VYSOKÉ U ENÍ TECHNICKÉ V BRN BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

Transkript

1 VYSOKÉ U ENÍ TECHNICKÉ V BRN BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ÚSTAV MATEMATIKY FACULTY OF MECHANICAL ENGINEERING INSTITUTE OF MATHEMATICS MATEMATICKÝ MODEL ROZPO TU MATHEMATICAL MODEL FOR FACULTY BUDGET DIPLOMOVÁ PRÁCE DIPLOMA THESIS AUTOR PRÁCE AUTHOR VEDOUCÍ PRÁCE SUPERVISOR LUCIE HOLÁ RNDR. PAVEL POPELA, PH.D. BRNO 2008

2

3

4

5 estné prohlášení Prohlašu, že sem dplomovou prác na téma Matematcký model rozpo tu vypracovala dle svého sv domí samostatn a pod vedením vedoucího dplomové práce a s použtím odborné lteratury a pramen, uvedených na seznamu, který tvo í p ílohu této práce. V Brn Luce Holá

6 Pod kování Tímto chc pod kovat všem ldem v mém okolí, kte í m pomohl p psaní této dplomové práce, a to svým cenným p pomínkam nebo radam. Mé zvláštní díky pat í mým rod m, bez kterých bych nem la možnost studovat, chc m pod kovat za neustávaící podporu, dále mé díky pat í mým spolubydlícím, nem ly to se mnou ednoduché. Dalším, kdo s zaslouží mé díky, sou mí spolužác, protože en díky ech pomoc sem se dostala tak daleko. Specální díky pat í Tomáš Mauderov a RNDr. Pavlu Popelov Ph. D., kte í m velm pomohl p zpracovávání této dplomové práce.

7 OBSAH ÚVOD LINEÁRNÍ PROGRAMOVÁNÍ OBECNÁ FORMULACE ÚLOHY LINEÁRNÍHO PROGRAMOVÁNÍ VLASTNOSTI ÚLOHY LINEÁRNÍHO PROGRAMOVÁNÍ A JEJÍHO ŘEŠENÍ ANALÝZA CITLIVOSTI NELINEÁRNÍ PROGRAMOVÁNÍ OBECNÁ FORMULACE ÚLOHY NELINEÁRNÍHO PROGRAMOVÁNÍ VÍCEKRITERIÁLNÍ PROGRAMOVÁNÍ ZÁKLADNÍ DEFINICE PARAMETRICKÝ SKALÁRNÍ EKVIVALENT PARAMETRICKÉ PROGRAMOVÁNÍ ROZPOČET JE KDYŽ STÁTNÍ ROZPOČET ČESKÉ REPUBLIKY ROZDĚLENÍ FINANČNÍCH PROSTŘEDKŮ Z MINISTERSTVA ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY ROZDĚLENÍ FINANČNÍCH PROSTŘEDKŮ VYSOKÉHO UČENÍ TECHNICKÉHO V BRNĚ ROZDĚLENÍ FINANČNÍCH PROSTŘEDKŮ NA FAKULTĚ STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ MZDOVÉ PROSTŘEDKY MODELY MODEL Č MODEL Č MODEL Č MODEL Č MODEL Č MODEL Č ZÁVĚR SEZNAM POUŽITÝCH ZDROJŮ DODATEK A TEORIE DODATEK B DOPLŇUJÍCÍ ÚDAJE K VŠ DODATEK C DOPLŇUJÍCÍ PRAVIDLA PRO ROZDĚLENÍ DOTACE NA FSI DODATEK D ZDROJOVÉ KÓDY GAMS

8 6

9 Úvod Cílem mé dplomové práce e aplkovat znalost a poznatky z oblast operačního výzkumu ve vztahu k fnanční problematce, (včetně souvseících elementárních poznatků lneární algebry, matematcké statstky, optmalzace a pomů teore grafů), problematky tvorby rozpočtu vybrané organzace (veřené vysoké školy a fakult), s důrazem na matematcké programování (lneárního, nelneární a vícekrterální) a vytvořt původní matematcké modely částí rozpočtu, enž e založený na výkonovém fnancování. Svo pozornost sem zaměřla zeména na alokac mzdových prostředků ednotlvým ústavům na Fakultě stroního nženýrství podle výkonových ukazatelů. Snažla sem se analyzovat v šrších souvslostech, t. akým způsobem sou mzdové prostředky rozdělovány a ak vypadaí vzorce, podle nchž se prostředky rozděluí. Důraz sem kladla na motvac použtí optmalzace. Zaměřla sem se na otázku stanovení vah výkonových krterí pomocí kvantfkace obecných cílů. Pokud analyzu rozdělení fnančních prostředků z úrovně rozpočtu České republky až po přerozdělení těchto prostředků na úrovn ednotlvých ústavů dané fakulty, musím s uvědomt, že de o vícestupňový rozhodovací proces. Jednotlvé stupně tohoto procesu sou uvedeny v následuícím schématu: MŠMT ČR MŠMT vz kaptola 5.1. Veřené vysoké školy vz kaptola 5.2. Veřené vysoké školy FSI VUT VUT vz kaptola 5.3. FSI vz kaptola 5.4. Jednotlvé ústavy vz kaptola 5.5. Soustředím se pouze na dílčí otázku rozdělení mzdových prostředků ednotlvým ústavům, ale kontextu uvedeného schématu. V souvslost s tímto problémem se zaímám o základní model rozdělení fnančních prostředků: T w A T = y, kde A e matce výkonů ústavu, w T e vektor vah a y T e akumulovaný podíl ústavu na výkonu. Přčemž složky vektoru w T sou nezáporné a ech součet e roven edné, totéž platí pro složky vektoru y T, protože obdobné podmínky splňuí řádky matce A. Nyní mohu uvažovat různé účelové funkce f (w, u), kde u e vektor vhodných cílových parametrů, čímž vznkaí různé úlohy lneárního, nelneárního, vícekrterálního a parametrckého programování. Ráda bych poznamenala, že na výše uvedeném schématu sem chtěla zohlednt vlv neurčtost (mezroční) kolísání některých vstupních parametrů pomocí modelu stochastckého programování. Protože se ukázalo, že některé vstupní nformace pro odhad těchto parametrů nesou dostupné, upřednostnla sem tedy vícekrterální programování. Potřebné teoretcké poznatky z oblast matematckého programování sou uvedeny v kaptolách 1., 2., 3. a 4. 7

10 Nyní uvedu několk poznatků k problematce oběhu rozpočtových prostředků a sběru o výkonech součástí. Všmněme s následuícího schématu. Na začátku roku Mnsterstvo školství, mládeže a tělovýchovy (dále en MŠMT) rozdělí fnanční prostředky v obemu určeném rozpočtem vysokých škol v rámc rozpočtové kaptoly MŠMT ako součást rozpočtu České republky. Fnanční prostředky sou v ednotlvých oblastech předělovány vysokým školám, tedy Vysokému učení technckému v rámc rozpočtu, a to na základě výkonů škol v předchozím roce. Vysoké školy přdělené prostředky dále rozděluí, po vyřešení fnančního krytí (tzv. centrálních nákladů), podle svých pravdel fnancování svých součástí, většnou fakult. Fakulty se také skládaí ze součástí, ústavů a kateder, a maí svá pravdla pro rozdělení prostředků na ústavy, ale až po pokrytí celofakultních (režních) nákladů. Prostředky, které ústavy obdrží, se rozdělí do více oblastí, t. mzdové, nenvestční a nvestční prostředky. Každá tato oblast má svá vlastní krtera pro přdělení. Obdržené mzdové prostředky sou motvací pro vytváření výkonů ústavu, enž sou postupně sdružovány za fakultu a vysokou školu a poskytnuty MŠMT, kterému slouží př rozdělování prostředků v dalším roce, dle aktualzovaných pravdel MŠMT pro daný rok. Tok peněz 8

11 Komentář k uvedenému toku peněz. 1. Etapa- Představue přerozdělení fnančních prostředků na Fakultě stroního nženýrství, po pokrytí centrálních nákladů, na ednotlvé ústavy roce t. Rozdělení fnančních prostředků se řídí krtér daným Pravdly pro rozdělení dotace fnančních prostředků na Fakultě stroního nženýrství VUT v Brně. Fnanční prostředky se zde rozděluí ako nvestční, nenvestční a mzdové. Pro tuto prác sou směrodatné mzdové prostředky. Na základě přdělených mzdových prostředků ldé pracuí a tvoří tak výkony. 2. Etapa- Generované výkony vstupuí do vzorců ústavů a vytvářeí úhrny představuící ukazatel k následnému rozdělení fnančních prostředků v dalším roce. 3. Etapa- Úhrny za ústavy sou sumarzovány a slučovány za ústavy FSI a fakulty v rámc VUT v Brně. Dle úhrnů sou určeny normatvy na rok t+1 směrodatné pro přdělení fnančních prostředků z úrovně Mnsterstva školství, mládeže a tělovýchovy. 4. Etapa- Mnsterstvo školství, mládeže a tělovýchovy rozdělue peníze podle normatvů určených náměstkem mnstra školství, mládeže a tělovýchovy a podaných žádostí ednotlvým veřeným vysokým školám. Toto rozdělení fnančních prostředků se řídí Pravdly pro poskytování příspěvků a dotací veřeným vysokým školám Mnsterstvem školství, mládeže a tělovýchovy podle zákona č. 111/1998 Sb., o vysokých školách a o změně a doplnění dalších zákonů (zákon o vysokých školách), ve znění pozděších předpsů. Fnanční prostředky přcházeí na Vysoké učení techncké v Brně, odkud sou pak rozdělovány podle schválených Pravdel pro rozdělení fnančních prostředků na Vysokém učení technckém v Brně. 9

12 1. Lneární programování Řekneme- l, že funkce f uvedená v úvodu, ako kvantfkátor obecných cílů, e lneární, pak model optmalzuící nastavení vah e modelem tzv. lneárního programování. Lneární programování se zabývá problémy souvseícím s hledáním vázaných extrémů lneárních funkcí více proměnných, echž omezuící podmínky maí tvar lneárních rovnc a nerovností. Tyto problémy řešl neprve teoretcký fyzk J. B. J. Fourer v letech v souvslost s analytckou mechankou a teorí pravděpodobnost. Jeho myšlenky dále rozpracoval Farkas počátkem 20. století. Ve třcátých letech našeho století byly řešeny kombnatorckým způsobem lneární optmalzační problémy v ekonomce, např. přřazovací problém (Kong a Egerváry), ve třcátých a čtyřcátých letech dopravní problém. Rozvo efektvních metod lneárního programování v eho nyněší podobě realzoval G. B. Dantzg, který syntézou myšlenek předchozích autorů, včetně ž zmíněného Fourera, vytvořl tzv. smplexovou metodu. V současné době dochází k neustálému zefektvňování řešení úloh lneárního programování, používaí tzv. metody vntřního bodu. S rozvoem vyšších generací osobních počítačů se zkoumaí možnost využtí paralelních výpočtů př řešení úloh lneárního programování Obecná formulace úlohy lneárního programování Obsahem a cílem lneárního programování e vybudovat teor a vypracovat výpočetní postupy, které by sloužly k praktckému řešení určté třídy úloh, echž matematcká formulace e následuící: Nechť a,, b, c, ( = 1, 2,, m; = 1, 2,, n) sou daná reálná čísla a nechť I 1 I ={1, 2,, m}, J 1 J = {1, 2,, n}. Úlohu maxmalzace funkce n c x (1.1) = 1 na množně řešení soustavy lneárních rovnc a nerovností n a, x b ( I = 1 n a, x = b ( I - I1 =1 ) (1.2) ) (1.3) x 0 (1.4) nazveme maxmalzační úlohou lneárního programování ve smíšeném tvaru, estlže I 1, I1 I, J1 J. 10

13 Úlohu lneárního programování (1.1) až (1.4), kde I 1 a J1 = J, tedy úlohu maxmalzovat n =1 c x na množně řešení soustavy lneárních rovnc n a, x = b ( ) =1 = 1,2,...,m (1.5) a nerovností x 0 ( = 1,2,...,n) nazveme maxmalzační úlohou lneárního programování v rovncovém tvaru a úlohu (1.1) až (1.4), kde I 1 I a J1 = J, t. úlohu maxmalzovat n =1 c x na množně řešení soustavy lneárních nerovností n a x b = 1,2,...,m (1.6), ( ) =1 x 0 ( = 1,2,...,n ) nazveme maxmalzační úlohou lneárního programování ve tvaru nerovností. Je nutno poznamenat, že naše úloha optmalzace v případě lneární funkce f spadá mez úlohy typu (1.5). Koefcenty a v uvedených soustavách nerovností a rovnc nazýváme obvykle strukturální koefcenty. Koefcenty b nazýváme kapactní lmty. Vzhledem k tomu, že v některých aplkacích lneárního programování má koefcent c význam ceny - tého výrobku, bývaí v obecné formulac problémů lneárního programování nazývány koefcenty c cenovým koefcenty. Zaímáme se neen o exstenc a stanovení maxmální hodnoty účelové funkce na dané množně, ale o exstenc, vlastnost a výpočet bodů, t. hodnot vektorů x T = (x 1, x 2,, x n ), v nchž maxmum nastává. n n Vzhledem k tomu, že lbovolnou množnu M R, kde R e n- dmenzonální vektorový prostor a lbovolnou funkc z : R R 1 platí x M ( ) = ( ( )) mn z x max z x, x M pokud eden z extrémů exstue, lze na některý z uvedených tvarů převést také ne mnmalzační úlohy lneárního programování. My př řešení úloh využeme vlastností použtého softwaru, který umožňue řešt úlohy obou typů. 11

