ELEKTRONICKÉ OBVODY I

Transkript

1 NIVEZITA OBANY Fakula vojenských echnologií Kaedra elekroechniky -99 ELEKTONIKÉ OBVODY I čebnice Auoři: rof. Ing. Dalibor Biolek, Sc. rof. Ing. Karel Hájek, Sc. doc. Ing. Anonín Krička, Sc. doc. Ing. Karel Zalaílek, Ph.D. Ing. Bohuslav Doňar, Sc. BNO 6

2

3 Obsah OBSAH Úvodem ÚVOD DO TEOIE ELEKTIKÝH OBVODŮ A SIGNÁLŮ -3. Elekrické signály. Elekrické sysémy a obvody ELEKTIKÉ SIGNÁLY Periodické signály Harmonický signál 5.. Fourierova řada eriodického signálu 9..3 Sekrum eriodického signálu..4 Obecné vlasnosi Fourierových koeficienů a sekra eriodického signálu..5 Parsevalův eorém ro eriodické signály 4..6 Souvislosi mezi časovým růběhem eriodického signálu a jeho sekrem 5..7 Vzah Fourierovy řady eriodického signálu a DFT 9. Aeriodické signály Základní aeriodické signály jednokový skok a jednokový imuls 34.. Globální charakerisiky imulsů Sekrální funkce a Fourierova ransformace Vzah sekrální funkce imulsu a Fourierovy řady eriodického signálu Vlasnosi sekrální funkce Obecné vlasnosi Fourierovy ransformace F{s()} Parsevalův eorém ro aeriodické signály Vzah Fourierovy ransformace a DFT 5..9 Vyjádření signálu Lalaceovou ransformací 55 3 ELEKTIKÉ OBVODY A JEJIH MODELY Základní ojmy Sejnosměrný racovní bod Pohyb bodu Q vlivem zracovávaného signálu Pohyb bodu Q vlivem eloních a dalších změn hování nelineárního obvodu ři kombinovaném buzení omalým a rychlým signálem 6 3. Obvod v nelineárním režimu Působení jednoho harmonického signálu Působení dvojice harmonických signálů o různých kmiočech Linearizovaný model obvodu Linearizovaný model obvodu Linearizovaný odorový model nelineárního rvku Linearizovaný kmiočově závislý model nelineárního rvku Pásmo zv. sředních kmiočů Obvody rakicky lineární Obvod v lineárním režimu Harmonický usálený sav (HS) Periodický usálený sav (PS) Modifikace sekra signálu lineárním obvodem Průchod signálu lineárním obvodem 78

4 Elekronické obvody I Lineární zkreslení. Podmínky nezkresleného řenosu Kmiočová filrace jako říklad využií lineárního zkreslení Lineární dvojbrany o je o dvojbran ovnice neauonomního dvojbranu rčování dvojbranových aramerů ze savů narázdno a nakráko Paramery vybraných jednoduchých dvojbranů Modelování dvojbranů omocí řízených zdrojů Zvlášní druhy dvojbranů Sojování dvojbranů Obrazové imedance dvojbranu 9 4 METODY ANALÝZY ELEKTIKÝH OBVODŮ Meody a nejčasější cíle analýzy 6 4. Meody analýzy lineárních obvodů Sručně o heurisických a algorimických meodách Heurisické osuy ři řešení obvodů s ideálními oeračními zesilovači Algorimické meody řešení elekrických obvodů Meody analýzy nelineárních obvodů Přehled meod Numerické řešení nelineárních rovnic Přibližná analýza obvodů s diodami a ranzisory Analýza (nejen) nelineárních obvodů s využiím simulačních rogramů Využií oeráorového oču k analýze obvodů 46 5 OBENÉ VLASTNOSTI LINEÁNÍH OBVODŮ Základní ojmy Princi suerozice a jeho důsledky Sav, očáeční odmínky a řád lineárního obvodu Vynucená, řirozená a celková odezva lineárního obvodu Sabilia lineárního obvodu Základní řenosové charakerisiky lineárního obvodu a jejich oužií Kmiočová, imulsní a řechodová charakerisika a oeráorová řenosová funkce Přechodová a imulsní charakerisika a jejich vzah ke kmiočové charakerisice Sanovení vynucené odezvy obvodu z imulsní a řechodové charakerisiky Oeráorová řenosová funkce, její vlasnosi a její vzah k osaním charakerisikám obvodu Vsuně výsuní diferenciální rovnice (D) lineárního obvodu Moivační říklad Základní vlasnosi D lineárního obvodu Vzah D a řenosové funkce Fyzikální význam a vlasnosi řešení D lineárního obvodu 77 6 KMITOČTOVÉ FILTY íle oužií kmiočových filrů, jejich klasifikace a základní ois vlasnosí Oblasi a říklady oužií kmiočových filrů Základní yy filrů Řád řenosové funkce filru a jeho rakický význam a volba Zůsoby vyjádření řenosové funkce K() či K(jω) filru 8

5 Obsah 6..5 Přenosové kmiočové a časové charakerisiky filrů a ožadavky na jejich vlasnosi Přenosové vlasnosi a charakerisiky filrů. a. řádu Filry s řenosovou funkcí. řádu Filry s řenosovou funkcí. řádu Přenosové funkce filrů vyšších řádů Toleranční ole a kmiočové ransformace na normovanou DP Základní yy aroximací řenosové funkce ro DPn, jejich vlasnosi Vlasnosi základních aroximací bez nul řenosu Vlasnosi základních aroximací s nulami řenosu Další yy aroximací Tyy realizací kmiočových filrů Filry a L. a. řádu Filry. a. řádu Filry L. řádu 6.6 Filry L vyšších řádů 6.6. Imedanční zakončení filrů 6.6. Normované dolní rousi (DPn) Návrhy filrů L z rooyů DPn Další yy a modifikace zaojení filrů L s cílem snazší realizovaelnosi Filry A Základní rinciy funkce filrů A Klasifikace a základní vlasnosi filrů A. řádu Filry A vyšších řádů Filry se sínanými kondenzáory Princi funkce filrů AS niverzální inegrované bloky AS. řádu Inegrované filry AS vyšších řádů Elekromechanické filry a filry s PAV Synéza elekrických obvodů 38 7 ZESILOVAČE Princi zesilovače 4 7. Paramery zesilovače Lineární aramery Nelineární aramery a dynamický rozsah Zesilovače a zěná vazba úvod Klasifikace signálových zěných vazeb Vliv zěné vazby na aramery zesilovačů Sabilia zesilovačů se zěnou vazbou - araziní oscilace Třídy zesilovačů Základní zaojení ranzisorových zesilovačů Hlavní aramery zesilovačů v základních zaojeních Zesilovač v zaojení se solečným emiorem Zesilovač v zaojení se solečným kolekorem (emiorový sledovač) Zesilovač v zaojení se solečnou bází Vliv eloy na olohu racovního bodu Zěnovazební meody sabilizace racovního bodu Komenzační meody sabilizace olohy racovního bodu Výkonové zesilovače 67

6 Elekronické obvody I 7.7. Výkonové zesilovače ve řídě A Výkonové zesilovače ve řídě B Výkonové zesilovače ve řídě Polem řízené ranzisory v zesilovačích Oerační (a další inegrované) zesilovače Ideální OZ, reálný OZ a jeho základní vlasnosi Tyy OZ a jejich základní zaojení Inegrované zesilovače s řízenými roudovými zdroji Seciální inegrované zesilovače a obvody s OZ 88 8 OSILÁTOY Klasifikace a vlasnosi generáorů signálů a osciláorů 9 8. Princi funkce osciláoru se záorným odorem Princi funkce zěnovazebního osciláoru Osciláory Osciláory A (s auomaickou následnou filrací) Osciláory L a krysalové Sabilní osciláory s nasavielným kmiočem 3 PŘÍLOHA : OPEÁTOOVÝ POČET V ELEKTOTEHNIE LITEATA 37-38

7 Úvodem ÚVODEM čebnice Elekronické obvody I je vyvořena jako jednoný ex ro bakalářské i magiserské sudijní obory Fakuly Vojenských echnologií niverziy Obrany v Brně. V učebnici jsou jednak základní arie exu určené ro bakalářské sudium a dále dolňující čási určené ro magiserskou nadsavbu. K omuo řešení jsme řisouili ze dvou důvodů. Jednak nelze jednoduše rozděli celou roblemaiku do dvou nezávislých ublikací, aniž by se nezrácely souvislosi jednolivých éma a kaiol. Dále je vhodné, když se suden bakalářského sudia může odíva informaivně na navazující hlubší souvislosi a suden magiserského sudia si může rychle zrekaiulova ožadované znalosi z bakalářského sudia. Témaicky učebnice okrývá láku z oblasi elekrických signálů a jejich analogového zracování lineárními obvody, vyučovanou na elekroechnických fakulách škol v Č a S. čebnice edy může bý využia i sudeny ěcho škol. Všude am, kde o bylo účelné a vhodné, je výklad eoreických arií dolněn řešenými říklady. Poznaky z ěcho říkladů jsou zobecňovány a jsou z nich formulovány shrnující závěry. V rvní kaiole o elekrických signálech a mísy i v dalších čásech učebnice je výklad odořen výsuy rogramu MATLAB. Poisované říklady z oblasi elekrických obvodů je možné jednoduše ověřova očíačovými rogramy SNAP a Micro-a a někeré výsledky z kaioly Kmiočové filry rogramem NAF. čebnice se řiom nezabývá oisem ěcho rogramů ani návody na jejich ovládání. Všechny yo rogramy jsou však odrobně osány v samosaných monografiích, keré auoři učebnice nasali zejména ro ořeby sudenů a keré jsou uvedeny v seznamu lieraury od oložkami [], [3] a [4]. Programy jsou volně dosuné na Inerneu rosřednicvím odkazů [I], [I5] a [I] a sudeni s nimi racují jak v organizovaných formách výuky, ak i samosaně na svých očíačích. čebnice reaguje na současnou realiu, kdy racovníci z oboru jsou nuceni racova s informačními zdroji nejrůznější ovahy, zejména s kaalogovými lisy moderních součásek, sahovanými z Inerneu. Za éo siuace je roblemaické srikně dodržova naříklad zásady oužívání jednoných schémaických značek. Sudeny by naříklad nemělo řekvai, že kromě v Evroě oužívané schémaické značky rezisoru se asi časěji budou sekáva se značkou, běžně oužívanou v kaalogových lisech, odborných zahraničních článcích a očíačových simulačních rogramech. Schémaické značky ranzisorů mohou, ale nemusí bý dolněny obvodovým kruhem.neřehledná siuace anuje i v označování zdrojů. Proo v učebnici naleznee nejčasější zůsoby kreslení schémaických značek ro zdroje naěí a ro zdroje roudu. ozšiřující exy ro magiserské sudium jsou v učebnici vyznačeny svislým ruhem odél vnějšího okraje. Tao učebnice je součásí výukových exů, dalších sudijních maeriálů a sofware ro odoru výuky ředměů Kaedry elekroechniky FVT O v Brně. Zájemce odkazujeme na www sránky h://user.unob.cz/k7. V Brně, září 6. Auoři

8

9 Úvod do eorie elekrických obvodů a signálů ÚVOD DO TEOIE ELEKTIKÝH OBVODŮ A SIGNÁLŮ. ELEKTIKÉ SIGNÁLY Komunikace mezi lidmi - ať už římá nebo zrosředkovaná sroji - je založena na řenosu informace. Informace je rodukována zdrojem obvykle v neelekrické odobě, keré se říká zráva nebo sdělení (řeč, hudba, obraz, ex...). Zráva se ro účely řenosu na dálku, uchovávání, zabezečení ad. řevádí na signál, což je fyzikální vyjádření zrávy. Časo se signálem zúženě cháe časový růběh fyzikální veličiny, nesoucí informaci. Je-li fyzikální veličinou naěí nebo roud, hovoříme o elekrických signálech. Každý okus o ois skuečně exisujícího signálu v maemaické nebo grafické formě vede na vorbu jeho modelu. Analýzou modelu ak zjišťujeme vlasnosi skuečného signálu více či méně řesně odle oho, s jak řesným modelem racujeme. Dělení signálů a jejich modelů: ) signály se souvislým časem (coninuous-ime) analogové (analog) signály souvislé v hodnoách signály s diskréním časem - - diskréní signály (discree-ime) číslicové (digial) signály diskréní v hodnoách - - kvanované (quanized) ) signály s nekonečnou dobou rvání eriodické harmonické jiné signály s konečnou dobou rvání (jednorázové) neeriodické imulsy kvazieriodické nezanikající imulsy jiné aeriodické 3) signály deerminisické (určené) signály sochasické (náhodné) Výše uvedené kaegorie signálů nejlée objasníme na říkladech. Naěí snímané z mikrofonu je signálem souvislým v čase i v hodnoách: v růběhu doby rvání je eno signál definován ro všechny časové okamžiky a v rozsahu hodno ohoo signálu jsou všechny úrovně ovoleny (signál může nabý libovolné hodnoy z inervalu hodno). Jedná se edy o signál analogový. Záznam o eloě mooru, snímané v minuových inervalech, je možno ovažova za signál diskréní v čase: signál exisuje ouze v izolovaných (diskréních) okamžicích odečíání. Pokud je velikos eloy vyjádřená s konečnou řesnosí na určiý oče deseinných mís, znamená o, že v daném signálovém rozsahu může signál nabýva ouze omezený oče diskréních hodno. Pak se jedná o signál diskréní v hodnoách (kvanovaný). Signál diskréní v čase i v hodnoách se nazývá číslicový.

10 Elekronické obvody I Signály diskréní v čase se časo získávají ze signálů analogových zv. vzorkováním. Kvanováním hodno ěcho vzorků a jejich řevodem do určiého kódu ak získáme signál číslicový. Důležiým modelem reálných signálů je signál eriodický, kerý je vořen oakováním určiého signálového segmenu. Seciálním eriodickým signálem velkého významu je signál harmonický, kerý je maemaicky osán funkcemi yu sinus a kosinus. Při modelování řechodových dějů nebo dějů s časově omezeným ůsobením jsou užiečné někeré neeriodické signály, naříklad různé imulsy. Časo vysačíme s deerminisickými modely signálů, keré nám umožňují řesně osa budoucí růběh signálu již v říomnosi. Signál, jehož růběh v budoucnu lze ředovědě jen s určiou (ne sorocenní) ravděodobnosí, je signál náhodný (sochasický). eálné signály jsou věšinou náhodné, roože aramery echnicky generovaných signálů jsou náhodně ovlivňovány rosředím. S velkou řesnosí je však mnohdy můžeme nahradi deerminisickými modely, nař. modely eriodických signálů. Sochasickým modelům se nevyhneme naříklad ři rozboru šumových vlasnosí sysémů.. ELEKTIKÉ SYSTÉMY A OBVODY Signál nemůže exisova bez rosředí, v němž vzniká, šíří se, je uchováván nebo se řeměňuje na jiný y signálu. Takovému rosředí se říká sysém. Sysémy mohou bý nejrůznější ovahy mechanické, elekrické, informační, sociální. Seciálním sysémem je elekrický obvod, složený z vzájemně roojených odsysémů součásek, a komunikující s okolím omocí vsuů a výsuů. Dělení sysémů a jejich modelů: ) sysémy racující souvisle v čase (coninuous-ime) analogové (analog) sysémy se signály souvislými v hodnoách sysémy racující diskréně v čase - diskréní sysémy (discree-ime) ) lineární sysémy (linear) číslicové (digial) hybridní - smíšené - sysémy sysémy se signály diskréními v hodnoách (kvanovanými) (quanized) sacionární sysémy (s neroměnnými aramery) (saionary) nelineární sysémy (nonlinear) nesacionární sysémy (s časově roměnnými aramery) (nonsaionary, ime varying) 3) sysémy saické (neservačné, bez aměi, bez akumulačních rvků), osané algebraickými rovnicemi sysémy dynamické (servačné, s aměí, s akumulačními rvky), osané diferenciálními rovnicemi První rovina klasifikace se odvíjí od yů signálů, keré v sysému ůsobí. Příklady yických sysémů: Analogový ranzisorový zesilovač, číslicový číslicový filr. Křížové kombinace (souvislý čas-diskréní hodnoy a diskréní čas-souvislé hodnoy) se oužívají zejména k modelování ea analogově číslicového řevodu (vzorkování, kvanování). Téo klasifikaci se vymykají smíšené hybridní sysémy, keré racují jak s analogovými, ak i s číslicovými signály.

11 Úvod do eorie elekrických obvodů a signálů Druhá klasifikační rovina dělí všechny sysémy na lineární a nelineární, sacionární a nesacionární. Sysém se chová jako lineární, jesliže mezi jeho výsuem a vsuem laí roorcionální závislos (zdvojnásobením vsuního signálu dojde k zdvojnásobení výsuního signálu) a rinci suerozice (odezva na souče dvou signálů je rovna souču odezev na yo signály, ůsobící samosaně). Osaní sysémy jsou nelineární. Tyickým ředsavielem lineárního sysému je sejnosměrný zesilovač, jehož výsuní naěí je x věší než naěí vsuní. Nelineárním sysémem je naříklad diodový usměrňovač. V raxi se časo vyskyují sysémy, fungující na rinciu linearizace. Tyickým ředsavielem je ranzisorový zesilovač racující ve řídě A. Vsuně-výsuní charakerisika zesilovače je sice nelineární, vsuní signál je však naolik slabý, že využíváme jen jejího úseku, kerý je rakicky římkový. Podrobnosi budou vysvěleny v čási 3.. Sacionární sysémy (s neroměnnými aramery) zachovávají své sysémové aramery konsanní v čase. Naříklad výše uvedený zesilovač je sacionární sysém, roože jeho sysémový aramer zesílení, je neměnný (nař. ). Budeme-li mí možnos zesílení elekronicky nasavova a budeme-li jej v růběhu zesilování měni (nař. za účelem modulace), sane se ze zesilovače nesacionární sysém (s roměnným aramerem). Je zřejmé, že oba druhy klasifikace (lineárnínelineární, sacionární-nesacionární) dávají čyři yy sysémů. V omo ředměu se budeme zabýva zejména lineárními sacionárními a nelineárními sacionárními obvody. Třeí klasifikační rovina rozlišuje sysémy, keré nemají vniřní aměť, a roo se vsu římo koíruje na výsu řes říslušnou lineární či nelineární charakerisiku (sysémy saické, neservačné), a sysémy s aměí, kde výsu v daném okamžiku je odvozen nejen bezrosředně ze vsuu, ale bude závise i na savu aměi, a a je dána chováním sysému v minulosi (sysémy dynamické, servačné). V analogových elekrických obvodech zasávají úlohu aměí akumulační rvky yu kaacior a indukor, v číslicových obvodech jsou o aměťové regisry, v magneických obvodech jsou o jádra z magneicky vrdých maeriálů aod. Obecně vzao věšina exisujících sysémů aří do kaegorie sysémů nelineárních, nesacionárních dynamických. V řadě říadů jsou však někeré rojevy, nař. nelinearia či nesacionaria, ak slabé, že je možné od nich absrahova a modelova zkoumaný sysém v rámci jednoduchého modelu, nař. lineárního sacionárního. 3

12 Elekronické obvody I ELEKTIKÉ SIGNÁLY. PEIODIKÉ SIGNÁLY Signál s() je eriodický, jesliže ro každý čas laí vzorec s ( ) s ( T ). (.) Nejmenší kladné číslo T [s], slňující vzorec (.), je oakovací erioda signálu. eciroká hodnoa F [Hz] (.) T je oakovací kmioče, j oče eriod za sekundu. π Ω π F [rad/s] (.3) T je kruhový oakovací kmioče, j oče eriod π radiánů za sekundu. Periodický signál můžeme osa buď řesně omocí jeho časového růběhu v rámci jedné eriody (vzorcem nebo obrázkem), nebo řibližně omocí jeho někerých zv. globálních charakerisik. V někerých alikacích oiž není odsané, jak signál vyadá, nýbrž jakou má naříklad sřední nebo efekivní hodnou. Pak osačí k sanovení účinků signálu na sořebič zjisi říslušnou globální charakerisiku namíso deailního oisu celého časového růběhu. Globální charakerisiky eriodických signálů - energie, výkon, sřední hodnoa, efekivní hodnoa Vyčíslují se inegrálem signálu řes jednu oakovací eriodu, řičemž je lhosejné, kde zvolíme očáeční bod inegrace. Okamžiý výkon signálu (normovaný) ( ) s ( ). (.4) Je o výkon na normované záěži Ω, ůsobí-li na uo záěž signál s() ve formě naěí nebo roudu. Pak oiž () i () u ()/ i () u (). Energie v jedné eriodě signálu (normovaná) je časovým inegrálem okamžiého výkonu: ( ) ( ) W d s d. (.5) T T Sřední výkon za jednu eriodu signálu (normovaný) W P d T ( ) ( ) T T s d. (.6) T T Sřední hodnoa za jednu eriodu (sejnosměrná složka) S sd ( ) [jednoka signálu]. (.7) T T Sřední hodnoa čási signálu (ze signálu je uvažována jen jeho čás délky T c, kerá je současně ovažována za oakovací eriodu) Sc s()d [jednoka signálu]. (.8) T c T c 4

13 Elekrické signály Efekivní hodnoa (druhá odmocnina ze sředního výkonu) S ef P s T T ( ) d [jednoka signálu]. (.9) Vzájemná energie dvou eriodických signálů s a s se soudělnými eriodami (T je věší z obou eriod) ( ) ( ) W W s s d. (.) T Vzájemný sřední výkon dvou eriodických signálů s a s se soudělnými eriodami P P s ( s ) ( d ). (.) T T Jsou-li vzájemné energie (výkony) nulové, ak jsou signály s a s vůči sobě orogonální. Tak se naříklad vůči sobě chovají signály yu sinus a kosinus. Orogonální signály jsou zajímavé m.j. ím, že o jejich smíchání je lze jednoznačně oě od sebe odděli. Toho lze využí k řenosu věšího oču signálů jediným sdělovacím kanálem. Na eorii orogonálních signálů je založena i myšlenka sekrální (Fourierovy) analýzy signálů. Shrnuí a zobecnění: a) Signály různých varů mohou mí sejné sřední nebo efekivní hodnoy. b) Efekivní hodnoa signálu je vždy o něco věší než jeho sřední hodnoa; výjimku voří sejnosměrný signál, u něhož jsou obě veličiny sejné. c) Sřední ani efekivní hodnoa eriodického signálu nezávisí na časovém osunuí signálu (.j. nezávisí na volbě očáku času) a dokonce ani na oakovací eriodě (.j. nezávisí na časové exanzi a komresi). d) Efekivní hodnoa signálu nezávisí na znaménku signálu. e) Sřední hodnoa souču dvou eriodických signálů se sejnou oakovací eriodou je rovna souču jejich sředních hodno. f) Výkon souču dvou eriodických signálů se sejnou oakovací eriodou za uo eriodu (.j. kvadrá efekivní hodnoy) je věší než souče výkonů (.j. kvadráu efekivních hodno) obou signálů. K rovnosi dochází ouze u orogonálních signálů,.j. u signálů s nulovým vzájemným výkonem. Nejjednodušší orogonální signály jsou y, keré se vzájemně neřekrývají v rámci oakovací eriody... Harmonický signál Paří k důležiým eriodickým signálům. Časový růběh je maemaicky je osán funkcemi yu sinus a kosinus. Signál je určen řemi aramery: amliudou ( ), oakovací frekvencí F [Hz], očáeční fází ϕ [ nebo rad]. 5

14 Elekronické obvody I s (), α T s π [] s ϕ α Ω [ rad/s] Obr... Harmonický signál a jeho základní aramery. Další související aramery: velikosi kosinové a sinové složky A a B, (viz obr.. a další ex) kruhová oakovací frekvence Ω, oakovací erioda T, časový osuv S. Z obrázku je zřejmé, že nezávisle roměnnou signálu může bý buď úhel α (maemaický řísu k oisu harmonické funkce), nebo čas (echnický ois signálu, j. časově závislé funkce). Oakovací eriodu edy lze vyjádři buď v úhlových jednokách (π radiánů nebo 36 suňů), nebo v časových jednokách (T sekund). Podle ravidel římé úměry ak můžeme vzájemně řeočíáva souřadnice úhlové a časové osy: α π Ω [rad, s] (.) T S využiím ohoo vzorce ak můžeme řeočíáva očáeční fázi ϕ na časový osuv S (viz obr..) a naoak: ϕ Ω S, ϕ (.3) S Ω Maemaické modely harmonického signálu: s kde sc ( ) s ( ) s ( ) cos( Ω ) ϕ A 443 cosω () B 4 sin Ω () 43, (.4) s c s s! - kosinová složka, - sinová složka harmonického signálu. Z (.4) vylývá, že každý harmonický signál o amliudě, kmioču Ω a očáeční fázi ϕ je možné rozloži na kosinovou a sinovou složku o sejných kmiočech Ω. Naoak souče daných signálů yu sinus a kosinus je harmonický signál o amliudě a očáeční fázi, keré závisí na velikosech ěcho složek A a B. Přeočíávací vzahy (.5) lze odvodi z goniomerické oučky cos Přeočíávací vzahy: ( α β ) cosα.cos β sinα. sin β. 6

15 Elekrické signály ϕ Ω s A B A cosϕ B sinϕ ; Ω π F π T B arcg, K A A ϕ B arcg π, K A < A (.5) -B sin ϕ ϕ A cosϕ Komlexní vyjádření harmonického signálu (založeno na ideniě sobě roující fázory: s jω jϕ jω jω jω jϕ () e { c& &, e 3 & c& & e e e 3 & 443 jϕ c& c& ce &, arg c& ϕ c& e cos α e jα e jα ) - roi (.6) Ω &c ϕ u( ) &c* * ϕ Ω u () seměníharmonickyvmezích<, > Obr... Vzah roujících fázorů a okamžié hodnoy. Z rovnice (.6) a obr.. vylývá, že harmonický signál o amliudě, kmioču Ω a očáeční fázi ϕ je možné modelova jako vekorový souče dvou roujících fázorů. Výsledný vekor leží vždy v reálné ose a jeho velikos je rovna velikosi harmonického signálu. První z vekorů má velikos oloviční než je amliuda signálu a v čase svírá s kladnou reálnou oloosou úhel ϕ. ouje kolem očáku souřadnic roi směru ohybu hodinových ručiček úhlovou rychlosí Ω radiánů za sekundu. Druhý z vekorů má sejnou velikos, ale oačnou očáeční fázi a rouje v oačném smyslu. 7

16 Elekronické obvody I Sejnosměrný signál jako zvlášní říad harmonického signálu ro W : Jak ukazuje obr..3, sejnosměrný signál > ( < ) je možné cháa jako zvlášní říad harmonického signálu o amliudě, očáeční fázi ϕ (ϕ 8 ) a kmioču Ω rad/s. a) ϕ Ω b) ϕ 8 Ω Obr..3. Sejnosměrný signál jako zvlášní říad harmonického signálu ro nulový kmioče. Globální charakerisiky harmonického signálu: Sřední hodnoa za jednu eriodu S. (.7) Sřední hodnoa kladné ůlvlny S & 6366,. (.8) π Efekivní hodnoa Sef & 77,. (.9) Tyo údaje lze ověři dosazením maemaického modelu harmonického signálu do obecných vzorců (.7), (.8) a (.9). Shrnuí a zobecnění: a) Je-li očáeční fáze nulová, harmonický signál je signálem kosinovým. Exrém kosinusovky si označíme ečkou. Při následné změně očáeční fáze se eno znak bude osouva dorava nebo doleva. b) Při kladné, res. záorné očáeční fázi se kosinusovka řesouvá doleva, res. dorava o časové ose. c) Fázové osuvy 8 a -8 jsou ekvivalenní, znaménko u očáeční fáze 8 edy nehraje roli. Posuv o 8 znamená změnu znaménka (inverzi) harmonického signálu. Amliudu v (.4) je vhodné definova jako nezáorné číslo, aby nedocházelo k nejednoznačnosi ři určování očáeční fáze. Nař. signál s() -5 cos(ω -45 ) má amliudu 5V (nezáorné číslo) a očáeční fázi -5 (nebo aké 35 ), neboť -5cos(Ω -45 ) 5 cos(ω -45 ± 8 ) 5 cos(ω -5 ) 5 cos(ω 35 ). d) Dohodnuým základním varem ro maemaický ois harmonického signálu je var kosinový (.4). Proo je-li signál osán funkcí sinus, je řeba ji za účelem zjišění očáeční fáze řevés na funkci yu kosinus odle vzahu sin ( α) cos( α ) 9. 8

17 Elekrické signály s () cos( ω ) ϕ s () cos( ω 8 ) cos( ω ) ϕ 8 a) s () d) s () T s () cos( ω 9 ) sin( ω) ϕ 9 s () cos( ω 8 ) cos( ω) ϕ 8 b) s () e) s () T 4 T s () cos( ω 9 ) sin( ω) ϕ 9 c) s () f) "-sin" 9 j > T4 "-cos" 8 "cos"... j < "sin" -9, 7 Obr..4. a) e) Harmonické signály s různými očáečními fázemi, f) omůcka k amaování očáečních fází signálů yu sinus, kosinus a signálů z nich odvozených. Naříklad signál u() -5sin(Ω-45 ) má amliudu 5V a očáeční fázi 45, neboť -5sin(Ω-45 ) -5 cos(ω-45-9 ) 5 cos(ω-45-9 ±8 ) 5 cos(ω45 ). e) Je-li harmonický signál o kmioču Ω osunu o časový úsek S, odovídá o úhlovému osunuí ϕ Ω S. (.) Posunou-li se dva harmonické signály různých kmiočů o sejný časový úsek, osunou se o různé úhly: signál o vyšším kmioču bude osunu o věší fázový osuv. f) Fázový osuv dvou harmonických signálů s () a s () o sejných kmiočech a očáečních fázích ϕ a ϕ je ϕ ϕ ϕ. (.) Je-li ϕ >, res. ϕ <, říkáme, že signál s () ředbíhá, res. je zožděn za signálem s ()... Fourierova řada eriodického signálu Je maemaický záis vrzení, že eriodický signál s () s oakovacím kmiočem F lze složi z konsanního signálu a harmonických signálů o kmiočech k.f, k,,3,... : 9

18 Elekronické obvody I s ( ) S S ( Ω ) S cos(. Ω ϕ ) K S cos( k Ω ϕ ) K ϕ k. cos (.) k rvní (základní) harmonická vyšší harmonické S S cos( kω ϕ ), k k k sejnosměrná složka kde S k - amliuda k-é harmonické složky (S k ), (sřední hodnoa) kω kruhový oakovací kmioče k-é harmonické složky, ϕ k - očáeční fáze k-é harmonické složky. sřídavá složka Z vzorce (.) je zřejmé, že každý eriodický signál se skládá z zv. sejnosměrné a sřídavé složky. Sejnosměrná složka je rovna sřední hodnoě signálu za oakovací eriodu. Sřídavá složka se skládá z harmonických signálů o nulových sředních hodnoách, je o edy ůvodní signál zbavený sejnosměrné složky. Sřídavá složka obsahuje zv. rvní harmonickou o kmioču, kerý je sejný jako je oakovací kmioče eriodického signálu, a z vyšších harmonických, kerých je obecně nekonečný oče a jejichž kmioče je celočíselným násobkem kmioču rvní harmonické. ozklad (.) eriodického signálu na dílčí komoneny je jednoznačný a laí, že každé dva různé eriodické signály o oakovacím kmioču Ω jsou jednoznačně rerezenovány různými dvojicemi množin {S S S.. S k..}, {ϕ ϕ ϕ 3.. ϕ k..}. Grafické znázornění ěcho množin ve formě sekrálních čar na kmiočové ose se nazývá sekrum signálu (viz dále). Prochází-li signál elekrickým obvodem, můžeme o cháa jako růchod množiny jeho harmonických složek. V důsledku rozdílných řenosových schonosí obvodu na různých kmiočech dojde k omu, že na výsuu obvodu budou jednolivé harmonické složky vzájemně různě ulumeny a fázově osunuy, akže výsuní signál sice bude rovněž eriodický, ale oroi vsunímu signálu bude zkreslený. Sekrum signálu, res. rozložení jeho sekrálních čar na kmiočové ose, ak solu s kmiočovou charakerisikou obvodu řináší užiečný a názorný násroj na cháání jevů sojených s inerakcemi signálů a obvodů. Proože harmonický signál je možné zasa ješě v jiných varech, než jak je uvedeno ve vzorci (.) konkréně v rozkladu na sinovou a kosinovou složku a aké v komlexním varu jako souče dvou roujících fázorů exisují omu odovídající vary Fourierovy řady. Níže je bez odvození uveden osu výoču množin {S S S.. S k..}, {ϕ ϕ ϕ 3.. ϕ k..} na základě znalosi časového růběhu signálu v rámci jedné oakovací eriody. Odvození bude rovedeno ozději v souvislosi se zobecněnou Fourierovou řadou. Výoče S k a ϕ k omocí Fourierových koeficienů yu k, A k, B k, (různé vary Fourierovy řady): & k, &c k s () c& k k e { { cos ( ) k kω ϕk c { ck { & k k S jkω S k cos jkω A & k e Ak k { k k S S S k ( c ) cos( kω arg k ) 3 & ϕ ( kω ) B sin( kω ). k k (.3) komlexní kosinový složkový var Fourierovy řady

19 Elekrické signály Výoče Fourierových koeficienů z časového růběhu signálu během jedné oakovací eriody Ak T B k & k T T T T T s s s () cos( kω ) d... ro liché signály : s () s ( ), () sin( kω ) d... ro sudé signály : s () s ( ), jkω jkω k k () e d... A jb, c& s () e d. k k k T T A jb (.4) Shrnuí a zobecnění osu výoču amliud a očáečních fází harmonických složek signálu z jeho časového růběhu: a) Výoče komlexních Fourierových koeficienů & k Ak jbk omocí (.4). Pokud je signál sudá, res.lichá funkce času, osačí vyočía ouze koeficieny A k, res. B k. b) Výoče amliud S k & k a očáečních fází ϕ k arg( & k ) ro k,, 3, c) Výoče sejnosměrné složky S /...3 Sekrum eriodického signálu je vořeno množinou jeho harmonických složek. Graficky se sekrum znázorňuje sekrálními čarami jako amliudové a fázové sekrum. Amliudové sekrum: na vodorovnou osu se vynáší kmioče, na svislou osu amliudy S k. K-é harmonické odovídá sekrální čára, umísěná na kmiočovou osu do kmioču éo harmonické, a její délka odovídá amliudě S k. Amliudové sekrum edy obsahuje olik sekrálních čar, kolik je harmonických složek eriodického signálu. Sejnosměrná složka jako zvlášní říad harmonické složky má ozici na kmiočové ose ro nulový kmioče (v očáku). Proože amliuda nemůže bý záorná, vynáší se zde absoluní hodnoa sejnosměrné složky. Fázové sekrum: na vodorovnou osu se vynáší kmioče, na svislou osu očáeční fáze ϕ k. K- é harmonické odovídá sekrální čára, umísěná na kmiočovou osu do kmioču éo harmonické, a její délka odovídá očáeční fázi ϕ k. Fázové sekrum edy obsahuje olik sekrálních čar, kolik je harmonických složek eriodického signálu. Fáze sejnosměrné složky je buď nula, je-li ao složka kladná, nebo ±π radiánů (±8 ), je-li záorná. Příklady seker vybraných eriodických signálů Harmonické signály a jednoduché signály z nich odvozené - viz obr..5. a) Harmonický signál yu sinus, což znamená očáeční fázi -9 oroi referenčnímu kosinu, amliuda V a oakovací erioda ms. Oakovací frekvence je edy khz. Amliudové i fázové sekrum je edy jednočarové signál obsahuje ouze rvní harmonickou. b) Sejnosměrný signál o hodnoě V. Signál se skládá ouze ze sejnosměrné složky. Sekrum edy obsahuje jedinou čáru na kmioču Hz. Počáeční fáze je nulová, roože sejnosměrná složka je kladná.

20 Elekronické obvody I c) Periodický signál, vořený součem signálů a) a b). Sekrum vznikne sloučením seker obou signálů. d) Harmonický signál yu kosinus s nulovou očáeční fází. Amliuda,V, oakovací erioda,ms, oakovací frekvence khz. Amliudové i fázové sekrum je jednočarové jako u signálu a). e) Signál vznikl sloučením signálů c) a d): má sejnosměrnou složku V, harmonickou složku o kmioču khz a harmonickou složku o kmioču khz. Z hlediska sekra je. harmonická na kmioču khz a složka na kmioču khz je edy. harmonická. Všechny osaní harmonické jsou nulové. f) Harmonický signál yu sinus s očáeční fází -9, amliuda V, oakovací erioda,5ms, oakovací frekvence khz. Sekrum viz signál a), čáry jsou ale na kmioču khz. g) Toéž co f), ale erioda je /3 ms a kmioče 3kHz. h) Souče signálů f) a g). Výsledný signál má oakovací eriodu ms. Vysvělení je možné hleda ve sekru, keré obsahuje ouze nenulové sekrální čáry na kmiočech khz a 3kHz. Základní harmonická na kmioču khz je nulová. Navzdory omu její kmioče určuje oakovací kmioče eriodického signálu. Shrnuí a zobecnění: a) Harmonický signál se logicky skládá ouze z jediné harmonické složky (jedna dvojice čar), je edy sám sobě rvní (a jedinou) harmonickou. b) Kmioče harmonického signálu je zřejmý z olohy sekrálních čar na kmiočové ose. Pomalejší, res. rychlejší signály budou mí sekrální čáry umísěny blíže, res. dále od očáku. c) Výška amliudové sekrální čáry římo udává velikos amliudy signálu. d) Souřadnice ϕ fázové sekrální čáry římo udává velikos očáeční fáze signálu. e) Sekrální rerezenace signálu je univerzální v om, že ji lze rozšíři i na neharmonické signály. Skládá-li se signál z více harmonických složek, můžeme ze sekra zjisi jejich oče a informace o jejich aramerech. f) Skládá-li se eriodický signál z harmonických složek na kmiočech F a F, ak oakovací kmioče signálu F musí vyhovova rovnici F k F, F k F, k a k jsou řirozená čísla. Oakovací kmioče se ak určí z dané rovnice ro nejmenší možná čísla k a k, kerá ješě rovnici vyhovují. Pokud není možné naléz číslo F ro žádnou kombinaci řirozených čísel k a k, není výsledný signál eriodický (je kvazieriodický).

21 Elekrické signály a) V u () sin( ω ) k V b) V -V u () ms ϕ k k khz 9 V f f c) V V u () sin( ω ) ms ϕ k k V khz f f f ϕ k ms 9 f d) u () k,v,v, cos( ω ) ms ϕ k khz f f e) V u () sin( ω), cos( ω ) k V,V V khz khz f ϕ k f) V u () sin( ω) ms k 9 V f g) V -V u () sin( 3ω ) ms ms ϕ k k khz 9 V f f 3kHz f h) V -V u () sin( ω ) sin( 3ω ) ϕ k k V 9 f -V ms ϕ k k k 3kHz 9 f f Obr..5. Příklady eriodických signálů a jejich seker. 3

22 Elekronické obvody I Obdélníkový signál i u () T m i i Obr..6. Periodický sled obdélníkových imulsů. Sekrum sanovíme ve řech fázích: a) Nalezení Fourierových koeficienů. b) Výoče amliud a fází harmonických složek. c) Náčr sekra. ad a) Nalezení Fourierových koeficienů Signál je sudá funkce času bude obsahova ouze kosinové složky B k k, A k k, & A. A i ( ) T ud d T max sejnosměrná složka k > : Obecně kde A k T i A i max. T max i T sin Ω i max max () cos max cos sin k i Ω i i u kω d kω d k. T T kω T T T Ω i i k max A & i sinc Ω i k, k,,,.., (.5) k k k T sinc ( ) ( ) ( ) sin ro ( ) ro ( ) je zv. vzorkovací funkce. k k ad b) Výoče amliud a fází harmonických složek Sejnosměrná složka Amliuda k-é harmonické A i. max T maxi sinc Ω i k Ak & k k. T 4

23 Elekrické signály Fáze k-é harmonické ad c) Náčr sekra - viz obr..7. ϕ k Ω i ro sin k >, Ω i π ro sin k <, libovolná ro sin Ω i k. T m i k T m i k ϕ Ω k π 4π Ω 3Ω 4Ω 6Ω 7Ω 8Ω 9Ω Ω i i F F 3F 4F 6F 7F 8F 9F F π kω i i kf,% z T m i k π 4π Ω Ω 3Ω 4Ω 6Ω 7Ω 8Ω 9Ω Ω k Ω i F F 3F 4F 6F 7F 8F 9F F i i i kf Obr..7. Sekrum amliud a očáečních fází obdélníkového signálu z obr..6 ro T / i 5. Shrnuí a zobecnění: a) Sekrální čáry obdélníkového signálu z obr..6 ro obecný oměr T / i získáme ako: Amliudové sekrum Vyočeme / i [Hz] a získáme kmioče, kdy obálka sekrálních čar yu sinc(x) orvé rojde nulou. Vyočeme max i /T [V] a získáme maximální souřadnici obálky ro kmioče f. Načrneme obálku sinc(x) sekrálních složek. Maximum. laloku je asi % maxima.laloku (viz obrázek amliudového sekra). Na kmiočovou osu vyneseme značky na kmiočech F, F, 3F,.., kde F /T je kmioče.harmonické složky. Značky roáhneme až k obálce (výjimka - sejnosměrná složka jde jen do oloviny cesy k obálce) a získáme sekrální čáry amliudového sekra. Fázové sekrum Fáze je buď nebo ±π rad (±8 ) odle oho, jak se sřídají laloky, v nichž se sekrální čáry nacházejí. Je-li někerá z harmonických nulová, ak nemá smysl hovoři o fázi sekrální složky, kerá neexisuje. Proo ve fázovém sekru oužijeme seciální znak, nař. x. 5

24 Elekronické obvody I vedený osu náčru sekra musí bý mírně modifikován, bude-li obdélníkový signál z obr..6 osunu ze základní olohy v hodnoách nebo v čase. b) Je-li oměr oakovací eriody a šířky imulsu celé číslo,.j. T n, i ak ve sekru vymizí každá n-á harmonická. Toho lze využí k řesnému nasavování šířky imulsu omocí sekrálního analyzáoru. P. Vyočěe amliudy a očáeční fáze rvních harmonických složek signálu na obr..8. u () V ms [ ms] Obr..8. Analyzovaný eriodický signál. Řešení: m π V, i ms, T 5ms F Hz; Ω π F ; T T T / i 5 ve sekru vymizí 5.harmonická složka a její celočíselné násobky; sejnosměrná složka: m i /T,V; & k mi i π i sinc k Ω,4sinc k,4sinc T T π, &, k >. k k ( k, ); k & k [ V] [ V] & arg( & k ) ϕ k [ rad] [ ] k V k,4,4,,374,374,374,38,38,37 3,8,8,8 4,935,935,935 5 x 6 -,637,637 π, ,8649,8649 π, ,7568,7568 π, ,458,458 π,458 x M M M M M 6

25 Elekrické signály T m i,4 k [V],,,4,6,8,,4,6,8, f [khz] ϕ k [rad] π,,4,6,8,,4,6,8, f [khz] Obr..9. Sekrum signálu z obr..8. Jednocesně usměrněný harmonický signál u ()[ V] T max [ ms] Obr... Jednocesně usměrněný kosinový signál. Sanovení sekra: B k (sudý signál); T ms F 5Hz, Ω π.5 rad/s, A 3 5. i() cos( kω ) d cos( Ω) cos( kω) d. k T T 3 T 5. Využijeme oho, že cosα cosβ cos α β cos α β ( ) ( ). A k T T 4 T 4 cos sin ΩT T 4 [( k ) Ω] d cos[ ( k ) Ω] T 4 k T 4 T 4 sin d T [( k ) Ω] ( k ) Ω T 4 k sin ( k ) Ω sin ( k ) Ω sin ( k ) Ω sin ( k ) [( k ) Ω] ( k ) Ω T Ω 4 π π π sin ( ) sin ( ) cos k k k úrava, k ±. π k k π k T 4 T 4 7

26 Elekronické obvody I Pro k : T 4 A cos ( Ω) d A. T T 4 Počínaje 3. harmonickou složkou jsou všechny liché harmonické složky nulové. I k [ A] k A k [ A ] I k [ A ] ϕ k [],6366,383,5,5,, 3 x 4,44, x 6,8,8 7 x 8,, 8 9 x,64,64 M M M M,5,3, ϕ k [ ] f [ Hz] f [ Hz] Obr... Sekrum signálu z obr... Shrnuí a zobecnění: Jednocesně usměrněný harmonický signál lze oměrně řesně aroximova sejnosměrnou složkou a rvními dvěma harmonickými. Teno signál není zdrojem silných rušivých vyšších harmonických. Oříznuý harmonický signál Zobecněním jednocesně usměrněného signálu je signál na obr... Úroveň ořezání je dána zv. olovičním úhlem oevření Θ. Pro Θ π/ radiánů dosáváme jednocesné usměrnění. Teno signál se časo oužívá k modelování chování řady zařízení, kde určiý obvodový rvek, nař. dioda nebo ranzisor, racují v nelineárním režimu (usměrňovače, rezonanční zesilovače, násobiče kmioču aod.). Sekrální složení akového signálu bude silně závislé od úhlu oevření. V rámci jedné eriody lze signál osa ako: i /, / ), α ( Θ, Θ) : ( i I max cos( Ω) ( I max I m ) ro < i / i( ), ro / i I i( α) cosα ( I I ro α < Θ max max m, ) ro α Θ kde Ω π / T. Z obr.. dále vylývá vzah mezi velikosmi I max a I m : I m I max I m I max cosθ I max (.6) cosθ 8

27 Elekrické signály / i i() / i T I m I max Θ Θ I max -I m α π Obr... Kosinový signál s obecným ořezáním. Sanovení sekra: B k (sudý signál); A Θ i() cos( kω ) d ( I cosα Imax Im )cos( kαdα T π k ). max T Θ Výoče inegrálu vede na eno výsledek: A k Θ I max k π { sinc[ ( k) Θ] sinc[ ( k) Θ] cosθ.sinc( Θ) } Pro amliudy harmonických složek edy laí: I k max, k,,, (.7) χ ( Θ) I, (.8) k kde χ (Θ) jsou zv. Bergovy koeficieny, dané vzorci k Θ χ k ( Θ) { sinc[ ( k) Θ] sinc[ ( k) Θ] cosθ.sinc( kθ) } ro k> (.9) π χ ( Θ) { sin Θ ΘcosΘ}. (.3) π Počáeční fáze jednolivých harmonických jsou buď nulové nebo 8 odle oho, jesli jsou říslušné Bergovy koeficieny kladné nebo záorné. Někdy je výhodnější očía sekrum nikoliv omocí údaje I max, nýbrž I m. Pak s využiím (.6) můžeme sá: I α (Θ) I, (.3) k k m kde α (Θ) jsou zv. Schulzovy koeficieny, dané vzorci k χ k ( Θ) α ( Θ). (.3) k cosθ Schulzovy, res. Bergovy koeficieny je možné získa na základě znalosi olovičního úhlu oevření Θ z zv. Schulzova, res. Bergova diagramu (viz obr..3 a.4). Sanovení sekra signálu je ak snadné: zjisíme hodnoy Θ, I m, res. I max, z diagramu odečeme říslušné koeficieny a jejich vynásobením s I m, res. I max (viz (.8), res. (.3)) určíme harmonické složky. 9

28 Elekronické obvody I,5 α,4 α,3 α, α 3, α 5 α 6 α α 7 α 8 α 9 α Θ [ ]. α. α α α 9 α 8 α 7 α α 5 α Θ [ ] α 3 Obr..3. Schulzův diagram.

