ZOBECNĚNÉ VÍCE-FAKTOROVÉ REÁLNÉ OPCE A MOŽNOSTI JEJICH APLIKACE VE FINANČNÍM ROZHODOVÁNÍ PODNIKŮ 1

Transkript

1 ZOBECNĚNÉ VÍCE-FAKTOROVÉ REÁLNÉ OPCE A MOŽNOSTI JEJICH APLIKACE VE FINANČNÍM ROZHODOVÁNÍ PODNIKŮ Zmeškal Zdeněk ABSTRAKT Meodoloie reálných ocí je jedním z nových konceů oužívaných a ověřovaný v oblasi odnikových financí. Meodoloie je alikována v rocesech invesičního rozhodování oceňování firem finančního rozhodování oeraivních rozhodnuí rozhodování v sekoru enereik ad. Lze říci že eno řísu zevšeobecňuje řísu dos radičně oužívané v odnikových financích. Reálné oce zohledňují časovou hodnou eněz riziko (ravděodobnos) manažerskou flexibiliu (dnamické rozhodování) variabiliu ve výlaních funkcích. Při alikaci reálných ocí jde ed vžd o řešení komlexnějších úloh. To model jsou charakerisické ím že se jedná o model Amerického u vícefakorové s věším očem možných voleb. V článku je osána zobecnělá meodoloie založená na alikaci mulifakorového modelu na bázi ekvivalence saisických momenů. Je osán jednofakorový a dvoufakorový rekombinovaný binomický model založený na rizikově-neurální ravděodobnosi a obecně řešielný na Bellmanově rinciu oimali za rizika. Je akéž rezenován zjednošený ilusraivní říklad ýkající se ocenění firm ABSTRACT The real oion mehodolo is one of he new conceions used and verified in he cororae finance. The mehodolo is bein alied in invesmen decision rocess coman valuaion financial decision-makin oeraional decision ener secor decision- makin ec. We can sa ha his aroach resens he eneralisaion of well-known revious cororae finance aroaches. The real oions incle ime value of mone risk (robabili) manaerial flexibili (dnamical decision-makin) cash-flow a-off variabili. Therefore under he real oion mehodolo i is necessar o use and deal wih more comlex valuaion models. These models are characerised as American muli-facors wih reaer number of oion varians. There is in he aer described he eneralised mehodolo based on muli-facor models alicaion on he basis of he equivalence of he saisical momens. Described is sinle-facor and wo-facor recombinaion binomial model b virue of he risk-neural robabili and enerall solvable b he Bellman rincile of oimali under risk. The simlified illusraive examle concernin he valuaion of he coman is also resened. Úvod Reálnými ocemi se rozumí ružný (flexibilní) řísu ři finančním rozhodování o reálných akivech (akiva dluh vlasní kaiál invesice ůda komodi náklad výzkumu echnoloie roces rokce) ři sraeickém Teno řísěvek vznikl v rámci rojeku MSM

2 rozhodování nefinančních firem. Oroi radičním řísuům založeným na asivních sraeiích se uvažuje s akivními zásah v boucnosi ři řízení reálných rojeků. Naříklad se jedná o oušění dočasné zasavení rozšíření odložení změnu aramerů rojeku rodej koui změnu echnoloie rocesu nebo srukur rokce aod. Meodoloie reálných ocí je založena na meodice finančních ocí s ím že je alikována na reálná akiva. V úvahu jsou brán další možnosi rozhodování v boucnu a íž jsou reflekován další možnosi ři sanovení hodno reálných akiv a rojeků ve srovnání s asivním řísuem. Přiom se ředokládá náhodný vývoj odkladových fakorů rocesů. Charakerisickým rsem je že alikace reálných ocí má řevážně charaker amerických ocí a lze je oceňova na bázi sochasického dnamického roramování založeném na Bellmanově dnamickém rinciu oimali. Dalším rsem je o že alikované model reálných ocí jsou vzhledem k u ekonomických rocesů a složiosi náhodných rocesů a rozhodovacích funkcí řevážně oce amerického u zravidla řešen jako diskréní model binomického nebo mulinomického u s vícenásobnou možnosí volb (swich oce). Přiom základní řísu k oceňování vchází z relikační sraeie na bázi rizikově neurálního řís. Obecně se ak jedná o alikaci rinciu marinale ři oceňování. Problemaika reálných ocí je ve sře ozornosi akademické i manažerské komuni a za základní zdroje zracovávající uo roblemaiku lze ovažova zejména: Dixi&Pindck (994) Sick (995) Bole&Lonsaff&Richken (995) Trieoris (998) Brennan&Trieoris (999) Dluhošová (006) Zmeškal ( ). Exisuje celá škála druhů a ů finančních deriváů od jednochých (lain vanilla) až o složié varian deriváů. Složios je dána zejména kombinacemi u náhodných rocesů (arimeický eomerický Brownův jum diffusion meanreversion Ioův ad.) em výlaní funkce (call u binární diiální bariérové s aměí ad.) variannosí voleb (binární výběrové swich ad.) absencí nebo výskem nesmerických řeínacích nákladů (swich cos) dobou možného vužií (Evroské Americké Bermské swin ad.) očem rizikových fakorů (sread baske rainbow orfoliové oce). Právě alikace reálných ocí což je vužií meodoloie ocí na reálných akivech aří mezi nejsložiější ocí. Lze je charakerizova obecně jako oce amerického u s aměí (ah deenden) s věší variannosí voleb (swich) nesmerickými řeínacími náklad a jako více-fakorové oce. Meod ro řešení ako složiých a komlexních ocí nejsou snadné. Analická řešení (closed form) jsou dosuná ouze v omezeném oču seciálních říadů. Druhou možnosí je vuží numerické meod mezi keré se řadí numerické řešení arciálních diferenciálních rovnic na bázi meod konečných rvků meod enerování náhodných rocesů na bázi simulace mone-carlo a meod aroximace omocí svazů (laice mehod). Poslední skuina z ěcho meod je obecně ovažována za nejjednošší flexibilní a ok se nejedná o říliš velkou dimenzi aké efekivní ro řešení. Cílem řísěvku je odvodi osa a alikova meodoloii reálných ocí ři oceňování firem a hodnocení invesičních rojeků. Přiom be osán vsvělen alikován a aké ověřen zobecněný diskréní více-fakorový binomický model reálných ocí omocí laice meodoloie. Předokládá se že odkladový roces je 9

