kdy A nastal, celkovým počtem pokusů.

Transkript

1 Povídání k páté sérii V páté sérii se udeš potýkat s určením pravděpodonosti různých událostí. Cílem tohoto povídání není přesné vyudování teorie pravděpodonosti(to y nám kvůli samým definicím rzy došel papír). O formálním zavedení pravděpodonosti se můžeš poučit například v seriálu z 23. ročníku našeho semináře, který je k dispozici i v knihovně na stránkách semináře(adresa Místo toho zkusíme rozvinout intuitivní představu pravděpodonosti. Za tím účelem si zavedeme také značení, které ve svých řešeních můžeš a nemusíš používat také. Asirozumíš,cotoznamená,kdyžřeknemetřea: Pravděpodonostjevu Aje33,3procent. Jev je nějaká událost: Třea na férové hrací kostce padne číslo dělitelné třemi. Pravděpodonost ječíslop(a)jevupřiřazené 1.Zpohledumatematikanezáležínapodstatěnáhodnosti(věc,okteré se moudří lidé dohadují od počátku dějin), hlavní je, že pro počítání s pravděpodonostmi máme pravidla. Napříkladnavýšezmiňovanékostcejecelkemšestmožnýchvýsledkůhodu {1,2,3,4,5,6}, které jsou stejně pravděpodoné(učeně se jim říká elementární jevy). Výsledky, které vyhovují dělitelnosti třemi, jsou dva: {3, 6}. Proto je pravděpodonost jevu, že padne číslo dělitelné třemi, rovnap(a)= 2 6 = 1 3 (pokudmášrád(a)procenta,použijpřevodnívztah100%=1). Z výše uvedeného y mělo ýt vidět, proč je užitečné si jevy představovat jako množiny výsledkůpokusu.označmesiωjevkterýnastaneúplněvždycky(jistýjev)a udejev,který nenastanenikdy.jev AaB pakmůžemepsátjako A B, nenastane A znamenáω \ A apodoně.zjevněp(ω)=1ap( )=0.PosledníužitečnáznačkajeP(A B),kterásečte pravděpodonost,ženastane A,pokudnastal B. Asi nikoho nepřekvapí, že pravděpodonost, že jev A nenastane, je 1 P(A). Mějme dva jevy A a B,jejichžpravděpodonostijsouznámé.Comůžemeříctovzájemnémvztahujevů AaB?Bez dalších informací jen málo. Platí vztah P(A B)+P(A B) = P(A)+P(B). Vidíme, že k výpočtu všechpravděpodonostípotřeujemeznátprávětřizhodnotp(a B),P(A B),P(A),P(B). TyužnámaleumožnínapříkladspočítatipravděpodonostP(A B)jako P(A B) P(B).(Vidíme,že ayvýrazdávalsmysl,musíýtp(b) >0.)Skutečnost,žedvajevyjsounezávislé,jevyjádřena rovností P(A B) = P(A) P(B), ze které například plyne, že pravděpodonost A je stejná jako pravděpodonost A za předpokladu B. Výše uvedené vzorečky můžeš přijmout jako axiomy. Na jednoduchých příkladech si můžeš ověřit, že všechno funguje(například pokud A, B nemohou nastatzároveň,takp(a B)=P(A)+P(B)). Určitý oříšek představuje chápání pravděpodonosti ve chvíli, kdy je možností nekonečně mnoho. Například řekněme, že náhodně zvolíme reálné číslo x od 1 do 1, přičemž všechna čísla máme stejně rádi. Úplně přesně se taková situace popisuje pomocí míry, což je zoecnění délky, plochy a ojemu. Jak souvisí délka s pravděpodoností? Představ si interval 1, 1 jako terč, do kterého házíme šipky. Protože nemíříme, je pravděpodonost zásahu intervalu části terče od ado rovnapodíludélky atohotointervalukudélceceléhoterče2.tojepřesněnaše situace s náhodnou volou x. S pravděpodoností zásahu intervalu už lze pracovat a počítat třeapravděpodonost,že2x 2 x >0(Zkussito!). Pro více nezávisle volených čísel stačí přidat dimenze: Třea pokud máme dvě čísla x, y náhodněnezávislerovnoměrněvyranáz 1,1,takpravděpodonost,že x+y >1jerovna poměruosahučástičtverce, {(x, y) x, y 1,1 }jejížsouřadnicesplňujírovnici x+y >1 1 Můžemehoodhadnout,kdyžprovedemehodněnezávislýchpokusůavydělímepočetpokusů, kdy A nastal, celkovým počtem pokusů.

