každém redukovaném δ-okolím bodu X 0, existuje bod X 1 takový, že X 1 A, nazveme jej hraničním bodem množiny A, jestliže v každém δ-okolím bodu X 0, existují body X 1, X 2 takové, že X 1 A a současně X 2 / A a konečně X 0 nazveme bodem uzávěru A množiny A, jestliže pro každé δ-okolí bodu X 0 platí, že U(X 0, δ) A. Množinu A nazveme otevřenou množinou, jestliže každý její bod je vnitřním bodem množiny, nazveme uzavřenou, jestliže A A. Hranicí A množiny A nazveme množinu všech jejích hraničních bodů. 1.3 Limita, spojitost Při zavádění pojmů limity a spojitosti postupujeme analogicky jako u funkce jedné proměnné. Řekneme, že funkce f(x)má v bodě A, který je hromadným bodem D(f), limitu L, jestliže U(L) U (A) : ( f(u (A)) U(L) ), tj. ke každému ε > 0, existuje δ > 0 takové, že pro každý bod X U (A, δ) platí f(x) U(L, ε), což zapisujeme lim X A f(x) = L. Je vhodné si uvědomit, pro funkci více proměnných je limitou číslo a pro zobrazení z R n do R m je limitou m-tice čísel. jako u funkce jedné proměnné, lze z definice limity přímo dokázat mnohá tvrzení. Například f(x) má v bodě A nejvýše jednu limitu. Pro algebraické operace funkcí platí následující rovnosti, přičemž z existence výrazů vpravo plyne existence výrazů vlevo: lim (f(x) + g(x)) = lim f(x) + lim g(x), (1.3.1) X A X A X A f(x), α R (1.3.2) lim X A lim X A αf(x) = α lim X A (f(x) g(x)) = lim X A f(x) lim f(x) lim X A g(x) = X A lim g(x), X A f(x) lim X A g(x), (1.3.3) je-li lim g(x) 0 (1.3.4) X A Řekneme, že funkce f(x) resp. zobrazení je spojité v bodě A, pro který A D(f), jestliže má v tomto bodě limitu a platí lim f(x) = f(a). X A

9 Matematika 2 7 Poznamenejme, že vzhledem existenci limit funkcí, které jsou výsledky s algebraickými operacemi s funkcemi majících limitu, platí také, že výsledekem algebraické operace se spojitými funkcemi je spojitá funkce. Pro složenou funkci resp. zobrazení platí: Existuje-li kompozice F (G(X)), lim G(X) = B a navíc je zobrazení F spojité v bodě X A b, potom také lim F (G(X)) = F (B). X A Tato věta spolu s předcházející poznámkou umožňuje tvrdit: elementární funkce jsou spojité tam kde jsou definované, přičemž za elementární funkce považujeme mocninou funkci, funkce goniometrické, exponenciální, hyperbolické dále funkce k nim inverzní a funkce, které vznikly konečným počtem algebraických operací a operací skládání z těchto funkcí. Podobně řekneme, že zobrazení je elementární, jsou-li elementární všechny jeho složky. Tato skutečnost je podstatná při stanovení postupu při výpočtu limity, kdy nejdříve u školních příkladů zkusíme vypočíst hodnotu zobrazení v bodě, v němž zjišťujeme limitu, a existuje-li tato funkční hodnota potom existuje i limita a jsou si rovny. Příklad 3 Vypočtěte limitu zobrazení z R 3 do R 2 : ( ) x3 + y lim 2 z, x + y + z = (x,y,z) (2, 3,1) x + y ln z ( ) 23 + ( 3) 2 1, = (2, 0) 2 3 ln 1 Zobrazení má limitu mám limitu (je spojité), právě když mají limitu (jsou spojité) všechny složky tohoto zobrazení. Proto se v další zaměříme pouze na existenci limit funkce více proměnných. V úvahách o existenci limit funkce více proměnných je vhodné užívat speciálního pojmu limity funkce f(x) vzhledem k množině. Definice 3 Řekneme, že funkce f(x)má v bodě A, který je hromadným bodem D(f), limitu L vzhledem k množině M, pro níž M D(f) a navíc je bod A jejím hromadným bodem, jestliže U(b) U (A) : ( f(u (A) M) U(b) ), tj. ke každému ε > 0, existuje δ > 0 tak, že pro každý bod X U (A, δ) M platí f(x) U(L, ε), což zapisujeme lim f(x) = L. X A X M Z existence lim X A f(x) = L, plyne pro každou podmnožinu M D(f), jejímž hromadným bodem je bod A také existence lim X A X M f(x) = lim X A f(x). Speciální volbou množiny M = {(x 1 (t),..., x n (t)) t I}, kde x i (t) jsou spojité funkce a existuje t 0 I tak, že platí A = (x 1 (t 0 ),..., x n (t 0 )]), je možné při výpočtu limity funkce

10 8 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně více proměnných vzhledem k množině M využít postupů výpočtu limit neurčitých výrazů pro funkci jedné proměnné. Platí: lim X A X M f(x) = lim t a f(x 1 (t),..., x n (t)). Tato skutečnost se s výhodou použije při dokazování neexistence limity. Viz. následující ukázka. Příklad 4 Vypočtěte limitu lim (x,y) (0,0) 2xy x 2 +y 2. Vyšetříme všechny limity vzhledem k přímkám pk procházejícím počátkem y = kx. Potom platí lim (x,y) (0,0) 2xy x 2 + y 2 = lim (x,y) [0,0] (x,y) pk 2xy x 2 + y 2 = lim x 0 xkx x 2 + k 2 x 2 = 2k 1 + k 2. Protože hodnota limity v bodě [0, 0] vzhledem k přímce pk závisí na volbě k, tedy je pro různá k odlišná, vyšetřovaná limita neexistuje. Viz. následující obrázek Obr : :Graf uvedené funkce s průsečniceni s rovinami y = kx. V uvedené ukázce je poměrně snadno ukázáno, že limita neexistuje. Pro opačný výsledek, že limita existuje, je třeba ukázat, že po všech křivkách má limita vzhledem k této křivce stejnou hodnotu. Ověřit tuto skutečnost pouze pro určitou třídu křivek (např. přímek) nestačí. Obecně při výpočtu limity je nutné vycházet z definice limity a pracovat s okolími. V případě funkce dvou proměnných je možné okolí bodu [x 0, y 0 ] vhodně popsat pomocí tzv. polárních souřadnic ve tvaru x = x 0 + ρ cos ϕ, y = y 0 + ρ sin ϕ,

11 Matematika 2 9 kdy bod [x 0, y 0 ] nazýváme pólem. Výhodou tohoto popisu je, že potom limitní přechod [x, y] [x 0, y 0 ] lze nahradit limitním přechodem ρ 0. Uvedený postup ilustruje následující ukázka. 1 cos Příklad 5 Vypočtěte limitu lim 2 (x 2 +y 2 ). (x,y) (0,0) (x 2 +y 2 ) 2 Protože v tomto případě funkční hodnota neexistuje (po dosazení je ve jmenovateli 0), použijeme transformaci do polárních souřadnic. Po nahrazení proměnných x, y má funkce tvar: 1 cos 2 (x 2 + y 2 ) (x 2 + y 2 ) 2 = 1 cos2 (ρ 2 ), ρ 4 proto výpočet uvedené limity nahradíme výpočtem limity funkce jedné proměnné a při výpočtu můžeme použít aparát funkce jedné proměnné, v tomto případě L Hospitalovo pravidlo. 1 cos lim 2 (x 2 +y 2 ) 1 cos = lim 2 (ρ 2 ) (x,y) (0,0) (x 2 +y 2 ) 2 ρ 0 ρ 4 sin(ρ = lim 2 ) lim cos(ρ 2 ) = 1 ρ 0 ρ 2 ρ 0 4ρ sin(ρ = lim 2 ) cos(ρ 2 ) ρ 0 4ρ 3 Poznamenejme, že v případě kdy výsledek závisí na ϕ limita neexistuje viz. ukázka 2.2. Dále je nutné uvědomit si, že limitní přechod pro ρ 0 musí obecně zohlednit i možnou závislost ϕ(ρ), viz ukázka 2.3. Analogicky lze postupovat i u limity funkce 3 proměnných s využitím sférických souřadnic Parciální derivace, derivace ve směru Pro funkce více proměnných se zavádí pojem parciální derivace, který využívá pojem derivace funkce jedné proměnné. Definice 4 Parciální derivací funkce y = f(x 1, x 2,..., x n ) v bodě A = (a 1,..., a n ) podle proměnné x i rozumíme derivací funkce jedné proměnné y(x) = f(a 1,.., a i 1, x, a i+1,..., a n ) v bodě a i. Tuto derivaci zapisujeme dvěma možnými způsoby: f x i (A) nebo f x i (A). Tedy všechny proměnné kromě proměnné x i zafixujeme,tj. nazíráme na ně při derivování jako na konstanty a derivujeme pouze podle proměnné x i. Pro grafické vyjádření pojmu parciální derivace se omezíme pouze na funkce dvou proměnných v bodě [x 0, y 0 ]. V tomto případě zafixování proměnné x, resp. y značí omezit se na rovinu x = x 0, resp. y = y 0. Potom ve shodě s geometrickým významem derivace funkce jedné proměnné je derivace f x(x 0, y 0 ) rovna směrnici tečny v bodě [x 0, y 0 ] k průsečnici funkce f(x, y) s rovinou x = x 0. Analogické úvahy platí i pro f y(x 0, y 0 ). Situace je znázorněna na následujícím obrázku Jestliže funkce y = f(x) má definovanou parciální derivaci podle proměnné x i v každém bodě množiny M,je funkce přiřazující každému bodu této množiny hodnotu této parciální derivace nazývána parciální derivací funkce y = f(x) podle proměnné x i, což

12 10 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Obr : :Graf uvedené funkce s průsečniceni s rovinami y = kx.

13 Matematika 2 11 zapisujeme f x i (X) nebo f x i (X). Jedná se o funkci n proměnných, pro niž jsou studovány další vlastnosti např. spojitost. Zobecněním pojmu parciální derivace je derivace ve směru vektoru s. Definice 5 Derivací funkce y = f(x) v bodě A = [a 1,..., a n ] ve směru s = (s 1,..., s n ) rozumíme derivaci funkce jedné proměnné což zapisujeme f s (A). y(t) = f(a 1 + ts 1,..., a n + ts n ) (s 1,..., s n ) pro t =, 0 Volíme-li vektor s = (0,.., 1,.., 0) tvořený nulami s výjimkou i-té pozice (kde je 1), derivace funkce y = f(x) v bodě A ve směru s = (0,.., 1,.., 0) je rovna parciální derivaci funkce y = f(x) v bodě A podle proměnné x i. Abychom uvedli i souvislost parciálních derivací s derivací ve směru, je vhodné zavést pojem gradientu funkce y = f(x). Definice 6 Jestliže má funkce y = f(x) parciální derivace v bodě A podle všech proměnných x i, řekneme, že funkce y = f(x) má v bodě A gradient grad f, který je roven vektoru parciálních derivací v tomto bodě podle jednotlivých proměnných: ( f grad f(a) = (A),..., f ) (A). x 1 x n Existuje-li nějaké okolí bodu A, v němž má funkce y = f(x) spojité parciální derivace podle všech proměnných x i, potom pro libovolný vektor s = (s 1,..., s n ) existuje derivace funkce y = f(x)ve směru s a platí: f s(a) = grad f(a) s s = f x 1 (A) s 1 s f x n (A) s n s, kde výraz grad f(a) s označuje skalární součin těchto vektorů. Poznamenejme, že pro vektor ss opačnou orientací dostáváme výraz s opačným znaménkem a hodnota směrové derivace f s (A) nezávisí na velikosti s vektoru s. Z vlastností skalárního součinu plyne fakt, že největší hodnoty nabývá f s (A) pro vektor grad f. Gradient funkce f je tedy směrem největšího růstu funkce f. Jak jsme již výše uvedli, lze parciální derivace chápat jako funkci více proměnných na množině M. Jestliže funkce f má na této množině parciální f derivaci x j (X), která má v bodě A Mparciální derivaci podle proměnné x i, nazveme tuto parciální derivaci parciální derivací druhého řádu funkce f podle x j, x i : ( ) f f x j x i (A) = 2 f f x j (a 1, a 2,..., a n ) = (a 1, a 2,..., a n ). x j x i x i Opakováním uvedeného postupu definujeme rekurentně i parciální derivace vyšších řádů. Pro parciální derivace vyšších řádů platí tzv. Schwarzova věta o záměně pořadí derivování. Nechť v nějakém okolí U(A)bodu Aexistují parciální derivace f x, f y a f xy je spojitá v bodě A. Potom existuje i smíšená parciální derivace f yxa platí: f yx = f xy.

14 12 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Závěrem uvedeme důležité diferenciální operátory. Pro jednoduchý zápis gradientu se používá symbolického vektoru nabla ( = x 1,..., x n ), který nejčastěji používáme pro dimenzi 3 proměnných tj. = ( ),,. Gradient x y z grad fzapisujeme potom jako součin symbolického vektoru ( ) = x 1,..., x n a skaláru ( ) f: gradf(a) = x 1,..., x n f(a).dalším důležitým operátorem Laplaceův operátor, který můžeme symbolicky vyjádřit: = 2 = , x 2 1 x 2 n který je nejčastěji používán pro dimenze 2,3 tj. = 2 = 2 2 z Diferenciál funkce x y 2 nebo = x 2 y 2 Diferenciál funkce jedné proměnné vnímáme jako nahrazení funkce tečnou a jeho existence je rovnocenná existenci derivace. Situace v případě funkcí více proměnných je komplikovanější, i když budeme postupovat formálně stejně. Nechť je funkce y = f(x) definována v nějakém okolí bodu A. Nechť pro každé H = (h 1,..., h n ) U(0) existují konstanty D 1,..., D n R a funkce τ(h), pro kterou platí lim H 0 τ(h) = 0 a okolí U(A) bodu A tak, že v něm platí: f(a + H) f(a) = n i=1 D i h i + τ(h) h h 2 n, kde A + H označuje bod, který má souřadnice ve tvaru součtu odpovídajících souřadnic bodů A a H. Potom řekneme, že funkce y = f(x 1, x 2,..., x n )je bodě A = [a 1,..., a n ] diferencovatelná nebo, že v tomto bodě má totální diferenciál. Platí, že diferencovatelnost funkce y = f(x) zaručuje spojitost této funkce a také existenci všech parciální derivací prvního řádu spolu se splněním rovnosti f x i (A) = D i pro i=1,...,n. Proto zavádíme pojem diferenciálu. Nechť je funkce y = f(x) diferencovatelná v bodě A. Potom totálním diferenciálem funkce f v bodě A s diferencemi h i nazýváme výraz df(a) = f x 1 (A)h f x n (A)h n. Výrazy f x i (A)h i, pro i = 1,..., n nazývámeparciálními diferenciály. Při geometrické interpretaci se opět omezíme pouze na funkci dvou proměnných. V tomto případě diferenciál funkce z = f(x,y) v bodě [x 0, y 0 ]obvykle zapisujeme ve zkrácené podobě dz = f x (x 0, y 0 )h f y (x 0, y 0 )h 2 = f x(x 0, y 0 )dx + f y(x 0, y 0 )dy.

