verze 1.3 kde ρ(, ) je vzdálenost dvou bodů v R r. Redukovaným ε-ovým okolím nazveme ε-ové okolí bodu x 0 mimo tohoto bodu, tedy množinu

Transkript

1 Úvod Diferenciální počet více proměnných verze.3 Následující text popisuje základy diferenciálního počtu více proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT na Univerzitě Hradec Králové k přípravě na zkoušku. Mohou se v něm vyskytovat některé chyby; autor ocení, když jej na chyby a nejasnosti upozorníte na u jiri.lipovskyzavináč uhk.cz. Limita a spojitost Nejdříve definujme pojem okolí. Definice.. Pro kladné ε nazveme ε-ovým okolím U ε (x 0 ) bodu x 0 R r množinu U ε (x 0 ) = {x, x R r, ρ(x, x 0 ) < ε}, kde ρ(, ) je vzdálenost dvou bodů v R r. Redukovaným ε-ovým okolím nazveme ε-ové okolí bodu x 0 mimo tohoto bodu, tedy množinu Uε (x 0 ) = U ε (x 0 )\{x 0 }. Nyní můžeme zadefinovat itu funkce více proměnných a její spojitost. Definice.. Mějme funkci f : R r R, která je definovaná na U ε (x 0 ). Potom f má v x 0 itu rovnou y 0, pokud ke každému ε > 0 existuje δ > 0 takové, že f(x) y 0 < ε pro všechna x U δ (x 0 ). Definice.3. Mějme opět funkci f : R r R definovanou na U ε (x 0 ). Řekneme, že je spojitá v x 0, pokud pro každé ε > 0 existuje takové δ > 0, že f(x) f(x 0 ) < ε pro všechna x U δ (x 0 ). Jinými slovy, je-li x x0 f(x) = f(x 0 ). Limita popisuje chování funkce, když se blížíme k danému bodu. U funkcí více proměnných však existuje více způsobů, jak se k danému bodu přiblížit, než v jedné dimenzi. Můžeme se blížit např. po přímkách, po parabole, po spirále, atd. Funkce má itu jen v tom případě, že při přiblížení libovolným způsobem dostaneme tutéž hodnotu. Pro ity také platí, že ita součtu je součet it, ita rozdílu rozdíl it, ita součinu součin it a ita podílu podíl it (za předpokladu, že ita, kterou dělíme, je nenulová). Příklad.4. Určete itu funkce f(x, y) = x y x 4 +y 4 v bodě (0, 0).

2 Řešení: Zkusíme nejdříve ity po přímkách y = kx. Dostáváme f(x, kx) = k x 4 x 4 + k 4 x 4 = k + k 4. Limita vzhledem ke každé z přímek je různá, proto ita této funkce neexistuje. Příklad.5. Určete itu funkce f(x, y) = Řešení: Opět začneme přímkami y = kx. x y x 4 +y v bodě (0, 0). x 3 k f(x, kx) = x 0 x 0 x 4 + k x = 0. Kandidátem na itu je tedy číslo 0. To, že je ita při blížení se po všech přímkách stejná, ale neznamená, že funkce má itu. Zkusme se blížit po parabole. f(x, x 4 x 0 x ) = x 0 x 4 + x 4 =. Limita tedy neexistuje. Příklad.6. Určete (x,y,z) (0,0,0) x sin Řešení: Protože sin x y z x y z. a (x,y,z) (0,0,0) x = 0, máme x sin (x,y,z) (0,0,0) x y z = 0. Příklad.7. Ukažte spojitost funkce { x y f(x, y) = x +y (x, y) (0, 0) 0 (x, y) = (0, 0) v bodě (0, 0). Řešení: Musíme ukázat, že pro každé ε > 0 existuje δ > 0, že pro x + y < δ je f(x, y) 0 < ε. Máme f(x, y) 0 = x y x + y = x xy x + y x, kde jsme využili nerovnosti xy x +y. Dále protože x / x + y / < δ/, stačí zvolit δ = ε.

3 3 Parciální derivace Definice 3.. Mějme funkci f : R r R definovanou na nějakém okolí bodu a = (a,..., a r ). Potom parciální derivací funkce f podle i-té proměnné v bodě a nazveme itu f(a, a,..., a i, a i + t, a i+,..., a r ) f(a). t 0 t Parciální derivaci označujeme f x i nebo xi f nebo f xi. Platí věta, že funkce, která má v U(a) všechny první derivace a tyto derivace jsou omezené, je v bodě a spojitá. Můžeme také zavést druhou parciální derivaci podle dané proměnné nebo smíšené parciální derivace. Pozor, obecně parciální derivace podle různých proměnných nejsou záměnné. Ilustruje to následující příklad. { xy x y Příklad 3.. Určete druhé smíšené parciální derivace funkce f(x, y) = 0 x < y v bodě (0, 0). Řešení: Tato funkce se ve dvou oblastech chová jako xy a ve dvou oblastech jako 0. Pro všechna y platí x f(0, y) = 0 a pro všechna x platí y f(x, 0) = x. Proto y ( x f)(0, 0) = 0, x ( y f)(0, 0) = x (x)(0, 0) =. Druhé parciální derivace nejsou tedy záměnné. Příklad 3.3. Ověřte záměnnost druhých parciálních derivací funkce f(x, y) = x 4 + y 4 4x y. Řešení: Vypočítáme postupně parciální derivace podle x, podle y a poté druhé smíšené parciální derivace. x f(x, y) = 4x 3 8xy, y f(x, y) = 4y 3 8x y, xy f(x, y) = yx f(x, y) = 6xy. Příklad 3.4. Ověřte záměnnost druhých parciálních derivací funkce f(x, y) = x y. Řešení: x x y = e y ln x x y, y x y = e y ln x ln x, y x x y = x y x y = e y ln x ln x x y + x ey ln x. 3