14 Případné nerovnost typu n =1 a x b, přtom upravíme vynásobením číslem -1. Každou úlohu lneárního programování ve smíšeném tvaru nebo ve tvaru nerovností můžeme převést na úlohu v rovncovém tvaru těmto úpravam: 1. Podmínky a n a, x b I 1 =1 n a, x + x n+ = b, n+ =1 x 0, I1 vymezuí stenou množnu n- rozměrných vektorů o složkách x 1, x 2,, x n. Zavedeme tedy proměnné x n+ pro všechny nerovnost (1.2); nazýváme e doplňkové (nebo též přídatné) proměnné. Doplňkové proměnné maí v krterální funkc (1.1) koefcenty c n+ = 0, I1. V našch úvahách nebudeme uvažovat doplňkové proměnné, ačkol ve složtěších herarchckých modelech rozdělování fnančních prostředků mohou tyto proměnné představovat fnanční rezervu. 2. Každou proměnnou x pro J1 můžeme zapsat ve tvaru + - x = x - x, + - kde x 0, x 0. Pro J1 dosadíme proměnnou x rozdíl dvou nezáporných proměnných x - x do podmínek (1.2), (1.3) do krterální funkce (1.1). I když v tomto případě není + - vztah mez původní proměnnou x a proměnným x,x vzáemně ednoznačný, není to na překážku řešení úlohy. V naší úloze můžeme využít faktu zmíněného v úvodu, že proměnné w sou zavedeny ako nezáporné a vzhledem k tvaru matce A sou takové proměnné y. Podobně můžeme proměnnou x v případě I 1 I vyádřt pomocí edné z rovnc (1.3) a toto eí vyádření dosadt do všech ostatních podmínek do účelové funkce. Dostaneme tak úlohu lneárního programování s n-1 proměnným a m-1 omezením (nepočítáme- l do nch podmínky nezápornost). Tento postup však v našem případě používat nebudeme. Matc soustavy (1.5) typu (m, n) označme A= (a ), b = (b ) e m- složkový sloupcový vektor pravých stran. Dále c= (c ), x= (x ) sou n- složkové sloupcové vektory koefcentů v krterální funkc (1.1) a odpovídaících proměnných

15 Maxmalzační úlohou lneárního programování v rovncovém tvaru zapíšeme matcově takto: maxmalzovat T c x (1.7) za podmínek Ax = b, x 0 (1.8) T nebo stručně max { =, } c x Ax b x 0 (1.9) 1.2. Vlastnost úlohy lneárního programování a eího řešení Defnce 1.1 Množnu M = { x n Ax = b, x 0} prvky pak přípustným řešením úlohy (1.9). R nazveme množnou přípustných řešení, eí Množna přípustných řešení v našch modelech e vymezena uvedeným omezením a tvoří množnu všech možných váhových koefcentů úlohy a odvozených agregovaných výkonů ústavů. Defnce 1.2 Přípustné řešení x * M nazveme optmálním řešením úlohy (1.9), estlže T * T c x c x M My budeme uvažovat optmální řešení obou typů, a to ak maxma, tak mnma. V souvslost s úlohou lneárního programování sou zaímavé tyto dílčí problémy: 1. Jaká e množna M přípustných řešení. Kdy e M. S tímto případem v dskutovaných modelech nenastanou problémy, tzn. neexstence alespoň edné kombnace váhových koefcentů. 2. Ve kterých bodech množny M nabývá funkce x z n = cx svého maxma. Za akých =1 podmínek funkce z na množně M nenabývá maxma. Exstence extrému e v našem případě zaštěna, protože množna přípustných řešení e omezená (součet nezáporných váhových koefcentů, t. složek vektoru w e roven edné). 3. Odvodt efektvní způsob, ak na množně M nalézt maxmum krterální funkce z a alespoň eden bod, v němž toto maxmum nastává. Zde využeme možností použtého software a eho mplementace příslušných algortmů, t. zeména smplexové metody. Defnce 1.3 Množnu x 1, x 2 S n S R nazveme konvexní množnou, estlže pro lbovolné dva body a pro lbovolné ( 0,1) α platí ( α ) α x + 1 x S

16 Konvexní množna tedy s každým dvěma svým body obsahue celou úsečku, která e spoue. Věta 1.1 Množna přípustných řešení úlohy lneárního programování ve tvaru nerovností ve smíšeném tvaru e konvexní polyedrcká množna. Defnce 1.4 n Konvexní polyedrcká množna M R e taková množna, kterou lze vyádřt ako průnk konečného počtu uzavřených poloprostorů. Hranční body těchto poloprostorů se nazývaí vytvářeící nadrovny. Konvexní polyedrcká množna e specálním případem konvexní množny. Věta 1.2 Množna M * optmálních řešení úlohy e také konvexní polyedrcká množna. T { c x Ax = b x 0} max, Obr.: 1 Grafcké znázornění řešení Defnce 1.5 n Nechť S R e lbovolná množna. Bod s S nazveme kraním bodem množny S, estlže neexstuí body, S α 0,1 tak, že s = α x + 1 α y. 14 x y a číslo ( ) Věta 1.3 Konvexní množna má konečný počet kraních bodů. x y a ( )

17 Defnce 1.6 n Nechť M R e konvexní polyedrcká množna a S M e neprázdná množna. Jestlže lze S vyádřt ako průnk množny M a těch eích vytvářeících nadrovn, které S obsahuí, e S stěna množny M. Defnce 1.7 Jednorozměrná stěna se nazývá hrana. Například hranam množny M na Obr.: 1 sou úsečky AB, BC polopřímka určená bodem C a kladným směrem osy x 1 a polopřímka určená bodem A a kladným směrem osy x 2. Defnce 1.8 Nechť x 1, x 2 sou dva kraní body konvexní polyedrcká množna M. Řekneme, že x 1, x 2 sou sousední kraní body, estlže leží na téže hraně rovny. V prax bývá často v matc A soustavy (1.5) n> m, proto můžeme v takovýchto případech hodnoty některých složek vektoru x přípustného řešení zvolt. Nevětšího zednodušení procesu hledání přípustného řešení obvykle dosáhneme, když tyto hodnoty položíme rovny nule. Vznká tak otázka, kterým složkám vektoru tyto hodnoty přsoudíme. Výhodné e získat touto cestou tzv. základní (bázcké) řešení, které e důležtým nástroem pro nalezení optmálního řešení. Defnce 1.9 Přípustné řešení x M = { x R n Ax = b, x 0} nazveme základním řešením úlohy lneárního programování v rovncovém tvaru, estlže sou sloupce matce A s ndexy odpovídaícím nenulovým složkám x lneárně nezávslé. Věta 1.4 Bod x M = { x R n Ax = b, x 0} e kraním bodem množny právě tehdy, e- l základním řešením. Z uvedených pomů a skutečností vyplývá následuící důsledek, platný pro neprázdnou množnu přípustných řešení: Důsledek 1.1 Nechť x M = { x R n Ax = b, x 0} a) Exstue kraní bod množny M.. Pak platí: b) Každý kraní bod množny M má nanevýš m kladných složek. n n ( n -1)( n - 2 )...( n - m +1) c) Množna M má nevýše = kraních bodů. m m Pokud se nechceme zabývat trválním případy, kdy soustava lneárních algebrackých rovnc Ax = b nemá více než edno řešení nebo kdy obsahue rovnc závslou na rovncích zbývaí- h A cích, budeme předpokládat, že A e matce typu ( m,n ), kde m < n, a že pro hodnost ( ) matce A platí h ( A ) = m. 15

18 Defnce 1.10 h Nechť ( A ) = m. Základní řešení úlohy lneárního programování v rovncovém tvaru nazveme nedegenerované, estlže má právě m kladných složek (t. neméně, tzn., že nemá více než n - m nulových složek). Řekneme, že úloha lneárního programování v rovncovém tvaru e nedegenerovaná, sou- l nedegenerovaná všechna základní řešení. Není-l základní řešení úlohy lneárního programování v rovncovém tvaru nedegenerované, pak říkáme, že e degenerované. Úloha maící takové základní řešení se nazývá degenerovaná. Jak uvdíme v 6. kaptole věnované modelům, bude nám obdržené řešení v některých případech degenerované. Z vlastností řešení problému lneárního programování, které sem zde uvedla, byla v teor lneárního programování odvozena následuící věta, která e ech zobecněním: Věta 1.5 (Základní věta lneárního programování) Pro úlohu lneárního programování maxmalzovat n x M = x R Ax = b, x 0 platí edna z následuících možností: { } T c x na množně a) M =, b) c) T M sup = + * M. x M c x (t. { } * T M M * T max = x c x = c x = ), x M Kromě toho platí: a) Je- l M, pak exstue základní přípustné řešení. * b) Je- l M, pak exstue základní optmální řešení. Věta 1.5 e základem pro algortmus smplexové metody, hledaící v našch případech optmální řešení v kraním bodě (vz Defnce 1.5) tak, že přecházíme mez sousedním kraním body (vz Defnce 1.8) po hranách (vz Defnce 1.9) tak, aby hodnota účelové funkce byla čím dál lepší a bylo tak nalezeno optmální řešení (vz Defnce 1.2) úlohy (vz Obecná formulace úlohy lneárního programování). Algortmus e pak programově realzován pomocí algebracké reprezentace (vz poem základního řešení uvedený výše) Analýza ctlvost Až dosud sme předpokládal, že v úloze lneárního programován sou všechny prvky matce A vektorů b a c známé konstanty, a že pevně dán e počet proměnných a omezení. Toto ovšem ne vždy odpovídá skutečnost. Často se zpočátku zabýváme zednodušenou úlohou, v níž neuvažueme všechna omezení a všechny proměnné. Dodatečně pak chceme zstt, zda to, co sme vynechal, skutečně nemá na optmální řešení vlv. Rovněž koefcenty v zadání úlohy se často mohou měnt nebo mohou být pouhým odhady a potřebueme zstt, ak případné změny těchto koefcentů ovlvňuí optmální řešení úlohy. Těmto otázkam se zabývá analýza ctlvost, která také bývá nazývána postoptmalzační analýzou. Někdy lze popsat změnu zadání úlohy ako závslost koefcentů úlohy na parametrech, které nabývaí hodnot z dané množny. Sledueme pak závslost optmálního řešení na těchto parametrech a hovoříme o úloze parametrckého programování. 16

19 Př změně zadání se řešení úlohy může změnt různým způsoby: může se změnt pouze optmální hodnota účelové funkce, mohou se změnt optmální hodnoty proměnných př zachování optmálnost dosavadní báze, může se změnt optmální báze a také se může stát, že úloha nebude mít vůbec přípustné řešení. K analýze ctlvost optmálního řešení na změny zadání úlohy exstuí dva základní přístupy. Prvý přístup můžeme označt ako expermentální, druhý přístup e analytcký. My budeme provádět výpočtové expermenty, teoretcké poznatky sou uváděny pouze pro úplnost. Expermentální přístup. Spočívá v tom, že provedeme v zadání úlohy příslušné změny a zkoumáme ech důsledky. Neznamená to ovšem, že bychom vždy musel řešt změněnou úlohu od počátku. V některých případech můžeme navázat na optmální smplexovou tabulku původní úlohy a využít přtom eí matcové vyádření: 1 1 B A B b T 1 T T 1 cbb A c cbb b kde A e matce zadané úlohy po eím převodu do rovncového tvaru a B e optmální báze. Je třeba poznamenat, že pro účely dále popsané analýzy není nutno počítat nverzní matc B -1, protože tuto matc můžeme naít v poslední smplexové tabulce na pozcích sloupců ednotkové matce z úvodní tabulky. Změna účelové funkce. V matcovém vyádření smplexové tabulky vdíme, že změna vektoru c způsobí změny pouze v posledním řádku této tabulky. Stačí tedy pro nový vektor c vypočítat ˆ T 1 T = cˆ B A cˆ (1.10) B a prověřt platnost krtéra optmalty ( ˆ > 0 pro maxmalzační úlohu, ˆ < 0 pro mnmalzační úlohu). Zůstává-l toto krtérum v platnost, e báze B nadále optmální, nemění se optmální hodnoty bazckých proměnných a optmální hodnota účelové funkce e cˆ T 1 BB b. V opačném případě musíme pokračovat dále ve výpočtu pomocí prmárně smplexového algortmu. Změna pravé strany omezení. Změna vektoru b neovlvní krtérum optmalty, ale může ovlvnt platnost podmínky nezápornost řešení. Platí-l pro nový vektor ˆb, že B -1ˆ b 0, e dosavadní báze prmárně přípustná a tedy optmální, přčemž B -1 ˆb e vektor nových optmálních hodnot bazckých proměnných a cˆ T BB ˆbe nová optmální hodnota účelové funkce. V opačném případě e nutno -1 pokračovat dále ve výpočtu, ovšem tentokrát pomocí duálně sm-plexového algortmu, protože aktuální báze není prmárně přípustná, ale e duálně přípustná. 17

