MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ. Přírodovědecká fakulta. Jindřich Červinka. Rotační plochy. Diplomová práce

Transkript

1 MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ Přírodovědecká fakulta Jindřich Červinka Rotační plochy Diplomová práce Vedoucí: doc. RNDr. Josef Janyška, CSc. Brno, 2006

2 Prohlašuji, že jsem celou diplomovou práci vypracoval samostatně a použil jsem pouze zdroje uvedené v seznamu literatury. VBrnědne

3 Moje poděkování patří Doc. RNDr. Josefu Janyškovi, CSc., za odborné vedení při zpracování zadání diplomové práce.

4 OBSAH 4 Obsah 1 Úvod 5 2 Základní pojmy a vlastnosti Definicerotačníplochy Zobrazenírotačníchploch Průnikyrotačníchploch Rotační kvadriky Definiceazákladnívlastnosti Konstrukční úlohy 30 5 Závěr 59 Seznam použité literatury 60

5 KAPITOLA 1. ÚVOD 5 Kapitola 1 Úvod Rotační plochy se velmi často vyskytují v technické praxi. Kromě ploch kuželových, válcových a kulových se můžeme setkat například s rotačními paraboloidy, které bývají odrazovými plochami reflektorů, teleskopů, televizních antén apod. nebo s jednodílnými rotačními hyperboloidy, které se používají ve stavební praxi pro konstrukce chladírenských věží. Jiné použití rotačních ploch se často vyskytovalo v kamenických pracech při žebrech a ostění gotických oken. Cílem této diplomové práce je vytvořit učební text, který popisuje základní pojmy a úlohy na rotačních plochách. Text je určen pro studenty středních škol s technickým zaměřením. Z tohoto důvodu se teoretická část diplomové práce nezabývá hlubším zkoumáním problematiky a důkazy tvrzení. Teorie rotačních ploch je rozsáhlá a několikanásobně převyšuje rozsah diplomové práce. Proto je má práce zaměřena na tu část teorie rotačních ploch, kterou jsou studenti schopni aplikovat po absolvování výuky deskriptivní geometrie na střední škole. Hlavní náplní diplomové práce jsou úlohy na obecných rotačních plochách. Velký důraz je kladen na názorně a precizně zpracované obrázky. Součástí práce je zadání a řešení příkladů, které poslouží studentům k opakování a upevnění teoretických poznatků. Zadání příkladů je na volných listech v příloze. V druhé kapitole se čtenář seznámí se základními pojmy a vlastnostmi rotačních ploch a také s teorií průniků rotačních ploch. V třetí části se zabývám významnými rotačními plochami- rotační kvadriky. Těžiště mé práce se nachází ve čtvrté kapitole, ve které se věnuji řešení příkladů týkajících se zobrazení, řezů a průniků rotačních ploch.

6 KAPITOLA 2. ZÁKLADNÍ POJMY A VLASTNOSTI 6 Kapitola 2 Základní pojmy a vlastnosti 2.1 Definice rotační plochy Před vyslovením definice rotační plochy uvedeme některé přípravné pojmy: Otáčeníkolempřímky ojeshodnézobrazeníve 3,kteréjeurčenovelikostí(orientovaného)úhlu.Přímka osenazýváosaotáčení.obraz A bodu A / ojenakružnicise středem S o,procházejícíbodem Aaležícívroviněkolmékose o(obr.2.1). o S α A A Obrázek 2.1: Otáčení kolem osy o Všechny body osy o jsou při otáčení samodružné. Množinu všech otáčení kolem o nazýváme rotací nebo rotačním pohybem kolem osy o.(vzhledem k operaci skládání je

7 KAPITOLA 2. ZÁKLADNÍ POJMY A VLASTNOSTI 7 množina všech otáčení kolem osy o grupou.) Rotaci kolem osy o obvykle spojujeme s názornou kinematickou představou spojitého pohybu. Každý bod A neležící na o vytvoří při rotaci kružnici, která se nazývá dráha nebo trajektorie bodu A. Nyní vyslovíme základní definici: Definice1.Mějmepřímku oakřivku k,kteráneníčástípřímky oanižádnétrajektorie přirotacikolem o.rotacíkřivky kkolemosy ovznikárotačníplocha.přímka ojeosaa k je tvořící křivka rotační plochy, kterou budeme stručně zapisovat symbolem Φ:(o, k). Poznámka.TvořícíkřivkaplochyΦ:(o, k)můžebýtrovinná.leží-li kvrovině λkolmé kose o,pakjeφ:(o, k)částroviny.tentotriviálnípřípadneníkonstruktivnězajímavýa proto ho budeme z našich úvah vylučovat. Poznámka. Uvedeme několik příkladů rotačních ploch, z nichž některé budeme podrobněji studovat v dalším. Nejdříve předpokládejme, že tvořící křivkou je přímka. Podle předchozí poznámkymůžemepředpokládat,žepřímka pjerůznáodosy orotaceaneníkníkolmá. Je-li provnoběžnáresp.různoběžnáresp.mimoběžnáso,pakjeφ:(o, p)rotačníválcová plocha resp. rotační kuželová plocha resp. rotační jednodílný hyperboloid. Dále uvažujme rotační plochy vytvořené rotací kružnice. Leží-li střed S kružnice k na ose o rotace, pak je Φ:(o, k)kulováplocha.nechť S / o.předpokládejmenejprve,žerovinakružnice kobsahujeosu o.nemají-li k, ožádnýspolečnýbod,nazýváseφ:(o, k)anuloid(torus,kruhový prstenec).jestližeje otečnouresp.sečnoukružnice k,pakseφ:(o, k)nazýváaxoidresp. melonoid. Neobsahuje-li rovina kružnice k osu o(a není-li podle předpokladu k o kolmá), pak se Φ:(o, k) nazývá globoid. Rotační plocha, která vzniká rotací kuželosečky kolem její osy, se nazývá rotační kvadrika. Definice2.NechťjeΦ:(o, k)rotačníplocha.každýbodkřivky k,kterýneležínaose o, vytváří při rotaci kolem o rovnoběžkovou kružnici, krátce rovnoběžku. Každá křivka m plochy Φ, která protíná všechny rovnoběžky této plochy a obsahuje všechnybodyplochyležícínaose o,vytvářípřirotacikolem otutéžplochu,tj.platí Φ:(o, k)=φ:(o, m).tvořícíkřivkarotačníplochytedyneníurčenajednoznačně.při zadávání rotační plochy vybíráme obykle tu tvořící křivku, která je z konstrukčního hlediska nejvýhodnější. Nejčastěji se používá tvořících křivek ležících v rovinách procházejících osou rotace. Definice 3. Řez rotační plochy rovinou procházející osou rotace se nazývá úplným meridiánem(poledníkem) plochy. Všechny meridiány rotační plochy jsou shodné křivky, přičemž jedna v druhou přechází otočenímkolemosy o.každýmeridiánjenavícsouměrnýpodleosy o.je-li γ rovina meridiánu mrotačníplochyφ:(o, m),pakčástmeridiánu mležícívjednépolorovině roviny γurčenéosou o,spolusbodykřivky mnaose o,senazývápolomeridiánplochy Φ. Rotací každého polomeridiánu vzniká opět plocha Φ. Každým bodem rotační plochy, který neleží na ose o rotace, prochází jediná rovina kolmákoajedinárovinaobsahující o.toznamená,žetímtobodemprocházíprávějedna

8 KAPITOLA 2. ZÁKLADNÍ POJMY A VLASTNOSTI 8 rovnoběžka a právě jeden meridián plochy. Rovnoběžky a meridiány tvoří tedy síť rotační plochy. Poznámka. Body rotační plochy ležící na ose rotace jsme vyloučili, protože každým takovým bodem procházejí všechny meridiány plochy(singulární bod sítě). Mějmebod A / orotačníplochyφ : (o, k)auvažujmerovnoběžku bameridián mplochyφprocházejícíbodem A,kteréležívrovinách ρaσ(obr.2.2).jestližeje A regulárníbodmeridiánu m,pakvněmexistujítečny u, tkekřivkám b, matyurčují tečnou rovinu τ plochyφvbodě A.Bod S = o ρjestředrovnoběžky basaje průsečnicerovin ρ, σ.vzhledemktomu,že u SAau o,je u σaproto τ σ. Platí: Je-li meridián m rotační plochy regulární křivka, pak tečné roviny plochy Φ v bodech tohoto meridiánu obalují válcovou plochu, jejíž řídící křivkou je m a jejíž povrchové přímky jsou kolmé k rovině meridiánu m. o p c n V S τ A b u W t m r q Obrázek 2.2: Rotační plocha Φ