15 Matematika 2 13 Vyjádříme-li diferenciály dx = x x 0, dy = y y 0, dz = z z 0 a dosadíme do výše uvedené rovnice vznikne nám pro proměnné x, y, z lineární rovnice, která popisuje tečnou rovinu k funkci z = f(x,y) v bodě [x 0, y 0 ]. Ukázka 2.4:Napište rovnici tečné roviny a normálové (kolmé k tečné rovině) přímky k funkci z = arctg y v bodě T = [1, 1,?]. x Nejdříve vypočteme třetí souřadnici tečného bodu arctg 1 = π. Tedy T = [1, 1, π ]. Dále vypočteme parciální derivace prvního řádu. arctg y x x = y x ( ) y 2 = y x 2 + y 2 x Nyní dosadíme do výše uvedeného vztahu: z π 4 = arctg y x y = 1 x 1 + ( y x ) 2 = x x 2 + y (x 1) (y 1) x y + 2z π 2 2 = 0. Normálový vektor tečné roviny n = (1, 1, 2)je směrovým vektorem normálové přímky což spolu se znalostí jednoho bodu normály (T) umožňuje napsat např. kanonickou rovnici normálové přímky x 1 = y = y π 4. 2 Kromě popisu tečné roviny můžeme využít totálního diferenciálu k symbolickému odvozování vzorců pro parciální derivování složených funkcí.uvažujme funkci f(u) = f(u 1,..., u m ) m proměnných jako vnější složku složeného zobrazení s m-ticí vnitřních složek (..., u i = u i (x 1,..., x n ),...) = U(X) funkcí n proměnných. Poté f(u(x)) = f(u 1,..., u m )(x 1,..., x n ) = f(u 1 (x 1,..., x n ),..., u m (x 1,..., x n )) označuje složenou funkci více proměnných. Při zavedení symbolického vyjádření parciální derivace = df dx i, které je analogické s funkcí jedné proměnné, dostáváme: f x i f(u(x)) x i = df(u) =... + f u j du j +.. dx i dx i =... + f u j du j dx i +... = m j=1 f u j u j x i. Podobně lze postupovat i u parciálních derivací vyšších řádů. Ukázka 2.5:Transformujte Laplaceův operátor z = 2 z = 2 z + 2 z do polárních x 2 y 2 souřadnic. Uvažujme neznámou funkci z=z(x,y) a polární souřadnice ve tvaru dvojice funkcí dvou proměnných x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ. Inverzní závislost proměnných x,y,ρ, ϕje popsána vztahy: ρ = x 2 + y 2, ϕ = arctg x. Začneme pomocným výpočtem, který je přímým použitím vzorce uvedeného výše y dostáváme: z x = z ρρ x + z ϕϕ x = z ρ x x2 + y + y 2 z ϕ x 2 + y 2 z y = z ρρ y + z ϕϕ y = z ρ y x2 + y + x 2 z ϕ x 2 + y. 2 Při výpočtu vyšší derivace postupujeme podle definice vyšší derivace:

16 14 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně ( 2 z x = 2 x z ρ z ρ z ρ x x 2 +y 2 x ) x x2 + y + y 2 z ϕ x 2 + y 2 y 2 + z ϕ x (x 2 + y 2 ) 3 + z z ρρ y x 2 + y 2 + z ϕ ϕρ x 2 = z ρ x y x 2 +y 2 x x x2 + y 2 + = z xy (x2 + y 2 ) + 3 z ρϕ x 2 + y 2 z ϕϕ ρρ x 2 ρϕ x 2 + y 2 + z y 2 2xy + z (x 2 + y 2 ) 3 xy (x2 + y 2 ) + 2 (x 2 + y 2 ) + 2xy 2 z ϕ (x 2 + y 2 ) 2 = ϕϕ z ρ y 2 (x 2 + y 2 ) 2 + y 2 + z (x 2xy 2 + y 2 ) 3 ϕ (x 2 + y 2 ) 2 Analogicky dostáváme i parciální derivaci: 2 z y = y 2 2 z ρρ x 2 + y + 2 z ρϕ 2xy + z (x 2 + y 2 ) 3 ϕϕ x 2 (x 2 + y 2 ) 2 + z ρ x 2 z (x 2xy 2 + y 2 ) 3 ϕ (x 2 + y 2 ) 2. Po dosazení do Laplaciánu a úpravě (ρ = x 2 + y 2 ) dostaneme: z xx + z yy = z ρρ + z ϕϕ 1 x 2 + y z ρ x2 + y = 2 z ρρ + 1 ρ 2 z ϕϕ + 1 ρ z ρ Dalším možným užitím diferenciálu je přibližný výpočet funkční hodnoty funkce více proměnných. 1.6 Některé aplikace pro řešení rovnic Uvažme jednoduchou rovnici x 2 = y 2. Řešení této rovnice můžeme popsat pomocí funkcí jedné proměnné, a to dvěma způsoby y = ±x nebo y = ± x. Uvážíme-li toto řešení pouze v okolí nějakého bodu, který je řešením dané rovnice je tato funkce lokálně určena jednoznačně. Toto platí s výjimkou jediného bodu (0, 0). Obecně platí: Nechť má funkce y = f(x 1, x 2,..., x n ) v okolí bodu A = [a 1,..., a n ], pro který platí f(a) = 0, spojité parciální derivace prvního řádu (je diferencovatelná je spojitá v tomto bodě). Jestliže f x i (A) 0potom existuje funkce x i = g(x 1,.., x i 1, x i+1,.., x n ) taková, že a i = g(a 1,.., a i 1, a i+1,.., a n )a graf této funkce je řešením dané rovnice, tj. f(x 1,.., x i 1, g(x 1,.., x i 1, x i+1,.., x n ), x i+1,.., x n ) = 0.

17 Matematika 2 15 Navíc má funkce x i = g(x 1,.., x i 1, x i+1,.., x n ) spojité parciální derivace prvního řádu v nějakém okolí bodu [a 1,.., a i 1, a i+1,.., a n ] (je spojitá) a platí g = x j f x j pro j = 1,..., i 1, i + 1,..., n. f x i Poznamenejme, že rovnice f(x, y) = x 2 + y 2 = 0 má jediný bod řešení, kdy v jeho okolí nelze řešení popsat jako graf funkce jedné proměnné, je jím [0, 0]. Platí tu f x(0, 0) = 0 = f y(0, 0). To potvrzuje z obrázku patrný fakt, že toto řešení nelze popsat jako y = g(x) nebo x = g(y). Obr : :Graf uvedené funkce s průsečniceni s rovinami y = kx. Nejjednodušším příkladem užití je případ jedné rovnice o dvou proměnných, který v následující kapitole je v některých případech výsledkem příkladu, kdy řešení diferenciální rovnice je dáno v tzv. implicitním tvaru, tj. je zadáno rovnicí. Geometrická inter-

18 16 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně pretace tohoto řešení je křivka ležící v rovině. Jestliže navíc je funkce f(x, y)levé strany rovnice f(x, y) = 0 má spojité parciální derivace až do řádu n má i funkce y(x)daná implicitně touto rovnicí má derivace až do řádu n. Tyto derivace můžeme určit z rovnic, které vzniknou postupným derivováním dané rovnice s tím, že její levou stranu chápeme jako složenou funkci f(x, y(x)). Geometrickou interpretací řešení rovnice f(x, y, z) = 0 je plocha v prostoru. Existujíli parciální derivace prvního řádu potom existence nenulového vektoru (f x, f y, f z )je dostatečnou podmínkou existence tečné roviny v bodě řešení této rovnice a vektor n = (f x, f y, f z )je normálovým vektorem tj. je kolmý k tečné rovině. Uvažme množinu řešení popsané dvěmi rovnicemi o třech neznámých f 1 (x, y, z) = 0, f 2 (x, y, z) = 0. Jestliže obě rovnice mají za řešení plochy, ke kterým existují tečné roviny popsané nenulovými normálovými vektory n 1, n 2, které jsou lineárně nezávislé, mají tyto plochy průsečnici, která je křivkou v prostoru a existuje je k ní tečna. Tečný vektor t k této křivce je kolmý k oběma normálovým vektorům n 1, n 2 a je možné jej určit jako vektorový součin t = n 1 n Cvičení Cvičení 1 Určete definiční obor funkce z = 1 ln( x + y ). x2 + y 2 1 Cvičení 2 Určete vrstevnici funkce z = x 2 + y 2 + 2x 2y + 2 procházející bodem X = [2, 5] a tuto načrtněte.vypočtěte gradient dané funkce v bodě a rozhodněte o jejich vzájemné relaci. Cvičení 3 Ukažte, že funkce z = ϕ(x 2 + y 2 ), kde ϕ je diferencovatelná funkce, vyhovuje rovnici y z x x z y = 0. Cvičení 4 Ukažte, že funkce zadaná implicitně rovnicí 4x 4 4x 2 + y 2 [1/ 2, 1] má v tomto bodě lokální maximum. Výsledky 1Definiční obor Df = {[x, y] x 2 + y 2 > 1, e x e, x e y e x } = 0 a bodem

19 Matematika Vrstevnice je dána rovnicí z(2, 5) = 5 = x 2 + y 2 + 2x 2y + 2 nebo li (x + 1) 2 + (y 1) 2 = 5 což je rovnice kružnice se středem S = [ 1, 1] o poloměru 5. Gradient grad f(2, 5) = (3/5, 4/5) je kolmý na vrstevnici. 3 Dosazením parciálních derivací z x = 2xϕ (x 2 + y 2 ), z y = 2yϕ (x 2 + y 2 ) ověříme platnost rovnice. 4 Pro funkci F (x, y) = 4x 4 4x 2 + y 2 platí vztahy F (2, 5) = 0, F y(2, 5) = 10 0, které zaručí existenci funkce dané implicitně. Formálním derivováním rovnice podle x, za předpokladu, že y je funkce proměnné x dostaneme rovnici 16x 3 8x + 2yy = 0, ze které vypočteme derivaci y 8x 16x3 =, tj. y (2, 5) = 0. 2y Opakovaným derivováním analogicky dostáváme rovnici 48x (y ) 2 + 2yy = 0 a tedy y = 8 48x2 2(y ) 2, tj. y (2, 5) = 8 2y 5.

20 18 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně

21 Kapitola 2 Obyčejné diferenciální rovnice 2.1 Základní pojmy Ze střední školy znáte pojem rovnice. Rovnicí jste rozuměli algebraickou rovnici, tj. rovnici, jejímiž koeficienty i řešením byla čísla, a o jiných typech rovnic jste nehovořili. Na komplexní popis fyzikálních jevů však pojem algebraické rovnice nestačí. Definice Obyčejnou diferenciální rovnicí nazýváme rovnici, v níž se vyskytuje neznámá funkce jedné proměnné, a to včetně svých derivací. Nejčastěji ji zapisujeme ve tvaru y (n) = f(x, y, y,..., y (n 1) ), (2.1.1) kde f(x, z 0, z 1,..., z n 1 ) je funkce n + 1 proměnných definovaná na otevřené množině Ω R n+1 a n N. 1 Řádem obyčejné diferenciální rovnice nazýváme nejvyšší řád derivace neznámé funkce, která se v dané rovnici vyskytuje. Příklad Příklady obyčejných diferenciálních rovnic různých řádů: 1. y + 2y = cos x je obyčejnou diferenciální rovnicí prvního řádu, 2. y + y 4 y + 3y = x je obyčejnou diferenciální rovnicí druhého řádu, 3. 3y (8) + sin xy + 5 ln xy y 10 y = 0 je obyčejnou diferenciální rovnicí osmého řádu. Pojem řešení diferenciální rovnice má na rozdíl od algebraických rovnic několik významů. Příklad Různé typy řešení diferenciální rovnice: Mějme dánu rovnici y = y. Je zřejmé, že funkcí, která se rovná své první derivaci, je funkce y = e x. Není však jediná, tutéž vlastnost má funkce y = 2e x, y = 3e x, resp. libovolná funkce y = ce x, kde c R. 1 Tento tvar zápisu nazýváme explicitní. Je-li rovnice ve tvaru F (x, y, y,... y (n) ) = 0, kde F (x, z 0, z 1,..., z n ) je funkce n + 2 proměnných definovaná na otevřené množině Ω R n+2 a n N, hovoříme o rovnici v implicitním tvaru. 19

22 20 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Definice Řešením obyčejné diferenciální rovnice řádu n na intervalu I nazýváme každou n krát diferencovatelnou funkci na intervalu I, která vyhovuje dané rovnici. Partikulárním řešením obyčejné diferenciální rovnice nazveme libovolné řešení dané rovnice. Obecným řešením obyčejné diferenciální rovnice nazveme pomocí různých konstant obecně zadaný předpis, z něhož lze vhodnou volbou konstant získat všechna partikulární řešení dané rovnice. 2 Příklad Ukázka praktického problému vedoucího na řešení diferenciální rovnice: Je dán elektrický RL obvod s cívkou o samoindukčnosti L, ohmickým odporem R a napětím E. Popište průběh proudu i v závislosti na čase t. Řešení: Podle prvního Kirhoffova zákona je algebraický součet všech elektromotorických sil v uzavřeném obvodu roven nule, tj. hledaná závislost je řešením obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu: i + R L i = E L Výsledná závislost (získaná postupem, který uvedeme v další kapitole) je i = ce R L t + E R, kde i je funkcí času t. Tato závislost představuje obecné řešení zadané diferenciální rovnice. V příkladě jsme získali obecné řešení zadané diferenciální rovnice, tedy popis obecné situace. Počáteční velikost proudu může být známá v čase t = 0 může být proud nulový nebo naopak mít nějakou nenulovou hodnotu. Příklad Pokračování příkladu 2.1.3: Popište průběh proudu v situaci příkladu 2.1.3, víte-li, že v čase t = 0 byl proud nulový. Řešení: Závislost získaná v příkladu je i = ce R L t + E, kde i je funkcí času t, podmínka R ze zadání říká, že máme najít funkci proudu i v situaci, kdy t = 0. Dosazením zjistíme, že v tom případě c = E, tj. hledaná závislost je: R i = E R (1 e R L t ) Tato závislost představuje partikulární řešení zadané diferenciální rovnice. V případě, že na funkci získanou jako obecné řešení nějaké obyčejné diferenciální rovnice klademe další dodatečné podmínky, pak se (za splnění určitých předpokladů, které uvedeme v následující kapitole) kombinace zadané diferenciální rovnice a těchto podmínek nazývá podle situace počáteční úloha, Cauchyho úloha nebo okrajová úloha. 3 Úloha Najděte řešení diferenciální rovnice (resp. počáteční úlohy, Cauchyho úlohy nebo okrajové úlohy) není obecně řešitelná. V teorii obyčejných diferenciálních rovnic se proto zavádí poměrně podrobná klasifikace typů diferenciálních rovnic. Postup hledání 2 Kromě pojmů obecné řešení a partikulární řešení diferenciální rovnice existuje ještě pojem singulární řešení diferenciální rovnice. 3 Místo slova úloha se často používá termín problém.

23 Matematika 2 21 řešení dané rovnice pak závisí na tom, jakého konkrétního typu daná rovnice je. Řešit přitom umíme jen rovnice některých typů, např. diferenciální rovnice se separovanými proměnnými (např. y + xy = 0), lineární diferenciální rovnice (např. 2y + cos xy = e 4x ), diferenciální rovnice typu y = f ( a 1 x+b 1 y+c 1 a 2 +b 2 +c 2 ), Riccatiovu diferenciální rovnici (např. y y 2 = x 2 +1), exaktní diferenciální rovnice (např. (x 3 +3xy 2 )dx+(y 3 +3x 2 y)dy = 0) a další. V případě, že je nalezení řešení nějaké počáteční (resp. Cauchyho nebo okrajové) úlohy obtížné nebo nemožné, můžeme přibližné řešení nalézt pomocí numerických metod. 4 Tímto postupem však nenalezneme funkci, která splňuje danou rovnici, ale její přibližné funkční hodnoty v určitých předem zadaných bodech. 2.2 Lineární diferenciální rovnice Velmi důležitým typem obyčejných diferenciálních rovnic jsou lineární diferenciální rovnice. 5 Definice Lineární diferenciální rovnicí n tého řádu nazýváme rovnici tvaru 6 y (n) + A n 1 (x)y (n 1) A 1 (x)y + A 0 (x)y = f(x), (2.2.1) kde A i (x), i = 0, 1,... n 1 a f(x) jsou funkce. Pokud je f(x) 0, nazýváme tuto rovnici homogenní, pokud je f(x) 0, nazýváme tuto rovnici nehomogenní. Definice Nechť je dána diferenciální rovnice ve tvaru (2.1.1) a dále (n + 1)-tice (x 0, y 0, y 1,..., y n 1) Ω R (n+1). Pak úloha najděte řešení rovnice (2.1.1) definované na nějakém intervalu I takovém, že x 0 I a y(x 0 ) = y 0, y (x 0 ) = y 1,..., y (n 1) (x 0 ) = y n 1, (2.2.2) se nazývá Cauchyho počáteční úloha. 7 Příklad Příklad zadání Cauchyho počáteční úlohy: Najděte řešení rovnice y + 2y + y = 2xe 2x, y(0) = 2, y (0) = 1, y (0) = 0. Poznamenejme, že řešením Cauchyho počáteční úlohy je partikulární řešení zadané diferenciální rovnice. Je ovšem otázkou, zda vůbec existuje, resp. pokud ano, zda je jednoznačné. 4 Budou náplní předmětu Matematika 3 ; budete využívat program Matlab. 5 Z příkladů a?? vyplývá, že se jedná o velmi úzkou skupinu obyčejných diferenciálních rovnic. 6 Samozřejmě není nutné, aby funkce u členu y (n) byla identicky rovna 1. Pokud není, získáme tvar (2.2.1) vydělením rovnice touto funkcí. 7 V Definici se odkazujeme obecně na obyčejnou diferenciální rovnici, z čehož je patrné, že pojem Cauchyho počáteční úloha se neomezuje jen na lineární diferenciální rovnice.