29 Elekrické signály,,9,8,7,6,5,4,3 γ γ, γ, γ 3 γ 5 γ 4 -, Θ [ ] γ γ,6 γ 3 γ,4 γ γ 4 γ 5, γ 7 γ γ 8 γ9 γ 6 -, -,4 -, Θ [ ] Obr..4. Bergův diagram.

30 Elekronické obvody I..4 Obecné vlasnosi Fourierových koeficienů a sekra eriodického signálu Níže uvedené oučky lze odvodi z definičních inegrálů Fourierových koeficienů. a) Linearia (s () a s () musí mí sejnou oakovací eriodu): signál s ( ) s ( ) as ( ) as ( ) c&, k c&, k koeficieny &c k ac& ac&, k, k (.33) Je-li eriodický signál vořen lineární kombinací jiných signálů, ak jeho sekrum je dáno lineární kombinací seker ěcho signálů. b) Posun eriodického signálu v čase: signál s ( ) s τ ( ) koeficieny &c k &c k &ce k jkω τ (.34) Je-li eriodický signál zožděn o časový úsek τ, ak jeho - amliudové sekrum se ímo zožděním neovlivní (moduly koeficienů ůvodního a osunuého signálu jsou sejné), - fázové sekrum se změní ak, že očáeční fáze. harmonické se zmenší z ůvodní hodnoy o Ω τ radiánů, očáeční fáze. harmonické o Ω τ radiánů,, očáeční fáze k-é harmonické o kω τ radiánů. c) Posun sekrálních čar: signál s ( ) jm s( ) e koeficieny &c k &c k Ω, m celé &c k m (.35) Násobíme-li eriodický signál o kruhovém oakovacím kmioču Ω danou komlexní exonenciální funkcí, osunou se sekrální čáry o m ozic doleva o kmiočové ose. d) Přesměrování oku času: signál s ( ) ( ) koeficieny &c k s c & c& &c k k k (.36) Pokud bychom eriodický signál vnímali v obráceném oku času (nař. řehrávání zvukové nahrávky ozáku ), ak amliudové sekrum zůsane nezměněno, ale očáeční fáze všech harmonických změní znaménko.

31 Elekrické signály e) Derivace eriodického signálu: signál s ( ) d d s ( ) koeficieny &c k &c k jk Ω c& (.37) k Prochází-li eriodický signál derivačním článkem, ak se jeho sekrum změní ako: - sejnosměrná složka se vynuluje (k ), amliuda. harmonické se zvěší Ω krá, amliuda. harmonické Ω krá,.. amliuda k-é harmonické kω krá, - očáeční fáze všech harmonických se zvěší o π/ radiánů. f) Inegrace eriodického signálu, kerý má nulovou sejnosměrnou složku: signál s ( ) s ( ) d koeficieny &c k &c k c& k jkω (.38) Prochází-li eriodický signál inegračním článkem, ak jeho inegrál je oě eriodický signál, okud vsuní signál neobsahuje sejnosměrnou složku (okud ano, reakce inegráoru na uo složku rose lineárně nade všechny meze a výsu již není eriodický). Inegrování změní sekrum ako: - sejnosměrná složka je dána neurčiým výrazem / a bude závise na očáečních odmínkách inegráoru, amliuda. harmonické se zmenší Ω krá, amliuda. harmonické Ω krá,.. amliuda k-é harmonické kω krá, - očáeční fáze všech harmonických se zmenší o π/ radiánů. g) Součin dvou signálů se sejnou oakovací eriodou: signál s ( ) s ( ) koeficieny &c k c&, k c&, k s( s ) ( ) c&, n c&, k n n (.39) Je-li eriodický signál vořen součinem dvou jiných signálů s ouéž oakovací eriodou, ak výsledné sekrum vznikne konvolučním součinem seker ěcho signálů. h) Konvoluční součin dvou eriodických signálů v rámci eriody: signál s ( ) s ( ) c&, k c&, k ( ) ( ) koeficieny &c k s ξ s ξ dξ c&, k c&, k (.4) T 3

32 Elekronické obvody I Je-li eriodický signál vořen konvolučním součinem dvou jiných signálů s ouéž oakovací eriodou, ak výsledné sekrum vznikne vynásobením odovídajících si sekrálních čar ěcho signálů...5 Parsevalův eorém ro eriodické signály Odvození eorému bude uvedeno v obecném varu v kaiole Zobecněná Fourierova řada eriodického signálu. Kvadrá efekivní hodnoy ( normovaný výkon) eriodického signálu se rovná souču kvadráů efekivních hodno jeho harmonických složek: T S k s ( ) d Sef S T k Záis omocí Fourierových koeficienů: S ef k. (.4) ( Ak Bk ) k A c& k. (.4) 4 4 k k Parsevalův eorém vrdí, že skládá-li se eriodický signál z harmonických složek, ak efekivní hodnou celého signálu získáme sečením efekivních hodno dílčích harmonických ve smyslu zobecněné Pyhagorovy věy, j. jako druhou odmocninu ze souču kvadráů efekivních hodno. P. Vyočěe efekivní hodnou signálu z obr..8, sousředěnou v kmiočovém ásmu a) khz, b) khz, c) khz, d) Hz. Řešení: Použijeme Parsevalův eorém. a) 3 4 ef, & 449, V (95,% z ef ) b) ef, &,97V,8% z ef, (,8% z ef ), 9 c) k ef, ef, ef, &,43586V (97,5% z ef ), d) ef ( ) u d d T & 447, V, T 3,5. 3 3,5. Jinak ef k k, neznáme další harmonické, roo Shrnuí a zobecnění: V. laloku sekra, j. do kmioču / i, je sousředěno asi 95% výkonu celého signálu. hceme-li sdělovací sousavou řenés obdélníkový signál bez odsaného zkreslení, musí bý sousava schona řenés na svůj výsu co nejvíce sekrálních složek bez úlumu, alesoň do kmioču / i. 4

33 Elekrické signály..6 Souvislosi mezi časovým růběhem eriodického signálu a jeho sekrem Tyo důležié souvislosi budou ukázány na několika říkladech. Jedná se o konkreizaci a další rozšíření obecných vlasnosí Fourierových koeficienů a sekra eriodických signálů z ředchozí kaioly. P.3 o se sane se sekrem signálu z obr..5 vlevo, zúží-li se dvakrá šířka imulsu? Řešení: Viz obr..5 vravo. u ()[ V] u ()[ V] V V [ ms] [ ms] ms,5ms mi T,4, k [ V] mi T,, k [ V],,4 f [ khz],,4 f [ khz] ϕ k[ rad] π ϕ k[ rad] π,,4 f[ khz],,4 f [ khz] Obr..5. Vliv zúžení imulsů na sekrum. Shrnuí a zobecnění: a) Při zužování imulsů rose šířka.laloku / i, sekrální čáry zanikají ozvolněji. Jsou menší než u širších imulsů, roože v užších imulsech je sousředěn menší výkon. b) Obvod řenášející úzké imulsy musí bý schoen řenáše bez úlumu vyšší sekrální složky než ři zracování širších imulsů. c) Obecná zákonios: kráké imulsy široké sekrum. Poznámka: na sr. 8 rovedeme uřesnění osledního vrzení. P.4 o se sane se sekrem signálu z obr..6 vlevo, dojde-li k zvěšení jeho oakovací frekvence z Hz na 5Hz? Řešení: Viz obr..6 vravo. 5

34 Elekronické obvody I u ()[ V] u ()[ V] V V [ ms] [ ms] ms ms mi T,4 k [ V] mi T,5 k [ V],,5,,4 f [ khz],5,5 f [ khz] ϕ k [ rad] π ϕ k [ rad] π ϕ,,4 f[ khz],5,5 f [ khz] Obr..6. Vliv oakovací frekvence na sekrum. Shrnuí a zobecnění: Při vzrůsu oakovací frekvence imulsů dojde k zředění sekrálních čar a k jejich roorcionálnímu zvěšení, roože vzrose i energie signálu (imulsy se časěji oakují). P.5 o se sane se sekrem signálu z obr..7 vlevo, dojde-li k jeho sejnosměrnému osunuí odle obr..7 vravo? u ()[ V] u ()[ V] V ms [ ms] V, [ ms] -,5 mi T,4 k [ V] mi T,4,3 k [ V],,,4 f [ khz],,4 f [ khz] ϕ k[ rad] π ϕ k[ rad] π,,4 f[ khz],,4 f[ khz] Obr..7. Vliv sejnosměrného osunuí signálu na jeho sekrum. 6

35 Elekrické signály Řešení: Viz obr..7. Tvar signálu se nezměnil, ouze jeho sejnosměrná složka: ,.. T 5,.. 54,.. 5,. 3, V Shrnuí a zobecnění: Změnou sejnosměrného osuvu se nemění sekrální čáry s výjimkou čáry na kmioču Hz. Posuvem je ovlivněna ouze sejnosměrná složka, vyšší harmonické očínaje rvní udávají var signálu. 3 P.6 Porovneje sekra signálu řed a o jeho růchodu inverujícím zesilovačem o řenosu 5. Řešení: Všechny harmonické složky včeně sejnosměrné složky budou násobeny číslem -5. Vliv na amliudové sekrum: všechny amliudové čáry se 5x rodlouží. Vliv na fázové sekrum: fáze všech složek se změní o 8. P.7 Signál je nejrve zaznamenán na médium a ak řehrán dvojnásobnou rychlosí. Jak se změní sekrum? Řešení: T π π sm ( ) sm ( ); m > L komrimace v čase (zrychlení); Tm ; Ωm m T T m Ω. m m < K exanze v čase (zomalení) m s () T S& ( kf ) % T m sm () S& ( kf ) kf % kf Obr..8. Vliv komrimace signálu v čase na jeho sekrum. c& km, jkω m jkω m s ( e ) d sm ( ) e d T m T mt T m m m m ( ) &. T s e jkω α α α α ck dm dα d T m α dα md 7

36 Elekronické obvody I Shrnuí a zobecnění: Při časové komresi (exanzi) signálu s fakorem m se kmioče každé harmonické ve sekru m krá zvěšuje (zmenšuje). Dochází edy k řemísťování harmonických o kmiočové ose beze změny jejich velikosí a fázových osuvů. P.8 Dokaže, že oba signály uvedené na obr..9 mají naroso sejné sekrum amliud očínaje.harmonickou složkou. u ( ) u ( ) m m T T i i i Obr..9. Analyzované signály. Řešení: Souče obou signálů dává sejnosměrný signál m : ( ) ( ) ( ) ( ) u u m u u. m Signál u () je edy inverovaný signál u () se změněnou sejnosměrnou složkou. Prosá inverze signálu nemá vliv na amliudové sekrum. Proo rozdíl v amliudových sekrech obou signálů bude jen v sejnosměrné složce. Shrnuí a zobecnění: Průběh amliudových seker je u obou obdélníkových signálů sejný ro k >, kde k je ořadí harmonické. Pro šířku sekra je edy rozhodující nejen šířka imulsu, ale sejně ak i šířka mezery mezi imulsy (uřesnění vrzení ze sr. 5). P.9 Jak se změní sekrum eriodického signálu o růchodu ideálním zožďovacím vedením, jesliže ro vsuní a výsuní signál vedení laí vzah Řešení: ( ) ( ) s s τ, τ > je zoždění. Zozdíme-li eriodický signál o čas τ, osuneme o čas τ všechny jeho harmonické složky, z nichž je složen, beze změny amliud. Amliudové sekrum se edy nezmění. Zoždění.harmonické složky o čas τ znamená její fázový osuv o -Ωτ. Zoždění k-é harmonické složky o čas τ znamená její fázový osuv o -k.ωτ. Maemaické odvození: 8

37 Elekrické signály jkω c& k, s( e ) d, T c& T ( ) ( ) ( ) ( ) T s e jkω d T s e jkω d τ α d d T s e jkω α τ τ α d α α k, T jkω τ e ( ) &, T s e jkω α d e jkω τ α α c k c& c&, ϕ k, k, T arg c& arg c& kωτ ϕ kωτ. k, k, T T..7 Vzah Fourierovy řady eriodického signálu a DFT Pomocí algorimu DFT (Diskréní Fourierovy Transformace) lze s danou řesnosí vyočía sekrální složky eriodického signálu z vzorků ohoo signálu. Podrobnosi budou uvedeny v učebním exu věnovanému číslicovému zracování signálu. DFT - ředis ro výoče N sekrálních čar signálu z N vzorků signálu. Děje se neřímo ve dvou krocích: ) Výoče komlexních koeficienů DFT: & jknπ N X se, n,,,.., N ; n N k k ( ) s skt N... k-ý vzorek signálu v eriodě k (.43) ) Výoče harmonických složek z koeficienů DFT: sejnosměrná složka: S X& N X N n-á harmonická: amliuda S X & N (.44) fáze ϕ n arg ( X & n ) n Koeficieny DFT vykazují komlexně sdruženou symerii a eriodiciu odle vzorce n X& X& * n, (.45) N n akže hodláme-li vyočís m sekrálních čar, musíme zvoli oče bodů N m. Poznámka: Výoče sekrálních čar eriodického signálu omocí DFT není řesný, okud signál neslňuje vzorkovací odmínku (viz učební exy ro číslicové zracování signálů). Pak chyba výoču obecně klesá ři růsu oču bodů N. Poznámka: Algorimus DFT je výočeně náročný. V raxi se časo oužívá rychlý algorimus, nazývaný FFT (Fas Fourier Transform). Teno algorimus však vyžaduje, aby oče bodů N byl roven celočíselné mocnině čísla, j. N, 4, 8, 6, 3, 64, 8, 56, 5, 4,.. P. Signál u() 5cos(W) sin(w), W /T F, T ms, F khz, je eriodický s oakovací eriodou ms. Vyočěe jeho harmonické složky meodou DFT (-i bodové). Řešení: 9

38 Elekronické obvody I Oakovací eriodu rozdělíme na dílů o, ms a vyočeme vzorky signálu u(), u(t/), u(t/),..., u(9t/), neboli oužijeme vzorce: u u k T k k k π π 5cos sin ro k až Z ěcho vzorků ak vyočeme koeficienů DFT a z nich amliudy a očáeční fáze harmonických. Řešení můžeme rovés naříklad omocí MATLABu: k:9; % definice čísel vzorků u5*cos(k*i/5)*sin(k**i/5) % výoče vzorků signálu v eriodě u olumns hrough olumns 8 hrough xff(u) % výoče koeficienů DFT x olumns hrough i. -.i. -.i olumns 5 hrough 8..i. -.i. -.i. -.i olumns 9 hrough..i 5..i Program rovedl výoče komlexních koeficienů DFT odle (.43) s následujícími výsledky: X &, X& 5, X& j, X& 3, X& 4, X& 5, X& 6, X& 7, X& 8 j, X& 5. 9 Harmonické složky určíme odle (.44): Sejnosměrná složka:.harmonická složka: ϕ X& V. N N X & 5,. 5V,. 3

39 Elekrické signály.harmonická složka: ϕ N X &,. V, arg x& 9. Další harmonické jsou nulové. Nenulové koeficieny č. 8 a 9 neznamenají nenulovou 8. a 9. harmonickou, jsou nenulové díky eriodiciě koeficienů DFT. Výsledek analýzy lně odovídá omu, že signál má ouze. a. harmonickou o amliudách 5V a V a očáečních fázích a -9. Shrnuí a zobecnění: Sekrální složky vyšly řesně (ale díky omu, že je slněna odmínka vzorkovacího eorému). Koeficieny DFT vykazují symerii: π π π N n k k k k k k N jk( N n N ) jkn N jkn x& ue N jk π ue e N ue N x& x& *, akže ro výoče sekrálních složek jsou uořebielné jen do N/. n n P. rčee omocí DFT sekrální složky obdélníkového signálu na obr... Srovneje výsledky s abulkou u obr..9, kde jsou výsledky řešení klasickou meodou. u () V -,5ms,5ms,5ms 5 ms 4,5ms Obr... Periodický signál a volba bodů ro výoče -i bodové DFT. Řešení: Příklad oužií MATLABu: s[ ]; xff(s) x olumns hrough i.68.i.38.i olumns 5 hrough i -. -.i i.38 -.i olumns 9 hrough.68 -.i.68 -.i Výsledky jsou zasány do abulky na další sraně (jsou označeny vlnovkou) solu se srávnými hodnoami. Vidíme značné rozdíly mezi srávnými hodnoami a údaji vyočenými omocí DFT. Signál má oiž široké sekrum a oče bodů, kerý jsme zvolili na oakovací eriodu, je říliš malý. Při ak malém oču bodů hraje mj. důležiou roli volba velikosi zv. řechodového vzorku v mísě nesojiosi signálu, v našem říadě jsou o vzorky č. a 9. Nejřesnějšího výsledku v rámci daného oču bodů dosáhneme volbou řechodových vzorků ak, jak je naznačeno na obrázku.. 3

40 Elekronické obvody I k &x ~ k k [ V ] ϕ ~ k [ rad ] k [ V ] ϕ k [ rad ] 3,3,,68,536,374,68,36,37 3,38,764,8 4 -,68,36 π, , π x 6 -,68 7,38 8,68 9,68 u (),5V,5V -,5ms,5ms,5ms 5 ms 4,5ms Obr... Oimální volba řechodových vzorků. Provedeme-li oě výoče koeficienů DFT, získáme výsledky z abulky: k &x ~ k k [ V ] ϕ ~ k [ rad ] k [ V ] ϕ k [ rad ],,,89,368,374,39,68,37 3,69,38,8 4,9,38,935 5 x x hyba zejména u vyšších harmonických je však sále velká. Další obrázek ukazuje volbu bodů ro 3-bodovou DFT s výsledky v abulce. u () V -,5ms,5ms,5ms 4,5ms 5ms Obr... Volba bodů ro 3-bodovou DFT. ~ k &x k k [ V ] ϕ ~ k [ rad ] k [ V ] ϕ k [ rad ] 7,875, 6,473,445,374 5,73,34,37 3 3,38,8988,8 4,65, ,658,3849 π x 6 -,4966,9354 π,637 π 7 -,5687,984 π,8649 π 8 -,65 π,7568 π 9 -,68,795 π,458 π,668,476 x 3

41 Elekrické signály Výsledky DFT ro N 5 s oimální volbou řechodových vzorků: k &x ~ k k [ V ] ϕ ~ k [ rad ] k [ V ] [ ] ϕ k rad % chyba amliudy,, 9,346,3737,374 -,3 7,584,3,37 -,53 3 4,9856,994,8 -,8 4,893,957,935 -,6 5 x x 6 -,4846,5938 π,637 π -4,79 7 -,,884 π,8649 π -6,53 8 -,73,69 π,7568 π -8,56 9 -,96,375 π,458 π -,89 x x Shrnuí a zobecnění: Při sekrální analýze eriodických signálů, keré vykazují rudké změny nebo dokonce body nesojiosi, má velký význam volba zv. řechodových vzorků. Tyo vzorky by se měly voli jako růměrné hodnoy limi zleva a zrava v bodech nesojiosi. hybu, kerou jsou zaíženy vyočené sekrální složky, lze snižova zvěšováním oču bodů DFT. hybou jsou více zaíženy vyšší harmonické než nižší. V raxi se volí N jako celočíselná mocnina čísla ro urychlení výočů (algorimus FFT). Běžně oužívané hodnoy N jsou 56, 5 a 4. K velkým výočením chybám může rovněž dojí, není-li erioda signálu rozdělena výočeními body na celisvý oče dílů. 33

42 Elekronické obvody I. APEIODIKÉ SIGNÁLY Z aeriodických signálů se budeme zabýva ředevším imulsy (jednorázovými i nezanikajícími)... Základní aeriodické signály - jednokový skok a jednokový imuls Slouží naříklad k esování sysémů a k modelování akových jevů, jako je řiojení obvodu ke zdroji, injekování elekrického náboje do kaacioru aod. Kombinací ěcho jednoduchých signálů lze modelova i signály složiějších varů. Jednokový (Heavisideův) skok Jedna z oužívaných maemaických definic: <,5 (.46) > () Jednokový (Diracův) imuls δ ( ) a navíc mohunos imulsu neboli ( ) δ d. (.47) (),5 δ () a) b) Obr..3. a) Jednokový skok, b) jednokový imuls. Z hlediska maemaického Diracův imuls není klasickou funkcí, roože není jednoznačně definován výčem hodno (jednoznačně je dodefinován mohunosí, viz rovnice.5). Je zobecněnou funkcí neboli disribucí a ro ráci s ním je řeba dodržova někerá ravidla, nař.: δ () f () δ () f ( ) ± ro f ( ) (.48) f ( ). ro f ( ) a navíc mohunos výsledného imulsu f() neboli ( ) ( ) f ( ) δ f d (.49) (laí za ředokladu sojiosi signálu f() v bodě ). Zobecněním (.49) je ravidlo filračního účinku Diracova imulsu ( ) f ( ) d ( ) f ( d ) f ( ) δ τ δ τ τ (.5) (laí za ředokladu sojiosi signálu f() v bodě τ). 34

43 Elekrické signály Vzahy mezi jednokovým skokem a jednokovým imulsem: d δ () (), () δ () d. (.5) d Derivaci a inegrál je řeba cháa v zobecněném disribučním smyslu, nikoliv v klasickém významu... Globální charakerisiky imulsů - mohunos, energie, sřední výkon Mohunos imulsu locha ohraničená imulsem a osou času; [jednoka mohunosi] [jednoka signálu] x [sekunda]: ( ) M s d. (.5) Technicky realizovaelné jednorázové imulsy mají vesměs konečnou mohunos. Energie imulsu s() (normovaná [jednoka energie] [jednoka signálu] x [sekunda]): ( ) W s d. (.53) Vzájemná energie dvou imulsů s () a s () ( ) ( ) W s s d. (.54) P. rčee mohunos a energii imulsu τ ( ) max ( ) i I e, I ma, τ ms. max i () I max τ Obr..4. Analyzovaný imuls. Řešení: Mohunos imulsu ( ) M id I e τ d τ I µ As µ (mikrocoulomb). max max 35

44 Elekronické obvody I Normovaná energie W i ( ) d I e τ τ max d ( za ředokladu τ > ) I max 5. As...3 Sekrální funkce a Fourierova ransformace (sekrální husoa, Fourierova ransformace F) signálu; [jednoka sekrální funkce] [jednoka signálu] x [sekunda] [jednoka signálu] / [Hz] F - : ( ω) ( ) { } ( ) &S s se jω F d. (.55) Časový růběh signálu zjisíme z jeho sekrální funkce zěnou Fourierovou ransformací j s ( ) S& ω ( ω) e dω. (.56) π Ne všechny signály mají svou sekrální funkci. Podmínky kladené na signál s(), zaručující exisenci sekrální funkce:. Přísné maemaické odmínky: Signál musí bý absoluně inegrovaelný,.j. ( ) s d <. (.57) Slňuje-li navíc Dirichleovy odmínky (jsou slněny ro všechny echnické signály),.j. má-li na každém konečném časovém inervalu konečný oče maxim a minim a nesojiosí. druhu, ak o alikaci římé a zěné Fourierovy ransformace obdržíme ůvodní signál. Vykazuje-li signál v určiém bodu nesojios. druhu, ak o zěné Fourierově ransformaci bude mí v bodě nesojiosi funkční hodnou rovnou arimeickému růměru limiy zleva a zrava.. Volnější echnické odmínky: (jsou-li slněny, jsme schoni definova i sekrální funkci signálů, keré nejsou absoluně inegrovaelné) Signál musí: ( ) ( ) ( ) buď slňova řísné maemaické odmínky, nebo musí bý rozložielný na signál s M () s nulovou mohunosí a signál s P (), kerý je buď eriodický nebo konsanní: s s s. (.58) M P Pak se sekrální funkce akového signálu s() určí z vzorce ( ) ( ) { } { M( )} & k ( ) S& ω F s F s π cδ ω kω. (.59) k Zde &c k jsou koeficieny Fourierovy řady eriodického signálu s P () a Ω je jeho oakovací kmioče. Signál s M () sice není absoluně inegrovaelný, jeho Fourierovu ransformaci však dovedeme urči seciálním osuem (viz dále). 36

45 Elekrické signály Sekrem aeriodického signálu se rozumí závislosi modulu (amliudové sekrum) a argumenu (fázové sekrum) sekrální funkce na kmioču. Fyzikální vysvělení sekrální funkce imulsu a smyslu jejího oužívání važujme imuls s(), kerý se eriodicky oakuje s časovou eriodou T a voří ak eriodický signál s () na obr..5. Periodickému signálu řísluší jeho komlexní koeficieny Fourierovy řady jkω jkω c& k s ( ) e d s( ) e d, k -, -,,,,, (.6) T T T T z nichž lze snadno urči jeho amliudové a fázové sekrum. Naoak, známe-li yo koeficieny, lze z nich zěně rekonsruova ůvodní eriodický signál z Fourierovy řady: jkω s ) cke k ( &. (.6) Nyní zvěšujme oakovací eriodu signálu směrem k nekonečnu. V okolí očáku časové osy zůsává ůvodní imuls s(), zaímco osaní imulsy se od něj vzdalují. Na jednorázový imuls s() ak lze ohlíže jako na seciální říad eriodického signálu s () ro T. Sekrum imulsu ak lze odvodi z čarového sekra eriodického signálu, osaného koeficieny (.6), ro T. Z (.6) vylývá ro T následující:. Ω π/t, akže vzdálenos sousedních sekrálních čar na kmiočové ose klesá limině k nule. Husoa sekrálních čar ím rose a čarové sekrum eriodického signálu se ak mění v sojié sekrum jednorázového imulsu.. Všechny sekrální koeficieny (.6) se limině blíží k nule, akže je nelze římo využí k sekrálnímu oisu jednorázového imulsu. Přesože se koeficieny (.6) blíží k nule, zachovány jsou jejich oměrné velikosi, keré jsou dány inegrálem na ravé sraně (.6). Jinými slovy, sekrální vlasnosi imulsu lze osa součinem c& k T, kerý ro jednorázový imuls nekonverguje k nule: lim( c& T. (.6) T jkω jω ) lim s( ) e d s( ) e d S& k ( ω) T T Dosáváme sekrální funkci (.55) jednorázového imulsu. Při odvození se využilo ředsavy, že když se oakovací erioda signálu blíží k nekonečnu, kmioče rvní harmonické se blíží k nule, dochází k zvěšování husoy sekrálních čar na kmiočové ose, a kmioče k-é harmonické k Ω řechází v sojiý kmioče ω. Obdobně komlexní Fourierova řada (.6) ro eriodický signál řejde ro T ve vzorec ro výoče časového růběhu jednorázového imulsu z jeho sekrální funkce: jkω jkω π jkω s( ) lim s ( ) lim c& e lim c& Te lim c& k k kte Ω T T π T T π T π S& ( ω) e j ω d ω. k k k (.63) Dosáváme vzorec (.56) ro zěnou Fourierovu ransformaci. Při odvození bylo využio vzorce (.6) a ředsavy, že ři růsu oakovací eriody k nekonečnu se kmioče Ω limině zmenšuje k diferenciálu kmioču a suma v inegrál. 37

46 Elekronické obvody I s() i max c k c k T max i /T x T max i T /T f s() / i c k T f c k c k T f T s() f c k c k T x T f f s() c k S(f) T f max i f Obr..5. K vysvělení sekrální funkce imulsu. / i 38

47 Elekrické signály P.3 Vyočíeje sekrální husou signálu z obr..3 a nakreslee jeho modulové a fázové sekrum. Řešení: I& jω τ jω ( ω) F{ i() } i() e d I maxe e d ( τ > ) I maxτ jωτ ϕ I max τ ( ωτ ) jarcgωτ ( ω) I( ω) ( ω) arcg( ωτ ) arcg [ rad nebo ] (viz obr..6). e ω I& I( f)[a/hz] I max τ ( ωτ ) 6 ω A Hz, π ϕ( f)[rad] 6 6 f [Hz] π f [Hz] - π 4 π - Obr..6. Sekrální funkce signálu z obr..4. P.4 rčee sekrální funkce obdélníkových signálů na obr..7 ro max 5V a i ms. Řešení: & i jω i maxe d max ω, ω V sinc sinc (viz obr..8a), Hz a) ( ω) b) ( ω) i & i jω i j maxe d max e, j ω ω i ω e V sinc sinc (viz obr..8b). Hz ω 39

48 Elekronické obvody I u ()[ V] 5 5 u ()[ V] max max - i [ ms] [ ms] i Obr..7. Analyzované signály. a) b) ( f)[ V/Hz] ( f)[ V/Hz] m i, m i, - - i i π π f [ Hz] 5 i ϕ( f )[ rad] i i i f [ Hz] - i π π f [ Hz] 5 i ϕ( f )[ rad] i f [ Hz] a) b) Obr..8. Sekrální funkce signálů z obr..7. P.5 rčee sekrální funkci Diracova imulsu. Řešení: Filrační účinek Diracova imulsu (vzorec (.5)) ( ω) δ ( ) jω &S e d. Poznaky z říkladu: a) Diracův imuls má rovnoměrnou sekrální husou na všech kmiočech. Je o nekonečně úzký imuls, má edy nekonečně široké sekrum. b) Plaí inverzní Fourierova ransformace (.56): δ jω e dω π.. ( ) 4

49 Elekrické signály Teno inegrál neexisuje v klasickém maemaickém smyslu v důsledku nekonvergence inegrálu, exisuje však ve smyslu disribučním. Vzhledem k sudosi inegrandu a možnosi záměny roměnných ω a laí rovněž vzorec, kerý oužijeme v dalším říkladu: δ ( ω) π ± ω e j d. (.64) P.6 rčee sekrální funkci konsanního signálu u ( ). Řešení: Signál není absoluně inegrovaelný, neboť neslňuje odmínku (.57). Nemá edy sekrální funkci v klasickém smyslu, ve smyslu disribučním však ano: & jω jω ( ω) e d e d ( viz rovnice (.8)) πδ ( ω). (ω) π ( ) ϕω ω ω Obr..9. Sekrální funkce konsanního signálu. Poznaky z říkladu: Snaha o alikaci aaráu sekrální analýzy imulsů na signál neohraničený vede na výsky Diracova imulsu na kmioču Hz. Srovneje se sekrem konsanního signálu jakožo seciálního říadu eriodického signálu: zde je jediná sekrální čára na kmioču Hz. P.7 rčee sekrální funkci harmonického signálu u &. jω jω jϕ () cos ( Ω ϕ) ce c& e, c& e Řešení: Signál není absoluně inegrovaelný, neboť neslňuje odmínku (.57) - jeho mohunos není v důsledku eriodiciy signálu definována. Nemá edy sekrální funkci v klasickém smyslu, ve smyslu disribučním však ano: & jω jω jω jω ( ω) e d ( ce & c& e ) e d ( viz rovnice (.8)) jϕ jϕ π [ c& δ ( ω Ω) c& δ ( ω Ω) ] πe δ ( ω Ω) πe δ ( ω Ω). 4

50 Elekronické obvody I (ω) π π Ω Ω ω ( ) ϕω ϕ Ω ϕ Ω ω Obr..3. Sekrální funkce harmonického signálu. Poznaky z říkladu: Snaha o alikaci aaráu sekrální analýzy imulsů na signál harmonický vede na výsky Diracových imulsů na kmiočech Ω a -Ω. Srovneje s Fourierovými koeficieny harmonického signálu jakožo seciálního říadu eriodického signálu: exisují ouze dva nenulové &c k koeficieny odovídající kmiočům Ω a -Ω. P.8 rčee sekrální funkci eriodického signálu daného komlexní Fourierovou řadou () k &. jkω s ck e Řešení: Periodický signál není absoluně inegrovaelný, skládá se však ze sejnosměrné složky a harmonických složek, u nichž exisuje sekrální funkce v disribučním smyslu: S& k k k jkω jkω ( ω ) F c& k e ( vlasnos lineariy) ck { e } ck ( kω ) & F π & δ ω. Poznaky z říkladu: Snaha o alikaci aaráu sekrální analýzy imulsů na signál eriodický vede na výsky Diracových imulsů na kmiočech kω a -kω, k,,,.... Srovneje s Fourierovými koeficieny eriodického signálu. Srovneje výsledek se vzorcem (.59). P.9 rčee sekrální funkci jednokového skoku. Řešení: Jednokový skok není absoluně inegrovaelný a má nekonečnou mohunos. Lze jej však rozloži odle (.58) na signál s M () s nulovou mohunosí a konsanní signál (viz obr..3): ( ) s ( ) 5 M,. 4

51 Elekrické signály (),5,5 sm () -,5,5 Obr..37. ozklad jednokového skoku na signál s nulovou mohunosí a konsanní složku. Signál s M () má nulovou mohunos a jeho derivací je Diracův imuls: ( ) M ( ) δ d d s. V souladu s oučkou o Fourierově obrazu derivace (.73) edy dosáváme F { δ( ) } jω F { s ( ) } F{ s ( ) } M M. jω Zároveň laí F 5, πδ ω. Proo { } ( ) F. { () } ( ω) jω πδ S&( ω ) π ω π ϕω ( )[rad] π ω Obr..3. Sekrální funkce jednokového skoku...4 Vzah sekrální funkce imulsu a Fourierovy řady eriodického signálu odle vzorce Bude-li se jednorázový imuls s() o sekrální funkci &S ( ω ) eriodicky oakova s eriodou T s( ) s ( kt ), (.65) k vznikne eriodický signál o následujících koeficienech Fourierovy řady: 43

52 Elekronické obvody I c& & k ( ),. T S π ω Ω (.66) T ω kω Na sekrální funkci jednorázového imulsu je edy možno ohlíže jako na určiou obálkovou funkci, kerá v sobě inegruje informaci o sekrálních čarách nekonečně mnoha eriodických signálů, keré mohou vzniknou oakováním imulsu s různými oakovacími eriodami. P. rčee 3.harmonickou složku eriodického signálu, vzniklého oakováním obdélníkového imulsu z obr..7a) s oakovací eriodou 4ms. Využije k omu sekrální funkci imulsu ze sr. 37. Řešení: (viz vzorec (.66)) & & i π ck ω sinc 5, sinc k ; ω Ω ( ) max T k T k i Ω & π c3 5, sinc 3 & 53, V amliuda 3.harmonické c & 6, V, očáeční fáze ϕ Vlasnosi sekrální funkce a) Sekrální funkce ro kmioče Hz je reálná a udává mohunos imulsu: ( ) ( ) & j S se d M. (.67) b) Modul sekrální funkce je sudou, argumen lichou funkcí kmioču...6 Obecné vlasnosi Fourierovy ransformace F{s()} a) Linearia: { ( ) ( )} & ( ) & ( ) F as as as ω as ω. (.68) b) Změna časového měříka (komrese a exanze signálu): F{ sm ( )} m S & ω. (.69) m c) Posun signálu v čase: F s τ S& ωe j ωτ. (.7) d) Posun sekra: { ( )} ( ) jω { ( ) } S( ω ω) F se &. (.7) e) Přesměrování oku času: F s S& ω S& ω. (.7) { ( )} ( ) ( ) 44

53 Elekrické signály f) Derivace signálu: Když s() má konečnou mohunos, ak F d ( ) ( ) d s jωs& ω. (.73) Má-li s() nekonečnou nebo nedefinovaelnou mohunos a lze-li jej rozloži na signál s nulovou mohunosí s M () a eriodický či konsanní signál s P () odle rovnice (.65), ak d d () ( ) () ( ) F s jω S& M ω F sp jωs& M ω π jω kc& kδ ( ω kω). (.74) d d k Pro jednodušší říad, kdy s() se skládá jen ze signálu s nulovou mohunosí s M () a z konsanní složky S, laí F d ( ) ( ) d s j S M ω & ω. (.75) g) Inegrace signálu: Když s() má nulovou mohunos, ak F sd &. (.76) jω ( ) S( ω ) Má-li s() nenulovou mohunos, ak jeho inegrálem je nezanikající imuls s I (). Lze-li eno imuls rozloži na imuls s IM () s nulovou mohunosí a konsanní složku S, edy ak ( ) ( ) IM ( ) si s d s S. (.77) F h) Součin dvou signálů: sd ( ) S( ) S ( ) & j ω ω π δ ω. (.78) { ( ) ( )} ( ω) ( ω) ( ω ξ ) ( ξ ) ξ ( ) ( ) F s s S& S& S& S& d S& ξ S& ω ξ dξ, (.79) π π π kde symbol * značí zv. konvoluční součin neboli konvoluci. i) Konvoluční součin dvou signálů: F F F { s( ) s( ) } s( ) s( ) d s( ) s( ξ ξ ξ ξ ξ ) dξ S( ω) S( ω) & &. (.8) P. Zaiše obdélníkový signál z obr..7a) omocí lineárních oerací s jednokovým skokem. Řešení: [ ][ ] i i ( ) ( 3) ( 3 max ) u V,s. 45

54 Elekronické obvody I P. rčee sekrální funkci obdélníkového imulsu z obr..7a) na základě znalosi sekrální funkce jednokového skoku a výsledku ředchozího říkladu. Řešení: i i S& ( ω) F{ u() } F max (oučou o osunuí signálu v čase) max max jω F jωi jωi { () }[ e e ] πδ ( ω) j sin( ω ) j sin jω i i F F ( ω ) πδ ( ω). j sin( ω ) sinc( ω ). i max max i max max i i i P.3 Pomocí ravidel o Fourierově ransformaci derivace a inegrálu signálu určee sekrální funkci rojúhelníkového imulsu u() na obr..33 ro max V a i ms. u ()[ V] max - [ ms] i Obr..33. Analyzovaný imuls. Řešení: (Viz éž obr..34). u () i max i S & ( f )[ V/Hz] i i max i max u () i max max i 5. 4 V/Hz i i 4 max i khz i 4kHz f [ khz] a) b) Obr..34. Zůsob odvození sekrální funkce a výsledný růběh. 46

55 Elekrické signály u u F () max i max () i 4 i 4 i i, () max i max max () i δ δ δ. i max i i 8 max jωi jωi max { u () } ( ravidlo o časovém osuvu signálu) [ e e ] sin ( ω 4). { u ( ) } ( ravidlo o inegrálu signálu) u ( ) F F{ } ( ω i 4) F { u() } F u () 8 i 8max sin. jω jω 4 i i jω ω i max max i 4 { } sin ( ω 4) sinc ( ω 4) 5. sinc (,5. ω). i i i V Hz P.4 Na základě oučky o sekrální funkci součinu dvou signálů (.79) určee sekrální funkci imulsu na obr..35 ro max V a i 5ms. u ()[ V] max -5 5 [ ms] i Obr..35. Analyzovaný imuls. Řešení: Signál je součinem kosinového signálu a obdélníkového imulsu u obd () o šířce i a výšce V: () cos( Ω). u () u. max obd Jednolivé sekrální funkce: F F F { max cos( Ω) } maxπδ( ω Ω) maxπδ( ωω), { u () } sinc( ω ), obd i i max i { cos( Ω) u () } ( ravidlo součinu) sinc( ξ ) π [ δ ( ω ξ Ω) δ ( ω ξ Ω) ] max obd max i i i ( filrační účinek Diracova imulsu) sinc ( ω Ω) sinc ( ω Ω). S řihlédnuím k omu, že laí Ω i π T i π, lze výsledný vzorec odsaně zjednoduši: & ( ω) π i V (,5. ω). maxω 4π cos ω i cos Ω ω ( π ) ω Hz dξ 47

56 Elekronické obvody I S & ( f )[ V/Hz],3,, f [ Hz] Obr..36. Modul sekrální funkce imulsu z obr Parsevalův eorém ro aeriodické signály Energie imulsu [jednoka signálu] x [sekunda] W s ( ) d S & ( ω) dω (.8) π (vylývá z rovnice (.79) ro ω a s () s () s()). Sekrální husoa energie imulsu [jednoka energie/hz], res. [jednoka energie /rad s - ] dvojsranná Ld ( ω ) S& ( ω), ω (, ), (.8) π jednosranná L j ( ω) Ld ( ω) S& ( ω), ω (, ). (.83) π Jiné vyjádření Parsevalova eorému Energie imulsu [jednoka signálu] x [sekunda] ( ) d ( ) j ( ) W s d L ω dω L ω dω (.84) Vlasnosi sekrálních huso energie Ld ( ω ) S & ( ω) ω ( ) π,, a ( ) ( ) ( ) L L S ( ) j ω d ω & ω, ω, : π a) Jsou reálné a nezáorné ro všechny kmiočy. b) Dvousranná sekrální husoa energie je sudou funkcí kmioču. c) Slouží k výoču energie imulsu sousředěného v kmiočovém ásmu ω ( ω ω ) ω (, ) j ( ) d ( ) d ( ) d ( ) W ω ω L ω dω L ω dω L ω dω L ω dω ω ω ω ω ω ω ω, : (.85) 48

57 Elekrické signály P.5 Zakreslee kmiočovou závislos jednosranné sekrální husoy energie obdélníkového imulsu z obr..7a) ro max V a i ms. Vyočěe energii, obsaženou v imulsu v kmiočových ásmech ( )khz, ( )khz a ( 3)kHz. Řešení: Sekrální husoa signálu i ( ω) max isinc ω 3 sinc( 5 4 ω) & V.. Hz Jednosranná sekrální husoa energie L j maxi i 7 4 ( ω) S( ω) sinc ω 383 sinc ( 5 ω) π & J &,.. π. Hz elková energie imulsu (nejrve řes sekrální husou, ak jednodušší výoče z definice energie; viz Parsevalův eorém). maxi i π W L j ( ω) dω sinc ω dω ( xdx ) i π sinc max mj ( ) W u d d mj. i max i max i -6 x,35 Lj ( f )[ J/Hz] max i 7 383,. [ J/Hz] π,3,5,,5 9,8%,,5 4,7%,65%,83% 3 4 f [ ] Hz Obr..37. Jednosranná sekrální husoa energie imulsu z obr..7a). Energie obsažená v sekrálních ásmech: π. π. 7 4 ( ) khz j ( ) sinc ( ) W L ω dω & 383,. 5. ω dω & 98, mj, 4π. 4π. 7 4 ( ) khz j ( ) sinc ( ) W L ω dω & 383,. 5. ω dω & 47, mj, π. 6π. 6π. 7 4 ( 3) khz j ( ) & 383,. sinc ( 5. ) W L ω dω ω dω & 65, mj. 4π. π. 4π. Inegrály byly vyčísleny v MATLABu za oužií říkazu 49