9 KAPITOLA 2. ZÁKLADNÍ POJMY A VLASTNOSTI 9 Poznámka.Vzhledemku σje u takřivky b, mseprotínajípodpravýmúhlem. Je-li tedy meridián rotační plochy regulární křivka, pak meridiány a rovnoběžky vytvářejí pravoúhlou síť na ploše. Definice 4. Rotační kuželová nebo válcová plocha, která vznikne rotací tečny meridiánu, se nazývá dotyková kuželová nebo válcová plocha podél rovnoběžky vytvořené odpovídajícím dotykovým bodem. Definice 5. Rotační kuželová nebo válcová plocha, která vznikne rotací normály rotační plochy kolem její osy, se nazývá normálová kuželová nebo válcová plocha. o p c Ω t W r u A b n q Ω V Obrázek 2.3: Dotyková a normálová kuželová plocha Tečna tkmeridiánu mvytvářípřirotacikolemosy o(přímkovou)rotačníplochuω, kterásedotýkáplochyφpodélrovnoběžky b(oběplochymajívkaždémboděkružnice b společnou tečnou rovinu). Předpokládejme nejdříve, že t protíná osu o v bodě V. Jestliže tneníkolmáko(obr.2.2aobr.2.3vpravoúhléprojekcisestejnýmoznačenímjakona obr.2.2),pakjeωrotačníkuželováplochaovrcholu V.Normála nkmeridiánu mvbodě

10 KAPITOLA 2. ZÁKLADNÍ POJMY A VLASTNOSTI 10 Ajevzhledemkn t, n ukolmáktečnérovině τplochyφaprotínáosu ovbodě W. Rotacípřímky nvznikárotačníkuželováplochaω ovrcholu W.Dotykovákuželováplocha ΩanormálovákuželováplochaΩ vbodechtéžerovnoběžkyjsoutzv.polárníkuželové plochy a jejich tvořící přímky, procházející týmž bodem, jsou na sebe kolmé(obr. 2.3). Jestližeje tkolmáko,pakjeωsvazkempřímek.normála nvbodě AplochyΦje rovnoběžnásosou oajejírotacívznikárotačníválcováplochaω (obr.2.4).rovnoběžka b se v tomto případě nazývá kráterová. o n Ω t A V b m Obrázek 2.4: Kráter Předpokládejme nakonec, že přímka t je rovnoběžná s o. Pak je Ω rotační válcová plocha. Bod A je buď inflexním bodem meridiánu m(obr. 2.5) nebo je jeho(lokálním) extrémem vzhledemkose o.je-livjistémokolíbodu Anařídicíkřivce kplochyvzdálenostbodu A od onejvětšíresp.nejmenší,pakserovnoběžkabodu Anazývárovníkresp.hrdlo(na obr.2.2,2.3jevyznačenrovník rahrdlo c).normálovákuželováplochaω degenerujeve svazek přímek v rovině. Poznámka. Je-li meridián m přímka, tj. je-li Φ rotační kuželová nebo válcová plocha, pak je t=maω=φ.vpřípaděrotačníválcovéplochynezavádímepojemrovníkuahrdla, protože všechny rovnoběžky mají stejný poloměr.

11 KAPITOLA 2. ZÁKLADNÍ POJMY A VLASTNOSTI 11 o t Ω m n A W b Obrázek 2.5: Meridián s inflexním bodem Rovnoběžky, které vznikají rotací koncových bodů tvořící křivky neležících na ose rotace, se nazývají hraniční(na obr. 2.2, 2.3) jsou hraniční rovnoběžky označeny p, q). Poznámka. Předpokládejme, že meridián m plochy Φ protíná osu o v bodě M. Protíná-li mosu opodpravýmúhlem,pakvbodě M existujeprávějednatečnárovinaplochyφ kolmá k o, což vyplývá ze souměrnosti plochy Φ podle osy rotace(obr. 2.6). Neprotíná-li mosu opravoúhle,pakjebod Msingulárníbodplochy(obr.2.7).Kroměbodůležících na ose rotace může rotační plocha obsahovat ještě singulární body, které vzniknou rotací singulárních bodů jejího polomeridiánu. Jestliže nebude řečeno nic jiného, budeme dále vždy předpokládat, že polomeridiány rotační plochy jsou regulární křivky.

12 KAPITOLA 2. ZÁKLADNÍ POJMY A VLASTNOSTI 12 o M m Obrázek 2.6: Tečná rovina kolmá k ose o M m Obrázek 2.7: Meridián se singulárním bodem

13 KAPITOLA 2. ZÁKLADNÍ POJMY A VLASTNOSTI Zobrazení rotačních ploch Na závěr paragrafu pojednáme o zobrazování rotačních ploch ve středových(speciálně v rovnoběžných) projekcích.(v dalším bude Φ znamenat rotační plochu, i když uvedené výsledky platí s drobnými úpravami i v obecnějších případech.) S τ p a Φ o q t R N Φ 1 h Φ M q 1 P A R 1 N 1 π σ M1 M 1 Σ Obrázek 2.8: Obrys plochy Nechť je dáno promítání středem S a průmětnou π a rotační plocha Φ nechť neprochází bodem S(obr.2.8).Množinubodůspojnicbodu SsevšemibodyplochyΦoznačmeΣ. PrůnikΦ 1 =Σ πjeprůmětem plochy Φvdanémpromítání.OznačmeΣ hranici množinyσve 3.Jestližebod M SležívΣ,pakjevΣ obsaženacelápromítacípřímka, které říkáme styčná přímka plochy Φ vzhledem k S. Množina bodů plochy Φ ležících nastyčnýchpřímkáchsenazýváskutečnýobrysaprůnik h Φ =Σ πzdánlivýobrys plochy(někdystručnějenobrys).je-liσ=e 3,pakΣ = aplochanemáskutečnýani zdánlivý obrys.(tento případ např. nastane, je-li Φ kulová plocha a leží-li S uvnitř Φ, viz taképůdorysnaobr.2.9(b)apod.)zdánlivýobrysjehranicíprůmětuφ 1 plochyφvπ: Nechť M 1 h Φ azvolmelibovolnéokolí σ M1 π,tj.vnitřekkruhuvπostředu M 1. Uvažujmekuželovýprostorurčenývrcholem Sakruhem σ M1,tj.množinubodůpřímek

14 KAPITOLA 2. ZÁKLADNÍ POJMY A VLASTNOSTI 14 spojujícíchbod Ssevšemibodykruhu σm 1.Protože SM 1 Σ,existujívtomtokuželovém prostorupřímkyvσineležícívσ.je-li aresp. ppřímkakuželovéhoprostoruležícívσ resp.neležícívσ,pakbod A=a πležíveφ 1 σ M1 abod P = p πležívσ M1 a neležíveφ 1.Bod M 1 jetedybodemhranicemnožinyφ 1 v π.styčnépřímkyplochyφ vzhledem k S se dotýkají Φ nebo procházejí bodem hraniční kružnice nebo singulárním bodemplochy.obráceněovšemmohouexistovattečnyzbodu SkplošeΦ,kterénejsou styčné přímky a podobně všechny body hraničních kružnic resp. všechny singulární body nemusí patřit skutečnému obrysu.(na obr. 2.8 patří bod R hraniční kružnici q, ale není bodem skutečného obrysu. Některé speciální případy jsou zakresleny na obrázcích 2.9(a)- 2.9(e).) Nechťbod NskutečnéhoobrysuplochyΦjebodemdotykustyčnépřímkyabuď N 1 h Φ jehoprůměť(obr.2.8).tečnárovina τ plochyφvbodě N obsahujepřímku SN a t=τ πjetečnavbodě N 1 kekřivce h Φ.Je-livezvláštníchpřípadech SNnavíctečna skutečnéhoobrysu,pakje N 1 bodvratukřivky h Φ. Rotační plochy zobrazujeme nejčastěji v Mongeově projekci. Pojmy zavedené v obecném případě aplikujeme pak na dvojici pravoúhlých promítání a hovoříme o prvním resp. druhém skutečném a zdánlivém obrysu a často místo o zdánlivém obrysu stručně jen o obrysu. Předpokládejme, že průmětny Mongeovy projekce jsou označeny π a nu a nechť osa o rotační plochy Φ je kolmá k půdorysně π. Uvažujme nejdříve první obrys plochy Φ. Styčné přímkyjsoukolmékπ(rovnoběžnésosouo)adotýkajíseφvbodechhrdlačirovníku, případně procházejí body hraničních kružnic. První skutečný obrys plochy se tedy skládá z částí těchto křivek a první zdánlivý obrys je pravoúhlým průmětem(půdorysem) prvního skutečného obrysu. Ukážeme si některé zvláštní případy(na obrázcích 2.9(a)- 2.9(e) vždy předpokládáme,žerotačníplochaφjedánaosou o πameridiánem mležícímvrovině rovnoběžné s nárysnou.) Na obr. 2.9(a) patří prvnímu skutečnému obrysu plochy Φ hraniční kružnice p a hrdlo c(rovník r a hraniční kružnice q k obrysu nepatří). Půdorysem plochy jemezikružíurčenékružnicemi p 1,c 1 aprvnímzdánlivýmobrysemjsoukružnice p 1,c 1.Na obr. 2.9(b) předpokládáme, že m je parabola. Pak Φ nemá první skutečný ani zdánlivý obrysajejímpůdorysemjecelárovina π.prvnímskutečnýmobrysemplochyφnaobr. 2.9(c)jerovník rapůdorysemjekruhurčenýkružnicí r 1.Plochanaobr.2.9(d)určená hyperbolou mmáprvnískutečnýobryshrdlo cajejímpůdorysemjemnožinabodůzπ, kteréležívněkružnice c 1 nebona c 1.Prvnímskutečnýmobrysemplochynaobr.2.9(e) jsouhrdlo carovník raφ 1 jemezikruží. Nyní určíme druhé obrysy rotačních ploch na obr Styčné přímky(kolmé k nárysně) sedotýkajíplochyvbodechmeridiánu mležícíhovroviněrovnoběžnésν,kterýsenazývá hlavní meridián. Kromě toho procházejí body hraničních kružnic plochy, ke kterým počítáme i kráterové kružnice. Druhý skutečný obrys se tedy skládá z příslušných částí hlavního meridiánu, hraničních a kráterových kružnic, druhý zdánlivý obrys z nárysů těchto útvarů. Druhý skutečný obrys plochy na obr. 2.9(a) tvoří hlavní meridián m a hraniční kružnice p, q.zdánlivýmobrysemjenárys m 2 hlavníhomeridiánuaúsečky p 2, q 2.Podobná situace je v případě plochy zobrazené na obr. 2.9(c). Druhými skutečnými obrysy ploch na obr. 2.9(b), 2.9(d) jsou hlavní meridiány. Na obr. 2.9(e) je druhý skutečný obrys složen