3 na bázi bˇ arimeického nebo s ohledem na ožadavek ab cen bl kladnými čísli eomerického Brownova náhodného rocesu. Uvedená meodoloie be rezenována na zjednošeném ilusraivním říkla sanovení hodno vlasního kaiálu firm.. Jednofakorový binomický model Sochasické roces lze vjádři omocí sochasických diferenciálních rovnic keré mají obecný var vjádřený Ioovou rovnicí dx α ( x) d ( x) dz. Zvlášním říadem je eomerický Brownův roces dx α x d x dz. ln x a alikace Ioov lemm eno roces V říadě loarimické ransformace ( ) řechází v arimeický Brownův roces d ( α 05 ) d dz sřední hodnou ( α 05 ) ak d d dz.. Po subsiuci za Prooče omocí numerických laice (svaz) meod lze rovés omocí relikačních nebo hedinových řísuů. V říadě že se vchází ze skuečných sochasických rocesů ak základním rinciem je že výsledek numerické aroximace musí odovída vbraným saisickým momenům. Přiom je důležié rozlišova řešení v říadě úlného (comlee) nebo neúlného (incomlee) rhu. V rvním říadě je výsledkem jednoznačné řešení neboť oče neznámých odovídá oču rovnic. Ve druhém říadě o slněno není výsledkem je buď inerval hodno anebo je nuné řida reference rozhodovaele omocí užikových funkcí a oužíva oimalizační meod řešení. Jednou z časo kladených odmínek je že má bý slněna rekombinace ed že hodnoa odkladového fakoru ři růsu je oakem ři oklesu ed. ( ) 0 Je známo že ab řešení odovídalo rinciu nemožnosi arbiráže ak sanovené ravděodobnosi řecho musejí bý kladná čísla v inervalu [0 ]. Dalším základním konceem je že oceňování se rovádí za rizikověneurální ravděodobnosi ed že výnos odkladových akiv (fakorů) musí bý bezrizikový r. Za éo odmínk ransformovaný eomerický Brownův roces je náslející d d dz kde ( r 05 ). Vývoj hodno akiv lze ed vjádři následovně u kde u vjadřuje oče vzrůsu hodno za dané období. Vývoj ro dvě období omocí binomického modelu je znázorněn na Obr. řiom každý uzel je charakerizován savem a časem (u ). 93

4 Obr.č. : Rekombinační binomický model Vzhledem k omu že je eomerický Brownův roces založen na normálním rozdělení v omo říadě jsou odovídajícími momen sřední hodnoa a rozl. Ted u u ( ) ( ) d ( ) ( ) ( ). u d d Jde ed o ři rovnice o řech neznámých u d což jsou ravděodobnosi růsu oklesu a řírůsek hodno. Řešení je náslející u nebo jinak vjádřeno ( ) u ( ). Ab bla slněna odmínka nemožnosi arbiráže ak musí lai že.. Dvoufakorový binomický model Předokládáme odobně jako u jednofakorového modelu loarimick ransformovaný eomerický Brownův roces rizikově-neurální ravděodobnos. Navíc se ředokládá že jsou dán dva náhodné fakor včeně jejich kovariance (korelace ρ ). Grafick je model vývoje ro dva fakor kde každý uzel je charakerizován savem (oče vzrůsů za dané období u obou akiv) a časem (u u ) znázorněn na Obr.. 94