20 Analytcký přístup. Př tomto přístupu se zkoumá vždy vlv změn edného koefcentu a zšťue se, v akém rozmezí se tento koefcent může měnt, anž by se měnla optmální báze. Ukažme s uplatnění tohoto přístupu př studu důsledků změn koefcentů účelové funkce maxmalzačního problému a pravých stran omezuících podmínek. Změna koefcentu účelové funkce. Nechť B e optmální báze a označme α prvky matce B -1 A. Pak = c - c = α c - c ( = 1,2,...,n ),, B kde C B e koefcent u -té bazcké proměnné (t. u bazcké proměnné vyskytuící se v poslední smplexové tabulce v tém řádku). Nechť se k-tý koefcent účelové funkce změní z hodnoty c k na hodnotu cˆ k = c k +δc 2. Musíme zde rozlšovat, zda se edná o koefcent u bazcké nebo nebázcké proměnné. Je-l proměnná x k nebázckou proměnnou, e analýza tohoto případu ednoduchá. Pokud e cˆ c -δc k k 2 zůstává krtérum optmalty v platnost a proměnná x k tedy nevstoupí do báze. Je-l proměnná x k bazckou proměnnou, musíme zkoumat platnost podmínky ˆ 0 pro všechna. Předpokládeme, že tato bazcká proměnná vystupue v smplexové tabulce v -tém řádku. Pak po změně koefcentu c k bude ˆ k = 0 ˆ = +αδc k ( ) = 1,2,...,n k. Meze, v nchž se δc k může pohybovat, anž by došlo ke změně optmální báze, nademe řešením soustavy nerovností +αδc k 0 ( = 1,2,...,n ) k. Je-l α 0, e -tá nerovnost splněna pro všechna δc k 0. Je-l α < 0, musí být δc k. α Je-l α 0, e - tá nerovnost splněna pro všechna δc k 0. Je-l α > 0, musí být δc k. α Aby tedy dosavadní báze zůstala optmální, musí δc k splňovat vztahy 18

21 { a } mn δc k pro α < 0, sou- l všechna α > 0, (1.13) + { a } mn δc k pro α < 0, k, sou- l všechna α 0, k. (1.14) + kde e číslo řádku, ve kterém se vyskytue proměnná x k. Poznatky uvedené v této kaptole e možné naít ve zdroích [3], [4], [5], [6], [7] a [11]. V navazuící kaptole se budu zabývat pomy nelneárního programování, defnce a pomy sou čerpány z [3] a [7]. 19

22 2. Nelneární programování Modely lneárního programování sou použtelné v případě, že sou splněny předpoklady určtost parametrů, spotost hodnot proměnných a lnearty výrazů v popsu úlohy. V opačném případě e nutná formulace úlohy nelneárního programování. Jelkož v našch modelech budeme mít nelneární výrazy pouze v účelové funkc, tedy řada poznatků vztahuících se k množně přípustných řešení uvedená v předchozí kaptole, zůstává v platnost Obecná formulace úlohy nelneárního programování Úloha nelneárního programování e úloha obsahuící nelneární výrazy v omezeních a účelové funkc. Obecná úloha nelneárního programování má tvar { x x 0 x } mn f ( ) g( ), X. (2.1) T n Proměnné značíme x = ( x 1,...,xn ) a nabývaí hodnot ze základní množny X R popsuící například nezápornost proměnných. Hledáme přípustné řešení x mn, které mnmalzue účelovou funkc f : R R. Body x X považueme za přípustné, pokud splňuí omezení ve tva- n ru rovnc a nerovnc. Nebude- l zřemé, co e proměnná a co parametr, uvedeme označení proměnné pod symbolem mn. Symbol 0 značí nulový vektor zde dmenze m, označue sloupcový vektor symbolů,, =, a omezení sou určena vektorovou funkcí g : R n R m. Množnu přípustných řešení C { x X ( x) 0} m n =1 =1 = g lze zapsat ve tvaru { x g x 0} { x g x 0,1 l; g x 0,l +1 m} C = C = X ( ) = X ( ) ( ) = Defnce 2.1 (Extrémy funkcí) Pro funkc f : C R defnueme, že rozhodnutí xmn C e bodem lokálního ostrého mnma globálního neostrého { } O( x) : x C O( xmn )\ xmn < f ( xmn ) f ( x) x C\ { xmn } Uvedené schéma můžeme použít k obvyklé defnc. Rozhodnutí xmn e bodem lokálního neostrého mnma funkce f : C R právě tehdy, když exstue okolí O( x) takové, že pro všechna x C O( xmn )\{ x mn } f ( x ). Obdobné schéma můžeme sestrot pro x max.. 20

23 Defnce 2.2 (Konvexní funkce) n Měme reálnou funkc f : C R, kde S R e neprázdná konvexní množna. Řekneme, že f e konvexní funkce na S právě tehdy, když pro každé dva body x 1,x 2 z množny S a λ 0,1 platí pro lbovolné ( ) ( λ 1 + ( 1 λ ) 2 ) λ ( 1) + ( 1 λ ) ( 2 ) f x x f x f x. Pokud platí ostrá nerovnost pro každé body x 1,x 2, které sou různé, hovoříme o ryze konvexní funkc. Pokud latí opačná nerovnost respektve >, hovoříme o konkávní funkc, případně ryze konkávní funkc. Věta 2.1 (O mnmu konvexní funkce) n Nechť S R e neprázdná konvexní množna a f : C R e konvexní funkce na S. Je- l x mn bodem lokálního mnma funkce f, potom e také bodem globálního mnma f. Je- l f ryze konvexní, e toto mnmum zolované a edné. V případě konvexní účelové funkce f a konvexní množny S hovoříme o úloze konvexního programování a věta říká, že pak nemusíme rozlšovat mez lokálním a globálním extrémy. V nám defnovaných případech, uvedených v dalších kaptolách, se převážně setkáme s případy mnmalzace konvexní funkce na konvexní množně přípustných řešení, a proto budeme moc s výhodou využít tvrzení této věty. Konvexnost množny přípustných řešení. { } Sα = x S f x α. Je- l f : C R konvexní funkce potom S α konvexní množna pro každé α R. Tento poznatek můžeme využít pro nelneární programování následovně. Předpokládeme, že množna X e konvexní. Jsou- l omezení úlohy (2.1) tvaru ( x) 0 I = 1,...,m a funkce g sou konvexní, potom sou konvexní množny Označme ( ) g pro { } = { } C x X ( x ) 0. Víme, že průnk konvexních množn e konvexní množnou, a proto g e konvexní množna přípustných řešení C = C. I Spotost. Konvexní funkce f e spotá ve všech vntřních bodech svého defnčního oboru. Věta 2.2 (Weerstrassova věta o nabývání mnma a maxma) Nechť f e spotá na uzavřeném ntervalu a, b, pak f svého mnma a maxma. : C R f nabývá na a, b Poznameneme, že v našch případech využeme tvrzení Weerstrassovy věty, protože budou splněny eí předpoklady. Dervace. Exstence parcálních dervací konvexní funkce f a tím gradentu f, není obecně zaručena, ale vždy exstuí směrové dervace 21

24 f ' d ( x) = lm f + λ 0 ( x + λd) f ( x) pro všechny body x S a smysluplné směry d R n, t. takové, že exstue λ>0 splňuící x+λd S. Subgradent. Konvexní funkce f : C R e taková funkce, eíž nadgraf {( ) ( )} ep f = x; y x S; y f x, t. množna bodů ležících nad grafem funkce, e konvexní množna. Pro každý vntřní bod x 0 množny S exstue vektor u takový, že nadrovna T H = x; y y = f x + u x x e opěrnou nadrovnou množny ep-f v bodě (x 0 ; f(x 0 )) {( ) ( 0 ) ( 0 )} T a zeména platí f ( ) f ( ) + ( ) 0 0 λ x x u x x. Vektor u se pak nazývá subgradent a na rozdíl od gradentu exstue ve všech vntřních bodech S, když nemusí být defnován ednoznačně. Množna subgradentů v daném bodě e konvexní. Exstence subgradentů ve všech vntřních bodech S, pak zaručue konvexnost funkce uvntř S. V případě některých dskutovaných úloh e nadgrafem účelové funkce polyedrcká množna (vz např. případ mnmax), a proto řešící software může využít algortmů opíraících se o výše uvedené pomy. V ných našch případech (vz např. součet čtverců odchylek) se edná o dferencovatelné funkce a lze s výhodou využít pomů gradent a Hessova matce a př řešení použít souvseící algortmy. Gradent. Zabýveme se dferencovatelným konvexním funkcem. Je- l konvexní funkce f dferencovatelná v bodě x 0, pak exstue edný subgradent, který e zároveň gradentem f(x 0 ). Navíc platí, že funkce f, dferencovatelná v každém bodě x 0 otevřené konvexní množny S, e T konvexní právě tehdy, když e splněno f ( ) f ( ) + f ( ) ( ) x x x x x pro lbovolné x S Proto se také říká, že graf dferencovatelné konvexní funkce leží nad tečnou. Poztvní semdefntnost. Řekneme, že symetrcká matce D e poztvně semdefntní právě tehdy, když pro každé x R n platí x T Dx 0. Pokud platí x T Dx 0 pro každé x 0, nazýváme matc D poztvně defntní. V případě opačných nerovností hovoříme o negatvně semdefntní, respektve negatvně defntní matc D. Matce D e negatvně semdefntní (negatvně defntní) právě tehdy, když -D e poztvně semdefntní (poztvně defntní). Vlastní čísla matce D sou všechny kořeny rovnce D -λe = 0 o neznámé λ, kde. značí determnant a E e ednotková matce. Matce D e poztvně defntní, poztvně semdefntní, negatvně defntní a negatvně semdefntní právě tehdy, když všechna eí vlastní čísla sou ve steném pořadí kladná, nezáporná, záporná a nekladná. Hessova matce. Jestlže exstuí spoté parcální dervace druhého řádu, Taylorův polynom druhého stupně v bodě x 0 pro funkc f : C R má tvar 22

25 T 1 T T 2 ( x) = f ( x0 ) + f ( x0 ) ( x x0 ) + ( x x0 ) H ( x0 )( x x 0 ), 2 kde H(x 0 ) e symetrcká Hessova matce druhých parcálních dervací funkce f (x) v bodě x 0. Funkce f e konvexní právě tehdy, když pro lbovolný x 0 S platí, že.h(x 0 ). Je poztvně semdefntní. Z poztvní defntnost H(x 0 ), x 0 S, pak vyplývá ryzí konyexnost f, ale z ryzí konvexnost plyne en poztvní semdefntnost H(x 0 ), x 0 S. Konvexnost funkce můžeme tedy testovat pomocí poztvní semdefntnost matc. V případě kvadratcké účelové funkce se ověření zednoduší, protože x 0 S: H(x 0 ) = D. Pro funkc edné proměnné pouze stačí zkoumat znaménko druhé dervace. Konvexnost lze také ověřovat z defnce a další rozšířenou metodou zšťování konvexnost e vyčíslení hlavních mnorů matce H(x 0 ). Extrémy konvexních funkcí. Rozhodnutí x 0 e bodem mnma konvexní funkce f na S právě tehdy, když v tomto bodě exstue subgradent u, který splňue u T (x - x 0 ) 0 pro všechny body x S. Vektor -u e možným směrem poklesu f (x) a uvedená nerovnce říká, že tento směr svírá s přípustným směrem x - x 0 tupý úhel, a tedy neexstue přípustný směr poklesu, a proto hodnotu funkce nelze dále zlepšt. Je-l navíc S otevřená množna (například R n ), potom vektor 0 e prvkem množny všech subgradentů v bodě x 0. Je-l dále f v bodě x 0 dferencovatelná, potom exstue edný subgradent u = f (x 0 ), a nutnou a postačuící podmínkou exstence mnma v x 0 e, že f (x 0 ) = 0. V souvslost s úloham nelneárního programování se v další kaptole věnu úlohám vícekrterálního programování. 23

26 3. Vícekrterální programování Př matematcké formulac procesů rozhodování vznkaí optmalzační úlohy s více cílovým funkcem. Tyto úlohy se nazývaí úloham vícekrterálního programování. Pomy a defnce sou čerpány ze zdroe [10] Základní defnce Vícekrterální programování patří do dscplín operačního výzkumu a tedy do aplkované matematky. Vznklo z popudu praxe a prax má sloužt. Z tohoto důvodu také budeme n pracovat v n-dmenzonálním vektorovém prostoru značeném R. Jeho prvky budeme nazývat body. Defnce Úlohu f ( ) { } max x x M, kde f(x) = { f 1 (x),..., f s (x)}: R n R s, (3.1) { ( ) } ( ) ( ) { g 0 = 1,..,m } s 2 m 1 ( ) M = x R g x 0 = x R x,,, g x : R R n n n s nazýváme obecnou úlohou vícekrterálního programování. I mez našm modely budeme uvažovat obdobnou úlohu, kdy s ukážeme, ak postupovat v případě více krtérí. Defnce 3.2 Bod x 0 M nazveme efcentním řešením úlohy (3.1), estlže neexstue bod x M tak, aby platlo f(x) > f(x 0 ). Množnu všech efcentních řešení budeme značt E. Defnce 3.3 Bod x* nazveme vlastním efcentním řešením úlohy (3.1), estlže exstue β > 0 tak, že pro každé (1,...,s) a každé x M splňuící f (x) > f (x * ) exstue alespoň edno k (1,...s) tak, že f k * ( x) fk ( x ) * ( x) f ( x ) * ( x ) fk ( x) f <, β f Množnu všech vlastních efcentních řešení budeme značt E v. k Věta 3.1 Bod x * M e efcentním řešením úlohy (3.1) právě tehdy, e-l optmálním řešením úloh max f x x N ( =1,..,s), (3.2) { ( ) } { } * kde f ( ) f ( )( k = 1,...,s;k ) N M k k x x x.