15 KAPITOLA 2. ZÁKLADNÍ POJMY A VLASTNOSTI 15 o 2 o 2 p 2 m 2 m 2 c 2 Φ 2 r 2 o 2 Φ 2 r 2 m 2 Φ 2 q 2 x 1,2 p 2 x 1,2 r 1 Φ 1 x 1,2 o 1 m 1 c 1 m 1 Φ 1 o 1 Φ 1 (a) q 1r1 p 1 (b) o 1 m 1 p 1 (c) o 2 Φ 2 c 2 m 2 r 2 o 2 p 2 m 2 c 2 Φ 2 q 2 x 1,2 x 1,2 r 1 p 1 = q 1 Φ 1 c 1 o 1 m 1 Φ 1 c 1 o 1 m 1 (d) (e) Obrázek 2.9: Průměty rotačních ploch

16 KAPITOLA 2. ZÁKLADNÍ POJMY A VLASTNOSTI 16 z části hlavního meridiánu m a z kráterových kružnic p, q. Poznámka.JestližejeΦrotačníválcováplochasosoukolmoukπ,pakprvnískutečnýani zdánlivý obrys nejsou definovány, neboť střed promítání(nevlastní bod kolmic k π) leží na Φ. Půdorysem plochy je kružnice. Abychom určili stupeň algebraické rotační plochy, která vznikne rotací algebraické prostorové křivky stupně n, volme souřadnicovou osu z v ose rotace o. Pak tvořicí prostorová křivka k ma parametrické rovnice x=x(t), y= y(t), z= z(t), (1) vekterýchnapravéstranějsoupolynomy,znichžalespoňjedenjestupně naostatní nejvýšestupně n.otáčenímbodu P(x 0 ; y 0 ; z 0 ),ležícíhonakřivce(1),vzniknekružnice orovnicích x 2 + y 2 = x y2 0, z= z 0, (2) vnichžjsounapravýchstranáchpolynomystupně2nanvparametru t.vyloučením tohoto parametru z obou rovnic obdržíme hledanou rovnici rotační plochy, která je obecně stupně 2n. Věta 2.1. Rotací algebraické křivky stupně n okolo přímky o, která neleží v rovině souměrnosti křivky(existuje-li taková rovina), vznikne rotační plocha stupně 2n. Věta 2.2. Rotací algebraické křivky stupně n okolo kterékoliv přímky její roviny souměrnosti vznikne rotační plocha téhož stupně n. Poznámka. Jako příklad ukažme vytvoření rotační plochy vznikající otáčením kuželosečky orovnicích x 2 +(y n) 2 = r 2, z= ky, okoloosya) z,b) x. Volíme-li y = t jako parametr, pak parametrické rovnice kuželosečky jsou x= r 2 (t n) 2, y= t, z= kt pro t n r. a) Rotací okolo osy z vytvoří každý bod kuželosečky kružnici o rovnicích x 2 + y 2 = r 2 n 2 +2nt, z= kt. Vyloučením parametru t z těchto rovnic obdržíme rovnici plochy druhého stupně k(x 2 + y 2 ) 2nz k(r 2 n 2 )=0, neboť osa rotace leží v rovině souměrnosti x = 0 kuželosečky.

17 KAPITOLA 2. ZÁKLADNÍ POJMY A VLASTNOSTI 17 b) Naopak rotací kuželosečky okolo osy x obdržíme pro každý její bod dráhu y 2 + z 2 = t 2 (1+k 2 ), x= r 2 (t n) 2. Vyloučením parametru t z těchto rovnic obdržíme nyní rovnici rotační plochy čtvrtého stupně [(x 2 r 2 n 2 )(1+k 2 )+y 2 + z 2 ] 2 =4(y 2 + z 2 )(1+k 2 ), kteráprohodnotu k=0jerovnicíanuloidu. 2.3 Průniky rotačních ploch Průnikemdvourotačníchploch 1 Φ, 2 Φjemnožinajejichspolečnýchbodů.Vobecnémpřípadš je průnikem křivka, jejíž body určujeme zaváděním pomocných ploch(rovin) následujícímzpůsobem.volímevhodnouplochutak,abyjejíprůnikovékřivky 1 k, 2 ksplochami 1 Φ, 2 Φbylyconejjednodušší.Společnébodykřivek 1 k, 2 kpakpatříhledanémuprůniku. Pomocné roviny volíme podle toho, jakou vzájemnou polohu mají osy rotace daných ploch. Splývající osy Nechť rotační plochy mají společnou osu. Mají-li takové dvě plochy společný bod A, který neleží na společné ose rotace, mají společnou také rovnoběžku, kterou při rotaci opíše bod A. Je-li společná osa rovnoběžná s průmětnou, průniková kružnice sezobrazídoúsečkykolmékprůmětuosy. Rovnoběžné různé osy Rovina σ, která je určená oběma osami, je společnou rovinou souměrnosti obou ploch, a tedy i rovinou souměrnosti průnikové křivky. Za pomocné plochy volíme roviny kolmé k oběma osám. Pomocné roviny protínají dané plochy v rovnoběžkách; jejich společné body jsou body průniku. Různoběžné osy Za pomocné plochy volíme kulové plochy se středem v průsečíku os daných rotačních ploch.zvolenákulováplocha κmáskaždouzdanýchploch 1 Φ, 2 Φspolečnouosu; kulováplochajetedyprotínávrovnoběžkách.je-li 1 k(resp. 2 k)rovnoběžka,vníž kulováplocha κprotínáplochu 1 Φ(resp. 2 k),pakspolečnébody A, A kružnic 1 k, 2 k je bodem průniku. Průniková křivka je souměrná podle společné roviny souměrnosti σ= 1 o 2 oobourotačníchploch. Mimoběžné osy V případě, že jsou osy mimoběžné, je nutné volit pomocné plochy tak, aby průsečné křivky byly co nejjednodušší. Např. rovina kolmá k ose jedné rotační plochy protíná tuto plochu v kružnici. Je-li její řez s druhou plochou jednoduchou křivkou, stačí za pomocné roviny volit roviny rovnoběžné se zvolenou rovinou. Není-li řez s druhou

18 KAPITOLA 2. ZÁKLADNÍ POJMY A VLASTNOSTI 18 plochou jednoduchou křivkou, volíme rovinu kolmou k druhé ose a vyhledáme řez s první plochou. Jestliže ani tento řez není jednoduchá křivka, pak zpravidla za pomocné roviny volíme roviny rovnoběžné s oběma osami. Vespeciálnímpřípadě,kdyjednarotačníplochajeanuloidadruhámáosuvrovině kružnice, kterou vyplní středy polomeridiánů anuloidu, lze průnik snadno sestrojit užitím vhodně volených pomocných kulových ploch. Kulová plocha, která prochází polomeridiánem anuloidu a má střed na ose rotační plochy, protíná totiž rotační plochu v kružnicích, jejichž společné body s polomeridiánem jsou body průniku. Tečnu k průnikové křivce v jejím bodě T je možno sesrojit obvyklým způsobem jako průsečnici ttečnýchrovin 1 τ, 2 τkplochám 1 Φ, 2 Φvbodě T.Jestliževbodě Tsestrojíme normálu 1 nkploše 1 Φ,pakje 1 n 1 τa 1 n t.podobněnormála 2 nvbodě T kploše 2 Φjekolmák 2 τatímtakékt.přímka tjetedykolmáknormálovérovině ξ= 1 n 2 n.k určení tečny průnikové křivky dvou rotačních ploch je často výhodnější používat normálové roviny než dvou tečných rovin.