5 95 Obr.č. : Dvoufakorový rekombinovaný binomický model V omo říadě jsou odovídajícími momen sřední hodno rozl a kovariance neboť se jedná o eomerický Brownův roces založený na normálním rozdělení. Takže ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). Jde ed o šes rovnic o šesi neznámých což jsou ravděodobnosi ro kombinace růsu a oklesu obou akiv (fakorů) dále řírůsk hodno obou fakorů. Řešení je náslející 4 4 4

6 4 ρ ( ) ( ). Podmínk nemožnosi arbiráže jsou náslející ρ min ( A B) ( A B) ( A B) kde A B. ; 3. Ilusraivní říklad sanovení hodno vlasního kaiálu firm Možnosi alikace dvou-fakorového binomického modelu bou ukázán na říkla vhodnocení reálné oce sanovení hodno vlasního kaiálu odniku ro čři období. Předokládá se že hodnoa cash-flow je zjednošeně určena dvěma náhodnými fakor jako rozdíl náhodných ržeb a náhodných nákladů. Přiom rvní charakerizuje výsu (ržb) x a druhý vsu (náklad) x s výchozími hodnoami x300.j. x00.j. Nominální hodnoa dluhu D je sanovena na 50.j. bezriziková sazba r0. Dále jsou znám další vsuní údaje ρ 0 5. Posu výoču v soula se sochasickým dnamickým roramováním je v daném říadě náslející. Procera řešení ro dvoufakorový model: [] Sanovení rizikově-neurální hodno růsu akiv. [] Vjádření vývoje odkladových rizikových akiv (fakorů) x x kde o ln x a dosazením do rovnice zěné ransformaci za ( ) u u dosáváme x u u x e. [3] Sanovení rizikově-neurálních ravděodobnosí. [4] Poom je roočena hodnoa akiv (cash-flow) V x x. [5] Dalším krokem je sanovení vniřní hodno VH max( V D; 0). [6] V době realizace T se cena oce rovná vniřní hodnoě f T VH T. [7] Dále násleje rooče cen americké oce. Zěným osuem od dob realizace se sanoví cena oce ro jednolivé uzl keré jsou dán časem a savem až k očáeční hodnoě. [8] V jednolivých uzlech se cena oce určí jako současná hodnoa sřední ) d hodno cen oce v náslejícím období [ ( d ) ] r f max e E f ; VH ) kde E ( f d ) je rizikově-neurální sřední hodnoa ) E f f f f f. ( ) [ ] d d d d d 96

7 [9] Hledaná cena oce f 0 odovídá ceně na očáku celého období v daném říadě hodnoě vlasního kaiálu firm. [0] Sanovení u rozhodnuí Q ed buď vuží nebo nevuží oci ) r d ar max e E f ; VH [ ( ) ] Q d q [] Analýza cilivosi na vsuní daa Konkréní roočené hodno rizikově-neurálních ravděodobnosí ro daný říklad jsou náslející % % % 677%. Hodno rizikověneurálního růsu jsou Na Obr. 3 je znázorněn osu výoču. V kořenu dvoufakorového modelu je hledaná hodnoa vlasního kaiálu firm sanovená za odmínek rizika a flexibili kerá činí 3.j. 4. Závěr Záměrem řísěvku blo uvés roblemaiku reálných ocí jakožo zobecněného řís ři finančním rozhodování kororací. Tao meodoloie může bý vužia ři invesičním rozhodování firem jejich oceňování ři finančním rozhodování a rovněž ři oeračním rozhodování firem. Velké ulanění je akéž v oblasi enereik. Přísu zahrnuje zobecnění základních řísuů ři rozhodování kororací. Jedná se zejména o zahrnuí časové hodno eněz rizika (ravděodobnosní a náhodný vývoj odkladových fakorů) manažerské flexibili (dnamická a vícenásobná nereverzibilní rozhodnuí) a variabili výlaních funkcí na základě cash-flow. Přísěvek bl zaměřen mimo jiné zejména na ois vsvělení a možnosi alikace více-fakorových modelů keré nejsou ve velké míře dos alikován i kdž složios finančního a ekonomického rozhodování je ve svém základě určiě muli-fakorová. V řísěvku bl vsvělen a osán osu ro alikaci meodoloie reálných ocí na bázi více-fakorového re-kombinovaného binomického modelu. Nejrve bl vsvělen radiční jedno-fakorový model a následně více-fakorový model. Oceňovacím základem je řiom slnění odmínk nemožnosi arbiráže a rizikové neurálnosi což znamená že rizikově-neurální ravděodobnosi musí bý v inervalu[0 ] a musí odovída bezrizikovému výnosu. Dále za ředokla úlného rhu musí lai ekvivalence náhodného rocesu a jeho saisických momenů. Ukázalo se že je dosaečné ro úlný rh u více-fakorového binomického modelu ab bla slněna rovnos u sředních hodno rozlů a kovariance. Na závěr bl rovněž rezenován ro čři období zjednošený ilusraivní říklad sanovení hodno vlasního kaiálu odniku na bázi dvoufakorového binomického modelu. Ukázalo se že v daném říadě je vlasní rooče oměrně jednochý a že je možné reálněji zachi odmínk rozhodování. Alikace meodoloie reálných ocí jak blo ukázáno vsvěleno a osáno ředsavuje zobecnění dosavadních radičních řísuů ři finančním rozhodování odniků neboť zahrnuje časový asek riziko manažerskou flexibiliu. Přiom zahrnuje v sobě i radiční meod jako jsou meo uraveného nákla kaiálu a meo jisoních ekvivalenů (asek rizika) meo dnamického roramování za určiosi (asek manažerské flexibili). V říadě nízké flexibili a malého rizika 97