2 (trojúhelník vpravo nahoře nakresli si orázek), ku osahu celého čtverce a číselně vychází rovna 1 8. Vzadáníchsetakévyskytujekouzelnáfomule průměrnáhodnota.coznamená?řekněme, ževeličina Xnaýváhodnoty x i spravděpodoností p i.potomprůmernáhodnota(aliasstřední hodnotaaliasočekávání)tétoveličinyjerovnae X= x 1 p 1 + x 2 p 2 + +x np n. Typická úloha na pravděpodonost vypadá tak, že dostaneš zadané pravděpodonosti nějakých jevů za nějakých podmínek a chce se po Toě spočítat pravděpodonosti jiných jevů. Zkusíme si to předvést na příkladu, který záměrně udeme řešit hodně formálně. Příklad. Saša si z dlouhé chvíle hází čokoládovou mincí. Panna a orel padnou se stejnou pravděpodoností 0,45. S pravděpodoností 0,1 padne mince na hranu. Jaká je pravděpodonost, že při deseti hodech mince ani jednou nespadla na hranu? Řešení. Označmesi A i jev V i-témhoděmincenespadlanahranu.zjevněje A i = B i C i, kde B i jejev V i-témhoděpadlapanna, ac i jev V i-témhoděpadlorel.protožepannaa orelnemohoupadnoutsoučasně,jep(a i )=P(B i C i )=P(B i )+P(C i )=0,9. Chcemezjistitpravděpodonostjevu C 1 C 2 C 10.Výsledekjednohohodunezávisí nijak na výsledku hodů ostatních(zde používáme selský rozum). Proto můžeme psát P(A 1 A 2 A 10 )=P(A 1 )P(A 2 A 10 )= =P(A 1 )P(A 2 )...P(A 10 )=(0,9) 10. =0,35. Pravděpodonost tohoto jevu je tedy zhrua 35 procent. Poznámka. Pokud A, Ba B, Ca A, Cjsoudvojicenezávislýchjevů,taknemusíještěnutně platitp(a B C)=P(A)P(B)P(C).Myjsmevřešenívyužilitoho,že A i nezávisíanina žádnékominacijevů A j, j i. Někdy jsou prolémy z pravděpodonosti jenom přestrojené prolémy kominatorické. Častá je situace, kdy máme p různých možných výsledků, které jsou všechny stejně pravděpodoné. Pokudpakjevnastávávqpřípadech,takjejehopravděpodonostrovna q.ovykle p, qneznáme p a musíme je spočítat. Proto na závěr přidáme ještě rychlokurz kominačních čísel: Pro npřirozenéčísloudemevýraz1 2 3 nznačit n!anazývat nfaktoriál.jetopočet způsoů,jakseřadit nrůznýchpředmětů.ovyklesepokládá0!=1.pro m nnezápornácelá číslamůžemedefinovatvýraz `m n (n 1) (n m+1) =,kterýčteme mnad n.totokominační n m! číslo vyjadřuje počet různých m-prvkových podmnožin nějaké množiny o n prvcích(počet výerů mprvkůzhromádkyonprvcích). ½º ÐÓ ½ º ÒÓÖ ¾¼¼ Ó Ýµ 5. série Téma: Pravděpodonost Datumodeslání: Mějme pravidelnou šestistěnnou hrací kostku vyroenou tak, že pravděpodonost padnutí každé stěny je přímo úměrná počtu teček na této stěně. Určete, jaká je pravděpodonost, že padne sudé číslo.