19 KAPITOLA 3. ROTAČNÍ KVADRIKY 19 Kapitola 3 Rotační kvadriky 3.1 Definice a základní vlastnosti Rotační kvadriky tvoří samostatnou součást teorie rotačních ploch a proto jim věnujeme celou kapitolu. Rotační kvadrika vzniká rotací kuželosečky kolem její osy. Je-li kuželosečka regulární resp. singulární, pak je také příslušná kvadrika regulární resp. singulární. Pokud nebude v dalším řečeno něco jiného, budeme pod rotační kvadrikou rozumět jen reálnou regulární kvadriku.(singulární rotační kvadriky- rotační válcovou a kuželovou plochu- studovat nebudeme. Nebudeme se zabývat ani kulovou plochou, která patří ovšem mezi regulární kvadriky.) Průsečíky osy rotace s rotační kvadrikou jsou vrcholy plochy. Je-li kuželosečka k středová, pak je také příslušná kvadrika středová a jejím středem je střed kuželosečky k. Rotační(regulární) kvadriky dělíme jednak podle druhu rotující kuželosecky, jednak podle toho, která její osa je osou rotace. V následujícím přehledu uvedeme u každé kvadriky, také její rovnici v pravoúhlém souřadnicovém systému, jehož osa z splývá s osou rotace a počátek je středem kvadriky, pokud je tato středová. Rotací elipsy kolem její osy vzniká rotační elipsoid. Je-li osou rotace hlavní resp. vedlejší osa elipsy, nazývá se tento elipsoid protáhlý(vejčitý) resp. zploštělý. Rovnice elipsoidu, který vznikne rotací elipsy o rovnicích má tvar x=0, y 2 z2 a2+ c 2=1, x 2 + y 2 a 2 + z2 c 2=1. Je-li a < cresp. a > c,pakjetentoelipsoidprotáhlýresp.zploštělý.(vpřípadě a=c dostáváme kulovou plochu.) Rotací hyperboly kolem její osy vzniká rotační hyperboloid. Je-li osou rotace hlavní resp.

20 KAPITOLA 3. ROTAČNÍ KVADRIKY 20 vedlejší osa, nazývá se tento hyperboloid dvojdílný resp. jednodílný. Rotací hyperboly orovnicích y 2 x=0, a z2 2 c 2=1 resp. x=0, a c 2=1 je vytvořen jednodílný resp. dvojdílný hyperboloid o rovnici y2 z2 2+ resp. x 2 + y 2 a 2 z2 c 2=1. x2 + y 2 a 2 + z2 c 2=1. Rotací paraboly kolem její osy vzniká rotační paraboloid. Zvolíme-li počátek souřadnicového systému ve vrcholu paraboloidu, pak tento paraboloid má rovnici x 2 + y 2 =2pz. Poznámka. Podle předchozího existuje pět druhů(regulárních) rotačních kvadrik. V dalším poznáme, že dělení elipsoidů na protáhlé a zploštělé je v podstatě formální(obě plochy mají stejné základní vlastnosti) na rozdíl od jednodílného a dvojdílného hyperboloidu(jedna plocha je přímková, druhá ne). Rotační kvadriky jsou plochy druhého stupně. Patří mezi tzv. algebraické plochy. Studium(obecných) kvadrik je důležitou součástí klasické algebraické geometrie. V dalším budeme některých výsledků této teorie využívat. Každá přímka, která neleží na kvadrice, ji např. protíná ve dvou bodech a každá rovina v kuželosečce. Je-li rovina řezu tečnou rovinou kvadriky, pak její bod dotyku je dvojnásobným bodem kuželosečky řezu a tato kuželosečka je proto singulární. Poznámka. Při některých úvahách je užitečné uvažovat i imaginární elementy, tj. provádět komplexní rozšíření reálného prostoru. V tomto pojetí protíná přímka kvadriku ve dvou bodech, které mohou být reálné různé, komplexně sdružené nebo reálné splývající. Pokud nebude o bodech, přímkách a roviách řečeno v dalším textu nic bližšího, budeme předpokládat, že jsou reálné a vlastní. V tomto paragrafu uvedeme ještě některé vlastnosti jednotlivých druhů rotačních kvadrik vyplývajících z definic, spolu s jejich zobrazením v Mongeově promítání v základní poloze, tj. s osou rotace kolmou k půdorysně.

21 KAPITOLA 3. ROTAČNÍ KVADRIKY 21 Rotační elipsoid Rotační elipsoid je středová kvadrika se dvěma vrcholy na ose rotace. Neobsahuje nevlastní body(protíná nevlastní rovinu v imaginární elipse). Na obr. 3.1 je zobrazen protáhlý elipsoid a na obr. 3.2 zploštělý elipsoid. Jsou na nich vyznačeny sdružené průměty hlavního meridiánu m a rovníku r. Jsou-li E,F ohniska elipsy m, pak protáhlý elipsoid, který vznikne rotací m, je množinou bodů v prostoru, jejichž součet vzdáleností od bodů E,F je konstantní a roven velikosti hlavní osy elipsy m. o 2 E 2 m 2 r 2 F 2 x 1,2 r 1 m 1 o 1 = E 1 = F 1 Obrázek 3.1: Rotační protáhlý elipsoid

22 m 1 o 1 KAPITOLA 3. ROTAČNÍ KVADRIKY 22 o 2 m 2 r 2 x 1,2 r 1 Obrázek 3.2: Rotační zploštělý elipsoid Rotační paraboloid Rotační paraboloid je nestředová kvadrika, má na své ose jeden vrchol. Dotýká se nevlastní roviny v nevlastním bodě osy(protíná nevlastní rovinu v singulární elipse, tj. ve dvojici komplexně sdružených přímek se společným reálným bodem). Na obr. 3.3 leží vrchol V paraboloidu v půdorysně. Prvním průmětem plochy je celá půdorysna. Je-li F ohnisko a d řídící přímka paraboly k, Φ paraboloid vytvořený rotací k a ρ rovina vytvořená rotací přímky d,pakjeφmnožinabodůvprostorustejněvzdálenýchod F aod ρ.bod F je ohnisko paraboloidu Φ.

23 V 2 x 1,2 KAPITOLA 3. ROTAČNÍ KVADRIKY 23 o 2 m 2 o 1 = V 1 m 1 Obrázek 3.3: Rotační paraboloid Rotační hyperboloidy Rotační hyperboloid je středová kvadrika, protíná nevlastní rovinu v(reálné) regulární kuželosečce l.rotacíasymptottvořícíhyperbolyvznikáasymptotickákuželováplocha, kterásedotýkápříslušnéhohyperboloidupodélkuželosečky l.jetodotykovákuželová plocha opsaná hyperboloidu z jeho středu. Rotační dvojdílný hyperboloid Rotační dvojdílný hyperboloid má dva vrcholy a je množinou bodů v prostoru takových, že absolutní hodnota rozdílu jejich vzdáleností od dvou různých bodů je konstantní. Na obr. 3.4 je rotační dvojdílný hyperboloid zobrazen v Mongeově promítání, je omezen půdorysnou arovinou α.druhýmzdánlivýmobrysemjehyperbola m 2 -náryshlavníhomeridiánu m. Asymptotyhyperboly m 2 jsounárysyobrysovýchpovrchovýchpřímekasymptotickékuže-

24 KAPITOLA 3. ROTAČNÍ KVADRIKY 24 lové plochy. Prvním průmětem hyperboloidu je celá půdorysna, na obr. 3.4 jsou zakresleny kružnice řezu hyperboloidu a jeho asymptotické kuželové plochy s půdorysnou. o 2 α 2 m 2 x 1,2 o 1 m 1 Obrázek 3.4: Rotační dvojdílný hyperboloid Rotační jednodílný hyperboloid Mějme dán rotační jednodílný hyperboloid Φ osou o a meridiánem m v nákresně. Na m zvolíme bod M(obr. 3.5, kde jsou pravoúhlé průměty do nákresny značeny stejně jako příslušné útvary v prostoru). Tečná rovina τ plochy v bodě M je kolmá k nákresně, promítá sepravoúhledotečnyvbodě Mk maprotínáplochuφvsingulárníkuželosečce q.rovina τ τvedenástředem SplochyΦ-vrcholemasymptotickékuželovéplochyΦ -protíná

25 KAPITOLA 3. ROTAČNÍ KVADRIKY 25 Φ vedvoupovrchovýchpřímkách a, n,tj.vkuželosečcetypuhyperbola.protožeφa Φ majíspolečnoukuželosečku l aroviny τ, τ nevlastnípřímku,majíkuželosečky q, q tytéžnevlastníbody.protojetaké qtypuhyperbolaarozpadásenadvěpřímky a, n, rovnoběžnéspřímkami a, n ;předpokládejme,že a a, n n. o τ= a=n τ = a = n m M S 1 M 1 τ= 1 a= 1 n Obrázek 3.5: Rotační jednodílný hyperboloid Přímka aležínaφaprotínávšechnyrovnoběžkyplochyφajejejítvořícíkřivkou. Rotační jednodílný hyperboloid můžeme proto vytvořit rotací přímky kolem osy s ní mimoběžné. Tato plocha je jedinou regulární přímkovou rotační kvadrikou. Množina všech přímek, které dostaneme rotací přímky a, se nazývá regulus hyperboloidu. Všechny přímky tohoto regulu jsou navzájem mimoběžné. Kdyby se totiž např. dvě znichprotínalyvbodě R,pakbybod Rleželnaose orotaceamuselabyjímprocházet přímka avesporuspředpokladem,že ajemimoběžnáso.rotacípřímky nkolem odostáváme druhý regulus plochy Φ, jehož všechny přímky jsou opět navzájem mimoběžné. Současněspřímkami a, nrotujíkolem opřímky a, n avytvářejíasymptotickoukuželovou