24 22 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Věta Nechť je dána lineární diferenciální rovnice (2.2.1), interval I a libovolná čísla x 0 I, y 0, y 1,..., y n 1 R. Jestliže jsou funkce A i (x), i = 0, 1,..., n 1, na intervalu I spojité, pak rovnice (2.2.1) má právě jedno řešení y(x) splňující podmínky y(x 0 ) = y 0, y (x 0 ) = y 1,..., y (n 1) (x 0 ) = y n 1. Toto řešení existuje na celém intervalu I. O obecném řešení lineární diferenciální rovnice platí následující tvrzení. Věta Nechť je dána nehomogenní lineární diferenciální rovnice (zkráceně NLDR ), tj. nechť ve vyjádření (2.2.1) je f(x) 0. Dále nechť je k zadané nehomogenní rovnici dána homogenní lineární diferenciální rovnice (zkráceně HLDR ), tj. nechť ve vyjádření (2.2.1) je f(x) 0. Označme y ohldr (x) její obecné řešení a y pnldr (x) jedno její partikulární řešení. Pak obecné řešení NLDR y ohldr (x) má tvar y onldr (x) = y ohldr (x) + y pnldr (x). (2.2.3) Nalezení obecného řešení homogenní lineární diferenciální rovnice může být problematické. Platí sice následující věta: Věta Nechť je dána homogenní lineární diferenciální rovnice, tj. nechť ve vyjádření (2.2.1) je f(x) 0. Množina všech řešení této rovnice tvoří vektorový prostor nad tělesem reálných čísel (vzhledem k operacím sčítání funkcí a násobení funkcí číslem). Proto, jsou-li y 1 (x) a y 2 (x) dvě řešení dané homogenní lineární diferenciální rovnice, pak také y 1 (x) + y 2 (x) a c 1 y 1 (x), kde c 1 R, jsou řešení zadané rovnice. Je-li dáno n lineárně nezávislých řešení nějaké homogenní lineární diferenciální rovnice řádu n označme je y 1 (x), y 2 (x),... y n (x) pak každé řešení této rovnice má tvar kde c 1, c 2,... c n R. y(x) = c 1 y 1 (x) + c 2 y 2 (x) c n y n (x), (2.2.4) Ovšem požadavek lineární nezávislosti jednotlivých řešení představuje problém. Proto se v následujícím omezíme pouze na jednodušší situaci, kdy koeficienty a i (x), i = 0, 1,..., n 1 ve vyjádření (2.2.1) jsou konstantní funkce, tj. ve skutečnosti se na jejich místě vyskytují reálná čísla a i R, i = 0, 1,..., n 1. Definice Lineární diferenciální rovnici tvaru y (n) + a n 1 y (n 1) a 1 y + a 0 y = f(x), (2.2.5) kde a i R, i = 0, 1,..., n 1, nazýváme lineární diferenciální rovnici s konstatními koeficienty. Příkladem lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty je např. rovnice z příkladu

25 Matematika Nalezení obecného řešení homogenní lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty Nalezení obecného řešení homogenní lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty je na první pohled relativně jednoduché. Definice Nechť je dána homogenní lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty, tj. rovnice tvaru y (n) + a n 1 y (n 1) a 1 y + a 0 y = 0 (2.2.6) kde a i R, i = 0, 1,..., n 1. Algebraickou rovnici λ n + a n 1 λ n a 1 λ + a 0 = 0 (2.2.7) nazýváme charakteristickou rovnicí diferenciální rovnice (2.2.6). Příklad Příklady charakteristických rovnic diferenciálních rovnic: Diferenciální rovnice Charakteristická rovnice y (5) + 3y 6y + 7y = 0 λ 5 + 3λ 3 6λ + 7 = 0 y + 5y = 0 λ = 0 y 10y + 12y = 0 λ 3 10λ = 0 Věta Mějme homogenní lineární diferenciální rovnici s konstantními koeficienty tvaru (2.2.6) a její charakteristickou rovnici (2.2.7). Pak platí: 1. Je-li λ R k násobný kořen charakteristické rovnice, k 1, pak funkce y 1 (x) = e λx, y 2 (x) = xe λx,... y k (x) = x k 1 e λx jsou řešením zadané diferenciální rovnice. 2. Je-li α ± βj C dvojice komplexně sdružených k násobných komplexních kořenů charakteristické rovnice, k 1, α, β R, β 0, pak funkce y 1 (x) = e αx cos βx, y 3 = xe αx cos βx,... y 2k 1 = x k 1 e αx cos βx y 2 (x) = e αx sin βx, y 4 = xe αx sin βx,... y 2k = x k 1 e αx sin βx jsou řešením zadané diferenciální rovnice. Příklad Řešení homogenní lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty: Pomocí věty najděte řešení rovnice y (7) 4y (6) + 14y (5) 20y (4) + 25y = 0.

26 24 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Řešení: Charakteristická rovnice zadané diferenciální rovnice je λ 7 4λ 6 +14λ 5 20λ λ 3 = 0. Je zřejmé, že jejím trojnásobným kořenem je λ 1,2,3 = 0. Zbývající kořeny určíme jako řešení rovnice λ 4 4λ 3 +14λ 2 20λ+25 = 0. Jedná se o rovnici 4. stupně, jejímž řešeními (lze je nalézt algebraicky, viz střední škola) je λ 4,5,6,7 = 1±2j. Proto podle věty získáváme následující řešení zadané diferenciální rovnice: y 1 (x) = 1, y 2 (x) = x, y 3 (x) = x 2, y 4 (x) = e x cos 2x, y 5 (x) = xe x cos 2x, y 6 (x) = e x sin 2x, y 7 (x) = xe x sin 2x. Z takto získaných řešení lze velice jednoduchým postupem získat obecné řešení zadané homogenní lineární diferenciální rovnici s konstantními koeficienty. Věta Lineární kombinace všech řešení homogenní lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty tvaru (2.2.6), získaných postupem uvedeným ve větě (2.2.4), představuje obecné řešení této rovnice. Lze ukázat, že množina všech řešení homogenní lineární diferenciální rovnice n-tého řádu s konstantními koeficienty tvoří vektorový prostor, jehož dimenze je n. Jako každý vektorový prostor má tedy i množina všech řešení homogenní lineární diferenciální rovnice n-tého řádu s konstantními koeficienty bázi. Lze ukázat, že touto bází jsou právě všechna řešení získaná podle návodu věty (2.2.4). Definice Bázi vektorového prostoru všech řešení homogenní lineární diferenciální rovnice n-tého řádu s konstantními koeficienty nazýváme fundamentální systém homogenní lineární diferenciální rovnice n-tého řádu s konstantními koeficienty. Poznámka Množina všech řešení homogenní lineární diferenciální rovnice n-tého řádu (tedy nikoliv pouze s konstantními koeficienty) také tvoří vektorový prostor. Má tedy také bázi. V definici není nutné se omezovat pouze na rovnice s konstantními koeficienty; pojem fundamentální systém je v literatuře běžně definován pro jakoukoliv homogenní lineární diferenciální rovnici. Problémem je jeho nalezení jednoduché je pouze pro rovnice s konstantními koeficienty. Příklad Obecné řešení homogenní diferenciální rovnice s konstantními koeficienty: Obecné řešení diferenciální rovnice z příkladu je y(x) = c 1 + c 2 x + c 3 x 2 + c 4 e x cos 2x + c 5 xe x cos 2x + c 6 e x sin 2x + c 7 xe x sin 2x, kde c i R, i = 1, 2,..., 7. Při hledání řešení charakteristické rovnice v příkladu je možné použít postup, který je vyučován i na mnoha středních školách. V žádném případě se však nejedná o postup jednoduchý. Právě v tom tkví problém při hledání obecného řešení homogenní lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty: zatímco řešení diferenciální rovnice druhého řádu je jednoduché řešíme kvadratickou rovnici, je řešení rovnic vyšších řádů komplikovanější. Mezi diferenciálními rovnicemi pátého a vyšších řádů již nutně existují rovnice, které řešitelné nejsou, protože algebraciké rovnice jsou obecně řešitelné pouze do čtvrtého stupně.

27 Matematika Nalezení obecného řešení nehomogenní lineární diferenciální rovnice K nalezení obecného řešení nehomogenní lineární diferenciální rovnice je možno použít větu Je však otázka, jak najít partikulární řešení zadané nehomogenní lineární diferenciální rovnice. Tomuto problému se můžeme vyhnout, pokud použijeme tzv. metodou variace konstant. Příklad Metoda variace konstant Najděte obecné řešení rovnice y + y 2y = e x. Řešení: Podle vět a je obecné řešení příslušné homogenní rovnice, tj. rovnice y + y 2y = 0, rovno y h = c 1 e 2x + c 2 e x. Lze ukázat, že tímto obecným řešením je dán i tvar obecného řešení nehomogenní lineární diferenciální rovnice. Místo konstant c 1, c 2 budeme uvažovat neznámé funkce c 1 (x), c 2 (x) hledané obecné řešení tedy bude tvaru Po zderivování dostaneme y o = c 1 (x)e 2x + c 2 (x)e x. y o = c 1(x)e 2x 2c 1 (x)e 2x + c 2(x)e x + c 2 (x)e x. Lze ukázat, že součet členů s prvními derivacemi neznámých funkcí c 1 (x), c 2 (x) (jsou podtrženy) bude roven nule. Proto jej roven nule položíme a zderivujeme y o. Dostaneme y o = 2c 1(x)e 2x + 4c 1 (x)e 2x + c 2(x)e x + c 2 (x)e x. Protože vycházíme z toho, že y o je řešení zadané rovnice, musí této rovnici vyhovovat. Proto dosadíme y o, y o a y o do zadané rovnice 2y + y y = 2e x. Po úpravě dostáváme 2c 1(x)e x + c 2(x)e x = e x, což je rovnice, v níž se vyskytují derivace hledaných (dvou) neznámých funkcí. Protože jsme však předpokládali, že c 1(x)e 2x + c 2(x)e x = 0, získáváme soustavu dvou rovnic, v níž se vyskytují první derivace dvou neznámých funkcí c 1(x)e 2x + c 2(x)e x = 0 2c 1(x)e 2x + c 2(x)e x = e x Jednoduchými úpravami zjistíme, že c 1(x) = 1 3 e3x a po integraci c 1 (x) = 1 9 e3x + k 1. Podobně c 2(x) = 1 3 a po integraci c 2(x) = 1 3 x+k 2. Po dosazení a úpravě je vidět, že hledané obecné řešení rovnice y +y 2y = e x je y o = k 1 e 2x +(k )ex xex, což po označení k 3 = k (které není na újmu obecnosti) dá y o = k 1 e 2x +k 3 e x xex. Snadno se lze přesvědčit, že toto řešení koresponduje s větou V průběhu řešení příkladu jsme využili několik myšlenek, které je třeba podrobně dokázat. Výsledek lze shrnout do následující věty (všimněte si předpokladu týkajícího se koeficientu u členu y (n) ).

28 26 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Věta Nechť je dána taková nehomogenní lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty tvaru y (n) + a n 1 y (n 1) a 1 y + a 0 y = f(x), pro niž platí, že obecné řešení příslušné homogenní rovnice je tvaru y h = c 1 y c n y n, kde c 1,..., c n jsou konstanty a y 1,..., y n jsou řešení získaná pomocí věty Pak obecné řešení zadané nehomogenní lineární rovnice je tvaru y o = c 1 (x)y c n (x)y n, kde c 1 (x),..., c n (x) jsou funkce, které jsou řešením soustavy rovnic c 1 (x)y c 1 (x)y n = 0 (2.2.8) c 1(x)y (i) c 1(x)y n (i) = 0 i = 1,..., n 2 (2.2.9) c 1(x)y (n 1) c 1(x)y n (n 1) = f(x). (2.2.10) Metoda variace konstant není jediný způsob, jak nalézt obecné řešení nehomogenní lineární rovnice. Lze použít např. metodou neurčitých koeficientů. Tato metoda je sice uživatelsky přívětivější, avšak je použitelná pouze pro rovnice, jejichž pravá strana, tj. f(x) ve vyjádření (2.2.1), je určitého speciálního tvaru. 8 Při řešení využíváme větu 2.2.2, protože jsme schopni (ve speciálních případech f(x)) odhadnout tvar hledaného partikulárního řešení. Příklad Řešení počáteční úlohy Známe obecné řešení y = c 1 e 2x +c 2 e x xex lineární diferenciální rovnice y +y 2y = e x. Určete konstanty c 1 a c 2, aby byly splněny počáteční podmínky y(0) = 1, y (0) = 2. Řešení: Má-li platit y(0) = 1, musí být c 1 e c 2 e e0 = 1. Má-li platit y (0) = 2, je třeba obecné řešení y nejprve zderivovat a poté dosadit příslušné hodnoty. Dostáváme 2c 1 e 2.0 c 2 e e e0 = 2. Hledané konstanty c 1, c 2 jsou řešením soustavy rovnic c 1 + c 2 = 1 2c 1 c 2 = 2 Řešení zadané počáteční úlohy je tedy y = 3e 2x + 4e x xex. Pokud hledáme řešení Cauchyho úlohy (tj. spolu s rovnicemi jsou zadány také počáteční podmínky), nemusíme obecně postupovat ve dvou krocích naznačených v příkladech a 2.2.6, ale můžeme postupovat i přímo. K výpočtu bychom např. mohli použít tzv. váhovou funkci, s níž se setkáte později. 8 Pro rovnici v příkladu by metodu neurčitých koeficientů bylo možné použít.

