n lokální působení různých vnějších faktorů ovlivňujících růst a zánik živých organismů n lokální variace vnitřních proměnných biologických systémů.

Transkript

1 PROSTOROVÁ AUTOKORELACE V ANALYTICKÉ CHEMII JIŘÍ MILITKÝ, Katedra textlních materálů, Techncká unversta v Lberc, 46 7 Lberec MILAN MELOUN, Katedra analytcké cheme, Unversta Pardubce, Pardubce. Úvod Autokorelace se běžně používá přanalýzečasových řad. Jde obecně o metodu zkoumání podobnost nebo různost sledované proměnné mez zvoleným ntervaly. Tyto ntervaly mohou být časové prostorové. Prostorová autokorelace umožňue testování zda sledovaná proměnná v edné lokaltě (oblast, místě resp. bodu O e závslá na hodnotách této proměnné v oblastech sousedících. Prostorová autokorelace tedy defnue míru a úroveň vzáemné závslost mez ednotlvým oblastm v ploše nebo prostoru. Poztvní autokorelace ukazue na podobnost sousedních oblastí a negatvní na výraznou nepodobnost. Praktcky všude, kde se studuí stochastcké procesy rozložené v ploše nebo prostoru se narazí na problém prostorové autokorelace. Prostorová autokorelace e typcká u bologckých problémů, kde sou různé organsmy rozmístěny v lokaltách na zem. Prostorová autokorelace e zde způsobena dvěma zdro příčn: n lokální působení různých vněších faktorů ovlvňuících růst a zánk žvých organsmů n lokální varace vntřních proměnných bologckých systémů. Standardně se prostorová autokorelace využívá v geograf, ekolog ekonomce, geograf a zemědělství. V analytcké chem se problémy souvseící s prostorovou autokorelací vyskytuí např. v těchto úlohách: n vyádření výsledků analýz s ohledem na nestenoměrnost materálových charakterstk resp. poruch v ploše nebo prostoru, n hodnocení vlvu nehomogenty obemných vzorků na výsledek analýz, Obecně vede na úlohy prostorové autokorelace aplkace analytckých metod v oblast bologe, medcíny, geologe, ale také hutnctví, výroby transstorů řízení akost atd. V této prác sou uvedeny základní myšlenky autokorelace vyádřené přes statstky založené na smíšených momentech. Účelem e ukázat ak ednoduše se dá postupovat př analýze tohoto typu dat. Detaly a některá zobecnění obsahue knha [].. Základní způsoby vyádření prostorové autokorelace Prostorová autokorelace se využívá pro hledání závslostí (resp. prostorové blízkost mez množnou N lokalt ( ale také bodů, míst, poloh O,O.. O N ahodnotamp,p..p N něaké proměnné p měřené na ednotlvých místech. Lokalty mohou být charakterzovány svoí polohou na mapě, těžštěm atd. Pokud de o body bývaí charakterzovány svým souřadncem, t. O =(x,y. Jednotlvé lokalty mohou tvořt pravdelnou nebo nepravdelnou sť. Podobně bodové množny mohou být pravdelné nebo nak uspořádané. Velčna p může být kardnální nebo nomnální (např. přítomnost nebo nepřítomnost stopového prvku. Omezme se nedříve na kardnální data (např. koncentrace, když se dá praktcky stený aparát použít také pro nomnální data..

2 Prostorová blízkost (proxmta mez hodnotam proměnné p se pro kardnální data defnue pomocí matce C sprvky C vyadřuícím různé typy vzdáleností mez p a p. Přrozenáevolba C = ( p p ( Standardně lze také s využtím průměru p N å = p defnovat C ve tvaru C = ( p p *( p p ( Mez další možnost patří Mahalanobsova vzdálenost analoge korelace, Manhatanská vzdálenost, Lp norma atd. Prostorová souvslost mez místy se vyadřue pomocí prostorové váhové matce W s prvky W. Obecně prvek W vyadřue souvslost mez lokaltou O a O. Prostorová souvslost se často chápe lokálně aváhovámatcemáprvekw =, pokud se O ao považuí za blízké sousedy resp. W =0. Pro regulární síť se lokální prostorová souvslost často defnue podle možností pohybu fgur na šachovnc. Př strateg věže (rook exstuí pro každou O čtyř soused (dva v ednom a dva v druhém směru sítě kolmo na sebe. Př strateg střelce (bshop exstuí pro každou O čtyř soused (dva v ednom a dva v druhém směru dagonálně vzhledem k orentac sítě. Př strateg krále (kng exstue pro každou O šest sousedů ako kombnace předchozích dvou strategí. Schematcky lze tyto typy prostorové souvslost vyádřt pomocí obr. Zde symbol O defnue lokaltu a symboly XXX neblžší sousedy pro které sou váhy W ednotkové. Rook Bshop Kng XXXX XXXX XXXX XXXX XXXX XXXX XXXX O XXXX O XXXX O XXXX XXXX XXXX XXXX XXXX XXXX XXXX Obr. Stratege výběru neblžšího souseda Pro obecně neregulární uspořádání se běžně volí globální prostorová souvslost úměrná např. recproké hodnotě vzdálenost mez O a O tedy např. W d mn = d( O, O = ( x x d mn + ( y y (3 Zde d mn e mnmální hodnota daného typu vzdálenost. Často se také provádí standardzace vah, tak aby součet všech prvků matce W byl roven edné. Je zřemé, že W =0 a proto se často defntorcky zavádí C =0. Všechny míry lokální autokorelace využívaí defnce smíšeného momentu G, pro který platí G = åå W * C (4