3 ¾º ÐÓ Ó Ýµ º ÐÓ Ó Ýµ V královské rodině se rodí děti, dokud se uď nenarodí chlapec, neo dokud nemají tři děti. Předpokládejme,žepřinarozeníkaždéhodítětejepravděpodonost 1 2,žetoudechlapec,a pravděpodonost 1 2,žepůjdeoděvče.Určeteprůměrnýpočetchlapcůaprůměrnýpočetdívek v královských rodinách. Čokoládová princezna má doma 30 truhliček a k nim 30 různých příslušných klíčů. Na počátku dá princezna náhodně do každé truhličky právě jeden klíč a všechny truhličky zavře. Má však u see kouzelné kladivo, které umí otevřít právě jednu liovolně vyranou truhličku. Princezna votevřenétruhličcenalezneklíčapokudtojde,otevředalšítruhličku,najdeklíčatakdál. Zjistěte, s jakou pravděpodoností otevře princezna všechny truhličky. Tygrsihážedesetikorunouavýsledkysipečlivězapisujenapapír.Padle-lipanna 2,zapíšesi A, vopačnémpřípaděsizapíše B.Skončívmomentě,kdymuvzniknetrojice AABneo ABA. Spočítejte pravděpodonost, s jakou ude na papíře poslední zapsaná posloupnost AAB a pravděpodonost, s jakou ude poslední posloupnost ABA. Paveldostaltaulkučokoládysmřádkyansloupcirozlámanounadílky1 1.Avšaknenasytný Oto mu postupně dílky ere a ujídá, přičemž všechny způsoy snězení jsou stejně pravděpodoné. Najděte pravděpodonost jevu, že v žádném okamžiku neudou existovat dva řádky, v nichž y sepočetnesnězenýchdílkůlišilo2avíce. V intervalu 0, 1 vyereme náhodně rovnoměrně dvě čísla x a y. Určete pravděpodonost toho, že x 2 + y 2 <min{x, y} 2 Jedánataulka1 21avnívzestupněseřazenačísla 10, 9,...,9,10.Každépolíčkotaulky je oarveno červeně neo íle, přičemž součet čísel na červených políčkách označme n. Karlova figurkastojínazačátkunapolíčku0(uprostředtaulky).potomkareldesetkráthodímincí 3. Pokaždé, když padne panna, posune figurku o jedno políčko doprava, když orel, posune figurku o jedno políčko doleva. Po deseti hodech mincí je pravděpodonost, že figurka stojí na červeném políčku,rovnazlomku a (aanesoudělná).zapodmínky,že a+=2001,určetenejvětšímožné n. Mějmetaulkuvelikosti a,kde a, jsounesoudělná.levýdolnírohtaulkysioznačme C, pravýhorníroh Dapravýdolníroh E.Pohranicíchdílkůtaulkysenynímůžetepohyovat, avšakjennahoruneodoprava.pokudsináhodnězvolítejednuzevšechmožnýchcest 4 z Cdo D, jaká je pravděpodonost, že vůec nevstoupíte dovnitř trojúhelníku CDE? 2 Pravděpodonost,žepadnepannajestejnájakopravděpodonost,žepadneorel. 3 Opětjepravděpodonost,žepadnepanna,stejnájakopravděpodonost,žepadneorel. 4 Všechnycestyjsoustejněpravděpodoné.