4 4 Derivace ve směru Obdobně jako můžeme vypočítat derivace podle jednotlivých souřadnicových proměnných, můžeme také vypočítat derivaci v libovolném směru. Definice 4.. Mějme funkci f : R r R definovanou na nějakém okolí bodu a = (a,..., a r ) a jednotkový vektor h R r. Potom derivací v bodě a ve směru h nazveme itu f(a + th) f(a). t 0 t Derivaci značíme h f. Pro dvě proměnné lze použít vztah pro tři proměnné obdobně h f = h x x f + h y y f, h f = h f = h x x f + h y y f + h z z f. Příklad ( 4.. Určete derivaci funkce f(x, y) = x y v bodě (, ) ve směru h =, ). Řešení: Vektor h je jednotkový, není ho tedy nutné normalizovat. Máme x f = x, x f (,) =, y f = y, y f (,) =, h f = =. Příklad 4.3. Určete derivaci funkce f(x, y, z) = x+y+z v bodě a = (a x, a y, a z ) ve směru h = (cos ϕ sin θ, sin ϕ sin θ, cos θ) Řešení: Využijeme vztah pro dimenzi 3. x f = y f z f =, h f = cos ϕ sin θ + sin ϕ sin θ + cos θ = (cos ϕ + sin ϕ) sin θ + cos θ. Příklad 4.4. Vypočtěte ) derivaci funkce f(x, y, z) = x + y z h = ( 3, 3, 3 v bodě a = (,, ). ve směru Řešení: Využijeme vztah pro dimenzi 3, derivaci vypočítáme jako skalární součin gradientu f f a = ( x f, y f, z f) a = (x, y, z) ((,, )) = (, 4, ) a směrového vektoru. h f = h f = ( 3, 3, ) (, 4, ) =

5 5 Totální diferenciál Definice 5.. Funkce f má v bodě a totální diferenciál, pokud existuje lineární zobrazení df(a) : R r R, pro které platí Jinými slovy platí f(a + h) f(a) df(a)[h] = 0. h 0 h f(a + h) f(a) = df(a)[h] + ω(h), kde h 0 ω(h) h = 0. Zatímco parciální derivace charakterizuje změnu funkce pouze v určitém směru, totální diferenciál nám něco říká o chování funkce pro všechny malé přírůstky h. Jeho interpretace je nahrazení funkce tečnou rovinou ke grafu funkce v daném bodě. Pokud má funkce v nějakém bodě spojité parciální derivace, pak tam má diferenciál. Platí následující věta. Věta 5.. Nechť má funkce f : R r R v bodě a totální diferenciál. Pak je v bodě a spojitá, má v něm parciální derivace. řádu podle všech proměnných a platí df(a)[h] = r i= h i xi f. Příklad 5.3. Najděte totální diferenciál funkce f(x, y) = x +y v bodě (x 0, y 0 ). Řešení: Nejdříve vypočteme parciální derivace podle obou proměnných v bodě (x 0, y 0 ). x f(x 0, y 0 ) = x 0, y f(x 0, y 0 ) = y 0. Pokud totální diferenciál existuje, má tedy tvar x 0 h + y 0 h. ω(h) = f(x 0 + h, y 0 + h ) f(x 0, y 0 ) df(x 0, y 0 )[h] = = (x 0 + h ) + (y 0 + h ) x 0 y 0 x 0 h y 0 h = h + h. ω(h) h 0 h = h h 0 h = h = 0. h 0 Totálním diferenciálem funkce f v bodě (x 0, y 0 ) tedy je x 0 h + y 0 h. { x xy (x, y) (0, 0) Příklad 5.4. Určete, zda funkce f(x, y) = +y má v počátku totální 0 (x, y) = (0, 0) diferenciál. Řešení: Protože funkci nelze v počátku derivovat (nemá tam smysl), vypočítáme derivace přímo z definice f(x, 0) f(0, 0) x 0 x y 0 f(0, y) f(0, 0) y 0 0 = = 0, x 0 x 0 0 = = 0. y 0 y 5