8 jsou ro rozhodování adekvání a zcela dosačující radiční meod. Naoak s růsem rizika odkladových rocesů a s růsem manažerské flexibili je nezbné alikova meodoloii reálných ocí kerá je adekvání a vede ke srávným závěrům. Neboť ok b nebl o asek brán v úvahu dochází k odhodnocené rojeků hodno odniků a ed k nežádoucímu zúžení orfolia rozhodovacích možnosí a varian a akéž k odcenění boucích říležiosí což znamená a vede v konečném důsledku k nesrávným finančním a ekonomickým rozhodnuím. LITERATURA. BLACK F. SCHOLES M.: The Pricin of Oions and Cororae Liabiliies. Journal of Poliical Econom Vol BOYLE P. LONGSTAFF F.A. RITCHKEN P.: Advances in Fres and Oions Research. JAI Press Vol BRENNAN M. J. TIGEORGIS L.: Projec Flexibili Aenc and Proc Marke Comeiion: New Develomen in he Theor and Alicaion of real Oions Analsis. Oxford universi Press DIXIT A. K. PINDYCK R.S.: Invesmen under Uncerain. Universi Press DLUHOŠOVÁ D.: Přísu k analýze finanční výkonnosi firem a odvěví na bázi meod EVA Economic Value Aed Finance a úvěr - Czech Journal of Economics and Finance roč DLUHOŠOVÁ D.: Finanční řízení a rozhodování. Ekoress Praha DUFFIE D.: Securi Markes - Sochasic Models. Academic ress Inc HULL J. C.: Oions Fres and oher Derivaives. Prenice Hall MUSIELA M. RUTKOWSKI M.: Marinale Mehods in Financial Modellin. Sriner-Verla SICK G.: Real Oions. In JARROW R e all Handbooks in OR and MS Vol. 9 Elsevier Science B.V TRIGEORGIS L.: Real Oions - Manaerial Flexibili and Srae in Resource Allocaion Harvard Universi ZMESKAL Z.: Alicaion of he fuzz - sochasic Mehodolo o Araisin he Firm Value as a Euroean Call Oion. Euroean Journal of Oeraional Research Vol. 35/ ZMEŠKAL Z.: Možnosi sanovení hodno firm jako bariérové americké call oce. Sborník Mezinárodní konference In: Ekonomika firem 999 Ekonomická univerzia Braislava ZMEŠKAL. Z.: Fuzz-sochasický odhad hodno firm jako call oce. Finance a úvěr Economia a. s. Praha ZMEŠKAL Z. a kol.: Finanční model.. uravené vdání Praha: Ekoress Praha ZMEŠKAL Z.: Přísu k eliminaci finančních rizik na bázi finančních hedinových sraeií. Finance a Úvěr - Czech Journal of Economics and Finance 004 roč. 54 (č..-.) s ZMEŠKAL Z.: Aroach o Sof Binomial Real Oion Model Alicaion (fuzz - sochasic aroach). The h Global Finance Conference Dublin Irsko

9 KONTAKT rof. Dr. In. Zdeněk Zmeškal kaedra financí Ekonomická fakula VŠB-TU Osrava Sokolská 33 Osrava 99

10 Obr.č. 3: Prooče cen oce omocí dvoufakorového rekombinovaného binomického modelu u u x x V VH f Q ne u u x x V VH f Q ne ne ne ne u u x x V VH f Q ne ne ne ne ne ne ne ne ne u u x x V VH f Q ne ne ne ne ne ne ne ne ano ne ne ne ano ano ano ano u u x x V VH f Q ano ano ano ano ano ano ano ano ano ano ano ano ano ano ano ano ano ano ano ano ano ano ano ano ano 0 čas