4 Řešení 5. série 1. úloha Mějme pravidelnou šestistěnnou hrací kostku vyroenou tak, že pravděpodonost padnutí každé stěny je přímo úměrná počtu teček na této stěně. Určete, jaká je pravděpodonost, že padne sudé číslo. Poměrpravděpodonostípadnutíčísel1,2,3,4,5,6nakostcejepodlezadání1:2:3: 4:5:6.Ztohojesnadnovidět,žepoměrpravděpodonostípadnutísudéhoalichéhočíslaje (2+4+6):(1+3+5),tedy4:3.Toznamená,ževečtyřechzesedmipřípadůymělopadnout sudéčíslo,coždávávýsledek úloha V královské rodině se rodí děti, dokud se uď nenarodí chlapec, neo dokud nemají tři děti. Předpokládejme,žepřinarozeníkaždéhodítětejepravděpodonost 1 2,žetoudechlapec,a pravděpodonost 1 2,žepůjdeoděvče.Určeteprůměrnýpočetchlapcůaprůměrnýpočetdívek v královských rodinách. Podle zadání skončí polovina rodin s jedním dítětem chlapcem, druhé polovině se narodí jakoprvnídívkaataktoudoukrálovštírodičezkoušetdál.zedruhépolovinysenadruhý pokus povede chlapec opět jen v polovině případů, a celkově čtvrtina rodin to ude zkoušet se dvěma děvčaty dál. Této čtvrtiny ude opět polovina úspěšná a polovina skončí ez následníka po meči. Teď si z předchozího vytvoříme reprezentační vzorek osmi královských rodin. Čtyři rodiny mají jednohosyna,dvěrodinysynaadceru,jednadvědceryasyna,aposlednítřidcery.průměrný početdcervkrálovskýchrodináchje d= = 7 8 aprůměrnýpočetsynůje s= = úloha Čokoládová princezna má doma 30 truhliček a k nim 30 různých příslušných klíčů. Na počátku dá princezna náhodně do každé truhličky právě jeden klíč a všechny truhličky zavře. Má však u see kouzelné kladivo, které umí otevřít právě jednu liovolně vyranou truhličku. Princezna votevřenétruhličcenalezneklíčapokudtojde,otevředalšítruhličku,najdeklíčatakdál. Zjistěte, s jakou pravděpodoností otevře princezna všechny truhličky. Pokud princezna při svém otvírání narazí na truhličku, v níž je klíč od první truhličky, je jasné, že žádnou další se jí už otevřít nepodaří. Takže nás vlastně zajímá pravděpodonost, kdy je klíč od první truhličky v poslední otvírané truhličce. Pravděpodonost,žeprvníklíčnenívprvnítruhličce,je 29 30,pravděpodonost,žeprvníklíč nenívprvníanivdruhétruhličceje ,... (Všechnydosudneotevřenétruhličkymají stejnou šanci ýt otevřeny.) Pravděpodonost,žeklíčnenívprvních29otvíranýchtruhličkáchpakje Tedypravděpodonost,žeprinceznaotevřevšechnytruhličkyje úloha Tygrsihážedesetikorunouavýsledkysipečlivězapisujenapapír.Padle-lipanna 5,zapíšesi A, 5 Pravděpodonost,žepadnepannajestejnájakopravděpodonost,žepadneorel.

5 vopačnémpřípaděsizapíše B.Skončívmomentě,kdymuvzniknetrojice AABneo ABA. Spočítejte pravděpodonost, s jakou ude na papíře poslední zapsaná posloupnost AAB a pravděpodonost, s jakou ude poslední posloupnost ABA. Na tuto úlohu použijeme trik který nejdříve ojasníme na jiné, velmi lehké, úloze. q Úloha.