27 Užtí této věty v prax závsí na tom, zda umíme snadno vyřešt úlohu (3.2) a na velkost s. Předpokládáme-l o funkcích f (x) ( = 1,...,s), že sou konkávní a dferencovatelné na otevřené množně obsahuící konvexní množnu M, můžeme pro určení efcentností řešení užít následuící nutnou a postačuící podmínku. Věta 3.2 Nechť f (x) ( = 1,...,s) sou konkávní a dferencovatelné funkce na oblast f, pro kterou platí M Ω. Nechť M e konvexní množna. Je-l x* efcentním řešením úlohy (3.1), pak exstue λ<0 tak, že * ( ) λ f x = 0. (3.3) Exstue-l λ > 0 tak, že v něakém bodě x * M platí (3.3), pak e x* efcentním řešením úlohy (3.1) Parametrcký skalární ekvvalent Za určtých předpokladů můžeme převést problém nalezení množny E a E v úlohy vícekrterálního programování (3.1) na řešení úlohy parametrckého programování, kde parametry vystupuí lneárně v cílové funkc. Danému problému (3.1) přřadíme následuící úlohu, kterou budeme v našem případě aplkovat: kde Λ = { λ R s λ > 0} { λ f ( ) } max x x M, λ Λ, (3.4) a pro každé pevné λ Λ označme { } ( λ) λf ( ) = { λf ( ) } M x M x max x x M. opt 0 0 Množna M opt (λ) e tedy množnou všech optmálních řešení obyčené úlohy matematckého programování, která vznkne z (3.1) př pevné volbě λ Λ. Defnce 3.4. Úlohu (3.4) nazýváme parametrckým skalárním ekvvalentem úlohy (3.1). Věta 3.3 Každý bod ( λ) x e efcentním řešením úlohy (3.1). λ Λ M opt Defnce a věty kaptoly vícekrterálního programování sou čerpány z [10]. S problematkou vícekrterálního programování úzce souvsí teore parametrckého programování. Teor parametrckého programování uvádím v další kaptole, k formulacím sem použla zdro [10]. 25

28 4. Parametrcké programování Předpokládeme nyní, že koefcenty úlohy lneárního programován sou funkcem vektorového parametru t, (vz parametr λ v předchozí kaptole), kde t T a zabýveme se otázkou, ak závsí optmální řešen x*(t) úlohy mnmalzovat c(t) T x za podmínek A(t)x = b(t), x 0 na parametru t. Numercky lze úspěšně řešt úlohy parametrckého programování, v nchž na vektorovém parametru t závsí en vektor pravých stran a koefcenty účelové funkce, případně eden řádek nebo eden sloupec matce soustavy, a de o závslost lneární. Omezíme se zde na případ, kdy a b r R m, 0 r k sou dané vektory, nebo a c r R n, 0 r k sou dané vektory. ( ) k 0 r r r=1 b t b t b ( ) = + k 0 r r r=1 c t c t c = + Poznameneme, že první případ uvádíme pro úplnost, v našem modelu e především důležtá souvslost s odstavcem 3.2. Nechť přtom parametry t r, 1 r k probíhaí nezávsle na sobě dané ntervaly α t β, takže r r r k T α r,βr r=1 =, kde znak označue kartézský součn. Parametrem v našem případě budou váhové koefcenty u ednotlvých krtérí, echž součet bude roven edné. Budeme se neprve zabývat úlohou s parametrzovanou pravou stranou: pro všechna t T. za podmínek Ax = mnmalzovat c T x (4.1) + k 0 r r r=1 b t b, x 0 (4.2) Pro ednoduchost budeme přepokládat, že úloha (4.1),(4.2) má optmální řešen pro lbovolné t T a budeme defnovat funkc F : T R 1 předpsem k T 0 r F ( x) = c x : Ax = b + trb, x 0 (4.3) r=1 26

29 Věta 4.1 k T 0 r Funkce F ( x) = c x : Ax = b + trb, x 0 e po částech lneární konvexní funkce r=1 t na množně T. Podobná věta platí v případě kdy na parametru t závsí koefcenty účelové funkce: Věta 4.2 Nechť ( ) k T 0 r G x = mn c + t rc x : Ax = b, x 0 exstue pro všechna r=1 k t T = α,β, r=1 kde znak označue kartézský součn a G (x) e po částech lneární konkávní funkce t. Zvlášť ednoduchá e stuace, kdy b nebo c závsí na skalárním parametru t, což bude náš případ, kdy u vícekrterální úlohy budeme uvažovat krtéra pouze dvě. Pak e T = α, β nterval na přímce a krtcké obory sou rovněž ntervaly. Jech koncové body se nazývaí krtcké hodnoty parametru t. Takové úlohy parametrckého programování lze řešt modfkací smplexové nebo duální smplexové metody. Všechny formulace uvedené v této kaptole e možné naít v [8] a [9]. Podíveme se nyní na různé aplkace dříve uvedených matematckých modelů lneárního, nelneárního, vícekrterálního a parametrckého programování. V tomto případě půde o aplkac modelů na problematku rozdělování fnančních prostředků v resortu vysokého školství České republky, proto bude důležté nedříve nastínt podmínky a pravdla pro rozdělení fnančních prostředků ve vysokém školství. r r 27

30 5. Rozpočet e když V této část se budu věnovat odborné problematce rozpočtu v šrších souvslostech, ak sem uvedla v úvodu. Rozpočet e předběžný odhad nákladů (výdaů) sestavený pro určtou akc nebo určtou dobu. Jde o obraz vývoe hospodaření v budoucnost a svo povahou představue pouze odhad, který bude ve skutečnost průběhem období s různým korekturam. Toto platí hlavně o stránce přímové, protože přímy mohou být na základě výsledků předešlých let a očekávaného hospodářského vývoe en oceňovány, anž e možno do vývoe toho něak ntenzvně zasáhnout do té míry, aby byly splněny rozpočtové předpoklady. Oprot tomu výdaová stránka e rámcem a předpsy pro hospodaření v rozpočtovaném roce (vz [1], [2], [12], [13], [15] a [16]). Všeobecně otázka tvorby rozpočtu spadá do oboru fnančního řízení a veřeného rozpočtování (vz [23] a [24]). Podíveme se neprve na základní údae o rozdělování fnančních prostředků v České republce. Rozdělování se řídí Státním rozpočtem České republky Státní rozpočet České republky Státní rozpočet představue plán hospodaření České republky. Ústředním orgánem státní správy pro státní rozpočet e Mnsterstvo fnancí a účet státního rozpočtu spravue centrální banka České republky, což e Česká národní banka (vz [1], [2], [12] a [18]). Problematku tvorby státního rozpočtu upravue Ústava ČR (1/1993 Sb.). Návrh zákona o státním rozpočtu podává vláda a o návrhu státního rozpočtu edná pouze Poslanecká sněmovna (Senátu nepřísluší přímat zákonná opatření ve věc státního rozpočtu- článek 33 Ústavy). Po prvním čtení v Poslanecké sněmovně se rozpočtem zabývaí ednotlvé sněmovní výbory, ve druhém čtení se ž poslanc snaží prosadt pro sebe potřebné pozměňovací návrhy (tzv. kráení medvěda) a po třetím čtení se ž o zákonu hlasue. Aby byl státní rozpočet schválen, musí získat nadpolovční většnu hlasů. Zákon o státním rozpočtu nakonec podepsue prezdent a e vyhlašován ve Sbírce zákonů ČR pro daný rok. Zákon o státním rozpočtu se přímá každoročně pro nový fskální rok. Není-l zákon o státním rozpočtu přat do , hospodaření státu se do přetí zákona řídí rozpočtovým provzorem, které e sestaveno podle pravdel rozpočtu z předcházeícího roku. Dále se pak o rozpočtu rozhodue v lednu až únoru. 28 Státní rozpočet se skládá ze dvou základních složek, ež sou přímy a výdae. Přímy: Daně přímé zdaňuí maetek nebo příem osoby- Daně z přímu fyzckých osob a právnckých osob, daně z nemovtost, daně z převodu nemovtost, dědcká a darovací, daně slnční Daně nepřímé zdaňuí prode zboží nebo služeb- Spotřební daň, daň z přdané hodnoty (DPH) a do budoucna se uvažue také o ekologcké dan čím více osoba znečšťue žvotní prostředí, tím by měla být vyšší. Socální poštění Evropské fondy Ostatní- Zsk ze státní účast v podncích a prvatzace

31 Výdae: Mandatorní výdae Nedná se o výdae, které musí vláda zaplatt ze zákona. Nemůže e nezaplatt. Jsou to např.: dávky socálního zabezpečení, státní příspěvek na penzní přpoštění a stavební spoření, dávky státní socální podpory, dávky v nezaměstnanost atd. Ostatní mandatorní výdae- Např. hypotéční úrokové podpory, kurzové ztráty př správě státního dluhu, realzace státních záruk, transfery meznárodním organzacím apod. Kvazmandatorní výdae- Např. výdae na aktvní poltku zaměstnanost, armádu, zahranční pomoc, mzdy zaměstnanců veřeného sektoru atd. Ostatní výdae Stát nemá povnnost tyto výdae realzovat, ale chce tak učnt. Například výdae realzac vládního programu. Vzhledem k faktu, že výsledný stav hospodaření se většnou více č méně lší od plánovaného rozpočtu, rozhodue potom Sněmovna o rozdělení přebytku nebo uhrazení defctu. Protože se zabývám matematckým modelem rozpočtu na úrovn organzace, eíž přímy pochází domnantně ze státního rozpočtu, chc dskutovat, zda e vhodné na roční částky rozpočtu nahlížet ako na hodnoty časových řad, které se zprostředkovaně vztahuí k přímům zmíněné organzace. Z níže uvedené tabulky vdíme, že máme k dspozc pouze poměrně krátké časové řady. Přesto určté trendy porovnávaící plán versus skutečnost a přímy versus výdae by bylo možné dskutovat a analyzovat např. pomocí exploratorní (průzkumové) analýzy dat, vz obrázek níže ukazuící zřemý rostoucí trend přímů v uvažovaných letech, který se eví blízký lneárnímu. Př obdobném pohledu na výdae lze rovněž hledat obdobný trend, ve kterém se ale ž proevuí poltcké kroky před volbam. Znovu zdůrazňu, že mů pokus o charakterstku uvedeného e záměrně pouze kvaltatvní, lze ale odkázat na hlubší rozbory prováděné Mnsterstvem fnancí ČR a Českým statstckým úřadem. Protože sem s položla otázku, zda přímy MŠMT nesouvsí určtým způsobem s celkovým obemem rozpočtu a zda odhalení této souvslost by nám nepomohlo upřesnt meze přímů v modelu organzace prostřednctvím matematckého popsu této případné závslost, uvádím v posledním sloupc tabulky celkové obemy fnančních prostředků pro školství. Opět en kvaltatvním porovnáním vdíme, že ednoduchá souvslost neexstue (vz pokles versus předchozí růsty př celkové trendu růstu výdaů Rozpočtu ČR). Konstatume, že na rozdělení fnančních prostředků v resortu školství dohlíží Mnsterstvo školství, mládeže a tělovýchovy. 29

32 Blance státních rozpočtů, uvedené částky sou v mlardách Kč Rok Plánované přímy Plánované výdae Plánovaná blance Skutečné přímy Skutečné výdae Skutečná blance Fnanční prostředky ve školství , ,557 1,044 31, , ,089 14,747 38, , ,076 1,697 52, ,919 1,081 61, , ,059 10,449 70, , ,738 7,23 81, , ,379 1,562 78, ,6 536, ,95 524,668 15,718 80, ,1 605,1 31,01 537, ,741 29,330 86, ,1 627,3 35,1 567, ,909 29,634 87, ,1 685,1 48,9 586, ,268 46,060 97, ,3 736,6 46,2 626, ,921 67, , ,3 111,3 705, ,758 45, , ,9 699, , , ,8 908,4 83,5 769, ,892 93, , ,3 958,7 74,4 31, , ,4 1040,7 91,3 54, , ,6 1107,3 70,8 Vývo přímů ČR v čase v mlardách Kč 30

33 Upřesněme, že nám uváděné hodnoty ve sloupcích tabulek, ale nebyly očštěny od vlvu nflace, čl sou zkreslené. Protože ale naše úvahy byly záměrně kvaltatvní a vedly k závěru, že uvažování závslostí na úrovn rozpočtu ČR a MŠMT by bylo neúčelné, uvádím nformace o nflac pouze pro úplnost. Míra nflace vyádřena ako přírůstek průměrného ročního ndexu spotřebtelských cen (vz výše) nám říká ak velká e změna průměrné cenové hladny za posledních 12 měsíců oprot průměru 12- t předchozích měsíců. Tato míra nflace e vhodná př úpravách nebo posuzování průměrných velč. V úvahu se bere zeména př propočtech reálných mezd, důchodů, apod. Vývo míry nflace v ČR v čase Rok ,1 8,8 8,5 10,7 2,1 3,9 4,7 1,8 0,1 2,8 1,9 2,5 2,8 Na závěr chc konstatovat, že částky státního rozpočtu sce představuí základní omezení pro rozpočet nám dskutované organzace, ale pracovat dále s exaktním vztahem, dentfkovaným např. regresní závslostí, by s ohledem na dříve uvedené nebylo vhodné. Podíveme se dále na rozdělení fnančních prostředků z úrovně MŠMT. 31