29 Matematika Systémy diferenciálních rovnic Ze střední školy znáte celou řadu úloh, které vedou na řešení soustavy lineárních (algebraických) rovnic. Podobně mnohé příklady z elektrotechnické praxe vedou na řešení nikoliv jedné ale více diferenciálních rovnic. Přitom mohou nebo nemusejí být známy počáteční podmínky. V této části se podobně jako v kapitole o jedné diferenciální rovnici omezíme pouze na některé jednoduché případy. Poznamenejme, že úvahy v této části se týkají soustav n diferenciálních rovnic o n neznámých, kde n 1 lze je tedy vztáhnout i na případ jedné rovnice. Definice Nechť je dáno n funkcí f 1 (x, y 1,... y n ), f 2 (x, y 1,... y n ),... f n (x, y 1,... y n ), které jsou definované na otevřené množině Ω R n+1. Systémem n diferenciálních rovnic prvního řádu o n neznámých funkcích y 1 (x), y 2 (x),... y n (x) nazýváme soustavu tvaru y 1 = f 1 (x, y 1,... y n ) y 2 = f 2 (x, y 1,... y n ) (2.3.1). y n = f n (x, y 1,... y n ). Řešením systému (2.3.1) nazýváme takovou n-tici funkcí (h 1 (x), h 2 (x),..., h n (x)) definovaných na otevřeném intervalu J, že každá funkce h i (x), i = 1,..., n má na J derivaci, pro každé x J je splněno (x, h 1 (x),..., h n (x)) Ω a platí h 1(x) = f 1 [x, h 1 (x),... h n (x)] h 2(x) = f 1 [x, h 1 (x),... h n (x)]. h n(x) = f n [x, h 1 (x),... h n (x)]. Nechť je dána (n + 1)-tice (x 0, c 1,..., c n ) Ω. Cauchyho počáteční úlohou pro systém (2.3.1) nazýváme úlohu najít řešení (y 1 (x),..., y n (x)) systému (2.3.1), které je definované na nějakém intervalu J obsahujícím x 0, takové, že y 1 (x 0 ) = c 1, y 2 (x 0 ) = c 2,... y n (x 0 ) = c n. (2.3.2) Výše uvedená označení jsou sice názorná avšak poněkud komplikovaná. Zavedeme proto jejich zkrácené verze. Označíme-li y = (y 1,..., y n ) T, y = (x, y 1..., y n ) a f = (f 1,..., f n ) T, můžeme místo zápisu (2.3.1) používat zkrácené označení y = f(x, y). (2.3.3) Podobně, jestliže c = (c 1, c 2,..., c n ), lze místo vyjádření podmínek (2.3.2) psát y(x 0 ) = c, (2.3.4)

30 28 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Definice Systém tvaru y 1 = a 11 (x)y 1 + a 12 (x)y a 1n (x)y n + b 1 (x) y 2 = a 21 (x)y 1 + a 22 (x)y a 2n (x)y n + b 2 (x) (2.3.5). y n = a n1 (x)y 1 + a n2 (x)y a nn (x)y n + b n (x) se nazývá lineární systém obyčejných diferenciálních rovnic prvního řádu. Jsou-li všechny funkce b i (x) 0, nazýváme systém homogenním; v opačném případě hovoříme o nehomogenním systému. Jsou-li všechny koeficienty a ij, i, j = 1,..., n konstantní funkce, hovoříme o lineárním systému s konstantními koeficienty. Lineární systém obyčejných diferenciálních rovnic prvního řádu můžeme maticově zapsat jako y = A(x)y + B(x), (2.3.6) kde prvky matice A jsou tvořeny koeficienty a ij, i, j = 1,..., n a matice B(x) je sloupcová matice obsahující koeficienty b i, i = 1,..., n. V případě lineárního systému s konstantními koeficienty můžeme psát y = Ay + B(x). (2.3.7) Podobně jako v případě jedné diferenciální rovnice musíme nejprve ukázat, kdy má systém diferenciálních rovnic (právě jedno) 9 řešení. V dalším textu a zadávaných příkladech budeme předpokládat, že předpoklady následující věty jsou splněny. Věta Nechť je dán lineární systém (2.3.6). Jestliže jsou maticové funkce A(x) a B(x) spojité na otevřeném intervalu I, pak pro každé x 0 I a c R n má počáteční úloha y = A(x)y + B(x), y(x 0 ) = c, právě jedno řešení, které je definováno na celém intervalu I. Při hledání obecného řešení jedné nehomogenní lineární diferenciální rovnice jsme postupovali ve dvou krocích: nejprve jsme našli obecné řešení příslušné homogenní rovnice a poté jsme ho sečetli s jedním partikulárním řešením zadané rovnice. Protože však nalezení obecného řešení homogenní lineární diferenciální rovnice obecného řádu je problematické, omezili jsme se pouze na hledání řešení lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty. Situace pro systémy diferenciálních rovnic je analogická. Pro lineární systémy lze analogicky definovat pojem fundamentální systém homogenního systému (analogie definice 2.2.5) a lze dokázat obdobné věty jako a Problémem je ovšem nalezení obecného řešení lineárního systému. V dalším textu se proto omezíme pouze na lineární systémy obyčejných diferenciálních rovnic prvního řádu s konstantními koeficienty, které mají velký význam v technické praxi. 9 Pojem právě jedno řešení bychom ve skutečnosti měli definovat. Podobně bychom měli rozlišovat pojmy řešení a úplné řešení a zavést pojem prodloužení řešení. Nečiníme tak z důvodu omezeného prostoru v tomto textu.

31 Matematika 2 29 Příklad Lineární systém obyčejných diferenciálních rovnic prvního řádu s konstantními koeficienty y 1 = 7y 1 + 9y 2 + 2y 3 y 2 = 2y 1 3y 2 + 4y 3 y 3 = 5y 1 + 6y 2 8y 3 Řešení zmiňovaných typů systémů diferenciálních rovnic lze hledat několika způsoby, z nichž každý má svá úskalí a omezení. Pro ilustraci ukážeme, jak lze při řešení systémů diferenciálních rovnic využít pojmů vlastní čísla a vlastní vektory matice, s nimiž se běžně pracuje v různých oblastech matematiky. 10 Budeme se přitom odvolávat na zkrácené označování y = Ay, jehož význam je vysvětlen za definicí Definice Nechť A je čtvercová matice řádu n a nechť E n značí jednotkovou matici řádu n. Determinant matice A λe n nazýváme charakteristický polynom matice A. Kořeny charakteristického polynomu matice A nazýváme vlastní čísla matice A. Vektory tvořící fundamentální systém řešení soustavy homogenních lineárních (algebraických) rovnic 11 y = (A λ i E n )x nazýváme vlastní vektory příslušné vlastnímu číslu λ i. 12 Věta Vlastní vektory příslušné navzájem různým vlastním číslům matice A jsou lineárně nezávislé. Věta Nechť je dán systém diferenciálních rovnic tvaru y = Ay, kde A je čtvercová matice řádu n. Dále nechť λ 1, λ 2,..., λ n jsou vlastní čísla matice A a z 1, z 2..., z n jsou k nim příslušné vlastní vektory. Za předpokladu, že tyto vektory jsou lineárně nezávislé, tvoří sloupce y 1 = z 1 e λ 1x, y 2 = z 2 e λ 2x,..., y n = z n e λnx fundamentální systém řešení systému y = Ay, tj. jejich lineární kombinace je obecným řešením tohoto systému. Příklad Hledání obecného řešení systému diferenciálních rovnic y = Ay pomocí vlastních čísel a vlastních vektorů matice A Nalezněte obecné řešení systému y 1 = y 2 + y 3 y 2 = y 1 + y 3 y 3 = y 1 + y 2 10 Tyto pojmy využijete např. u některých numerických metod. 11 Tento pojem byl definován v předmětu Matematika 1 ; jedná se o bázi podprostoru řešení homogenní soustavy lineárních rovnic. 12 Místo označení vlastní čísla, resp. vektory, se můžete setkat také s termínem charakteristická čísla, resp. vektory.

32 30 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Řešení: Maticově lze systém zapsat jako y = Ay, resp y = y Charakteristický polynom matice A je determinant λ 1 1 A λe 3 = 1 λ λ = λ3 + 3λ = 0. Kořeny charakteristického polynomu, a tedy vlastními čísly matice A, jsou čísla λ 1,2 = 1 a λ 3 = 2. Ve větě nevyžadujeme, aby vlastní čísla byla navzájem různá; můžeme proto určit příslušné vlastní vektory. Vlastní vektory příslušné vlastnímu číslu λ 1,2 = 1 najdeme jako fundamentální systém řešení lineárních algebraických rovnic, který lze maticově zapsat jako (A+E)z = o, kde z = (z 1, z 2, z 3 ) T a o = (0, 0, 0) T, tj. z 1 + z 2 + z 3 = 0 z 1 + z 2 + z 3 = 0 z 1 + z 2 + z 3 = 0 Obecným řešením této soustavy rovnic je z 1 = t s, z 2 = s, z 3 = t. Bází podprostoru řešení této soustavy homogenních rovnic, a tedy vlastními vektory příslušnými číslu λ 1,2 = 1 jsou vektory z 1 = (1, 1, 0) T a z 2 = (1, 0, 1) T. 13 Vlastní vektory příslušné vlastnímu číslu λ 3 = 2 získáme analogicky, nyní jako řešení soustavy rovnic 2z 1 + z 2 + z 3 = 0 z 1 2z 2 + z 3 = 0 z 1 + z 2 2z 3 = 0 Výpočtem zjistíme, že obecné řešení této soustavy je tvaru z 1 = t, z 2 = t, z 3 = t. Hledaný vlastní vektor je tedy z 3 = (1, 1, 1) T. Vektory z 1, z 2, z 3 jsou podle věty lineárně nezávislé (ověřte si sami!) a podle věty je tedy obecné řešení zadaného systému diferenciálních rovnic y = c 1 z 1 e x + c 2 z 1 e x + c 3 z 1 e 2x, tj. y 1 = c 1 e x + c 2 e x + c 3 e 2x y 2 = c 1 e x + c 3 e 2x y 3 = + c 2 e x + c 3 e 2x. 13 Označení (a, b, c) T značí transponovanou matici zde sloupcový vektor.

33 Matematika 2 31 Při podrobnějším studiu postupu řešení tohoto příkladu a věty jsou patrné problémy, které mohou nastat při tomto postupu řešení. Vlastní čísla předně mohou být komplexní, což bude komplikovat nalezení příslušných vlastních vektorů. Dalším omezením je fakt, že věta předpokládá, že počet lineárně nezávislých vlastních vektorů je stejný jako hodnost matice A. To ovšem obecně nemusí nastat. Pokud např. uvážíme systém y 1 = 17y 1 + 9y 2 y 2 = 25y 1 13y 2, bude mít matice A jedno vlastní číslo λ 1,2 = 2, kterému bude příslušný jediný vlastní vektor z = ( 3 5, 1)T. Větu tedy nemůžeme použít. Pokud budou všechna vlastní čísla matice A reálná různá, pak z věty naopak vyplývá, že žádné problémy při hledání obecného řešení systému y = Ay nenastanou. Podrobná diskuse těchto případů stejně jako uvádění dalších možností řešení systémů diferenciálních rovnic však přesahuje rámec tohoto textu. Více se o řešení systémů diferenciálních rovnic dozvíte v předmětu Vybrané partie z matematiky a v odborných předmětech. 2.4 Poznámka o stabilitě

34 32 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně

35 Kapitola 3 Diferenční rovnice 3.1 Základní pojmy Při hledání numerického řešení diferenciálních rovnic, při práci s funkcemi komplexní proměnné nebo v mnoha různých aplikacích, které nepracují s funkcemi ale s posloupnostmi, tj. při popisu diskrétních jevů, hraje důležitou roli tzv. diferenční počet. V této kapitole uvedeme základní pojmy z teorie diferenčních rovnic, které lze chápat jako jistou analogii rovnic diferenciálních, o nichž jsme mluvili v kapitole 2. Postup řešení těchto rovnic uvedeme v kapitole?? poté, co se seznámíme s integrálními transformacemi. Definice Nechť je funkce y = f(x) definována v bodech x 0, x 1,..., x n. Diferencí prvního řádu nebo také první diferencí funkce f(x) v bodě x k nazýváme přírustek f(x k ) = f(x k+1 ) f(x k ). Diferencí druhého řádu nebo také druhou diferencí funkce f(x) v bodě x k nazýváme výraz 2 f(x k ) = f(x k+1 ) f(x k ). Diferencí řádu n nebo také n tou diferencí funkce f(x) v bodě x k nazýváme výraz n f(x k ) = n 1 f(x k+1 ) n 1 f(x k ). Body x 0, x 1,..., x n přitom mohou být libovolné. Ve speciálním případě, kdy jsou všechny rozdíly x k = x k+1 x k stejně velké a rovnají se číslu h, platí, že x i+1 = x i + h = x 0 + (i + 1)h, i = 0, 1,..., k. Je-li speciálně h = 1, dostáváme, že x i+1 = x 0 + i + 1, tedy f(x k ) = f(x 0 + k + 1) f(x 0 + k). 1 V dalším textu budeme místo označování f(x+k) = y(x+k) používat stručnější zápis y x+k. 1 Volba h = 1 přitom není na újmu obecnosti, protože je-li h 1, položíme x = ht a dostáváme x k = x 0 + hk = t 0 h + hk = h(t 0 + k), tedy je f(x k ) = f(h(t 0 + k)) = ϕ(t 0 + k). 33

36 34 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Definice Diferenční rovnicí nazýváme rovnici, v níž se kromě neznámé funkce vyskytuje také její diference. Nejčastěji ji zapisujeme ve tvaru y x+n = F (x, y x, y x+1,..., y x+n 1 ) = 0. (3.1.1) Řádem diferenční rovnice (3.1.1), která obsahuje členy y x a y x+n, nazýváme číslo r = n. Obsahuje-li však rovnice (3.1.1) členy y x+n a y x+k, ale neobsahuje členy y x, y x+1,..., y x+k 1, nazýváme jejím řádem číslo r = n k. Ve vyjádření se vyskytují členy y x+k, kde k = 0, 1,..., n, avšak diference funkce y = f(x) byla definována pomocí výrazů i f(x k ), kde i = 0, 1,... n. Věta Nechť funkce y x = f(x) je definována v bodech x, x + 1,..., x + k,..., x + n. Pro její diferenci řádu n platí n y x = ( ) n y x+n 0 ( ) n y x+n ( 1 n ) 1 ( ) n y x = n n ( ) n ( 1) k y x+n k. k Při porovnání pojmů řád obyčejné diferenciální rovnice a řád diferenční rovnice je vidět podstatný rozdíl. Řádem obyčejné diferenciální rovnice se rozumí nejvyšší řád derivace neznámé funkce, která se v rovnici vyskytuje, avšak řád diferenční rovnice není definován jako nejvyšší řád diference neznámé funkce. 2 Příklad Určení řádu diferenční rovnice Určete řád diferenční rovnice 3 y x + 2 y x = 0. Řešení: Použitím věty převedeme rovnici do tvaru k=0 y x+3 3 y x y x+1 y x + y x+2 2y x+1 + y x = 0 y x+3 2y x+2 + y x+1 = 0, z něhož je ihned vidět, že řád zadané rovnice je r = 3 1 = 2. Podobně jako u diferenciálních rovnic, má i u diferenčních rovnic pojem řešení několik významů. Definice Řešením diferenční rovnice nazýváme každou funkci, která vyhovuje dané rovnici. Obecným řešením diferenční rovnice řádu n nazýváme takové její řešení, které obsahuje n takových libovolných konstant, že každé řešení zadané rovnice se z něho dostane vhodnou volbou těchto konstant. Partikulárním řešením diferenční rovnice nazýváme takové její řešení, které dostaneme z obecného řešení dosazením určitých čísel za jednotlivé konstanty. 2 Důvodem je fakt, že takto definovaný řád by se vhodnými substitucemi argumentu mohl měnit.