(lehká) Spočítejte hodnotu nekonečné odmocniny 1+ p Předpokládámepřitom,žetakovéčíslovůecexistuje 6. Řešení. Označmesivýslednouhodnotuodmocninyjako x.potommůžemepsát x= 1+x. To je nejpodstatnější krok této úlohy. Je důležité si uvědomit, že díky nekonečnosti se stejná odmocninanacházíiuvnitřsamotnéodmocniny.vyřešenímrovnice x= q 1+xsnadnodostaneme x= 1+ p = Vraťmeseknašíúloze.Označme p aa aa pravděpodonost,žeposloupnostpísmen AaB skončítrojicí AABzapředpokladu,žeprávě(teď)končípísmeny AA.Podoně p aa a, p aa a a p aa. Nyní si vezměme situaci, že posloupnost končí písmeny AA. Máme teď dvě možnosti, co padne.buďpadnedalší Aamysejakoyoctnemevtéžesituaci(kdykončíposloupnostna AA), neopadne Bahraskončí.Možnostipadnutí Aneo Bmajíoěpravděpodonost 1 2.Proto dostáváme, že p aa aa = 1 2 p aa aa Natomtomístěsevyužívánekonečnostpodonějakovx= 1+x.Podonýmiúvahamiopokračování řetězce písmen v případech končících na AB, BA, BB dospějeme k rovnicím p aa a = p aaa p aa a = 1 2 p aa aa+ 1 2 p aa a p aa = 1 2 p aa a+ 1 2 p aa Ztěchtorovnicdostaneme p aa aa =1, p aa a = 1 3, p aa a= 2 3 a p aa = 2 3.Celkovápravděpodonost p aa,žehraskončítrojicí AAB,je p aa = 1 2 p aa a+ 1 2 p aa = 1 2 (1 2 p aa aa p aa a)+ 1 2 (1 2 p aa a+ 1 2 p aa )= 1 2 ( )+ 1 2 ( )= úloha Paveldostaltaulkučokoládysmřádkyansloupcirozlámanounadílky1 1.Avšaknenasytný Oto mu postupně dílky ere a ujídá, přičemž všechny způsoy snězení jsou stejně pravděpodoné. Najděte pravděpodonost jevu, že v žádném okamžiku neudou existovat dva řádky, v nichž y sepočetnesnězenýchdílkůlišilo2avíce. Jelikožneexistujídvařádky,kdeysepočetdílkůlišilodvaavíce,paknutněkaždédvařádky uď mají stejný počet dílků, neo se počet dílků liší o jeden. Mají-li všechny řádky stejný počet 6 PokudTitentopředpokladpřipadázvláštní,zkussipředstavit,jakysepočítalahodnota součtu VsoutěžníúlozejsmepoToě(hodnětechnický)důkazexistence nechtěli.

6 dílků a my vezmeme liovolný dílek z liovolného řádku, poté musíme následujících m 1 dílků oderat ze zylých m 1 řádků(přesněji řečeno z každého jeden), aychom splnili podmínku odeírání. Prvnídílekztaulkymůžemesprávněvzítspravděpodoností mn mn =1.Prooderánídruhého dílku máme na výěr m 1 plných řádků, tj. pravděpodonost (m 1)n, třetí dílek ereme mn 1 zezylých m 2plnýchřádků,tudížmámepravděpodonost (m 2)n atd. Spočteme-li nyní mn 2 pravděpodonost po oderání prvních m dílků, dostaneme: mn mn (m 1)n(m 2)n mn 1 mn 2... m 1 1n mn (m 1) = Y (m i)n mn i i=0 = m!nm (mn)! (m(n 1))! avidíme,žejsmevsituaci,kdyvkaždémřádkuje(n 1)dílků.Přiodeírání k-té m-tice, k=0,1,..., n 1postupujemeodoněadostávámepravděpodonosti: m(n k) m(n k) (m 1)(n k) (m 2)(n k) m(n k) 1 m(n k) (n k) m(n k) (m 1) = m 1 Y = (m i)(n k) m(n k) i = m!(n k)m ((n k)n)! i=0 (m(n k 1))! Vynásoíme-li všechny tyto pravděpodonosti pro k = 0, 1,..., n 1, dostáváme pravděpodonost: m!n m (mn)! (m(n 1))! m!(n 1) m ((n 1)n)! (m(n 2))!... m!1m (1n)! (m0)! n 1 Y m!(n k) m = ((n k)n)! k=0 (m(n k 1))! Tudížcelkovápravděpodonostjevuzezadáníje (m!)n (n!) m (mn)!. = (m!)n (n!) m (mn)! 6. úloha V intervalu 0, 1 vyereme náhodně rovnoměrně dvě čísla x a y. Určete pravděpodonost toho, že x 2 + y 2 <min{x, y} 2 Popronásoenídvěmadostanemepodmínkuvzadánívpodoě x 2 + y 2 <min{x, y},cožje ekvivalentníspodmínkou,že x 2 + y 2 <2xazároveň x 2 + y 2 <2y.Podronéúpravědostáváme dvě podmínky: (x 1) 2 + y 2 <1 2, (1) x 2 +(y 1) 2 <1 2. (2) Oěpodmínkyjsourovnicemikruhuspoloměrem1.Uprvnípodmínkyjestředvodě(1,0) udruhévodě(0,1). (1) (2) (1) a (2)

