VÝZNAM TEORIE DUALITY V OPERAČNÍ ANALÝZE THEORY OF DUALITY IN OPERATIONAL ANALYSIS. ZÍSKAL Jan. Abstract

Transkript

1 VÝZNAM EORIE DUALIY V OPERAČNÍ ANALÝZE HEORY OF DUALIY IN OPERAIONAL ANALYSIS ZÍSKAL Jan Abstract hs paper summarzes knowledge from lterature and results of research n dual theor at the Department of sstems engneerng. he area of dual theor s used for solvng dfferent economc problems. Dverst of problem n applcaton shows dfferent methods of operaton analss. he are gven the possblt of dualt use b lnear optmzaton models n solvng dstrbuton problems, game theor and network. Ver mportant s economcs nterpretaton of dual problem. Ke words: Dualt, dual model, shades prces, dual algorthm, econom nterpretaton. JEL Classfcaton: C 6 Abstrakt Příspěvek shrnue poznatk získané studem odborné lteratur a výsledk výzkumné čnnost na katedře Sstémového nženýrství v oblast vužívání teore dualt př řešení různých ekonomckých úloh. Ukazue na různorodost dané problematk př aplkac ednotlvých metod operační analýz. Jsou uveden možnost vužtí dualt př použtí lneárních optmalzačních modelů, př řešení dstrbučních úloh, v teor her a v teor toků v sítích. Je zdůrazněna ekonomcká nterpretace duálních úloh. Klíčová slova: dualta, duální model, stínové cen, duální algortm, ekonomcká nterpretace Úvod Dualta (podvonost) se stala fenoménem operační analýz. Jeí vužtí nesmírně rozšířlo nterpretační možnost úloh operační analýz. V matematce a fzce se v prostorech řešení setkáváme se dvěma vzáemně souvseícím prostor. V případě konstrukce lneárního ekonomcko matematckého modelu nezávsle vznká v duálním prostoru eho druhá verze. ato duální verze má svo zaímavou ekonomckou nterpretac, což zvšue poznávací báz řeštele. Poem duální úloh zavedl John von Neumann v roce 947 (Neumann 947) a vsktue se též v prác V. Kantorovče z roku 949 (Kantorovč-Gavurn 949). Od té dob se dualta stala nedílnou součástí mnoha prací různých autorů v oblast operační a sstémové analýza (ucker 956, Dantzg 956, Získal 998 a další). Cíl a metodka Cílem tohoto příspěvku e ukázat na vužtí dualt v různých dscplínách operační analýz. Jeí význam v ednotlvých úlohách může být výpočetní, kd umožňue zednodušení 507

2 a urchlení výpočtů, analtcký, kd se vužívá př zkoumání vlastností úloh, pro odvozování důkazů a algortmů a ekonomcký význam spočívaící v možnost oceňovat výrobní čntele. Zeména ekonomcký význam dualt rozšřue možnost nterpretace a analýz získaných výsledků řešení a tím umožňue získání velkého množství nformací potřebných pro správné rozhodování. omuto cíl e přzpůsobena metodka řešení, která vchází ednak ze sstémového přístupu a z předpokladu vzáemné propoenost a návaznost ednotlvých dscplín sstémové analýz. Metodologe zpracování tak vchází z povah dané problematk. Vužívá teoretckých a praktckých poznatků získaných dlouholetým studem této problematk, z vlastních zkušeností z výzkumné čnnost a z poznatků vplývaících z výsledků výuk předmětů katedr Sstémového nženýrství. Výsledk a dskuse eore dualt se nevíce uplatnla př aplkacích lneárních optmalzačních modelů. Uvedeme obecnou formulac prmárního lneárního modelu: A A 3 z c 4 A A c b 0 s. l b ma () K tomuto modelu e duální model formulován takto: A A c Kde b c z f A f b 3 A 4 0 s. l. b c mn 508 () A A A e matce koefcentů u proměnných A3 A4 sou proměnné prmární úloh sou proměnné duální úloh e vektor požadavků e vektor cen e prmární krterální funkce e duální krterální funkce Podle eplctní vět o dualtě (Gale, Kun, ucker 95) známe-l optmální řešení obou sdružených problémů () a (), pak duální hodnot udávaí přírůstek hodnot krterální funkce př ednotkovém přírůstku pravých stran vlastních omezení prmární úloh. Ekonomcký význam duálních proměnných spočívá v tom, že posktuí ocenění vlastních omezení prmárního modelu vzhledem k prmární krterální funkc. Protože někd bývá nterpretace duální úloh a ted duálních proměnných dost obtížná, e vhodné v těchto