37 Matematika 2 35 Poznámka Všimněme si jednoho podstatného faktu: řešením diferenciální rovnice je funkce, která musí být definována pouze v určitých bodech viz definice (3.1.1) a (3.1.2). Nemusí se tedy vůbec jednat o funkci, jejímž definičním oborem je množina (všech) reálných čísel, ale např. o funkci jejímž definičním oborem je množina (všech) přirozených čísel. V diferenčních rovnicích tedy můžeme mj. pracovat s posloupnostmi. Při studiu diferenciálních rovnic jsme ukázali, že jsou-li vhodným způsobem zadány k rovnici nějaké další dodatečné podmínky, získáme místo obecného řešení diferenciální rovnice jedno konkrétní partikulární řešení dané rovnice. Podobná situace nastává i při řešení diferenčních rovnic. Definice Mějme dánu diferenční rovnici řádu k. Podmínky tvaru y(x 0 ) = f 0, y(x 0 + 1) = f 1,..., y(x 0 + n 1) = f n 1, (3.1.2) kde f i C, i = 0, 1,..., n 1, nazýváme počátečními podmínkami diferenční rovnice řádu n. Příklad Příklad zadání počátečních podmínek diferenční rovnice Najděte řešení diferenční rovnice 3y x+2 + 2y x+1 y x = x za počátečních podmínek y(0) = 0, y(1) = Lineární diferenční rovnice s konstantními koeficienty Typů diferenčních rovnic existuje celá řada podobně jako u diferenciálních rovnic se bude zabývat pouze jedním z jednodušších typů. Definice Lineární diferenční rovnicí řádu n nazýváme rovnici tvaru y x+n + A 1 y x+n A n yx = B(x), (3.2.1) kde A i, i = 0, 1,..., n jsou funkcemi argumentu x, přičemž A n 0. Jestliže B(x) 0, nazýváme tuto rovnici zkrácenou, je-li B(x) 0 nazýváme tuto rovnici nezkrácenou. U diferenciálních rovnic jsme definovali lineární rovnici také. Ukázalo se, že v případě, že funkce A i, i = 0, 1,..., n 1, vyskytující se ve vyjádření (2.2.1) jsou konstantní, je řešení takových rovnic mnohem jednodušší. Analogická situace nastává i u diferenčních rovnic; v dalším textu se proto budeme zabývat jen speciálním typem lineárních diferenčních rovnic. Definice Jsou-li všechny funkce A i (x), i = 0, 1,..., n ve vyjádření (3.2.1) konstantní, přičemž A n 0, nazýváme lineární diferenční rovnici (3.2.1) lineární diferenční rovnicí s konstantními koeficienty a píšeme ji ve tvaru y x+n + a 1 y x+n a n yx = B(x), (3.2.2)

38 36 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Vidíme, že zkrácená lineární diferenční rovnice s konstantními koeficienty je jistou analogií homogenní lineární diferenciální rovnice s konstantními koefieinty. To bude platit i pro její řešení, které budeme hledat podobným způsobem. Definice Nechť je dána zkrácená lineární diferenční rovnice řádu n ve tvaru a 0 y x+n + a 1 y x+n a n yx = 0, (3.2.3) kde a i, i = 0, 1,..., n jsou konstanty takové, že a 0 0 a a n 0. 3 Algebraickou rovnici nazýváme její charakteristickou rovnicí. a 0 r n + a 1 r n a n = 0 (3.2.4) Věta Mějme dánu zkrácenou lineární diferenční rovnici s konstantními koeficienty tvaru (3.2.3) a její charakteristickou rovnici (3.2.4). Pak platí: 1. Je-li r R k násobný kořen charakteristické rovnice, k 1, pak funkce y 1 (x) = r x, y 2 (x) = xr x,... y k (x) = x k 1 r x jsou řešením zadané diferenční rovnice. 2. Je-li r 1,2 dvojice komplexních k násobných, k 1, kořenů charakteristické rovnice vyjádřených v goniometrickém tvaru jako r 1,2 = ρ(cos ϕ ± sin ϕ), pak y 1 (x) = ρ x cos (ϕx), y 3 (x) = xρ x cos (ϕx),... y 2k 1 (x) = x k 1 ρ x cos (ϕx) y 2 (x) = ρ x sin (ϕx), y 4 (x) = xρ x sin (ϕx),... y 2k (x) = x k 1 ρ x sin (ϕx) jsou řešením zadané diferenční rovnice. Poznámka Pokud považujeme x za spojitý argument viz poznámka 3.1.1, převádíme na goniometrický tvar také záporné reálné kořeny charakteristické rovnice. Věta Lineární kombinace všech řešení zkrácené lineární diferenční rovnice s konstantními koeficienty tvaru (3.2.3), získaných postupem uvedeným ve větě (3.2.1), představuje obecné řešení této rovnice. Příklad Řešení zkrácené lineární diferenční rovnice s konstantními koeficienty Nalezněte obecné řešení diferenční rovnice y x+2 + 6y x+1 + 9y x = 0. Řešení: Nejprve sestavíme charakteristickou rovnici. Podle vyjádření (3.2.4) dostáváme r 2 + 6r + 9 = 0. Tato rovnice má jeden dvojnásobný kořen r 1,2 = 3. Proto podle věty jsou řešením zadané rovnice funkce y 1 (x) = ( 3) x a y 2 (x) = x( 3) x. Obecným řešením zadané diferenční rovnice je podle věty funkce y(x) = c 1 ( 3) x + c 2 x( 3) x. Pokud uvažujeme spojitý argument x, převedeme podle poznámky číslo 3 na goniometrický tvar. Řešením tedy bude funkce y(x) = (c 1 + c 2 x)3 x [cos (πx) + sin (πx)]. Jinými diferenčními rovnicemi se nebudeme zabývat. V kapitole?? si ukážeme jeden způsob řešení diferenčních rovnic, jejichž argument není spojitý ale diskrétní. Tímto způsobem budeme řešit lineární diferenční rovnice s konstantními koeficienty, a to jak zkrácené tak nezkrácené. 3 Všimněte si rozdílných požadavků na koeficienty a i v tomto vyjádření a ve vyjádření Rozdíl je ve skutečnosti pouze formální, protože ve vyjádření je koeficient u členu y x+n roven jedné.

39 Kapitola 4 Funkce komplexní proměnné 4.1 Základní pojmy V této kapitole rozšíříte své znalosti o funkcích. Na střední škole se automaticky předpokládaly reálné funkce reálných proměnných, které měly z didaktického hlediska tu výhodu, že bylo možné jednoduše sestrojit jejich grafy. V prvním ročníku jste si rozšířili znalosti o vlastnostech funkcí do té míry, že nyní umíte ze znalosti funkčního předpisu sami sestrojit graf dané funkce. V aplikacích a technické praxi však reálné funkce reálné proměnné nepostačují. Musíme proto rozšířit pojem funkce do komplexního oboru. Definice Proměnná z, která může nabývat libovolných komplexních hodnot, se nazývá komplexní proměnná. Komplexní číslo z přitom obvykle vyjadřujeme v algebraickém tvaru 1 z = x + jy pro libovolná x, y R. Je-li dále ke každému komplexnímu číslu z G C přiřazeno nějakým předpisem f alespoň jedno komplexní číslo w = u + jv, kde u, v R, řekneme, že na množině G je definována komplexní funkce komplexní proměnné z, a píšeme w = f(z) = u(x, y) + jv(x, y). Kvůli stručnosti tuto funkci také nazýváme komplexní funkce f(z) nebo jen funkce f(z). Množinu G nazýváme definiční obor funkce f(z). Funkci u(x, y) nazýváme reálná část funkce f(z) a značíme ji Re w nebo Re f(z), funkci v(x, y) nazýváme imaginární část funkce f(z) a značíme ji Im w nebo Im f(z). 2 V dalším textu si ukážeme, že na komplexní funkci f(z) se můžeme při mnoha příležitostech dívat jako na dvojici reálných funkcí dvou proměnných u(x, y) a v(x, y). Z toho vyplývá nutnost umět najít reálnou a imaginární složku dané funkce. Z důvodu stručnosti budeme v dalším místo označování u(x, y) a v(x, y) často používat zkrácené označování u a v. 1 V matematice bývá zvykem označovat komplexní jednotku písmenem i; v technické praxi se často používá označování písmenem j. 2 Jestliže je G R, řekneme, že na množině G je definována komplexní funkce reálné proměnné z. Podobně můžeme definovat reálnou funkci komplexní proměnné. 37

40 38 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Příklad Určení reálné a imaginární části funkce f(z) Je dána komplexní funkce w = z 2 + jz. Najděte její reálnou a imaginární část. Řešení: Komplexní číslo z v předpisu w = z 2 + jz uvažujeme podle definice v algebraickém tvaru. Je proto w = z 2 + jz = (x + jy) 2 + j(x + jy) = x 2 + 2jxy + j 2 y 2 + jx + j 2 y = = x 2 + 2jxy y 2 + jx y = x 2 y 2 y + j(2xy + x) Reálná část hledané funkce je proto u = Re w = x 2 y 2 y a imaginární část je v = Im w = 2xy + x. Zbývá otázka definičního oboru zadané funkce v zadání totiž není uveden. Protože však funkce u i v jsou zřejmě definovány pro libovolná x, y R, může být definičním oborem zadané funkce celá množina C, resp. libovolná její podmnožina. Funkce f(z) v definici přiřazuje každému číslu z definičního oboru alespoň jedno komplexní číslo. To je rozdíl oproti definici reálné funkce reálné proměnné definované v předmětu Matematika 1, která každému číslu z definičního oboru přiřazovala právě jednu hodnotu. Má proto smysl následující rozlišení. Definice Jestliže funkce f : G C, kde G C přiřazuje každému číslu z G právě jedno číslo w C, říkáme, že funkce f(z) je jednoznačná. Jestliže funkce f(z) není jednoznačná, říkáme, že je mnohoznačná. V dalším textu uvidíme, že komplexní funkce mají některé neočekávané vlastnosti např. bude vidět, že připustíme-li za definiční obor funkce w = ln z nějakou podmnožinu množiny komplexních čísel, získáme mnohoznačnou funkci. 4.2 Limita, spojitost a derivace V tomto odstavci si ukážeme, jak lze na komplexní funkce přenést některé pojmy, s nimiž jste se seznámili v předmětu Matematika 1 : limita, spojitost a derivace. Všimněte si, že ve všech případech budou příslušné pojmy zobecněním pojmů známých z předmětu Matematika 1. Definice Nechť z 0 je hromadným bodem množiny G C a nechť f(z) je jednoznačná funkce definovaná na definičním oboru G. Dále nechť U(z 0 ) je okolí bodu z 0. Řekneme, že bod z = x + jy, patřící do okolí U(z 0 ), se se blíží k bodu z 0 a píšeme z z 0, jestliže [x, y] [x 0, y 0 ]. Jestliže se pro z z 0 hodnoty funkce f(z) blíží k hodnotě w 0, řekneme, že funkce f(z) má v bodě z 0 limitu w 0, a píšeme lim f(z) = w 0. z z0 Definice Nechť w = f(z) je komplexní funkce, jejímž definičním oborem je množina G, a dále buď z 0 G. Jestliže existuje limita lim z z0 f(z) a platí, že lim f(z) = f(z 0 ), z z 0 řekneme, že funkce w = f(z) je spojitá v bodě z 0.

41 Matematika 2 39 O spojitosti funkce f(z) v bodě lze rozhodnout podle chování její reálné a imaginární části. Věta Funkce w = f(z) = u(x, y) + jv(x, y) je spojitá v bodě z 0 = x 0 + jy 0 právě tehdy, když její složky u(x, y) a v(x, y) jsou spojité v bodě [x 0, y 0 ]. Pojem derivace funkce komplexní proměnné se opět zavádí podobně jako v reálném oboru. Musíme ovšem mít na paměti, že celá řada komplexních funkcí např. funkce w = Re z + Im z nemá v reálném oboru analogii, nebo má jiné vlastnosti viz např. již zmiňovaná mnohoznačnost funkce w = ln z. Jak potom vypadá derivace takových funkcí? Definice Nechť z 0 je vnitřní bod množiny G C, na němž je definována jednoznačná funkce f(z). Derivací funkce f(z) v bodě z 0 nazveme limitu f(z) f(z 0 ) lim. (4.2.1) z z 0 z z 0 Derivaci funkce f(z) v bodě z 0 značíme f (z 0 ). Existuje-li derivace f (z) v každém okolí U(z 0 ), pak se funkce nazývá holomorfní 3 v bodě f(z 0 ). Existuje-li derivace f (z) v každém bodě definičního oboru G, pak řekneme, že funkce f(z) je holomorfní na G. Pro praktické ověřování, zda funkce má nebo nemá derivaci, slouží následující věta: Věta Nechť je dán bod z 0 = x 0 + jy 0. Označme P = [x 0, y 0 ]. Dále nechť je dána funkce w = f(z) = u(x, y) + jv(x, y), taková, že parciální derivace u x(p 0 ), u y(p 0 ), v x(p 0 ) a v y(p 0 ) existují a jsou spojité. Pak derivace funkce f(z) v bodě z 0 existuje právě tehdy, když současně platí u x(p 0 ) = v y(p 0 ) u y(p 0 ) = v x(p 0 ). (4.2.2) Jestliže má funkce f(z) derivaci v bodě z 0, pak pro tuto derivaci platí f (z 0 ) = u x(p 0 ) + jv x(p 0 ) = v y(p 0 ) ju y(p 0 ). (4.2.3) Příklad Nalezení derivace komplexní funkce f(z) 1. Najděte derivaci funkce w = z, kde z značí číslo komplexně sdružené k číslu z = x + jy. Řešení: Nejprve je třeba nalézt reálnou a imaginární část zadané funkce. Zřejmě je w = z = x jy, tj. u = Re w = x a v = Im w = y. Jak reálná tak imaginární část jsou definovány pro libovolné reálné hodnoty, proto definičním oborem funkce w = z je množina všech komplexních čísel. Určíme příslušné parciální derivace požadované ve větě Dostáváme: u x = 1, u y = 0, v x = 0, v y = 1. Vidíme, že podmínky (4.2.2) nejsou splněny pro žádný bod z 0 = x 0 + jy 0, resp. P 0 = [x 0, y 0 ]. Derivace funkce w = z tedy neexistuje v žádném bodě definičního oboru. 3 Často se také používá označení analytická nebo regulární.

42 40 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 2. Najděte derivaci funkce w = z 2 + 2z. Řešení: Protože w = z 2 + 2z = (x + jy 2 ) + 2(x + jy) = x 2 + 2jxy y 2 + 2x + 2jy, máme u = Re w = x 2 + 2x y 2 a v = Im w = 2xy + 2y. Jak reálná tak imaginární část jsou definovány pro libovolné reálné hodnoty, proto definičním oborem funkce w = z 2 + 2z je množina všech komplexních čísel. Určíme příslušné parciální derivace požadované ve větě Dostáváme: u x = 2x + 2, u y = 2y, v x = 2y, v y = 2x + 2. Vidíme, že podmínky (4.2.2) jsou splněny pro libovolný bod z 0 = x 0 + jy 0, resp. P 0 = [x 0, y 0 ]. Pro derivaci funkce w = z 2 + 2z tedy v celém definičním oboru platí w = 2x j2y. Toto vyjádření lze upravit do tvaru w = 2(x + jy) + 2 = 2z + 2. Vidíme tedy, že derivace některých nikterak komplikovaných funkcí neexistují. Naopak pro jiné funkce platí, že jejich derivace v komplexním oboru je stejná, jako bychom se pohybovali v reálném oboru. Rovnost výsledků není náhodná, platí totiž, že pro derivování komplexních funkcí platí obdobná pravidla jako u příslušných funkcí reálné proměnné Elementární funkce komplexní proměnné Nyní si ukážeme několik elementárních funkcí komplexní proměnné a vzorce pro jejich vyjadřování. Definice Komplexním polynomem P komplexní funkce z nazýváme funkci tvaru P (z) = α 0 + α 1 z + α 2 z α n z n, (4.3.1) kde α i C, i = 0, 1,..., n. Číslo n nazveme stupeň komplexního polynomu P (z); píšeme st P (z). Komplexní racionální funkcí R nazýváme podíl dvou komplexních polynomů P (z), Q(z), takže R(z) = P (z) Q(z). (4.3.2) Rozepsáním je vidět, že komplexní polynom P (z) je spojitou funkcí pro všechna komplexní čísla z. Podobně je vidět, že komplexní racionální funkce R(z) je spojitá ve všech bodech svého definičního oboru, tj. ve všech bodech, kde je Q(z) 0. Definice Následující vyjádření uvažujeme pro libovolné z C. Komplexní exponenciální funkcí e z nazýváme funkci e z = 1 + z 1! + z2 2! +... = z n n! n=0 (4.3.3) 4 Hovoříme o tzv. zákonu permanence pravidel pro derivování funkcí komplexní proměnné. Protože derivování funkcí kompelxní proměnné je pouze na okraji našeho zájmu, nebudeme jej uvádět ve formě matematické věty.

43 Matematika 2 41 Komplexní funkcí kosinus nazýváme funkci cos z = 1 z2 2! + z4 4! z6 6! +... = ( 1) n z2n (2n)! n=0 (4.3.4) Komplexní funkcí sinus nazýváme funkci sin z = z 1! z3 3! + z5 5! +... = ( 1) n z 2n+1 (2n + 1)! n=0 (4.3.5) Pro výše uvedené funkce platí následující důležité vztahy: cos z = 1 2 (ejz + e jz ) (4.3.6) sin z = 1 2j (ejz e jz ) (4.3.7) Z těchto vztahů získáme mj. další možnost vyjádření komplexních čísel. Pokud je totiž porovnáme s goniometrickým tvarem komplexního čísla z = z (cos ϕ+j sin ϕ), dostáváme vyjádření z = z e jϕ. Toto vyjádření nazýváme exponenciální tvar komplexního čísla z. Pro hodnoty funkcí sin z a cos z samozřejmě neplatí, že nabývají hodnot pouze z intervalu 1, 1 (jako v reálném oboru) zejména proto, že v oboru komplexních čísel nemá vůbec smysl mluvit o intervalech. 5 Pomocí funkcí definovaných v definici můžeme definovat další funkce, které jsou známé již z reálného oboru. Definice Komplexní funkcí tangens nazýváme funkci Komplexní funkcí kotangens nazýváme funkci Komplexní funkcí hyperbolický sinus nazýváme funkci tgz = sin z, kde cos z 0. (4.3.8) cos z cotgz = cos z, kde sin z 0. (4.3.9) sin z Komplexní funkcí hyperbolický kosinus nazýváme funkci sinh z = 1 2 (ez e z ) (4.3.10) cosh z = 1 2 (ez + e z ) (4.3.11) 5 Zkuste si např. do vztahu pro cos z ve vzorci dosadit libovolné ryze imaginární číslo, tj. číslo tvaru z = kj, kde k R. Poté dosaďte libovolné komplexní číslo.