7 Na orázcích jsou postupně vyznačeny olast určená podmínkou(1), olast určená podmínkou (2) a olast určená těmito podmínkami dohromady. Označme O olast určenou oěma podmínkamidohromady.pravděpodonost,žečísla xaysetrefídoolasti Ojerovnapoměruosahu této olasti a osahu celého čtverce. Osah čtverce je roven 1. Osah olasti O jednoduše spočítáme například tak, že sečteme osahy olastí určených podmínkami(1) a(2)(tím jsme ody z olasti O započítali dvakrát, ostatní ody čtverce jednou) a odečteme od nich osah celého čtverce.tedyosaholasti Oje 1 4 π π 12 1= π 2 1,cožjeivýslednápravděpodonost. 7. úloha Jedánataulka1 21avnívzestupněseřazenačísla 10, 9,...,9,10.Každépolíčkotaulky je oarveno červeně neo íle, přičemž součet čísel na červených políčkách označme n. Karlova figurkastojínazačátkunapolíčku0(uprostředtaulky).potomkareldesetkráthodímincí 7. Pokaždé, když padne panna, posune figurku o jedno políčko doprava, když orel, posune figurku o jedno políčko doleva. Po deseti hodech mincí je pravděpodonost, že figurka stojí na červeném políčku,rovnazlomku a (aanesoudělná).zapodmínky,že a+=2001,určetenejvětšímožné n. Po deseti hodech mincí ude figurka stát na políčku s číslem 2k 10, kde k vyjadřuje, kolikrát padlapanna.z2 10 =1024možnýchvýsledkůdesetihodůmincíjeprávě `10 způsoů,jakmohla k padnout právě k-krát panna, takže pravděpodonost, že figurka skončí na políčku s číslem 2k 10 jerovna `10 k Pravděpodonost,žefigurkaskončínačervenémpolíčku,jerovna c 1024,kde c je součet některých čísel z následujícího seznamu(jenž není množinou, protože v něm některá čísla jsou vícekrát): ,,,..., =(1,10,45,120,210,252,210,120,45,10,1) (1) Mámedánanějakápřirozenáčísla a, splňující a+=2001, a = c Zpodmínek0 a 1aa+=2001dostaneme Dálevidíme,že dělí 1024(aajsounesoudělná),takže =1024.Potomtedy a=c= =977.Jepouze jedinýzpůso,jakvyratvýrazyz(1)tak,ayyljejichsoučetroven977: 977= (2) (Tomůžemelehcedokázat:zývajícívýrazyz(1)musídátsoučet =47apro 47=45+1+1jejentahlejedinámožnost.) Aychom dostali co největší n, oarvíme políčka následujícím způsoem. Políčka s lichými číslyudoučervená,pokudjsoučíslakladná,aílá,pokudjsoučíslazáporná.jelikožse252= = `10 nacházívevyranémsoučtu,udepolíčkosčíslem =0oarvenočerveně. Pro k=0,1,2,3,4: (i) ojevuje-lise `10 k vsoučtu(2)dvakrát,potomudoupolíčka(2k 10)i(10 2k) oarvena červeně. (ii) neojevuje-lise `10 k vsoučtu(2),potomudoupolíčka(2k 10)i(10 2k)oarvena íle. (iii) ojevuje-lise `10 k vsoučtu(2)jednou,potomudepolíčko(2k 10)červenéa(10 2k) ílé. 7 Opětjepravděpodonost,žepadnepanna,stejnájakopravděpodonost,žepadneorel.