58 Elekronické obvody I quad( lj,a,b) kde lj je název funkce jednosranné sekrální husoy energie definované v M-souboru a a a b jsou dolní a horní inegrační mez. Poznaek z říkladu: V rvním sekrálním laloku obdélníkového imulsu v kmiočovém ásmu ( /šířka imulsu) [Hz] je sousředěno více než 9% veškeré energie imulsu...8 Vzah Fourierovy ransformace a DFT Definice DFT viz kaiola Vzah Fourierovy řady eriodického signálu a DFT. važujme jednorázový signál s() s konečnou dobou rvání T S. ovnoměrným vzorkováním získáme N vzorků s k s(kt S /N), k,,,.., N-. Provedeme výoče N komlexních koeficienů DFT odle (.43). Pak ro sekrální funkci signálu s() řibližně laí a T N S& S ( ω ) X& n, n,,,.., celá čás z (.86) ω nω N S π Ω S. (.87) T S Výoče (.86) je řesný ouze za ředokladu, že sekrální funkce signálu je frekvenčně omezená do kmioču N/(T S ). Známe-li eno mezní kmioče a dobu rvání imulsu, řizůsobíme omu oče bodů N. P.6 Pomocí DFT vyočěe sekrální funkci imulsu z obr..38a) na kmiočech (,,,..., ) Hz. Řešení: Dooručujeme rosudova eoreický souhrn na začáku kaioly, oložku Vzah Fourierovy ransformace a DFT. Analyické řešení sekrální funkce řevezmeme ze sr. 47, kde je roveden výoče sekrální funkce imulsu z obr..33, kerý je sejného yu, liší se ouze časovým osunem: ω i ( ω) sinc ω e 5 sinc ( 5 ω) & max. i i j. 4,. 4 e j5 4 ω V. 4 Hz Požadujeme numerický výoče & ( f ) omocí DFT na kmiočech k.f S, F S Hz, k,,..,. Odvozený vzorec ak oužijeme k ověření řesnosi numerického výoču. Kmioču F S odovídá délka segmenu časového růběhu, kerá vsouí do algorimu DFT: T S F ms. S 5

59 Elekrické signály & ( f )[V/Hz ] u () 5. 4 max V ϕ [ rad] 4 f [ khz] i i ms π 4 f [ khz] a) π -π Obr..38 K výoču sekrální funkce imulsu omocí DFT. Signál musíme na omo úseku navzorkova. Získáme N vzorků, z nichž vyočeme N komlexních koeficienů DFT. Čím věší oče vzorků zvolíme, ím řesnějšího výoču dosáhneme. Volba N: Jesliže exisuje kmioče F MAX akový, že ro všechny kmiočy f > F MAX je sekrální funkce signálu již nulová (zanedbaelná), ak zvolíme-li FMAX N >, (.88) F S výoče sekrální funkce z DFT bude řesný (zaížený relaivně malou chybou). Navíc zvolíme-li N rovno celočíselné mocnině dvou, můžeme k výoču koeficienů DFT ouží algorimy rychlé Fourierovy ransformace (FFT). Naříklad ro kmioče 5kHz vychází z analyického vzahu ro sekrální husou imulsu modul ( khz) f 5 & 34,. 7 VHz, což je asi,65% z maximální hodnoy sekrální husoy ( ) 5. 4 VHz. Považujeme-li hodnoy sekrální funkce za zanedbaelné ro f > F MAX 5kHz, ak zvolíme Zvolíme N 5. N > 5 5. Časový segmen signálu <, T S > <, ms > rozdělíme na 5 sejných dílů a odečeme 5 vzorků signálu: b) u k ( ) u ( ) u kt S N & k. 95, µs, k,,,..., N. 5

60 Elekronické obvody I Vzorky jsou edy číslovány od do N- a N-ý vzorek se již do souboru nezahrnuje. Nyní vyočeme N 5 koeficienů DFT odle (.43) X & k, k,, K, N a z jejich rvní oloviny (.j. z koeficienů č.,,,.., 55) sanovíme 56 vzorků sekrální funkce odle (.86): neboli & T ( f S ) &,,,, f nf N X n N n K, & ( ) S 6 f & 95,. X& n, n,, K, 55. f n. Hz Můžeme ako vyočís vzorky sekrální funkce až do kmioču 5,5kHz, i když jsme ůvodně ožadovali výoče jen do khz. Koeficieny DFT vykazují od n 56 do 5 symerii odle (.45) a jsou edy k výoču vyšších harmonických neoužielné. kázka řešení omocí MATLABu: ozdělíme-li úsek signálu délky ms na 5 výočeních bodů, ak na vzesunou čás iloviého signálu v inervalu -,5 ms řiadají vzorky č. až 5 a na sesunou čás od,5 ms do ms vzorky č. 6 až 5: uk ( ) 5 k ro k,,, K, 5; 8 5 k ro k 6, 7, 8, K, 5. 8 Osaní vzorky jsou nulové. k:5; % Generování nezávisle roměnné ro. úsek signálu s5*k/8; % Výoče vzorků č. až 5 (v MATLABu jsou o vzorky č. až 6) k6:5; % Generování nezávisle roměnné ro. úsek signálu s(7:5)-5*k/8; xff(s,5); % Výoče vzorků č. 6 až 5 (v MATLABu jsou o vzorky č. 7 až 5) % Výoče 5- bodové FFT signálu x(:) % Zobrazení koeficienů FFT č. až (v MATLABu č. až ) ans olumns hrough i i i olumns 5 hrough i i i i olumns 9 hrough i i i ue-3/5*x(:) % Výoče vzorků sekrální funkce 5

61 Elekrické signály u.e-3 * olumns hrough i i i olumns 5 hrough i i i i olumns 9 hrough i i -.7.i abs(u) ans.e-3 * olumns hrough olumns 8 hrough hase(u)*8/i ans olumns hrough olumns 8 hrough % Výoče vzorků modulu sekrální funkce % Výoče vzorků argumenu sekrální funkce ve suních V abulce jsou shrnuy výsledky výočů na kmiočech do khz solu s řesnými hodnoami sekrální funkce. k X & k & ( kf. S) [ µv/hz] arg & ( kf. S ) [ ] SkF & (. S) [ µv/hz] arg SkF & (. S ) [ ] 5, j, 499, ,437 - j7, ,78-8, 495,9-8,37 - j4, ,656-36, 483, ,9699- j9, 463,97-54, 464, ,99- j, ,493-7, 437, ,36- j, ,8-9, 45, ,833- j7, ,383-8, 368, ,885- j3, ,3-6, 38, , j8,673 86,39-44, 86, , j3,865 44,6-6, 44,54-6 -, j,,653-8,64-8 M M M M M M 53

62 Elekronické obvody I Poznaky z říkladu: Poče bodů N-bodové DFT (FFT) nemusí souvise s očem bodů, v nichž chceme urči vzorky sekrální funkce. Pro volbu N je důležiá odmínka (.8). Na jejím dodržení je závislá řesnos výoču sekra. Je-li doba rvání jednorázového imulsu T i, ak o nemusí bý nuně délka segmenu signálu T S, kerý je vzorkován ro ořeby DFT. Musí lai T S T, (.89) i což vlasně znamená, že k vzorkům imulsu je možno řidáva řed alikací DFT nulové vzorky. Vzorky sekrální funkce vyočené omocí DFT leží na kmiočech n n N nf. S, n,,, T T K. S i Znamená o, že s růsem T S klesá rozesu mezi vzorky vyočeného sekra. Sekrum je odrobněji vykresleno, rose sekrální rozlišení. Dolňováním vzorků jednorázových imulsů nulovými vzorky edy dosáhneme lešího sekrálního rozlišení. Nejhorší rozlišení je ro T S T i. vyočiaelné vzorky sekrální funkce zrcadlové složky očíaných vzorků 4 6 5,6 f [khz] vzorek č. 5 Obr..39. Výsledek sekrální analýzy imulsu z obr..38a) omocí 5-bodové FFT. 54

63 Elekrické signály..9 Vyjádření signálu Lalaceovou ransformací Lalaceovu ransformaci můžeme cháa jako zobecnění Fourierovy ransformace signálu, vhodné ro eoreické výočy a analýzy růchodu signálu lineárním elekrickým obvodem. Věší význam a užií má edy Lalaceova ransformace ři modelování a analýze obvodů. Fourierova ransformace se zase více oužívá k rakické sekrální analýze signálů,a o zejména díky exisence její numerické odoby DFT, res. rychlejší variany FFT. Podobně jako Fourierova ransformace, Lalaceova ransformace je ředis, kerý daný signál funkci času - jednoznačně řekóduje do zcela jiné odoby, konkréně do funkce zv. Lalaceova oeráoru. Výsledek Lalaceovy ransformace je zv. Lalaceův obraz signálu. Smysl ohoo řekódování je jednoduchý: není snadné osa, co se děje se signály ři jejich zracování složiými analogovými nebo digiálními obvody. Teno ois se však odsaně zjednoduší, okud dané oerace nebudeme rovádě římo se signály, nýbrž s jejich Lalaceovými obrazy. Alikací jednoduchých ravidel roo získáme daleko snadněji Lalaceův obraz výsuního signálu nežli časový růběh ohoo signálu klasickou analýzou obvodu bez oužií Lalaceovy ransformace. Teno nový řísu k řešení růchodu signálu obvodem edy znamená řevod vsuního signálu Lalaceovou ransformací na jeho Lalaceův obraz, ak alikaci výše zmíněných ravidel k získání Lalaceového obrazu výsuního signálu, a nakonec řevod obrazu na časový růběh zěnou Lalaceovou ransformací. Dané řevody z časového růběhu na Lalaceův obraz a zě mohou bý usnadněny oužíváním slovníků Lalaceovy ransformace a ravidel ro rozklad Lalaceových obrazů na arciální zlomky. Podrobnosi jsou uvedeny v říloze Oeráorový oče v elekroechnice. Definiční vzorec Lalaceovy ransformace X ( ) L{ x( )} x( ) e d, σjω.. komlexní číslo (.9) řevádí signál o časovém růběhu x() na jeho Lalaceův obraz X(), kde je komlexní oeráor. Srovnání s definicí Fourierovy ransformace (.55) jω x( e d X & ( jω ) ), (.9) vede k závěru, že oba vzorce oskyují formálně sejné výsledky ro signály x() ro < za ředokladu jω, neboli σ. (.9) Podmínka nulovosi signálu ro záorné časy vylývá z rakické ořeby řeši echnické děje, keré začínají v konkréním časovém okamžiku (naříklad řiojení sořebiče ke zdroji signálu). V definičním inegrálu (.9) se objevuje funkce času x σ jω ( ) e x( ) e e. V orovnání s Fourierovou ransformací je zde navíc člen e -σ, kerým je násoben ransformovaný signál. Pro σ > je signál exonenciálně ulumován, ro σ < je zesilován. V omo smyslu edy Lalaceův obraz signálu ředsavuje sekrální funkci signálu, modifikovaného exonenciálním členem e -σ. Toho lze využí k ráci se signály, keré s rosoucím časem nekonvergují k nule a udíž jejichž Fourierova ransformace neexisuje, řičemž však exisuje jejich Lalaceův obraz. Podmínka (.9) se v elekroechnice běžně oužívá k řechodu mezi oeráorovým a fourierovským oisem signálů a obvodů. V říloze Oeráorový oče v elekroechnice jsou shrnuy zásady oeráorového oisu signálů a zejména modelování a analýzy lineárních obvodů. 55

64 Elekronické obvody I 3 ELEKTIKÉ OBVODY A JEJIH MODELY 3. ZÁKLADNÍ POJMY V éo kaiole ukážeme, že analogové elekrické obvody se obecně skládají z nelineárních součásek. Objasníme, co je o sejnosměrný (klidový) racovní bod a roč se nasavuje. Vysvělíme zv. malosignálové buzení a linearizovaný model nelineárního obvodu, oisující vlasnosi obvodu ři omo buzení. Poíšeme chování obvodu ři kombinovaném buzení dvěma signály jako řešení linearizovaného aramerického modelu. V závěru ukážeme nelineární chování obvodu ři obecném buzení. 3.. Sejnosměrný racovní bod Obr. 3. a) ukazuje yickou nelineární součásku ranzisor. Je vyznačeno celkem 6 obvodových veličin rojice naěí a rojice roudů. Tyo veličiny jsou vzájemně sojeny složiými nelineárními závislosmi. Sejnosměrným měřením bod o bodu lze získa známé saické charakerisiky ranzisoru (nař. síť výsuních charakerisik závislos I na E ři konsanním roudu I B ). Všechny akovéo nelineární charakerisiky lze cháa jako řezy lochami v šesirozměrném rosoru [I I B I E E BE B ]. B B I B BE I I E T E E in u in u 3 6k 4 44k B 3.3k 3.3k NA E u ou u OV a) b) Obr. 3.. a) Tranzisor a sousava jeho naěí a roudů, b) říklad jeho začlenění do obvodu zesilovače. Začleníme-li ranzisor do složiějšího elekrického obvodu (obr. 3. b), kerý je naájen ouze sejnosměrnými zdroji (j. zočáku ředokládáme u in ), usálí se naěťové a roudové oměry s ohledem na uvedené nelineární vlasnosi ranzisoru. Výsledkem jsou konkréní sejnosměrné hodnoy veličin ranzisoru z vekoru [I I B I E E BE B ]. Graficky si lze eno sav ředsavi jako konkréní bod v charakerisikách ranzisoru. Teno bod označme symbolem Q a nazvěme sejnosměrný racovní bod (angl. Oeraing Poin) ranzisoru. Časo se rovněž oužívá ermín klidový racovní bod (angl. Bias Poin). Podívejme se na obr. 3.. Jde o řírozměrný výřez z výše uvedeného rosoru nelineárních závislosí ro konkréní křemíkový ranzisor. V souvislosi s obr. 3. b) si můžeme ředsavi, že nasavujeme-li různá naěí baerie (je uváděno V), ak bude docháze k změnám naěí a roudů v obvodu, j. k ohybu racovního bodu Q. Teno bod však nikdy neousí zobrazenou lochu nelineárních vazeb ranzisoru. Průměy racovního bodu do jednolivých kvadranů oskyují číselné údaje o obvodových naěích a roudech ranzisoru. Index Q značí souřadnici racovního bodu. 56

65 3 Elekrické obvody a jejich modely Ib [ma] 3 [I Q EQ ] 9 Ic [ma] [I BQ EQ ] Q: [I Q I BQ EQ ] ce [V] Obr. 3.. Příklad nelineárních vazeb mezi kolekorovým a bázovým roudem a naěím kolekor-emior ranzisoru. Výsledek očíačové simulace v rogramu Micro-a. in u u in V 3 6k 4 44k B 3.3k 3.3k NA E u OV u [V] V Q 4.8V BQ 3.44V EQ [s] Obr Proces řiojení zesilovače z obr. 3. b) k naájecímu zdroji. Vsuní signál zaím neůsobí (u in V). Obvod se usaluje do sejnosměrného usáleného savu a vekor obvodových veličin do racovního bodu. Všechna naěí jsou uvažována roi zemi. Výsledek očíačové simulace v rogramu Micro-a. Obr. 3.3 ukazuje siuaci o řiojení naájecího zdroje k zesilovači, jesliže zaím neůsobí na jeho vsu naěí u in, určené k zesilování. V důsledku ůsobení akumulačních rvků v obvodu dojde k řechodnému ději, kerý se usálí zhruba o s. Výsledkem je sejnosměrný usálený sav. Přehledné znázornění usálených oměrů je ak uvedeno na obr

66 Elekronické obvody I in u u in V 3 6k 3.3k 98.6u u B.4m 4.8.4m 3.44 E 9.8u 4 44k 3.3k.4m.4m V Obr Znázornění souřadnic sejnosměrného racovního bodu zesilovače. V kroužku je hodnoa naěí mezi říslušným uzlem a zemí (ve volech), v obdélníčku ak hodnoa roudu danou věví (v amérech).výsledek očíačové simulace v rogramu Micro-a. Jak uvidíme dále, nasavení vhodných hodno sejnosměrných naěí a roudů v nelineárním obvodu, j. nasavení racovního bodu, je důležiý ředoklad srávné funkce obvodu, v našem říadě zesilování signálu u in. Shrnuí a zobecnění: Po řiojení sabilního nelineárního obvodu k sejnosměrným naájecím zdrojům dojde k řechodnému ději, jehož výsledkem je sejnosměrný usálený sav: všechna naěí a všechny roudy jsou konsanní. Říkáme, že obvod řešel do sejnosměrného (klidového) racovního bodu. Teno řechod rvá věšinou relaivně krákou dobu a ro uživaele zařízení není odsaný. Sejnosměrný racovní bod obvodu je množina sejnosměrných naěí a roudů v obvodu ři neůsobení vsuních signálů, keré mají bý obvodem zracovávány. Maemaicky je osán vekorem sledovaných naěí a roudů. Sejnosměrný racovní bod nelineárního rvku obvodu (nař. ranzisoru) je množina sejnosměrných naěí a roudů ohoo rvku ři neůsobení vsuních signálů, keré mají bý obvodem zracovávány. Jedná se edy o odmnožinu racovního bodu celého obvodu. Sejnosměrný racovní bod nelineárního rvku je možné nasavova osaními rvky obvodu. V říadě zesilovače z obr. 3.4 lze racovní bod ranzisoru nasavi volbou odorů až 4 a naěím baerie. Akumulační rvky nemají na souřadnice racovního bodu vliv. Ovlivňují ouze řechodný děj náběhu obvodu do racovního bodu o řiojení k naájecím zdrojům. Nasavení vhodného sejnosměrného racovního bodu je důležié ro srávnou činnos obvodu. 3.. Pohyb bodu Q vlivem zracovávaného signálu Přivedeme-li na vsu obvodu signál určený k zracování, budou se naěí a roudy v obvodu měni v závislosi na omo signálu. Můžeme si ředsavi, že dochází k ohybu bodu Q. Časový rozvoj ohoo ohybu do všech souřadnic ak ředsavuje odezvu obvodu na vsuní signál ve formě sledovaných naěí a roudů. Pro jednoduchos ředokládejme, že vsuní signál u in na obr. 3. je harmonický o relaivně vysokém kmioču, akže kaaciory a (µf a µf) ro eno signál ředsavují zanedbaelnou reakanci. Naěí na každém rvku v obvodu je nyní určováno ůsobením dvou zdrojů: sejnosměrným naájecím naěím a harmonickým vsuním naěím. Naájecí zdroj vyvolává na sejnosměrné naěí 4,8V a na 3,44V (viz obr. 3.4). Harmonický vsuní signál nevyvolává na kaaciorech rakicky žádné naěí v důsledku zanedbaelných reakancí (kaaciory se chovají ro 58

67 3 Elekrické obvody a jejich modely sřídavý signál jako zkray). Pro účely analýzy si edy lze ředsavi namíso kaaciorů zdroje říslušných sejnosměrných naěí (viz obr. 3.5a). Z obr. 3.5 a) je zřejmý význam kaacioru : sejnosměrně odděluje uzel B, kde je nasaveno ředěí 4,8V (souřadnice klidového racovního bodu) od uzlu in, kde je nulová sejnosměrná složka zesilovaného signálu. Sřídavý signál je však řenesen do uzlu B k dalšímu zracování bez zeslabení. Význam kaacioru bude objasněn ozději. Bez něj by zesílení signálu výrazně okleslo v důsledku záorné zěné vazby, kerou vyvolává rezisor. Pro sřídavý signál je však řemosěn kaaciorem, kerý ak ůsobení zěné vazby zabraňuje. Z obr. 3.5b) vylývají zesilovací schonosi obvodu: amliuda sřídavé složky naěí u ou je asi,58v, což je 6x věší hodnoa než na vsuu. Parný je i fázový osun mezi vsuním a výsuním sřídavým naěím o 8 (inverze fáze). Obr. 3.5c) ukazuje, že ři silnějším vsuním signálu již dochází k zkreslení varu sřídavé složky na výsuu (dolní ůlvlna je roáhlejší a osřejší). Ješě markannější zkreslení je arné na obr. 3.5d). Vysvělení ěcho jevů je možné hleda v následující analýze modelu z obr. 3.5a): Budeme bod o bodu nasavova naěí u in a ro každou hodnou určíme u ou. Výsledek očíačové simulace je na obr ,8V in u u in 3 6k 4 44k B 3.3k 3.3k NA E 3,44V u u ou OV u [V] a) b) u in u u ou u E u B 5m 5m [us] u u ou 8.8 u u ou u [V] u [V] m 4.4 5m u E u B u B u E.. 5m 5m - Obr u in [us] 3 c) d) - u in [us] 3 Zracování harmonického signálu u in, ro nějž kaaciory a ředsavují zkra. Na kaaciorech jsou ouze sejnosměrná naěí daná klidovým racovním bodem (a), časové růběhy ři amliudě u in 5mV (b) 5mV (c) 5mV (d). 59

68 Elekronické obvody I ou [V] 8 6 Q 6,58V in [mv] Obr Převodní charakerisika ou f( in ) modelu zesilovače z obr. 3.5a). Sřídavé malosignálové zesílení je dáno srmosí řevodní charakerisiky v okolí racovního bodu Q. Při silnějším vsuním signálu již dochází k nelineárnímu zkreslení výsuu. Shrnuí a zobecnění: Vzah mezi výsuním a vsuním signálem nelineárního obvodu je osán nelineární řevodní charakerisikou. Do éo charakerisiky se romíají říslušné souřadnice klidového racovního bodu. Vlivem vsuního signálu dochází k rozmíání bodu Q o řevodní charakerisice. Časovým rozvojem ohoo ohybu získáme výsuní signál. Je-li současně slněno, že bod Q se ohybuje o čási řevodní charakerisiky, kerou je možno ovažova za římkovou, ak výsuní signál, neuvažujeme-li jeho sejnosměrnou složku, je varově shodný se vsuním signálem. Dochází ouze k změně jeho velikosi (využíváno nař. k zesilování), říadně k inverzi fáze. Poměr velikosí sřídavých složek výsuního a vsuního signálu, zv. sřídavé zesílení, je rovno směrnici ečny k řevodní charakerisice v klidovém racovním bodu. Nelineární obvod racuje v zv. linearizovaném režimu. Nejsou-li slněny výše uvedené odmínky, dochází k varovému zkreslení výsuního signálu. Hovoříme o nelineárním zkreslení. Obvod racuje v nelineárním režimu. Podmínky lineárního režimu lze sručně shrnou ako: vhodně nasavený klidový racovní bod a relaivně slabý vsuní signál Pohyb bodu Q vlivem eloních a dalších změn Z obr. 3.6 je zřejmé, že by bylo nežádoucí, kdyby se jednou nasavený klidový racovní bod Q měnil v důsledku akových jevů, jako jsou eloní změny, sárnuí zařízení, nebo naříklad výměna oškozené součásky za sejný y, ale s čásečně odlišnými aramery. Každá změna olohy klidového racovního bodu oiž řináší změnu vlasnosí obvodu (v našem říadě sřídavého zesílení) a je oenciálním zdrojem nelineárního zkreslení. 6

69 3 Elekrické obvody a jejich modely Proo je vhodné olohu klidového racovního bodu sabilizova, j. učini aková oaření, aby bod Q nebyl ovlivňován výše uvedenými jevy. Používané meody sabilizace budou robrány ozději. zesilovače na obr. 3. b) je sabilizace zajišťována rezisorem, kerý zavádí do obvodu sabilizující záornou zěnou vazbu. Ta zmenšuje zesílení, j. cilivos obvodu na relaivně omalé změny (nař. změny eloy). Pro rychlé změny, j. změny vyvolávané vsuním signálem, jsou účinky zěné vazby olačeny kaaciorem, kerý řemosťuje rezisor svou relaivně nízkou reakancí hování nelineárního obvodu ři kombinovaném buzení omalým a rychlým signálem Z obr. 3.6 vylývá, že sřídavé zesílení obvodu, j. srmos řevodní charakerisiky v okolí klidového racovního bodu, lze řídi změnou olohy ohoo bodu. Přičeme-li edy k vsunímu signálu, kerý je určen k zesilování, další zv. řídicí signál, kerý bude vykazova odsaně omalejší změny, budeme mí možnos řízení zesílení ůvodního signálu. hování nelineárního obvodu ak můžeme osa zv. linearizovaným aramerickým modelem: linearizovaným roo, že rychlejší signál neodléhá nelineárnímu zkreslení, a aramerickým roo, že omalý signál mění důležiý aramer zařízení, v našem říadě sřídavé zesílení. vedeného rinciu lze využí nař. v modulačních obvodech. 3. OBVOD V NELINEÁNÍM EŽIM V éo kaiole bude objasněn ojem zv. obohacení sekra. kážeme, jak se obvod chová v nelineárním režimu ři buzení jedním a dvěma harmonickými signály. Objasníme význam veličiny THD. Je-li klidový racovní bod nelineárního obvodu nevhodně nasaven, ak v kombinaci s relaivně silným vsuním signálem dochází k ohybu bodu Q o nelineárních úsecích řevodních charakerisik. Důsledkem oho je nelineární zkreslení signálu. Říkáme, že obvod racuje v nelineárním režimu. ozebereme chování obvodu v říadě jeho buzení jedním a více signály. Omezíme se na harmonické budicí signály, z nichž je možno ve smyslu Fourierovy řady složi obecný eriodický budicí signál. 3.. Působení jednoho harmonického signálu Obr. 3.7 zachycuje siuaci, kdy na nelineární obvod (je ouži říklad usměrňovače) ůsobí harmonický signál o kmioču F, jehož sekrum obsahuje jedinou sekrální čáru. Po růchodu obvodem s nelineární řevodní charakerisikou již signál není harmonický. Nicméně zůsává eriodický, neboli rozložielný na jednolivé harmonické. První harmonická je sejného kmioču jako je kmioče vsuního signálu. Navíc se však ve sekru objevuje sejnosměrná složka a vyšší harmonické. Teno jev se nazývá obohacení sekra signálu nelineárním obvodem. Je o rojev nelineárního zkreslení signálu ve frekvenční oblasi. s s F f F F... f Obr Zkreslení harmonického signálu nelineárním obvodem je dorovázeno rozšířením sekra signálu o harmonické složky, keré nejsou obsaženy ve vsuním signálu. 6

70 Elekronické obvody I V omo konkréním říadě dochází ke zkreslení harmonického signálu. Pro oo nelineární zkreslení se vžil (ne říliš vhodný) název harmonické zkreslení. V někerých říadech je harmonické zkreslení, j. odchylka varu signálu od harmonické křivky, zěží nebo zcela nerozoznaelné ouhým ohledem na časový růběh. V laboraořích oužívané generáory signálů vyrábějí více či méně čisé harmonické signály. Harmonickou čisou je možné analyzova rávě omocí sekrálního analyzáoru, kerý odhalí míru zasouení vyšších harmonických složek v generovaném signálu. Míra zkreslení se ak vyjadřuje činielem harmonického zkreslení (angl. Toal Harmonic Disorion) THD, THD% THD, (3.) kde k je amliuda k-é harmonické analyzovaného signálu. Je-li činiel THD menší než zhruba - 5%, nelze zkreslení rozozna ouhým okem. Běžné generáory signálů oužívané ro rovozní měření mají činiel THD od,5%. Precizní osciláory lze vyrobi s THD od,%. zesilovače na obr. 3.5a), ři vsuním naěí 5mV je sřídavá složka výsuního naěí u ou nerozeznaelná od harmonického signálu (viz obr. 3.5b). Přiom očíačová simulace ukazuje, že činiel harmonického zkreslení je asi 4,39% (rvní harmonická má velikos 638mV, druhá 8mV, řeí 75µV, ). Nelineární, res. harmonické zkreslení můžeme vníma ze dvou hledisek. Podle rvního hlediska je o jev, kerý se snažíme eliminova. Jedná se zejména o říady nežádoucího zkreslení varu o růchodu signálu různými obvody yu zesilovač nebo řenosové vedení, nebo o generáory čisých harmonických signálů. Druhé hledisko je oačné: exisuje řada obvodů, jejichž činnos je založena na nelineárním zkreslení a s ním sojeném obohacení sekra: nelineární člen vygeneruje harmonické složky na kmiočech různých od kmioču vsuního signálu, a následný filr vybere harmonickou složku (ří. skuinu složek), keré ořebujeme. Na omo rinciu může racova naříklad násobič kmioču, kdy filr yu ásmová rous je naladěn na někerou z vyšších harmonických, říadně usměrňovač s vyhlazovacím členem yu dolní rous, na jehož výsuu je filrovaná sejnosměrná složka, zbavená všech harmonických složek. P3. važuje nelineární obvody se saickými řevodními charakerisikami odle obr.3.8. Na vsu ůsobí harmonický signál Řešení: a) u ( ) cos( Ω), V, Ω F, F khz. u π Vyočěe časový růběh výsuního naěí a zjisěe jeho sekrální složky.. () u () cos ( Ω) cos( Ω ),5,5 cos( Ω )[ V] Ve výsuním signálu se objeví sejnosměrná složka a harmonická složka na dvojnásobném kmioču než je kmioče buzení. b) u () u () cos ( Ω) cos( Ω) cos( 3Ω ),75cos 3 4 ( Ω),5cos( 3Ω )[ V]. 4 Ve výsuním signálu se objeví harmonická složka na sejném a harmonická složka na rojnásobném kmioču než je kmioče buzení. c u ( ) u ( ) [ u ( )]. ) 6

71 3 Elekrické obvody a jejich modely u u u 3 u u u u u u u a) b) c) u u u u u u Obr.3.8. Příklady nelineárních řevodních charakerisik a jejich obvodových realizací. Vsuní signál bude mí ořezané záorné ůlvlny, bude jednocesně usměrněn. Fourierova řada akového signálu je řešena v říkladu na sr. 7 a 8: u π () cos( Ω) cos( Ω) cos( 4Ω) cos( 6Ω) &,383,5cos π & ( Ω),cos( Ω),44cos( 4Ω),84cos( 6Ω)...[ V]. Ve výsuním signálu se objeví sejnosměrná složka a nekonečný oče harmonických složek na celisvých násobcích kmioču budicího signálu. Poznaky z říkladu: Průchodem harmonického signálu nelineárním obvodem došlo k rozšíření ůvodního jednočárového sekra o řídavné harmonické složky, keré nebyly říomny ve vsuním signálu. Záleží na yu nelineariy, jaký bude charaker rozšíření sekra: olynomiální hladké závislosi výsuu na vsuu vedou na konečný oče sekrálních čar, osrá ořezání vyvolají věší rozšíření. Sysém a) je římo oužielný v alikaci zdvojovače kmioču. P3. Na vsu nelineárního obvodu s kubickou řevodní charakerisikou z obr. 3.8 b) řivádíme harmonický signál Řešení: ( ) ( Ω), mv, Ω F, F 5kHz. u cos π Vyočěe činiel harmonického zkreslení THD výsuního signálu. Výoče výsuního signálu: u u cos Ω () () ( ) cos( Ω) cos( 3Ω ),75cos( Ω),5cos( 3Ω )[ mv]. Výsuní signál je zkreslen ouze 3.harmonickou, kerá je však oměrně výrazná (/3 rvní harmonické). Výoče THD - vzorec (3.): 63

72 Elekronické obvody I THD 5, 75, 333%, Působení dvojice harmonických signálů o různých kmiočech Působí-li na vsu nelineárního obvodu dvojice harmonických signálů o kmiočech f a f, lze zobecněním říadu jediného harmonického signálu ředokláda, že ve sekru výsuního signálu se objeví kromě sejnosměrné složky a originálních složek na kmiočech f a f rovněž vyšší harmonické na celočíselných násobcích f a f. Obr. 3.9 ukazuje, že omu ak skuečně je. Kromě oho však ve sekru vznikají další, zv. kombinační složky, nař. f ±f, f ±f ad. Kmiočy, na nichž se mohou objevi sekrální čáry, lze obecně osa vzahem mf ± nf, (3.) kde m, n jsou řirozená čísla aková, aby výsledný kmioče vyšel nezáorný. Pro řibližný odhad velikosí kombinačních složek lze ouží zásadu, že čím je věší souče mn, ím věší úlum říslušné složky můžeme očekáva. vedený jev může vyvoláva v někerých alikacích nežádoucí účinky. Jde zejména o říady, kdy do kmiočového ásma, v němž racuje dané zařízení, se dosanou kombinační složky odvozené od užiečného i rušivého signálu. Tyo rušivé složky jsou zařízením zracovány a zůsobují zv. inermodulační zkreslení. Podrobnosi budou osány v říslušné kaiole. Daného jevu na druhou sranu využívá řada radioelekronických zařízení. Princi je jednoduchý vhodným filrem se oddělí z výsledného sekra jen jeho čás, kerá je ro nás důležiá. Naříklad vydělením složky o rozdílovém kmioču f -f získáme zv. směšovač, vydělením rojice složek f -f, f, f f amliudový moduláor aod. s f f f f f f f f... f f ss s3 f-f ff f-f ff s f f Obr Princi vzniku kombinačních složek ve sekru výsuního signálu. P3.3 važuje nelineární obvod s kvadraickou řevodní charakerisikou z obr. 3.8a). Na vsu ůsobí dvojice harmonických signálů u ( ) cos( Ω), V, Ω π F, F khz, () cos( Ω ), V, Ω π F, F khz. u Vyočěe časový růběh výsuního naěí a zjisěe jeho sekrální složky. 64

73 3 Elekrické obvody a jejich modely Řešení: u ( ) u ( ) [ cos( Ω ) cos( Ω ) ] cos cos,5cos ( Ω ) cos( Ω ) cos( Ω ) cos( Ω ) ( Ω ) cos( Ω ) cos[ ( Ω Ω ) ] cos[ ( Ω Ω ) ] ( Ω ),5cos( Ω ) cos[ ( Ω Ω ) ] cos[ ( Ω Ω ) ][ V]. Ve výsuním signálu se objeví sejnosměrná složka, harmonické složky na dvojnásobcích kmioču vsuních signálů (khz a khz) a složky na součovém a rozdílovém kmioču (khz a 9kHz). P3.4 Na výsu sysému z ř. P3.3 zaojíme ásmovou rous (PP) naladěnou na 9kHz s šířkou ásma khz. Zaiše časový růběh výsuního signálu ásmové rousi v usáleném savu. Řešení: Využijeme výsledku ř. P3.3. Na výsuu PP mohou bý ouze sekrální složky z inervalu 8,5kHz až 9,5kHz: () ( ) [ ] ( ) [ ][ ] u PP cos Ω Ω cos Ω Ω V. Na vsuu sysému ůsobí dva harmonické signály o kmiočech khz a khz, z výsuu odebíráme harmonický signál o rozdílovém kmioču 9kHz. Takovému zařízení se říká směšovač. P3.5 Na výsu sysému z ř. P3.3 zaojíme ásmovou rous naladěnou na khz s šířkou ásma,khz. Zaiše časový růběh výsuního signálu ásmové rousi v usáleném savu. Řešení: Využijeme výsledku ř. P3.3. Na výsuu PP mohou bý ouze sekrální složky z inervalu od 8,9kHz do,khz: ( ) ( ) [ ] [( ) ] [( ) ] ( ) [ ][ ] u PP cos Ω Ω cos Ω Ω cos Ω Ω cos Ω Ω V. Na vsuu sysému ůsobí dva harmonické signály o kmiočech khz a khz, z výsuu odebíráme souče dvou harmonických signálů o součovém a rozdílovém kmioču khz a 9kHz. Na výsuu je edy amliudově modulovaný signál s olačenou nosnou na kmioču khz a dvěma osranními ásmy. Zařízení ředsavuje AM moduláor DSB-S, signál u je nosná, signál u je modulační signál. Shrnuí a zobecnění: Obvod racující v nelineárním režimu je zdrojem nelineárního zkreslení zracovávaného signálu. V časové oblasi o znamená deformaci jeho varu, v kmiočové oblasi obohacení jeho sekra o složky, keré nejsou ve vsuním signálu říomny. 65

74 Elekronické obvody I Je-li vsuním signálem harmonický signál, ak hovoříme o harmonickém zkreslení a ohodnocujeme jej fakorem THD odle rovnice (3.). Je-li vsuním signálem signál složený z více harmonických složek, ak rojevem nelineárního zkreslení je vznik zv. kombinačních složek, keré mohou bý zdrojem různých inermodulačních zkreslení. Je řada alikací, kdy nelineární zkreslení je nežádoucí jev (zesilovače, řenosové sousavy..) a je řeba roi němu rovádě oaření. Na druhou sranu řada elekronických zařízení je založena na využií jevu obohacení sekra s následnou kmiočovou filrací (násobiče kmioču, usměrňovače, směšovače, moduláory, demoduláory,..) LINEAIZOVANÝ MODEL OBVOD V éo kaiole bude objasněn osu, jak získa linearizovaný model nelineárního obvodu s malosignálovým buzením. Bude vysvělen význam linearizovaných sřídavých aramerů nelineárních součásek. Seznámíme se s náhradním schémaem obvodu ro sřídavý signál a s možnosmi jeho zjednodušování ak, aby bylo oužielné ro ruční výočy. Budou vysvěleny ojmy ásmo sředních kmiočů a obvody rakicky lineární Linearizovaný model obvodu Z říkladu ranzisorového zesilovače s modelem na obr. 3.5a) a říslušných časových růběhů na obr. 3.5b) je zřejmé, že v linearizovaném režimu činnosi, ůsobí-li na vsu zařízení harmonický signál, vykazují všechna naěí a roudy v obvodu sejnosměrnou složku, danou souřadnicemi klidového racovního bodu, a sřídavou harmonickou složku. živaele zajímají ředevším sřídavé složky, j. změny kolem klidového racovního bodu, neboť o jsou signály, keré věšinou na výsuu využíváme, nař. u zesilovače k řeměně na akusický výkon rosřednicvím rerodukoru. Porovnáním sřídavých složek výsuního a vsuního naěí získáme velikos zesílení, odíl sřídavých složek vsuního naěí a roudu udává vsuní imedanci, aod. Zajímáme-li se ředevším o sřídavé veličiny v obvodu a sejnosměrné hodnoy, j. jednou evně nasavené souřadnice klidového racovního bodu, jdou mimo naši ozornos, můžeme si dovoli určié zjednodušení obvodového modelu. Podívejme se na obr. 3.. V levé čási je modelována skuečnos, že naěí uzlu A roi zemi je obecně dáno sejnosměrnou složkou Q (souřadnicí racovního bodu) a sřídavou složkou u ~ : u u ~. Q u A A Q Q Q u ~ uu ~ u B u B u ~ u ~ Obr. 3.. Zjednodušení obvodu neuvažováním sejnosměrných složek signálů. 66

75 3 Elekrické obvody a jejich modely Nezajímají-li nás sejnosměrná osunuí, nahradíme zdroje Q zkraem. Zdůrazněme, že se jedná ouze o zkra modelový, nikoliv fakický. Too je řeba rovés se všemi věvemi v obvodu. vědomíme-li si, že jediným zdrojem říčinou sejnosměrných osunuí, je sejnosměrný naájecí zdroj, osačí nahradi eno zdroj zkraem. Obr. 3.4 ilusruje na říkladu zesilovače z obr. 3. b) rakický osu řevodu schémau obvodu na linearizovaný model - náhradní schéma ro řenos sřídavého signálu. Nejrve je zdroj sejnosměrného naěí nahrazen zkraem (obr. a). Tím dojde k zjednodušení obvodu, kerý lze řekresli do formy na obr. b). Jesliže je kmioče signálu akový, že akumulační rvky v našem říadě kaaciory a, mají zanedbaelnou reakanci, ak úbyek sřídavého signálu na nich je zanedbaelný a yo rvky je možno rovněž nahradi zkraem (obr. c). V osledním kroku je jediný nelineární rvek v obvodu ranzisor nahrazen jeho linearizovaným modelem (vysvělení bude následova). Získáme ak náhradní schéma na obr. d), jehož analýzou lze urči všechny sřídavé aramery zesilovače, zejména naěťové zesílení u ou~ /u in~, vsuní odor u in~ /i in~ a výsuní odor u ou~ /i ou~. P3.6 V obvodu na obr. 3. zjisěe sejnosměrná a sřídavá naěí a roudy ro všechny rezisory a zdroje. V 5k,5V 5k 5V Obr. 3.. Obvod s dvojicí sejnosměrných a jedním sřídavým zdrojem naěí. Řešení: V souladu s rinciem suerozice řešme odděleně naěí a roudy ři ůsobení jen sejnosměrných zdrojů (obr. 3. a) a ak ři ůsobení jen sřídavého zdroje (obr. 3 b). Získaná sejnosměrná a sřídavá řešení ak sečeme (obr. 3.3). Z obrázku naříklad vylývá, že vzhledem k sřídavému zdroji obvod vykazuje sřídavý vsuní odor,5v/ma 5kΩ. To souhlasí s obr. 3.b), odle kerého je eno odor vořen aralelní kombinací dvou odorů 5kΩ. 6uA ua~ V ua 5k 3V 5k V 5V,5V~ ua~ 5k,5V~ 5k,5V~ 4uA ua~ a) b) Obr. 3.. Řešení sejnosměrných (a) a sřídavých (b) oměrů v obvodu z obr

76 Elekronické obvody I 5V V~ 5V V,5V~ V 5k V,5V~ 5V V,5V 5k V 6uA -ua~ 6mA V 5k 4mA 5V ma -ua ua~ 5k ma,5v 4uA ua~ -ma Obr Úlné řešení obvodu z obr. 3., souvislos mezi sejnosměrným a sřídavým řešením Linearizovaný odorový model nelineárního rvku Teno model lze získa linearizací sejnosměrných nelineárních charakerisik nelineárního rvku v okolí sejnosměrného racovního bodu. Modelu je ak možné využí k analýze sřídavých signálů, racuje-li obvod v linearizovaném režimu, jesliže kmioče signálu je akový, že je možné zanedba vliv reakančních rvků v obvodu (naříklad araziní mezielekrodové kaaciy ranzisoru). Jesliže vliv ěcho rvků není možné zanedba, ak je řeba dolni odorový model o říslušné reakanční rvky. važujme oě ranzisor z obr. 3.a) a jeho saické charakerisiky z obr. 3.. Naěťové a roudové oměry v ranzisoru lze osa sousavou nezávislých naěí a roudů BE, E, I B, I. Osaní veličiny z obr. 3.a), oiž B a I E, lze doočía z výše uvedených. Závislosi mezi uvedenými veličinami jsou obecně nelineární. Někeré z nich jsou graficky vyjádřeny na obr. 3.. Z ohoo obrázku vylývá, že exisuje nelineární závislos mezi roudem kolekoru a naěím kolekor-emior, j. veličinami v kolekorovém okruhu. Proud kolekoru však bude současně ovlivňován i oměry v bázovém okruhu, j. roudem báze, res. naěím báze-emior. Podobně roud báze bude závislý na naěí báze-emior a zěně bude ovlivňován i naěím kolekoremior, res. roudem kolekoru. Tyo závislosi lze osa sousavou dvou nelineárních rovnic: I I, I ) (3.3) ( E B I B I B ( BE, E ) (3.4) Předsavme si, že se nacházíme v sejnosměrném racovním bodu Q. Pak I I, I ), (3.5) Q ( EQ BQ I I, ). (3.6) BQ B ( BEQ EQ 68

77 3 Elekrické obvody a jejich modely 3 8k 3k3 u ou~ u ou~ M u 4 in~ 33k B T E M in u in~ B T E a) 4 3 b) u ou~ in B T in i in~ B i B~ T i ou~ u in~ E u in~ β i B~ r BE r E u ou~ E c) d) Obr Posuné zjednodušování modelu zesilovače ro řenos slabého sřídavého signálu. a) Náhrada sejnosměrného zdroje naěí zkraem, b) řekreslení schémau z obr. a) do jednodušší formy, c) zanedbání relaivně malých reakancí kondenzáorů jejich náhrada zkraem, d) náhrada ranzisoru jeho linearizovaným nízkofrekvenčním modelem. Sledujme, co se sane s kolekorovým roudem, jesliže se nearně změní naěí E a roud I B o diferenciály d E a di B, a s roudem báze ři odobné změně naěí BE a naěí E o diferenciály d BE a d E. Diferencováním rovnic (3.3) a (3.4) v racovním bodu Q dosáváme: di di B I I d E di, (3.7) B E I Q B Q I I B B d BE d. (3.8) E BE Q E Q háeme-li změny souřadnic sejnosměrného racovního bodu jako rojev sřídavých složek obvodových veličin, můžeme diferenciály nahradi ěmio složkami a sá rovnice (3.7) a (3.8) ve varu kde i ~ ue~ β i, (3.9) B~ r E i B~ u BE~ g Bu, (3.) E~ r BE u E~ r sřídavý odor kolekor-emior ři neůsobení sřídavé složky bázového roudu, E i~ i ~ B 69

78 Elekronické obvody I i i ~ β sřídavý roudový zesilovací činiel ři neůsobení sřídavé složky naěí B~ u ~ E u kolekor-emior, BE~ r sřídavý odor kolekor-emior ři neůsobení sřídavé složky bázového roudu, BE ibe~ u ~ E i B~ g zěná řenosová vodivos z kolekorového do bázového okruhu ři neůsobení B ue~ u ~ BE I sřídavé složky naěí báze-emior. srmos ečny souvisí se sřídavým odorem I Q Q I BQ u E~ i ~ IB srmos sečny souvisí se sejnosměrným odorem EQ Obr Výsuní charakerisiky ranzisoru I I ( E ), I B kons. V racovním bodu je definován sejnosměrný (saický) výsuní odor ranzisoru E EQ /I Q a sřídavý (diferenciální) odor r E u E~ /i ~. Odory mají odlišný fyzikální význam a odsaně se liší v hodnoách. Velikos sejnosměrného odoru souvisí se srmosí římky rocházející bodem Q a očákem souřadnic, zaímco velikos sřídavého odoru souvisí se srmosí ečny říslušné výsuní charakerisiky v bodu Q. I E EQ I Q Q E Obr Převodní charakerisiky ranzisoru I I (I B ), E kons. V racovním bodu je definován sejnosměrný (saický) roudový zesilovací činiel ranzisoru B I Q /I BQ, a sřídavý (diferenciální) roudový zesilovací činiel β i ~ /i B~. Veličiny mají odlišný fyzikální význam, avšak jejich hodnoy jsou rakicky sejné v důsledku dobré lineariy řevodních charakerisik. I BQ I B 7