44 42 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně I když mají výše uvedené funkce stejné názvy jako tytéž funkce v reálném oboru, resp. i když jsou rozšířením známých reálných funkcí, neznamená to, že se do komplexního oboru beze zbytku přenášejí jejich vlastnosti známé z reálného oboru. Čemu se např. rovná hodnota e z+2kπj, kde k Z libovolné? e z+2kπj = e z.e 2kπj = e z [cos 2kπ + j sin 2kπ] = e z Vidíme tedy, že komplexní exponenciální funkce e z je periodická! Věta Komplexní exponenciální funkce e z, komplexní funkce hyperbolický sinus a kompexní funkce hyperbolický kosinus jsou periodické a mají nejmenší periodou 2πj. Komplexní funkce sinus a komplexní funkce kosinus jsou periodické a mají nejmenší periodu 2π. Z periodičnosti funkce e z vyplývá další důležitý poznatek. V reálném oboru je inverzní funkcí k funkci y = e x funkce y = ln x. Inverzní funkce k periodické funkci však nemůže být jednoznačná funkce (ve smyslu definice 4.1.2). Definování logaritmu v komplexním oboru je proto poněkud složitější. 6 Definice Inverzní funkci k exponenciální funkci e z nazýváme (přirozená) logaritmická funkce Ln z. Věta Jestliže z = z (cos ϕ+j sin ϕ), pak platí Lnz = ln z +j(ϕ+2kπ), kde k Z. Definice Pokud ve větě položíme k = 0, píšeme ln z místo Lnz a tuto funkci nazýváme hlavní větev logaritmické funkce, resp. hlavní větev logaritmu. Pokud nebude hrozit nedorozumění, budeme místo o hlavní větvi logaritmu mluvit přímo o logaritmu. Je však třeba mít na paměti výše uvedené rozlišování. Přirozená logaritmická funkce definovaná v definici totiž nemusí být na svém definičním oboru holomorfní (protože na C není jednoznačná). Hlavní větev logaritmu naopak holomorfní je. Podobná situace nastává při definování tzv. obecné mocniny α z s komplexním základem α. Podobně jako u logaritmu bychom mohli obecnou mocninu definovat nejprve jako funkci, o níž by se ukázalo, že je mnohoznačná, a pak se omezit pouze na její hlavní větev. Pro naše účely však postačuje následující definice. Definice Obecnou mocninou α z s komplexním základem α, kde α 0, α 1 nazýváme funkci definovanou vztahem kde ln α je hlavní větev logaritmu Lnα. α z = e z ln α, (4.3.12) 6 Následující definice není zcela korektní; pro účely tohoto textu však postačuje. Přesnou definici lze nalézt např. v [?].

45 Matematika 2 43 Příklad Určete hodnoty následujících výrazů (uvažujte pouze hlavní větve logaritmu). 1. ln ( 1) Řešení: Protože 1 = (cos π + j sin π) = e jπ, máme ln ( 1) = ln 1 + jπ = jπ. 2. j j Řešení: Podle (4.3.12) je j j = e j ln j. Protože j = cos π 2 +j sin π 2, je ln j = ln 1+j π 2, tedy po dosazení j j = e j2 π 2 = e π Integrál funkce komplexní proměnné Situace při integrování funkcí v komplexním oboru bude poněkud složitější než v reálném oboru. Prozatím jste rozlišovali integrály dvojího druhu neurčitý s jeho vztahem k pojmu primitivní funkce a určitý s jeho geometrickým významem jako obsah jisté plochy. Nyní začneme pracovat s integrálem, kde bude důležitou roli hrát křivka, po níž bude integrace probíhat. Definice Nechť jsou dány dvě reálné funkce f : α, β R a g : α, β R dané předpisy f = x(t) a g = y(t) pro každé t α, β. Nechť jsou f, g spojité a jejich derivace nechť jsou po částech spojité. Nechť je dále dána funkce Γ definovaná na intervalu α, β, tj. Γ : α, β C, taková, že Γ : z(t) = x(t) + jy(t) (4.4.1) pro každé t α, β. Říkáme, že funkce Γ je po částech hladká orientovaná křivka v komplexní rovině. Bod z(α) nazýváme jejím počátečním bodem; bod z(β) nazýváme jejím koncovým bodem. Vyjádření (4.4.1) nazýváme parametrickým vyjádřením nebo parametrickou rovnicí křivky Γ. Všimněte si, že v definici pracujeme s komplexní funkcí reálné proměnné, tj. t nabývá reálných hodnot. Jinak bychom nemohli mluvit o intervalu α, β. V definici je použit výraz orientovaná křivka. JAK MOC SE TOMU VĚNOVAT? Příklad Parametrická vyjádření některých často užívaných křivek 1. Úsečka s krajními body z 1, z 2 : z(t) = z 1 + (z 2 z 1 )t, t 0, 1. (4.4.2) 2. Kladně orientovaná kružnice se středem v bodě z 0 a poloměrem r: z(t) = z 0 + r.e jt, t 0, 2π. (4.4.3)

46 44 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Definice Nechť f(z) = u(x, y) + jv(x, y) je spojitá a jednoznačná funkce na po částech hladké orientované křivce Γ : z(t) = x(t) + jy(t), t α, β. Pak integrálem funkce f po křivce Γ nazýváme výraz f(z)dz = β f(z(t))z (t) dt. (4.4.4) Křivku Γ nazýváme integrační cesta. Γ α Pro takto definované integrály platí analogie vět známých z reálného oboru. Věta Buďte f(z), f 1 (z), f 2 (z) funkce komplexní proměnné, Γ, Γ 1, Γ 2 po částech hladké orientované křivky a k C. Pak platí: (f 1 (z) + f 2 (z))dz = f 1 (z)dz + f 2 (z)dz (4.4.5) Γ Γ Γ kf(z)dz = k f(z)dz (4.4.6) Γ Γ Jestliže Γ = Γ 1 Γ 2 a Γ 1 a Γ 2 mají jediný společný bod, pak f(z)dz = f(z)dz + f(z)dz, (4.4.7) Γ 1 Γ 2 Jestliže Γ 2 je opačně orientovaná křivka Γ 1, pak Γ Γ 1 f(z)dz = Γ 2 f(z)dz (4.4.8) Z definice vyplývá, že výpočet integrálu funkce komplexní proměnné po křivce Γ převedeme na výpočet určitého integrálu reálné funkce reálné proměnné. Ze vzorce vyplývá provázanost integrálu s integrační cestou. Je zřejmé, že integrál ze stejné funkce po různých křivkách je různý. Příklad Výpočet integrálu komplexní funkce po křivce Vypočtěte následující integrály f(z)dz, je-li dáno: Γ 1. f(z) = Re z, Γ je úsečka s počátečním bodem z 1 = 0 a koncovým bodem z 2 = 1 + j. Řešení: Podle vztahu je parametrické vyjádření Γ : z(t) = (1 + j)t, kde t 0, 1. Pro výpočet integrálu potřebujeme následující údaje: Γ : z(t) = (1 + j)t α, β : α = 0, β = 1 z (t)dt : dz = (1 + j)dt f(z(t)) : Re z = t Celkem tedy získáváme, že Γ Re zdz = 1 0 t(1 + j)dt = (1 + j)[ t2 2 ]1 0 = j.

47 Matematika f(z) = Re z, Γ je lomená čára spojující body z 1 = 0, z 2 = 1, z 3 = 1 + j. Řešení: Zadaná funkce je sice stejná jako v předcházejícím případě, ale integrační cesta je jiná (i když počáteční a koncový bod jsou stejné). Lomená čára zcela jistě splňuje předpoklady pro použití vztahu (4.4.7). Za Γ 1 budeme považovat úsečku spojující body z 1 = 0 a z 2 = 1 a za Γ 2 úsečku spojující body z 2 = 1 a z 3 = 1 + j. Pro výpočet integrálu potřebujeme následující údaje: Celkem tedy Γ 1 : z(t) = t Γ 2 : z(t) = 1 + jt α 1, β 1 : α 1 = 0, β 1 = 1 α 2, β 2 : α 2 = 0, β 2 = 1 z (t)dt : dz = dt z (t)dt : dz = jdt f(z(t)) : Re z = t f(z(t)) : Re z = Re zdz = tdt + jdt = [ t2 2 ]1 0 + j[t] 1 0 = j, Γ 0 0 přičemž pro druhý integrál jsme použili vzorec (4.4.6). Provázanost integrálu s integrační cestou je nepříjemná, protože vpodstatě znemožňuje mluvit o integrálu ve smyslu určitého integrálu známého z předmětu Matematika 1. Ve speciálních případech to však možné je, jak je patrné z níže uvedených příkladů a Definice Uzavřenou křivkou nazýváme takovou křivku Γ, jejíž počáteční bod splývá s jejím koncovým bodem. Rovinnou oblast 7 Ω nazýváme jednoduše souvislou oblastí, jestliže splňuje následující podmínku: zvolíme-li v Ω libovolnou uzavřenou křivku Γ, pak do Ω patří všechny části roviny ohraničené křivkou Γ. Definice Buď Ω rovinná oblast a f(z) funkce komplexní proměnné. Jestliže existuje funkce F (z) s vlastností, že F (z) = f(z) pro každé z Ω, pak píšeme, že f(z)dz = F (z) + C a říkáme, že F (z) je primitivní funkcí k funkci f(z). Věta Nechť funkce f(z) je spojitá a má primitivní funkci F (z) v jednoduše souvislé oblasti Ω. Nechť dále Γ je libovolná po částech hladká orientovaná křivka s počátečním bodem z 1 a koncovým bodem z 2 ležící Ω. Pak hodnota integrálu f(z)dz nezávisí na tvaru Γ křivky Γ ale pouze na jejích krajních bodech a platí f(z)dz = F (z 2 ) F (z 1 ). (4.4.9) 7 Pojem oblast byl definován v předmětu Matematika 1. Γ

48 46 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Věta Nechť je dána funkce f(z), která je holomorfní v jednoduše souvislé oblasti Ω. Pak pro její integrál po každé uzavřené křivce Γ, která leží v Ω platí f(z)dz = 0. (4.4.10) Příklad Výpočet integrálu komplexní funkce Vypočtěte následující integrály f(z)dz, je-li dáno: Γ Γ 1. f(z) = sin z, Γ je úsečka spojující body z 0 = 0 a z 1 = πj Řešení: Úsečka je zcela jistě po částech hladká orientovaná křivka. Vzhledem k tomu, že funkce f(z) = sin jz je na celém oboru C spojitá a holomorfní a vzhledem k zákonu permanence pravidel pro derivování funkcí komplexní proměnné (viz str. 40) je primitivní funkcí k funkci f(z) = sin jz funkce F (z) = cos jz. Můžeme proto použít větu Dostáváme, že sin jzdz = 1 [cos jz]πj 0 = 2j. j Γ 2. f(z) = e z, Γ je obvod kladně orientovaného obdélníka s vrcholy z 1 = 1, z 2 = 1, z 3 = 1 + j, z 4 = 1 + j Řešení: Protože funkce f(z) = e z je holomorfní na celé množině C a Γ je uzavřená křivka, můžeme použít větu Hledaný integrál je tedy roven nule. Věta Nechť funkce f(z) je holomorfní uvnitř a na křivce Γ, která je uzavřená, po částech hladká a kladně orientovaná. 8 Pak platí: Γ f(z) z z 0 dz = 2πjf(z 0 ), jestliže z 0 leží uvnitř Γ, f(z) z z 0 dz = 0, jestliže z 0 leží vně Γ. Γ Vzorec uvedený v této větě se často nazývá Cauchyho vzorec. Všimněte si, že věta nepopisuje případ, kdy z 0 Γ. Vzhledem k tomu, že v komplexením oboru lze každý polynom rozložit na součin lineárních polynomů, lze i každou komplexní racionální funkci R(z) = P (z) takovou, že Q(z) st P (z) < st Q(z) rozložit (rozkladem na parciální zlomky, tj. postupem známým z předmětu Matematika 1 ) na součet funkcí stejného typu jako je uvedeno ve větě Příklad Výpočet integrálu komplexní funkce pomocí Cauchyho vzorce Vypočtěte dz, je-li Γ kružnice se středem z z(z 2 +1) 2 0 = 0 a poloměrem r = 1. 2 Γ 8 V tomto textu budeme kladnou orientaci vždy předpokládat.

49 Matematika Řešení: Kružnice je uzavřená křivka. Pokud výraz rozložíme na parciální zlomky, z(z 2 +1) 2 bude čitatel každého zlomku komplexní číslo, resp. konstantní funkce, tj. funkce, která je na celém oboru C holomorfní. Budou tedy splněny předpoklady věty Platí: 1 z(z 2 + 1) 2 = A z + B (z + j) 2 + C z + j + D (z j) 2 + E z j Dříve než začneme hledat konstanty A, B, C, D, E je vhodné si všimnout jmenovatelů parciálních zlomků a porovnat je se zlomky ve větě Body z 0 = j a z 0 = j leží vně Γ, proto ať budou čísla B, C, D, E jakákoliv, budou příslušné zlomky rovny nule. Stačí tedy určit pouze konstantu A. Lehce se ukáže, že A = 1. Proto: Γ dz z(z 2 + 1) 2 = Γ dz z = 2πj. 4.5 Řady v komplexním oboru a jejich využití při integrování Z předmětu Matematika 1 si vzpomínáte, že funkce je možné v okolí jistých bodů nahradit nekonečnou řadou. Podobně lze postupovat i v komplexního oboru. Jisté členy takových řad pak budou hrát důležitou roli při integraci komplexních funkcí. Nejprve však musíme zavést několik dalších pojmů, které jsou ovšem pouze analogiemi pojmů známých z reálného oboru. Definice Nechť {c n } n=1 je posloupnost komplexních čísel c n = a n + jb n, kde a n, b n jsou reálná čísla, n = 1, 2,...,. Řadu c 1 + c 2 + c = c n (4.5.1) nazýváme komplexní řadou. Řadu n=1 c 0 + c 1 (z z 0 ) + c 2 (z z 0 ) = (z z 0 ) n (4.5.2) nazýváme komplexní mocninnou řadou se středem v bodě z 0. Výraz s n = n c i nazýváme n tý částečný součet. Posloupnost {s n } n=1 se nazývá posloupnost částečných součtů. Existuje-li vlastní limita lim s n = s, říkáme, že řada konverguje a číslo s nazýváme n c=1 jejím součtem. Jestliže řada nekonverguje, říkáme, že diverguje. Věta Komplexní řada c n = (a n + jb n ), kde a n, b n R konverguje a jejím n=1 n=1 součtem je číslo s = a + jb právě tehdy, když konvergují obě reálné řady a n a b n, přičemž platí, že a n = a a b n = b. n=1 n=1 n=0 i=1 n=1 n=1