8 Maximálníhodnotu ntedydostaneme,oarvíme-ličerveněpolíčka1,3,5,7,9, 8,8, 4,4, 2,2,0,6,coždávásoučet n= úloha Mějmetaulkuvelikosti a,kde a, jsounesoudělná.levýdolnírohtaulkysioznačme C, pravýhorníroh Dapravýdolníroh E.Pohranicíchdílkůtaulkysenynímůžetepohyovat, avšakjennahoruneodoprava.pokudsináhodnězvolítejednuzevšechmožnýchcest 8 z Cdo D, jaká je pravděpodonost, že vůec nevstoupíte dovnitř trojúhelníku CDE? Naším cílem ude dokázat, že pravděpodonost výěru cesty nezasahující do trojúhelníku CDEjerovna 1 a+.myšlenkadůkazurozdělitsivšechnycestydodisjunktníchskupintakových, žekaždáskupinaudeosahovatprávě a+cestavždyjenjednaztěchto a+cestneude zasahovat do CDE. Nejprve si dokážeme pomocné lemma. Lemma. Nechťje CDúhlopříčkaaXY liovolnájináúsečkaskrajnímiodyvmřížceodélníku.pak CDaXY nejsourovnoěžné. D Y C α X a Důkaz. Prosporpředpokládejme,žeumímenajítdvaody Xa Y takové,žejsouúsečky CDa XY rovnoěžné.pakmusíýtstejnéiúhly αaγ,kteréúsečky CDaXY svírajísvodorovným směrem. Když jsou stejné úhly, musí ýt stejné i tangenty oou úhlů: a =tan α=tan γ= y x. Avšak a = y x platitnemůže,protože jedíkynesoudělnostičísel aazlomekvzákladnímtvaru a atojevesporusy< neo x < a. VyermesijednuzcestzCdo Dapodívejmesenaodélníkzezadánítak,ayylaspojnice odů Ca Dvodorovná. Teďužmůžemeezoavvytvořitskupinky podoných cestoa+členech.zapodonécesty udeme od teď rát takové cesty, že jedna cesta vznikne z druhé rozpojením v nějakém mřížovém 8 Všechnycestyjsoustejněpravděpodoné. γ x y E

9 odě a navázáním začátku cesty na konec cesty. Ilustrované je to na předchozím orázku. Cesta z A 1 do A 1 jepodonácestězcdo D,protoževzniklarozpojenímcestyzCdo Dvodě A 1 aprvníúsek CA 1 senalepilzaod Dnaúsek DA 1. Je potřea ukázat, že skupinky podoných cest jsou disjunktní, že je v každé skupince přesně a+cestažejenjednaztěchtocestnezasahujedotrojúhelníku CDE. Jecelkemjasné,žepokudjejednacestapodonásdruhou,druhájepodonástřetí,takjei třetípodonásprvní.ztohoplyne,žepokudležíjednacestavedvouskupinkách,takjsoutyto skupinkystejné(všechnycestyzjednéskupinkyjsousipodonésevšemicestamizdruhé)alze je považovat za jednu skupinku. C D A 1 A 1 E Díkypomocnémulemmatuneležížádnédvamřížovéodycestynastejné výškovéhladině. Proto lze na každé cestě najít jeden od, který je nejníže a podoná cesta jím počínající nevchází do trojúhelníku CDE. Díky tomu každá skupinka osahuje aspoň jednu cestu nezasahující do CDE.Kdyyylytytocestyveskupincedvě,pakyjednazdruhéadruházprvnívznikla rozpojením v nejnižším odě, ale nejnižším odem cesta nezasahující do CDE začíná a končí, cožjesporstím,žejsoutytodvěcestyrůzné.protomákaždáskupinkaprávějednucestu nezasahující do CDE. Užzývájennahlédnout,žejeveskupince a+cest.dáseříct,žekaždouskupinkuvytváří její cesta nezasahující do CDE(jinak řečeno: všechny cesty ve skupince jsou podoné té, co nezasahujedo CDE).Možností,jakdátzjednécestyvzniknoutnovýmcestámje a+ 1, protojeveskupiněmaximálně a+cest.všechnytaktovzniklécestyjsoualerůzné,protože každé dvě cesty vzniklé rozpojením v různých odech mají různý počet odů výškově nad a pod odem rozpojení(plyne opět z lemmatu díky tomu, že jde mřížové ody výškově uspořádat). Počet a+cestveskupinědokázán. Všechny cesty jsou stejně pravděpodoné a jen každá a + -tá cesta nezasahuje do CDE. Proto je pravděpodonost žádaná v zadání 1 a+.