26 KAPITOLA 3. ROTAČNÍ KVADRIKY 26 plochuφ.každápřímkaplochyjetedyrovnoběžnásněkteroupovrchovoupřímkouplochy Φ.Jestližeje 1 M bodmeridiánu msouměrněsdruženýsm podlestředu S,paktečná rovina 1 τkφvbodě 1 Mjerovnoběžnásτaobsahujepřímku 1 aplochyφrovnoběžnou s a atedyisa(obr.3.5).pomocírotacekolemosy odostávámetvrzení: Věta3.1.KekaždépřímcenaΦexistujepřímkatétoplochysnírovnoběžná(oběpřímky patří různým regulům). Každé dvě přímky různých regulů plochy Φ se protínají nebo jsou rovnoběžné: Mějme přímky a, nrůznýchregulůplochy(obr.3.6,opětsosou ovnákresně).přímkou aprvního regulu proložme promítací rovinu λ. Ta protíná plochu Φ ještě v přímce p druhého regulu. Je-li n λ,pak n=papřímky n, aseprotínajínebojsourovnoběžné.je-li nrůznoběžná s λ,pakexistujespolečnýbod R=n λ(obr.3.6).bod RležínaplošeΦasoučasně vrovině λ,toznamená,želežínařezuroviny λsplochouφ,tj.naněkterézpřímek a, p.přímky n, ppatřítémužregulu,jsoutedymimoběžnéaproto R a.přímky a, n seprotínajívbodě R.Je-li n λ,pakjsoupřímky a, npodlepředchozíhorovnoběžné. Uvedenou větu formulujeme často v rozšířeném eukleidovském prostoru stručněji: Věta 3.2. Každé dvě přímky různých regulů rotačního jednodílného hyperboloidu se protínají. o o m n R m T 0 T a n λ=a=p Obrázek 3.6: Přímky různých regulů τ 0 = a 0 = n 0 Obrázek 3.7: Tečná rovina k jednodílnému hyperboloidu Mějmebod T plochyφaotočmehokolemosy odobodu T 0 m(obr.3.7).tečna vbodě T 0 khlavnímumeridiánujepravoúhlýmprůmětemtečnéroviny τ 0 kploševbodě

27 KAPITOLA 3. ROTAČNÍ KVADRIKY 27 T 0 a τ 0 protínáφvedvoupřímkách a 0, n 0 různýchregulů.otočíme-libod T 0 nazpětdo bodu T,pakrovina τ 0 přejdevtečnourovinu τplochyφvbodě Tapřímky a 0, n 0 přejdou v přímky a, n plochy různých regulů. Platí: Věta 3.3. Každým bodem plochy prochází přímky obou regulů. Tyto přímky určují tečnou rovinuplochyφvbodě TajsousoučasnějejimřezemsΦ.Tečnérovinybodůtéžepřímky pplochyφvytvářejísvazekrovinoose p. To je charakteristické pro tzv. zborcené plochy. Proto se rotační jednodílný hyperboloid někdy nazývá rotační zborcený hyperboloid. o m α=a=n=v Obrázek 3.8: Asymptotická rovina α Předcházející výroky o tečných rovinách rotačního jednodílného hyperboloidu byly formulovány v rozšířeném eukleidovském prostoru. Zvláštní pozornosti zasluhují tečné roviny plochy Φ v jejích nevlastních bodech, tzv. asymptotické roviny. Asymptotická rovina protíná plochu Φ ve dvou rovnoběžných přímkách a, n různých regulů procházejících bodemdotyku T.ProtožeseplochaΦapříslušnáasymptotickáplochaΦ dotýkajípodél

28 KAPITOLA 3. ROTAČNÍ KVADRIKY 28 T o α v n a Obrázek 3.9: Asymptotická rovina α nevlastníkuželosečky l,majívbodě T společnoutečnourovinu α.toznamená,že rovina αsedotýkákuželovéplochyφ podélpovrchovépřímky vrovnoběžnésa, n(na obrázku 3.8 je zobrazena promítací asymptotická rovina α plochy Φ dotýkající se asymptotické kuželové plochy v obrysové povrchové přímce v a kromě toho je tato situace zobrazena na názorném obrázku 3.9). Naobr.3.10jerotačníjednodílnýhyperboloidsosou okolmoukπzobrazenvmongeove promítání.prvnímobrysemplochyjepůdorys h 1 hrdelníkružnice h.půdorysemostatních bodůplochyjemnožinavnějšíchbodůkružnice h 1.Druhýmobrysemjehyperbola m 2, nárysem plochy je vnitřek této hyperboly. Na obr je zobrazena přímka a hyperboloidu. Půdorys a 1 resp.nárys a 2 sedotýkákružnice h 1 resp.hyperboly m 2.Prvníresp.druhýobrys je tedy obálkou půdorysů resp. nárysů přímek plochy.

29 KAPITOLA 3. ROTAČNÍ KVADRIKY 29 o 2 a2 m 2 h 2 h 1 x 1,2 o 1 m 1 a 1 Obrázek 3.10: Průměty rotační plochy

30 KAPITOLA 4. KONSTRUKČNÍ ÚLOHY 30 Kapitola 4 Konstrukční úlohy Pro řešení všech následujících příkladů se předpokládá dostatečná znalost zobrazovacích metod a všech základních konstrukčních úloh v různých projekcích.

31 KAPITOLA 4. KONSTRUKČNÍ ÚLOHY 31 Příklad1.VMongeověprojekcizobrazteplochuΣ=(o, k)danouosourotace oakřivkou kaurčetepůdorysbodu A Σ,je-lidánjehonárys A 2.Sestrojteobrysytétoplochy. Řešení1.Jedánaosarotace oakřivka ksvýmisdruženýmiprůměty.hlavnímeridián m ležívrovině λrovnoběžnésnárysnouaprocházejícíosou oplochy,půdorysem λ 1 jetedy přímkarovnoběžnásezákladnicí x.zvolmenakřivce kbod L.Přirotacikolemosy oopisuje bod L rovnoběžku l. Průsečíky rovnoběžky l s rovinou λ jsou body hlavního meridiánu m, jejichžnárysyjsoukoncovébody L 2, L 2 úsečky l 2.Nechťjenynídánnárys A 2 bodu A Σ. Bodem Aprocházírovnoběžka aplochyσ,jejížnárysjeúsečka a 2 rovnoběžnásezákladnicí x.rovnoběžka aprotínátvořícíkřivku kvbodě A,jehožpůdorys A 1ležína k 1.Tímto bodemprocházípůdorys a 1 rovnoběžky a.nakružnici a 1 pakležípůdorys A 1 bodu A.Na obr.4.1jesestrojenoidruhémožnéřešení-bod A.

32 KAPITOLA 4. KONSTRUKČNÍ ÚLOHY 32 o 2 A 2 m 2 L 2 L 2 k 2 l 2 a 2 L 2 A 2 = Ā2 r 2 x 1,2 a 1 r 1 Ā 1 k 1 L 1 l 1 A 1 m 1 L 1 o 1 L 1 λ 1 A 1 Obrázek 4.1: Příklad 1

33 KAPITOLA 4. KONSTRUKČNÍ ÚLOHY 33 Příklad 2. Sestrojte nárys bodu A rotační plochy určené hlavním meridiánem m, je-li dán půdorys A 1.Určetedotykovouanormálovoukuželovouplochupříslušnoukrovnoběžce bodu A. Řešení2.Rotačníplochajeurčenaosourotace oahlavnímmeridiánem m.bod Aleží narovnoběžce a,půdorys A 1 bodu Aležítedynakružnici a 1 sestředemvbodě o 1,která protínárovinu λhlavníhomeridiánu mvbodě Ā.Půdorys Ā1bodu Āležítedynaúsečce m 1 anárys Ā2nakřivce m 2.Takovébodymohoubýtdva,naobrázku4.2jsouzakreslena oběřešení,bod Āibod Ā.Nadálebudemepracovatpouzesbodem A.Bodem Ā2prochází nárys a 2 rovnoběžky a.na a 2 pakležínárys A 2 bodu A. Nyní určíme dotykovou a normálovou kuželovou plochu příslušnou k rovnoběžce a. Uvažujmetečnu tkmeridiánu mvbodě Āležícívrovině λ.vzhledemktomu,žetečna t ležívrovině λ,jejejímnárysem t 2 skutečnátečnakekřivce m 2 vbodě Ā2.Tečnaprotínáosu ovbodě 1 V.Přirotacikolemosy ovytvářítečna trotačníkuželovouplochuωovrcholu 1 V, která se dotýká dané rotační plochy podél rovnoběžky a. Tato kuželová plocha je hledaná dotyková kuželová plocha. Obdobně určíme normálovou kuželovou plochu. Uvažujme nyní normálu nkmeridiánu mvbodě Āležícívrovině λ.vzhledemktomu,ženormála nleží vrovině λ,jejejímnárysempřímka n 2,kterájeskutečnounormáloukřivky m 2 vbodě Ā 2 ajetedykolmákpřímce t 2.Normálaprotínáosu ovbodě 2 V apřirotacikolemosy ovytvářírotačníkuželovouplochuω ovrcholu 2 V,kterásedotýkádanérotačníplochy podél rovnoběžky a. Tato kuželová plocha je hledaná normálová kuželová plocha.