34 5.2. Rozdělení fnančních prostředků z Mnsterstva školství, mládeže a tělovýchovy Základní kvaltatvní rozbor výše m ukázal, že bych se měla nyní zaměřt na kaptolu Rozpočtu ČR věnovanou školství. Na rozdělení fnančních prostředků v resortu školství dohlíží MŠMT. MŠMT rozdělue fnanční prostředky získané ze státního rozpočtu ČR do následuících 3 kategorí: a) pro regonální školství b) pro školství ím přímo řízenému (VŠ a ostatní organzace) c) pro státní správu Pro tuto prác e podstatná kategore b), potažmo pouze veřené vysoké školy, a proto se ostatním kategorím věnovat nebudu. Rozdělení fnančních prostředků veřeným vysokým školám e defnováno v Pravdlech pro poskytování příspěvků a dotací veřeným vysokým školám Mnsterstvem školství, mládeže a tělovýchovy podle zákona č. 111/1998 Sb., o vysokých školách a o změně a doplnění dalších zákonů (zákon o vysokých školách), ve znění pozděších předpsů(dále en Pravdla MŠMT ). Mnsterstvo školství, mládeže a tělovýchovy tato Pravdla MŠMT vydává na základě ustanovení 7 odst. 1 a 14 zákona č. 218/2000 Sb., rozhodnutí o příspěvcích ze státního rozpočtu na vzdělávací a vědeckou, výzkumnou, vývoovou, uměleckou nebo další tvůrčí čnnost a dotacích ze státního rozpočtu podle zákona č. 111/1998 Sb., o vysokých školách a o změně a doplnění dalších zákonů (zákon o vysokých školách), ve znění pozděších předpsů. Nedílnou součástí rozhodnutí e pochoptelně vymezení účelu, na který sou příspěvek a dotace poskytovány, a podmínek ech použtí, vycházeící z těchto Pravdel MŠMT. Příspěvek podle těchto pravdel poskytue veřené vysoké škole mnsterstvo na uskutečňování akredtovaných studních programů a programů celožvotního vzdělávání a s nm spoenou vědeckou, výzkumnou, vývoovou, uměleckou nebo další tvůrčí čnnost. Dotace podle těchto Pravdel poskytue vysoké škole mnsterstvo také na rozvo vysoké školy a na ubytování a stravování studentů. Ctované zdroe MŠMT uvádí, že pro stanovení výše příspěvků e rozhodný typ a fnanční náročnost akredtovaných studních programů a programů celožvotního vzdělávání, počet studentů a dosažené výsledky ve vzdělávací a vědecké, výzkumné, vývoové, umělecké nebo další tvůrčí čnnost a eí náročnost, dlouhodobý záměr vzdělávací a vědecké, výzkumné, vývoové, umělecké a další tvůrčí čnnost pro oblast vysokých škol, vypracovaný mnsterstvem a eho každoroční aktualzace a dlouhodobé záměry vzdělávací a vědecké, výzkumné, vývoové a umělecké nebo další tvůrčí čnnost vysokých škol a ech každoroční aktualzace. Klíčové pro stanovení výše prostředků pro VŠ sou ale kvanttatvní údae. Je důležté dále vědět, že příspěvky a dotace mnsterstvo neposkytue automatcky, ale na základě žádostí vysokých škol. Mez výše uvedené kvanttatvní údae patří zeména údae o počtech studentů v akredtovaných studních programech a o počtech absolventů, získané ze systému Sdružené nformace matrk studentů a další údae, poskytnuté vysokým školam. V žádost o dotac musí být uvedena eí výše a zdůvodnění. Žádostí o dotac sou také proekty vysokých škol, podporuící rozvo vzdělávací čnnost vysokých škol, úspěšné ve výběrovém řízení, které organzue Výbor Fondu rozvoe vysokých škol (společný orgán mnsterstva a Rady vysokých 32

35 škol), a proekty vysokých škol, předložené do rozvoových programů vyhlášených mnsterstvem. Samostatně se dále zabývám fnančním prostředky na tzv. specfcký výzkum a naopak se nezabýváme otázkam programového fnancování nvestčních aktvt VŠ. Výš příspěvků a dotací tedy stanoví MŠMT rozhodnutím podle příslušných kvanttatvních a věcných ukazatelů uvedených v zákoně o státním rozpočtu. Pravdla stanovení výše příspěvků a dotací. Částka vyčleněná pro příspěvky e rozdělena podle ukazatelů: a) Ukazatelé A a B (studní programy a s nm spoená tvůrčí čnnost)- Př výpočtu se používá počet rozpočtových studentů, přepočtený počet studentů, normatvní počet studentů, počet absolventů vysoké školy, základní normatv studního programu a kontrahovaný počet studentů. Jedná se o zásadní ukazatel, který hrae rozhoduící rol v přímech VŠ a kterým se proto dále budeme hloubě zabývat. Je důležté vědět, že tyto částky mohou být v rámc VŠ přerozděleny, protože nemaí z defnce charakter adresného příspěvku. Ráda bych zdůraznla, že pokud přerozdělení nerespektue výše uvedené ukazatele, hrozí nebezpečí, že když případné zvyšování výkonů v rámc modelované organzace není fnančně oceňováno an s stým časovým zpožděním, složky uvedené organzace pak zvyšuí hodnoty uvedených ukazatelů pouze na základě donucování, nkolv na základě poztvní motvace a růst hodnot ukazatelů e z dlouhodobého hledska utlumen. b) Ukazatel C (stpenda pro studenty doktorských studních programů)- Vyadřue podporu studentů studuících v doktorských studních programech. Jedná se o domnantně adresný příem VŠ. c) Ukazatel D (studuící nefnancovaní z ukazatele A nebo B; meznárodní spolupráce)- Zdro pro zvýšení příspěvků, podporuící plnění závazků z meznárodních smluv (mmo programů AKTION, CEEPUS a SOCRATES). d) Ukazatel F (vzdělávací proekty, programy a záměry)- zdro pro příspěvky novým vysokým školám a pro zvýšení příspěvků, podporuící vzdělávací proekty. e) Ukazatel M (mmořádné aktvty). f) Ukazatel S (stpenda podle 91 odst. 3 zákona o vysokých školách). g) Ukazatel U (ubytovací stpenda). 33

36 Změna výkonových ukazatelů v čase změna ukazatele, % počet studentů počet akad. pracovníků HDP kumulovaná nflace normatv na studenta kaptola Před další dskusí o položce a) výše uvedeného výčtu, shrnu souvseící čísla v následuící tabulce. Je zaímavé porovnat uvedené údae s celkovým prostředky vynaloženým na školství (vz poslední modrý sloupec v předchozí tabulce). Podobně ako u Rozpočtu ČR se na základě kvaltatvní analýzy eví, že není vhodné hledat kvanttatvní vyádření kvaltatvní charakterstky, která e popsue podle mne slovy: Roste-l celkový obem prostředků na školství, lze konstatovat, že většnou přblžně proporconálně roste obem fnančních prostředků pro VŠ. Podotýkám, že uvedený verbální pops vztahu, ale nehodlám dále zpřesňovat např. pomocí modelů fuzzy množn. Přehledná tabulka níže ukazue, ak se vyvíely částky v uvedeném složení podle shrnutí dskutovaných ukazatelů do skupn. Jednotlvým skupnam se budeme zabývat až v rámc dskuse o přímech VŠ: 34

37 Prostředky poskytnuté vysokým školám z MŠMT v čase Rok Prostředky NIV INV na vzdělávací čnnost (pouze veřené vysoké školy) bez programů reprodukce maetku Zahranční rozvoová pomoc a ostatní dotace Prostředky na ubytování a stravování studentů Programové fnancování INV NIV Výzkum a vývo (kaptálové běžné výdae) Prostředky soukromým vysokým školám Celkem MŠMT Pokud analyzueme data v tabulce, vdíme, že se do mezroční změny promítlo poklesem rozhodnutí adresovat ubytovací stpenda přímo studentům a nkolv koleím prostřednctvím VŠ. Podobně vdíme vlv zavedení rozvoových programů a rozvo oblastí výzkumných center a výzkumných záměrů v dalších sloupcích. Tabulka e lustrována grafem, který svědčí o skutečnost, že trend růstu celkových výdaů na VŠ byl uvedených letech strměší, než byl růst výdaů státního rozpočtu. Jestlže sme se dosud zabýval Rozpočtem ČR, MŠMT a celkovým obemem fnančních prostředků pro vysoké školy, nyní se zaměříme na podstatnou část zdroe a), kterou e dotace na vzdělávací čnnost (vz následuící tabulka). Zde vdíme zřemý růstový trend ak celkového obemu prostředků, tak prostředků ednotlvých VŠ. Tento růstový trend e rovněž lustrován samostatným grafem (vz graf navazuící na tabulku) pro podíl dotace VUT. 35

38 36

39 Vývo dotací přdělených VUT na vzdělávací čnnost v čase Mezroční srovnání dotace běžných NIV na (ne)specfkovaný výzkum na veřených vysokých škol v období 2001 až 2008 (ts. Kč) Pokud ovšem uvažueme tabulku, ukazuící vývo prostředků na specfcký výzkum, vdíme, že celkový obem těchto prostředků byl po dobu několka let konstantní. 37

40 Tato skutečnost nás vede k logcké otázce, ak celkový růst, zdánlvě svědčící o navyšování fnančních prostředků, souvsí s navyšováním výkonů. Částečnou odpověď pak nabízí závěrečná tabulka tohoto odstavce, kde vdíme, že např. stený normatv v posledních dvou letech nezohledňue nflac. 38

41 39

42 Souhrnné údae o normatvní část Index 2008/2007 Počet normatvních studentů celkem ,055 Základní normatv [Kč] Normatv absolventa [Kč] ,3015 Částka na doktoranda [Kč] ,03 Rok 2005 Základní normatv (Kč ) Mezroční změna (2006 ku 2005) 2006 Mezroční změna (2007 ku 2006) 2007 Mezroční změna (2008 ku 2007) ,00% ,00% ,00% Základní bonfkace za abs. (Kč ) Průměrný normatv (Kč)*) Počet přepočtených studentů ,21% ,03% ,30% ,12% ,80% ,03% ,55% ,42% ,12% Počet absolventů ,76% ,17% ,51% Výše uvedené údae sou čerpány z prezentací Rady vysokých škol. V další kaptole se budu věnovat způsobu rozdělení fnančních prostředků z úrovně Vysokého učení technckého na úroveň ednotlvých fakult. Předtím, než se budeme uvedenou problematkou zabývat, zrekaptulume možnost tvorby optmalzačních modelů na předchozích úrovních rozdělování dotace. Na úrovn Rozpočet ČR a MŠMT se edná o problém poltckého vyednávání mez MF a MŠMT, o body programového prohlášení vlády. Zde bych doporučla uvažovat spíše kvaltatvní úvahy odpovídaící modelům teore her. Př rozhodování o rozpočtu VŠ v rámc MŠMT se edná opět o rozhodování mez skupnam usluícím o prospěch regonálního školství a VŠ. Zde lze opět zvažovat úvahy typcké pro matematcké modely teore her. 40

43 Konečně př rozhodování o přdělení prostředků na ednotlvé VŠ se stuace stává zaímavěší. Důležtou rol na edné straně hrae MŠMT a na druhé straně reprezentace VŠ ako sou Česká konference rektorů a Rada VŠ. Výsledkem e pak proces dohadování na půdě tzv. Reprezentatvní komse, která musí pracovat s obemem prostředků daným v předchozích odstavcích. Klíčovým problémem modelování na této úrovn e skutečnost, že přdělené prostředky nerespektuí stávaící normatvy upravené o nflac tím, že by odpovídaícím způsobem navýšly prostředky, ale ve skutečnost na sebe narážeí protchůdné trendy, kdy vlády a MF usluí o úspory (snížení výdaů), vláda dále podle stude OECD uslue o růst počtu VŠ studentů a vznká problém, ak udržet některé normatvy na stené mezroční výš. Tato stuace pak přnáší opět problém matematckého modelu teore her modeluícího uvedený konflkt na základě stého omezeného souboru hstorckých dat. Na druhé straně e zde opět problém predkce pro VŠ (vz schéma v úvodu) alespoň expertně odhadnout, aký bude přínos splnění některých výkonových ukazatelů. Jak ž bylo řečeno v úvodu, výše uvedené odstavce slouží ako podklad pro určení některých problémů, které ale nebudou kvanttatvně modelovány, protože se zaměřueme na problém konkrétní organzační ednotky Rozdělení fnančních prostředků Vysokého učení technckého v Brně V dalším se budeme zabývat stuací v rámc vybrané VŠ. Zaměříme se na VUT. Na základě předchozích odstavců shrňme, že VŠ př svém řízení může en obtížně předvídat trendy vývoe přdělení fnančních prostředků z úrovně MŠMT. Ovlvnění se může dít en ve spoluprác s ostatním VŠ působením v orgánech reprezentuících VŠ. Výše sme sce uvedl pomocí grafů některé trendy, které ale v rozpočtech a ech kaptolách na roky 2007 a 2008 doznaly změny a které nepovažueme za vhodné kvantfkovat, ale spíše chápat ako podklad pro expertní rozhodování. Uveďme příklad takového expertního rozboru: Rozpočet MŠMT a v eho rámc VŠ e v absolutních číslech stále navyšován. Navyšování se ale neděe steně rychle ve všech oblastech. Typcká e konstantní výše prostředků na specfcký výzkum na edné straně a rozvo prostředků pro výzkumné záměry a centra na straně druhé. Jako klíčový se eví z hledska vývoe normatv na studenta, zatímco například pokles normatvu na absolventa e v příkrém rozporu s prohlášením, že se má podporovat úspěšné studum a snížt propadovost. Z výše uvedeného lze pak vyvozovat některá doporučení pro chování VŠ, která sou shrnuta v pravdlech pro rozdělování fnančních prostředků VUT, ncméně vdíme, že uvedený rozbor obsahue nformace o hrozbě nflace výkonů, t. že růst výkonů (a zátěž zaměstnanců) bude takový, že nebude proporconálně fnančně krytý ve srovnání s mnulým rokem. Protože všechny vysoké školy usluí o maxmalzac výkonů, hrozba nflace e vysoká a vznká tedy otázka, zda efektvněší alokace fnancí VŠ do některých výnosněších aktvt by pak pro VŠ a eí zaměstnance nebyla přínosněší. Vraťme se teď k problematce rozdělení fnancí. Rozdělení fnančních prostředků Vysokého učení technckého v Brně, zahrnuící rozdělení příspěvků a dotace poskytnuté ze strany MŠMT ČR a dalších resortů, plán nvestc a nakládání s nedotačním prostředky, vychází z následuícího: 41