79 3 Elekrické obvody a jejich modely I B E I BQ Q srmos sečny souvisí se sejnosměrným odorem srmos ečny souvisí se sřídavým odorem Obr Vsuní charakerisiky řechodu báze-emior ranzisoru I B I B ( BE ), E kons. V širokém rozsahu naěí kolekor-emior jsou charakerisiky na omo naěí rakicky nezávislé. Z oho vylývá zanedbaelná velikos arameru g B i B~ /u E~, u BE~. Sřídavý vsuní odor r BE souvisí se srmosí ečny k charakerisice v racovním bodu Q. Tyo aramery ředsavují srmosi nelineárních charakerisik ranzisoru v daném racovním bodu v říslušných směrech. Jejich velikosi jsou ochoielně závislé na yu oužiého ranzisoru a na volbě racovního bodu. K vyvoření hrubé ředsavy o řádových hodnoách uvádíme yické hodnoy ro křemíkový ranzisor: r E kω, β, r BE 5kΩ, g B. (3.) Poslední údaj hovoří o om, že ři jednoduchých rakických výočech obvykle můžeme zanedba zěný vliv naěí kolekor emior na roud báze. Fyzikální význam daných aramerů je ilusrován na obr. 3.5 až 3.7. V obrázcích je vždy zdůrazněn rozdíl mezi sejnosměrným a sřídavým aramerem včeně říslušné geomerické inerreace. Výsuní odor r E vychází relaivně vysoký díky omu, že výsuní charakerisiky ranzisoru vykazují v oblasi naěí kolekor-emior věších než asi V oměrně malou srmos (obr. 3.5). Z obr. 3.6 zase vylývá, že ro relaivně malé roudy báze je roud kolekoru rakicky římo úměrný roudu báze, sklon říslušných římek závisí na naěí kolekor-emior. V éo oblasi edy mají sejnosměrný a sřídavý roudový zesilovací činiel rakicky sejné hodnoy. Obr. 3.7 zase ilusruje, že amérvolové charakerisiky řechodu báze-emior ranzisoru závisejí velmi málo na naěí kolekor-emior, akže v rvním řiblížení je možno zanedba vodivos g B, kerá rerezenuje zěný vliv kolekorového obvodu na obvod bázový. ovnice 3.9 a 3. můžeme ři zanedbání arameru g B využí k vorbě linearizovaného modelu ranzisoru na obr. 3.8 b). B i B~ i ~ u E~ B i B~ r BE β ib~ i ~ BEQ r E BE u BE~ u BE~ E E a) b) u E~ Obr Zjednodušený linearizovaný model ranzisoru vyhovující rovnicím 3.9 a 3. za ředokladu g B. 7

80 Elekronické obvody I ovnice 3. vzah mezi naěím báze-emior a roudem báze - je rerezenována odorem r BE mezi bází a emiorem. ovnice 3.9 ukazuje, že kolekorový roud se skládá ze dvou čásí. První člen rerezenuje roud ekoucí výsuním odorem r E, na němž je naěí kolekor-emior. Druhý člen je roud báze zesílený aramerem β. Tao rovnice je edy modelována aralelním usořádáním odoru r E a zdroje roudu, jehož velikos je řízena roudem báze. vedený model byl ouži v obr. 3.4 d) jako součás linearizovaného modelu ranzisorového zesilovače Linearizovaný kmiočově závislý model nelineárního rvku Výše uvedený linearizovaný model nelineárního rvku byl odvozen linearizací sejnosměrných nelineárních charakerisik v okolí sejnosměrného racovního bodu. Model edy nezahrnuje vliv reakančních rvků araziních kaaci a indukčnosí. Teno vliv je věšinou nevýznamný v nízkofrekvenčním audio ásmu. Na druhou sranu jej nelze zanedba ři modelování ranzisorů ve vysokofrekvenčních alikacích. Pak je nuné ůvodní odorový model dolni o reakanční rvky. Je řeba si uvědomi, že yo rvky bývají rovněž nelineární, akže hodnoy říslušných kaaci a indukčnosí je nuné oě získa linearizací v okolí sejnosměrného racovního bodu. Příslušné rovnice 3.9 a 3. se ak formálně změní: namíso reálných aramerů budou aramery komlexní (naříklad imedance namíso odorů), sřídavé signály nyní oíšeme fázory. Pak I & & E β& I&, (3.) B Z& E I & B & BE Y& B &. (3.3) E Z& BE Příslušný linearizovaný kmiočově závislý model je na obr B I& B I& B Y & & B E &βi& I& B I& B & E Z& BE Z& E & BE E & BE a) b) E & E Obr Linearizovaný kmiočově závislý model ranzisoru vyhovující rovnicím 3. a 3.3. Komlexní aramery jsou kmiočově závislé Pásmo zv. sředních kmiočů važujme oě zesilovač na obr. 3.4 a) a jeho náhradní schémaa ro sřídavý signál na obr. b) až d). Má-li zesilovaný signál relaivně nízký kmioče, ak zesílení celého obvodu bude nízké ze dvou důvodů:. Kaacior solu se vsuním odorem mezi bází a dolním solečným vodičem voří kmiočově závislý dělič (- článek), kerý vykazuje na nízkých kmiočech velký úlum signálu.. Kaacior rerezenuje na nízkých kmiočech vysokou imedanci, neblokuje edy emiorový rezisor, kerý vyvolává záornou zěnou vazbu. Tao zěná vazba výrazně snižuje zesílení suně. Zesilujeme-li naoak signál o relaivně vysokém kmioču, začnou se ulaňova mezielekrodové kaaciy ranzisoru (na obr. 3.4 nejsou vyznačeny). važujeme-li nař. kaaciu mezi kolekorem a emiorem E, kerá činí kolem několika ikofaradů, bude ao kaacia na kmiočech řádově MHz zkraováva řechod kolekor-emior reakancí řádově sovky ohmů a ím snižova zesílení. Zjednodušený model na obr. 3.4 d) neobsahuje žádnou reakanci: racovní kaaciy a jsou nahrazeny zkray ředokládá se, že kmioče signálu není říliš malý (věší 7

81 3 Elekrické obvody a jejich modely než desíky Hz). Paraziní kaaciy ranzisoru jsou vynechány, j. nahrazeny rozojeními ředokládá se, že kmioče není exrémně velký (menší než jednoky MHz). V omo kmiočovém ásmu, zv. ásmu sředních kmiočů, kdy je možno obvod modelova čisě odorovým náhradním zaojením, obvod racuje odle ředokladů návrháře. Zesílení je v omo kmiočovém ásmu nezávislé na kmioču. Lze jej odhadnou analýzou modelu na obr. 3.4 d): u ou uin~ uou~ β ~ β ib~ ( re ) β ( re ) ( re ) (k 3,3 k) 64. r u r 5 BE in~ Záorné znaménko znamená, že zvěšuje-li se vsuní naěí, klesá naěí výsuní, neboli že zesilovač inveruje signál (oáčí fázi o 8 ). Mohli jsme se o om řesvědči z obrázků 3.5 a 3.6. Je řeba oznamena, že ásmo sředních kmiočů je yické rávě ro nízkofrekvenční zesilovače, ovšem exisuje řada zařízení, u nichž uvedené ásmo nemá smysl definova. Pracovní režim akových zařízení římo využívá ůsobení vniřních reakancí, keré ak není možné zanedbáva. Tyickým říkladem jsou rezonanční obvody Obvody rakicky lineární Jedná se o obvody, keré vykazují lineární chování ro relaivně široký rozsah budicích signálů. Tyickým říkladem jsou asivní kmiočové filry, složené z dvojólů yu, a L. Kriickým rvkem z hlediska lineariy zde bývají indukory. Dalším říkladem jsou obvody složené z inegrovaných obvodů, kde linearia je zajišěna vniřním rovedením obvodu. ěcho alikací se uživael věšinou nemusí zabýva nasavováním sejnosměrného racovního bodu: u lineárních asivních obvodů o není rinciiálně nuné, v říadě inegrovaných bloků bývá racovní bod již oimálně nasaven ve vniřní srukuře. Vždy je však řeba mí na aměi, že i yo obvody se začnou chova jako nelineární, dojde-li k řekročení rozsahu budicích signálů mimo ovolený inerval. BE P3.7 Na obr. 3. jsou uvedeny sejnosměrné oměry v ranzisorovém zesilovači. Tranzisor má v daném racovním bodě yo linearizované aramery: r BE 5kΩ, r E kω, ß5. Analýzou nalezněe sřídavá naěí a roudy v obvodu, je-li na vsuu zesilovače sřídavé naěí mv o kmioču z ásma sředních kmiočů (kolem khz). Zjisěe sřídavé zesílení a vsuní odor celého zesilovače.,65v,35v B M k 6V V V µ V mv~ I BQ 5,675µΑ,65V 6V I EQ IQ 3mA Obr. 3.. Tranzisorový zesilovač a souřadnice jeho sejnosměrného racovního bodu. Řešení: Nejrve dooručujeme konrolním výočem ověři, zda není v hodnoách sejnosměrných naěí a roudů na obr. 3. žádný rozor. 73

82 Elekronické obvody I K výoču sřídavých oměrů je řeba nakresli náhradní schéma zesilovače ro sřídavý signál, což v rvním kroku znamená nahradi naájecí baerii zkraem a v druhém kroku zanedba sřídavé naěí na vazebním kaacioru V (jde o ásmo sředních kmiočů). Tranzisor je nahrazen jeho linearizovaným modelem. Výsledek je uveden na obr. 3.b), kerý vznikl z obr. 3.a) jednoduchým řekreslením. B V I & B I & β & I B v & in & ou & v in & BE B r BE re & ou a) b) ranzisor Obr. 3.. a) Náhradní schéma zesilovače ro sřídavý signál náhrada naájecí baerie zkraem, b) náhrada ranzisoru linearizovaným modelem a řekreslení obvodu. Paralelní kombinace B r BE ředsavuje odor cca 4,988kΩ. Kaacior V má na kmioču khz reakanci cca,59ω. Při ěcho nesouměřielných hodnoách o znamená, že rakicky celé vsuní naěí bude rovno naěí báze-emior, neboli že na kaacioru bude zanedbaelný úbyek naěí. Pro další analýzu edy lze kaacior nahradi zkraem (jsme skuečně v ásmu sředních kmiočů). B V V~ V V 3,9V V VmV~ µα 4µΑ,65V mv~ B 6V -3,9V~ V 6V,65V V 6mA mv~ mv~ ma V 5,675µΑ 4µΑ 3mA ma~ 3mA ma 4µΑ Obr. 3.. Úlné řešení zesilovače z obr. 3., souvislos mezi sejnosměrným a sřídavým řešením. Proud báze bude roven odílu naěí báze-emior a odoru r BE, neboli mv/5kω4µa. Kolekorový roud získáme vynásobením roudu báze roudovým zesilovacím činielem ß, což činí 74

83 3 Elekrické obvody a jejich modely ma. Teno roud roéká zdola nahoru aralelní kombinací r E a, což je asi,96kω. Sřídavé výsuní naěí edy bude ou -3,9V. Tomu odovídá sřídavé zesílení -3,9V/mV -96. Sřídavý vsuní odor zesilovače, jak vylývá z obr. 3.b), je roven odoru aralelní kombinace B r BE, edy asi 4,988kΩ. Z obr. 3. je zřejmý fyzikální význam vyočených hodno sřídavých naěí a roudů, keré jsou nasueronovány na klidových naěích a roudech v nasaveném sejnosměrném racovním bodu. Záorné zesílení znamená, že výsuní naěí je oroi vsunímu oočeno o 8 suňů. Kolekorový roud se mění v rozmezí od ma do 5mA. Přiom možný rozkmi je eoreicky od ma (ranzisor je zavřen) o 6mA (ranzisor je zcela oevřen). Shrnuí a zobecnění: Pro analýzu sřídavých oměrů v obvodu, kerý racuje v linearizovaném režimu, je výhodné sesavi linearizovaný model obvodu ro sřídavý signál. Model obvodu ro sřídavý signál získáme ak, že v obvodu vyřadíme všechny sejnosměrné zdroje (j. zdroje naěí zkraujeme a zdroje roudu rozojíme) a všechny nelineární součásky nahradíme jejich linearizovanými modely. Při vorbě modelů zohledníme, zda je nuné uvažova vliv akumulačních rvků. Pokud ne, nahradíme říslušné akumulační rvky zkray nebo rozojeními, odle oho, zda ři racovních kmiočech ředsavují nízkou nebo vysokou imedanci. Získáme ak maximálně zjednodušený model ro ásmo sředních kmiočů. 3.4 OBVOD V LINEÁNÍM EŽIM Kaiola se zabývá chováním obvodu v lineárním režimu ři buzení jedním harmonickým signálem, eriodickým signálem a jednorázovým imulsem. Je objasněn rinci modifikace sekra signálu lineárním obvodem, dále lineární zkreslení a jeho říčiny, jsou ukázány odmínky, za nichž lineární obvod nezkresluje signál, a je oukázáno na lineární kmiočovou filraci jako na zůsob využií lineárního zkreslení Harmonický usálený sav (HS) Je-li obvod buzen jediným harmonickým signálem, ak v říadě slnění odmínek sabiliy (viz dále) obvod řechází do eriodického usáleného savu. Jsou-li současně slněny odmínky lineárního chování obvodu, budou všechna naěí a všechny roudy v obvodu harmonické. Oakovací kmioče všech ěcho signálů bude sejný a bude roven oakovacímu kmioču budicího signálu. Obvod se ak nachází v savu, kerý nazýváme harmonický usálený sav (HS). Pojem HS je možné rozšíři i na nelineární obvody racující v linearizovaném malosignálovém režimu, kdy jednolivé harmonické signály jsou odloženy říslušnými sejnosměrnými složkami souřadnicemi sejnosměrného racovního bodu obvodu Periodický usálený sav (PS) Jesliže zaměníme výše uvažovaný budicí zdroj harmonického signálu zdrojem signálu eriodického, řechází daný obvod do eriodického obecně neharmonického usáleného savu. Všechna naěí a roudy v obvodu ak budou eriodickými signály. Oakovací kmioče všech ěcho signálů bude sejný a bude roven oakovacímu kmioču budicího signálu. Obvod se nachází v eriodickém usáleném savu (PS). Z ohoo ohledu je HS zvlášním říadem PS, kdy obvod je buzen eriodickým signálem skládajícím se z jediné harmonické sekrální složky. Základní jevy, keré se odehrávají v obvodech v HS a PS, je výhodné analyzova v kmiočové oblasi s využiím ředsavy, že budicí signál je osán sekrálními čarami rozloženými na kmiočové ose, jeho sekrum je růchodem obvodu modifikováno, a o se romíá do změny varu výsuního signálu. Tao meodika bude oužia v následujících kaiolách. 75

84 Elekronické obvody I Modifikace sekra signálu lineárním obvodem Proože každý elekrický obvod je servačný, neboli obsahující akumulační rvky, jejichž reakance jsou kmiočově závislé, bude chování obvodu závise na kmioču budicího signálu. Kmiočová závislos sledované vlasnosi obvodu, naříklad zesílení, se nazývá kmiočová charakerisika. Skládá-li se budicí signál z více harmonických složek, ak kmiočová charakerisika udává, s jakými vahami budou yo složky ronika na výsu obvodu, neboli jak bude modifikováno sekrum signálu o růchodu obvodem. Proože var signálu je dán jak jeho amliudovým, ak i fázovým sekrem, je řeba ři modifikaci sekra uvažova jak amliudovou, ak i fázovou kmiočovou charakerisiku obvodu. Oba ojmy zoakujeme na následujícím říkladu. Příklad: Kmiočová charakerisika článku yu dolní rous. Na obr. 3.3a) je ukázka esování růchodu harmonického signálu článkem. Článek je buzen z generáoru harmonických kmiů, jejichž kmioče máme možnos měni. elý obvod se chová jako kmiočově závislý dělič naěí, s růsem kmioču se bude řenos osuně zmenšova, ak jak bude osuně klesa reakance kaacioru. Výsuní signál roo bude oroi vsunímu změněn jeho amliuda bude obecně menší a bude arné určié časové zoždění výsuu v důsledku růchodu signálu článkem. Zeslabení signálu je možné vyjádři oměrem amliud výsuního a vsuního naěí / & / &, časové zoždění zase omocí fázového osuvu ϕ -ϕ mezi výsuním a vsuním signálem, kde ϕ, res. ϕ je očáeční fáze výsuního, res. vsuního signálu. Oba sledované fakory budou závise na kmioču. Tyo kmiočové závislosi jsou vyneseny na obr. 3.3 b) jako amliudová a fázová kmiočová charakerisika. Daný bod amliudové charakerisiky získáme ak, že nasavíme kmioče generáoru na ožadovanou hodnou, odečeme amliudy výsuního a vsuního naěí a jejich oměr vyneseme na svislou osu. Bod fázové charakerisiky ak ředsavuje fázový osuv mezi výsuním a vsuním signálem ři omo kmioču. Z růběhu amliudové kmiočové charakerisiky vylývá, že článek se chová jako dolní rous signály o nízkých kmiočech jsou řenášeny bez odsaného zeslabení, úlum rose ro signály o vyšších kmiočech. Hranice mezi rousným a nerousným ásmem je neosrá. Hraniční kmioče se obyčejně definuje jako kmioče, ři kerém oklesne řenos o 3 decibely oroi řenosu na kmioču Hz. Teno okles odovídá oklesu řenosu na hodnou /, 77. Z obrázku 3.3b) je zřejmé, že eno kmioče má hodnou khz. Z eorie vylývá, že hraniční kmioče lze urči omocí hodno a z vzorce f khz.6... &. 3 9 π π Z uvedeného je zřejmé, že ři růchodu harmonického signálu lineárním obvodem dochází v usáleném savu k změně signálu v om smyslu, že se obecně změní jeho amliuda i očáeční fáze. Obě yo veličiny budou závise na kmioču v souladu s danými kmiočovými charakerisikami obvodu. Jako říklad je možné uvés růchod harmonické nosné vlny elefonním kabelem dané délky: nosná o kmioču khz bude rocháze oměrně snadno, ro kmioče MHz však nebude kabel rakicky růchozí. P3.8 Odvoďe vzorec ro kmiočovou charakerisiku článku z obr Na základě ohoo maemaického oisu nakreslee v Malabu amliudovou a fázovou kmiočovou charakerisiku. 76

85 3 Elekrické obvody a jejich modely 6k n & f & & & a) ϕ ϕ [ ] : fhz, řenos,98 : fkhz, řenos,77 3: f3khz, řenos, f [khz] : fhz, osun,3 suňů a) - - : fhz, řenos,98, osun,3 suňů [ms] : fkhz, řenos,77, osun 45 suňů u u u u [ms] -45 : fkhz, osun 45 suňů 3: f3khz, řenos,36, osun 7,6 suňů u 3: f3khz, osun 7,6 suňů b) f [khz] c) u [ms] Obr a) kázka měření kmiočové charakerisiky článku, b) změřená amliudová a fázová kmiočová charakerisika, c) časové růběhy vsuního a výsuního signálu, na základě nichž byly změřeny body, a 3 kmiočových charakerisik. Řešení: Poměr fázorů výsuního a vsuního naěí vede na výoče komlexní kmiočové charakerisiky: & 6μs... jω τ K& časová konsana ω 6,5krad/s... jω & mezní kmioče jω ω j ω ω ω e ω jarcg ω. 77

86 Elekronické obvody I Proože modul, res. argumen výsledku je maemaický ois amliudové, res. fázové kmiočové charakerisiky, dosáváme: Amliudová kmiočová charakerisika K ( ω ). ω ω ω 65 Fázová kmiočová charakerisika ϕ ( ω ) ω ω arcg arcg. ω 65 Ověře si, že ěmo vzorcům odovídají grafy na obr Příklad rogramu v MATLABu ro vykreslení kmiočových charakerisik: 6; e-9; om/(*); fom//i; f:5:5e3; om*i*f; k./(j.*om/om); magabs(k); lo(f,mag); % zadání odoru % zadání kaaciy % výoče mezního kmioču v rad/s % řeoče mezního kmioču na Hz % zadání rozsahu kmiočů a kroku výoču % řeoče na kruhový kmioče % výoče komlexní kmiočové charakerisiky % výoče amliudové kmiočové charakerisiky % vykreslení amliudové kmiočové charakerisiky % haseangle(k); % říadný výoče fázové kmiočové charakerisiky % lo(f,hase); % říadné vykreslení fázové kmiočové charakerisiky Poznámka: harakerisiky lze získa i eleganněji omocí funkce freqs z SP Toolboxu Průchod signálu lineárním obvodem Průchod eriodického signálu Vzniká oázka růchodu obecného eriodického, nikoliv harmonického signálu obvodem se známou kmiočovou charakerisikou. Zde si omůžeme ředsavou, že eriodický signál je složen ze sejnosměrné složky, rvní harmonické a vyšších harmonických složek. Je-li obvod lineární, ak můžeme k určení odezvy na eno složený signál ouží rinci suerozice: zjisíme růnik jednolivých harmonických na výsu omocí kmiočové charakerisiky obvodu a yo složky ak sečeme ve výsledný výsuní signál. Teno řísu je ukázán v následujícím říkladu. Příklad: Průchod eriodického signálu článkem yu dolní rous Jednocesně usměrněný harmonický signál u() má var kladných ůlvln s oakovacím kmiočem F khz. Teno signál je vyhlazován filrem o mezním kmioču khz z říkladu P3.8. Z obr. 3.4 je arné, že vsuní signál je dobře osaelný sejnosměrnou složkou, rvní a druhou harmonickou. To jsou sekrální složky na kmiočech, khz a 4kHz. Na ěcho kmiočech má článek řenos,,45 a,4 a yo složky zožďuje o fázové osuny, 63 a 76. Po složení ako modifikovaných sekrálních složek již var výsuního signálu nebude odovída varu budicího signálu. Říkáme, že růchodem signálu článkem došlo k jeho zkreslení. Proože článek je lineární, hovoříme o lineárním zkreslení. 78

87 3 Elekrické obvody a jejich modely Z obr. 3.4 je dobře arné, že míra zkreslení bude závise na oměru mezi mezním kmiočem článku a kmiočem rvní harmonické signálu. Pokud je eno oměr mnohem věší než, bude zkreslení zanedbaelné, neboť ak všechny významné harmonické roniknou na výsu rakicky bez úlumu. u u' u u' sekrum u ϕ ϕ ϕ F F f F F f sekrum u' K u,45,4 F F f f ϕ ϕ f F F f kmiočová charakerisika harmonické složky u ϕ ϕ harmonické složky u'. ϕ ϕ u, 45 ϕ ϕ u u, 4 ϕ ϕ Obr Souvislosi mezi časovými růběhy vsuního a výsuního naěí, sekry ěcho signálů, a amliudovou a fázovou kmiočovou charakerisikou článku. Průchod imulsu Lineární obvod v očáečním savu bez energie je vybuzen imulsem s () o sekrální funkci &S ω, řičemž laí &S ( ω ). eaguje na něj výsuním imulsem s () o sekrální funkci ( ) S& ( ω) K& ( ω) S& ( ω), (3.4) kde &K ( ω) je komlexní kmiočová charakerisika sysému. u 79

88 Elekronické obvody I Odezvu obvodu na vsuní imuls je možné urči i zěnou Fourierovou ransformací. Tohoo osuu lze samozřejmě využí jen ehdy, exisují-li sekrální funkce vsuního a výsuního signálu. Inegrál zěné Fourierovy ransformace se však obecně velmi nesnadno řeší. V raxi můžeme ouží numerickou meodu založenou na DFT. Sekrální husoy energie výsuního a vsuního signálu solu souvisí ako (laí ro jednosranné i dvousranné husoy): ( ω) ( ω) ( ω) L K & L (3.5) V závislosi na varu amliudové kmiočové charakerisiky obvodu dojde k řerozdělení energie ve sekru mezi vsuním a výsuním signálem. Energie imulsu vsuujícího do obvodu je obecně jiná než energie imulsu vysuujícího. asivních obvodů bez řídavných řívodů energie je energie výsuního imulsu menší než energie vsuního imulsu, neboť čás se řemění v elo na rezisivních rvcích uvniř obvodu. Příklad: Průchod imulsu článkem yu horní rous článek yu horní rous je vybuzen obdélníkovým imulsem o výšce V a šířce i ms: u ( ) ( ) ( i ). [ ] Před řivedením imulsu byl kaacior v článku vybi. Vyočěme sekrální funkci výsuního signálu u (). važujme kω, nf. u u i Obr.3.5. článek yu HP buzený obdélníkovým imulsem. Odezva na obdélníkový imuls bude ve varu dvou jehloviých exonenciálních imulsů - viz obr.3.6. Dá se očekáva řesun energie signálu z nízkofrekvenční čási sekra do oblasi vyšších kmiočů. u () u(), [ ms] Obr.3.6. eakce článku z obr.3.5 na obdélníkový imuls. { } Výoče: & ( ω) ( ) & F u i i ω e jω i sinc, &K ( ω ) jω jω j ω i ( ω ) F{ u () } K& ( ω ) & ( ω ) sinc ω e ω ( ω ) sinc ( ω) & 5.. ω i 4 ( 5 ω) sin. ω 4 jω, jω ω i j sinc ω j 4. 4 j5. ω ( 5. ω ) e. 8

89 3 Elekrické obvody a jejich modely x -3 & ( f)[ V/Hz ] f [ Hz] Obr.3.7. Modul sekrální funkce odezvy článku na obdélníkový imuls. Derivační článek yu HP olačuje nízkofrekvenční složky rocházejícího signálu (roo má výsuní signál nulovou sekrální funkci ro kmioče Hz), zaímco složky nad mezním kmiočem článku jsou řenášeny bez odsaného úlumu. Mezní kmioče vychází /(π),59khz, což zhruba ředsavuje bod maxima druhého laloku na obr Energie imulsu v. laloku je růchodem obvodem odsaně absorbována. P3.9 Vyočěe a nakreslee závislos jednosranné sekrální husoy energie vsuního a výsuního imulsu článku z ředchozího říkladu v kmiočovém rozsahu khz. Řešení: L L 4 i i ( ) & 4 ω ( ω ) sinc ω sinc( 5. ω), j π 6 & 4., j ( ω ) ( ω) π π π 4 ( 5 ω) sin. ω 4 π J. Hz J Hz,. L, j ( f )[ J/Hz] x -6. L, j ( f )[ J/Hz] f [ Hz] f [ Hz] a) b) Obr.3.8. Sekrální výkonová husoa energie imulsu na a) vsuu b) výsuu článku yu horní rous. 8

90 Elekronické obvody I Poznaky z říkladu: Z obrázků je zřejmé, že růchodem imulsu filrem yu horní rous došlo k značnému řesunu energie do vyšších sekrálních ásem. Sekrální husoy na výsuu dosahují o několik řádů nižších hodno než na vsuu, což svědčí o konzumaci značné čási energie imulsu samoným filrem, konkréně vniřním rezisorem. P3. Vyočěe energii vsuního a výsuního imulsu článku z ř.p3.9. Řešení: Energie nejrve určíme z časových růběhů vsuního a výsuního signálu a ak ze sekrálních huso energií. Výoče z časových růběhů: Energie vsuního imulsu: W i u () d d i,j. Energie výsuního imulsu (následující výoče vyžaduje znalosi z oblasi maemaického oisu řechodných jevů v obvodech.řádu):, i ): i i i u ( ) e W u ( d ) 3 e d τ e τ 5 τ τ. J, i, ): i i i i i i u( ) 3 e e W u ( d ) τ e e d e τ τ 5 τ τ τ. J. i i W W W e τ τ & J. Energie imulsu vycházejícího z článku je -krá menší než energie imulsu do něj vsuující. Výoče ze sekrálních huso energie: Energie vsuního imulsu: [ ] 4 4 ( ω) ω sinc ( 5 ω) W L, j d. dω. π Použijeme vzorec z numerické maemaiky: [ sinc( ax) ] Pak W,J. π dx. a Energie výsuního imulsu: ( ω ) sin 5. W L, j ( ω ) dω dω. π ω 4 8

91 3 Elekrické obvody a jejich modely Použijeme vzorec z maemaiky: Pak W ( acx) ( cx) a ( e ) sin π dx, 4c a >. ( e ), &, J. P3. Vyočěe, jak je rozdělena energie vsuního a výsuního imulsu z ř.p3.9 do kmiočových ásem: a) ( ) khz, b) ( ) khz, c) ( 3) khz, d) (3 ) khz. Řešení roveďe omocí MATLABu. Řešení: Energie v kmiočovém ásmu (ω, ω ): Vsuní imuls: ω [ ] 4 4 ( ω ω ), j ( ω) ω ( 5 ω) W, L d. dω. π sinc ω Výsuní imuls: ω ω ( ω) 4 ω 6 ω 4. sin 5. W ( ω, ω ) L, j ( ω) dω dω π. ω ω ω 4 rčié inegrály vyočeme v MATLABu omocí říkazu quad( husoa, omega, omega) kde husoa je název funkce, definující vzorec sekrální husoy energie v M-souboru, omega a omega jsou dolní a horní inegrační mez. Výsledky výočů jsou shrnuy v abulce. kmiočový rozsah vsuní imuls výsuní imuls [khz] W[mJ] % z celkové energie W[mJ] % z celkové energie 9,8 9,8 3,63 36,3 4,7 4,7,3,3 3,647,647,6,6 3 3,36 3,36 3,94 3,94 Poznaek z říkladu: Vsuní obdélníkový imuls má v kmiočovém rozsahu (, /šířka imulsu) (, )khz sousředěno řes 9% své energie. Po růchodu horní rousí.řádu se energie ve sekru řeskuí do vyšších kmiočů. V uvažovaném kmiočovém rozsahu bude nyní jen asi 36% celkové energie výsuního imulsu. elková energie na výsuu je jen % z energie řiváděné do článku, 9% se edy řemění v elo ve filru. 83

92 Elekronické obvody I Lineární zkreslení. Podmínky nezkresleného řenosu V ředchozí kaiole bylo ukázáno, že lineární zkreslení je změna varu signálu, vyvolaná růchodem signálu lineárním obvodem. Příčina zkreslení sočívá v om, že obvod vykazuje různé řenosy signálu na různých kmiočech, v důsledku čehož ronikají harmonické složky signálu na výsu s různým úlumem a různým fázovým osuvem. V echnické raxi je výsuní signál s () ovažován za nezkreslený ve vzahu k vsunímu signálu s (), laí-li s ) A. s ( ), (3.6) ( τ kde A je reálná konsana různá od nuly, udávající možné zesílení, res. zeslabení signálu, a τ udává možné časové zoždění signálu. Předsavíme-li si eriodický signál složený z harmonických složek, ak změna jeho velikosi, rerezenovaná jeho vynásobením konsanou A, vlasně znamená změnu amliudy každé harmonické složky A krá. Zoždění signálu o čas τ zase znamená zozdi každou dílčí harmonickou o eno čas. Ze sekrální eorie ale víme, že zoždění. harmonické o kmioču Ω o čas τ ředsavuje fázové zoždění o úhel Ω τ radiánů, ale sejné zoždění k-é harmonické o kmioču k Ω již ředsavuje její fázové osunuí kω τ radiánů. Znamená o edy, že ideální řenosový článek, kerý by zajišťoval nezkreslený řenos signálu odle vzorce (3.6), by musel mí konsanní amliudovou kmiočovou charakerisiku se zesílením A a lineárně klesající fázovou kmiočovou charakerisiku, oisující nulový fázový osuv mezi výsuním a vsuním signálem ro kmioče a lineárně do záorných hodno (j. zoždění výsuu oroi vsuu) klesajícím fázovým osuvem ro rosoucí kmioče. Záorně vzaá derivace éo závislosi na kmioču je ak konsanní a je rávě rovna časovému zoždění výsuního signálu oroi vsunímu signálu. Nazývá se skuinové zoždění (grou delay, τ g ): τ S d ( ) dω ϕω. (3.7) V raxi osačí, okud jsou obě odmínky, j. konsanní amliudová a lineární fázová kmiočová charakerisika, současně slněny ouze v kmiočovém ásmu, v němž se nachází sekrum zracovávaného signálu. Naříklad u kvaliního zesilovače hudebního signálu se ožadují yo vlasnosi jeho kmiočových charakerisik v kmiočovém ásmu cca od 5Hz do 5kHz. Pokud naříklad zesilovač vykazuje okles svého nominálního zesílení od dolního mezního kmioču 3Hz, nikoliv 5Hz, bude o znamena, že na jeho výsuu budou olačeny basy, což je rojev lineárního zkreslení. P3. Za jakých odmínek se bude chování článku z obr. 3.3 blíži chování ideálního řenosového článku? Řešení: Jesliže kmiočové sekrum vsuního signálu bude rozloženo do oblasi kmiočů f << f, kde f je mezní kmioče článku. Pro konkréní článek z obr. 3.3 je eno kmioče asi 995Hz. V éo oblasi je amliudová kmiočová charakerisika řibližně konsanní a fázová charakerisika řibližně lineární - viz obr.3.9: K, ϕ arcg ω ω ω ω ωτ. Pak signál rojde článkem rakicky beze změny varu, bude ouze na výsuu zožděn oroi vsuu o osunuí 84

93 3 Elekrické obvody a jejich modely d τ ϕ( ω) τ 6µ s. S dω Pokud edy článek ředsavuje naříklad zjednodušený model vedení ro řenos hudebního signálu, jehož sekrum se rozkládá v ásmu kmiočů od 5Hz do 5kHz, ak mezní kmioče f musí bý odsaně vyšší než 5kHz. Naříklad ři f 5kHz vychází časová konsana asi µs. Hudební signál bude kabelem s danou kmiočovou charakerisikou rocháze rakicky bez zkreslení, na konci kabelu bude zožděn asi o µs. K[ ],,8,6,77 ϕ[],4,,, ω ω arcg ω ω -45, -9, ω ω ω Obr.3.9. Deail kmiočových charakerisik článku yu DP v oblasi očáku souřadnic Kmiočová filrace jako říklad využií lineárního zkreslení Tyickým říkladem obvodů, keré využívají efeku lineárního zkreslení, jsou kmiočové filry. Amliudová kmiočová charakerisika filru je záměrně varována ak, aby filr v určiém kmiočovém ásmu řenášel signál na výsu (rousné ásmo), a signál v určiých ásmech aby olačoval (nerousné ásmo). Daná ásma na sebe navazují formou řechodových ásem. Pro kvaliní filraci je žádoucí, aby šířka ěcho ásem byla co nejmenší. Na obr. 3.3 jsou ukázky zracování signálů filry yu dolní rous (DP), horní rous (HP), ásmová rous (PP) a ásmová zádrž (PZ). Alikační možnosi filrů jsou velmi rozsáhlé a odrobněji o nich bude ojednáno v kaiole 6 Kmiočové filry. 85

94 Elekronické obvody I dolní rous K u f f u u f horní rous K u f f u u f ásmová rous K u f f u u f ásmová zádrž K u f f u u f Obr.3.3. Demonsrace chování různých yů kmiočových filrů. 86

95 3 Elekrické obvody a jejich modely 3.5 LINEÁNÍ DVOJBANY V éo kaiole budou ukázány odsaa a výhody modelování lineárního obvodu jako dvojbranu. ozorníme na několik yických skuin dvojbranů se zjednodušenými modely. Předsavíme v raxi oužívané maemaické oisy dvojbranů a jejich vzájemné souvislosi. kážeme fyzikální význam koeficienů dvojbranu ři měření narázdno a nakráko. Vysvělíme meodu modelování různě vzájemně roojených dvojbranů. Poíšeme zv. behaviorální modelování dvojbranů omocí řízených zdrojů. Předsavíme ranzisor a oerační zesilovač jako seciální říady dvojbranů. V závěru objasníme ojmy obrazové imedance a imedanční řizůsobení dvojbranů a jejich užiečnos zejména ři návrhu a analýze vysokofrekvenčních obvodů ro rozvod a zracování signálů o je o dvojbran V raxi časo racujeme s obvody, keré se chovají jako černé skříňky s čveřicí vývodů, usořádaných do dvojice yu vsu a dvojice yu výsu. Tyo dvojice voří zv. vsuní a výsuní brány, rosřednicvím nichž obvod soluracuje s okolím. Pokud je obvod lineární, lze na něj ohlíže jako na lineární dvojbran. Jesliže nás nezajímá, co se děje uvniř obvodu a vysačíme lně s informací o chování obvodu na jeho branách, ak je dvojbranové modelování řesně o, co ořebujeme. Výhodou dvojbranového oisu je jeho jednoduchos. kážeme, že bez ohledu na složios celého obvodu je jeho dvojbranový ois redukován do čveřice aramerů, keré budou lně oisova vzahy mezi naěími a roudy na vsuních a výsuních branách. Fak, že naříklad celý složiý inegrovaný obvod lze modelova čyřmi aramery, lze edy využí k značnému zjednodušování analýzy rozsáhlých obvodů. Jiný ohled na věc vede k ředsavě, že složiý obvod je vlasně různým zůsobem osojovaná množina dvojbranů, lée řečeno odobvodů, keré lze modelova dvojbrany. Pak je vhodné zná ravidla, jakým zůsobem se dají zjisi aramery výsledného dvojbranu z aramerů dvojbranů dílčích. kážeme, že ao ravidla jsou oměrně jednoduchá, ovšem okud mají lai, musíme se vyhýba neovoleným yům sojování dvojbranů je řeba zajisi, aby všechna sojení byla zv. regulární. Konkréně o znamená, že u všech roojených dvojbranů musí lai rovnos roudů ve vsuní bráně i ve výsuní bráně (co véká řes bránu dovniř dvojbranu, musí řes bránu z dvojbranu vyéka, j. I I, I I, viz obr. 3.3). I I dvojbran I I vsuní brána výsuní brána Obr.3.3. K definici dvojbranu, vsuní a výsuní brány a branových naěí a roudů. Obr. 3.3 ukazuje zavedenou konvenci značení branových naěí a roudů. Všimněe si, že u obou bran je alikována zdrojová orienace číacích šiek, což znamená, že na rvní ohled ayicky roud výsuní brány eče horním vývodem dovniř dvojbranu. Pomocí lineárních dvojbranů můžeme mimo jiné modelova: a) Pasivní lineární obvody, obsahující rvky yu, L,, M. Příslušné dvojbrany se nazývají asivní a neauonomní. b) Pasivní lineární obvody, obsahující rvky yu, L,, M, a nezávislé zdroje naěí a roudu. Příslušné dvojbrany se nazývají asivní a auonomní. 87

96 Elekronické obvody I c) Linearizované obvody, obsahující kromě asivních rvků i lineární modely akivních rvků (ranzisory, oerační zesilovače aod.). V ěcho modelech již nejsou uvedeny sejnosměrné zdroje naěí a roudu ro nasavování racovních bodů. Příslušné dvojbrany jsou akivní a neauonomní. Prakické ulanění mají zejména modely yu a) a c). Dále se edy budeme věnova zejména neauonomním asivním a akivním dvojbranům. Podle vniřní oologie se dvojbrany dělí na odélně souměrné a odélně nesouměrné a říčně souměrné a říčně nesouměrné. Věší rakický význam má odélná souměrnos: akový dvojbran nezmění své vlasnosi, okud vzájemně zaměníme jeho vsuní a výsuní brány. P3.3 ozhodněe, zda uvedené dvojbrany jsou asivní nebo akivní, auonomní či neauonomní, odélně souměrné nebo nesouměrné. I k 5k I I n I I I I I n 5k a) c) e) g) I n I I I I I I I 5k 5k n b) d) f) h) Obr Příklady dvojbranů. Řešení: Všechny uvedené dvojbrany jsou neauonomní, roože neobsahují nezávislé zdroje naěí a roudu. Dvojbrany e) a g) modelují součásky, keré ke své funkci ořebují exerní naájecí zdroje. Tyo zdroje zde nejsou uvedeny, roože dvojbran ředsavuje linearizované náhradní schéma ro sřídavý signál. Díky ěmo skryým zdrojům mohou dané dvojbrany vykazova schonos zesilova signál. Činný výkon na výsuní bráně může bý věší než činný výkon na vsuní bráně : Naříklad u ranzisoru e) je součin amliud vsuního naěí a roudu odsaně menší než součin amliud naěí a roudu na výsuu. Ješě markannější je o u oeračního zesilovače, kde vsuující výkon je nulový. Jedná se o akivní dvojbrany. Dvojbran h) může bý náhradním modelem diodového obvodu, u něhož nejsou zakresleny sejnosměrné zdroje ro nasavení racovního bodu. Diody ředsavují z hlediska malosignálového ouze sřídavé imedance, res. admiance. Jde edy o asivní dvojbran. Dvojbrany b), d) a f) jsou odélně souměrné, osaní jsou odélně nesouměrné. Dvojbran a) by byl odélně souměrný za ředokladu rovnosi obou odorů ovnice neauonomního dvojbranu Ješě než řisouíme k maemaickému oisu dvojbranu, je vhodné uvés formální oznámku k zůsobu značení obvodových veličin yu naěí a roud a aramerů obvodu yu odor, imedance, admiance aod. lineárních asivních dvojbranů, složených ouze z rezisorů, mohou bý naěí a roudy na branách uvažovány v libovolné formě sejnosměrné, sřídavé, s libovolným časovým růběhem. ovnice dvojbranu budou formálně oužielné ro všechny yo říady. Budou v nich figurova vodivosi, res. odory a další sejnosměrné aramery vniřních rvků. 88

97 3 Elekrické obvody a jejich modely Přidáme-li lineární akumulační rvky, ak můžeme ouží dvojbranové rovnice buď k výočům v harmonickém usáleném savu (naěí a roudy budou osány fázory a akumulační rvky svými reakancemi), nebo k různým výočům oeráorovou meodou (naěí a roudy budou rerezenovány jejich Lalacovými obrazy a vniřek obvodu oeráorovým modelem). V říadě linearizovaných akivních nebo asivních dvojbranů laí uvedené s ím rozdílem, že namíso skuečných naěí a roudů se racuje ouze s jejich sřídavými složkami. Z výše uvedeného je zřejmé, že naěí, roudy a vniřní aramery dvojbranu mohou mí různý fyzikální význam a udíž i formálně různé záisy odle oho, o jaký y dvojbranu se jedná a co je cílem naší analýzy. Pro řehlednos a jednoduchos budeme dále jednoně označova naěí a roudy dvojbranu velkými ísmeny a aramery dvojbranu (imedance, admiance, bezrozměrné řenosy) malými ísmeny, s ím, že v konkréním říadě ak lze řejí na konkréní a zaužívanou formu oisu. Vniřní zaojení dvojbranu, j. množina obvodových rvků, sojující vsuní a výsuní bránu, určuje, jak solu souvisí čveřice naěí a roudů, I,, I. Proože jde o lineární dvojbran, vzahy mezi naěími a roudy musí bý roorcionální. Exisuje 6 základních varů říslušných rovnic dvojbranů, keré z šesi různých úhlů oisují o samé vzahy mezi onou čveřicí. S výjimkou určiých singulárních říadů laí, že známe-li jeden y rovnic, snadno lze z něho odvodi osaních ě. Imedanční rovnice rovnice yu Z: z z I (3.8) z z. I Admianční rovnice rovnice yu Y: I I y (3.9) y y y. Sériově-aralelní (hybridní) rovnice rovnice yu H: h h (3.) I h h. I Paralelně-sériové (hybridní) rovnice rovnice yu K: I k. (3.) k k k I Posuné kaskádní rovnice rovnice yu A: I a. (3.) a a a I Zěné kaskádní rovnice rovnice yu B: I b b b b. I (3.3) 89

98 Elekronické obvody I Příslušné čvercové maice obsahují čveřice aramerů dvojbranu. Dané maice se nazývají imedanční, admianční, sériově-aralelní, aralelně- sériová, osuná kaskádní, zěná kaskádní, a značí se Z, Y, H, K, A, B. Všimněe si, že kaskádní aramery dvojbranu jsou definovány ři uvažování změny znaménka u výsuního roudu. Prakický důvod se dozvíme v následující čási, věnované sojování dvojbranů. Pohledem na rovnice (3.8)-(3.3) zjisíme, že v dvojicích (3.8)-(3.9), (3.)-(3.), (3.)- (3.3) jsou vždy zaměněny vekory na levých a ravých sranách. Z oho vylývá, že naříklad rovnice yu Y lze získa z rovnic yu Z inverzí maice Z na maici Y aod. Plaí edy: Y Z -, K H -, B A - (3.4) Pomocí jednoduchých úrav je možný i vzájemný řeoče mezi osaními yy aramerů. Všechny řeočy jsou souhrnně uvedeny v Tab. 3.. Tab. 3.. Vzájemné řeočy dvojbranových aramerů. Symbol značí deerminan dvojbranové maice. Z Z Y H K A B z z y / y h /h /k a /a -b /b z z -y / y h /h -k /k a /a -/b z z -y / y -h /h k /k /a - b /b z z y / y /h k /k a /a -b /b z z z -z z / y h /h k /k a /a b /b Y y z / z y /h k /k a /a -b /b y -z / z y -h /h k /k - a /a /b y -z / z y h /h -k /k -/a b /b y z / z y h /h /k a /a -b /b y / z y y -y y h /h k /k a /a b /b H h z /z /y h k / k a /a -b /b h z /z -y /y h -k / k a /a /b h -z /z y /y h -k / k -/a - b /b h /z y /y h k / k a /a -b /b h z /z y /y h h -h h / k a /a b /b K k /z y /y h / h k a /a -b /b k -z /z y /y -h / h k - a /a -/b k z /z -y /y -h / h k /a b /b k z /z /y h / h k a /a -b /b k z /z y /y / h k k -k k a /a b /b A a z /z -y /y - h /h /k a b / b a z /z -/y -h /h k /k a -b / b a /z - y /y -h /h k /k a -b / b a z /z -y /y -/h k /k a b / b B a z /z y /y -h /h -k /k a a -a a / b b z /z -y /y /h - k /k a / a b b - z /z /y -h /h k /k -a / a b b -/z y /y -h /h k /k -a / a b b z /z -y /y h /h -/k a / a b b z /z y /y - h /h -k /k / a b b -b b 9