3 případech zkoumat fzkální rozměr na obou stranách omezení duálního problému a tak dospět ke správné nterpretac (Získal, Houška, eránková 005). Pomocí matcové smbolk lze duální (stínové) cen vádřt ako vektor: d c kde A c a c (3) c e vektor cen základních proměnných e matce transformace A e matce soustav Protože duální báze zůstává optmální en v určtém rozmezí, které lze zstt pomocí analýz ctlvost (Získal a kol. 007) e ocenění výrobních čntelů relatvní a e závslé na ech množství. Se změnou množství čntelů přes dané nterval přípustných změn se mění optmální báze a tím duální cen. Duální cen udávaí, ak zvýší každá další ednotka příslušného čntele mamální výnos. Má-l v optmálním řešení některá proměnná nenulovou hodnotu, e duální omezení í odpovídaící splněno ako rovnost a e-l některé omezení prmáru splněno v optmálním řešení ako ostrá nerovnost, rovná se odpovídaící duální proměnná nule. o znamená, že čntelé, které sou v přebtku, maí v optmálním řešení nulovou duální cenu a nerentablní proces se v optmálním řešení nerealzuí. Duální hodnot ted sgnalzuí možné změn v dosažení cíle př určté změně omezuících podmínek prmární úloh. o má značný význam pro manažerské rozhodování. O kolk se praktck může změnt hodnota krterální funkce záleží ovšem na celé struktuře úloh. Rozevírání příslušného úzkého proflu ve výrobě přestane mít v určtém okamžku smsl, protože se lmtuícím čntelem stane ný zdro. Ekonomcký význam duálních cen spočívá především v tom, že lze hodnott úsporu některého výrobního čntele, výhodnost zavedení nového výrobku, výhodnost substtuce ednoho výrobního faktoru ným apod. (Vrána 966). Dualta se uplatnla též př odvozování nových algortmů. Příkladem e duální smpleová metoda (Dantzg, Laster 956), která bla odvozena pro řešení některých tpů lneárních úloh, kd nesou splněn všechn předpoklad pro ech řešení. Zeména de o předpoklad nezápornost omezuícího vektoru b prmární úloh. Metoda vchází z přípustného duálního řešení a nepřípustného prmárního řešení, které se teračním postupem transformue na přípustné př zachování přípustnost duálního řešení. U dstrbučních úloh se vužívá dualt př stanovení testu optmalt v prmární úloze. K ednostupňovému dopravnímu problému lze duální úlohu formulovat takto: u v c, m;, n f a v b v ma (4) Kde u sou duální proměnné odpovídaící m řádkovým omezením prmární úloh v sou duální proměnné odpovídaící n sloupcovým omezením prmární úloh a sou kapact dodavatelů b sou požadavk spotřebtelů c sou cen za přepravu V případě, že duální proměnné u a v vhovuí omezuícím podmínkám duální úloh (4), e příslušné bazcké řešení optmální. Z ekonomckého hledska duální proměnné udávaí náklad na ednotku kapact dané dodavatelské nebo spotřebtelské stance, čl udávaí, ak se každá ednotka kapact určté stance podílí na přepravních nákladech. Velká hodnota u znamená, že -tá dodavatelská 509