44 a) Zákona č. 111/1998 Sb., o vysokých školách a o změně a doplnění dalších zákonů, v platném znění (vz 18 a 18a zákona). b) Pravdel pro poskytování dotací veřeným vysokým školám MŠMT podle zákona č.111/1998 Sb., o vysokých školách, v platném znění, t. př respektování eho platných dodatků. c) Dlouhodobého záměru VUT v Brně na roky , včetně aktualzace pro rok d) Programového prohlášení rektora VUT v Brně. e) Programu reprodukce maetku do roku f) Generelu VUT v Brně. Výše poskytnutých příspěvků a dotací e závslá na rozpočtových datech. Rozpočtová data určuící výš poskytnutých příspěvků a dotací ze strany MŠMT. a) Pro stanovení výše příspěvku dle ukazatele A sou rozhoduící údae o normatvním počtu studentů v akredtovaných studních programech, získané ze systému Sdružené nformace matrk studentů (dále en SIMS ) k b) Pro stanovení výše příspěvku dle ukazatele B1 sou rozhoduící údae o normatvních počtech studentů v akredtovaných studních programech, získaných ze systému SIMS k a k c) Pro stanovení výše příspěvku dle ukazatele B2 sou rozhoduící údae o počtech absolventů v akredtovaných studních programech, získané ze systému SIMS součtem absolventů všech studních programů vysoké školy v období od do

45 Přepočtené počty studentů ve studních programech dle koefcentu náročnost Počty studentů v typech studních programů 43

46 Počty absolventů ve studních programech dle koefcentu náročnost d) Pro stanovení výše dotace na specfcký výzkum sou rozhoduící: přepočtený počet profesorů dané vysoké školy v roce 2007 přepočtený počet docentů dané vysoké školy v roce 2007 přepočtený počet akademckých pracovníků dané vysoké školy v roce 2007 počet absolventů magsterských studních programů dané vysoké školy v roce 2007 přepočtený počet studentů v doktorských studních programech dané vysoké školy v roce 2007 výše prostředků získaných danou vysokou školou podle zákona o podpoře výzkumu a vývoe v letech 2004, 2005, 2006 a 2007 výše prostředků získaných danou vysokou školou podle zákona o podpoře výzkumu a vývoe v letech 2004, 2005 a 2006, které maí zaznamenaný výsledek v Restříku nformací o výsledcích 44

47 45

48 Všmněme s, že VUT přímá zcela zásadní strateg zmíněnou ž dříve, že e nutné do rozdělování prostředků v rámc VŠ (zde VUT) v maxmálně možné míře promítnout pravdla, vzorce a ukazatele MŠMT. Tím má být zaručeno to, že př stabltě systému pravdel MŠMT e naděe na zvyšování výkonů správně motvovaných součástí VUT, a tedy e podpořen růst přímů VUT. Rozdělení příspěvků dle ukazatele A+ B* a dotace na specfcký výzkum na VUT se řídí zásadam, ež sou: 46 a) Navazovat na postupy rozdělení nenvestční dotace realzované v roce Zde se promítá myšlenka mezroční fnanční stablty součástí VUT (vz schéma v úvodu). b) Respektovat metodku rozdělování příspěvků a dotace z úrovně MŠMT ČR (vz výše). c) Zastt vytvoření ekonomckých podmínek pro plnění Dlouhodobého záměru VUT (dále DZ) včetně eho aktualzace. Protože DZ musí navazovat na obdobný dokument MŠMT, měla by tím být zaštěna stá antcpace změn pravdel ze strany MŠMT v předsthu chování VUT (ovšem stuace s klesaícím normatvem na absolventy svědčí o odchylkách). d) Zastt vytvoření ekonomckých podmínek pro plnění programového prohlášení rektora. Má podobný význam ako c). e) V návaznost na platnou legslatvu ČR zastt krytí odpsů stanovených z nedotační část ceny dlouhodobého maetku, v plné výš z příspěvku dle ukazatele A+B* a dotace na specfcký výzkum. f) Zastt přměřenou výš nenvestčních prostředků kaptálových výdaů na rozestavěných akcích plánu nvestc a oprav pro daný rok g) Na základě potřeb vzdělávací čnnost, výzkumu a vývoe, zastt prostředky pro rozvo centrálních nformačních technologí (dále en CIT). h) Rozpočet dalších součástí VUT v Brně musí být sestaven tak, aby respektoval ech čnnost, které maí defnované ve svých statutech a organzačních řádech schválených AS VUT. Jedná se o požadavek úspornost chování servsních pracovšť VUT, které často negeneruí výkonové ukazatele. ) V případech zřízení dalších celoškolských součástí VUT v Brně musí být předložena ekonomcká analýza fnančního dopadu vznku takovéhoto pracovště až do ustáleného stavu eho fnancování ze strany vedení VUT v Brně Akademckému senátu VUT v Brně. Na základě této analýzy může AS VUT schvált zdroe, formu a výš fnancování vznkaící součást. ) Mezfakultní výuka nebude řešena v rámc rozdělení nenvestční dotace na úrovn VUT, ale na základě vzáemných smluvních vztahů ednotlvých fakult a ostatních součástí s promítnutím do vntroorganzačních nákladů a výnosů rozpočtu Zde se edná o stý obranný mechansmus, který má snížt rzka zánku součást z nárazových ekonomckých důvodů. k) Zásada zmírnění tvrdost dopadu rozpočtových pravdel může být uplatněna pouze v případech, kdy bude kterékol součást nutné poskytnout na zaštění výkonu ech čnností fnanční prostředky mmo metodku danou Pravdly rozdělování dotace na rok 2008 na VUT v Brně. Takováto součást musí ve své žádost doložt nedříve detalní rozbor svého hospodaření a zdůvodnt příčny vznklé stuace. AS VUT na základě rozboru a vyádření vedení a kvestora VUT rozhodne, zda příspěvek bude poskytnut, v aké výš a za akých dalších podmínek. l) Vytvoření prostředí, v souladu se souvseící legslatvou ČR, motvuící ednotlvé součást k neztrátovému hospodaření s dotačním a nedotačním prostředky na úrovn ednotlvých součástí VUT v Brně.

49 Rozdělení příspěvku a nenvestčních dotací na VUT v Brně poskytnutých ze strany MŠMT ČR Uveďme nyní dvě základní tabulky rozpočtu VUT s krátkým komentářem. Přehled nenvestčních prostředků MŠMT ČR pro rok 2008 a) Příspěvek dle ukazatele A + B* (studní programy a s nm spoená tvůrčí čnnost)- má 2 část, a to nenormatvní a normatvní. Nenormatvní část- Krytí odpsů dlouhodobého maetku, výměna nenvestčního příspěvku dle ukazatele A+B* za kaptálový příspěvek, nenvestční výdae na čnnost zahrnuté v plánu nvestc, stmulace menování a habltace, čnnost orgánů VUT v Brně, příspěvek na podporu studentů ve složté socální stuac, prostředky na dokončení realzace reorganzace Rektorátu VUT v Brně a vybraných nefakultních součástí, patentový fond, tvorba socálního fondu, fond pro zabezpečení přípravy proektů v rámc čerpání prostředků strukturálních fondů EU (vč. proektu CEITEC), rezervní fond pro zabezpečení vzdělávací čnnost a s ní souvseící tvůrčí čnnost a rezervní fond pro krytí nákladů souvseících s úhradou škod, akožto výsledků soudních sporů vedených VUT. Normatvní část- Příspěvek fakultám podle normatvního počtu studentů příspěvku dle ukazatele A+B, příspěvek fakultám dle ukazatele B2, krytí odpsů dlouhodobého maetku, příspěvek na provoz součást CESA a příspěvek na celoškolské součást a fondy. b) Příspěvek dle ukazatele C (Stpenda studentů doktorských studních programů). c) Příspěvek dle ukazatele D (Prostředky na studenty, kteří nesou st. občany ČR, CEE- PUS, AKTION, ERASMUS). d) Příspěvek dle ukazatele F (Fond vzdělávací poltky). e) Příspěvek dle ukazatele G (Fond rozvoe vysokých škol). f) Příspěvek, resp. dotace dle ukazatele I (Transformační a rozvoové programy). 47

50 Nenormatvní a normatvní rozdělení ukazatele A a VaV (ts. Kč) g) Dotace na specfcký výzkum Nenormatvní část- Krytí odpsů dlouhodobého maetku, Příspěvek na celoškolské součást a fondy Normatvní část- VUT postupue shodnou metodkou rozpsu ako MŠMT. h) Fnanční prostředky na realzac výzkumných záměrů ) Nenvestční dotace na ubytování a stravování student Na uvedenou tabulku rozdělení pak navazue rozdělení na součást: 48

51 49

52 Jestlže nyní shrneme problematku možné optmalzace rozdělení dotace VUT prostřednctvím matematckého modelu, vdíme, že sou tyto možnost: Popsat rozpočet VUT rozsáhlou soustavou rovnc, určuící, ak se herarchcky rozpočtové prostředky člení na ednotlvé položky v návaznost, buď na proporconální výš položky mnulého roku, nebo podle výkonových krtérí. V případě alespoň expertního odhadu fnanční návratnost výkonů v některých oblastech a předpokládané výše dsponblních prostředků na úrovn MŠMT za odhadu chování ostatních VŠ, by pak bylo možné problém chápat ako výzvu k vytvoření robustního optmalzačního modelu. Tím e míněno, že by model měl vést k řešení, které zastí mezroční fnanční stabltu systému, a to, že dopad v případě změn některých krtérí MŠMT bude relatvně málo varablní. Jedná se tedy o optmální alokac zdroů s cílem maxmalzovat ech fnanční, neen výkonovou, návratnost. Vdíme, že výše uvedená pravdla se snaží na kvaltatvní úrovn uvedené požadavky respektovat bez matematckého modelu. Důraz e kladen na krtéra, která používá MŠMT pro přdělování prostředků na součást, fnanční prostředky pro další aktvty sou zašťovány varantně (tzv. nenormatvně a normatvně), což zvyšue robustnost a e sledována a omezována výše režních nákladů. Rovněž AS VUT př proednávání rozpočtu používá ak sadu dalších tabulek (text Rozdělení dotace VUT má obvykle přes šedesát stran a z toho přes polovnu stran zabíraí tabulky a mmo to sou používány další analytcké tzv. Hevlínské tabulky ). Nyní se zaměříme na rozpočet konkrétní fakulty, a to FSI. Zde vznká zaímavý problém, který e kvaltatvně odlšný od předchozích problémů. Zatímco na úrovn vlády a MŠMT probíhá o částkách sté dohodovací řízení, na úrovn MŠMT, VŠ a VUT sou používány mnsterské ukazatele a vzorce, tak FSI používá vlastní ukazatele, které ntutvně souvsí s těm MŠMT, ale ak ukážeme, díky odlšnostem vznkaí sté netrvální problémy Rozdělení fnančních prostředků na Fakultě stroního nženýrství Výše přdělených fnančních prostředků FSI e závslá ednak na rozdělení fnančních prostředků z VUT a ednak z MŠMT, potažmo Rozpočtu ČR. Výnosy sou dále klasfkovány a charakterzovány v Dodatku C. Na základě této závslost musí FSI dodržovat všechna ž uváděná pravdla v předchozích kaptolách, proto e zde nebudu znovu všechna zmňovat. Metodka rozdělení fnančních prostředků na FSI vychází z aplkace Změn Pravdel pro poskytnutí dotace VVŠ MŠMT podle zákona č. 111/1998 Sb. platné pro rok 2008 tudíž výše příspěvků dle ednotlvých ukazatelů (A, B1, B2 a specfcký výzkum) odvíí od těchto pravdel. Příspěvky přdělené z VUT se dělí na nvestční a nenvestční prostředky. Pro nvestční prostředky se musí zohlednt vytvoření rezervy pro případné krytí nenadálých událostí, pak úhrada smluvně vázaného podílu fakulty ve výzkumných proektech a nakonec úhrada nvestčních akcí fakultního významu. Informace o pravdlech dělení nvestčních prostředků sou uvedeny v dodatku C, a ak sme uvedl výše, touto oblastí se nebudeme zabývat. Nyní se budu věnovat sté odlšnost až dvoznačnost ve značení týkaící se nenvestčních prostředků (MŠMT versus FSI), která by se mohla evt ako velce matoucí. Tato odlšnost e způsobena hstorckým vývoem a žádá kontextově správné chápání některých symbolů, které sou stené, ale na úrovních FSI a MŠMT maí ný význam. Tuto skutečnost budu respektovat s mnmálním úpravam. 50