34 KAPITOLA 4. KONSTRUKČNÍ ÚLOHY 34 1 V 2 o 2 Ω 2 Ā 2 A 2 a 2 t 2 n2 r 2 m 2 Ω 2 Ā 2 A 2 2 V 2 a 2 x 1,2 a 1 = a 1 r 1 Ā 1 = Ā 1 o 1 = 1 V 1 = 2 V 1 m 1 λ 1 = t 1 = n 1 A 1 = A 1 Obrázek 4.2: Příklad 2

35 KAPITOLA 4. KONSTRUKČNÍ ÚLOHY 35 Příklad 3. Sestrojte tečnou rovinu v bodě A rotační plochy dané hlavním meridiánem m, je-lidánnárys A 2. Řešení 3.Mámedánnárys A 2 bodu Arotačníplochy.Jehopůdorysurčímepomocí rovnoběžky ajdoucíbodem A.Danémunárysu A 2 mohouodpovídatdvabody,naobr.4.3 máme vybrán jeden z nich. Tečnourovinukrotačníploševdanémbodě Aurčímepomocítečenkedvěmakřivkám, které leží na ploše a prochází tímto bodem. Uvažujme rovnoběžku a a meridián n plochy vbodě A. Tečnu u k rovnoběžce a určíme snadno, protože rovina kružnice a je rovnoběžná s půdorysnouapřímka ujetedyhlavnípřímkouprvníosnovyhledanétečnéroviny τ.nárys u 2 jepřímkarovnoběžnásezákladnicí xjdoucíbodem A,půdorys u 1 jetečnakružnice a 1 vbodě A 1. Ke konstrukci tečny t k meridiánu n využijeme dotykové kuželové plochy. Bod A otočíme kolemosy odobodu A hlavníhomeridiánu mavbodě A sestrojímetečnu t k m,která protínáosu ovevrcholudotykovékuželovéplochy V.Povrchovápřímka t=v Atéto kuželovéplochyjetečnoukmeridiánu nvbodě A.Kekonstrukcitečny ttedyvůbec nepotřebujeme průměty meridiánu n. Přímkami t, ujejižurčenahledanátečnárovina τ.

36 KAPITOLA 4. KONSTRUKČNÍ ÚLOHY 36 V 2 o 2 n τ 2 m 2 a 2 A 2 A 2 u 2 n 2 t 2 r 2 t 2 x 1,2 r 1 p τ 1 a 1 A 1 m 1 o 1 = V 1 t 1 = n 1 A 1 t 1 u 1 Obrázek 4.3: Příklad 3

37 KAPITOLA 4. KONSTRUKČNÍ ÚLOHY 37 Příklad4.Určetenárysymeridiánůrotačníplochy,kteréležívrovinách 1 λ- 6 λ. Řešení4.Rotačníplochumámedanousdruženýmiprůměty,roviny 1 λ- 6 λjsoukolmék půdorysněaobsahujíosu o.dopůdorysusepromítajídopřímek 1 λ 1-6 λ 1. Uvažujme roviny rovnoběžné s půdorysnou. Jednou z takových rovin je rovina α. Ta protínárotačníplochuvrovnoběžce a.kružnice aprotínádanourovinu 1 λvbodě 1 A, rovinu 2 λvbodě 2 Aatd.Bod 1 Ajebodemmeridiánu 1 mrotačníplochy,kterýležív rovině 1 λ.stejnětakbod 2 Ajebodemmeridiánu 2 mplochy,kterýležívrovině 2 λatd. Půdorysybodů 1 A, 2 A,...najdemetakto.Kdeprotínákružnice a 1 půdorysroviny 1 λ, jebod 1 A 1.Stejněsestrojímepůdorysyostatníchbodůhledanýchmeridiánů.Nárysytěchto bodůjižnajdemesnadno.ležívždynaúsečce a 2 anaodpovídajícíordinále. Podobným způsobem můžeme sestrojit libovolný počet bodů hledaných meridiánů.

38 KAPITOLA 4. KONSTRUKČNÍ ÚLOHY 38 o 2 h 2 1 A 2 2 A 2 a 2 α 2 r 2 1 m 2 2 m 2 x 1,2 r 1 a 1 h 1 1 λ 1 1 m 1 1 A 1 o 1 2 m 1 2 A 1 6 λ 1 2 λ 1 3 λ 1 5 λ 1 4 λ 1 Obrázek 4.4: Příklad 4

39 KAPITOLA 4. KONSTRUKČNÍ ÚLOHY 39 Příklad 5. Sestrojte řez rotační plochy rovinou ρ kolmou k nárysně. V obecném bodě řezu sestrojte tečnu řezu. Řešení 5. Příklad budeme řešit tak, že budeme určovat společné body rovnoběžek plochy srovinou ρ.naobr.4.5jesestrojenarovina α,kterámásrotačníplochouspolečnou rovnoběžku a.taprotínárovinu ρvbodech A, A,cožjsoubodyřezu k.různýmivolbami umístění roviny α můžeme sestrojit libovolný počet bodů řezu. Významné body řezu k jsou body R, R ležícínarovníku r,neboťjejichpůdorysy R 1, R 1 jsoubodyprvníhoobrysu plochyapůdorysřezu k 1 vnichměníviditelnost.křivka k 1 akružnice r 1 sevbodech R 1, R 1dotýkají.Body M, M ležícínahrdelníkružnici hrotačníplochyjsounejvyššíbody řezu.bod Njenejnižšíbodřezu.Tečnyvbodech M, M a Njsoukolméknárysně.Na obr.4.5nejsouzkonstruovány.nárysemřezu kjeúsečka k 2.Půdorysk1řezukjekřivka souměrná podle přímky s1, která je půdorysem průsečnice s roviny havního meridiánu lambda a roviny rho. Sestrojmenynívbodě Atečnuřezu k.tatotečnařezubudeprůsečnicetečnéroviny τ vbodě Asrovinou ρ.sestrojmetedynejdřívetečnourovinu τrotačníplochyvbodě A. Využijemektomuopěttečny ukrovnoběžce aatečny vkmeridiánujdoucímbodem A podlepříkladu3.tečna tvbodě Akekřivce kjetedyprůsečnicetečnéroviny τrotační plochyvbodě Aarovinyřezu ρ.půdorys t 1 jetečnoukekřivce k 1,nárys t 2 tečny tsplývá snárysemrovinyřezu ρ.

40 KAPITOLA 4. KONSTRUKČNÍ ÚLOHY 40 o 2 m 2 M 2 = M 2 h 2 v 2 P 2 v 0 2 r 2 R 2 = R 2 k 2 a 2 α 2 = u 2 A 0 2 A 2 = A 2 N 2 n ρ 2 = t 2= ρ 2 = s 2 x 1,2 R 1 r 1 a 1 k 1 v 1 M 1 A 1 m 1 h 1 o 1 P 1 N 1 A 0 1 v 0 1= s 1 = λ 1 u 1 M 1 A 1 p τ 1 p ρ 1 R 1 t 1 Obrázek 4.5: Příklad 5

41 KAPITOLA 4. KONSTRUKČNÍ ÚLOHY 41 Příklad6.Krotačníploševeďtetečnourovinurovnoběžnousrovinou αaurčetejejíbod dotyku. Řešení 6. Rotační plocha je dána sdruženými průměty, rovina α svými stopami. K řešení tohotopříkladuvyužijemetřetíprůmětnu.zatřetíprůmětnuzvolímerovinu ν,která obsahujeosu oajekolmákrovině α.třetíprůmětroviny αsepakzobrazídopřímky α 3. Jelikož má být hledaná tečná roviny rovnoběžná s rovinou α, bude se třetí průmět tečné rovinyzobrazovatdopřímky τ 3 rovnoběžnéspřímkou α 3 abudesedotýkatkřivky m 3. Tajetřetímprůmětemmeridiánuplochy,kterýležívrovině ν.takovépřímkyjsoudvěa tedytečnérovinydanérotačníplochyrovnoběžnésrovinou αjsoutakédvě, τa tau.bod dotykutečnérovinytaujebod Aležícínarovnoběžce a,boddotykuroviny tau bod B ležícínarovnoběžce b.nyníjižstačíjensestrojitzbývajícíprůmětyrovin τ, τ abodů A, B.