50 48 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Rozhodování o konvergenci a divergenci komplexních řad je podobné jako u reálných řad. Podobně je tomu i u mocninných řad, kde stejně jako v reálném oboru pracujeme s pojmem poloměr konvergence. V předmětu Matematika 1 jste zaváděli pojem Taylorova řada. Jejím zobecněním je následující konstrukce. Uvědomte si, že množina bodů z C taková, že z z 0 < r je kružnice se středem z 0 a poloměrem r. Věta Nechť je dána funkce f(z), která je holomorfní na mezikruží 0 < r 1 < z z 0 < r 2. Pak pro každé z ležící v tomto mezikruží, lze funkci f(z) rozvinout do řady pro jejíž koeficienty platí n Z a f(z) = a n = 1 2πj n= Γ a n (z z 0 ) n, (4.5.3) f(z)dz, (4.5.4) (z z 0 ) n+1 kde Γ je libovolná kružnice se středem v bodě z 0 a poloměrem r takovým, že r 1 < r < r 2. Věta Nechť je dána funkce f(z). Je-li možné ji v mezikruží 0 < r 1 < z z 0 < r 2 rozvést do řady (4.5.3), pak pro její koeficienty platí (4.5.4). Definice Řada konstruovaná ve větě se nazývá Laurentova řada. Její část pro < n 1 se nazývá hlavní část Laurentovy řady; její část pro 0 0 < n se nazývá regulární část Laurentovy řady. Bod z 0 nazýváme středem Laurentovy řady. Častým případem komplexních funkcí jsou komplexní racionální funkce. Tyto funkce jsou holomorfní v celém oboru C, ovšem s výjimkou kořenů jmenovatele. Tuto představu můžeme zobecnit a takové body klasifikovat. Pojmy, které nyní zavedeme, mohou výrazným způsobem ulehčit výpočet integrálů komplexních funkcí. Definice Buď f(z) jednoznačná funkce. Bod z 0 C nazýváme izolovaným singulárním bodem funkce f(z), jestliže f(z) není v bodě z 0 holomorfní, avšak existuje r > 0 takové, že v oblasti 0 < z z 0 < r funkce f(z) holomorfní je. Jinými slovy, bod z 0 je izolovaným singulárním bodem, jestliže v je funkce holomorfní na nějakém jeho okolí, ale není holomorfní přímo v něm. Následující věta a definice mj. vysvětlují, proč bylo nutné definovat pojem Laurentovy řady. Věta Existuje r > 0 takové, že lze zkonstruovat Laurentovu řadu funkce f(z) se středem z 0, která v oblasti 0 < z z 0 < r konverguje. Definice Izolovaný singulární bod z 0 nazveme pólem 9 funkce f(z), jestliže hlavní část Laurentovy řady této funkce se středem z 0 má konečný počet členů. Index posledního členu hlavní části této řady se nazývá řád pólu. 9 Typů izolovaných singulárních bodů existuje více; pro naše účely však stačí definovat pouze póly.

51 Matematika 2 49 Věta Jestliže je f(z) = P (z) Q(z) racionální lomená funkce, pak nemá jiné izolované singulární body než kořeny jmenovatele Q(z). Každý izolovaný singulární bod funce f(z) je navíc pólem. Pro každý pól komplexní racionální funkce navíc platí, že jeho řád je roven násobnosti kořene rovnice Q(z) = 0. Příklad Určení izolovaných singulárních bodů komplexní racionální funkce Je dána funkce f(z) =. Popište její izolované singulární body. z z Řešení: Funkce f(z) je komplexní racionální funkce. Má tedy pouze póly, které lze určit jako řešení rovnice z 4 16 = 0. Řád těchto pólů je násobnost příslušných kořenů. Protože z 4 16 = (z 2 4)(z 2 + 4) = (z 2)(z + 2)(z 2j)(z + 2j), jsou póly funkce f(z) právě body z 1 = 2, z 2 = 2, z 3 = 2j, z 4 = 2j. Řád každého pólu je 1. Pokud budeme chtít integrovat komplexní funkce jistého speciálního tvaru (zejména racionální komplexní funkce), sehrají izolované singulární body (zejména póly) významnou roli. Definice Nechť je dána funkce f(z) a její rozvoj do Laurentovy řady se středem z 0 ve tvaru f(z) = n= funkce f(z) v bodě z 0 a píšeme rez z=z 0 f(z). a n (z z 0 ) n. Koeficient a n 1 v tomto rozvoji nazýváme reziduum Věta Nechť komplexní funkce f(z) je holomorfní uvnitř a na jednoduché uzavřené, kladně orientované křivce Γ s výjimkou pólů z 1, z 2,..., z n uvnitř Γ. Pak platí: n f(z)dz = 2πj rez f(z). (4.5.5) z=z k Γ Podmínky předcházející věty splňuje např. každá racionální komplexní funkce. Vidíme tedy, že pokud chceme určit integrál z takové funkce přes libovolnou jednoduchou uzavřenou a kladně orientovanou křivku, stačí pouze sečíst rezidua v pólech této racionální lomené funkce. Uvedený postup je tedy v tomto případě alternativou k rozkladu na parciální zlomky a užití věty viz příklad Z definice pojmu reziduum a ze srovnání definice a vzorců pro koeficienty Laurentovy řady ovšem vyplývá, že takový postup nejspíš bude velmi pracný. Následující věta tyto překážky odstraní podává návod na řešení konkrétních příkladů. Věta Nechť je dána funkce f(z), která má v bodě z 0 pól. Jedná-li se o pól prvního řádu, pak platí: jedná-li se obecně o pól řádu m, platí: rez f(z) = z=z 0 k=1 rez f(z) = lim (z z 0 )f(z), (4.5.6) z=z 0 z z0 1 (m 1)! lim z z 0 m 1 z m 1 [(z z 0) m f(z)]. (4.5.7)

52 50 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Příklad Výpočet integrálu pomocí reziduí Vypočtěte z 2, je-li křivka Γ dána rovnicí z + j = 1. (z 2 +1) 2 Γ Řešení: Křivka Γ je kružnicí o středu z = j a poloměru 1, zadaná funkce je komplexní racionální funkcí. Mohli bychom ji tedy rozložit na parciální zlomky a použít větu Stejně tak ovšem můžeme použít i větu (zdůvodněte si sami). Nejprve najdeme póly zadané funkce. Je vidět, že funkce má dva póly, a sice body z 1 = j, z 2 = j. Oba jsou druhého řádu, ale pouze z 1 leží uvnitř Γ. Bude proto Γ z 2 = 2πj rez (z 2 + 1) 2 z= j z 2 (z 2 + 1) 2. Protože z 1 je pól druhého řádu, budeme muset použít vzorec Připomeňme, že značí derivaci řádu m 1 podle proměnné z. Máme m 1 z m 1 rez z= j z 2 (z 2 + 1) = lim [(z + z 2 2 z j j)2 (z + 1) 2 ] = lim[ z j Pro hledaný integrál tedy platí Γ z 2 z 2 (z 2 +1) 2 = 2πj j 4 = π 2. (z j) 2 ] = lim z j 2jz (z j) 3 = j 4. Výpočet reziduí v pólech funkcí (a tedy podle věty také integrálů) máme usnadněn také v případě, že integrovaná funkce je podílem dvou holomorfních funkcí. Věta Nechť f(z) = ϕ(z), kde funkce ϕ(z) a ψ(z) jsou holomorfní v bodě z ψ(z) 0 a ϕ(z 0 ) 0, ψ(z 0 ) 0, ψ(z 0 ) 0. Pak má funkce f(z) v bodě z 0 pól prvního řádu a platí rez f(z) = ϕ(z 0) z=z 0 ψ(z 0 ). (4.5.8) Příklad Výpočet rezidua v pólech funkce podílu dvou holomorfních funkcí Vypočtěte rezidua ve všech pólech funkce f(z) = 1 sin z. Řešení: Zadaná funkce splňuje předpoklady věty funkce ϕ(z) = 1 a ψ(z) = sin z jsou holomorfní v celém oboru C. Řešením rovnice sin z = 0 jsou body z k = kπ, kde k Z. Dále platí, že [sin z] = cos z a cos kπ 0. Funkce f(z) má tedy v bodech z k = kπ, k Z, póly prvního řádu. Platí rez z=z k 1 [sin kπ] = 1 cos kπ = 1 ( 1) k = ( 1)k.

53 Kapitola 5 Integrální transformace 5.1 Matematický aparát pro signály Diracova zobecněná funkce δ(t), zobecněná derivace Při studiu mnoha přírodních jevů se setkáváme s veličinami, které jsou nulové vně malého intervalu, jejichž integrál je nenulový. Takový charakter má veliká síla působící po velmi krátkou dobu (náraz) velké elektrické proudy působící jen velice krátkou dobu (elektrický impuls) aj. Z věty o střední hodnotě integrálu vyplývá, že funkční hodnoty takovéto funkce musí velké a pro délku intervalu blížící se nule musí funkční hodnoty růst nade všechny meze. Provedením obvyklého limitního přechodu, bychom získali funkci nulovou s výjimkou jednoho bodu s neohraničenou funkční hodnotou. Integrál z takovéto funkce je ovšem nulový a tedy výše naznačený postup je nevyhovující. Budeme postupovat podobně jako jako u reálných čísel, kdy iracionální čísla chápeme jako posloupnost čísel racionálních blížících se k danému iracionálnímu číslu. Budeme se zabývat posloupností funkcí majících výše popsanou vlastnost, rostoucích funkčních hodnot na zužujícím se intervalu. Prototypem je posloupnost obdélníkových kmitů f n (t) = n (η(t 1n 2 ) η(t + 1n ) ). 51

54 52 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Jako zobecnění tohoto pojmu zavedeme pojem jehlové funkce Definice 7 Spojitou příp. po částech spojitou funkci δ(t, λ) argumentu t závislou na parametru λ se nazveme jehlovou jestliže platí: 1. δ(t, λ) = 0 pro t > λ; 2. δ(t, λ) 0 pro t < λ; 3. δ(t, λ)dt = λ λ δ(t, λ)dt = 1 Uvažme limitní chování jehlové funkce δ(t, λ) pro λ 0. Současně platí δ(t, λ) = 0 pro t 0 a λ 0. δ(0, λ) = pro λ 0, což plyne užitím věty o střední hodnotě určitého integrálu. To znamená, že limita jehlové funkce v klasickém slova smyslu neexistuje. Uvažujme proto limitní chování nastanou dva případy. b Pro ab < 0 (a < b) platí b a a f(t)δ(t, λ)dt pro λ 0 a spojitou funkci f(t). I v tomto případě f(t)δ(t, λ)dt = λ λ λ f(t)δ(t, λ)dt = f(τ) δ(t, λ)dt = f(τ), λ Pro ab > 0 (a < b) platí Protože hodnota lim λ 0 b můžeme použít stručnější zápis Definice 8 Zaveďme označení a b a f(t)δ(t, λ)dt = 0 f(t)δ(t, λ)dt nezávisí na volbě konkrétní jehlové funkce δ(t, λ) b lim λ 0 a f(t)δ(t, λ)dt = b a f(t)δ(t)dt. (5.1.1) Zde užitý symbol δ(t) nazýváme Diracovou distribucí, Diracovým impulsem. Je tzv. zobecněnou funkcí, charakterizující limitní chování jehlové funkce δ(t, λ) pro λ 0 a užívá se při výpočtu integrálů. Pro Diracovu distribuci δ(t) a spojitou funkci f(t) platí f(t)δ(t t 0 )dt = f(t)δ(t 0 t)dt = f(t 0 ) (5.1.2)

55 Matematika 2 53 Pro monotónní funkci, která má prostý nulový bod v 0 ϕ(0) = 0 ϕ (0) 0 platí f(t)δ(ϕ(t))dt = f(0) ϕ (0) (5.1.3) Vztah mezi Diracovým impulsem a Heavisideovou funkcí η(t) je dán skutečností: t δ(θ)dθ = η(t) = { 1 pro t > 0 0 pro t < 0. Heavisideovou funkci jednotkového skoku tak můžeme chápat jako zobecněnou primitivní funkci Diracova impulsu. Tento vztah je podobný vztahu mezi Heavisideovou funkcí η(t) a identickou funkcí ψ(t) t η(θ)dθ = ψ(t) = { t pro t > 0 0 pro t < 0. Využitím vztahu mezi integrálem a derivací můžeme tak chápat Diracovu distribuci jako derivaci Heavisideovy funkce jednotkového skoku, kterou můžeme dále chápat jako derivaci identické funkce ψ(t). Tj. Situaci ilustruje následující obrázek ψ (t) = η (t) = δ(t). Tato ukázka ilustruje obecnější situaci zavedení zobecněné derivace funkcí, které jsou po částech spojité spolu s derivací. Definice 9 Nechť je funkce f(t) nespojitá v t 0, potom ji vyjádříme ve tvaru součtu f(t) = ψ(t) + ( lim f(t) lim f(t))η(t t 0), t t 0 + t t 0 kde funkce ψ(t) má v t 0 odstranitelnou nespojitost a je možno ji v bodě t 0 dodefinovat tak, že bude spojitá. Zobecněnou derivaci f o(t) lze lze potom vyjádřit ve tvaru distribuce kde ψ (t) je derivací klasickou. f o(t) = ψ (t) + ( lim f(t) lim f(t))δ(t t 0), (5.1.4) t t 0 + t t 0

56 54 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Uvedený postup koresponduje také se zavedením derivace zobecněné δ(t) funkce, tj. stanovení limity pro h 0 z integrálu b a f(t) δ(t + h) δ(t) dt = h Má li funkce f(t) derivaci f (0) dostáváme b lim h 0 a f(t) δ(t + h) δ(t) dt = h f( h) f(0) h { f (0) pro 0 (a, b) 0 pro 0 (a, b) Definice 10 Nechť funkce f(t) má f (t 0 ) potom zavedeme označení lim h 0 b a f(t) δ(t 0 + h) δ(t 0 ) dt = h b a f(t)δ (t t 0 )dt. (5.1.5) Zde užitý symbol δ (t) nazýváme derivací Diracovy distribuce. Analogicky zavádíme n tou derivaci Diracovy distribuce. lim h 0 b a f(t) δ(n 1) (t 0 + h) δ (n 1) (t 0 ) dt = h b a f(t)δ (n) (t t 0 )dt = { ( 1) n f (n) (t 0 ) pro 0 (a, b) 0 pro 0 (a, b). (5.1.6) Poznámka 1 Je-li navíc jehlová funkce sudá v proměnné t je možné vyjádřit i integrál z funkce nespojité v bodě 0: b f(t)δ(t)dt = 1 ( ) lim f(t) + lim 2 f(t) t 0+ t 0 a V následující ukázce budou výše uvedené vlastnosti demonstrovány na příkladech. Příklad 6 1. Zjednodušte výraz (t 3 + 1)δ(t 2) Protože je funkce t spojitá lze daný výraz podle (5.1.2) nahradit ( )δ(t 2) = 9δ(t 2). Vypočtěte integrál 0 e pt δ(t 3)dt S využitím (5.1.2) a skutečnosti 2. Vypočtěte integrál 0 0 e pt δ(t 3)dt = e pt δ(t 3)dt = 0 dostáváme i (t 2 + 2)δ(5 5t)dt nftye pt δ(t 3)dt = e 3p Postupně využijeme vlastnosti (5.1.2), (5.1.3) a dostáváme: (t 2 + 2)δ(5 5t)dt = 1 (t 2 + 2)δ(1 t)dt = = Následující funkce zapište jediným analytickým zápisem a určete její první a druhou zobecněnou derivaci.