53 Jak víme z předešlého odstavce, základním dotačním zdro pro rozpočet FSI sou dotace na vzdělávání (na FSI značíme A a to odpovídá A, B1 a B2 na MŠMT, kde budeme používat, že B*=B1+B2 a A*=A+B*, t. na úrovn VUT značeno ako A) a dotace na specfcký výzkum (na FSI tradčně značíme B, úhrada centrálních, režních t. nutných servsních nákladů se značla na FSI písmenem C a cílené motvační prostředky pak D. Tato dvě písmena v tomto významu zde nebudeme používat a přdržíme se značení MŠMT). Krtera pro rozdělení nenvestčních prostředků na FSI Dotace A* a B bude rozdělena na základě následuících krterí: a) Z dotace B sou přděleny smluvně garantované příspěvky fakulty na řešení všech výzkumných proektů, u kterých se FSI zavázalo podílet se na řešení v daném roce, b) Provozní náklady fakulty sou rozděleny v poměru A*: B, ve kterém obdrží fakulta prostředky z úrovně VUT. (dotace na vzdělávání a specfcký výzkum) c) Zaštění rezervy na krytí mmořádných nákladů souvseících s opravam areálu tato rezerva e dělena v poměru A*: B, ve kterém obdrží fakulta prostředky z úrovně VUT. V případě nedočerpání této rezervy sou zbývaící fnanční prostředky rozděleny mez pracovště na úhradu provozních nákladů steným způsobem, akým sou rozdělovány provozní prostředky d) Zaštění fnancí na uhrazení nekonsorconálních časopsů. Tato částka e dělena v poměru A*: B, ve kterém obdrží fakulta prostředky z úrovně VUT. A opět v případě nedočerpání této rezervy sou zbývaící fnanční prostředky rozděleny mez pracovště na úhradu provozních nákladů steným způsobem, akým sou rozdělovány provozní prostředky. V následuících letech bude upuštěno od fnancování ze strany FSI pro nekonsorconální časopsy a náklady na ech pořízení budou přeneseny přímo na ústavy e) Výdae souvseící s pracem v oblast výzkumu a vývoe budou hrazeny pouze z ukazatele B (podpora aktvt řeštelů proektů) a podpora studa doktorandů bude hrazena z ukazatele A* a B v poměru, v akém sou přdělovány fnanční prostředky z úrovně VUT. Nenvestční prostředky sou rozděleny do oblastí: Provozní prostředky (centrální výdae vz dále tabulka rozdělení dotace) Mzdové prostředky (pravdla vz dále) Provozní náklady ústavů (pravdla vz dodatek C) Výdae socálního charakteru (vz tabulka rozdělení níže) Platby za výuku ných subektů (vz tabulka rozdělení níže) Výdae tzv. ostatních aktvt (vz tabulka rozdělení níže) Nenvestční akce fakultního významu (vz tabulka rozdělení níže) Na výpočet mzdových a provozních prostředků pro rok 2008 e aplkováno tzv. dvoutřetnové pravdlo, které e modfkací původního třetnového pravdla kde P 2008f = P /3(P 2008v - P 2007 ), P 2007 sou přdělené prostředky pro rok 2007 P 2008f sou přdělené prostředky pro rok

54 P 2008v sou vypočtené prostředky pro rok 2008 Pro představu uvádím v následuící tabulce výše dotací dle ednotlvých ukazatelů, a protože se budu zabývat pouze mzdovým prostředky (ncméně mnou navržené modely lze aplkovat pro oblast rozdělení provozních prostředků na ústavy a pro rozdělení nvestčních prostředků, protože sou používány vzorce analogcké těm ve mzdové oblast), budou pro mě důležté pouze ukazatelé A+B *. Ukazatelé C, D, G, I, VZ a VC sou účelové dotace a ty sou poskytnuty odpovědným řeštelům ve schválené výš. Tabulka rovněž obsahue nformace o plánovaných oblastech použtí dotací, včetně přímů z reží ze známých proektů (sloupce VZ a VC, více nformací vz též v dodatku C). 52

55 Rozdělení nenvestčních prostředků na FSI v roce 2008 v Kč A * B A * +B C G I VZ VC mzdy a odměny pracovníků zákonná poštění elektrcká energe plyn pára, teplo voda opravy, údržba spol. prostory opravy, údržba ústavy ostraha obektů úkld obektů odvoz odpadů poštovné bankovní poplatky provoz děkanátu nenvestční akce děkanátu provozní náklady ústavů příspěvek na stravu stpenda prospěchová, vyuka z FP vyuka z FEKT vyuka z PřF MU vyuka z FCh kombnované studum Žďár+Brod doktorand ÚSI Zlín příspěvek na SZZ podpora proektu NETME dentfkační karty studentů provoz knhovny nterní fakultní proekty VaV podpora studa doktorandů podpora aktvt řeštelů gran.pro podpora zahr. Aktvt podpora exkurzí, dplomek a zav.prací rezervní fond děkana stpenda nterních doktorandů 4106 ndvduální čerpání FRVŠ 911 závazná dotace na proektech FRVŠ 120 ndvdualn čerpání RP 7115 úhrada režních nákladů ndvduální čerpání VVZ převod reže z VVZ 7896 ndvduální čerpání VC převod reže z VC

56 Přpomeňme s dále, ak fakulta může v předsthu odhadovat výš domnantního příspěvku na vzdělávání potom, co obdrží nformace z reprezentatvní komse. Metodka výpočtů příspěvku dle ukazatele A* = A+B* Příspěvek dle ukazatele A*=A+B* (B*=B1+B2) náležeící FSI, e součtem: Příspěvků dle ukazatele A *, který e defnován ako součn základního normatvu a normatvního počtu studentů k Příspěvků dle ukazatele B1, který e defnován ako součn základního normatvu a normatvního počtu studentů, zštěného z rozdílu mez počty přepočtených studentů k a k , sníženého o odpočet (odpočet se provádí tak, že se přepočtený počet studentů přesahuící kontrahovaný počet studentů násobí základním normatvem a odečte se od ukazatele B1), pokud přepočtený počet studentů vysoké školy (zde FSI) nerespektue kontrahovaný počet studentů. Příspěvků dle ukazatele B2, který e defnován ako součn počtu absolventů a částky přpadaící na každého z nch. Částka na absolventa se stanovue následovně: částka určená mnsterstvem se vynásobí koefcentem ekonomcké náročnost absolvovaného studního programu, zaokrouhlí na celé Kč, a pokud de o absolventa doktorského studního programu, vynásobí eště koefcentem 1,5. Dalším zdroem přímů e rovněž dotace na specfcký výzkum označená B. Metodka základních výpočtů dotace na specfcký výzkum. Výpočtové vztahy pro rozdělení peněz na specfcký výzkum vychází ze součnové varanty, ak e uvedeno v dalším textu. Jednotlvé část vzorců respektuí krtera uvedená v nařízení vlády s tím, že mohou být stanoveny váhy určuící vlv ednotlvých ukazatelů, (t. absolventů magsterského studa, studentů doktorských studních programů, profesorů a docentů). Doplněný člen v upraveném vzorc b modfkue výš přdělených fnančních prostředků na VaV stupněm ech realzace formou bodovaných výsledků dle metodku uvedené na webových stránkách Použté váhy a koefcenty sou uvedeny v tabulce za částí vysvětluící význam ednotlvých symbolů. Výše dotace na specfcký výzkum e dána vztahem: I = Isv ( wr Q r + wmq m ) přčemž výše uvedené Q r hodnoty sou normovány v souladu s postupem MŠMT, dále e obdobně podle MŠMT normována hodnota v hranatých závorkách. ( ) ( ) ( 1-g 1-q ) g q Q = c H s w + a w r s a w + w = 1 w + w = 1 w + w = 1 r m s a p d 54

57 H = w P + w D p d U w P + w D p d U c = G G K b a = A A s = S S C 3 K = G 3 b = 1 pro B CEP 2007 > Body Max kde I e vypočtená výše podpory na specfcký výzkum pro ústav, I sv dsponblní prostředky fakulty na podporu specfcké čnnost pro rok, na který bude dotace poskytována, Q r e podíl ústavu na nsttuconálních prostředcích pro rok, na který e podpora poskytována, Q m e podíl ústavu na nsttuconálních prostředcích získaných v roce, který předchází roku podpory, K e koefcent úspěšnost uplatnění výsledků, P e přepočtený počet profesorů ústavu v roce předcházeícím roku poskytnutí podpory, D e přepočtený počet docentů ústavu v roce předcházeícím roku poskytnutí podpory, U e přepočtený počet akademckých pracovníků ústavu v roce v předcházeícím roku poskytnutí podpory, H e parametr charakterzuící kvalfkační strukturu ústavu v roce předcházeícím roku poskytnutí podpory, A e počet absolventů magsterských studních programů ústavu v roce předcházeícím roku poskytnutí podpory, S e přepočtený počet studentů v doktorských studních programech ústavu v roce předcházeícím G roku poskytnutí podpory, výše prostředků získaných ústavem podle zákona v roce předcházeícím roku poskytnutí G 3 podpory, výše prostředků získaných ústavem podle zákona za 3 roky předcházeících roku, C 3 který předchází roku poskytnutí podpory, výše prostředků získaných ústavem podle zákona za 3 roky předcházeících roku, který předchází roku poskytnutí podpory, které maí výsledek v RIVu, B výše bodového hodnocení ústavu dle metodky hodnocení výzkumu a vývoe, Body Max počet bodů na ,- Kč pro zelenou skupnu (Body Max =25). 55

58 Parametry výpočtu označení hodnota vztah Váha podílu počtu profesorů w p 0,666 Váha podílu počtu docentů w d 0,334 w d =1-w p Váha podílu počtu absolventů magsterského studa w a 0,025 w a =1-w s Váha podílu počtu studentů doktorských studních programů w s 0,975 Váha kvalfkační struktury akademckých pracovníků q 0,175 Váha státní podpory VaV g 0,680 Váha uplatňovaná pro aktuální rok w r 0,500 Dsponblní prostředky I sv ts. Uveďme nyní základní výpočtová data vstupuící do vzorců pro rok 2008: Vstupní údae pro výpočet za výkony v oblast VaV na rok

59 57

60 Nyní se zabýveme souhrnně problematkou alokace mzdových prostředků na FSI Mzdové prostředky Mzdové náklady ústavů pro rok 2008 sou rozděleny v takovém poměru, v akém e fakulta obdrží ze strany rektorátu VUT: Vzdělávací čnnost 89,5% Započtatelné hodny 80% Studentohodny 10% Počet a kvalfkace pracovníků 10% Specfcký výzkum 10,5% Rozdělení mzdových prostředků (tzv. Slavíkovy vzorce ) Mzdové prostředky fakulty sou složeny z následuících částí: MP = MP A + MP B +MP C MP A - mzdové prostředky všech ústavů podle vzdělávací čnnost MP B - mzdové prostředky všech ústavů podle specfckého výzkumu MP C - pro krytí admnstratvy a závazků FSI Mzdové prostředky na krytí vzdělávací čnnost (MP A ) ústavů (dále MPA u ): MPA u =MPA a +MPA b +MPA c kde MPA u MPA a MPA b MPA c sou vypočtené mzdové prostředky na krytí vzdělávací čnnost pracovště e část mzdových prostředků vypočtená podle počtu započtatelných hodn pracovště e část mzdových prostředků vypočtená podle počtu studentohodn pracovště e část mzdových prostředků vypočtená podle počtu a kvalfkace pracovníků a) ( P PM + P PM + P PM ) MPAa = 0,8MPA PD PD OA OA TP TP daný ústav P PM + P PM + P PM kde ZH + ZH + ZH P PD = N ústavy PD PD PD p k o PD PD PD OA OA TP TP e výpočtový koefcent profesorů a docentů pracovště PM PD e průměr tarfních mezd profesora a docenta k předchozího roku P = OA ZH OA c N + ZH OA OA o e výpočtový koefcent počtu odborných asstentů pracovště 58

61 PM OA e tarfní mzda odborného asstenta k předchozího roku PHc2a PHc2b P TP = 0,5+0,03( P PD + P OA ) +0,3 +0, e výpočtový koefcent počtu technckých pracovníků pracovště PM TP e tarfní mzda technckého pracovníka k předchozího roku PD ZH e celkový počet započtatelných hodn profesorů a docentů pracovště (ndexy p přednášek, k konzultací, o ostatní) N PD e normatvní počet započtatelných hodn docenta a profesora ZH OA e celkový počet započtatelných hodn odborných asstentů pracovště N OA e normatvní počet započtatelných hodn odborného asstenta PH x e celkový počet výukových hodn cvčení daného typu na pracovšt b) kde SH c) kde MPAb MPAc SH = 0,10MPA ústavy PKP = 0,10MPA ústavy daný ústav ( SH ) e celkový počet studentohodn pracovště daný ústav ( PKP) PKP sou body za počet a kvalfkac pracovníků daného pracovště zaměst. Prof. Doc. DrSc. Csc. Ph. D. Dr. koef Složka MP B podle specfckého výzkumu ústavů bude v plné výš určena podle vědeckého výkonu ústavu př započítání všech aktvt, tedy včetně VVZ a VC spočítaná dle upraveného vzorce. 59

62 Složka MP C slouží ako mzdové prostředky na krytí admnstratvy FSI a krytí fakultních závazků. Jedná se o mzdové prostředky pro všechny složky děkanátu, TPO, odměny proděkanů a členů AS FSI, růst akademckých hodností, trvalé odměny, prostředky za významnou čnnost pro fakultu a prostředky pro práce na IS (používá se pro motvac CVISu). Mzdové prostředky FSI v roce 2008 Detalní rozps mzdových prostředků na ústavy FSI vdíme v další tabulce, včetně vstupních výkonů pro Slavíkovy vzorce a mezvýsledků. 60

63 61

64 Výkony ústavů můžeme matcově zapsat takto: T w A = y A = T { a } kde A w y za podmínek w 0, y = 1 1,..,15,, { } w = 1, { 1,2,3,4} matce normovaného rozdělení výkonů na pracovště FSI pro rok 2008 (vz Slavíkovy vzorce výše), váhy tvořené z procentuelního rozdělení fnančních prostředků na pracovště FSI pro rok 2008, podíl daného ústavu na celkovém ednotkovém výkonu FSI. Rozdělení výkonů pracovšť FSI v roce 2008 VÝKONY/ ÚSTAVY UZH SH PP VaV U , ,06 85,00 0, U , ,70 80,00 0, U , ,00 80,00 0, U , ,24 74,00 0, U , ,46 53,00 0, U , ,00 71,00 0, U , ,44121,00 0, U , ,90 38,00 0, U , ,42 45,00 0, U , ,00 39,00 0, U , ,00 35,00 0, U , ,00 49,00 0, U , ,48 47,00 0, U , ,00 15,00 0, U ,00 40,00 10,00 0, U1 až U15 e označení ústavů na FSI. Neznačla sem e konkrétně, abych nebyla nařčena ze zauatost. Zkratky UZH, SH, PP a VaV představuí ukazatel, a to po řadě ukazatel započtatelných hodn, studentohodny počet a kvalfkace pracovníků a výzkum a vývo.k ech určení sem aplkovala Slavíkovy vzorce a výše uvedené Pro vytvoření modelů sem se rozhodla všechny ukazatele znormovat. 62