42 KAPITOLA 4. KONSTRUKČNÍ ÚLOHY 42 o 2 n τ 2 n α 2 n τ 2 m 2 A 2 a 2 o 3 r 2 n τ 3= τ 3 b 2 B 2 m 3 n α 3 = α 3 n τ 3 = τ 3 x 1,2 A 3 a 3 r 1 r 3 B 3 x 1,3 = ν 1 b 3 B 1 m 1 m 1 A 1 a 1 b 1 p τ 1 p τ 1 p α 1 Obrázek 4.6: Příklad 6

43 KAPITOLA 4. KONSTRUKČNÍ ÚLOHY 43 Příklad 7. Sestrojte řez anuloidu rovinou ρ. V obecném bodě řezu sestrojte tečnu řezu. Řešení 7. Rotační plocha je dána sdruženými průměty, rovina ρ svými stopami. K řešení budeme využívat pomocné roviny rovnoběžné s půdorysnou. Na obr.??priklad7) máme pomocnou rovinu α. Ta protíná rotační plochu v rovnoběžce a a v rovnoběžce b, rovinu ρ vhlavnípřímceprvníosnovy 1 h α.průsečíky A, A přímky 1 h α skružnicí ajsoubodyřezu k.kružnice bpřímku 1 h α přitétovolběroviny αneprotíná,přijinémumístěníroviny α sevšakprotínatmohouadostanemetakdalšíbodyřezu k. Vbodě Asestrojímetečnu třezu k.postupovatbudemestejnějakovpříkladu5.v bodě A tedy nejdříve určíme tečnou rovinu rotační plochy podle prikladu 3 a její průsečnice s rovinou ρ bude hledaná tečna. Různými volbami pomocné roviny α můžeme sestrojit libovolný počet bodů řezu k. Stejným způsobem sestrojíme také body řezu na rovníku r, který je prvním skutečným obrysemplochyavtěchtobodechseprotobudeměnitviditelnostpůdorysu k 1 křivkyřezu k.jednímtakovýmbodemjebod R,vněmžjetečnárovina γkrotačníplošekolmák půdorysně.přímka w=γ ρjetečnařezu kvbodě R.Půdorysemroviny γjetedypřímka γ 1,kterásplýváspůdorysem w 1 tečny w.nárys w 2 určímesnadno,neboťvíme,žepřímka wležívrovině ρ. Nyní určíme body řezu na hlavním meridiánu m, který je druhým skutečným obrysem plochyavtěchtobodechsebudeměnitviditelnostnárysu k 2 křivkyřezu k.rovina λ hlavníhomeridiánuprotínárovinuřezu ρvhlavnípřímce 1 h ρ druhéosnovy,jejížprůsečíky U, V s hlavním meridiánem jsou body řezu. Tečné roviny k ploše v bodech hlavního meridiánujsoukolméknárysně,takžetečnykekřivcekvbodech U, V určímepodobně jakovbodě R.Tečnárovina βkrotačníploševbodě Ujetedykolmáknárysně,přímka e=β ρjetečnařezu kvbodě U.Nárysemroviny βjetedypřímka β 2,kterásplývás nárysem e 2 tečny e.půdorys e 1 tečny eurčímeopětztoho,žepřímka eležívrovině ρ. Uvažmerovinu δ,kteráprocházíosou oajekolmákrovině ρ.rovina δjekolmá kpůdorysnéstopě p ρ,půdorys δ 1 jetedykolmýkp ρ 1.Řez kjesouměrnýpodlepřímky s=δ ρapůdorys k 1 jesouměrnýpodle s 1.Průsečíky M, Npřímky ssrotačníplochou jsouprůsečíkypřímky ssmeridiánem,kterýležívrovině δ.body M, Nurčímetak,že rovinu δ otočíme kolem osy o do roviny λ hlavního meridiánu m. Meridián ležící v rovině δpřejdedohlavníhomeridiánu m.přímku sotočímetak,žeotočímedvajejíbody.bod X= s ojepřiotáčenísamodružný,půdorysnýstopník Ppřímky spřejdedobodu P 0. Přímka stedypřejdedopřímky s 0 = XP 0.Nyníurčímeprůsečíky M 0, N O přímky s 0 shlavnímmeridiánem matytobodyotočímezpětdobodů M, Nroviny δ.přiotáčení sebody M 0, N 0 pohybujíporovnoběžkáchrotačníplochy.bod M jenejvyššímbodem řezu k.nejnižšímibodyřezujsoubody L, L ležícívpůdorysně,kterésestrojímetak,že pomocnourovinu αposunemeprávědopůdorysny.body L, L ležínarovnoběžce lrotační plochy.tečnykřezu kvbodech M, N, L, L jsourovnoběžnéspůdorysnou,nárysytěchto tečen jsou tedy rovnoběžné se základnicí x, půdorysy jsou rovnoběžné s půdorysnou stopou p ρ 1roviny ρ.naobr.4.7nejsoutytotečnysestrojeny.

44 KAPITOLA 4. KONSTRUKČNÍ ÚLOHY 44 n ρ 2 v 2 e 2 = β 2 o 2 v 0 2 n τ 2 t 2 w 2 s h ρ 2 U 2 A2 s 2 M 2 M 0 2 b 2 N 2 A 2 r 2 a 2 R 2 V N2 0 2 α 2 = u 2 = 1 h ρ 2 m 2 k 2 X 2 P 0 2 P 2 L 2 l 2 L 2 x 1,2 u 1 t 1 r 1 k 1 A 1 1 h ρ 1 l 1 R 1 p ρ 1 M 1 γ 1 = w 1 b 1 N 1 L 1 U 1 m 1 P1 0 V 1 o 1 = X 1 N 0 1 M 0 1 s 0 1 =2 h ρ 1= v 0 1 = λ 1 A 1 P 1 v 1 s 1 = δ 1 e 1 L 1 a 1 p τ 1 Obrázek 4.7: Příklad 7

45 KAPITOLA 4. KONSTRUKČNÍ ÚLOHY 45 Příklad 8. Sestrojte řez anuloidu tečnou rovinou ρ v hyperbolickém bodě D. Řešení 8. Je dána rotační plocha svými sdruženými průměty a bod D plochy. Nejdříve musíme sestrojit tečnou rovinu plochy v bodě D. To uděláme podle příkladu 3, tzn. pomocí tečny vkmeridiánuplochy,kterýprocházíbodem Datečny ukrovnoběžce djdoucíbodem D. Tím dostaneme rovinu ρ. Nyní sestrojíme řez rotační plochy touto rovinou. Budeme postupovat jako v příkladu 7. Budeme tedy využívat pomocnou rovinu α, která jekolmákose o.rovina αprotínárovinu ρvhlavnípřímce 1 h ρ prvníosnovyroviny ρ, rotačníplochuvrovnoběžce a,resp. b.průsečíkypřímky 1 h ρ srovnoběžkou a,resp. b,jsou pakbodyřezu k.naobr.4.8jsoutaktosestrojenybody A, A narovnoběžce aabody B, B narovnoběžce b. Důležitým bodem řezu k je bod D. Protože je bod D hyperbolický bod rotační plochy, budedvojnýmbodemkřivky k.uvažmerovinu δ,kteráprocházíosou oajekolmákrovině řezu ρ.rovina δjekolmákpůdorysnéstopě p ρ,půdorys δ 1 jetedykolmýkp ρ 1.Řez kje souměrnýpodlepřímky v=δ ρ,kterájetakétečnoukmeridiánujdoucímbodem Da půdorys k 1 jesouměrnýpodle v 1. Dále bychom postupovali stejně jako v prikladu 7, tj. sestrojili bychom body řezu na hlavním meridiánu m, body řezu na rovníku r. Díky těmto bodům můžeme určit viditelnost půdorysu k 1 inárysu k 2 řezu k.vkterémkolivboduřezubychommohlisestrojittečnu řezustejnějakovpříkladu7.

46 KAPITOLA 4. KONSTRUKČNÍ ÚLOHY 46 2 h ρ 2 v 2 o 2 n ρ 2 v2 0 K 2 m 2 X 2 D 2 d 2 k 2 q 2 D 0 1 r L 2 2 Y Y 2 X 2 2 c 2 A 2 B 2 B 2 a 2 A 2 α 2 = 1 h ρ 2 b 2 P 0 2 P 2 x 1,2 X 1 r 1 A 1 p ρ 1 a 1 D 1 b 1 d 1 m 1 K 1 L 1 P1 0 Y 1 o 1 Y 1 B 1 c 1 D h ρ 1= λ 1 k 1 B 1 P 1 u 1 v 1 = δ 1 X 1 A 1 1 h ρ 1 Obrázek 4.8: Příklad 8

47 KAPITOLA 4. KONSTRUKČNÍ ÚLOHY 47 Příklad 9. V kolmé axonometrii sestrojte pronik dvou rotačních válců s podstavnými kružnicemi v půdorysně a nárysně. V obecném bodě proniku sestrojte tečnu proniku. Řešení9.MámedánydvarotačníválceΩ,Λ,válecΩmápodstavuvpůdorysně,válec Λ má podstavu v nárysně. Jejich pronik najdeme tak, že využijeme pomocnou rovinu α, kterájezároveňrovnoběžnásoběmaosamiválců.vzhledemktomu,ževálecλmáosu kolmouknárysněaválecωkpůdorysně,buderovina αrovnoběžnásbokorysnou.na obr.4.9protínárovina αválecλvpovrchovýchúsečkách a, b,válecωvúsečkách c, d. Průsečíky A, B, C, Dtěchtoúsečekjsoubodyřezu k.podobněmůžemezískatlibovolný počet bodů řezu. Uvažme rovinu ρ, která je tečnou rovinou obou válců. Válce Λ se dotýká podél povrchové úsečky r,válceωpodélúsečky s.tytoúsečkyseprotínajívbodě R,kterýjedvojným bodem řezu k. Důležitými body řezu jsou body na povrchových úsečkách, které tvoří skutečný obrys válců.vtěchtobodechseměníviditelnostřezu k.takovýmbodemjenapř.bod Tnaobr Sestrojmenynítečnu třezu kvbodě A.Budemepostupovattak,ževbodě Anajdeme tečné roviny k oběma válcům a jejich průsečnice bude hledaná tečna řezu. Bodem A procházípovrchováúsečka aválceλapovrchováúsečka cválceω.tečnárovina τválceλ vbodě Asejejdotýkápodélúsečky a,podobněsetečnárovina τ dotýkáválceωpodél úsečky c.průsečnicerovin τ, τ jehledanátečna třezu kvbodě A.

48 KAPITOLA 4. KONSTRUKČNÍ ÚLOHY 48 n ρ = s 2 z b τ = t 3 Ω n α = c 2 = d 2 b τ A 2 = B 2 = a 2 T 2 s n τ = t 2 A R 2 = r 2 k 2 c k B R T r p α = a 1 = b 1 t C 2 = D 2 = b 2 d a C k 1 x b A 1 = C 1 = c 2 R 1 = s 1 Λ p τ = t 1 T 1 D y p ρ = r 1 B 1 = D 1 = d 2 Obrázek 4.9: Příklad 9

49 KAPITOLA 4. KONSTRUKČNÍ ÚLOHY 49 Příklad 10. Sestrojte průnik dvou rotačních ploch s rovnoběžnými osami, v obecném bodě řezu sestrojte tečnu řezu. Řešení 10. Při řešení tohoto příkladu využijeme poznatků z podkapitoly 2.3 na straně 17.

50 KAPITOLA 4. KONSTRUKČNÍ ÚLOHY 50 1 o 2 2 o 2 1 n 2 t 2 2 m 2 1 m 2 L 2 2 h µ 2 2 n 2 1 A 0 2 K 2 1 a A a 2 B 2 2 A 0 2 α 2 1 n 0 2 M 2 N 2 2 n h µ 2 1 W 2 2 W 2 2 r 2 1 r 2 k 2 R 2 1 b 2 2 b 2 x 1,2 1 r 1 1 a 1 2 n 1 t 1 1 n 1 1 h µ 1 K 1 L 1 2 h µ 1 1 m 1 M 1 A 1 2 b 1 2 r 1 1 A o 1 = 1 W 1 k 1 N 1 2 m 1 2 o 1 = 2 W 1 1 b 1 B 1 R 1 2 A a 1 λ 1 Obrázek 4.10: Příklad 10

51 KAPITOLA 4. KONSTRUKČNÍ ÚLOHY 51 Příklad 11. Sestrojte průnik rotačních ploch s různoběžnými osami, v obecném bodě řezu sestrojte tečnu řezu. Řešení 11. Při řešení tohoto příkladu využijeme poznatků z podkapitoly 2.3 na straně 17.

52 KAPITOLA 4. KONSTRUKČNÍ ÚLOHY 52 2 n 2 2 h µ 2 1 n 2 B 2 A 2 R 2 K 2 M 2 1 h µ 2 t 2 A 0 2 C 2 2 D 2 m 2 F 2 E 2 o 2 1 o 2 = P 2 = W 2 L 2 A 2 B 2 R 2 N 2 a 2 Ω 2 r 2 x 1,2 ν 1 2 n 1 E 1 t 1 m 1 r 1 C 1 W 1 M 1 R 1 = R 1 2 o 1 A 0 1 A 1 = A 1 a 1 B 1 = B 1 1 n 0 1 P 1 2 h µ 1 N 1 L 1 1 n 1 K 1 F 1 1 h µ 1 D 1 Ω 1 1 o 1 Obrázek 4.11: Příklad 11

53 KAPITOLA 4. KONSTRUKČNÍ ÚLOHY 53 Příklad12.Sestrojteelipsu,kteráprocházíbody A 2, B 2, C 2 advojnásobněsedotýká dané elipsy. Řešení12.Mámedánuelipsuatřibody A 2, B 2, C 2,mámesestrojitelipsu,kterátěmito body prochází a dvojnásobně se dané elipsy dotýká. Tento příklad převedeme na řešení příkladu, kdy máme sestrojit řez zploštělého elipsoidu rovinou danou třemi body. Daná elipsanechťjenárysemzploštěléhoelipsoiduabody A 2, B 2, C 2 nechťjsounárysybodů A, B, C ležících na tomto elipsoidu. Snadno sestrojíme půdorys tohoto elipsoidu i bodů a nezbývá, než sestrojit řez elipsoidu rovinou danou třemi body.

54 KAPITOLA 4. KONSTRUKČNÍ ÚLOHY 54 s ρ 2 o 2 0 s ρ 2 2 h ρ 2 T 2 K 2 0 K 2 k 2 b 2 m 2 C 2 a 2 W 2 M 2 R 2 r 2 N 2 S 2 1 h ρ 2 A 2 B 2 n ρ 2 0 L 2 L 2 U 2 0 P 2 P 2 b 1 x 1,2 r 1 s ρ 1 C 1 N 1 S 1 1 h ρ 1 K 1 k 1 0 P 1 m 1 T 1 p ρ 1 o 1 = W 1 0 K 1 U 1 2 h ρ 1= 0 s ρ 1 L 1 a 1 M 1 R 1 A 1 B 1 P 1 Obrázek 4.12: Příklad 12

55 KAPITOLA 4. KONSTRUKČNÍ ÚLOHY 55 Příklad 13. Sestrojte průsečíky přímky p s rotačním zploštělým elipsoidem. Řešení 13. Příklady, kdy máme za úkol sestrojit průsečíky přímky s plochou, řešíme obvykle tak, že danou přímkou proložíme rovinu kolmou k některé z průměten, sestrojíme řezplochytoutorovinouakdeseprotínádanápřímkaatentořez,jsouprůsečíkydané přímky s plochou. Náš příklad je tímto způsobem řešen. Elipsa řezu však není sestrojena a je využita afinita mezi kružnicí a elipsou. Osou této afinity je přímka l, pár odpovídajících si bodů jsoubody L, L.Obrazempřímky pvtétoafinitějepřímka p,obrazemelipsyřezu e jekružnice e.kdeseprotínákružnice e apřímka p jsoubody X, Y,cožjsouobrazy průsečíků přímky p s daným rotačním zploštělým elipsoidem.

56 KAPITOLA 4. KONSTRUKČNÍ ÚLOHY 56 p 2 = ρ 2 A 2 = a 2 = L 2 X 2 o 2 m 2 e 2 r 2 k 2 S 2 = C 2 = D 2 Y 2 B 2 x 1,2 r 1 k 1 e C 1 = C p 1 p a a 1 l Y 1 Y m 1 A A 1 o 1 S 1 = S B 1 X X 1 L L 1 D 1 = D p ρ 1 Obrázek 4.13: Příklad 13

57 KAPITOLA 4. KONSTRUKČNÍ ÚLOHY 57 Příklad 14. Sestrojte průnik rotačního protáhlého elipsoidu a rotačního paraboloidu s různoběžnými osami. Řešení 14. Pro řešení tohoto příkladu se předpokládá znalost teorie průniků rotačních kvadrik, tj. používání homotetických rotačních ploch. Využijeme opět poznatků z podkapitoly 2.3 na straně 17. Pro sestrojení bodů průniku tedy používáme pomocné kulové plochy se středem v průsečíku os rotačních ploch. Nárysem křivky proniku je v tomto případě část hyperboly, jejíž směry asymptot získáme pomocí homotetických ploch opsaných libovolné kulové ploše. Pokud máme sestrojeny asymptoty hyperboly a její libovolný bod, je tak hyperbola určena.

58 KAPITOLA 4. KONSTRUKČNÍ ÚLOHY 58 s y s x v 1 o 2 y S 1 m 2 x C 2 = D 2 2 m 2 h r 2 c 2 Q 2 k 2 S Ω 2 2 o 2 a 2 A 2 = B 2 x 1,2 r 1 c 1 k 1 Ω 1 A 1 a 1 C 1 1 m 1 = 2 m 1 Q 1 1 o 1 2 o 1 D 1 B 1 Obrázek 4.14: Příklad 14

59 KAPITOLA 5. ZÁVĚR 59 Kapitola 5 Závěr Ve své diplomové práci jsem se zabýval úlohami na rotačních plochách, s nimiž jsem se setkal během studia deskriptivní geometrie na Přírodovědecké fakultě MU v Brně. Vytvořil jsem text pro střední školy s technickým zaměřením. V této diplomové práci se samozřejmě nemohly objevit všechny úlohy na rotačních plochách. Čtenář se seznámil se základními pojmy a úlohami na rotačních plochách, nesetkal se však se složitějšími úlohami nebo úlohami týkajících se osvětlení rotačních ploch. To však nebylo cílem mé práce. Pro zpracování teoretické části mé diplomové práce jsem použil literaturu zabývající se danou problematikou. Při konstrukci všech obrázků teoretické části i příkladů jsem využil CADsystémuaprogramuCorelDRAW.SazbaceléprácebylavytvořenavL A TEXu.Přínos mé diplomové práce shledávám v aplikaci počítačové grafiky při konstrukci obrázků. Zkušenosti, které jsem při psaní textu a vytváření obrázků nabyl, mohu využít v pedagogické praxi při sestavování učebních materiálů pro mé studenty.