99 3 Elekrické obvody a jejich modely P3.4 rčee imedanční aramery T-článku na obr Řešení: Imedanční rovnice (3.8) jsou vořeny dvojicí rovnic ro výoče branových naěí z branových roudů. I 75 5 I I I 3 5 Obr T-článek jako dvojbran. Z obr je zřejmé, že rezisorem 3 eče souče roudů I a I. Pak naěí a vyočeme z roudů I a I jako součy úbyků na rezisorech: ( ) I 3 I I, I 3 ( I I ). Po úravě ( 3 ) I 3I, 3I ( 3 ) I Too jsou však rozesané imedanční rovnice (3.8). Hledané imedanční aramery dvojbranu jsou zde: z 3 kω, z 3 5Ω, z 3 5Ω, z 3 5Ω. P3.5 rčee aramery osuné kaskádní maice A T-článku na obr Řešení: Posuné kaskádní rovnice (3.) ředsavují výoče vsuního naěí a vsuního roudu z výsuního naěí a výsuního roudu. Jeden z možných osuů je znázorněn na obr I ( - I )/ 3 - I ❹ ❸ ❷ ❶ ( - I )/ 3 I -I I 3 - I Obr Možný osu ři hledání kaskádních aramerů dvojbranu. Z výsuního roudu se odvodí úbyek naěí na. Z ohoo úbyku a naěí se určí naěí na 3 a z něj roud ekoucí rezisorem 3. Z ohoo roudu a z výsuního roudu odvodíme I. Tím dosaneme druhou z osuných kaskádních rovnic: I ( )( I ). (3.5) 3 3 Získáváme ak dvojici kaskádních aramerů a 4mS, a

100 Elekronické obvody I První rovnici odvodíme ak, že vsuní naěí získáme jako souče naěí na a 3 : [ ( )( I )] I ( ) ( )( ). I I I Zbylé dva kaskádní aramery jsou a 4, a,75kω. 3 3 Kaskádní aramery jsme mohli ohodlněji získa naříklad řeočem imedančních aramerů z říkladu 3.4 omocí abulky 3.: z zz z z Ω a z / z 4, a z / z 75Ω, a / z 4mS, a z / z. Získávání dvojbranových aramerů heurisickými osuy z ředchozích říkladů je mnohdy zdlouhavé a neohodlné. Výhodnější bývá níže uvedený osu, využívající rinciu suerozice rčování dvojbranových aramerů ze savů narázdno a nakráko Jako říklad uveďme sériově-aralelní rovnice dvojbranu, řesané z maicové formy (3.) do dvou rovnic: h I h, I hi h. Pak h-aramery můžeme z rovnic urči naříklad ako: h, I h, I I h, I I h. (3.6) I Paramery h a h edy můžeme sanovi ři výsuní bráně nakráko ( ) a aramery h a h ři vsuní bráně narázdno (I ). Vše je ilusrováno v abulce 3. v řádku H. Při zjišťování aramerů h a h je zkra výsuní brány zajišěn amérmerem. Vsuní brána je buzena zdrojem roudu. Volmer měří naěí na vsuu. Z údajů měřicích řísrojů a nasaveného roudu budicího zdroje zjisíme oba h aramery. Další dvojici aramerů zjisíme ři vsuní bráně narázdno (aralelně k ní je volmer), akže budicí zdroj musí bý na výsuu. Z abulky jsou rovněž zřejmé fyzikální inerreace jednolivých dvojbranových aramerů. P3.6 rčee hybridní h- aramery článku P na obr ze savů narázdno a nakráko. I 3 5 I 5 Obr Analyzovaný článek yu Π. Řešení: Řešení je ilusrováno na obr

101 3 Elekrické obvody a jejich modely Tab. 3.. rčování dvojbranových aramerů z měření narázdno a nakráko. vsu nakráko výsu nakráko Z z.. vsuní imedance ři výsuu z.. výsuně-vsuní ransimenarázdno dance ři vsuu narázdno z.. vsuně-výsuní ransime- z.. výsuní imedance ři vsuu dance ři výsuu narázdno narázdno vsu narázdno I výsu narázdno I z /I, z /I z /I, z /I I I I I V vsu výsu V V vsu výsu V Y A y I /, y I / y I /, y I / A A vsu výsu vsu výsu A y.. vsuní admiance ři výsuu nakráko y.. výsuně-vsuní ransadmiance ři vsuu nakráko y.. vsuně-výsuní ransadmiance y.. výsuní admiance ři vsuu ři výsuu nakráko nakráko H h.. vsuní imedance ři výsuu nakráko h.. vsuně-výsuní roudový řenos ři výsuu nakráko V vsu výsu h /I, h I /I h /, h I / I I A A V vsu výsu h.. výsuně-vsuní naěťový řenos ři vsuu narázdno h.. výsuní admiance ři vsuu narázdno K k I /I, k /I k.. vsuní admiance ři výsuu k.. výsuně-vsuní roudový k I /, k / I narázdno řenos ři vsuu nakráko I k A vsu výsu V.. vsuně-výsuní naěťový k.. výsuní imedance ři vsuu A řenos ři výsuu narázdno nakráko vsu výsu V A a.. vsuně-výsuní naěťový řenos ři výsuu narázdno a.. vsuně-výsuní ransadmiance ři výsuu narázdno a /(-I ), a I /(-I ) a.. vsuně-výsuní ransimedance ři výsuu nakráko I a /, a I / A a.. vsuně-výsuní roudový ře- A V vsu výsu A nos ři výsuu nakráko V vsu výsu V B b /I, b -I /I b.. výsuně-vsuní naěťový b /, b -I / řenos ři vsuu narázdno I A A vsu výsu V b.. výsuně-vsuní ransadmiance ři vsuu V vsu výsu A V narázdno b.. výsuně-vsuní ransimedance ři vsuu nakráko b.. výsuně-vsuní roudový řenos ři vsuu nakráko 93

102 Elekronické obvody I I 3 5 I 3 5 I h : I 5 5 a) b) Obr ozbor článku Π ve savu a) výsuu nakráko, b) vsuu narázdno. Z obr a) vylývá, že rezisory a 3 jsou sojeny aralelně a určují velikos arameru 3 h 5Ω. I 3 Jsou-li a 3 aralelně, ak roud I se dělí do ěcho rezisorů odle vzorce ro řenos roudového děliče, neboli I I h 3 I 3 I Další dva aramery zjisíme z obr b). Zdroj naěí na výsuu vyvolá naěí na vsuu, keré je dáno řenosem děliče naěí, vořeného rezisory a 3 : h,5.,5. Paramer h je výsuní admiance obvodu na obr b), což je h ms Paramery vybraných jednoduchých dvojbranů V Tab. 3.3 jsou uvedeny aramery šesi jednoduchých dvojbranů. rvních dvou článků nejsou uvedeny imedanční, res. admianční aramery. Můžee se výočem řesvědči, že dané aramery vycházejí nekonečně velké. Říkáme, že dvojbran nemá definovány všechny své dvojbranové maice, nebo jinými slovy, že dvojbran je degenerovaný. Tabulka může oslouži k rychlému sanovení dvojbranových aramerů konkréního dvojbranu o dané srukuře, říadně jak uvidíme dále složiějšího dvojbranu, kerý se skládá z daných yizovaných dvojbranů. Srovnáváním aramerů uvedených dvojbranů lze dosě k určiým zákoniosem, keré jsou shrnuy od abulkou. Tyo zákoniosi mohou bý užiečné, roože ak někeré aramery nemusíme očía, ale sačí je odvodi z aramerů již známých. Později však uvidíme, že daná ravidla laí jen ro určiou řídu zv. recirociních dvojbranů. Všimněe si, že všechny dvojbrany z Tab. 3.3 jsou asivní. Naříklad ro dvojbranové modely ranzisoru ravidla nelaí. Jako výborné cvičení dooručujeme ověři si rosřednicvím výočů v režimech narázdno a nakráko srávnos aramerů z Tab

103 3 Elekrické obvody a jejich modely Tab Paramery základních asivních dvojbranů. Z Z Z Z Z Z Z Z Z 3 Z Z Z3 Z Y H K A B z Z - Z Z Z Z Z 3 Z (Z Z 3 )/(Z Z Z 3 ) z Z - Z Z Z 3 Z Z 3 /(Z Z Z 3 ) z Z - Z Z Z 3 Z Z 3 /(Z Z Z 3 ) z Z - Z Z Z Z Z 3 Z 3 (Z Z )/(Z Z Z 3 ) y - Y Y Y Y /[Z /(Y Y 3 )] Y Y y - -Y -Y -Y -/(Z Z Z Z /Z 3 ) -Y y - -Y -Y -Y -/(Z Z Z Z /Z 3 ) -Y y - Y Y Y Y /[Z /(Y Y 3 )] Y Y 3 h Z Z Z Z /(Z Z ) Z /(Y Y 3 ) Z Z /(Z Z ) h Z /(Z Z ) Z 3 /(Z Z 3 ) Z /(Z Z ) h Z /(Z Z ) -Z 3 /(Z Z 3 ) -Z /(Z Z ) h Y Y /(Z Z ) /(Z Z 3 ) Y 3 /(Z Z ) k Y /(Z Z ) Y /(Z Z 3 ) Y /(Z Z 3 ) k - - -Z /(Z Z ) - -Z 3 /(Z Z 3 ) -Z 3 /(Z Z 3 ) k Z /(Z Z ) Z 3 /(Z Z 3 ) Z 3 /(Z Z 3 ) k Z Z Z /(Z Z ) Z Z /(Y Y 3 ) Z Z 3 /(Z Z 3 ) a Z /Z Z /Z 3 Z /Z 3 a Z Z Z Z Z Z Z /Z 3 Z a Y Y Y Y 3 Y Y 3 Y Y 3 /Y a Z /Z Z /Z 3 Z /Z b Z /Z Z /Z 3 Z /Z b -Z -Z -Z -(Z Z Z Z /Z 3 ) -Z b -Y -Y -Y -Y 3 -Y - Y 3 - Y Y 3 /Y b Z /Z Z /Z 3 Z /Z 3 z z, y y, h -h, k -k, a b, a b, a - b, a - b a b 95

104 Elekronické obvody I Modelování dvojbranů omocí řízených zdrojů V někerých říadech je účelné modelova základní dvojbranové rovnice (3.8) až (3.) omocí řízených zdrojů. S ouo raxí se sekáváme naříklad ři modelování ranzisorů. Řízené zdroje jsou základním násrojem ro zv. behaviorální modelování (ABM Analog Behavioral Modeling) v rofesionálních sofwarových simuláorech obvodů, kdy obvod je modelován na základě rovnic, keré oisují jeho vsuně-výsuní chování, nikoliv jeho vniřní srukuru. Takovéo modely ak nemají rakicky nic solečného s ím, jak je obvod fyzicky realizován. Modely, sesavené na základě dvojbranových rovnic yu Z, Y, H a K jsou shrnuy v Tab Vsuní brána je modelována buď sériovou kombinací imedance a zdroje naěí, nebo aralelní kombinací imedance a zdroje roudu, odle oho, jesli rvní z dvojbranových rovnic hovoří o vsuním naěí jako souču jiných dvou naěí nebo o vsuním roudu jako souču jiných dvou roudů. Toéž laí i o modelování výsuní brány. Přiomeňme, že okud k danému dvojbranu exisují všechny rovnice yu Z, Y, H a K, ak jsou všechny dané modely vzájemně ekvivalenní. Je edy možno voli odle ořeby jeden z daných modelů. Přeočy mezi nimi jsou dány abulkou 3.. Jednoduchá úrava imedančních a admiančních rovnic vede na modifikovaná náhradní schémaa na obr. 3.37, v nichž jsou eliminovány řízené zdroje na vsuních branách. Konrolu srávnosi ěcho modelů řenecháváme čenáři jako cvičení. Z obrázků je zřejmé, že v říadě rovnosi aramerů z z a y y (z jedné rovnosi vylývá druhá rovnos, viz Tab. 3.) vymizí z modelů řízené zdroje, akže akový dvojbran je ak osán ouhou rojicí obyčejných imedancí, keré jsou zaojeny do odoby vzájemně ekvivalenních článků yu T nebo Π. O ěcho a dalších seciálních dvojbranech bude ojednáno v kaiole Zvlášní druhy dvojbranů. Tab Modelování dvojbranů řízenými zdroji odle rovnic yu Z, Y, H a K. Z z I z I, z I z I H h I h, I h I h z I z I I h I z I z I h h I h Y I y y, I y y K I k k I, k k I I I I k I y y y y k k I k 96

105 3 Elekrické obvody a jejich modely I y I ( y y ) I I z z z z ( z z I ) z y y y y a) b) Obr ravené ekvivalenní modely dvojbranů yu a) Π, a b) T. P3.7 Nahraďe článek P na obr ekvivalenním článkem T, j článkem, kerý bude mí shodné všechny dvojbranové aramery. Řešení: Z obr vylývá, že kdybychom zjisili z-aramery dvojbranu, ak v říadě rovnosi z z a z oho lynoucí rovnosi y y bychom mohli článek Π římo nahradi článkem T a jeho ři imedance snadno sočía z aramerů z. Daný článek T byl řešen v říkladu P3.6. ílem výočů byly jeho h-aramery: h 5Ω, h,5, h -,5, h ms. Z řeočíávací abulky 3. vycházejí následující z-aramery: z 37,5Ω, z 5Ω, z 5Ω, z 5Ω. ovnos aramerů z a z je ovrzena. Článek Π edy může bý nahrazen článkem T odle obr s odory z z,5ω, z 5Ω a z z 5Ω. I 5 Ω I I,5 Ω 5 Ω I 5 Ω Ω 5 Ω Obr Ekvivalenní články Π a T. P3.8. Modeluje článek P z obr obvodem s řízenými zdroji na základě h-aramerů článku. Řešení: Hybridní aramery oě řevezmeme z říkladu P3.6: h 5Ω, h,5, h -,5, h ms. Z Tab. 3.3 ak vylývá řešení na obr. 3.39: 97

106 Elekronické obvody I I 5 Ω I,5 5 Ω -,5 I Obr Ekvivalenní model článků z obr Zvlášní druhy dvojbranů Dvojbrany, oužívané k modelování elekronických obvodů, se dělí do několika skuin. K ěm nejdůležiějším aří dvojbrany recirociní a unilaerální. Tyickým ředsavielem rvní skuiny je dvojbran, složený z asivních rvků, L a. Do druhé skuiny aří akivní rvky, vedoucí signál jedním směrem, naříklad ranzisory. ecirociní dvojbrany Pro yo dvojbrany laí rinci recirociy, kerý je znázorněn na obr vsu výsu I I vsu výsu I vsu výsu vsu výsu I Obr K vysvělení rinciu recirociy. Obrázek znázorňuje dva ověřovací okusy, zda je dvojbran recirociní: okus se zdrojem naěí a okus se zdrojem roudu. V rvním okusu se k vsuní bráně řiojí zdroj naěí a změří se roud I, ekoucí zkraovanou výsuní branou. Pak se enýž zdroj naěí řiojí k výsuní bráně a změří se roud I ekoucí zkraem na vsuní bráně. Pokud je dvojbran recirociní, musí se roud I rovna roudu I. V druhém okusu se k vsuní bráně řiojí zdroj roudu a změří se naěí na výsuní bráně narázdno. Pak se enýž zdroj roudu řiojí k výsuní bráně a změří se naěí na vsuní bráně narázdno. Pokud je dvojbran recirociní, musí se naěí musí rovna naěí. Je možné ukáza, že všechny dvojbrany, složené z asivních rvků yu, L a, u nichž je možné rovés výše uvedené exerimeny se zdroji naěí a roudu, jsou recirociní [6]. Exerimeny nelze rovés v říadě někerých degenerovaných dvojbranů, nař. u dvojbranu se zkraem na někeré z bran aod. Srovnáme-li obr. 3.4 s definicemi z a y aramerů ři měření narázdno a nakráko, zjisíme následující: I I, z z. I I y y Pokus se zdrojem naěí edy ověřuje, zda laí symerie yu y y. Pokus se zdrojem roudu zase ovrzuje odmínku z z. Z řeočíávací abulky 3. je zřejmé, že z rovnosi y y auomaicky vylývá rovnos z z a naoak. Znamená o edy, že k oesování, zda je dvojbran recirociní, osačí rovés jen jeden 98

107 3 Elekrické obvody a jejich modely z okusů na obr Z Tab. 3. ak lze odvodi, jak se recirocia romíá do dalších aramerů dvojbranu. Souhrnně jsou yo odmínky uvedeny v Tab Zvlášním yem recirociního dvojbranu je ideální ransformáor. Pro jeho branová naěí a roudy laí všeobecně známé ransformační vzahy n, (3.7) I I, n (3.8) kde ransformační oměr n N /N je oměr oču záviů na sekundární a rimární sraně (na výsuu a vsuu). I n I Obr Ideální ransformáor jako dvojbran. Snadno zjisíme, že rovnice (3.7) a (3.8) jsou zěné kaskádní rovnice dvojbranu. Z řeočíávací abulky 3. ak vylyne, že ransformáor má definovány všechny dvojbranové maice s výjimkou maic Z a Y: / n A, n n B, / n / n H, / n n K. n Transformáor edy aradoxně nemá definovány z a y aramery, omocí nichž lze ověři, zda jde o recirociní dvojbran. Nicméně všechny další odmínky recirociy, uvedené v Tab. 3.5, jsou slněny. Pro jednokový ransformační oměr se ransformáor navíc chová jako odélně souměrný dvojbran. Je zřejmé, že ideální ransformáor je asivním dvojbranem, neboť celkový výkon, vsuující dovniř řes obě brány, je nulový (vylývá z rovnic 3.7 a 3.8): I I. (3.9) Jinými slovy, výkon vsuující dovniř dvojbranu se rovná výkonu vysuujícímu druhou branou, akže ideální ransformáor je sysém, kerý výkon ani nevyváří, ani nesořebovává. Další důležiá vlasnos ransformáoru, oiž ransformace imedance, bude ukázána ozději v říkladu P3.3 v souvislosi s výkladem různých zůsobů sojování dvojbranů. nilaerární dvojbrany V kaiole 3.3 je odrobně analyzován linearizovaný model biolárního ranzisoru. Převedeme-li rovnice (3.9) a (3.) a obr. 3.8 do dvojbranové symboliky, získáme rovnice (3.3), (3.3) a obr. 3.4: I E β I, (3.3) B r E kde I B BE gb, (3.3) E r BE r E sřídavý odor kolekor-emior ři neůsobení sřídavé složky bázového roudu, ß sřídavý roudový zesilovací činiel ři neůsobení sřídavé složky naěí kolekor-emior, r BE sřídavý odor kolekor-emior ři neůsobení sřídavé složky bázového roudu, 99

108 Elekronické obvody I g B zěná řenosová vodivos z kolekorového do bázového okruhu ři neůsobení sřídavé složky naěí báze-emior. B BE I B I E BE I I B B E I I E BE I I B E E a) b) c) B βi B rbe re I I E Obr a) biolární ranzisor, b) ranzisor jako dvojbran ro zaojení SE, c) jeho linearizovaný model. V ásmu sředních kmiočů jsou aramery ranzisoru reálné, neboť ůsobení araziních reakancí a kmiočové závislosi aramerů jsou zanedbaelné. Zěná řenosová vodivos g B je rovněž zanedbaelná, edy g B. (3.3) Na obr. 3.4 b) je ranzisor ředsaven jako dvojbran za ředokladu, že emior je solečným vývodem ranzisoru jak ro vsuní, ak i výsuní bránu. Jde edy o zaojení se solečným emiorem (SE). Díky nulové vodivosi g B je náhradní schéma ranzisoru na obr. 3.4 c) oměrně jednoduché. Srovnáme-li jej s abulkou 3.3, zjisíme, že schéma odovídá náhradnímu schémau dvojbranu ro h- aramery, kde h r BE, h, h ß, h /r E. (3.33) Z obr. 3.4 c) vylývá, že ranzisor zrosředkovává ouze řenos signálu ze vsuní brány na výsuní bránu (rosřednicvím řízeného zdroje kolekorového roudu), ale zěné ovlivňování vsuní brány výsuní branou je olačeno (viz rovnice 3.3). Takový dvojbran se nazývá unilaerální. V náhradním schémau akového dvojbranu chybí řízené zdroje, modelující zěné ůsobení výsuu na vsu. Z Tab. 3.3 vylývá, že unilaerární dvojbran musí slňova následující odmínky: z y h k. (3.34) V Tab. 3.5 je uvedeno, jak se zjednoduší vzahy mezi aramery unilaerálního dvojbranu. Poznamenejme, že akový dvojbran nemá definovány b-aramery, což lyne z jejich definice. Z abulky naříklad vylývají yo zůsoby výoču základních aramerů ranzisoru v zaojení SE: Vsuní odor r BE h / y (3.35) Výsuní odor r E / h / y (3.36) Srmos ranskondukance S y h / h (3.37) Proudový zesilovací činiel β h y y S. r (3.38) / Při dalších zaojeních ranzisoru se solečnou bází (SB) nebo se solečným kolekorem (S) jsou dvojbranové aramery samozřejmě jiné než ři zaojení SE. Pak již neůjde o unilaerární dvojbrany. Zůsob řeočů dvojbranových aramerů mezi různými zaojeními ranzisoru je osán nař. v [8]. BE

109 3 Elekrické obvody a jejich modely Tab Vzájemné řeočy dvojbranových aramerů unilaerálního dvojbranu. Z Y H K A Z Y H K A z z /y h /k a /a z z z -y / y -h /h k /k /a z z /y /h k a /a z z z / y h /h k /k a /a y /z y /h k a /a y y -z / z y h /h -k /k -/a y /z y h /k a /a y / z y y h /h k /k a /a h z /y h K a /a h h -z /z y /y h -k / k -/a h /z y h /k a /a h z /z y /y h h / k a /a k /z y /h k a /a k k z /z -y /y -h / h k /a k z /y /h k a /a k z /z y /y / h k k a /a a z /z -y /y - h /h /k a a z /z -/y -h /h k /k a a /z - y /y -h /h k /k a a z /z -y /y -/h k /k a a Dvojbranový model ranzisoru MOSFE je v orovnání s modelem biolárního ranzisoru o něco jednodušší. Je o díky rakicky nekonečnému vsunímu odoru ranzisoru mezi elekrodami G (Gae) a S (Source). Průchodnos ranzisoru mezi elekrodami D (Drain) a S je řízena naěím GS, řičemž do vsuní brány (viz obr. 3.43) neeče roud. Proud I D je osán rovnicí I D DS g m, (3.39) GS r DS kde g m je srmos ranskondukance ranzisoru MOSFE. Náhradní schéma je na obr c). G GS I D I G D DS GS I G D S I I D DS GS I S S a) b) c) G g m GS Obr a) unilární ranzisor, b) ranzisor jako dvojbran, c) jeho linearizovaný model. D r DS I I D DS Dalším yickým unilaerálním dvojbranem je ideální zesilovač naěí. Schémaická značka diferenčního zesilovače naěí je na obr a). Poznamenejme, že sodní vývod, vycházející

110 Elekronické obvody I z ouzdra zesilovače, ředsavuje vývody ro řivedení sejnosměrných naájecích zdrojů zesilovače, keré jsou však v náhradním schémau linearizovaného modelu ro sřídavý signál nahrazeny zkray. Ideální zesilovač naěí má nekonečný vsuní odor, nulový výsuní odor a výsuní naěí závisí na vsuním naěí a zesílení odle vzorce A. (3.4) Výsuní naěí edy nezávisí na výsuním roudu (roože výsuní odor je nulový) a z hlediska výsuních svorek se zesilovač chová jako ideální zdroj naěí. Výsuní roud závisí na om, co je řiojeno k výsuní bráně. Vsuní roudy jsou nulové. Odovídající náhradní schéma je na obr b). I I A I I A I I a) b) Obr a) ideální zesilovač naěí, b) jeho dvojbranový model. A Je zřejmé, že eno zesilovač je degenerovaným dvojbranem, roože někeré jeho dvojbranové maice nejsou definovány. Zesilovač lze osa ouze hybridními rovnicemi yu K: zesílení A je rovno arameru k, osaní k-aramery jsou nulové. Nejznámějšími inegrovanými obvody, keré lze modelova ideálním zesilovačem naěí, jsou zv. naěťový buffer (jednokový zesilovač, naěťový sledovač) a oerační zesilovač. Buffer má ouze jeden (neinverující) vsu a jeho zesílení A je rovno jedné. Oerační zesilovač má dvojici vsuů (neinverující a inverující) a naěťové zesílení A se v ideálním říadě blíží k nekonečnu. Vsuní naěí je v konkréní alikaci dáno rozdílem naěí mezi vsuem a vsuem -. Teno rozdíl je v říadě záorné zěné vazby v obvodu auomaicky dosavován na nulu. Z uvedeného je zřejmé, že ideální oerační zesilovač je jako dvojbran osaelný jen velmi obížně, roože se vlasně vymyká oisu všemi oužívanými yy dvojbranových rovnic. Lze jej osa hybridními rovnicemi K ro aramer k. I I Zjednodušený ois zvlášních druhů dvojbranů Obecný dvojbran je osán čveřicí dvojbranových aramerů. recirociního dvojbranu laí navíc vzahy symerie yu z z, akže akovýo dvojbran je osán rojicí nezávislých aramerů. Je-li navíc dvojbran odélně souměrný, lze jej osa ouhou dvojicí aramerů. nilaerální dvojbran je obecně osán řemi nezávislými aramery. V Tab. 3.6 jsou shrnuy říslušné zjednodušující odmínky, ýkající se uvedených yů dvojbranů. Tab Vzahy mezi aramery seciálních dvojbranů. dvojbran Z Y H K A B recirociní z z y y h -h k -k a b odélně souměrný z z y y h k a a b b unilaerální z y h k a -

111 3 Elekrické obvody a jejich modely Sojování dvojbranů Exisuje celkem 5 základních zůsobů, jak rooji dva dvojbrany ak, aby se chovaly jako jeden nový dvojbran:. Sériové sojení: Sojíme do série vsuní brány a do série výsuní brány.. Paralelní sojení: Sojíme aralelně vsuní brány a aralelně výsuní brány. 3. Paralelně-sériové (hybridní) sojení: Sojíme aralelně vsuní brány a sériově výsuní brány. 4. Sériově-aralelní (hybridní) sojení: Sojíme sériově vsuní brány a aralelně výsuní brány. 5. Kaskádní sojení: Výsuní bránu rvního dvojbranu sojíme aralelně se vsuní branou druhého dvojbranu. I () I () I I () I () I () () Z () I () () Y () I () I () I () I () I () () Z () () () Y () () Z Z () () Z Y Y Y a) b) () I () I () I () I () I I () () H () I I () () K () () I () I () I () I () () H () () () K () () H H () () H K K K c) d) () I () () () I I () -I -I () () A () () () () () () B A B I A A B B () () e) A B () () Obr Sojování dvojbranů: a) sériové, b) aralelní, c) hybridní sériově-aralelní, d) hybridní aralelně-sériové, e) kaskádní. 3

112 Elekronické obvody I Všech ě zůsobů je znázorněno na obr Pod zaojením je vždy uvedeno, jak získa dvojbranovou maici výsledného dvojbranu z maic dílčích dvojbranů. V říadě maic yu Z, Y, H, K se jedná o souče, u kaskádních maic je o součin. Důkaz je snadný a je uveden naříklad v [6]. Z obr je možné ochoi, roč v kaskádních rovnicích figuruje roud I se záorným znaménkem. Při kaskádním sojování dvojbranů se výsuní roud dvojbranu sává vsuním roudem následujícího dvojbranu. Podle klasické definice branových roudů by však byly uvažované směry obou roudů oačné. Proo je výsuní roud řesměrován a ao změna je komenzována změnou jeho znaménka. vedená ravidla ro skládání maic však laí ouze v říadě zv. regulárního sojení dvojbranů. Důsledkem neregulárního sojení je násilná změna říslušných aramerů (nař. u sériového sojení o budou z-aramery) dílčích dvojbranů. Průvodním znakem akového sojení bývá orušení rovnosi roudů vsuujících a vysuujících z každé brány. Kaskádní sojení je vždy regulární. Osaní sojení je vhodné vždy oesova na regulariu ješě řed oužiím ravidla o souču dvojbranových maic. Následující říklad ukazuje na možné neregulární sojení dvou článků. P3.9. Ověře regulárnos sériového sojení dvojbranů na obr a) a b). I I 75Ω 5Ω I I 75Ω 5Ω I I 5Ω I I 5Ω 75Ω 5Ω I I a 5Ω b 5Ω I I a b 75Ω 5Ω a) b) Obr Sériová sojení dvojbranů, a) neregulární, b) regulární. Řešení: obvodu a) došlo sojením dvou idenických T-článků k omu, že sodní článek má aralelně sojenou vsuní a výsuní bránu. Vznikl ak modifikovaný dvojbran s jinými z-aramery. Imedanční maice výsledného dvojbranu nebude rovna souču imedančních maic obou dvojbranů řed sojením. obvodu b) mají oba dvojbrany řed i o sojení sejné imedanční maice. Sojení je regulární. Imedanční maice všech čyř dílčích dvojbranů na obr jsou ve varu (ověře) 5 Z Ω. 5 5 Pro regulární sojení musí lai, že imedanční maice výsledného dvojbranu je souče imedančních maic dílčích dvojbranů, neboli 5 Z reg Z Z Ω. 5 4

113 3 Elekrické obvody a jejich modely Obvod na obr a) lze zjednoduši: rezisory o odorech 75Ω a 5Ω jsou aralelně a solu s dvojicí sériových odorů 5Ω voří odor 687,5Ω. Pak je snadné urči imedanční aramery a zasa je do imedanční maice: 437,5 687,5 Z Ω. a) 687,5 937,5 Pro obvod a) edy nelaí oučka o souču imedančních maic. obvodu b) jsou dva verikální rezisory 5Ω v sérii a voří 5Ω. Výoče z-aramerů vede na maici 5 Z Ω, b) 5 akže zde oučka o souču imedančních maic laí. Pro úlnos ješě ověříme, zda došlo k orušení rovnosi branových roudů. Z obr a) vylývá, že součový roud I I se dělí na roudy I a a I b v závislosi na oměrů odorů 5Ω a 75Ω, edy 5 75 I a ( I I ),5( I I ), I b ( I I ),75( I I ) Je zřejmé, že obecně nelaí rovnosi branových roudů I a I a I b I. ovnos by nasala jen v říadě, že roud I by byl rojnásobkem roudu I. K omu by došlo ři rovnosi naěí a. Ověření oučky o rovnosi branových roudů u zaojení b) nemá smysl: jaký je oměr roudů, ekoucích dvojici aralelních zkraů? Exisují jednoduché osuy, jak ověři regulárnos sojení dvojbranů bez nunosi zdlouhavých výočů a rozborů. Zájemce odkazujeme na [6]. P3.. ozlože náhradní schéma ranzisorového zesilovače z obr a) na regulární sojení dílčích dvojbranů. Řešení: Řešení je na obr b). Sériovým sojením dvojbranu T s dvojbranem E vznikne další dvojbran, kerý je v kaskádním sojení s dvojbrany B a. I I I " B " "T" T " " I B T E B E " E " " T E " a) b) Obr a) Náhradní schéma zesilovače ro sřídavý signál, B 5kΩ, E Ω, kω, T: r BE 5kΩ, r E kω, S ma/v, b) rozklad obvodu na roojené dvojbrany. 5

114 Elekronické obvody I P3.. Odvoďe kaskádní maici A zesilovače z obr Řešení: Nejrve sanovíme imedanční maice sériově sojených dvojbranů T a E a sečeme je. Tím získáme imedanční maici dvojbranu T E. Tuo maici řevedeme na kaskádní maici A. rčíme kaskádní maice dvojbranů B a a v konečném kroku získáme výslednou kaskádní maici roznásobením kaskádních maic dvojbranů B, T E a. S využiím abulky 3.5 a rovnic (3.35) až (3.38) sanovíme imedanční maici ranzisoru (rvky maice jsou vyčísleny v Ohmech): rbe 5 Z. T Sr r r 5 BE E E Imedanční maici dvojbranu E určíme snadno omocí Tab. 3.3 (v Ohmech): Z E E E E E. Imedanční maice dvojbranu T E bude Z T E Z T Z E r E BE Sr BE E r E r E E E Imedanční aramery řevedeme na kaskádní aramery odle Tab. 3.. Prvky jsou vyčísleny v základních jednokách. A T E,.. 8 4,,. Kaskádní maice dvojbranů B a sanovíme odle Tab. 3.3: 3 A B, A. 6 4 /. / 5. B Kaskádní maice celého zesilovače bude A A B A T E A. 6,.. 8 4,, ,57.,34. 6,.,4. 3 Z fyzikálního významu kaskádních aramerů vylývá velikos naěťového zesílení zesilovače ři výsuu narázdno: a 8.. Pro úlnos je řiojen výis M-souboru MATLAB ro auomaizaci výše uvedených výočů: kázka řešení omocí MATLABu: rbe5;rce;s.; c;b5;e; Z[rbe ;-S*rbe*rce rce]; Zre[e e; e e]; ZreZZre; dde(zre); zadávání aramerů T zadávání odorů v zesilovači imedanční maice T imedanční maice E imedanční maice TE deerminan imedanční maice 6

115 3 Elekrické obvody a jejich modely Are[Zre(,) d; Zre(,)]/Zre(,); Arb[ ;/b ]; Arc[ ;/c ]; AArb*Are*Arc; /A(,) řevod na kaskádní aramery kaskádní maice B kaskádní maice kaskádní maice celého zes. zobrazení zesílení Nyní lze ohodlně zjišťova, jak závisí zesílení naříklad na velikosi emiorového odoru E. Při E vychází zesílení -96 (ak neůsobí záorná zěná vazba v obvodu). P3.. Pomocí kaskádních maic modeluje řenos naěí říčkového filru na obr ze vsuní na výsuní bránu. I L L 3 L 5 I 8mH mh 4,7mH 6,9mH 44nF L 4,5mH 8nF L 4 k 3 Obr Analyzovaný říčkový filr a jeho rozklad na kaskádní ři sekce. Řešení: Filr rozdělíme na ři jednodušší dvojbrany, keré jsou zaojeny v kaskádě. Vynásobíme maice yu A ěcho dvojbranů. Výsledný řenos ak získáme jako recirokou hodnou arameru a (viz éž říklad P3.). Kaskádní maice A, A a A 3 dvojbranů č., a 3 získáme nař. omocí abulky 3.3: A jωl jωl3 jωl jωl3 jωl jωl4 jω jω, A, A jωl jωl4 jω jω 3 jωl 5 jωl 5 Následuje ukázka numerického řešení v MATLABu včeně vykreslení kmiočové závislosi řenosu amliudové kmiočové charakerisiky. kázka řešení omocí MATLABu: L.8;L6.9e-3;L3.;L44.5e-3;L54.7e-3; 44e-9;8e-9;; flog(:.:5);f.^flog; vorba logarimické kmiočové osy od Hz do khz Nsize(f,); zjišění oču bodů kmiočové osy gainzeros(,n); vorba nulového vekoru řenosu for I:N výoče řenosu gain ro N kmiočů fxf(i); výběr I-ého kmioču z vekoru f jomj**i*fx; výoče komlexního kmioču jωf 7

116 Elekronické obvody I om/(jom*l/(jom*)); omocná roměnná /(jωl/(jω)) A[jom*L*om jom*l;om ]; výoče maice A om/(jom*l4/(jom*)); omocná roměnná /(jωl4/(jω)) A[jom*L3*om jom*l3;om ]; výoče maice A A3[jom*L5/ jom*l5;/ ]; výoče maice A3 AA*A*A3; výoče výsledné kaskádní maice gain(i)/a(,); výoče řenosu naěí /a end; semilogx(f,*log(abs(gain))) vykreslení amliud. kmi. char. grid zobrazení mřížky v grafu Obr Amliudová kmiočová charakerisika filru z obr Filr lze rozděli na kaskádní bloky i jinými zůsoby, naříklad na šes vzájemně se sřídajících odélných a říčných dvojólů. Výhoda akového řísuu může bý ve věší jednoduchosi dílčích kaskádních maic. Nevýhoda věší oče maic je snadno řekonaelná výočení výkonnosí MATLABu. Následuje ukázka uraveného exu cyklu ro eno zůsob modelování: for I:N fxf(i); jomj**i*fx; A[ jom*l; ];A[ ;/(jom*l/(jom*)) ]; A3[ jom*l3; ];A4[ ;/(jom*l4/(jom*)) ]; A5[ jom*l5; ];A6[ ;/ ]; AA*A*A3*A4*A5*A6; gain(i)/a(,); end; P3.3. Odvoďe hybridní maice H a K dvojbranu na obr I n I Y Y Obr Ideální ransformáor s imedanční záěží na rimární i sekundární sraně. 8

117 3 Elekrické obvody a jejich modely Řešení: Obousranně zaížený ransformáor můžeme cháa jako kaskádní sojení ří dvojbranů: dvojbranu v. slouci abulky 3.3, ideálního ransformáoru, a dalšího dvojbranu sejného yu jako na začáku kaskády. Nejrve určíme výslednou kaskádní maici A jako součin ří dílčích kaskádních maic: / n / n A. Y n Y Y n Y / n n Pomocí Tab. 3. rovedeme řevod na hybridní maice: / n Y Yn n H, K. / n Y n n Shrnuí a zobecnění: Y / - Zkraujeme-li sekundární bránu ideálního ransformáoru, na rimární bráně se objeví nulová imedance (zkra se z výsuu ransformuje na vsu jako zkra). Vylývá o z nulového arameru h, což je vsuní imedance ři výsuu nakráko. - Zkraujeme-li rimární bránu ideálního ransformáoru, na sekundární bráně se objeví nulová imedance (zkra se ze vsuu ransformuje na výsu jako zkra). Vylývá o z nulového arameru k, což je výsuní imedance ři vsuu nakráko. - Poměr výsuního a vsuního naěí je roven ransformačnímu oměru n a nezávisí na imedancích, řiojených k branám. Too vylývá z aramerů h a k. - Poměr velikosi roudů rimárním a sekundárním vinuím je roven ransformačnímu oměru n a nezávisí na imedancích, řiojených k branám. Too vylývá z hodno aramerů h a k. - Přiojíme-li na výsuní bránu admianci Y, ransformuje se na vsuní bránu jako admiance Y n. Too vylývá z vzorce ro aramer k. - Přiojíme-li na vsuní bránu admianci Y, ransformuje se na výsuní bránu jako admiance Y n/. Too vylývá z vzorce ro aramer h. Prakickými říklady využií ransformace imedance je výsuní ransformáor ro řevod nízké imedance rerodukoru v koncovém suni zesilovače ve řídě A (dnes již málo oužívané, viz kaiola 8 Zesilovače) nebo řizůsobovací vf ransformáorek ro imedanční řizůsobení elevizní dvojlinky a koaxiálního kabelu (viz čás Obrazové imedance dvojbranu) Obrazové imedance dvojbranu Obrazové imedance a imedanční řizůsobení dvojbranu Pojem obrazové nebo éž vlnové či charakerisické imedance dvojbranu je sojován s roblemaikou zv. imedančního řizůsobení, kerá je důležiá nař. v elevizní echnice ro minimalizaci zv. odrazů signálu na rozhraní kabel-kabel nebo kabel sořebič. Naříklad obrazová 9

118 Elekronické obvody I imedance koaxiálního kabelu by měla bý shodná s imedancí anénních svorek elevizoru. Zde je vhodné zdůrazni, že imedanční řizůsobení je něco jiného než výkonové řizůsobení, keré je charakerisické ím, že imedance záěže se v oimálním říadě rovná komlexně sdružené vniřní imedanci zdroje. Obr. 3.5 znázorňuje následující okus: V rvním kroku řiojíme k vsuní bráně dvojbranu dvojól o imedanci Z. Na výsuní bráně naměříme imedanci Z, kerá bude obecně závise na imedanci Z a na vlasnosech dvojbranu. V druhém kroku odojíme dvojól od vsuní brány a výsuní bránu zaížíme dvojólem o imedanci Z, kerou jsme naměřili v rvním kroku. Na vsuní bráně naměříme imedanci Z, kerá se nemusí rovna ůvodní imedanci Z. I I vsu výsu Z vsu výsu Z Z Z. Na vsu řiojíme Z a na výsuu naměříme Z.. Když Z Z, ak Z ZO, Z ZO Obr K objasnění vsuní a výsuní obrazové imedance dvojbranu. Na výsu řiojíme Z a na vsuu naměříme Z. Pokud bychom eno okus oakovali ro různé výchozí imedance Z, zjisili bychom, že exisuje jen jedna hodnoa Z, ro kerou dosaneme o rovedení druhého kroku sejnou imedanci Z. Pak imedance Z a Z jsou zv. vsuní a výsuní obrazové imedance dvojbranu Z O a Z O. Z Na omo mísě je vhodné zdůrazni následující: Zaížíme-li dvojbran na výsuních svorkách jeho výsuní obrazovou imedancí, bude vsuní imedance dvojbranu rovna jeho vsuní obrazové imedanci. Jinými slovy, dvojbran se bude jevi obvodu, kerý budí jeho vsuní bránu, jako imedance Z O. Přiojíme-li k vsuní bráně dvojbranu jiný dvojbran o výsuní imedanci Z O, ransformuje se ao imedance na výsuní bránu dvojbranu jako Z O. symerizační člen anéna dvojlinka koax. kabel TV I an d d s s k k Z O Z O Z O Z O Z O Z O 75Ω 3Ω 3Ω 3Ω 75Ω Obr K objasnění ojmu imedanční řizůsobení. 75Ω Předsavíme-li si sdělovací řeězec ro řenos signálu jako kaskádní sojení dílčích sysémů, keré lze modelova dvojbrany, nař. anénní dvojlinka, řizůsobovací člen, koaxiální kabel, anénní vsu elevizoru, ak v každém sykovém bodě mezi jednolivými čásmi řeězce musí bý slněna odmínka imedančního řizůsobení, o znamená, že roojované brány musí vykazova sejnou imedanci. Toho se dosáhne ak, že každý dvojbran musí mí vsuní obrazovou imedanci shodnou s výsuní obrazovou imedancí ředešlého dvojbranu v kaskádě.

119 3 Elekrické obvody a jejich modely Poznamenejme, že symerizační člen na obr. 3.5, kerý zajišťuje imedanční řizůsobení mezi dvojlinkou a koaxiálním kabelem, lze realizova vf ransformáorkem o ransformačním oměru n :. Pak se - v souladu s výsledky říkladu P3.3 - bude imedance 75Ω, řiojená k sekundáru, ransformova na rimární sranu jako imedance n.75 3Ω a imedance 3Ω z rimární srany se ransformuje na sekundární sranu jako 3/ n 75Ω. P3.4. Na obr je schéma úlumového článku. Článek se zaojí mezi konce řerušeného koaxiálního kabelu o obrazové imedanci 5W. Slouží k zeslabování rocházejícího signálu, nař. říliš silného TV signálu, kerý by řebuzoval vsuní díl elevizoru. Navrhněe odory a ak, aby v mísech sojení článku s kabely byla dodržena odmínka imedančního řizůsobení. 3 Ω 5 Ω 3 5 Ω Ω a) b) Obr a) Úlumový T-článek, b) výsuní imedance ři zaížení vsuní brány odorem 5Ω musí bý rovněž 5Ω. Řešení: Přiojíme-li k jedné z bran článku kabel o imedanci 5 Ω, musíme naměři na druhé bráně rovněž imedanci 5Ω. Článek edy musí bý odélně souměrným dvojbranem, neboli. Odor navrhneme odle obrázku 3.53 b). Výsuní imedance, kerá musí bý 5Ω, vychází (5 ). 5 (5 ), neboli 5. 5 Po úravě získáme kvadraickou rovnici 4 5 s řešeními -5Ω a Ω. Vybereme fyzikálně říusné řešení Ω. Snadno se můžeme řesvědči, že laí relace na obr b): 5Ω v sérii s Ω voří 6Ω, oo aralelně se Ω dává odor 4Ω. Po řiočení Ω v sérii dosáváme výsuní imedanci 5Ω. Navržený úlumový článek má vsuní a výsuní obrazové imedance 5Ω a lze k němu bez obav řioji z obou sran dané koaxiální kabely. Shrnuí a zobecnění: - V někerých vf alikacích je důležié sledova odmínky zv. imedančního řizůsobení obvodů. Pro yo alikace je yické, že je lze modelova kaskádním sojováním dvojbranů. Pokud sojované dvojbrany nejsou imedančně řizůsobeny, vznikají v mísě sojení zv. odrazy vln naěí, res. roudu, s negaivními doady nař. na kvaliu řijímaného signálu.