6 Totální diferenciál tedy je df(0, 0)[h] = x f(0, 0)h + y f(0, 0)h = 0h + 0h = 0. Nyní ověříme, jestli tento kandidát je skutečně diferenciálem. f(h, h ) f(0, 0) df(0, 0)[h] h h = h 0 h + h h 0 h + 0. h Protože ita neexistuje, neexistuje ani totální diferenciál v tomto bodě. Příklad 5.5. Zjistěte, kde je funkce f(x, y) = ln (x + y) definovaná, spojitá, kde má parciální derivace. řádu a kde totální diferenciál. Řešení: Funkce je definovaná na polorovině x + y > 0. V celé této polorovině je spojitá a má parciální derivace. řádu x f = y f = x + y, které jsou zjevně spojité v celé polorovině. Protože jsou parciální derivace spojité, má funkce totální diferenciál. 6 Taylovův rozvoj Obdobně jako v jedné proměnné můžeme ve více proměnných vyjádřit hladkou funkci Taylorovým rozvojem. Má-li funkce f jako funkce n proměnných spojité parciální derivace až do řádu (k +) včetně na okolí bodu a = (a,..., a n ), platí na jeho okolí kde f(x) = R k+ (x) = δ (0, ). k j=0 [ (x a ) + + (x n a n ) ] j f(a) + R k+(x), j! x x n [ (x a ) + + (x n a n ) ] k+ f(a + δ(x a)), (k + )! x x n 7 Příklady k samostatnému procvičování Příklad 7.. Ukažte, že pro funkci f(x, y) = ( ) f(x, y) = x 0 y 0 y 0 ( x y x y +(x y) platí: ) f(x, y) = 0 x 0 a přitom ita funkce dvou proměnných (x,y) (0,0) f(x, y) neexistuje. 6

7 { (x + y) sin Příklad 7.. Ukažte, že pro funkci f(x, y) = x sin y xy 0 0 xy = 0 naopak neexistují obě postupné ity x 0 ( y 0 f(x, y)) a y 0 ( x 0 f(x, y)), zatímco (x,y) (0,0) f(x, y) = 0. Příklad 7.3. Vypočtěte Příklad 7.4. Vypočtěte (x,y) (0,0) xy x + y. sin (xy). (x,y) (0,a) x Příklad 7.5. Spočtěte druhé parciální derivace a dokažte záměnnost druhých smíšených parciálních derivací. a) f(x, y) = 4x 3 + x y + 7y 3. b) f(x, y) = x sin (x + y). Příklad 7.6. Určete derivaci funkce f(x, y) = x 3 + y 3 v bodě (, 0) ve směru (, ). Příklad 7.7. Určete) derivaci funkce f(x, y, z) = x + yz v bodě (,, ) ve směru ( 3, 3, 3. Příklad 7.8. Určete derivaci funkce f(x, y) = x cos (x + y) v bodě ( π ( ), 0) ve směru 5, 5,. Příklad 7.9. Najděte totální diferenciál funkce f(x, y) = x 3 + y 3 v bodě (, ), pokud existuje. Příklad 7.0. Zjistěte, kde je následující funkce definovaná, spojitá, kde má parciální derivace. řádu, kde totální diferenciál a kde spojité. parciální derivace. { (x + y ) sin f(x, y) = x +y (x, y) (0, 0) 0 (x, y) = (0, 0) 8 Řešení příkladů k samostatnému procvičování 7. Při pevném nenulovém x je y 0 f(x, y) = 0, ita samých nul je nula. Neexistenci ity dvou proměnných lze ověřit např. pomocí přímek y = kx, pro k = dostaneme výsledek, pro ostatní Postupné ity neexistují,protože neexistuje ita x 0 sin x. Limitu funkce dvou proměnných dostaneme z věty o itě součinu funkce omezené a funkce jdoucí k nule. 7.3 Neexistuje, lze ověřit přímkami y = kx. 7.4 a. 7

8 7.5 a) xx f = 4x + 4y, yy f = 4y, xy f = yx f = 4x, b) xx f = cos (x + y) x sin (x + y), yy f = x sin (x + y), xy f = cos (x + y) x sin (x + y) π h + 3h. 7.0 D(f) = R, všude spojitá, všude diferenciál a tudíž všude. parciální derivace, jež jsou nespojité pouze v počátku. 9 Použitá a doporučená literatura. Kopáček Jiří, Matematická analýza pro fyziky II., Matfyzpress, Praha, 003, kapitola 8 a 9. Kopáček Jiří, Příklady z matematiky pro fyziky II., Matfyzpress, Praha, 003, kapitola 3 3. Jan Hamhalter, Jaroslav Tišer, Diferenciální počet funkcí více proměnných, dostupné z www: 4. J. Kuben, Š. Mayerová, P. Račková a P. Šarmanová, Diferenciální počet funkcí více proměnných, dostupné z www: /diferencialni pocet vice promennych.pdf 5. Jiří Klaška, Diferenciální a integrální počet funkcí více proměnných, dostupné z www: mathonline.fme.vutbr.cz/download.aspx?id file= dersmer.pdf 8