4 stance e dopravně nevhodně umístěna vůč spotřebtelským stancím a naopak vsoká hodnota v znamená nevhodné umístění spotřebtelské stance vůč dodavatelské. to poznatk mohou vést k případné úpravě dopravních tras. Duální proměnné u a v udávaí en relatvní ocenění dodavatelských a odběratelských stanc, neboť se změnou bazckého řešení se mění ech hodnot. Dualta se uplatnla v dalších dscplínách operační analýz. Mez teor her a lneárním programováním estue velm úzký vztah. Optmální smíšenou strateg matcové hr lze nalézt pomocí převodu na úlohu lneárního programování (LP) a naopak každou duální dvoc úloh LP lze redukovat na smetrckou hru. Můžeme formulovat úlohu: z ma A v a k ní duální f mn A v kde A e výplatní matce hr e smíšená stratege hráče A e smíšená stratege hráče v e cena hr (5) (6) Jestlže hráč A předpokládá, že eho smíšenou strateg zná hráč, pak každý z nch řeší lneární úlohu, která e duálem druhého hráče. Známe-l optmální smíšenou strateg matcové hr, lze přímo rozhodnout o řeštelnost dané úloh. V teor her se důkaz vět o mnmau, t. Ma mn E (, ) = mn ma (, ) kde E (, ) e střední hodnota výhr opírá o teor dualt (Neumann 947). Mnmaový prncp lze uplatnt př řešení problémů ekonomckého rozhodování za neurčtost nebo př vhledávání kompromsních řešení v úlohách vícekrterální optmalzace. Mnohé praktcké problém se zabývaí problematkou komunkačních sítí. Estue celá řada ekonomckých úloh, kd se vhledává kolk substrátu může proít danou sítí za časovou ednotku nebo ak optmálně řídt pohb v sít, aká mnmální kapacta sítě stačí k přepravě daného obemu substrátu atp. Vhledávání mamálního toku v sít lze provést pomocí FF algortmu (Ford Fullkerson, 954). aké lze ale použít ný způsob založený na ném algortmu vhledávání mnmální kapact řezu sítí. Jde o vzáemný duální vztah dvou úloh. Závěr Dualta v operační analýze sehrála důležtou rol. Uplatnla se př řešení různých úloh neen v analtcké a ekonomcké oblast, ale výpočetní. Jeí použtí nesmírně rozšířlo nformační 50

5 báz pro rozhodování. I kdž e teore dualt v odborné lteratuře poměrně šroce rozpracovaná, stále evokue pro úvah o dalším eím možném vužtí. Lteratura [] DANZIG, G.., LASER, R. 956, Prmal-Dual Algorthm for Lnear Programs, Annals of Mathematcs Stud, n. 38, Prnceton. [] DANZIG, G.., 966. Lneárne programovane a eho rozvo. Slov. vd. techncké lteratur, ratslava. [3] FORD, L.R., FULKERSON, R,D Mamal Flow hrough a Network, Research Memorandum RM-400, he Rand Corporaton. [4] GAE, D., KUHN, H.W., UCKER, W. 95. Lnear Programmng and the heor of Games. John Wle, New York. [5] KANOROVIČ, L.V., GAVURIN, M.K he Applcaton of Mathematcal Methods to Problems of Freght Flows Analss, Akademe nauk SSSR. [6] NEUMANN, J On a Mamzaton Problem. Insttute for Advanced Stud, Prnceton, New Jerse. [7] UCKER, A.W Dual Sstems of Homogeneous Lnear Relaton. Annals of Mathematcs Stud, č. 38, Prnceton. [8] VRÁNA, L Orentační model výrob. Studní nformace, Zemědělská ekonomka, Praha. [9] ZÍSKAL, J. a kol Lneární programování III, ČZU v Praze, PEF, ISN [0] ZÍSKAL, J Sstémová analýza a modelování, ČZU v Praze, PEF, ISN [] ZÍSKAL, J., HOUŠKA, M., ERÁNKOVÁ, M Lneární programování II. ČZU v Praze, PEF, ISN Adresa autora: Prof. Ing. Jan Získal, CSc., Česká zemědělská unverzta, PEF / katedra Sstémového nženýrství, Kamýcká 9, 65 Praha 6, Česká republka, tel.: , e-mal: zskal@pef.czu.cz 5