120 Elekronické obvody I - Pro každý dvojbran lze urči jeho zv. vsuní a výsuní obrazovou imedanci. Pro odélně souměrný dvojbran jsou obě imedance sejné. - Dvojbran je lně imedančně řizůsobený, jesliže je zaížen na vsuní bráně jeho vsuní obrazovou imedancí a na výsuní bráně jeho výsuní obrazovou imedancí. - Pokud dvojbran obsahuje reakanční rvky, budou jeho obrazové imedance kmiočově závislé. Ve skuečnosi je ak obížné zajisi imedanční řizůsobení ro různé kmiočy rocházejícího signálu. Věšinou je žádoucí zajisi oo řizůsobení alesoň v omezeném kmiočovém ásmu, v němž se nachází nejvíce energie zracovávaného signálu. - Tyické odsysémy, keré musí bý imedančně řizůsobeny v mísě jejich sojení: anéna - TV dvojlinka, anéna anénní zesilovač koaxiální kabel, TV dvojlinka řizůsobovací člen koaxiální kabel, koaxiální kabel vsuní díl elevizoru, koaxiální kabel rozbočovač TV signálu koaxiální kabel ad. Zjišťování obrazových imedancí ze savů narázdno a nakráko Pro rakické výočy jsou užiečné následující oučky, keré umožní jednoduše urči obrazové imedance dvojbranu ze savů narázdno a nakráko: Vsuní obrazová imedance se určí jako geomerický růměr vsuních imedancí ři výsuu narázdno (Z, ) a ři výsuu nakráko (Z,k ). Výsuní obrazová imedance se určí jako geomerický růměr výsuních imedancí ři vsuu narázdno (Z, ) a ři vsuu nakráko (Z,k ): Z O Z,Z, k, Z O Z,Z, k. (3.4) P3.5. Vyočěe vsuní a výsuní obrazovou imedanci článku na obr I 4 Ω I Obr Úlumový článek Π. Řešení: 3 9 Ω 85 Ω Nejrve vyočeme vsuní/vsuní imedanci článku ři výsuu/vsuu narázdno a nakráko: Z ( ) , 4Ω,, & Z k 9 4 8, 7Ω,, 3 & Z ) , 8Ω,, ( 3 & Z k , 4Ω. Z (3.4) ak vychází, 3 & Z O 3Ω, Z O 75Ω. Obvod edy může bý ouži jako řizůsobovací článek mezi TV dvojlinkou o imedanci 3Ω a koaxiálním kabelem o imedanci 75Ω.

121 3 Elekrické obvody a jejich modely Zjišťování obrazových imedancí z dvojbranových aramerů Proože imedance dvojbranu ve savech narázdno a nakráko lze zjisi z dvojbranových aramerů, není obížné vyjádři obrazové imedance dvojbranu římo z jeho dvojbranových aramerů. Příslušné vzorce jsou shrnuy v Tab Tab Vzorce ro výoče obrazových imedancí a řenosů z dvojbranových aramerů. Z Y H K A B z z Z O, y y h h z h y z z y y h h k z z y y h h k k Z K O, O, K O,I z h y z z y y h h k kk k k a a a a bb b b aa a a b b b b k k z y h z h z z y h y y h z k k k k a b a y k a aa a b bb b z y z z z y z y y h h hh h a b k k k k a y a aa a b bb b Obrazové řenosy a úlumy dvojbranu Jsou-li dvojbrany v kaskádním sojení imedančně řizůsobeny, zajímají nás kromě imedančních oměrů i jejich řenosové vlasnosi, zejména řenos naěí a roudu ze vsuu na výsu. Definujme následující obvodové funkce, všechny za ředokladu, že dvojbran je zaížen na výsuní bráně svou výsuní obrazovou imedancí: Obrazový řenos naěí: K O,. (3.4) Obrazový řenos roudu: K O, I I I. (3.43) Obrazový úlum naěí: G O,. (3.44) K O, Obrazový úlum roudu: I GO, I. (3.45) I K O, I 3

122 Elekronické obvody I Poznamenejme, že v lierauře je někdy zaměňován ermín úlum za řenos. Logarimus obrazového řenosu, res. úlumu, se nazývá obrazová míra řenosu, res. úlumu. V Tab. 3.7 jsou uvedeny vzorce ro výoče obrazových řenosů dvojbranů z jejich dvojbranových aramerů. V říadě seciálních dvojbranů, nař. recirociních nebo odélně souměrných, lze yo vzorce dále zjednoduši s využiím odmínek mezi dvojbranovými aramery, keré byly shrnuy v Tab Naříklad ro dvojbran recirociní odélně souměrný vycházejí sejné jak vsuní a výsuní obrazové imedance, ak i obrazové řenosy naěí a roudu. Tabulka 3.8, zjednodušená ro akový říad, je uvedena níže. Tab Obrazový ois recirociního odélně souměrného dvojbranu. Z Y H K A B Z O, Z O, Z O K O, K O,I K O z z z z z z y h h k k a a b b y y y h k a b y y h k a b P3.6. Pomocí dvojbranových aramerů úlumového článku z obr b) odvoďe jeho obrazové imedance a jeho obrazový úlum. Odor má hodnou W (vyočeno v říkladu P 3.4). Řešení: Článek je odélně souměrný, akže jeho vsuní a výsuní obrazové imedance jsou sejné. Podle Tab. 3.3 jsou naříklad kaskádní aramery dvojbranu následující: a a / / 3/, 3 / 3 / a 5/ 6 Ω, a / / S. Podle Tab. 3.7 vychází 3 a 5 Z O. 5Ω, a K O a a, G, 5. O 3 K O V říkladu P3.4 byl článek navrhován ak, aby měl obrazovou imedanci rávě 5Ω. Po vložení článku mezi adesáiohmové koaxiální kabely bude ředsavova úlum signálu,5 krá, j. úlum o 3,5dB. 4

123 3 Elekrické obvody a jejich modely P3.7. rčee obrazový úlum naěí a roudu článku na obr Řešení: Dvojbran není odélně souměrný, oužijeme edy vzorce z Tab Z Tab. 3.3 vylývá, že ro daný článek bude nejsnadnější urči aramery y: y & 3.55 ms, y y &,439 ms, y & 4,4 ms, y & 44,476 µ S. Z Tab. 3.7 ak dosáváme: y y y y K O & 8,855. GOu &,3. y K y y y y K OI &,3543 GOI &,83. y K Fyzikální význam ěcho výsledků je arný z obr. 3.55, kerý ukazuje výsledky analýzy článku v rogramu Micro-a. Článek je zaížen svou výsuní obrazovou imedancí 75Ω a je naájen na vsuní bráně ze zdroje naěí V o vniřním odoru 3Ω, což je vsuní obrazová imedance článku. Proože je článek na výsuu imedančně řizůsoben, chová se na vsuní bráně jako odor 3Ω. Va vsuní bráně by edy měla bý olovina vniřního naěí zdroje, j. ůl volu. Nearná chyba je mj. zůsobena ím, že obrazové imedance dvojbranu nejsou zcela řesně 3Ω a 75Ω. Výsuní naěí je 44.8mV, čemuž odovídá obrazový řenos a úlum naěí 44.8 K O & & 8,857. GOu &, K O Z výsuního a vsuního roudu článku ak ověříme obrazový řenos a úlum roudu: 59,44 K OI & &,354 GOI &, K OI OI O Vin in 3.667m u m 44.8m 4.m 5.954u u 75 ou Obr Analýza imedančně řizůsobeného článku z obr rogramem Micro-a. V elisách jsou vyznačena uzlová naěí, v obdélnících věvové roudy. 5

124 Elekronické obvody I 4 METODY ANALÝZY ELEKTIKÝH OBVODŮ Analýza je v širokém vědním ojeí meodou oznávání nebo zkoumání objeku jeho rozdělením na jednolivé čási. Je rosředkem zkoumání, kerý umožňuje v mnohovárnosi jevů, vlasnosí a secifických sránek objeku odhali o hlavní, základní, co voří jeho odsau. Pojem analýza není v elekroechnice oužíván v ůvodním širokém smyslu. Zejména v souvislosi s očíačovým řešením obvodů se od analýzou obvykle rozumí konkréní meody získávání elekrických charakerisik obvodů z jejich modelů (naříklad kmiočová nebo sejnosměrná analýza). 4. METODY A NEJČASTĚJŠÍ ÍLE ANALÝZY Meoda analýzy je konkréní osu od modelu obvodu až o získání cíle analýzy. Všechny exisující meody analýzy lze rozděli na nealgorimické a algorimické. Nealgorimické (někdy éž nazývané heurisické) osuy řešiel volí na základě svých ředchozích zkušenosí s využíváním vůrčího řísuu. esu a zůsob řešení si volí sám dle svého uvážení: může obvod zjednoduši meodou ransfigurace hvězda-rojúhelník, využí rinciu suerozice, Théveninovy věy aod. Zůsobů, jak vyřeši konkréní obvod, je vždy několik. Zkušený řešiel by měl zvoli osu, vedoucí k výsledku s co nejmenším úsilím. Algorimické meody oroi omu definují řesný osu algorimus, kerý vždy vede k cíli. Těcho meod využívají ředevším očíačové simulační rogramy. V řadě říadů je však můžeme ouží i k jednoduchým ručním výočům. Další členění meod analýzy je založeno na yu obvodu, kerý se má řeši. Na obr. 4. je formou dvojiého kříže ukázáno, že elekrické obvody mohou bý lineární a nelineární a rovněž neservačné (odorové) a servačné (obsahující akumulační rvky yu L a ). Vznikají ak čyři základní skuiny obvodů a meod jejich řešení I až IV odle obr. 4.. Nejjednodušší jsou meody analýzy lineárních odorových obvodů (I). Jednodušší obvody lze snadno řeši ručně. Vzhledem k omu, že základní nealgorimické meody byly ředměem výuky v ředchozích semesrech, omezíme se ouze na seciální meody řešení obvodů s oeračními zesilovači. Z algorimických meod budou robrány efekivní osuy, založené na meodě uzlových naěí, zejména ro obvody s ranzisory a oeračními zesilovači. uční řešení obvodů yu II až IV je vhodné jen u velmi jednoduchých říadů. Nealgorimické meody, uvedené ro úlnos na obr. 4., se již využívají jen velmi okrajově. Takovéo úlohy se řeší rosřednicvím secializovaných očíačových rogramů. Shrnuí a zobecnění: Při zkoumání dějů v elekrickém obvodu analýzou v širokém smyslu osuujeme v několika fázích:. Obvod oíšeme jeho modelem, kerý může mí různé formy (schéma, rovnice, charakerisiky ).. Z modelu zjišťujeme ožadované informace analýzou v užším smyslu. 3. Zracováním výsledků analýzy, jejich konfronací s vlasní zkušenosí a s řihlédnuím k věrohodnosi oužiých modelů usuzujeme na chování a vlasnosi reálného obvodu. Model obvodu je edy rosředník mezi člověkem, kerý se snaží zkouma reálný obvod, a ímo obvodem. Alikací různých yů analýz můžeme rosřednicvím modelu simulova chování originálu za různých konkréních odmínek. Jednodušší modely elekrických obvodů je možné analyzova ručně, složiější ak omocí výočeních rosředků a říslušných rogramů. Počíačové rogramy analyzují obvody omocí algorimických meod. V někerých říadech jsou yo meody vhodné i ro ruční řešení. jednoduchých obvodů lze řešení snadno naléz vůrčí alikací základních zákonů a obvodových eorémů. 6

125 4 Meody analýzy elekrických obvodů neservačné servačné I II III IV I cíl naěí a roudy v obvodu heurisické meody meoda ekvivalence sérioaralelní zjednodušování Théveninova a Noronova věa ransfigurace hvězda-rojúhelník ekvivalence zdrojů a I... meoda suerozice... algorimické meody maicové meoda Kirchhoff. a rvkových rovnic meoda smyčkových roudů (modifikovaná) meoda uzlových naěí... III cíl D racovní bod, D charakerisiky meoda ekvivalence grafické meody sérioaralelní zjednodušování meoda zaěžovací římky (křivky)... algorimické numerické meody ierační meody lineární nelineární II algorimické meody grafové Masonovy grafy Masonovy-oaesovy (M-) grafy T-grafy M- grafy... cíl časové růběhy, kmi. charakerisiky, oeráorové obvodové funkce,... heurisické a algorimické meody viz I o formální subsiuci jw a využíváním oeráorových imiancí IV cíl časové růběhy, D rac. bod, analýza linearizovaného modelu meoda izoklin meoda savové roviny... grafické meody algorimické numerické meody ierační meody meody inegrace diferenciálních rovnic Obr. 4.. Dělení meod analýzy odle charakeru analyzovaných obvodů. 4. METODY ANALÝZY LINEÁNÍH OBVODŮ 4.. Sručně o heurisických a algorimických meodách Heurisické meody Hledáme-li vlasní zůsob analýzy konkréního elekrického obvodu, vycházíme ze znalosi. a. Kirchhoffova zákona, Ohmova zákona, elekrických charakerisik jednolivých součásek a zůsobu jejich roojení. Dále se můžeme oří o známé rinciy, eorémy, věy a oučky, lané v eorii obvodů, keré nám mohou cesu k řešení usnadni. Mezi základní rinciy (eorémy), časo oužívané k analýze, aří rinci suerozice a rinci ekvivalence. Princi suerozice je laný ouze ro lineární obvody (s konsanními i časově roměnnými aramery). možňuje řeši odezvu obvodu na několik budicích zdrojů ak, že se v rvní fázi určí samosaně odezvy na každý ze zdrojů, načež se dílčí odezvy sečou do výsledné odezvy. K složiému výsledku se edy dosěje oakovaným řešením jednoduššího roblému. Prakickou alikací rinciu suerozice je meoda suerozice, j. meoda analýzy založená na uvedeném rinciu. Princi ekvivalence je velmi obecný, roože v sobě sdružuje další rinciy a eorémy a je na něm založena řada analyzačních osuů. Všechny mají solečné o, že řeší roblém náhrady čási obvodu jiným obvodem ak, aby naěťové a roudové oměry ve zbyku obvodu zůsaly nezměněny. Tyo osuy mají rakický význam zejména ehdy, jesliže uvedenou náhradou dojde k zjednodušení obvodu a ím ádem k zjednodušení jeho analýzy. Princi ekvivalence sdružuje: Princi subsiuce (laí ro všechny elekrické rvky bez omezení) 7

126 Elekronické obvody I Teno rinci sanovuje, že okud se nám odaří měřením nebo výočem zjisi, že danou věví roéká roud i(), nebo že je na ní naěí u(), ak ji můžeme nahradi ideálním zdrojem roudu i(), nebo ideálním zdrojem naěí u(), aniž by se ím změnily oměry ve zbyku obvodu. V někerých říadech může eno osu zjednoduši další analýzu. Théveninův a Noronův eorém (laí ro všechny lineární obvody) Tyo vlasně dva eorémy jsou velmi obecné. V jejich zjednodušené verzi umožňují nahradi lineární obvod vzhledem k jeho dvěma svorkám reálným zdrojem naěí, res. roudu, jakkoliv je ůvodní obvod složiý. Na rinciu ekvivalence jsou založeny naříklad yo rakické meody: Meoda osuného zjednodušování sériově-aralelních kombinací rvků (laí ro všechny elekrické rvky bez omezení) Meoda ekvivalence naěťových a roudových zdrojů (laí ro lineární neřízené zdroje), Meoda ransfigurace hvězda-rojúhelník (laí ro asivní lineární obvody) a další. Hledání ožadovaných výsledků analýzy může bý komlikováno - nebo naoak aradoxně usnadněno říomnosí obvodových rvků se seciálním chováním, jakými jsou naříklad ideální oerační zesilovače. Tyo a další skuečnosi oíšeme v další kaiole. Algorimické meody Tyo meody jsou určeny ředevším ro očíačové řešení obvodů. Kromě oho jich můžeme využí k ohodlné ruční analýze méně rozsáhlých obvodů, jejichž srukura nebo neyické obvodové rvky znesnadňují heurisické řešení. Řešení robíhá ve dvou základních fázích:. Sesavení sousavy rovnic omocí určiých ravidel římo ze schémau zaojení.. Vyřešení dané sousavy rovnic. Algorimické meody jsou založeny na zv. obecných meodách analýzy obvodů. Nejznámější jsou uvedeny v Tab. 4.. Tab. 4.. harakerizace obecných meod analýzy obvodů. meoda analýzy výhody nevýhody Analýza všech obvodů bez omezení. Meoda Kirchhoffových a rvkových rovnic Velký oče rovnic. Komlikovaný algorimus jejich sesavení Meoda smyčkových roudů elaivně malý oče rovnic. Nelze řeši obvody se zdroji roudu. Komlikovaný algorimus sesavení rovnic. Meoda uzlových naěí Modifikovaná meoda uzlových naěí elaivně malý oče rovnic. Snadný algorimus jejich sesavení. Analýza všech obvodů bez omezení. Snadný algorimus sesavení rovnic. Nelze řeši obvody se zdroji naěí. Někeré variany meody vedou na relaivně velký oče rovnic. V omo učebním exu se z rakických důvodů omezíme na meodu uzlových naěí a její modifikace. Zvládnuím meody uzlových naěí je výhodné alesoň ze dvou důvodů. Jednak lée orozumíme fungování věšiny komerčních simuláorů, keré uo meodu využívají, jednak získáme užiečný násroj ro vlasní výočy. 8

127 4 Meody analýzy elekrických obvodů 4.. Heurisické osuy ři řešení obvodů s ideálními oeračními zesilovači Ideální oerační zesilovač (IOZ) má naolik výjimečné vlasnosi nekonečné zesílení, nekonečný vsuní odor, nulový výsuní odor, že analýza alikačních obvodů, keré eno zesilovač využívají k své činnosi, může čini určié roblémy. Níže uvedená inuiivní meoda je asi o nejleší, čeho se můžeme drže ři heurisické analýze lineárních alikací IOZ. Inuiivní meoda řešení obvodů s ideálními oeračními zesilovači Vychází z ří základních vlasnosí IOZ:. Nekonečný vsuní odor, jehož důsledkem jsou nulové roudy ekoucí do vsuů.. Nekonečné naěťové zesílení, keré v kombinaci se záornou zěnou vazbou v obvodu zůsobuje nulové diferenční naěí mezi vsuy oeračního zesilovače. 3. Nulový výsuní odor, kerý zůsobuje, že výsu IOZ se chová jako ideální zdroj naěí. Velikos ohoo naěí edy nebude závise na záěži, řiojené k výsuu. Před oužiím éo meody je vhodné se řesvědči, že celková zěná vazba ůsobící v obvodu je záorná. Pokud omu ak není, nelze ouží oučku o nulovém diferenčním naěí. Posu:. Ve schémau vyznačíme, že diferenční naěí IOZ je nulové a že do vsuů IOZ neečou roudy.. Na zbylou čás obvodu alikujeme Kirchhoffovy zákony, Ohmův zákon a říadně další známé eorémy a oučky. Přiomeňme, že diferenčním naěím se míní naěí mezi vsuními svorkami IOZ. Pokud nám chybějí znalosi ke kvalifikovanému ověření, zda v obvodu ůsobí záorná zěná vazba, ak oo ověření rovedeme alesoň inuiivně: u jednodušších zaojení ověříme, zda je signál z výsuu IOZ veden zě na inverující vsu (záorná zěná vazba), nebo na neinverující vsu (kladná zěná vazba). Zěné vazbě je věnována kaiola 7. V závěru bychom měli ověři, zda vyočené výsuní naěí oeračního zesilovače leží v rozsahu, vymezeném záorným a kladným sauračním naěím OZ. Saurační naěí bývá běžně o až voly nižší než naájecí naěí, u oeračních zesilovačů rail-rail je saurační naěí římo rovno naájecímu naěí. Pokud by vyočené naěí vybočovalo z ěcho mezí, znamenalo by o ve skuečném obvodu sauraci OZ, neboli nelineární režim, ro kerý nelaí mj. oučka o nulovém diferenčním naěí. Jinými slovy, výsledky lineární analýzy by neodovídaly skuečnosi. P4. Vyočěe výsuní naěí inverujícího zesilovače na obr. 4. a sanove jeho naěťové zesílení. Řešení: V obvodu ůsobí záorná zěná vazba z výsuu řes rezisory a na inverující vsu, akže je možné ouží oučku o nulovém diferenčním naěí. Posu řešení, rozdělený do 9 kroků, je ilusrován na obr Výsuní naěí je -V, akže zesílení obvodu je -/, -. OZ není v sauraci, výsledky analýzy jsou lané. Provedeme-li analýzu obecně se symboly odorů a, nikoliv s číselnými hodnoami, získáme známý vzorec ro zesílení inverujícího zesilovače s IOZ: A. (4.) 9

128 Elekronické obvody I k 5k 5V,V 5V? Obr.4.. Inverující zesilovač s IOZ. 3.Zde je oenciál V - viruální zem (lyne z nulového diferenčního naěí). 5.Vylývá z Ohmova zákona. k µ A 6.elý roud ze zdroje musí éci sem (A do vsuu OZ).,V µ A 5k V A V 5V 7.Vylývá z Ohmova zákona. -V 8.O V nižší oenciál než na "levém konci" rezisoru.,v,v V A 5V -V 9.Vylývá z 8..Zde je oroi zemi oenciál,v..vyznačíme nulové diferenční naěí a nulové vsuní roudy. 4.Naěí jako sád oenciálů. Obr.4.3. Možný osu analýzy zesilovače z obr. 4.. Vsuní odor zesilovače je dán oměrem vsuního naěí,v a roudem µa, kerý je odebírán ze vsuního zdroje, neboli 5kΩ, což je odor rezisoru. Výsuní odor zesilovače je nulový, což je dáno nulovým výsuním odorem IOZ. P4. Vyočěe výsuní naěí neinverujícího zesilovače na obr. 4.4 a sanove jeho naěťové zesílení. k 5k 5V 5V?,V Obr.4.4. Neinverující zesilovač s IOZ.

129 4 Meody analýzy elekrických obvodů Řešení: V obvodu ůsobí záorná zěná vazba z výsuu řes rezisory a na inverující vsu IOZ. elý osu analýzy je na obr Výsuní naěí je nyní,v, čemuž odovídá zesílení. Symbolická analýza obvodu vede na známý vzorec A. (4.) 5.Vylývá z Ohmova zákona. µ A 5k,V,V 4.Naěí jako sád oenciálů. 3.Zde je oenciál,v (lyne z nulového diferenčního naěí). A V A,V k V 5V 5V,V µ A 6.elý roud ze zdroje musí éci sem (A do vsuu OZ).,V 7.Vylývá z Ohmova zákona. 8.O V vyšší oenciál než na "levém konci" rezisoru.,v.zde je oroi zemi oenciál,v..vyznačíme nulové diferenční naěí a nulové vsuní roudy. 9.Vylývá z 8. Obr.4.5. Posuná analýza zesilovače z obr Vsuní odor zesilovače je nyní eoreicky nekonečný, neboť ze zdroje naěí není odebírán roud. Výsuní odor je oě nulový. P4.3 Vyočěe výsuní naěí zesilovače s T-článkem na obr. 4.6 a sanove jeho naěťové zesílení. 5k 5k 3 5k 4 5k 5V,V 5V? Obr.4.6. Zaojení zesilovače s T-článkem. Řešení: V obvodu ůsobí záorná zěná vazba z výsuu na inverující vsu IOZ.

130 Elekronické obvody I Posu analýzy je na obr. 4.7 rozfázován ro řehlednos do 4 kroků. Výsuní naěí je -V a zesílení -. Obecný vzorec ro zesílení je A (4.3) Pomocí ohoo zaojení lze dosáhnou oměrně velkých hodno zesílení ři oužií rezisorů s neříliš velkým rozsahem odorů. 3. Zde je oenciál V - viruální zem. 5.Vylývá z Ohmova zákona.,v µ A,V V 5k,V V A.Zde je oroi zemi oenciál,v. V A 7. Vylývá z Ohmova zákona. 5k V V.Vyznačíme nulové diferenční naěí a nulové vsuní roudy. 4.Naěí jako sád oenciálů. 6.elý roud ze zdroje musí éci sem (A do vsuu OZ). µ A 5k 5V 5V -V 5k µ A 8.O V nižší oenciál než na "levém konci" rezisoru. µ A. Vylývá z. Kirch. zákona. Vylývá z Ohmova zákona. 9.Vylývá z 8.. Vylývá z Ohmova zákona. -V 3.O V nižší oenciál než na "levém konci" rezisoru. -V 4. Vylývá z 3. Obr.4.7. Posuná analýza zesilovače z obr Úlohu je možné řeši i jinými cesami. Naříklad je možné T-článek odrobi ransfiguraci hvězda-rojúhelník, jak je o ukázáno na obr. 4.8 a). Na výsuní naěí nemá vliv ani jeden z rezisorů 4 a 34 : 4 je vlasně řiojen mezi vsuní svorky OZ, kde je nulové naěí, akže roud ímo rezisorem neeče a můžeme ho z obvodu odsrani. ezisor 34 je řiojen aralelně k výsuní bráně OZ. Zesilovač se chová jako ideální zdroj naěí, akže výsuní naěí nezávisí na řiojené záěži. Obvod na obr. 4.8 b) je obyčejný inverující zesilovač se zesílením 3. Porovnáním obrázků 4.6 a 4.8 b) dosíváme k oznání, že oužií rezisoru s roblemaicky velkým odorem 6 kω jsme obešli řemi rezisory o odorech 5 kω, 5 kω a 5 kω. 5 k 4 6 k 3 6k 5V 6 34 k, V? 5V 5 k a) b) Obr.4.8., V Obvod z obr. 4.6 o ransfiguraci hvězda rojúhelník a jeho řešení. 6 k 3 5V 5V 3 V

131 4 Meody analýzy elekrických obvodů Shrnuí a zobecnění: Pokud získáe ořebnou zkušenos s inuiivním řešením sejnosměrných obvodů obsahujících zdroje naěí, roudu a rezisory, ak dokážee vyřeši naěťové a roudové oměry v jakémkoliv obvodu. Budee k omu ořebova ouze oo: akivní znalos Ohmova zákona a dvou Kirchhoffových zákonů. V někerých říadech vám výrazně usnadní ráci znalos někerých rinciů, laných v lineárních obvodech (ekvivalence, suerozice ) a z nich vylývajících ouček a meod. K ěm nerakičějším aří: meoda zjednodušování sériových a aralelních kombinací, meoda náhradního zdroje, meoda suerozice, řeočy naěťových a roudových zdrojů, meoda ransfigurace hvězda rojúhelník. Řešíe-li obvody s idealizovanými modely oeračních zesilovačů, je nuné řida do arzenálu znalosí jednoduchou oučku o nulovém diferenčním naěí a nulových vsuních roudech (odrobnosi viz Inuiivní meoda řešení obvodů s oeračními zesilovači ). Zkušenos s řešením obvodů, kerá je ořebná rávě k omu, abyse dobře orozuměli omu, jak yo obvody fungují, se získává nesnadným, ale logickým zůsobem, oiž jejich ručním řešením. Pokuse se deailně orozumě říkladům P4. až P4.3. V dalším kroku se okuse odobným zůsobem vyřeši další jednoduchá zaojení obvodů s oeračními zesilovači, kerých je v lierauře a na Inerneu celá řada Algorimické meody řešení elekrických obvodů V následujícím exu se seznámíme jednak s klasickou meodou uzlových naěí (MN), jednak s jednou z jejích modifikací, keré se označují jako modifikované meody uzlových naěí (MMN). S MN vysačíme ři analýze obvodů, keré obsahují libovolné dvojóly s definovanými vodivosmi, res. admiancemi, libovolné mnohoóly majícími zv. vodivosní, res. admianční maice (jako jsou naříklad linearizované modely ranzisorů osané y-aramery, zdroje roudu řízené naěím ad.), a klasické zdroje roudu. Obvody, obsahující rvky, nemající vodivosní, res. admianční ois, jako jsou naříklad oerační zesilovače, budeme analyzova omocí MMN. Klasickou MN využijeme mj. k analýze linearizovaných obvodů s ranzisory. Zmíněná modifikace MN se někdy nazývá meoda zakázaného řádku. Předsavuje vyvážený komromis mezi očem obvodových rovnic a náročnosí algorimu jejich sesavování. Tao meoda je výborná k analýze obvodů, obsahujících ideální zesilovače naěí včeně oeračních zesilovačů. V éo kaiole nebudou robírány ani klasické meody analýzy založené na incidenčních maicích, ani naříklad meoda smyčkových roudů. Zájemce odkazujeme na říslušnou lierauru [, 6, 7]. Poznámka: Poznámka se ýká všech níže osaných meod analýzy. haraker obvodových veličin, keré figurují v rovnicích, závisí na om, jaký y obvodu analyzujeme a v jakém savu se má obvod nacháze. Srukura rovnic na ěcho fakech nebude závise. Naříklad okud řešíme lineární rezisivní obvod bez akumulačních rvků, ak naěí a roudy mají význam obecných časových růběhů a obvodové rvky jsou osány vodivosmi. Při analýze lineárních servačných obvodů v harmonickém usáleném savu je řeba uvažova admianční ois rvků a naěí a roudy jsou vyjádřeny komlexními fázory. Nejobecnější analýza využívá oeráorový model obvodu, kde obvodové veličiny jsou Lalaceovými obrazy jejich časových růběhů. Při malosignálové analýze nelineárních obvodů v rovnicích figurují roměnné složky časových růběhů v okolí sejnosměrného racovního bodu, a o oě v jednom z výše uvedených varů. V dalším výkladu budeme ro jednoduchos označova obvodové veličiny velkými ísmeny, jako kdyby se jednalo o sejnosměrné hodnoy, s vědomím oho, co je uvedeno výše. Pokud se ve schémau analyzovaného obvodu objeví akumulační rvek, označíme jej jeho oeráorovou imiancí, a obvodové veličiny budeme auomaicky ovažova za oeráorové obrazy jejich časových růběhů. 3

132 Elekronické obvody I Klasická meoda uzlových naěí (MN) Nejrve na říkladu řiomeneme odsau MN. Formulujeme algorimus sesavení maicové rovnice obvodu římo z jeho schémau. Poé se seznámíme s algorimickými osuy řešení sesavené rovnice. Konkréně se bude jedna o zůsob výoču uzlových naěí, řenosu naěí a imedančních oměrů v obvodu z deerminanu obvodové maice a z jejich algebraických dolňků. V závěru se naučíme omocí klasické MN analyzova linearizované obvody s ranzisory. Podsaa meody Tao meoda není římo oužielná u obvodů, v nichž ůsobí zdroje o známém naěí. Pokud je o možné, je nuné řed sesavováním rovnic řevés je na ekvivalenní zdroje roudu. Mnohdy analyzujeme obvod, v jehož modelu nefiguruje žádný zdroj, ouze je řeba uvažova budicí signál za účelem odvození naříklad naěťového zesílení, vsuního odoru nebo jiné obvodové funkce, kerá je vždy odílem dvou obvodových veličin. Pak si můžeme dovoli, vzhledem k ekvivalenci účinků zdrojů naěí a roudu, budi obvod za účelem analýzy meodou uzlových naěí ze zdroje roudu, i když ve skuečnosi bude řeba ouži zdroj naěí. Meoda uzlových naěí je založena na omo osuu:. Jeden z uzlů obvodu se rohlásí za zv. referenční uzel. Přiřadí se mu číslo, říadně v očíačovém simuláoru značka uzemnění. Vzhledem k omuo uzlu se budou vzahova naěí osaních uzlů obvodu. Tao naěí se nazývají uzlová naěí a voří sousavu neznámých obvodových veličin meody. V zájmu jednoduchosi algorimu sesavování rovnic je vhodné, aby všechna uzlová naěí byla orienována ak, aby číací šiky směřovaly do referenčního uzlu. zlová naěí jsou neznámými meody i ehdy, je-li naším konečným cílem očía jiné obvodové veličiny. Každé naěí a každý roud v obvodu jsou oiž vyjádřielné jako lineární kombinace uzlových naěí. Zaímco simulační rogram očíá vždy všechny neznámé najednou, i když z ohledu zadavaele analyzační úlohy o není řeba, ři ručním řešení sačí vyočís jen a uzlová naěí, z nichž získáme kýžený výsledek.. Pro každý uzel obvodu, vyjma referenčního, sesavíme rovnici. KZ ve varu: souče roudů ekoucích dovniř uzlu z vnějších zdrojů roudu souče roudů vyékajících věvemi obvodu ven z uzlu. 3. ovnice vyřešíme, j. získáme velikosi uzlových naěí. Z nich ak doočeme ožadovaný výsledek analýzy. Důležié ovšem je, že roudy na ravé sraně rovnice se vyjádří s využiím Ohmova zákona jako součiny vodivosí a naěí na věvích, a věvová naěí omocí naěí uzlových. V konečném savu edy na ravé sraně rovnice figurují ouze vodivosi a uzlová naěí. Poče neznámých uzlových naěí je sejný jako oče rovnic, a je roven oču uzlů obvodu mínus (v úvahu se nebere referenční uzel). Ilusraivní říklad Meodu objasníme na říkladu zaojení z obr. 4.4 b). Je řeba urči roud I x. omocí MN. Nejrve očíslujeme uzly. Zvolíme referenční uzel a řiřadíme mu číslo. Zde je řeba zdůrazni, že referenční uzel je možno voli zcela libovolně. Věšinou se volí ak, aby říadné hledané naěí bylo rovno jednomu z naěí uzlových. Dále si všimněme, že uzel, v němž se sojuje rezisor 3 a roudový zdroj, je vlasně součásí referenčního uzlu a jako akový se řídavně nečísluje má již označení. Tao skuečnos je ve schémau výrazně vyznačena. 4

133 4 Meody analýzy elekrických obvodů I ma I 6k 3 k k 4 k I x a) Obr Řešení obvodu meodou uzlových naěí (MN).? 3 I I I 4 4 I 3 b) I x? Poé ve schémau vyznačíme uzlová naěí a. Tvoří sousavu dvou neznámých, k níž musíme sesavi dvě rovnice. Budou o rovnice. KZ ro uzly a. Proože očíáme roud I x, osačí urči uzlové naěí. Z něj oiž snadno určíme roud rezisorem 3 a z něj I x. Podle obr. 4.9 b) naíšeme rovnice. KZ ro rovnováhu roudů v uzlech a : : I I I, : I I 3 I. 4 Poznamenejme, že orienaci číacích šiek věvových roudů můžeme voli naroso libovolně. Pokud se v orienaci zmýlíme, vyjde nám nakonec u daného roudu oačné znaménko. Je ovšem vhodné orienova roud akovým směrem, o němž ředokládáme, že bude odovída skuečnosi. Věvové roudy na ravé sraně rovnic vyjádříme omocí věvových vodivosí (oužijeme symboly G s říslušnými indexy) a věvových naěí, kerá závisí na uzlových naěích (viz obr. 4.9 b): : I G G( ), : G ( ) G3 G4. Vyknuím neznámých uravíme rovnice na konečný var : I ( G G) G, (4.4) : G ( G G3 G4 ). Dosadíme-li vodivosi v [ms], vyjdou roudy na levé sraně v [ma]: :, 5, 3 :,5, 5. Tyo rovnice mají řešení [ ] [ /3] V. Pohledem na schéma na obr. 4.9 b) zjisíme, že ři /3 V bude roud I 3 /3 ma a hledaný roud I x vychází z. KZ I x I I 3 ( ) ma ma. 3 3 Pravidla ro sesavování rovnic Nyní se okusíme o zobecnění oznaků z ředchozího říkladu, kerá jsou důležiá ro algorimické řešení obvodů. ovnice (4.4) zaíšeme v maicovém varu: 5

134 Elekronické obvody I I G G -G -G G G 3 G 4 Všimněme si několika ravidel, keré je vhodné ři záisu rovnic dodržova: Dooručení ři sesavování maicového oisu:. Nuly se nemusí do maic zaisova. Prázdné buňky jsou normální.. Nad slouci čvercové maice vodivosí je vhodné zaisova neznámé, kerými jsou v souladu s ravidlem o násobení maice vekorem násobeny rvky v daných sloucích. 3. Vlevo od vekoru budicích roudů je vhodné označi čísla uzlů, kerých se ýká říslušná rovnice. Porovnáme-li maicovou rovnici s ůvodním schémaem obvodu, kerý je danou sousavou rovnic osán, dosějeme k důležiým ravidlům, kerá nám umožní sesavi dané rovnice římo ze schémau, bez jakýchkoliv mezivýočů. Pravidlo o sesavení vekoru budicích roudů na levé sraně maicové rovnice: V i-ém řádku je algebraický souče roudů, ekoucích dovniř i-ého uzlu z vnějších zdrojů roudu. Pravidla o sesavení čvercové vodivosní (admianční) maice: Prvek i,i na hlavní diagonále obsahuje souče všech vodivosí (admiancí), řiojených k uzlu i. Prvek i,j (i j) mimo hlavní diagonálu obsahuje záorně vzaý souče všech vodivosí (admiancí), keré jsou řiojeny bezrosředně mezi uzly i a j. K oslednímu ravidlu je řeba řioji oznámku. Základní lineární dvojóly yu, L a, zaojené mezi uzly i a j, jsou recirociní v om směru, že se chovají sejně ve směru uzel i uzel j jako ve směru uzel j uzel i, jinými slovy, že jejich admiance jsou v obou říadech sejné. Proo u obvodů s ěmio součáskami vykazují admianční maice symerii, j. rvky i,j a j,i jsou oožné. Too je další fakor, kerým můžeme urychli algorimické sesavování rovnic. Tao vlasnos však řesává lai, okud se v obvodu objeví nerecirociní rvek, naříklad ranzisor. Výše uvedená ravidla ukážeme na říkladu složiějšího obvodu na obr. 4.. Jedná se o říčkový filr 7. řádu yu dolní rous o mezním kmioču khz, navržený rogramem NAF [I]. Ve schémau vyznačíme 4 nezávislé uzly, kerým řísluší neznámá uzlová naěí až 4. Alikací ravidel římo zaíšeme sousavu rovnic MN: 57m 58m L 7m I L L ,4n 43,n 8,95n k k 37n 3 43n 5 43n 7 336n 3 4 I G ( )/L - -/L - -/L ( 3 4 )/L /L - 4 -/L 3-4 -/L ( )/L /L 3-6 -/L /L 3 G ( 6 7 )/L 3 4 Obr. 4.. kázka algorimického sesavení rovnic MN říčkového filru. 6

135 4 Meody analýzy elekrických obvodů Vodivosní maice se skládá z maic dílčích rvků Vraťme se ješě k zaojení na obr. 4.9 a). Obr. 4. ukazuje, že daný odorový obvod je možné rozloži na jednolivé elemeny a výslednou vodivosní maici cháa jako souče dílčích vodivosních maic jednolivých elemenů. Zjednodušeně řečeno výslednou vodivosní maici složiého obvodu můžeme osuně skláda z maic dílčích rvků obvodu. V další čási se naříklad seznámíme s obecnou maicí linearizovaného modelu ranzisoru. Po zvládnuí zásad jejího vkládání ak budeme schoni analyzova libovolné linearizované obvody s ranzisory. Všimněme si ješě na obr. 4. submaice, kerá řísluší lovoucímu rezisoru. Její zvlášnosí je, že sečeme-li všechny rvky v libovolném řádku nebo slouci, dosaneme nulu. Tuo vlasnos má vodivosní (admianční) maice každého obvodu, kde ři analýze umísíme referenční uzel vně ohoo obvodu. Pak daná maice je nazývána úlnou vodivosní (admianční) maicí. Pokud dodaečně rohlásíme za referenční uzel někerý z uzlů obvodu, řekněme uzel k, získáme říslušnou vodivosní maici ak, že z úlné vodivosní maice vyusíme k-ý řádek a k-ý slouec. Tohoo osuu lze využí nař. k vzájemným řeočům linearizovaných aramerů ranzisoru v zaojeních se solečným emiorem, bází a kolekorem. 3 4 G G -G -G G G 3 G 4 Obecně: a G b G a b a G -G maice rvku b -G G G -G -G G a b 3 G 3 a b G -G -G G 4 G 4 Obr. 4.. Vodivosní (admianční) maice obvodu se skládá z maic dílčích rvků. maice celého obvodu 7

136 Elekronické obvody I Maicový linearizovaný model ranzisoru a MN Obecný ohled na ranzisor jako rojól je na obr. 4.. Jednolivá naěí a roudy je řeba cháa jako odchylky od sejnosměrného racovního bodu robíhající libovolně v čase, okud analyzovaný obvod je čisě rezisivní, bez akumulačních rvků. Pak níže uvedené rovnice obsahují ouze reálné admiance - vodivosi. Časěji řešíme obvod v usáleném savu, malosignálově buzený harmonickým signálem. Pak naěí a roudy na obr. 4. ředsavují říslušné komlexní fázory a symboly yu y v uvedených rovnicích jsou admiance, keré ouze na relaivně nízkých kmiočech je možné ovažova za reálná čísla. Obecně se od symboly a I mohou cháa oeráorové rerezenace obecných časových růběhů malosignálových odchylek kolem racovního bodu, a symboly y ak ředsavují říslušné oeráorové admiance. Pro jednoduchos jsme zvolili záis omocí velkých ísmen a I. I I B B E E B I E B E B I B y BB y B y BE B I y B y y E E I E y EB y E y EE E Obr. 4.. Tranzisor v obecném zaojení a sousava jeho linearizovaných rovnic odovídajících meodě uzlových naěí. I I B B E B E B E B I B y BB y B y BE B I y B y y E E I E y EB y E y EE E B B y BB y B y B y y e y e y e y e a) I B B E E B I E B E B I B y BB y B y BE B I y B y y E E I E y EB y E y EE E B E B y BB y EB E y BE y EE y c y c y c y c b) B B E E I IE B E B I B y BB y B y BE B I y B y y E E I E y EB y E y EE E E y y E E y E y EE y b y b y b y b Obr Maicový ois ranzisoru v zaojení se solečným emiorem (a), kolekorem (b) a bází (c). c) 8

137 4 Meody analýzy elekrických obvodů Je-li ranzisor zaojen do obvodu v řech uzlech B, a E (báze, kolekor a emior), lze jej osa rojicí rovnic meody uzlových naěí. Vodivosi (admiance) y BB y EE v rvcích říslušné maice budou závise na řenosových vlasnosech ranzisoru. Na obr. 4.3 je znázorněno, jak bude modifikována sousava rovnic, bude-li referenční uzel sojen s jedním z uzlů ranzisoru. Na obr. 4.3 a) je ukázka zaojení ranzisoru se solečným emiorem. Emior je uzemněný, naěí E je edy nulové. Sesavují se ouze rovnice ro uzly B a. Z ůvodní sousavy rovnic edy škráme rovnici ro uzel E a neuvažujeme naěí E. Tranzisor je ak osán admianční maicí x. Prvky éo maice mají význam y-aramerů ranzisoru v zaojení se solečným emiorem (index e; báze jako vsuní svorka je zasouena indexem, kolekor výsuní svorka indexem ). Tuo čveřici y-aramerů získáme buď měřením nebo řeočem ze známých h- aramerů (viz Tab. 3. na sr. 9). Admianční maice 3x3 je úlnou admianční maicí ranzisoru. Plaí roo i ro ni ravidlo, že souče rvků v každém řádku a každém slouci je nula. Známe-li edy čveřici aramerů y BB, y B, y B a y, což je čveřice y-aramerů ranzisoru v zaojení se solečným emiorem, ak je možné snadno doočía zbylých 5 aramerů. Na obrázcích b) a c) je ukázáno, jak bude vyada ois ranzisoru v zaojení se solečným kolekorem a se solečnou bází. V zaojeních, kde všechny ři vývody ranzisoru jsou lovoucí, se ve výsledných rovnicích ulaní všech 9 aramerů ranzisoru. Souvislos maicového oisu se zjednodušeným modelováním ranzisoru Vyjdeme z rovnic ro zaojení se solečným emiorem na obr Pois ro další variany lze z ěcho rovnic odvodi. I I B B E I y y B BB B I y y B B B I B B B y BB B y B y B B y I B y BB E y Obr Modelování ranzisoru omocí řízených zdrojů. ovnice lze modelova obvodem s řízenými zdroji. Zanedbáme-li aramer y B, což bývá vzhledem k jeho číselným hodnoám na nízkých kmiočech u věšiny ranzisorů oodsaněné (viz sr. 7), zmizí z náhradního schémau říslušný řízený zdroj. Dosějeme k zjednodušenému modelu ranzisoru, kerý jsme oužili nař. na sr. 74. Paramer y B ranzisoru ak má význam srmosi ranzisoru S I / BE. Maicový ois je edy obecný a ři komlexních hodnoách admiancí resekuje i chování ranzisoru v oblasi vysokých kmiočů. Zjednodušený ois na sr. 74 je jeho seciálním říadem. Při yických hodnoách vsuního odoru, výsuního odoru a srmosi rbe kω, re kω, S, A/ V vycházejí yické hodnoy y-aramerů ako: y BB 5µS, y µs, y B, y B,S, y BE -5µS, y E -, S, y EB -,5 ms, y E -µs, y EE,5 ms. 9

138 Elekronické obvody I P4.4 Sesave sousavu rovnic linearizovaného modelu ranzisorového zesilovače z obr M 3.3k B,5 ma I 4 i u i B 3 E u 4 k Z B8A Obr Náhradní schéma ranzisorového zesilovače ro sřídavý signál. Řešení: V rvní fázi zaíšeme maicovou rovnici MN ak, jako kdyby v obvodu nebyl ranzisor: 3 4 I i G i - - G B 3 G G 4 V druhém kroku veíšeme do admianční maice maici ranzisoru. Nejjednodušeji o rovedeme ak, že do řádků a záhlaví slouců nejrve dolníme symboly B a ak, aby o odovídalo číslům uzlů, k nimž jsou řiojeny báze a kolekor (emior se zde neobjeví, roože je zaojen na referenční uzel, kerý v maici není zasouen). Pak do říslušných olíček maice veíšeme jednolivé admiance ranzisoru, jejichž indexy odovídají indexům řádků a slouců. Výsledek je zde: B 3 4 I i G i - B - G B y BB y B 3 y B G y G 4 (4.5) Získaná rovnice může bý oužia k řadě výočů. Po dosazení číselných hodno aramerů se sává východiskem ro výočy naěťových oměrů v uzlech, řenosů naěí ze vsuu do všech uzlů a imedančních oměrů, o vše ro různé kmiočy buzení odle oho, jaké zvolíme číselné hodnoy komlexního kmioču jω. O jednom z možných zůsobů výoču se zmíníme v čási Zůsob výoču obvodových funkcí z admianční maice na sr. 3. V dalším říkladu ukážeme, že budeme-li se drže uvedeného osuu, sesavíme rovnice i u obvodů, keré obsahují více ranzisorů, a dokonce i ehdy, jesliže budou ranzisory zaojeny ayicky, naříklad s různě zkraovanými svorkami. P4.5 Sesave admianční maici čási linearizovaného modelu inegrovaného obvodu A 34 na obr

139 4 Meody analýzy elekrických obvodů 4,5k B B 3 T E T E Obr Model čási inegrovaného obvodu A 34. Řešení: Admianční aramery ranzisorů T a T odlišíme horními indexy a. Nejrve sesavíme admianční maici obvodu bez ranzisorů: 3 3 G Pak veíšeme maici ranzisoru T : 3 B G 3 B y BB y B y B y Všimněme si, že jsme do rvku 3,3 maice vesali všechny čyři admianční aramery, keré vylývají z kombinací symbolů B a v záhlavích maice. Nakonec veíšeme maici ranzisoru T : B 3 B E B y BB y B y BE y B G y y E 3 B E y EB y E y BB y B y B y y EE (4.6) Zůsob výoču obvodových funkcí z admianční maice Sesavení rovnic MN je rvní eaou analýzy. Pak je samozřejmě nuné yo rovnice vyřeši. kážeme jednu z možných meod, kerá je založena na výoču obvodových funkcí omocí zv. algebraických dolňků admianční maice. Meodu vysvělíme na říkladu ranzisorového obvodu z obr važujme následující číselné hodnoy y-aramerů obou ranzisorů: y BB µs, y µs, y B, y B,S. y BE -µs, y E -, S, y EB -, ms, y E -µs, y EE, ms. Pak admianční maice (4.6) celého obvodu bude 3

140 Elekronické obvody I 3, -,, - 3 -, -, 4,4 Všechny admiance jsou dosazeny v [ms]. Maice edy ransformuje naěí ve volech na roudy v miliamérech. Předokládejme, že chceme urči imedanci obvodu mezi uzlem a zemí a naěťové zesílení /. K bráně mezi uzel a referenční uzel řiojíme zdroj roudu I, vyočeme naěí, vyvolané ímo roudem, a jejich odílem určíme vsuní imedanci. Pak vyočeme naěí, vyvolané vsuním buzením, a vydělením a vyočeme zesílení. Siuace je znázorněna na obr ,5k I B B 3 T E T 3 I, -,, - 3 -, -, 4,4 3 E Obr K výoču naěťového zesílení /. Všimněme si, že i když ožadujeme výoče naěťového zesílení, neořebujeme k omu nuně vsuní zdroj naěí. K výoču naěí z rovnice na obr. 4.7 oužijeme ramerovo ravidlo. ramerovo ravidlo: Naěí k, k,,3, je odílem dvou deerminanů. Ve jmenovaeli je deerminan admianční maice. V čiaeli je deerminan k maice, kerá vznikne z admianční maice záměnou slouce k vekorem na levé sraně rovnice. Pro naěí vyjde I,,,,,,, 4,4, 4,4 ( ),,,,,, I 4,4, 4,4 V čiaeli byla oužia oučka o rozvoji deerminanu odle. slouce. Symbol i:j, zde konkréně :, ředsavuje zv. algebraický dolněk admianční maice ři vynechání i-ého řádku a j-ého slouce. Číselně se rovná vzniklému subdeerminanu maice násobenému číslu (-) ij. Po vyčíslení deerminanů získáme výsledek : I 3

141 4 Meody analýzy elekrických obvodů & 9,775 I [ V, ma] Z & 9, 775 kω. I Imedance (odor) obvodu mezi uzlem a referenčním uzlem je necelých kω. Obdobným zůsobem vyočeme naěí a z něj naěťový řenos K /.,, 4,4,,,,, 4,4 Hledaný řenos naěí bude I, ( ) I, 4,4,,,,, 4,4 : I ( ) :, 4,4 K & 46,8., : ( ), 4,4 Dále si ukažme, jak bychom osuovali ři výoču výsuní imedance mezi uzlem a referenčním uzlem ři vsuní bráně narázdno. V om říadě bychom řiojili budicí zdroj roudu I mezi uzel a referenční uzel, vyočeli naěťovou odezvu a následně určili imedanci Z. Siuace je na obr. 4.8 solu s modifikovanou levou sranou rovnice. B B 3 4,5k T E T I 3, -, I, - 3 -, -, 4,4 3 E Obr Posu ři výoču výsuního odoru obvodu. Naěí nyní bude,, I,, ( ) I, 4,4, 4,4 : I 4,55I [ V, ma]. &,,,,,,,, 4,4,, 4,4 Výsuní imedance (odor) roo vyjde Z & 4, 55 kω. I 33

142 Elekronické obvody I Na základě ředchozího říkladu můžeme formulova následující ravidla ro výočy obvodových veličin z admianční maice obvodu: Pravidla ro výoče obvodových veličin a funkcí z admianční maice obvodu: Mějme lineární obvod o N uzlech vyjma referenčního uzlu, kerý je osán admianční maicí N x N omocí meody uzlových naěí. Pomocí algebraických dolňků éo maice můžeme sočía: Imedanci mezi uzlem k a referenčním uzlem: k : k Z. k Přenos naěí z uzlu i do uzlu o: o i : o K. i i : i zlové naěí k, je-li obvod naájen z jediného zdroje roudu I i zaojeného mezi uzel i a referenční uzel: i: k k I. i Ve všech vzorcích je i,j algebraický dolněk admianční maice ři vynechání i-ého řádku a j- ého slouce a je deerminan admianční maice. Vzorce jsou časo oužívány, neboť umožňují římé výočy z admianční maice bez nunosi sesavova celou sousavu rovnic. Modifikovaná meoda uzlových naěí (MMN) meoda zakázaného řádku Výhodou meody uzlových naěí je její snadná algorimizace: algorimus ro sesavení sousavy rovnic římo ze schémau je velmi jednoduchý a lze jej edy imlemenova do očíačových rogramů ro analýzu či simulaci. Nevýhodou meody ovšem je, že neumožňuje analyzova obvody se zdroji naěí a součáskami, keré nemají admianční maici. Bohužel k ěmo součáskám aří nejen naříklad akové rvky jako je obyčejný ransformáor, ale i různé oerační zesilovače, konvejory a další dnes moderní analogové rvky. Proo klasická MN musí bý odrobena určié modifikaci, kerá jednak zachová její výhodu snadnou algorimizovaelnos jednak umožní analyzova lineární obvody bez výše uvedených omezení. kážeme jednu z možných meod modifikace, kerá umožňuje ohodlné výočy v jednodušších obvodech, obsahujících oerační zesilovače a zesilovače naěí. Ideální oerační zesilovač na obr. 4.9 je zaojen do obvodu rosřednicvím uzlů a, b a c. Na obrázku jsou znázorněny roudy, keré obecně ečou z vnějšího obvodu do ěcho uzlů. I a a b I OZ I c c I b Obr Ideální oerační zesilovač. Při sesavování maicové rovnice MMN budeme osuova ak, jak jsme zvyklí z klasických asivních obvodů, s jednou výjimkou. Tao výjimka se bude ýka rovnice, kerá odovídá uzlu c, edy uzlu, k němuž je řiojen výsu oeračního zesilovače. ovnice. Kirchhoffova zákona ro eno uzel by musela obsahova roud IOZ, ekoucí do výsuu OZ. Teno roud však neznáme. Pokud roud IOZ není bezrosředním cílem našich výočů, uo rovnici neíšeme a namíso ní zaíšeme jinou rovnici, zv. naěťovou vazební odmínku. Tao odmínka zní: diferenční naěí OZ je 34

143 4 Meody analýzy elekrických obvodů nulové. Vyjádřeno jinak omocí uzlových naěí: a b, nebo aky. a -. b. Podívejme se, jak uo odmínku zaíšeme do maicové rovnice: a b c a I a a b I b b c - c.. Řádek c maice označíme domluvenou značkou, naříklad mavým kolečkem, jako zv. zakázaný řádek. Na rozdíl od osaních řádků maice oiž do ohoo rosoru není dovoleno zaisova admiance odle algorimu klasické MN. Tím bychom orušili naěťovou vazební odmínku v našem konkréním říadě. a -. b, kerá jako jediná může bý v omo řádku nasána. Sejný rinci lze ulani ři vorbě rovnic ro ideální zesilovač naěí (IZN), keré se liší ouze vazební odmínkou. Podobně osuujeme i v říadě nezávislých zdrojů naěí. Můžeme edy formulova následující rakický osu sesavování rovnic meody zakázaného řádku ro obvody s oeračními zesilovači, IZN a ideálními zdroji naěí... Prakický osu u meody zakázaného řádku: ) Ve schémau vyznačíme čísla uzlů. eferenčnímu uzlu řiřadíme číslo. ) Zjisíme oče nezávislých uzlů, j. oče uzlů mínus (referenční uzel). Načrneme kosru maicové rovnice, vylníme vekor na ravé sraně neznámými uzlovými naěími, vekor budicích roudů na levé sraně, a vylníme záhlaví řádků a slouců. 3) Zjisíme číslo uzlu, k němuž je řiojen výsu IOZ, res. IZN, res. uzemněný ideální zdroj naěí. Příslušný řádek označíme symbolem zakázaného řádku. Pokud je daných rvků v obvodu více, každý bude rerezenován svým zakázaným řádkem v maici. Vylučujeme říad sojení výsuů ideálních zesilovačů a zdrojů. 4) Do zakázaného řádku zaíšeme naěťovou vazební odmínku, kerá řísluší danému zesilovači nebo zdroji. 5) V oslední fázi dolníme osaní rvky maice admiancemi odle algorimu klasické MN. Vyhýbáme se však rvkům v zakázaných řádcích. P4.6 Vyočěe vsuní imedanci Anoniova muáoru na obr. 4.. Řešení: Y -Y - OZ 3 -Y Y Y 3 -Y OZ 5 -Y 4 Y 4 Y 5 Zakázaný řádek č. aří k OZ, zakázaný řádek č.4 k OZ. Z maice určíme vzorec ro vsuní imedanci: 35

144 Elekronické obvody I OZ Z in? Z Z 3 Z 3 4 Z 4 5 Z 5 OZ Obr. 4.. Anoniův muáor. Y Y Y 3 Y Y Y Y Z Z Z in : Z. 5 Z Z 4 3 P4.7 Vyočěe naěťové zesílení obvodu s T-článkem na obr. 4.. I 5k 5k k 5k 4 I OZ Obr. 4.. Zesilovač s T-článkem. Řešení: 3 4 I G -G -G G G -G 3 -G G G 3 G 4 -G Pro názornos je uvedena celá maicová rovnice. Jednička v řídavném řádku rerezenuje jednoduchou rovnici, což je naěťová vazební odmínka diferenční naěí ro oo zaojení. Po výoču říslušných algebraických dolňků vyjde zesílení -, již dříve odvozené v rovnici (4.3): 36

145 4 Meody analýzy elekrických obvodů 4 :4 : ( ) ( ) 4 G G G G G G G G G G G 3 G G G 4 3 G 4 G 3 G ( G G G G 3 3 G 4 ). P4.8 Vyočěe naěťové zesílení obvodu se zesilovačem naěí na obr. 4.. I A I Z 5k 3 5k Obr. 4.. Obvod s diferenčním zesilovačem s konečným zesílením A. Řešení: 3 I A - -A 3 -G G G 3 Naěťová vazební odmínka, zasaná v zakázaném řádku, nyní zní: výsuní naěí zesilovače zesílení A krá vsuní diferenční naěí, neboli A( ), neboli 3 A A 3. Poslední var vazební odmínky je imlemenován v řádku. Pomocí algebraických dolňků určíme ožadované zesílení: A A : G G A( G G ) &,4. A : G G AG G G G Poznamenejme, že v říadě ideálního oeračního zesilovače (A ) by bylo zesílení řesně. Počíačová analýza lineárních obvodů rogramem SNAP Nejdůležiější alikací algorimických meod analýzy je auomaizovaná očíačová analýza obvodů. Soudobé simulační rogramy využívají jednu z modifikací meody uzlových naěí. Zjednodušeně řečeno, ráce s yickým simulačním rogramem se uskuečňuje v několika krocích: 37

146 Elekronické obvody I. Zadání modelu obvodu. Zadávání lze rovés dvěma různými zůsoby buď nakreslením schémau obvodu v zv. schémaickém edioru, nebo nasáním jednoduchého exového souboru, v němž bude uvedena informace o elekrických vlasnosech modelu: z jakých součásek se skládá, jaké aramery yo součásky mají, a jak jsou vzájemně roojeny.. Zadání ožadavků na analýzu, j. o jaké výsledky analýzy máme zájem. 3. Vyhodnocení výsledků analýzy. Výsledky bývají ve formě grafů nebo exových výsuů. Všechny říklady, uvedené v éo kaiole, a mnoho dalších lze snadno vyřeši omocí rogramu SNAP (Symbolic and Numeric Analysis Program), což je rogram, secializovaný k analýze lineárních obvodů. Dooručujeme sáhnou si z Inerneové adresy h://sna.webark.cz/index.hml insalační soubory ohoo rogramu a zkusi si vyřeši někeré z 3 narogramovaných říkladů. Deailní návody a oisy naleznee v ramenech [3, 6, 9, ]. Shrnuí a zobecnění: uční řešení oužijeme zejména ro konrolní výočy v obvodech s uvažováním jednoduchých idealizovaných modelů součásek. Ve všech osaních říadech je rozumné rovés analýzu rosřednicvím očíače. ozhodnuí o om, zda k ruční analýze ouží heurisické nebo algorimické osuy, je do jisé míry subjekivní záležios. Někomu vyhovuje řeši i oměrně složié obvody vůrčím zůsobem za oužií mnohdy originálních a neradičních osuů, jiný dá řednos osvědčeným meodám, keré vedou vždy k cíli, obvykle však za cenu neříjemných ruinních výočů. Třeí alernaivou je samozřejmě vyřeši jakoukoliv analyzační úlohu omocí vhodného očíačového rogramu. soudíme-li, že heurisické osuy jsou nad naše síly nebo jejich oužií nereferujeme z jiných důvodů, ak je na mísě uvažova buď o očíačové analýze, nebo o ručním řešení někerou z algorimických meod. Počíačové řešení se asi sane nunosí ři analýze rozsáhlejších obvodů nebo obvodů, obsahujících akivní rvky, jejichž modelování vede na rozsáhlé sousavy rovnic. Tyickou alikací očíačových rogramů je analýza obvodů s uvažováním vlivů reálných aramerů součásek. Pro analýzu obvodových funkcí v oeráorovém varu se ak nabízí rogram SNAP jako výborná alernaiva s navazující numerickou analýzou. 38

147 4 Meody analýzy elekrických obvodů 4.3 METODY ANALÝZY NELINEÁNÍH OBVODŮ 4.3. Přehled meod Analýza nelineárních obvodů je obecně neorovnaelně složiější úloha než v říadě obvodů lineárních. Pro ruční řešení je zde roo relaivně málo rosoru a analýza se věšinou uskuečňuje očíačově. živael má k disozici modely nelineárních rvků buď římo zabudované v simulačním rogramu, nebo v jednodušších říadech vysačí se změřenými sejnosměrnými charakerisikami (nař. amérvolovou charakerisikou diody aod.) nebo alesoň s odhady, jak se v daném rovozním režimu může rvek chova (nař. že na oevřené diodě je úbyek naěí řibližně,7 V). Podle charakeru modelu se edy odvíjí následné oužií buď grafických nebo očeních meod analýzy, říadně ouhých odhadů řešení. meody řešení nelineárních obvodů co se řeší: sejnosměrné (ss) oměry zjednodušování ss charakerisik meoda zaěžovací římky (křivky) numerické řešení algebraických rovnic smíšené grafické očení "řesné" odhady nelineární rvky v yických savech časové růběhy meoda izoklin aod. numerické řešení diferenciálních rovnic Obr Zjednodušené dělení meod analýzy nelineárních obvodů. V dnešní době grafické meody řežívají snad jen ve formě meody zaěžovací římky, res. křivky, říadně ři zjednodušování sejnosměrných charakerisik sériově-aralelních srukur. I zde však jsou yo meody síše v roli násroje ro názornou ilusraci funkce nelineárních zařízení, naříklad sabilizáorů s referenčními diodami, než jako násroje ro řesnou analýzu. Prakický význam edy dnes mají jednak očení meody, jednak odhady oměrů v obvodech ři znalosech chování nelineárních členů v yických savech. V éo kaiole se roo omezíme jen na někeré yické osuy analýzy. Počíačové analýze a simulaci jsou věnovány samosané ublikace [3, 4, 4, 4, 43] Numerické řešení nelineárních rovnic uční řešení važujme jednoduchý obvod na obr V sérii s rezisorem o odoru kω je nelineární rezisor o amérvolové charakerisice, kerá je osána vzorcem 3 I x k x, kde k 3mA/V. (4.7) Vzorec řibližně oisuje chování nelineárního omezovače amliudy, kerý lze jednoduše realizova dvojicí aniaralelně zaojených diod. Úkolem je vyočía naěí na nelineárním rvku a roud, odebíraný ze zdroje. 39

148 Elekronické obvody I Ix? x Ix [ma] 5V x? - -,8,8 x [V] Obr Obvod s nelineárním rezisorem se zadanou amérvolovou charakerisikou. ozorňujeme, že následující osu ne zcela koresonduje s ději, keré se odehrávají v očíačových simulačních rogramech. Ty jsou velmi zjednodušeně osány v navazující čási očíačové řešení. Z obr. 4.4 vylývá, že naěí zdroje se rovná souču naěí na obou rezisorech, neboli I. x x Po dosazení z (4.7) dosáváme nelineární rovnici ro hledané naěí x : 3 k, neboli (4.8) x x x x Tao kubická rovnice je sice analyicky řešielná, ale ne každý ovládá ardanovy vzorce []. Proo oužijeme ierační meodu. Nejrve uravíme rovnici (4.8) na var 3 f ( ) 3 5. (4.9) x x x Budeme hleda kořen éo rovnice, neboli naěí x, ro keré rochází definovaná funkce f nulou. Průběh éo funkce, kerý je znázorněn na obr. 4.5, je možno snadno získa naříklad o sušění ohoo m-souboru v MATLABu: 5;;k.3; x(:.:.7); fk**x.^3x-; lo(x,f) grid X:.53 Y: Z grafu můžeme odečís, že hledané naěí x je asi,53v. Přesnější řešení získáme Newonovou ierační meodou, kerá je ilusrována na obr Obr Průběh funkce f( x ), získaný z MATLABu. V nulém kroku odhadneme velikos naěí x. Dosadíme do funkce f( x ) a získáme bod na křivce f( x ), kerým vedeme ečnu. V růsečíku ečny s osou f( x ) najdeme odhad kořene o zv. rvní ieraci. Po několika ieracích roces rychle konverguje k hledanému řešení. Na obr. 4.6 vravo je ukázáno, jak narogramova celý roces, neboli jak maemaicky vyjádři konsrukci ečny a hledání jejího růsečíku s vodorovnou osou. Je řeba narogramova v cyklu následující vzorec: 4

149 4 Meody analýzy elekrických obvodů 6 4 f ( x ) f ( x ) odhad kořene hledaný kořen f ( I k ) x, k x, k x - -4 f ( x ) ečna ke křivce f ( x ) odhad o. ieraci f ( x k ) / f ( x,, k ) Obr K vysvělení ierační meody hledání řešení nelineární rovnice. x, k x f ( x, k ) x, k, (4.) f ( ) x, k kde f značí derivaci funkce f odle naěí x. Po dosazení vzorce (4.9) a úravě vyjde x, k x, k 3 3 k x, k 3 x, k x, k 5, neboli x, k, (4.) x k 3k 9 x, k x, k x, k V MATLABu rovedeme narogramování (4.) jednoduše ako: 5;;k.3; x N5; maximalni oce ieraci for i:n xx-(k**x^3x-)/(3*k**x^) end Před výočem je vhodné v menu MATLABu File/Preferences nasavi numerický formá zobrazovaných da na long e, abychom viděli výsledky na 5 deseinných mís. Zvolíme-li očáeční odhad x, MATLAB nalezne s řesnosí na 5 deseinných mís řešení v. ieraci: x e- V. Proud I x ak z rovnice (4.7) vychází e- A Můžee se řesvědči o om, že ři očáečním odhadu řešení xv se usálí ierační algorimus na srávném řešení již v 6. kroku. Klíčem k vysvělení je obr Počíačové řešení Od simulačního rogramu očekáváme, že nalezne řešení libovolného obvodu, edy obvodu, osaného různými yy rovnic, bez zásahů uživaele, kerý by rogramu naovídal, jak má yo rovnice uravova, jak má definova funkci f, jejíž kořeny ak bude vyhledáva. 4

150 Elekronické obvody I Proože rogram není schoen akovéhoo heurisického řísuu k řešení, jsou v něm narogramovány algorimické meody, ři nichž je osu rakicky sejný ři řešení jakéhokoliv obvodu. Program nejrve algorimicky sesaví obvodové rovnice meodou uzlových naěí a ak očíá všechny neznámé, j. uzlová naěí. Na rozdíl od výše uvedeného ručního osuu, kdy jsme sesavili jednu nelineární rovnici ro naěí x a osléze hledali její řešení, rogram sesaví olik nelineárních rovnic, kolik je uzlových naěí, a hledá ierací sejný oče neznámých naěí. Ierační meoda edy musí bý zobecněná ro více roměnných. Nazývá se Newonova-ahsonova ierační meoda. V různých modifikacích je zabudována do všech sávajících simulačních rogramů do rocedur ro hledání sejnosměrných racovních bodů. rčiou nevýhodou éo vícerozměrné meody je omalá konvergence ve srovnání s jednorozměrným říadem. V současné době jsou v rofesionálních rogramech narogramovány omocné rocedury k řekonávání roblémů s konvergencí. Algorimus by měl solehlivě konvergova ři analýze značně rozsáhlých nelineárních obvodů se součáskami se složiými modely. Bez nadsázky je možno zabudované algorimy označi za výečně fungující zázrak. I když nic není dokonalé [] Přibližná analýza obvodů s diodami a ranzisory Na dvojici yických říkladů bude ukázán osu řibližné analýzy nelineárních obvodů s diodami a ranzisory, kdy vysačíme s minimem informací o modelech oužiých olovodičových součásek. Posané osuy ovšem nejsou univerzálně oužielné. o je solečné řešeným říkladům? Že na řechodu P-N křemíkové diody či ranzisoru, nacházející se v akivním režimu, je zhruba,65 volů (s olerancí jedné deseiny volu), že dovedeme odhadnou někerá naěí a roudy, říadně roudové zesílení ranzisoru ad. Velmi dobrých výsledků analýzy dosáhneme u obvodů, keré jsou relaivně málo cilivé na odhadované veličiny, jako jsou naříklad ranzisorové obvody se sabilizací olohy sejnosměrného racovního bodu. Dalším odobným říkladem jsou obvody s oeračními zesilovači s nelineární zěnou vazbou. V osaních říadech je však řeba brá výsledky s rezervou. V každém říadě bychom měli dodržova následující osvědčený osu:. Sanovíme základní odhady (naěí báze-emior, ).. Na základě základních odhadů rovedeme výočy. 3. Ověříme, zda jsou výsledky výočů v souladu se základními odhady. Pokud ne, řejdeme do bodu, nebo zkusíme analyzova jiným zůsobem. P4.9 Odhadněe naěí na výsuu sabilizáoru na obr Dioda ZD má Zenerovo naěí 5,V. 33 I ZD I V D ZD 55 I D D Obr Sabilizáor naěí. 4

151 4 Meody analýzy elekrických obvodů Řešení:. Předoklady: ZD 5,V, D,65V, neboli: diodami eče dosaečně velký roud.. Výočy: 5,,65 5,75V, I 5,75/55,45 ma, I (-5,75)/33 8,94 ma, I D 8,94-,45 8,49 ma. 3. Ověření ředokladů: Diodami eče 8,49 ma. Počíačové simulace ukazují jen nevýznamné odchylky od výsledků, získaných ímo jednoduchým osuem. Při odhadu naěí na Zenerové diodě jsme neuvažovali úbyek naěí na diferenciálním odoru diody. V říadě, že je známa jeho hodnoa, je možné uvedené odhady dále zřesni. P4. Nalezněe klidová naěí a roudy v ranzisorovém zesilovači na obr. 4.8 a). Řešení: Jde o zaojení zesilovače, v němž je echnikou boosra dosaženo vysokého vsuního odoru. V obvodu ůsobí silná sabilizující záorná zěná vazba řes rezisor 4. Lze edy ředokláda, že souřadnice racovního bodu budou málo cilivé na vlasnosi ranzisoru, zejména na jeho roudový zesilovací činiel.. Předoklady: Tranzisor je v akivním režimu, není v sauraci, BE, 65V, E >>, I he I, kde h B E je sejnosměrný roudový zesilovací činiel. Na základě zkušenosi zvolíme jeho velikos. Dále zanedbáme roud báze oroi roudu kolekoru, neboli uvažujeme I E I.. Výočy: A 3 3 N I B & 4,48 37,I B [ V ; ma] 3.. dělič naěí zaížený roudovým odběrem I B, řešeno rinciem suerozice. E A 5I B,65 & 4,48 37,I B I B,65 3,398 57,I B [ V; ma]. Kirchhoffův zákon alikovaný na smyčku 3-5 -BE- 4. Sloučení osledních dvou rovnic: 3 I h I 4I [ V ; ]. E E E E B B ma 3 3,398 57,I B 4I B I B 7,434. ma 7,434µ A. I h E I B, & 487mA, E E I &, 973V, E N E & 6, 54V. 3. Ověření: >> E 43

152 Elekronické obvody I V k k V k k V ~ n 3 56k 5 k µ 4 B7 A k N 3 56k k 5 A,65V I B 4 k E N I he I B E a) b) Obr a) Jednosuňový ranzisorový zesilovač, b) náhradní schéma ro výoče sejnosměrných oměrů. V abulce 4. jsou výsledky našich odhadů zoakovány ve slouci odhady. Je rovedeno srovnání se simulací v rogramu Micro-a. ozdíly ve výsledcích jsou řijaelné. Nejvěší rozdíl je v bázových roudech, díky sabilizační záorné zěné vazbě jsou však v kolekorovém obvodu rozdíly minimální. Tab. 4.. Výsledky řešení zesilovače z obr. 4.8 odhady a rofesionálním simulačním rogramem. odhady Micro-a BE [V],65,67 A [V] 3,77 3,74 [V],973,887 E [V],973,94 E [V] 6,54 6,9 I B [µa] 7,434 8,7 I [ma],487, Analýza (nejen) nelineárních obvodů s využiím simulačních rogramů V roce 97 vyvořil suden niversiy of alifornia, Berkeley, SA Larry Nagel rogram SPIE (SPIE Simulaion Program wih Inegraed ircui Emhasis) jako vývojově vyšší verzi svého ředchozího rogramu ANE (omuer Analysis of Nonlinear ircuis Excluding adiaion). Program umožňoval analýzu dějů v obvodech, obsahujících zejména biolární a uniolární ranzisory. O věrohodnos výsledků bylo usilováno roracovanosí modelů olovodičových součásek i maemaických algorimů řešení rovnic. živael měl navíc možnos rakicky neomezeného rozšiřování sorimenu analyzovaných součásek echnikou makromodelů zakládáním zv. odobvodů (subcircuis) SPIE. Proože rogram byl v odsaě volně šířielný, sal se brzo sandardním simulačním násrojem ro elekroechnické úlohy. silovně se racovalo na jeho zdokonalování. V roce 975 byla ředsavena verze SPIE s odsaně zdokonalenými modely i numerickými algorimy. Tao verze byla v růběhu éměř le osuně zdokonalována na Berkeleyské univerziě až do dnes všeobecně známého sandardu SPIEG.6, kerý byl v r. 983 zřísuněn k volnému oužívání. 44

153 4 Meody analýzy elekrických obvodů Zdrojové exy SPIE a SPIE byly nasány ve Forranu. Vzhledem k zvýšenému využívání nixových racovních sanic adlo v Berkeley rozhodnuí řesa SPIE do jazyka. Tak začala vznika verze SPIE3. Dnes je rozšířena verze SPIE 3F.. Oroi SPIEG.6 se vyznačuje řadou vylešení, ovšem z různých důvodů došlo k zráě zěné komaibiliy se SPIEG.6. S růsem výkonnosi očíačů P došlo k řeisování rogramů, dosud běžících na výkonných racovních sanicích, na rogramy susielné na Pčkách. Tak vznikl sandard PSice. Dnes exisuje více simulačních rogramů, keré využívají v odsaě ři ne zcela komaibilní sandardy: SPIE, SPIE3, PSPIE. Všechny lze rozděli na zv. Sice-like a Sice-comaible simuláory. Označení Sice-like znamená, že simuláor je schoen generova odobné výsledky analýzy jako SPIE, avšak nemusí bý schoen čís sandardní vsuní soubory SPIE. Tyickými říklady jsou saré verze rogramů Micro-a nebo TINA, rogram SABE aod. Termínem Sice-comaible se označují simulační rogramy, keré dokáží čís sandardní vsuní soubory SPIE, rovádě klasické SPIE analýzy, a generova výsledky v sandardním SPIEG.6 varu. Ze současných rogramů jsou o naříklad PSice, HSice (sandard SPIE3), WINSice (sandard SPIE3), Micro-a od verze IV, Mulisim a další. Pro Sice-like a Sice-comaible simulační rogramy jsou charakerisické yo základní analýzy: Transien, D, A. Při analýze Transien má uživael možnos využíva rogram jako ineligenní oscilosko k vizualizaci časových růběhů naěí, roudů a dalších obvodových veličin. Analýza D imiuje zv. charakerograf, j. řísroj ro snímání sejnosměrných charakerisik součásek nebo celých bloků. Příkladem může bý vykreslování síě výsuních charakerisik ranzisorů. Analýza A umožňuje analýzu kmiočových charakerisik obvodů, j. chování linearizovaných modelů obvodů ři jejich malosignálovém buzení v závislosi na kmioču. Pro běžného uživaele simulačního rogramu Sice-like nebo Sice-comaible jsou důležié dvě věci:. Je možné zcela zdarma a legálně oužíva kvaliní simulační sofware. Věšinou jde o volně šířielné rofesionální roduky s určiou limiací na maximální velikos analyzovaného obvodu, říadně s blokováním určiých druhů analýz.. Knihovny součásek, z nichž lze sesavova simulované obvody, lze neomezeně rozšiřova sahováním modelů SPIE z Inerneu. Z dosuných rofesionálních rogramů lze dooruči zejména rogram Micro-a, kerý ředsavuje šičkový a uživaelsky velmi řívěivý Sice-comaible simuláor. Jeho volně šířielná evaluační verze umožňuje analyzova relaivně složié obvody. Součásí insalace rogramu je množsví vzorových simulačních úloh, keré okrývají širokou škálu analogových, digiálních i smíšených alikací. Shrnuí a zobecnění: Při ruční analýze nelineárních obvodů bez využií očíačových simulačních rogramů jsme ze zjevných důvodů omezeni na relaivně jednoduché úlohy, ředevším na analýzu sejnosměrných oměrů. Podle oho, v jaké formě máme k disozici modely nelineárních rvků, zvolíme buď očení nebo grafickou meodu, říadně jejich kombinace. Při volbě očení meody je však řeba ak jako ak využíva očíače na úrovni rogramů ro vědeckoechnické výočy, v mezním říadě alesoň kalkulačky (okud možno rogramovaelné). Pro určiou řídu nelineárních obvodů, obsahujících diody a ranzisory, oužijeme s výhodou osuy založené na odhadech, osané v čási Ve všech říadech ale laí, že ruční analýza bude ím efekivnější, čím více orozumíme funkci jednolivých součásek obvodu i funkci analyzovaného obvodu jako celku. Tao zásada se zde rojevuje ješě o oznání silněji než ři analýze lineárních obvodů. Solidní ráce s nelineárními obvody je dnes nemyslielná bez rofesionálních simulačních rogramů, jejichž výsuy oměrně věrně koírují chování reálných obvodů, a o díky roracovaným modelům součásek a výkonnému výočenímu jádru. Díky Inerneu jsou akovéo rogramy řísuné rakicky ro každého zájemce. 45

154 Elekronické obvody I 4.4 VYŽITÍ OPEÁTOOVÉHO POČT K ANALÝZE OBVODŮ Při analýze lineárních obvodů, keré obsahují kaaciory, indukory, říadně další modely kmiočově závislých součásek, se běžně využívá oeráorového oču, založeného na Lalaceové ransformaci. Exisuje několik zůsobů využií oeráorového oču k řešení obvodů. Shrnuí je uvedeno v říloze Oeráorový oče v elekroechnice. Nejznámější osuy sočívají v om, že výchozí schéma lineárního obvodu se řevede na zv. oeráorové schéma, a o ak, že každý obvodový rvek se nahradí svým náhradním oeráorovým modelem a signály funkce času se nahradí jejich Lalaceovými obrazy. Oeráorový model rezisoru je oě rezisor. Řešíme-li obvod s nulovými očáečními odmínkami, ak rvky yu a L jsou modelovány jejich oeráorovými imedancemi / a L. V říadě nenulových očáečních odmínek jsou yo imedance dolněny o řídavné zdroje naěí nebo roudu (viz říloha). Počáečními odmínkami se zjednodušeně rozumí naěí na kaaciorech a roudy indukory obvodu v očáečním čase analyzovaných růběhů. Oeráorové schéma se řeší někerou z heurisických nebo algorimických meod analýzy. Výsledkem řešení je ovšem Lalaceův obraz hledané obvodové veličiny. Časový růběh signálu lze urči zěnou Lalaceovou ransformací. Mnohdy nejsou cílem analýzy časové růběhy, ale naříklad kmiočové charakerisiky. Tyo snadno získáme z oeráorové obvodové funkce o subsiuci jω. 46

155 5 Obecné vlasnosi lineárních obvodů 5 OBENÉ VLASTNOSTI LINEÁNÍH OBVODŮ A NÁSTOJE PO JEJIH POPIS Lineární nebo linearizované obvody, využívané v nejrůznějších alikacích, jsou velmi různorodého charakeru. Přeso je však sojují určié obecné vlasnosi, keré vylývají ředevším z oho, že chování ěcho obvodů je odřízeno na rozdíl od obvodů nelineárních velmi secifickému rinciu, a o rinciu suerozice. Namákou jmenujme někeré obecné vlasnosi lineárních obvodů: může v nich nasa harmonický usálený sav, neobohacují sekrum vsuního signálu, lze je modelova kmiočovou charakerisikou, ři zdvojnásobení velikosi budicího signálu dojde k zdvojnásobení odezvy na signál, účinky nezávislých budicích zdrojů na obvod se nezávisle sčíají. Díky obecným vlasnosem, keré budou v éo kaiole osány, můžeme lée cháa chování ěcho obvodů ři jejich inerakci se signály. Na rinciu suerozice je založeno několik velmi užiečných násrojů, jak yo inerakce jednoduše oisova a modelova. V kaiole se seznámíme mj. s využiím oeráorového oisu lineárních obvodů, kerý nám umožní eleganně modelova vlasnosi a chování obvodů v nejrůznějších režimech jejich činnosi. 5. ZÁKLADNÍ POJMY 5.. Princi suerozice a jeho důsledky Termínem linearia se označuje roorcionalia (římá úměra) mezi říčinou (vsuem) a účinkem (výsuem). Navíc eno ermín zahrnuje i suerozici říčin a účinků. Tyo dva aseky lineariy se nazývají homogenia a adiivia (odrobnosi viz [5, ]). Vlasnos homogeniy nám oskyuje následující volnos ři exerimenování s lineárními obvody: Je řeba změři odezvu zesilovače na skokovou změnu vsuního naěí z V na V. Na vsuu však máme k disozici ouze zdroj naěí mv. Zjisíme edy odezvu obvodu na skok z V na mv a ak zjišěnou odezvu krá zesílíme. Při ěcho exerimenech je však řeba dáva ozor na o, že skuečný obvod se chová lineárně jen ro určié rozmezí signálových hodno, keré sice mohou bý bezresně řekročeny v růběhu analýz nad lineárním modelem, nikoliv však u samoného obvodu. Velmi užiečná je i vlasnos adiiviy, kerá nabízí zjednodušova výočy odezev obvodu na dané buzení, a o v časové i kmiočové oblasi. Složiý vsuní signál aroximujeme součem signálů jednodušších. Jsme-li schoni urči odezvy obvodu na každý z ěcho jednoduchých signálů, ak o sečení dílčích odezev získáme odezvu na složiý signál. Na éo myšlence je založena nař. meoda výoču reakce obvodu na signál omocí zv. konvoluce nebo meoda Fourierovy řady a kmiočové charakerisiky, kdy růchod eriodického signálu obvodem řešíme rozfázovaně jako růchod harmonických složek, z nichž se vsuní signál skládá (viz obr. 3.4 na sr. 79). V čási 5.. ukážeme, že okud obvod obsahuje akumulační rvky, ak reakce obvodu na vsuní signál bude závise i na očáečním savu ěcho rvků. Naříklad o řiojení dvojólu yu k baerii bude růběh naěí naěí na kaaciou závise i na om, na jaké očáeční naěí byl kaacior nabi řed řiojením. Akumulační rvky se oiž chovají jako řídavné zdroje v obvodu, konkréně nabiý kaacior jako zdroj naěí a indukor jako zdroj roudu. Princi suerozice nám umožní díva se na reakci obvodu na vsuní signál jiným ohledem: signály v obvodu lze cháa ak, že jsou složeny ze dvou čásí: z reakce na signál a z reakce na očáeční energeický sav akumulačních rvků. ozložením zv. celkové odezvy na vynucenou a řirozenou (viz čás 5.) můžeme dosáhnou odsaných zjednodušení. Princiu suerozice využijeme i k ředsavě, že odezva obvodu se skládá z zv. řechodné a usálené složky. Zajímá-li nás naříklad ouze usálená odezva, můžeme ouží rychlou meodu, kerá bude řechodnou složku ignorova. 47

156 Elekronické obvody I 5.. Sav, očáeční odmínky a řád lineárního obvodu Akumulační rvky v servačném obvodu se chovají jako aměť: energie, nahromaděná v kaacioru, je úměrná kvadráu naěí na kaacioru, energie indukoru zase kvadráu roudu. vedené naěí a roudy jsou výsledkem nabíjení akumulačních rvků v minulosi a mají vliv na chování obvodu v budoucnosi. Obvod s aměí se nazývá dynamický. Není-li v obvodu aměť, ak jde o obvod saický. Čím věší oče akumulačních rvků je obsažen v obvodu, ím rozsáhlejší je aměť. Obsah -sav aměi v konkréním okamžiku lze osa množinou čísel velikosí naěí na kaaciorech a roudů indukory v omo okamžiku. Tyo savové veličiny mají seciální vlasnos: mohou se v čase měni jen sojiě, j v grafech jejich časových závislosí se nemohou objevova skoky. Pozorujeme-li, res. analyzujeme-li elekrický obvod z určiého výchozího okamžiku, ak hodnoy savových veličin v omo výchozím časovém bodu nazýváme fyzikální očáeční odmínky. Tyo odmínky edy oisují sav aměi obvodu na očáku analýzy. Poče nezávislých savových veličin, j. veličin, keré se mohou měni volně jedna nezávisle na druhé, se nazývá řád obvodu n. Závislé veličiny jsou naříklad naěí na kaaciorech, keré jsou zaojeny aralelně nebo roudy indukorů v sérii. Závislé jsou rovněž naříklad naěí na kaaciorech v sérii, k nimž je řiojen ideální zdroj naěí, nebo roudy indukorů, keré jsou sojeny do uzlu se zdrojem roudu. Plaí edy řád obvodu oče oče L v obvodu. (5.) V daném okamžiku je výsu určen jednoznačně hodnoou vsuního signálu a savem aměi Je-li obvod lineární, ak výsuní signál je dán lineární kombinací vsuního signálu a savových veličin. Sav aměi je výsledkem ůsobení vsuu v minulosi. Porovnáváme-li sav aměi ve dvou o sobě jdoucích okamžicích, ak zjisíme, že se aměť osuně řeisuje ak, že rychlos změny savu aměi závisí na momenálním savu aměi a na vsuním signálu. Naříklad ři nabíjení kaacioru na naěí baerie řed sériový rezisor bude rychlos nabíjení závise nejen na naěí baerie, ale i na om, na jaké naěí je kaacior momenálně nabiý, kolik mu zbývá do úlného nabií Vynucená, řirozená a celková odezva lineárního obvodu Z ředchozího exu je zřejmé, že obvod reaguje na zdroje dvojího yu: na vsuní signál a na očáeční energeický sav vniřních akumulačních rvků (sav aměi), keré se chovají jako řídavné zdroje. Jedná-li se o lineární obvod, v němž laí rinci suerozice, ak lze výslednou odezvu obvodu rozloži na dvě čási: kde výsu() vynucená odezva() řirozená odezva(), (5.) vynucená odezva (angl. Forced esonse) je odezva obvodu na signál, kerý ůsobí od očáečního času ři vynulované aměi v čase, j. ři nulových očáečních naěích na kaaciorech a nulových očáečních roudech indukory, řirozená odezva (angl. Zero-Inu esonse nebo Naural esonse nebo Free Mode) je odezva obvodu na jeho očáeční sav, j. na nenulové fyzikální očáeční odmínky ři neůsobení vsuních signálů. Příkladem může bý kaacior, nabiý na naěí V, kerý je v čase řiojen řes rezisor k baerii o naěí 6V. Nabíjecí exonenciála začíná z výchozího naěí V a směřuje k hodnoě usáleného savu 6V. Teno děj lze rozloži na dva dílčí děje: Kaacior se nabíjí na naěí baerie z očáeční hodnoy naěí V (uvažuje se vynulovaná aměť, vynucená odezva na vsu). 48

157 5 Obecné vlasnosi lineárních obvodů Kaacior se vybíjí z očáečního naěí V řes rezisor (uvažuje se vynulovaný vsu zkra namíso baerie, řirozená odezva na očáeční sav). Přirozená odezva edy ukazuje, co se sane, onechá-li se obvod "sám sobě". Je-li naříklad aralelní rezonanční obvod onechán "sám sobě", v důsledku rozylu energie na odorových rvcích obvod nakonec dosěje do nulového savu. Přechod z výchozího do ohoo konečného savu se děje formou exonenciálně lumených harmonických kmiů. Dolníme-li rezonanční obvod řídicím mechanismem, kerý hlídá sav obvodu a zěně dodává do obvodu energii kryjící jeho zráy, dosaneme osciláor. Přirozená odezva bude nyní harmonická bez exonenciálního lumení. Nebude-li však regulační mechanismus srávně seřízen, může řirozená odezva zanika (nevykomenzování zrá), nebo se může naoak objevi endence jejího neohraničeného růsu (řekomenzování zrá) Sabilia lineárního obvodu Z ředchozího říkladu je zřejmé, že řirozená odezva může nabýva různých forem: - Časem zaniká. Pak obvod nazýváme asymoicky sabilní vzhledem k výchozímu savu. - sálí se v konečných mezích (buď eriodicky se oakující nebo konsanní sav). O obvodu se říká, že je sabilní (říadně že je na mezi sabiliy) vzhledem k výchozímu savu. - Má endenci k neohraničenému růsu. Obvod je nesabilní vzhledem k výchozímu savu. Obvody obsahující ouze asivní rvky yu, L a mají vždy sabilní chování. Příomnos akivního rvku s vnějším řívodem energie (ranzisor, oerační zesilovač, unelová dioda, ) může bý zdrojem nesabiliy. Je zřejmé, že růběh řirozené odezvy bude závise na volbě výchozího savu. Z ředchozích říkladů je ale vidě, že endence ohybu (konvergence, divergence) zde není výchozím savem ovlivněna. Je omu ak roo, že obvod je lineární. Tendence ohybu je určována vlasnosmi obvodu, keré v říadě lineariy nezávisejí na jeho savu. Jiná siuace nasává u nelineárních obvodů, kdy ři někerých očáečních savech může řirozená odezva zanika a ři jiných zase divergova. Tesováním řirozené odezvy edy můžeme zjišťova následující informace o obvodu: - Sabiliu (sledováním konvergence). - Lineariu (sledování "odobnosi" odezev ři různých očáečních savech). - Dynamické vlasnosi (sledování charakeru řechodu obvodu do nového savu: rychlos řechodu, monoonicia nebo zakmiávání, frekvence zakmiávání aod.) K vyhodnocování ěcho esů, zejména osledně jmenovaného, je zaořebí určiých zkušenosí a eoreických znalosí z oblasi časových a sekrálních charakerisik obvodů a jejich souvislosí. Těmio oázkami se budeme zabýva v čási hování obvodu ři buzení vnějším signálem je složiější, neboť je ovlivňováno i charakerem ohoo signálu. Z hlediska osuzování sabiliy buzeného obvodu se oužívají dva základní řísuy: Obvod je sabilní odle Ljaunova, okud se všechny savové veličiny obvodu budou ohybova v rámci konečných, ohraničených hodno. Obvod je sabilní ve smyslu ohraničený vsu ohraničený výsu (angl. BIBO Bounded Inu Bounded Ouu), jesliže každý budicí signál, ohraničený v hodnoách, vyvolává výsuní signál, rovněž ohraničený v hodnoách. Lze dokáza, že ro věšinu lineárních obvodů je BIBO sabilia oéž co asymoická sabilia []. Z hlediska konsrukéra nebo uživaele elekronického obvodu, naříklad zesilovače, kerý má zracováva signály v lineárním režimu, je rakicky vždy vyžadováno, aby obvod byl asymoicky sabilní. Obvody, keré se eoreicky chovají ak, že se nacházejí na mezi sabiliy, jako naříklad inegráory, mohou v důsledku vždy říomných reálných vlivů vykazova nesabilní chování. Tyo negaivní jevy lze vylouči, okud je daný obvod součásí složiějšího obvodu, v němž ůsobí sabilizační účinky záorné zěné vazby. 49

158 Elekronické obvody I 5. ZÁKLADNÍ PŘENOSOVÉ HAAKTEISTIKY LINEÁNÍHO OBVOD A JEJIH POŽITÍ 5.. Kmiočová, imulsní a řechodová charakerisika a oeráorová řenosová funkce Čveřice běžně oužívaných charakerisik, keré vyjadřují vsuně-výsuní řenosové vlasnosi obvodů, je shrnua v Tab. 5.. Plaí mezi nimi jednoznačné řevodní vzahy. Známe-li jednu z charakerisik g(), h() nebo K(), lze osaní odvodi. Tab. 5.. Přenosové charakerisiky lineárního obvodu a jejich vzájemné vzahy: Komlexní kmiočová charakerisika K & ( jω), oeráorová řenosová funkce K(), imulsní charakerisika g(), řechodová charakerisika h(). Symboly F a L ředsavují Fourierovu a Lalaceovu ransformaci. K & ( jω) K & ( jω) K K ( ) & ( jω) K & ( jω) K ( ) g ( ) h ( ) ro jω { } ( ) K ro jω F { g( ) } jω F{ h( ) } K ( ) L { g( ) } L { h( ) } g ( ) K & F ( jω) L { K( ) } g ( ) { h() } jω h ( ) K& F ( jω) K( ) Kmiočové charakerisiky: Časové charakerisiky: d d L g( τ ) dτ h ( ) - Jejich odsaa je vysvělena na sr. 76. Lze z nich urči usálenou odezvu obvodu na harmonický signál různého kmioču, res. na obecný signál se známým sekrem. - imulsní charakerisika vynucená odezva obvodu na Diracův imuls, - řechodová charakerisika vynucená odezva obvodu na jednokový skok. Oeráorové charakerisiky: - řenosová funkce oměr Lalaceových obrazů vynucené odezvy obvodu na vsu a Lalaceova obrazu vsuního signálu. Význam ěcho charakerisik sočívá v om, že z jejich secifických vlasnosí lze mnohdy odhadnou na rvní ohled chování obvodu ři ůsobení různých signálů, jakož i schonos obvodu řenáše ze vsuu na výsu různě rychlé signálové změny. Každá z charakerisik vyjadřuje dynamické vlasnosi obvodu z jiného úhlu ohledu. Výše uvedené kmiočové a časové charakerisiky lze oměrně snadno získa exerimenálně. Zůsob měření kmiočové charakerisiky byl osán v čási O zůsobech sanovení časových charakerisik ojednáme níže. Oeráorové řenosové funkce lze urči analýzou obvodu zůsoby, keré jsou osány v říloze Oeráorový oče v elekroechnice. V čási bylo ukázáno, že kmiočová charakerisika obvodu sice oisuje jeho řenosové vlasnosi ři harmonickém buzení, můžeme jí však využí ro zkoumání řenosu neharmonických signálů, okud známe jejich harmonické složky. Obdobný zůsob ráce je běžný i u časových charakerisik: známe-li odezvu na Diracův imuls, res. na jednokový skok, ak lze urči i odezvu na 5

159 5 Obecné vlasnosi lineárních obvodů jiný známý budicí signál. Teno osu, kerý vychází z ředsavy rozkladu signálu na elemenární segmeny, oíšeme v čási Jakýmsi zobecněním, res. komakní formou výše uvedených charakerisik je oeráorová řenosová funkce. V čási 5..4 ukážeme, jak jednoduché je z řenosové funkce vyjádři kmiočovou, imulsní i řechodovou charakerisiku, jakož i další vlasnosi obvodu. Souvislosi mezi jednolivými charakerisikami lineárního obvodu jsou řehledně znázorněny na obr. P.8 v říloze Oeráorový oče v elekroechnice. 5.. Přechodová a imulsní charakerisika a jejich vzah ke kmiočové charakerisice Přechodová charakerisika (někdy éž řechodná, angl. Se esonse) obvodu h() je jeho vynucená odezva na jednokový skok. Před řivedením skoku se edy obvod musí nacháze v nulovém očáečním savu. Z orovnání řechodové charakerisiky a jednokového skoku můžeme osoudi, jakým zůsobem byl skok deformován. Z charakeru deformace lze usuzova na dynamické vlasnosi obvodu. Na obr. 5. je říklad analogového obvodu a jeho odezvy na jednokový skok. Jde o odorověkaaciní dělič naěí, omocí něhož lze naříklad modelova chování měřicí sondy k osciloskou. V čase, kdy se vsuní signál rudce mění z nuly na úroveň V, je obvod vysaven náročnému esu jak je schoen reagova na uo rychlou změnu. Z obr. 5. b) je zřejmé, že skoková změna se řenese na výsu rovněž skokově, ovšem s menší úrovní skoku /( ). Je omu ak roo, že v rvním okamžiku byly oba kaaciory vybiy a ředsavovaly edy naěťový zkra, akže zočáku se na řenosu neodílejí "zkraované" rezisory a. Skok se edy na výsu řenese s dělicím oměrem kaaciního děliče (obr. 5. c). Pak dochází k řechodnému jevu a sysém sěje do nového usáleného savu. Teno sav je charakerisický ím, že kaaciory jsou již lně nabiy a neeče jimi roud. V omo usáleném savu se roo na řenosu naěí odílejí ouze rezisory, usálená úroveň řechodové charakerisiky je dána dělicím oměrem odorového děliče /( )(obr. 5. d). () u u h() h() a) b) () u u u u c) d) u u Obr. 5.. a) odorově-kaaciní dělič naěí, b) jeho řechodová charakerisika, c) řenos rudkých signálových změn je určován kaaciním děličem, d) řenos omalých změn a neroměnného signálu je určován odorovým děličem. Na obvodu je zajímavé, že okud jsou řenosy kaaciního a odorového děliče sejné,.j., neboli, (5.4) 5

160 Elekronické obvody I ak charakerisika nevykazuje řechodovou složku a je skoková sejně jako vsuní signál. Tohoo jevu se využívá k zv. vykomenzování děliče naěí. Takový dělič se z hlediska vsuně-výsuního chování jeví jako saický sysém bez aměi, kerý do signálu nezanáší lineární zkreslení. Zobecníme-li oznaky z říkladu, můžeme konsaova, že: Veličina h( ) (limia zrava) udává schonos obvodu řenáše rychlé signálové změny (skoky). Je-li h( ) > (res. <, res. ), ak jsou yo rychlé změny zesilovány (res. zeslabovány, res. zcela olačovány). Ve skuečnosi žádný reálný sysém není schoen řenés bez zkreslení ze vsuu na výsu úsek signálu s nekonečně velkou derivací, což je dáno jeho servačnosí. Proo řesně vzao jsou řechodové charakerisiky reálných sysémů sojié v očáku souřadnic a h( ). Můžeme se o om řesvědči na našem obvodu z obr. 5., budeme-li naříklad uvažova nenulový vniřní odor zdroje naěí. Ze sudia seker a kmiočové charakerisiky víme, že schonos řenáše rychlé signálové změny lze vyjádři i oměrem amliud výsuního a vsuního signálu sysému v harmonickém usáleném savu ro kmioče f. Proo laí ( ) K( ), h (5.5) kde K( ) je limia, k níž se blíží graf amliudové kmiočové charakerisiky ro f. Veličina h( ) (okud exisuje) udává schonos obvodu řenáše konsanní (neměnný) signál ze vsuu na výsu. Je omu ak roo, že o odeznění reakce na očáeční skok obvod reaguje už jen na konsanní jednokovou úroveň vsuu, je v sejnosměrném usáleném savu. Zde je rovněž zřejmá souvislos mezi řechodovou a kmiočovou charakerisikou: Schonos řenáše relaivně omalé změny lze vyjádři i řenosem amliud harmonického signálu ro f. Je edy h K (5.6) ( ) ( ). Souvislosi mezi liminími body řechodové a amliudové kmiočové charakerisiky jsou znázorněny ro říad obvodu z obr. 5. a) na obr. 5.. h() h() h() K(f) a) f K(f) f b) c) Obr. 5.. Souvislosi mezi souřadnicemi řechodové charakerisiky h( ) a h( ) a souřadnicemi amliudové kmiočové charakerisiky K( ) a K() obvodu z obr. 5. a). Obrázek c) znázorňuje siuaci, kdy v důsledku vhodné volby aramerů obvodu došlo k jeho degeneraci na neservačný obvod. K(f) f 5

161 5 Obecné vlasnosi lineárních obvodů Velmi zajímavé jsou souvislosi mezi celkovými růběhy řechodové a kmiočové charakerisiky. Z růběhu řechodové charakerisiky je možno usuzova na yy módů obvodu (viz sr. 77 a [5]), keré určují i charaker kmiočové charakerisiky. Objevuje-li se v řechodové charakerisice dominanní kmiavý mód, ak lze očekáva v blízkosi ohoo kmioču rezonanční řevýšení amliudové kmiočové charakerisiky. Průběh řechodové odezvy je však sja nejen s amliudovou charakerisikou, ale silně závisí i na fázové kmiočové charakerisice. Přechodovou charakerisiku lze exerimenálně sanovi ak, že obvod budíme eriodickým obdélníkovým signálem a na osciloskou sledujeme odezvu. Doba rvání jednoho obdélníkového imulsu musí bý ak dlouhá, aby byl dosaek času na vykreslení celé řechodové charakerisiky, j. aby se obvod dosal do sejnosměrného usáleného savu. Před říchodem dalšího imulsu je řeba zajisi nulování očáečního savu, což lze věšinou zabezeči římo ůsobením naěí nulové úrovně v době mezi sousedními imulsy. Imulsní charakerisika (někdy éž imulsová, angl. Pulse esonse) obvodu g() je jeho vynucená odezva na Diracův imuls. Přivedením Diracova imulsu na vsu obvodu odrobujeme eno obvod ješě náročnějšímu esu než v říadě jeho vybuzení jednokovým skokem, kdy obvod reagoval na konečnou změnu signálu v nekonečně krákém časovém inervalu. Nyní má reagova na dvě nekonečně velké změny v nekonečně krákém inervalu o sobě: na změnu z do a z do. Z kaioly je známo, že že čím užší je imuls, ím širší má sekrum. Nekonečně úzký Diracův imuls má nekonečně široké sekrum, akže es Diracovým imulsem je ekvivalenní siuaci, kdy řivedeme na vsu obvodu současně harmonické signály v kmiočové škále od Hz až do Hz. Tuo množinu signálů není schoen reálný obvod řenés bez zkreslení, akže na imulsní charakerisiku lze ohlíže jako na zdeformovaný Diracův imuls. Podle charakeru deformace můžeme usuzova na dynamické vlasnosi obvodu odobně jako v říadě řechodové charakerisiky. Z kaioly.. víme, že Diracův imuls je derivací jednokového skoku a jednokový skok je zase inegrálem Diracova imulsu (sr. 35). Využijme éo souvislosi k určení vzahu mezi řechodovou a imulsní charakerisikou. Z eorie sysémů je známa následující oučka [5]: Vynucená odezva lineárního sacionárního sysému na časovou derivaci (inegrál) signálu je časovou derivací (inegrálem) vynucené odezvy na eno signál. Tao oučka vylývá z rinciu suerozice. Důkaz je uveden naříklad v [5]. Z oučky ak vylývá, že: Imulsní charakerisika je derivací řechodové charakerisiky: g ( ) h ( ), (5.7) a naoak řechodová charakerisika je inegrálem imulsní charakerisiky: h( ) g(α ) dα. (5.8) Vzah mezi g() a h() je vysvělen na obr. 5.3 na říkladu obvodu z obr. 5. a). Na vsu ůsobí rozdíl dvou jednokových skoků [() (- )]/, kerý ro konverguje k Diracovu imulsu δ(). Odezva, neboli rozdíl odovídajících osunuých a váhovaných řechodových charakerisik, ak konverguje k imulsní charakerisice. Průběh imulsní charakerisiky z obr. 5.3 b) lze získa římo grafickou derivací křivky h() z obr. 5. b). V očáku se objeví Diracův imuls o mohunosi h( ), což je derivace skoku z hodnoy na h( ). Zoakujme, že eno imuls není říomen v imulsních charakerisikách reálných obvodů, u nichž je řechodová charakerisika sojiá v očáku (h( )). 53

162 Elekronické obvody I ()/ g() h( ) h()/ / h( ) h( ) -h(- )/ / -(- )/ Obr Odezvu obvodu z obr. 5. a) na obdélníkový imuls lze složi ze dvou odezev na skokové signály; ro ao odezva konverguje k imulsní charakerisice. a) b) Z grafu imulsní charakerisiky lze usuzova, že obvod dobře reaguje na rychlé změny vsuního signálu, neboť vsuní Diracův imuls byl řenesen na výsu, i když jeho ůvodní mohunos se zmenšila na /( ). Mohunos ohoo imulsu edy udává sejnou informaci jako veličina h( ) v řechodové charakerisice, oiž míru řenosu rychlých signálů. Vsuní Diracův imuls však není řenesen ideálně, o čemž svědčí exonenciální doznívání imulsní charakerisiky. Zbývá objasni, jak je možné z imulsní charakerisiky urči schonos obvodu řenáše omalé změny signálu. Víme, že řenos omalých změn lze urči z řechodové charakerisiky jako h( ). Ze vzahu mezi řechodovou a imulsní charakerisikou vylývá, že h ( ) g( α ) dα. (5.9) Proo řenos omalých změn je dán celkovou lochou, ohraničovanou imulsní charakerisikou a osou času. V našem konkréním říadě je ao locha věší, než mohunos Diracova imulsu v očáku, akže řenos omalých změn je věší než řenos rychlých změn. To je zcela v souladu s našimi ředchozími zjišěními. Nabízí se oázka, jakým zůsobem je možno zjisi imulsní charakerisiku obvodu exerimenálně, roože, jak známo, vlasní budicí Diracův imuls je nerealizovaelný. Řešení je naznačeno již na obr Obvod je možné budi imulsy, keré jsou odobné Diracovým imulsům. Je-li imuls dosaečně úzký, o znamená je-li jeho šířka několikanásobně menší, než kolik činí časové konsany obvodu, ak odezva na eno imuls je až na mulilikaivní konsanu rakicky oožná s imulsní charakerisikou. Pak laí: odezva na kráký imuls imulsní charakerisika x locha imulsu. (5.) Je-li naříklad ouži měřicí imuls o úrovni 5V a šířce µs, ak funkční hodnoy imulsní charakerisiky budou oroi změřeným krá věší (/( )). P5. rčee řechodovou a imulsní charakerisiku článku na obr k n u () u () Obr.5.4. Analyzovaný článek (viz éž obr. 3.3 na sr. 77). 54

163 5 Obecné vlasnosi lineárních obvodů Řešení: Přechodovou charakerisiku článku určíme odle její definice jako časový růběh naěí u (), řivedeme-li v čase na vsu článku naěí V, řičemž v okamžiku řivedení ohoo naěí byl kaacior vybiý. Řešením ohoo jednoduchého řechodného děje je exonenciální nabíjecí křivka z očáeční hodnoy V do konečné hodnoy V: τ h( ) u ( ) ( e )( ). Vzorec řechodného děje je násoben jednokovým skokem, kerý maemaicky zabezečuje, že řechodová charakerisika je nulová ro záorné časy. Nabíjení robíhá s časovou konsanou τ 6µs. harakerisika je znázorněna na obr Imulsní charakerisiku, j. vynucenou odezvu na jednokový imuls, získáme nejohodlněji derivací řechodové charakerisiky: τ τ τ g( ) h ( ) ( e ) ( ) ( e ) ( ) e ( ). τ Při úravě vzorce bylo využio oho, že derivací jednokového skoku je jednokový imuls. Ten je násoben funkcí (-e -/τ ), kerá je nulová ro čas. Druhý člen imulsní charakerisiky je edy nulový. τ, 6ms /65 u u [V] u d/d u/65,63v u /65,5,5 řechodová charakerisika u,368 imulsní charakerisika/65 [ms] τ, 6ms [ms] Obr.5.5. Přechodová a imulsní charakerisika článku z obr Proože maximální hodnoa imulsní charakerisiky je /τ 65V, ro leší srovnání s řechodovou charakerisikou je imulsní charakerisika 65x zeslabena. Všimněe si, že maximální hodnoa imulsní charakerisiky ro vychází /τ 65 V. Takováo naěťová šička by se skuečně objevila na výsuu ideálního článku o řivedení Diracova imulsu. Z rakického ohledu je však řeba vníma dvě věci: a) Diracův imuls nelze vyrobi, b) odezva obvodu může bý ovlivněna araziními indukčnosmi součásek a sojů. P5. rčee vynucenou odezvu článku z obr. 5.4 na obdélníkový imuls o úrovních V a 5V Řešení: a šířce ms. Délka rvání imulsu je odsaně kraší než je časová konsana článku. Proo můžeme ouží oučku (5.): 55

164 Elekronické obvody I Odezva na imuls g() e -/τ (),35 e -/τ () [V]. článek edy zareaguje naěťovou šičkou o úrovni 3,5mV. Výsuní naěí bude exonenciálně zanika s časovou konsanou 6µs. Pokud by šířka imulsu nebyla zanedbaelná vůči časové konsaně obvodu, uvedený osu by vedl na velkou výočení chybu. Přesný výsledek bychom získali složiějšími osuy, osanými v čásech 5..3 a Sanovení vynucené odezvy obvodu z imulsní a řechodové charakerisiky Meoda konvolučního inegrálu Vzorec (5.), říadně výsledek říkladu P5. lze okomenova ak, že okud je imuls, ůsobící na obvod, dosaečně úzký, ak obvod na něj reaguje nezávisle na varu ohoo imulsu, nýbrž ouze v závislosi na om, jaká je jeho mohunos. Onou reakcí je imulsní charakerisika, násobená mohunosí imulsu. Libovolný budicí signál lze edy myšleně rozloži na dosaečně úzké segmeny odle obr. 5.6 a), každý o šířce. Z hlediska účinků na obvod je ak eno signál ekvivalenní jinému budicímu signálu na obr. 5.6 b), kerý je složen z oslounosi Diracových imulsů s modulovanou mohunosí. Vynucená odezva obvodu je ak dána součem říslušných imulsních charakerisik. Přesného řešení dosáhneme ro. x(k ) x(k ) x() k a) k b) Obr Princi náhrady sojiého signálu Diracovými imulsy. Maemaicky je možno náhradu signálu x() Diracovými imulsy zasa následovně: k x ( ) x( k ) δ ( k ). (5.) Pro řechází suma na ravé sraně (5.) v inegrál a celý vzorec v nám již známý maemaický ois filračního účinku Diracova imulsu (.68): x ( ) x( α ) δ ( α ) dα. (5.) Předokládejme, že x() je vsuní signál obvodu s imulsní charakerisikou g(). Vynucená odezva obvodu na imuls δ(-α) edy bude g(-α). Vynucená odezva y() obvodu na signál x() edy bude y ( ) x( α ) g( α ) dα. (5.3) Inegrál na ravé sraně rovnice se nazývá konvolučním inegrálem neboli konvolucí funkcí x a g. Oerace konvoluce se značí zkráceně symbolem * (konvoluční součin), neboli y ( ) x( ) * g( ). (5.4) 56

165 5 Obecné vlasnosi lineárních obvodů Vynucená odezva obvodu na signál x je dána konvolučním součinem ohoo signálu a imulsní charakerisiky obvodu. Lze snadno ukáza, že x()*g() g()*x(), neboli že současně laí y ( ) g( α ) x( α ) dα. (5.5) Z rovnice (5.3) vylývá, že řirozenou vlasnosí obvodu je jeho inegrační charaker, j. endence inegrova budicí signál. Nejedná se však o čisou, nýbrž váženou inegraci: Každá hodnoa budicího signálu je řed inegrací násobena váhovou funkcí imulsní charakerisikou obvodu. Tao charakerisika edy rozhoduje o om, jakou vahou řisívají jednolivé segmeny vsuního signálu k vorbě odezvy. eálný elekrický obvod je kauzální, o znamená, že imulsní charakerisika odezva na Diracův imuls nemůže časově ředbíha eno imuls, akže g() ro <. Poom lze uravi inegrační meze v konvolučních inegrálech: horní mez v (5.3) na, dolní mez v (5.5) na nulu: y( ) x( α ) g( α ) dα g( α ) x( α ) dα. (5.6) Je-li navíc vsuní signál nulový ro <, ak y( ) x( α ) g( α ) dα g( α ) x( α ) dα. (5.7) Tvary (5.7) se časo objevují v lierauře jako jediné, ovšem je řeba si amaova, že nejsou obecné a že byly zjednodušeny ze vzahů (5.3) a (5.5) za určiých ředokladů. P5.3 rčee vynucenou odezvu článku z obr. 5.4 na naěí, lineárně rosoucí v čase o rychlosi V/s. Řešení: Vsuní naěí lze modelova rovnicí u ( ) ( ). Z říkladu P5. známe imulsní charakerisiku článku τ g( ) e ( ). τ K výoču odezvy jakožo konvoluce vsuního signálu a imulsní charakerisiky můžeme ouží vzorce (5.7) (vysvělee roč): τ τ u ( ) u( α) g( α) dα α( α) e ( α) dα e αe dα τ τ. α Obě funkce yu jednokový skok nabývají v rámci inegračních mezí jednokových hodno, roo mohly bý z inegrandu odsraněny. Výsledný inegrál lze vyřeši nař. meodou er ares nebo výsledek nalezneme naříklad v abulkách []: αe α τ dα τ e α α τ τ ( ) τ ( ) τ τ Po dosazení do ředchozího vzorce a úravě dosáváme výsledek: τ u ( ) [ τ ( e )]( ). e τ. α τ 57

166 Elekronické obvody I 6k n u[mv],8,6 u () τ τ u () u (),4, u (),,4,6,8 [ms] Obr Vynucená odezva článku na lineárně rosoucí vsuní naěí. První člen na ravé sraně rerezenuje vsuní signál. Druhý člen je edy rozdíl mezi výsuním a vsuním naěím. V usáleném savu, edy ro, je edy výsuní naěí oroi vsunímu zmenšeno o hodnou τ. Jde o zv. rychlosní chybu, vyvolanou naříklad u mechanických záznamových zařízení servačnosí záznamové čási. Výsledky jsou v grafické formě uvedeny na obr Meoda konvolučního inegrálu se říliš neoužívá k echnickým výočům vynucených odezev. Důvod je zřejmý z říkladu P5.3: zdlouhavé řešení inegrálů. Kromě oho nesrávné oužívání vzorců (5.6) a (5.7) může vés k chybám. řednosňují se efekivnější meody, založené na oeráorovém oču (viz říloha Oeráorový oče v elekroechnice ). Přeso není osvojení éo meody zbyečné, neboť nám oskyuje meodiku zkoumání vorby odezvy obvodu na vsuní signály různého charakeru. Daleko širší rakické ulanění má meoda v obvodech číslicového zracování signálů. Je rovněž narogramována v někerých očíačových simulačních rogramech yu Sice-like a Sice-comaible (viz kaiola 4.4.4), ro analýzu Transien ro obvody s zv. Lalaceovými zdroji. Meoda Duhamelova inegrálu Duhamelův (či Dyhamelův ) inegrál umožňuje získáva odezvu obvodu na signál x() ze znalosi jeho odezvy na jednokový skok. Hlavní myšlenka je odobná jako u konvolučního inegrálu: budicí signál se aroximuje skokovými signály a odezva se získá sčíáním říslušných řechodových charakerisik. Z obr. 5.8 je zřejmé, že hodnoa signálu x() v obecném čase bude dána součem x( ) x( )( ) x ( ) x( ) K x( )( ) xk( k ) k x ( )( ) x ( k )( k ), k kde x značí derivaci signálu x odle času. Pro řejde řibližná rovnos v řesnou rovnos a suma na ravé sraně v inegrál: ( ) x( )( ) x ( α)( α ) dα x. (5.8) Vzorec laí za ředokladu, že signál x() má v celém uvažovaném časovém inervalu derivaci. Vykazuje-li signál skokové změny, lze jej osa řídavnými členy omocí jednokových skoků. 58

167 5 Obecné vlasnosi lineárních obvodů x() x( ) x()... x x x( ) (k-) x() k x ( k ) x k x x. x k Obr Princi náhrady sojiého signálu jednokovými skoky. k V říadě, že signál x() je nenulový i ro záorné časy, můžeme rvní člen na ravé sraně (5.8) oě složi z osunuých skoků a vzorec ak bude mí obecnější var x ( ) x ( α )( α ) dα. (5.9) Proože vynucená odezva obvodu na signál ( - α) je h( - α), můžeme z (5.8) a (5.9) sá ro vynucenou odezvu y() na signál x() ( ) x( ) h( ) x ( α ) h( α ) dα y, x() ro <, (5.) y ( ) x ( α ) h( α ) dα, x() ůsobí i ro <. (5.) Vzorec (5.) je obecnější, roože z něj lyne vzorec (5.) ři resekování skuečnosi, že v bodech nesojiosi ( skoků ) x() se v derivaci x () objevují Diracovy imulsy. Pro kauzální sysémy lze navíc zaměni nevlasní horní meze inegrálů za. Úravami inegrálů lze získa další vary Duhamelových inegrálů, známé z lieraury [6]. Je však řeba konsaova, že meoda Duhamelových inegrálů je ro rakické výočy ješě méně vhodná než meoda konvolučních inegrálů. Její význam je roo řeba vidě síše v om, že nám omáhá ři vorbě fyzikálního názoru na ochody v dynamických sysémech Oeráorová řenosová funkce, její vlasnosi a její vzah k osaním charakerisikám obvodu Moivační říklady Oeráorový oče (viz říloha Oeráorový oče v elekroechnice ) umožňuje výoče vynucené odezvy na vsuní signál daleko ohodlnějším zůsobem, než jak je omu u konvoluce, říadně Duhamelova inegrálu. Nejrve se určí zv. řenosová funkce obvodu. Pak se vynásobí Lalaceovým obrazem vsuního signálu, čímž získáme Lalaceův obraz odezvy. Následuje řevod na časový růběh odezvy zěnou Lalaceovou ransformací. 59

168 Elekronické obvody I Zde je možno vysledova analogii se známým řešením lineárních obvodů v harmonickém usáleném savu symbolicko-komlexní meodou, kdy se nejrve řeší řenosové vlasnosi obvodu na určiém kmioču ak, že kaaciory jsou modelovány reakancemi /(jω) a indukory reakancemi jωl. Vynásobením komlexního řenosu K & (ω) a fázoru vsuního signálu získáme fázor odezvy na výsuu, z něhož ohodlně zjisíme amliudu a očáeční fázi výsuního signálu. Oeráorová řenosová funkce ředsavuje užiečné zobecnění symbolicko-komlexní meody. Namíso komlexního (imaginárního) kmioču jω je uvažován komlexní oeráor σjω, kerý může mí obecně jak imaginární (jω), ak i reálnou (σ) složku. Namíso klasických reakancí se racuje s oeráorovými reakancemi / a L. Výsledkem řešení řenosu obvodu je nyní oeráorová řenosová funkce K(), z níž se zjisí komlexní řenos obvodu na konkréním kmioču ω jednoduchou subsiucí jω. Kromě oho je však možné z řenosové funkce vyčís řadu dalších informací o obvodu, jak vylývá nař. z obr. P.8 v říloze. Pro ilusraci se okusme vyřeši říklad P5.3 omocí oeráorové řenosové funkce. P5.4 rčee vynucenou odezvu článku z obr. 5.4 na naěí, lineárně rosoucí v čase o rychlosi V/s. Použije meodu oeráorové řenosové funkce. Řešení: V souladu s řílohou Oeráorový oče v elekroechnice je nejrve originální schéma obvodu z obr. 5.9 a) řekresleno na oeráorové schéma na obr. b). Kaacior je modelován oeráorovou reakancí a časový růběh budicího signálu je nahrazen jeho oeráorovým obrazem odle slovníku Lalaceovy ransformace v Tab. P.3. i() 6k n u ( ) u ( ) ( ) u () ( ) ( ) a) b) Obr Modelování obvodu oeráorovým schémaem. Nyní vyočeme řenosovou funkci obvodu jako oměr oeráorových obrazů výsuního a vsuního naěí: ( ) 65 K ( ). (5.) ( ) 65 Oeráorový obraz výsuního naěí získáme vynásobením řenosové funkce oeráorovým obrazem vsuního signálu. Poé rovedeme rozklad na arciální zlomky (viz sr. 3): 65 A A A3 ( ) K( ) ( ), A τ, A, A3 A. (5.3) Podle slovníku Lalaceovy ransformace omu odovídá signál u ( ) A ( ) A ( ) A e ( ) [ τ ( e )]( ). 3 Teno výsledek jsme obdrželi v říkladu P5.3 meodou konvoluce, ovšem komlikovanějším zůsobem. 6

169 5 Obecné vlasnosi lineárních obvodů P5.5 rčee řenosové funkce L obvodu z obr. 5. a) za ředokladu, že výsuním signálem je naěí a) u c, b) u L, c) u, d) u L. Řešení: Oeráorové schéma je na obr. b). Analýza a jednoduché úravy vedou k ěmo výsledkům: i() L H uf I( ) L u ( ) u L () u () ( ) L () u u L () ( ) L ( ) ) a) b) Obr. 5.. Modelování L obvodu oeráorovým schémaem. ( ( ) K K L 5 L L L L L L L L L L L L, (5.4) 5, (5.5) 5 K K L L L L L L L L L L L L L L, (5.6) 5 5. (5.7) 5 Výsledky říkladů využijeme k demonsrování rakického významu řenosových funkcí. Poznaky z říkladů: a) Přenosová funkce lineárního obvodu n-ého řádu má obecně var m a a.. am K( ), m n. (5.8) n b b.. bn Ve jmenovaeli je olynom sejného řádu jako je řád obvodu. V čiaeli je olynom maximálně sejného řádu jako ve jmenovaeli. b) Při volbě různých výsuních signálů obdržíme různé řenosové funkce éhož obvodu. Jmenovael všech řenosových funkcí bude sejný, různé budou čiaele. c) Koeficieny řenosových funkcí závisí na aramerech součásek obvodu, nař. na odorech, indukčnosech a kaaciách u asivních L obvodů. Vzah mezi řenosovou funkcí a imulsní a řechodovou charakerisikou obvodu Imulsní charakerisika je vynucená odezva obvodu na jednokový imuls. Vynásobením Lalaceova obrazu vsuního signálu v omo říadě jedničky a řenosové funkce edy získáme Lalaceův obraz imulsní charakerisiky. Jinými slovy, laí yo důležié oučky: 6

170 Elekronické obvody I Přenosová funkce je Lalaceovým obrazem imulsní charakerisiky. Imulsní charakerisika je originálem k řenosové funkci. Souhrnně Imulsní charakerisika a oeráorová řenosová funkce voří ransformační ár Lalaceovy ransformace, neboli K( ) L{ g( )}, g( ) L { K( )}. Přechodová charakerisika je vynucená odezva obvodu na jednokový skok, jehož Lalaceův obraz je /. Po vynásobení řenosovou funkcí získáme Lalaceův obraz řechodové charakerisiky. Jinými slovy, Přenosová funkce, vydělená oeráorem, je Lalaceovým obrazem řechodové charakerisiky. Přechodová charakerisika je originálem k řenosové funkci, vydělené oeráorem. Souhrnně Přechodová charakerisika a oeráorová řenosová funkce vydělená oeráorem voří ransformační ár Lalaceovy ransformace, neboli K( ) / L{ g( )}, g( ) L { K( ) / }. P5.6 rčee imulsní a řechodové charakerisiky k obvodům z říkladů P5.4 a P5.5. Řešení: článek z obr. 5.9: oužijeme informace z řádků 5 a Tab. P.3 slovníku Lalaceovy ransformace: K( ) ˆ g( ) L { K( )} 65e ( ), 65 K( ) 65 65) h( ) L { } L { } [ e ]( ). ( 65) K ěmo výsledkům jsme již dosěli jiným osuem v říkladu P5.. Závěry: Imulsní charakerisika článku z obr. 5. exonenciálně zaniká s časovou konsanou τ /65 53µs. Přechodová charakerisika monoónně rose z nuly na hodnou V s ouéž časovou konsanou. Časová konsana obvodu je záorně vzaá reciroká hodnoa kořene jmenovaele řenosové funkce, edy ólu řenosové funkce -65 (viz říloha Oeráorový oče v elekroechnice ). L obvod z obr. 5.: Pro ilusraci vyřešíme alesoň říad, kdy výsuní naěí je bráno na kaacioru. Přenosovou funkci K () uravíme na var, kerý je uveden na řádku 8 v Tab. P.3: K L L L ( ) 5 ( ) 379 ( ) 9, 47 5 & 5 6

171 5 Obecné vlasnosi lineárních obvodů Tomu odovídá originál g 5 ( ) & e sin(9,47)( ) & 5,7e sin(9,47)( ). 9,47 Pro určení řechodové charakerisiky oužijeme informací v řádku slovníku Lalaceovy ransformace: 5 5 h ( ) & L { } { e [sin(9,47) 9,47 cos(9,47)]}( ) & ( ) 9, ,47 & { e [,565sin(9,47) cos(9,47)]}( ) Poznamenejme, že óly řenosové funkce jsou nyní dva: 5 ( ) 9,47 ± j9,47, ± j9,47. Závěry: Imulsní charakerisika L obvodu z obr. 5. je exonenciálně lumený harmonický signál yu sinus. Odezva zaniká s časovou konsanou τ / 9,9ms. Tlumené kmiy mají kmioče ω & 9,47 rad/s, f & 9,47 /(π ) & 3, Hz. Přechodová charakerisika robíhá od očáeční hodnoy do usálené hodnoy. Nerose však monoónně, objevují se v ní zákmiy keré mají sejný kmioče a sejnou časovou konsanu lumení jako u imulsní charakerisiky. Časová konsana obvodu je záorně vzaá reciroká hodnoa reálné čási ólů řenosové funkce e{, } -. Kruhový kmioče zákmiů v odezvách je roven velikosi imaginární čási ólů 9,47 rad/s. Pokud jsme ochoili meodiku výoču časových charakerisik z oeráorové řenosové funkce, okusme se urči g() a h() L obvodu z obr. 5. (výsuní naěí na kaacioru), jesliže zvýšíme odor z Ω na 5Ω. Využijeme vzorce ro řenosovou funkci, odvozený v říkladu P5.6: K L & 5 5 ( 5) 5 5 ( 5) 5 ( 5), 8 L L Problém je, že ve jmenovaeli se objevilo záorné znaménko, což nekoresonduje s oeráorovým varem v řádku 8 Tab. P.3. Vyřešení roblému je jednoduché. Záorné znaménko se objevilo roo, že kořeny jmenovaele jsou nyní reálné, zaímco ro odor Ω vyšly komlexní. Alikací algebraické oučky a -b (ab)(a-b) dosáváme yo kořeny neřímo, bez klasického osuu řešení kvadraické rovnice: K 5 & ( 5),8 Přenosová funkce edy vykazuje dva různé reálné óly 5 5. ( 5,8)( 5,8) ( 36,8)( 3,8) -36,8, -3,8. K imulsní charakerisice lze nyní dosě buď rozkladem řenosové funkce na arciální zlomky, nebo jednodušeji římým řevodem ze slovníku Lalaceovy ransformace, konkréně oužiím relace v řádku 8: 63

172 Elekronické obvody I g 36,8 3,8 e e 3,8 36,8 ( ) 5 ( ) &,36( e e )( ). 3,8 36,8 Obdobně řechodovou charakerisiku získáme římo omocí řádku ve slovníku: 5 3,8 36,8 36,8 3,8 h ( ) & ( e e )( ) & (,68e 36,8.3,8 36,8 3,8 36,8 3,8 36,8,68e 3,8 Z růběhů řechodných dějů se nyní vyrail kmiavý charaker, neboť ve vzorcích se neobjevují funkce yu sinus a kosinus. Výsledné charakerisiky jsou srovnány s růběhy řed modifikací odoru na obr. 5.. Byly získány z rogramu SNAP. Analýza ímo rogramem ovrdila i srávnos vzorců ro g() a h() )( ) h() h() 8m 8m 6m 5 6m 5 4m g() 4m g() m m -3 m m 3m 4m 5m 6m 7m se res. ime ulse res. -3 m m 3m 4m 5m 6m 7m se res. ime ulse res. a) b) Obr. 5.. Imulsní a řechodová charakerisika L obvodu z obr. 5. ro a) Ω, b) 5Ω. Při růsu odoru, j. ři růsu lumení L obvodu, se rozložení ólů osuně mění a ro určiou hodnou odoru se změní jejich charaker z komlexních na reálné. Z ředchozího osuu je snadné zjisi, že ao kriická hodnoa odoru je L kri & 447Ω. Tomu bude odovída dvojnásobný reálný ól a obvod se bude nacháze na zv. mezi eriodiciy v režimu kriického lumení. Výsledky z říkladů 5.4 a 5.6 jsou souhrnně ilusrovány na obr. 5.. Souvislos mezi rozložením ólů a sabiliou obvodu Na sr. 45 je mj. vysvělen ojem sabilia lineárního obvodu. Je ukázáno, že obvod je sabilní, okud jeho řirozená odezva na očáeční odmínky konverguje k nule. V následujícím exu oukážeme na časo oužívanou oučku, kerá vychází z oho, že informace o sabiliě či nesabiliě obvodu je jednoznačně obsažena v oloze ólů obvodu v komlexní rovině oeráoru, konkréně v om, zda reálné čási všech ólů jsou záorné či nikoliv. Na omo oznaku jsou založeny všechna v minulosi hojně oužívaná zv. kriéria sabiliy (Schurovo, Michajlovo, Hurwizovo aod.). Dnes má velký význam očíačové esování sabiliy navrhovaných zařízení řed jejich výrobou. Klasický očíačový simulační rogram yu SPIE dokáže simulova nejrůznější časové odezvy obvodu a z endence odezvy, j. zda zaniká nebo diverguje, lze usuzova na sabiliu. Pokud rogram dokáže očía óly obvodu, může bý esování sabiliy rovedeno jednodušeji. 64

173 5 Obecné vlasnosi lineárních obvodů jim{} komlexně sdružená dvojice ólů jednoduchý reálný ól oblas -e{} nesabiliy e{} dvojice reálných ólů dvojnásobný reálný ól -jim{} "kladné" lumení "záorné" lumení zánik g() neohraničený nárůs g() Obr. 5.. Souvislosi mezi růběhem imulsní charakerisiky g() a rozložením ólů. Posouvání ólů doleva znamená růs časových konsan a zomalování řechodného děje. Vzdalování ólů od reálné osy znamená růs frekvence zákmiů v odezvě. Přechod ólů do ravé komlexní oloroviny je dorovázeno neohraničeným růsem odezvy a nesabilním chováním obvodu. Proože imulsní charakerisika obvodu je jeho reakce na jednokový imuls, můžeme ji cháa jako seciální říad řirozené odezvy: jednokový imuls na vsuu obvodu dodá do obvodu určiou energii a skokově změní očáeční odmínky z nulových na nenulové. Poé již imuls neůsobí, roože je nulový ro kladné časy. Imulsní charakerisika ak doznívá ři nulovém vsuu. Pro sabilní obvod by edy mělo lai, že lim g ( ). Souvislosi mezi olohou ólů v komlexní rovině a růběhem imulsní charakerisiky jsou zřejmé z ředchozích říkladů a z obrázku 5.. Na obr. 5. je znázorněna oblas zv. záorného lumení, kdy reálné čási ólů jsou kladné. K omu by eoreicky mohlo dojí u výše analyzovaných nebo L článků ři záorných hodnoách odorů. Záorné odory vlasně ředsavují modely zdrojů, nikoliv sořebičů energie. Posaný jev může roo bý skuečně ozorovaelný u elekronických obvodů s akivními rvky (ranzisory, oerační zesilovače ), keré ke své funkci ořebují vnější zdroje energie. akových obvodů, jako jsou naříklad audiozesilovače, roo v rinciu mohou nasa nežádoucí jevy, sojené s nesabiliou. 65

174 Elekronické obvody I vedené souvislosi mezi olohou ólů v komlexní rovině a sabiliou obvodu jsou časo formulovány do známé oučky: Lineární obvod je sabilní, okud jeho všechny óly leží v levé oevřené komlexní olorovině, j. okud reálné složky všech ólů jsou menší než nula. Objeví-li se alesoň jeden ól obvodu v ravé olorovině, znamená o nesabiliu obvodu. Jednoduché óly na imaginární ose znamenají mez sabiliy (imulsní odezva konverguje do nenulové konsanní úrovně nebo do ohraničených oscilací), vícenásobné óly na imaginární ose indikují nesabiliu. Podrobnosi jsou uvedeny v [5]. Souvislos řenosové funkce a kmiočové charakerisiky obvodu važujme řenosovou funkci obvodu n-ého řádu ve varu (5.8), res. (5.9): m a a.. am ( )( )..( m) K( ) a, m n, (5.9) n m b b.. b ( )( )..( ) n Kde symboly yu a jsou označeny nulové body a óly řenosové funkce (viz říloha Oeráorový oče v elekroechnice ). Ze souvislosí mezi Lalaceovou a Fourierovou ransformací vylývá, že: Komlexní kmiočovou charakerisiku získáme z řenosové funkce o subsiuci jω, neboli K & ( jω) K( ). jω n Pak kmiočovou charakerisiku obvodu n-ého řádu získáme z (5.9) ve varu a a j.. am( j ) K& ω ω ( jω) b b jω.. b ( jω) n m n a m ( jω ( jω )( jω )( jω )..( jω )..( jω m n ), m n, (5.3) ) vědomíme-li si, že K() je komlexní funkce komlexní roměnné σ jω, ak kmiočová charakerisika se získá řezem éo komlexní funkce rovinou jω., j. ro σ. Konkréní říklad je uveden na obr. 5.3 a) ro kmiočový filr o řenosové funkci 5, ( j7,7)( j7,7) K( ) &,. (5.3) 5 ( j9,47)( j9,47) Na obrázku je vykreslen modul řenosové funkce nad komlexní rovinou σ jπf. Pro jednoduchos je vykreslen jen druhý kvadran komlexní roviny, j. ro σ, f. Je zřejmé, že v nulovém bodě j7,7 jπ.,5, edy ro kmioče 7,7 rad/s neboli,5hz rochází řenosová funkce nulovou hodnoou. Oačně, v mísě ólu, edy -j9,47-jπ.3,, rose modul řenosové funkce nade všechny meze. Tomu odovídá hodnoa σ - s - a kmioče 9,47 rad/s neboli 3,Hz. Amliudová kmiočová charakerisika je rerezenována okrajovou křivkou v řezu lochou ro σ. Jde o dolní rous s rezonančním řevýšením v okolí kmioču 3Hz a s úlným olačením řenosu na kmioču,5hz. Proože v říadě kmiočové charakerisiky ředsavuje oeráor komlexní kmioče jω, ak můžeme na základě řenosové funkce velmi rychle oesova, jaký je řenos obvodu na nízkých a na vysokých kmiočech: K& ( ω) K( ), (5.3) ω K & ( ω) K( ). (5.33) ω 66

175 5 Obecné vlasnosi lineárních obvodů modul K() amliudová kmiočová charakerisika -σ olačení řenosu v nulovém bodě -e{} jim{} f [Hz] a) modul K() v db logarimická amliudová kmiočová charakerisika -σ -e{} jim{} log(f) b) Obr Amliudová kmiočová charakerisika obvodu získaná z řenosové funkce řezem rovinou jω, a) lineární kmiočová osa i osa řenosu, b) logarimická kmiočová osa a decibelová osa řenosu. 67