65 Normované rozdělení výkonů pracovšť FSI v roce 2008 VÝKONY/ ÚSTAVY ZH SH PP VaV U1 0, , , , U2 0, , , , U3 0, , , , U4 0, , , , U5 0, , , , U6 0, , , , U7 0, , , , U8 0, , , , U9 0, , , , U10 0, , , , U11 0, , , , U12 0, , , , U13 0, , , , U14 0, , , U15 0, , , , Nyní sme s přpravl základní podklady pro tvorbu modelů ve mzdové oblast. Základním cílem e pohlédnout na problematku přdělování mzdových prostředků z různých úhlů pohledu. Dosud se váhy ednotlvým krtérím přdělovaly na základě smulací a návrhu vedení FSI schváleného AS FSI. Jedná se vlastně o expertně určené váhy agreguící několk krtérí (vz též kaptola věnovaná vícekrterální optmalzac). Formulace matematckého modelu umožňue navrhnout váhy na základě matematcké formulace určtého slovy formulovaného cíle. Tento postup sce umožňue měnt váhy cíleně, ale zveřenění těchto modelů v mé prác pak především umožňue prozkoumat, zda expertně defnované váhy věrohodně odrážeí určté obecné cíle, kterým např. byly zdůvodňovány. Hlubší důvod pro volbu takových modelů tedy e, že mnou dále navržené modely umožňuí zkoumat případy, kdy se podaří prosadt změny koefcentů a odhalt více o skutečných motvacích případných prosazovatelů změn. Podotkněme, že výše uvedené výpočetní postupy sou používány na FSI po delší dobu (více než 10 let) a sou pouze zpřesňovány. Ncméně některé změny se ž prováděí a né a razantní mohou přít s plánovanou reformou tercárního vzdělávání, a proto se domnívám, že mnou zvolené přístupy mohou, podobně ako v né oblast software pro odhalování plagátů, přspět v budoucnost k dentfkac a zveřeňování lokálních změn různých pravdel, motvovaných pouze prospěchem některé konkrétní skupny. Zatím tedy pro rok 2008 byla pouze snížena váha studentohodn s ohledem na změny v prác se započtatelným hodnam a tzv. třetnové pravdlo bylo nahrazeno pravdlem dvoutřetnovým. Ukažme s nyní, ak budou vypadat modely pro ednotlvá krtéra s následným výpočtem optmálních vah. Všechny stuace budu nedříve modelovat v programu MS Excel pomocí doplňku Řeštel a posléze vybrané modely naprogramu v modelovacím azyce GAMS 63

66 6. Modely 6.1. Model č. 1 Uvažume stuac, kdy považueme rozdíly mez ústavy ve fnančních prostředcích za přílš podstatné a chceme e zmenšt. Tím vlastně chceme pomoc těm ústavům, které sou malé (např. počtem pracovníků) nebo maí podprůměrný výkon. Čl za deální stav bychom považoval stuac, kdy každý ústav se na výkonech fakulty bude podílet steným dílem. Odchylku od průměru můžeme měřt různým způsobem. Typckou možností,.kterou použeme, e součet čtverců odchylek pak účelovou funkc zapíšeme ve tvaru: kde y = 1 f ( w y ) ( y - y ) 2, = mn y,protože uvažueme 15 ústavů, a zároveň musí platt podmínky 15 a w = y, w 0, y = 1, w = 1, { 1,..,15}, { 1,2,3,4}. Doplňuící podmínkou obvykle bývá skutečnost, že poměr prostředků pro vzdělávání a pro specfcký výzkum e dán (vz dskuse k rozpočtu FSI), a tedy koefcent pro specfcký výzkum e ve výpočtech fxován. Poznameneme, že uvedený model můžeme vhodně pozměnt tím, že zohledníme velkost ústavu např. tak, že počet pracovních úvazků použeme ako váhový koefcent o čtverce odchylky. Př vložení zadání včetně podmínek do MS Excel (vz ukázka vstupního formuláře řeštele a celé výpočetní excelovské tabulky), dostávám optmální řešení vektoru vah w. V tomto případě vypadá řešení následovně: w = { 0,0,0.895,0.105}, což e v stém smyslu trvální řešení, kdy třetí souřadnce vektoru w m říká, že mnmální rozdíly mez ústavy nastanou ve chvíl, kdy se každý ústav zaměří na počet a kvalfkac akademckých pracovníků ústavu, protože ukazatel PP=1 ve Slavíkových vzorcích. Zamysleme se nyní nad vlastnostm našeho modelu. Protože uvedená omezení sou lneární, množna přípustných řešení e polyedrcké konvexní množna (vz Věta 1.2) a e zřemé (vz kaptola 2 věnovaná nelneárnímu programování), že uvedená krterální funkce e ryze konvexní. To znamená, že nám nalezené mnmum e rovněž mnmem globálním a edným. Co to znamená pro ednotlvé ústavy? Ústavy podíleící se větší mírou na počtu a kvalfkac akademckých pracovníků s zpravdla polepší. Na základě změny vah se nám samozřemě změní výše mzdových prostředků přdělených ústavům. V návaznost na toto se také změní podíl ústavu na výkonu. Srovnání vdíme v této tabulce: 64

67 Př smulac modelu v modelovacím azyku GAMS nám pochoptelně vyšel výsledek totožný s výsledkem řeštele MS Excelu. Ncméně modelovací azyk GAMS představue na daný model navázat a vytvořt náročněší modely, ve kterých by byly zohledněny další prvky rozpočtu FSI a VUT, včetně náhodného chování MŠMT. Pro úplnost uvádím nedříve ukázku řeštel, tabulky v MS Excelu, a ukázku ze zdroového kódu azyka GAMS modelu (po řadě), celý zdroový kód e možno nalézt v dodatku B. 65

68 66

69 Zadání účelové fce ucelova_funkce.. z =e= sum(,sqr(y()-yy)) ; Podmínky podl_na_vykonu().. sum(,matce_a(,)*w()) =e= y() ; soucet_podlu.. sum(,y()) =l=1 ; suma_vah.. sum(sub(),w())=e=0.895; pevna_vaha.. w('vav')=e=0.105 ; vysledek1.. x('zh')=e= w('zh')/0.895; vysledek2.. x('sh')=e= w('sh')/0.895; vysledek3.. x('pp')=e= w('pp')/0.895; pomoc..sum(,y())=e=p; suma_vah.. w('zh')+w('sh')+w('pp')=l=1 ; prumer.. (1/15)*sum(,y())=e=yy ; Optmalzace model matematckymodelrozpoctu aa /all/ ; solve matematckymodelrozpoctu mnmzng z usng nlp; dsplay w.l, y.l,x.l,p.l; 6.2. Model č. 2 Nyní uvažume stuac, kdy považueme rozdíly mez ústavy ve fnančních prostředcích za přílš malé a chceme e zvětšt, t. více ocent ty úspěšné. Tím vlastně chceme pomoc těm ústavům, které sou velké nebo maí nadprůměrný výkon. V účelové funkc opět použeme součet čtverců odchylek. Nyní budu požadovat, aby rozdíl mez ústavy byl maxmální, pak účelovou funkc zapíšeme ve tvaru: kde y = 1 f ( w, y) max ( y - y ) 2 = y a zároveň musí platt podmínky 15 a w = y, w 0, y = 1, w = 1, { 1,..,15}, { 1,2,3,4}. Pokud se zamyslíme nad uvedeným modelem, vdíme v návaznost na předchozí rozbor u Modelu 1, že maxmalzueme konvexní funkc na konvexní množně. Pro tento případ tedy nemusí platt, že každé lokální maxmum e zároveň maxmem globálním (vz kaptola 2), proto obecně dostaneme lokální maxmum a hledání opakueme s restarty pro počáteční hodnoty a získáme nelepší dosud nalezené lokálně optmální řešení. Steným postupem ako v případě 1. modelu tedy vložení spočítám optmální řešení vektoru vah w. Řešení e následovné: w = { 0,0.895,0,0.105}, 67

70 což e opět trvální řešení, kdy druhá souřadnce vektoru w říká, že maxmální rozdíly mez ústavy nastanou v případě, že se každý ústav zaměří na studentohodny, protože ukazatel SH=1. Změny podílů můžeme vdět v tabulce níže Model č. 3 Nyní s můžeme představt stuac, kdy chceme dentfkovat potencální zámy ednotlvých ústavů a zda byly prosazeny př tvorbě krtérí. Uvažueme hypotetckou možnost, že zmíněný zástupce ústavu má možnost váhy ovlvnt, a to buď př ech návrhu, nebo př ech schvalování a chce, aby eho ústav dostal nevíce fnančních prostředků oprot ostatním ústavům. Účelovou funkc potom zapíšeme: f w, y = max y ( ) kde e ndex eho ústavu, zároveň musí platt podmínky a w = y, w 0, y = 1, w = 1, { 1,..,15}, { 1,2,3,4}. Uvedená úloha e nyní úlohou lneárního programování a pro eí řešení platí poznatky kaptoly 1. Opět nalezené řešení pomocí mplementací smplexové metody v MS Excelu a GAMSu e globálním maxmem a e dosaženo v kraním bodě polyedru daného lneárním omezením. S ohledem na formulac úlohy platí, že úloha má vždy konečné optmální řešení (množna přípustných řešení e neprázdná a neexstue kraní směr růstu). Př vložení zadání včetně podmínek do MS Excel, dostávám optmální řešení vektoru vah w: w = { 0,0.895,0,0.105 }, což e, ak vdíme stený případ ako v 2. modelu. 68

71 6.4. Model č. 4 Pokud naopak chceme odhalt, zda některý ústav nebyl záměrně postžen, volíme stenou krtérální funkc a tu mnmalzueme. Čl předpokládáme, že ten, kdo by chtěl ústav posthnout, by mu chtěl přdělt co neméně fnančních prostředků ze všech. Účelová funkce má v tomto případě tvar: f ( w y), = mn y kde e ndex ústavu, který není v oblbě, zároveň musí platt podmínky a w = y, w 0, y = 1, w = 1, { 1,..,15}, { 1,2,3,4}. Jedná se opět o úlohu lneárního programování, která má všechny vlastnost předchozí úlohy v Modelu 3, pouze se musí uvažovat převod na standardní tvar podle kaptoly 1. Př vložení zadání včetně podmínek do MS Excel, dostávám optmální řešení vektoru vah w: což e stený případ ako v 1. modelu. w = { 0,0,0.895,0.105}, 6.5. Model č. 5 Dále nás zaímá možnost, zda používané váhy nesou výsledkem koalce sestavené několka ústavy. Předpokládáme, že nás zaímá, aké by byly optmální váhy z pohledu koalce např. ústavů U1, U3, U5, U7 a U11. Zkusíme zvolt krtérum, že ústavy se dohodly na tom, že budou maxmalzovat svů celkový přepočtený podíl na výkonech fakulty. Pro tento případ má účelová funkce tvar: f ( w, y) max ( y ) =, kde množna L e množna vybraných ústavů, zde L = { 1,3,5,7,11}, zároveň musí platt podmínky l L a w = y, w 0, y = 1, w = 1, { 1,..,15}, { 1,2,3,4}. l 69

72 Opět se edná o úlohu lneárního programování. Nyní e řešení následovné: w = { 0,0.895,0,0.105}, což e řešení, kdy druhá souřadnce vektoru w říká, že nevíce fnančních prostředků skupna vybraných ústavů obdrží v případě, že se zaměří na studentohodny, protože ukazatel SH=1. Vdíme, že uvedené řešení e poměrně časté, bylo tedy možné použít nástroe analýzy ctlvost (vz kaptola 1) a zstt, pro které modely zůstane platné v případě, když postupně koefcenty v účelové funkc snžueme k nule (vz model 3). Srovnání vdíme v tabulce dále: Podobně lze zšťovat, zda některá skupna ústavů nebyla postžena (použeme mnmalzac v účelové funkc). Další zobecnění e možné tehdy, pokud použeme nelneární celočíselné programování, kdy zařazení do množny L bude proměnná s hodnotam 0 a Model č. 6 Uvedená krtéra lze dobře vzáemně kombnovat. Jedno vlastně doplňue druhé a v tom případě možná manpulace ve prospěch ednotlvých skupn č ústavů e obtížně odhaltelná. Měme například stuac, kdy e snaha ovlvnt agregované výkony ve prospěch ednoho ústavu, ale přtom chceme respektovat to, aby byly eště více oceněny ústavy s nadprůměrným výkony. Účelovou funkc potom např. zapíšeme musí platt podmínky ( w, y) max 0.9 ( ) 2 f = y - y + 0,1y 1 Nyní e řešení následovné: a w = y, w 0, y = 1, w = 1, { 1,..,15}, { 1,2,3,4}. w = { 0.388, 0.127, 0.380, 0.105}, což už není trvální řešení, souřadnce vektoru w nám říkaí, v akém poměru musí být váhy, aby byl co nelépe splněn požadavek zadání. Přpomeňme ukazatel ZH=0,43; SH=0,12 a PP=0,42. Srovnání e pak vdět v uvedené tabulce níže. 70