57 Matematika t pro < t < 0 f(t) = 3 pro 0 < t < 2 t 2 pro 2 < t < K požadovanému zápisu využijeme funkci jednotkového skoku. Uvažme funkci g(t) = 2t + (3 2t)η(t). Pro t < 0 platí g(t) = 2t, neboť součin (3 2t)η(t) je nulový a pro t > 0 platí g(t) = 2t + 3 2t = 3, neboť η(t)(3 2t) = 3 2t. Tedy platí g(t) = f(t) pro t < 2. V dalším zopakujeme daný postup, tj. k funkci g(t) přičteme součin η(t 2) se vhodnou funkci ve tvaru rozdílu analytického vyjádření funkce f(t) pro t > 3 minus analytického vyjádření funkce f(t) pro t < 3 tj. f(t) = 2t + (3 2t)η(t) + (t 2 3)η(t 2). Pro funkce vyjádřené složitěji postupujeme analogicky vždy zleva doprava. f o(t) =2 2η(t) + (3 2t)δ(t) + 2tη(t 2) + (t 2 3)δ(t 2) = 2 2η(t) + 3δ(t) + 2tη(t 2) + δ(t 2) f o (t) = 2δ(t) + 3δ (t) + 2η(t 2) + 2tδ(t 2) + δ (t 2) = 2δ(t) + 3δ (t) + 2η(t 2) + 4δ(t 2) + δ (t 2) Poznamenejme, že třetí zobecněná derivace bude pouze lineární kombinací funkce jednotkového skoku a jejich derivací. 2. Další funkcí je tzv. obecný trojúhelníkový impuls zadaný grafem, který je mimo interval [t 1, t 3 ] nulový a vrchol trojúhelníka má pro t = t 2 (t 1 < t 2 < t 3 ) hodnotu v. K požadovanému zápisu využijeme funkci jednotkového skoku. Uvažme funkci g 1 (t) = vt η(t t 1 ). Tato funkce odpovídá danému signálu pro t < t 2, neboť t 2 t 1 pro t < t 1 je nulová a pro t 1 < t < t 2 je to přímka procházející body [t 1, 0], [t 2, v]. V dalším kroku přičteme násobek funkce η(t t( 2 ), který odečte starou přímku vt a přičte novou přímku tj. g 2 (t) = g 1 (t) t 2 t 1 + vt ) η(t t 2 ). t 3 t 2 analogicky přičteme vhodný násobek funkce η(t t 3 ). f(t) = vt t 2 t 1 η(t t 1 ) ( vt t 2 t 1 + vt t 3 t 2 ) η(t t 2 ) vt η(t t 3 ), t 3 t 2

58 56 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně což po úpravě dává f(t) = vt ((t 3 t 2 )η(t t 1 ) + (t 1 t 3 )η(t t 2 ) + (t 2 t 1 )η(t t 3 )) (t 2 t 1 )(t 3 t 2 ) Zobecněnou derivaci určíme snadno ze skutečnosti ψ (t) = η (t) = δ(t). f o(t) = v ((t 3 t 2 )η(t t 1 ) + (t 1 t 3 )η(t t 2 ) + (t 2 t 1 )η(t t 3 )) (t 2 t 1 )(t 3 t 2 ) f o (t) = v ((t 3 t 2 )δ(t t 1 ) + (t 1 t 3 )δ(t t 2 ) + (t 2 t 1 )δ(t t 3 )) (t 2 t 1 )(t 3 t 2 ) (5.1.7) Periodické a harmonické funkce Při vyšetřování periodických dějů, jako jsou např. elektrické, mechanické a akustické kmity, kruhové pohyby apod. a při řešení diferenciálních či integrálních rovnic používáme periodické funkce. Mějme dán interval I = < a, b > a označme T = b a. Řekneme, že funkce f(x) je periodická s periodou T, jestliže platí f(x+t ) = f(x) x R. Zabývejme Obr : Periodická funkce se nejdříve speciálními periodickými funkcemi. Definice 11 Reálnou harmonickou funkcí nazýváme každou reálnou funkci, kterou je možné zapsat v tzv. fázovém tvaru f(t) = F cos(ωt + ϕ), kde < t <. (5.1.8) Je zřejmé, že harmonická funkce f(t) je jednoznačně určena trojicí parametrů F, zvaným amplituda, ϕ, zvaným počáteční fáze a ω, zvaným frekvencí. Udává-li funkce f(t) závislost nějaké fyzikální veličiny na čase, pak se hovoří o harmonickém kmitání. Poznamenejme navíc, že každé nenulové řešení diferenciální rovnice f + ω 2 f = 0, kde ω > 0.

59 Matematika 2 57 Platí také, že harmonická funkce (5.1.8) je pro F 0 periodická s periodou T = 2π/ω. Za předpokladu, že hodnota frekvence ω je pevně zvolena lze funkci (5.1.8) jednoznačně určit dvojicí F, ϕ nebo jedním komplexním parametrem ˆF nazývaným komplexní amplituda: ˆF = F e jϕ (= F (cos ϕ + j sin ϕ)), (5.1.9) tj. ˆF = F, arg ˆF = ϕ. Pro harmonické funkce se stejnou frekvencí ω za předpokladu, že f 1 (t) = F 1 cos(ωt + ϕ 1 ) f 2 (t) = F 2 cos(ωt + ϕ 2 ), ˆF 1 + ˆF 2 = F 1 e jϕ 1 + F 2 e jϕ2 0 je i součet harmonická funkce se stejnou frekvencí ω tj. f(t) = F 1 cos(ωt + ϕ 1 ) + F 2 cos(ωt + ϕ 2 ) = ˆF cos(ωt + ϕ). Navíc komplexní amplituda součtu je součtem komplexních amplitud tj. ˆF = ˆF 1 + ˆF 2. Poznamenejme, že i funkce f(t) = F sin(ωt + ϕ) je také harmonická funkce, neboť platí sin(ωt + ϕ) = cos(ωt + ϕ π/2. Další možností zápisu harmonické funkce je přičemž a = F cos ϕ, b = F sin ϕ. F cos(ωt + ϕ) = a cos ωt + b sin ωt, Fourierovy trigonometrické řady Dále se budeme zabývat možností vyjádřit periodickou funkci f(t) s periodou T jako součet harmonických funkcí, které jsou T periodické. To jest f(t) = a a n cos nωt + b n sin nωt, kde ωt = 2π. (5.1.10) n=1 Tuto řadu nazýváme Fourierovou trigonometrickou řadou. Upozorněme, že Fourierovy řady se v technické praxi často používají velice formálně, bez ověření přípustnosti jejich použití, což může vést k naprosto nesprávným výsledkům. Pokud tedy provádíme různé operace formálně, je nutné se zpětně přesvědčit, že použití všech operací bylo oprávněné. O Fourierově řadě hovoříme, jestliže sčítané funkce tvoří tzv. ortogonální systém. Systém funkcí v řadě (5.1.10) 1, cos ωt, cos 2ωt,..., sin ωt, sin 2ωt,... je ortogonální, je-li zaveden skalární součin jako určitý integrál přes interval délky T ze součinu dvou různých prvků tohoto systému, tj. pro m n platí: θ+t θ cos nωtdt = θ+t θ sin nωtdt = θ+t θ θ+t θ cos nωt sin mωtdt = cos nωt cos mωtdt = θ+t θ sin nωt sin mωtdt = 0 (5.1.11)

60 58 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Tato vlastnost je podstatná pro určení tzv. Fourierových koeficientů a n, b n tak, že zvolený koeficient získáme z lineární rovnice, která formálně vznikne vynásobením rovnosti (5.1.10) funkcí, která násobí zvolený koeficient, a následnou integrací přes interval délky T. Na pravé straně rovnice zůstane pouze jediný nenulový integrál, což je patrné vzhledem ke vztahům (5.1.11): a n = 2 T θ+t θ f(t) cos nωtdt b n = 2 T θ+t θ f(t) sin nωtdt (5.1.12) V některých aplikacích se dává přednost exponenciálnímu tvaru této řady, tj. tvaru f(t) = c n e jnωt, n= kde ω = 2π T. (5.1.13) V tomto případě pro koeficienty c n lze odvodit vztahy: c n = 1 T θ+t θ f(t)e jnωt dt c n = a n jb n 2 c n = a n + jb n 2 (5.1.14) Navíc pro reálnou funkci f(t) platí, že c 0 je reálné číslo a c n = F n e iϕn a c n = F n e iϕn jsou čísla komplexně sdružená. Dalším v technické praxi užívaným tvarem Fourierova trigonometrického rozvoje je fázový tvar: f(t) = a F n cos(jnωt + ϕ n ), (5.1.15) n=1 kde 2c n = F n e jϕn (F n je modul a ϕ n je argument komplexního čísla 2c n, nebo-li F n cos ϕ n = a n, F n sin ϕ n = b n. Poznamenejme, že podmínkou pro stanovení koeficientů a n, b n, případně c n nebo F n, ϕ n je možnost určit integrál z této funkce na intervalu délky T. Tato podmínka není ovšem dostatečná pro platnost vztahu (5.1.10) případně (5.1.13) nebo (5.1.15). V literatuře je udáván často jako příklad takovéto funkce součet řady s(t) = n=2 sin nt ln n, která není Fourierovou řadou žádné integrovatelné funkce na intervalu [0, 2π]. Definice 12 Řekneme, že je funkce po částech spojitá na uzavřeném intervalu, jestliže je možné tento interval rozdělit konečným počtem bodů t 1, t 2,..., t k tak, že na každém z těchto intervalů je spojitá a existují konečné jednostranné limity v bodech t i pro i = 1,..., k. Dále řekneme, že je funkce po částech monotónní na uzavřeném intervalu, jestliže je možné tento interval rozdělit konečným počtem tak, že na každém z těchto intervalů je monotónní. Řekneme, že funkce splňuje na uzavřeném intervalu Dirichletovy podmínky, jestliže je tomto intervalu počástech spojitá a počástech monotónní.

61 Matematika 2 59 Věta 1 Nechť funkce f(t) je periodická a splňuje Dirichletovy podmínky, potom řada na pravé straně vztahu (5.1.10) resp. (5.1.13) resp. (5.1.15) (kde Fourierovy koeficienty jsou definovány vztahy (5.1.12) resp. (5.1.14)) konverguje pro každé t a její součet je roven 1. f(t 0 ) v každém bodě spojitosti t 0 funkce f(t) (f(t 0 ) + f(t 0 +)) = 1 2 funkce f(t). ( ) lim f(t) + lim f(t) t t 0 t t 0 + v každém bodě nespojitosti t 0 Příklad 7 Sestrojme Fourierovu řadu funkce f(t) = t pro t [ π, π], která má periodu T = 2π. V tomto případě je ω = 2π = 1. Dále zvolíme θ = π, neboť ze skutečnosti, že 2π funkce je lichá určíme koeficienty a n = 0, protože je určující integrály jsou z liché funkce a tedy jsou nulové. Pomocí integrace per partes spočítáme b n = 2 π t sin nt dt = 2 [ t cos nt + 2π π π n ] π sin nt = ( 1)n+1 n 2 0 n Při výpočtu integrálu jsme také využili možnosti vyjádřit integrál ze sudé funkce na intervalu symetrickém okolo počátku jako dvojnásobek integrálu z této funkce na kladné polovině tohoto intervalu. Protože funkce f(t) splňuje Dirichletovy podmínky podle (1)řada n=1 2( 1) n+1 sin nt n konverguje pro všechna t R a pro t ( π, π) je rovna t, pro t = nπ je rovna 0. Následující obrázek ukazuje částečné součty postupně až po 8 členů. Obr : Aproximace funkce f(t) = t V další ukázce rozvineme sudou funkci, která popisuje periodicky se opakující obdélníkové impulsy, do komplexního tvaru Fourierova rozvoje. Příklad 8 Uvažujme obdélníkový signál, který má šířku 2ε, výšku h a délka periody je T (T > 2ε). Funkci f(t),která vyhovuje zadaným požadavkům, tak aby byla sudá, tj. v

62 60 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně intervalu [ T/2, T/2] bude signál umístěn v intervalu [ ε, ε]. Potom platí ω = 2π/T : c n = 1 T T/2 T/2 f(t)e jnωt dt = 1 T ε ε he jnω t dt = h jnωt [ ] e jnωt ε = h sin nωε ε T nω Skutečnost, že funkce f(t) je sudá nám neumožnila určit část koeficientů c n, ale projevila se díky vzorcům (5.1.14) v tom, že c n jsou reálné (neboť b n = 0). Příklad 9 Rozviňme tzv. dvoucestné a jednocestné usměrnění ve Fourierovu řadu. Dvoucestné usměrnění je definované relací f d (t) = sin t nebo též podrobněji f(t) = sin t pro t [0, π] a funkce f d (t) je periodická s periodou π, tj. f(t + π) = f(t). Funkce je zřejmě sudá a proto pro všechna n b n = 0. Stačí tedy určit jen koeficienty a n. Nejdříve vypočteme koeficient a 0 : a 0 = 2 2π π π sin t dt = 2 π Využitím známé trigonometrické relace postupně vypočteme π π 0 sin t dt = 2 π [ cos t]π 0 = 4 π. sin α cos β = 1 (sin(α + β) + sin(α β)) 2 π a n = 2 sin t cos nt dt = 1 π 0 π 0 [ 1 cos(n + 1)t cos(n 1)t + π n + 1 n 1 0 ( 1 ( 1)n ( 1)n 1 1 π n + 1 n 1 (sin(n + 1)t sin(n 1)t) dt = ] π ( cos(n + 1)π 1 + n + 1 = 1 π ) = 2 π ( 1) n+1 1 (n + 1)(n 1) = ) cos(n 1)π 1 = n 1 { 4 π(n 2 ) Protože funkce f d (t) je spojitá dostáváme její Fourierův rozvoj ve tvaru f d (t) = 2 π 4 π m=1 cos 2mt 4m 2 1 pro n sudé, 0 pro n liché. Jednocestné usměrnění je definováno vztahem f j (t) = 1 ( sin t + sin t). S využitím 2 linearity integrálu je zřejmé, že součet funkcí má rozvoj ve tvaru součtu rozvojů. Využijeme znalosti rozvoje dvoucestného usměrnění a bezprostředně dostáváme: f j (t) = 1 2 sin t + 1 π 2 π m=1 cos 2mt 4m 2 1

63 Matematika 2 61 Obr : Dvoucestné a jednocestné usměrnění Předcházející ukázky nás mohou motivovat k úvaze, za jakých předpokladů je možné funkci rozvinou v řadu sinů nebo cosinů. Z předcházejících ukázek je patrné, že lichou funkci (f(-t)=-f(t)) rozložíme ve Forierovu řadu pouze lichých funkcí tj. v řadu sinů a sudou funkci (f(-t)=f(t)) rozložíme ve Forierovu řadu pouze sudých funkcí tj. v řadu cosinů. Poznámka 2 Jestliže funkce f(t) splňuje Dirichletovy podmínky (viz. Definice 12)potom lze také získat integrál z funkce f(t) jako řadu, která vznikne z původní integrací jejich členů. Analogické tvrzení pro derivaci platí, jestliže řada vzniklá derivováním jednotlivých členů konverguje, což nemusí být vždy splněno. Chceme-li rozvinout ve Fourierovu řadu funkci f(t) = cos t pro t (0, π) s periodou π, tj. f(t + π) = f(t) Tuto funkci můžeme s výjimkou bodů nπ chápat jako derivaci funkce sin t. Navíc splňuje Dirichletovy podmínky a její Fourierův rozvoj exstuje a můžeme jej bezprostředně získat derivací člen po členu rozvoje funkce sin t, neboť ten konverguje tj. f(t) = 8 π m=1 m sin 2mt 4m 2 1 Naopak derivací člen po členu rozvoje v ukázce 7 vznikne řada, která nesplňuje nutnou podmínku konvergence a tedy uvedený postup nelze použít. Grafické znázornění Fourierova rozvoje - Spektrum Graficky Fourierův rozvoj reprezentujeme pomocí spektra,kdy jednu číselnou osu užíváme k vynášení frekvencí nω = nt a v rovině kolmé na osu frekvencí koeficienty a 2π n = F n cos ϕ n, b n = F n sin ϕ n jsou souřadnicemi bodu přiřazeného n-té harmonické složce Fourierova rozvoje. Tato grafická interpretace je ovšem trojrozměrné, proto se používá zobrazení pomocí dvou rovinných zobrazení, kdy se na jednu osu vynáší frekvence nω = nt a 2π na druhou koeficient a n resp. b n, které znázorníme úsečkou začínající na ose frekvencí a končící v bodě jehož druhá souřadnice je a n resp. b n. Druhou možností je vynášet místo dvojice a n, b n dvojici F n, ϕ n, hovoříme tak o spektru modulů a spektru argumentů. Další možností je vyjádření spektra pro Fourierův rozvoj v komplexním tvaru. Analogicky s reálným oborem můžeme vytvořit dvojici zobrazující zvlášť reálnou a imaginární část koeficientu c n nebo obvykle postupujeme tak, že zobrazujeme komplexní koeficient c n dvojicí jeho amplitudy a argumentu. Analogicky s harmonickými funkcemi platí pro spektra funkcí: