Aplikace vícefaktorových reálných opcí

Transkript

1 likace vícefakorových reálných ocí Zdeněk Zmeškal bsrak Při alikaci reálných ocí je nezbné oží a řeši složiější oceňovací model charakerizované jako americké vícefakorové a s věší variannosí voleb. V řísěvk je osána roblemaik alikace mlifakorových binomických modelů ři alikaci reálných ocí na bázi ekvivalence saisických momenů. Posán je jednofakorový a dvofakorový binomický model na bázi rizikově-nerální ravděodobnosi a obecně řešielný omocí ellmanova rinci oimali. Uveden je rovněž ilsraivní říklad. Klíčová slova Reálná oce rizikově-nerální ravděodobnos binomický model vícefakorový model Úvod Eisje celá škála drhů a ů finančních deriváů od jednodchých lain vanilla až o složié varian deriváů. Složios je dána zejména kombinacemi náhodných rocesů arimeický eomerický rownův jm diffsion mean-reversion Ioův ad. em výlaní fnkce call binární diiální bariérové s aměí ad. variannosí voleb binární výběrové swich ad. absencí nebo výskem nesmerických řeínacích nákladů swich cos dobo možného vžií Evroské merické ermdské swin ad. očem rizikových fakorů sread baske rainbow orfoliové oce. Právě alikace reálných ocí což je vžií meodoloie ocí na reálných akivech aří mezi nejsložiější ocí. Lze je charakerizova obecně jako oce amerického s aměí ah deenden s věší variannosí voleb swich nesmerickými řeínacími náklad a jako vícefakorové oce. Meod ro řešení ako složiých a komleních ocí nejso snadné. nalická řešení closed form jso dosná oze v omezeném oč seciálních říadů. Drho možnosí je vží nmerické meod mezi keré se řadí nmerické řešení arciálních diferenciálních rovnic na bázi meod konečných rvků meod enerování náhodných rocesů na bázi simlace mone-carlo a meod aroimace omocí svazů laice mehod. Poslední skina z ěcho meod je obecně ovažována za nejjednodšší fleibilní a okd se nejedná o říliš velko dimenzi aké efekivní ro řešení. Přísěvek je zaměřen na řešení roblemaik vícefakorových reálných ocí omocí laice meodoloie. Přiom bde ozornos sosředěna na binomické vícefakorové model a eomerický rownův náhodný roces. Jednofakorový binomický model Sochasické roces lze vjádři omocí sochasických diferenciálních rovnic keré mají d α d. Zvlášním říadem je obecný var vjádřený Ioovo rovnicí dz rof. Dr. In. Zdeněk Zmeškal kaedra Financí Ekonomická fakla VŠ-TU Osrava Sokolská 33 Osrava 70 zdenek.zmeskal@vsb.cz Teno řísěvek vznikl v rámci rojek Granové aenr České reblik GČR 0/0/

2 eomerický rownův roces d α d dz. V říadě loarimické ransformace ln a alikace Ioov lemm eno roces řechází v arimeický rownův roces α 0 5 d dz. Po sbsici za sřední hodno α 05 d ak d d dz. Prooče omocí nmerických laice meod lze eoreick rči omocí relikačních nebo hedinových řísů. V říadě že se vchází ze skečných sochasických rocesů ak základním rinciem je že výsledek nmerické aroimace msí odovída vbraným saisickým momenům. Přiom je důležié rozlišova řešení v říadě komleního a nebo nekomleního rh. V rvém říadě je výsledkem jednoznačné řešení neboť oče neznámých odovídá oč rovnic. V drhém říadě o slněno není výsledkem je inerval hodno a je nné ožíva oimalizační meod řešení. Jedno z časo kladených odmínek je že má bý slněna rekombinace ed že hodnoa ři růs je oakem ři okles ed 0. b řešení odovídalo rinci nemožnosi arbiráže je známo že sanovené ravděodobnosi řechod msejí bý kladná čísla v inerval [0 ]. Dalším základním konceem je že oceňování se rovádí za rizikově-nerální ravděodobnosi ed že výnos odkladových akiv fakorů msí bý bezrizikový r. Za éo odmínk ransformovaný eomerický rownův roces je následjící d d dz kde r 05. Vývoj hodno akiv lze ed vjádři následovně kde vjadřje oče vzrůs hodno za dané období. Vývoj ro dvě období omocí binomického model je znázorněn na Obr. řiom každý zel je charakerizován savem a časem. Obr.č. : Rekombinační binomický model Sav Vzhledem k om že je eomerický rownův roces založen na normálním rozdělení v omo říadě jso odovídajícími momen sřední hodnoa a rozl. Ted d d. d 56

3 Jde ed o ři rovnice o řech neznámých d což jso ravděodobnosi růs okles a řírůsek hodno. Řešení je následjící nebo jinak vjádřeno. b bla slněna odmínka nemožnosi arbiráže ak msí lai že. 3 Dvofakorový binomický model Předokládáme jako jednofakorového model loarimick ransformovaný eomerický rownův roces rizikově-nerální ravděodobnos. Navíc se ředokládá že jso dán dva náhodné fakor včeně jejich kovariance korelace ρ. Grafick je model vývoje ro dva fakor kde každý zel je charakerizován savem oče vzrůsů za dané období obo akiv a časem znázorněn na Obr.. Obr.č. : Dvofakorový rekombinovaný binomický model Sav 0 0 d d čas V omo říadě jso odovídajícími momen sřední hodno rozl a kovariance neboť se jedná o eomerický rownův roces založený na normálním rozdělení. Takže d d d d d d d d 57

4 58 d d d d. Jde ed o šes rovnic o šesi neznámých d d což jso ravděodobnosi ro kombinace růs a okles obo akiv fakorů dále řírůsk hodno obo fakorů. Řešení je následjící d d. Podmínk nemožnosi arbiráže jso následjící ρ ; min ρ kde. Ilsrační říklad Možnosi alikace dvo-fakorového binomického model bdo kázán na říklad vhodnocení reálné oce sanovení hodno vlasního kaiál odnik ro čři období. Předokládá se že hodnoa akiv je rčena dvěma náhodnými fakor řičemž rvní charakerizje výs ržb a drhý vs náklad s výchozími hodnoami 300.j. 00.j.. Nominální hodnoa dlh D je sanovena na 50.j. bezriziková sazba r0. Dále jso znám další vsní údaje ρ. Pos řešení je následjící. i Sanovení rizikově-nerální hodno růs akiv. ii Vjádření vývoje odkladových rizikových akiv fakorů kde o zěné ransformaci za ln a dosazením do rovnice dosáváme e. iii Poom je roočena hodnoa akiv V. iv Dalším krokem je sanovení vniřní hodno 0 ma D; V VH. v V době realizace T se cena oce rovná vniřní hodnoě T T VH f.

5 vi Dále následje rooče cen americké oce. Zěným osem od dob realizace se sanoví cena oce ro jednolivé zl keré jso dán časem a savem až k očáeční hodnoě. V jednolivých zlech se cena oce rčí jako sočasná hodnoa sřední d hodno cen oce v následjícím období [ d ] r f ma e E f ; VH kde E f d je rizikově nerální sřední hodnoa d d E f f f f f. [ ] d d d d d d d vii Hledaná cena oce f 0 odovídá ceně na očák celého období. viii Sanovení rozhodní Q ed bď vží nebo nevží oci d [ ] r Q ar ma e E f ; VH q d i nalýza cilivosi na vsní daa Na Obr. 3 je znázorněn os výoč. Pro daný říad je výsledná hodnoa vlasního kaiál ed oce 3.j. Přiom roočené hodno rizikově-nerálních ravděodobnosí jso následjící 3 336% d 37896% d 37896% 677%. Hodno rizikovnerálního růs jso Závěr 0 V řísěvk bl vsvělen a osán os ro alikaci meodoloie reálných ocí na bázi vícefakorového rekombinovaného binomického model. l odvozen jednofakorový a vícefakorový model. Základem je řiom ekvivalence náhodného roces a saisických momenů. Ukázalo se že je dosaečné ro komlení rh binomického model ab bla rovnos sřední hodno rozl a kovariance. Důležié je ab bla slněna odmínka nemožnosi arbiráže. Ukázalo se že vedené aroimace nemají obecno lanos ro kombinace výnosů rozlů a kovariancí. Rovněž bl rezenován ro čři období ilsraivní říklad kazjící že vlasní rooče je oměrně jednodchý. Lierara [] LCK F. SCHOLES M.: The Pricin of Oions and Cororae Liabiliies. Jornal of Poliical Econom Vol [] OYLE P. LONGSTFF F.. RITCHKEN P.: dvances in Fres and Oions Research. JI Press Vol [3] RENNN M. J. TIGEORGIS L.: Projec Fleibili enc and Prodc Marke Comeiion: New Develomen in he Theor and licaion of real Oions nalsis. Oford niversi Press 999. [] DIXIT. K. PINDYCK R.S.: Invesmen nder Uncerain. Universi Press 99. [5] DLUHOŠOVÁ D.: Přís k analýze finanční výkonnosi firem a odvěví na bázi meod EV Economic Vale ed Finance a úvěr - Czech Jornal of Economics and Finance - 00 roč. 5 [6] DUFFIE D.: Secri Markes - Sochasic Models. cademic ress Inc 988. [7] HULL J. C.: Oions Fres and oher Derivaives. Prenice Hall

6 [8] MUSIEL M. RUTKOWSKI M.: Marinale Mehods in Financial Modellin. Sriner-Verla [9] SICK G.: Real Oions. In JRROW R e all Handbooks in OR and MS Vol. 9 Elsevier Science.V [0] TRIGEORGIS L.: Real Oions - Manaerial Fleibili and Srae in Resorce llocaion Harvard Universi 998. [] ZMESKL Z.: licaion of he fzz - sochasic Mehodolo o raisin he Firm Vale as a Eroean Call Oion. Eroean Jornal of Oeraional Research Vol. 35/ [] ZMEŠKL Z.: Možnosi sanovení hodno firm jako bariérové americké call oce. Sborník Mezinárodní konference In: Ekonomika firem 999 Ekonomická niverzia raislava 999. [3] ZMEŠKL. Z.: Fzz-sochasický odhad hodno firm jako call oce. Finance a úvěr Economia a. s. Praha [] ZMEŠKL Z. a kol.: Finanční model.. ravené vdání Praha: Ekoress Praha 00. [5] ZMEŠKL Z.: Přís k eliminaci finančních rizik na bázi finančních hedinových sraeií. Finance a Úvěr - Czech Jornal of Economics and Finance 00 roč. 5 č..-. s [6] ZMEŠKL Z.: roach o Sof inomial Real Oion Model licaion fzz - sochasic aroach. The h Global Finance Conference Dblin Irsko 005. Smmar Under real oion mehodolo i is necessar o se and deal wih more comle valaion models. These models are characerised as merican mli-facors wih reaer oion varians. There is in he aer described oic of mli-facor models alicaion on he basis of he eqivalence of he saisical momens. Described is sinle-facor and wo-facor recombinaion binomial model b vire of he risk-neral robabili and enerall solvable b he ellman rincile of oimali. Presened is also he illsraive eamle. 60

7 Obr.č. 3: Prooče cen oce omocí dvofakorového rekombinovaného binomického model V VH f Q ne V VH f Q ne ne ne ne V VH f Q ne ne ne ne ne ne ne ne ne V VH f Q ne ne ne ne ne ne ne ne ano ne ne ne ano ano ano ano V VH f Q ano ano ano ano ano ano ano ano ano ano ano ano ano ano ano ano ano ano ano ano ano ano ano ano ano 0 čas 3 6