3 Tento moment se často označue ako lneární model prostorové autokorelace. Statstcké chování G se obyčeně sledue na základě znáhodnění t. smulací, kdy se počítá G pro všechny permutace sloupců a řádků matc W a C. Různé ndexy a míry autokorelace sou standardzované varanty statstky G. Známý Moranův ndex má tvar åå åå W * ( p p *( p p N I = * (5 W ( p p å Je zřemé, že ndeximůže být nulový en pro případ, kdy ( p p * ( p p =0. Negatvní prostorová autokorelace e pro I>-/(N- a postvní prostorová autokorelace e pro I<-/(N-. Významnost ndexu I se dá posuzovat na základě předpokladu přblžné normalty nebo znáhodnění. V obou případech platí, že střední hodnota e rovna E(I = -/(N-. Pro rozptyl za předpokladu normalty vyde 0 ù ( N * S N * S + 3* S E( é D( I = ê 0 ú I S * (N ë û Je použto označení åå S 0 =, W S = åå + a ( W W S = å +.Zde ( W * W* W * označue -tý řádek a W * označue -tý sloupecmatcew.prosymetrcké matce W e S = *S. Standardzovaná náhodná velčna z = I E( I D( I (6 má pak přblžně normované normální rozdělení takže lze snadno testovat významnost Moranova ndexu I. Druhým známým ndexem autokorelace e Gearyho c, pro které platí,že má tvar åå å W *( p p N c = * * ååw ( p p (7 Tento ndex se pohybue v rozmezí 0 až. Negatvní prostorová autokorelace e pro c> a postvní prostorová autokorelace e pro ci<. Střední hodnota e rovna a pro rozptyl za předpokladu přblžné normalty vychází é ê ë ù ( N *(* S + S 4 * 0 ú û D( c = S S * *( N + 0 (8 Další postup testování významnost e stený ako u Moranova ndexu.

4 3. Zobecněné vyádření prostorové autokorelace Exstue celá řada zobecnění prostorové autokorelace. Mez ednoduché patří např. tzv. čtyřbodové statstky q(,, k, l protože kedvěma lokaltám O O sou k dspozc prvky W W,C.W které nemusí být nutně stené. Jezřemé, ze statstka G = ååq(,,,. Praktcké možnost použtí čtyřbodové statstky demonstrue práce[]. Poměrně ednoduše lze také zavést charakterstky lokální autokorelace (vz [3], kdy se př výpočtu momentů sumue pouze přes eden ndex. Tedy např. lokální statstka G má tvar G = å W * C (9 Jednotlvá G mohou být použta pro ndkac lokálních prostorových shluků. Druhoumožností e dentfkace vybočuících a vlvných lokalt na základě porovnání G a G/N. Analogcky ako statstku G lze defnovat lokální Moranovy I a Gearyho c ndexy. Podrobnost obsahue práce [3]. 4. Příklad Techncká aplkace chemcky poené textle obchodního názvu Perlan, například v elektrotechnckém průmyslu pro výrobu hydrozolačních pásek, e podmíněna zaručenou spolehlvostí v podélné pevnost a tažnost. V upraveném stavu sou u této netkané textle požadovány zaručené hodnoty v elektrcké průrazné pevnost, nasákavost a pevnost v přetrhu. Všechny tyto vlastnost souvseí se stenoměrností uspořádání vlákenných složek a pova. Nestenoměrnost vzhledu e dobře patrná zobr.. Obr. Stenoměrnost vlákenné vrstvy v poené textl plošné hmotnost60gm - Účelem byl pops kolísání plošné hustoty této textle. Vzorky pro gravmetrcká měření byly odebrány ve tvaru čtverců rozměrů 00 x 00 mm. Tyto vorky byly rozděleny na rektangulární síť o velkost cely 0 x 0 mm. Pro textl o plošné hmotnost 60 g/m má cela plošného obsahu S = 00 mm hmotnost kolem 6 mg. Kontrola přesnost přípravy cel, byla

5 provedena na náhodném výběru 5 vzorků.. Relatvní chyba velkost cely se pohybovala od 0.88% do.%. Hmotnost každé cely m byla určena ako průměr zpět vážení. Maxmální relatvní chyba vážení uvzorku60g/m byla.606%. V tab. sou uvedeny hodnoty m pro vzorek poené textle plošné hmotnost 60 g m - Tabulka Průměrné hmotnost cel poené textle plošné hmotnost60gm - Průměrná hmotnost m [0 4 g] Vzhledem k tomu, že bylapoužta stená velkost cel o ploše S = 00 mm e plošná hustota z =m /S v [g m - ] číselně rovna hodnotám v tab.. Základní statstcké charakterstky tohoto pole plošné hustoty sou uvedeny v tab.. Tabulka. Základní statstcké charakterstky plošné hustoty Počet hodnot 00 rozměr Průměr 58.9 [ gm - ] Maxmální hodnota 73 [ gm - Mnmální hodnota 5 [ gm - ] Směrodatná odchylka 5, [ gm - ] Varační koefcent 8.68 [%] Grafcky e kolísání plošné hustoty znázorněno na obr. 3. S0 S9 S8 S7 S6 S5 S4 S3 S S Obr. 3 Kolísání plošné hustoty poené textle 60 g m [ gm - ] [ gm - ] Informace o náhodném pol lze získat na základě sekvence povrchových hustot z(, určených

6 na pravoúhlé sít, kde, ( =...m, =...ndefnue. -tou celu. Pro odhad korelační funkce pak platí m K n L R ( K, L = å å ( z ( + K, + L z( z (, z ( m K( n L = = kde m n z = åå z (, mn = = e průměrná hodnota plošné hustoty. Je zřemé, že korelační funkce R(0,0 = D(z(,. Zde symbol D(z(, označue výběrový rozptyl plošné hustoty. Na obr 4 e znázorněn odhad korelační funkce R(K,L pro K=0,...7 a L=0,...7. Obr 4 Odhad korelační funkce R(K,L Pro vyádření prostorové autokorelace bylo použto ak Moranova I tak Gearyho c ndexu. Vzhledem k regulartě sítě bylo použto lokální defnce neblžších sousedů podle obr. Výsledky získané s využtím doplňku (add-n pro EXCEL (vz [4] sou uvedeny v tab. 3. Tabulka 3. Indexy prostorové autokorelace Typ souseda I D(I Z(I c D(c Z(c Rook 0,55 0,0053 3,66 0,7 0,0057 3,677 Bshop 0,4 0,0059,95 0,89 0,0078,03 Queen 0,0 0,007 4,06 0,768 0,0037 3,79 V tab. 3 sou Z(I a c(i standardzované náhodné velčny s přblžně normálním rozdělením. Jech velkost (podstatně výše než svědčí ovýrazné poztvní autokorelac. Z uvedeného e patrné, že polepovrchové hustoty e mírně anzotropní a vykazue lokální neregularty. Exstue zde výrazná prostorová autokorelace. To bylo potvrzeno také analýzou založenou na vzuální nestenoměrnost [6].

7 5. Závěr V příspěvku bylo ukázáno použtí prostorové autokorelace na příkladu pole povrchové hustoty pro hodnocení nestenoměrnost netkaných textlí. Byl použt doplněk k EXCELU, který umožňue ednoduché komplkovaněší výpočty souvseící s prostorovou autokorelací. Tento doplněk lzezískat na adrese: Některé další programy pro vyádření prostorové autokorelace sou k dspozc u autorů této práce. Poděkování Tato práce vznkla s podporou grantu GAČR č. 06/99/84, grantu MŠMT č. VS a výzkumného záměru MŠMT J/98: Lteratura [] Clff A. D., Ord J.K.: Spatal autocorrelaton, Pon, London 973 [] Hubert L. J. a kol. Geographcal Analyss 3, 4 (98. [3] Anseln L.: Geographcal Analyss 7,93 (995. [4] Sawada M.: Bull. Ecol. Soc. Amer. 80, 3 (999 [5] Klčka. V.,: Dsertační práce, 998, Lberec [6] Mltký J., Rubnerová J,.Klčka V.:Vzhledová nestenoměrnost netkaných textlí, Sborník z konference STRUTEX 98, Lberec 998

8 Název souboru: autoko~ Adresář: E:\Pom Šablona: D:\Program Fles\Mcrosoft Offce\Sablony\Normal.dot Název: autokorelace Předmět: Autor: katedra textlních materálů Klíčová slova: Komentáře: Datum vytvoření: :38 Číslo revze: Poslední uložení: :38 Uložl: Mlan Meloun Celková doba úprav: 0 mn. Poslední tsk: :43 Jako poslední úplný tsk Počet stránek: 7 Počet slov: 86 (přblžně Počet znaků: (přblžně