Systé my, procesy a signály I - sbírka příkladů

Transkript

1 Systé my, procesy a signály I - sbíra příladů Ř EŠEÉPŘ ÍKLADY r 6 Urč ete amplitudu, opaovací periodu, opaovací mitoč et a počáteč ní fázi disrétních harmonicých signálů a) s( ) = cos π, b) s ( ) 6 = π 7 sin, π, T V = ms s s Obr63 Přílady disrétních harmonicých signálů a) C =, =, F = =, 83, Ω = πf = &, 4 rad, ϕ = rad, T = TV = ms, F = = 83, 3 Hz, Ω = π F = & 3, 6 rad / s T b) C =, = 7, F = = &, 43, Ω = π F = &, 898 rad, ϕ =, 7π rad = 6, T = TV = 7 ms, F = = & 4, 9 Hz, Ω = π F = & 897, 6 rad / s T r 6 Zjistěte množinu všech možných opaovacích mitoč tů a počáteč ních fází signálů z př6 Viz vztah (6): hledáme taovácelám taová, aby vyšly nezáporné mitoč ty m ± normované mitoč ty, nebo f m V ± mitoč ty v Hz Pa znaménu + odpovídáfáze +ϕ a znaménu - fáze -ϕ ve vztahu (6) a) normované mitoč ty m-/: /, 3/, 3/, 47/,, počáteč ní fáze normované mitoč ty m+/: /, 3/, /, 37/, 49/,, počáteč ní fáze 6

2 6 Disré tnísignály b) normované mitoč ty m-/7: 6/7, 3/7, /7, 7/7,, počáteč ní fáze 6 normované mitoč ty m+/7: /7, 8/7, /7, /7, 9/7,, počáteč ní fáze -6 r 63 Zjistěte, zda alternující posloupnost = ( ) s může být speciálním případem disrétního harmonicého signálu s() - - Obr64 Signál s( ) = Jde o signál, vznilý vzorováním osinového signálu střídavě v jeho maximech a minimech Vzorovací perioda je tedy polovinou periody harmonicého signálu a tudíž =, F =, : = cos( ) = cos = ( ) s πf π - 3 Obr6 Problém reonstruce pů vodního signálu souvislého č asu z jeho vzorů s( ) = 7

3 Systé my, procesy a signály I - sbíra příladů Jedná se o tzv degenerovanou harmonicou, terá se objevuje ve Fourierové řadě periodicého signálu pro sudé (viz vzorec (67)) Tato harmonicá již nevyhovuje podmínce vzorovacího teorému ení jednoznač né, jaý může být nízofrevenč ní signál, jehož vzorováním vznil náš disrétní signál - viz obr6 Dáse říci, že v tomto případě je nejednoznač ný nejen mitoč et, ale i amplituda Pů vodní signál pa nemůže být jednoznač ně reonstruován r 64 Urč ete střední hodnotu, střední hodnotu ladné a záporné pů lvlny signálů z př6 Výpoč et z vzorů, uvedených v tabulách a) s( ) = cos π 6 b) s( ) π = sin, π 7 -,88,866,66,,99 3,88 4 -,,79 -,866 -, , ,866 -,88 8 -, M 9,,866 M M Střední hodnota: a) S s = = =, b) Střední hodnota ladné pů lvlny: a) b) S 6 s = = = 7 ( 3) ( 9) s s s s s s s s s s s s S+ = = 6 6 S + = + + ( 3) + ( 4) s s s s Střední hodnota záporné pů lvlny: a) S = 4 = &, 6 ( 3) + ( 4) + ( ) + ( 6) + ( 7) + ( 8) s s s s s s Výpoč et z vzorců (63) a (64): S =, 6 = &, 6, b) S S + = m cotg π m C, platí jen pro signál a): S = cotg π = &, = ( ) + ( 6) + ( 7) s s s 3 = &, 748 = &, 6, 8

4 6 Disré tnísignály & Poznaty z příladu: Obsahuje-li půlperioda harmonicé ho signálu celistvý počet vzorovacích period, pa stř ední hodnota ladné půlvlny je až na znamé no rovna stř edníhodnotě záporné půlvlny Je-li perioda harmonicé ho signálu vyjádř ena lichý m počtem vzorů, pa je v ladné a záporné půlperiodě různý počet vzorů a stř edníhodnoty se lišínejen znamé nem, ale i absolutní hodnotou r 66 a) S ef Vypoč těte efetivní hodnotu signálů z př64 z definič ního vztahu (6) a pa z vzorce (6) s = = = &, 77, b) S ef 6 s = = 7 = &, 77 Výpoč et z vzorce (6): pro oba signály vyjde S ef = = &, 77 r 67 Urč ete osinovou a sinovou složu signálů z př6 (viz vzorec 67) a) Signál je roven své osinové složce π π π b) s( ) = sin = cos, 7π = 7 7 π π π π = cos (, 7π ) cos + sin (, 7π ) sin = &, 88cos +, 89sin r 68 Rozložte signály z př6 na dva proti sobě rotující vetory (viz vzorec 69) a) π π j j j 6 j 6 s =, e e +, e e s =, e e +, e e b) π j j, π 7 j, π π j 7 r 69 Vypoč těte omplexní oeficienty Fourierovy řady disrétních periodicých signálů s a s z př6 (viz vzorec 6) a amplitudy a počáteč ní fáze jejich disrétních harmonicých slože (vzorce 66 a 67) Výpoč et můžeme provést ruč ně nebo pomocí něterého z programů, napřílad MATLABu 9

5 Systé my, procesy a signály I - sbíra příladů : Uá za řešenímatlabem: a) =:; s=cos(*pi/6); x =fft(s) x = Columns through 4 % zadá níhodnot nezá visle promě nné disré tního signá lu % vý poč et vzorů signá lu s % vý poč et -ti bodové DFT signá lu s 6 - i + i - i Columns through 8 - i - i + i - i Columns 9 through + i - i - i 6 + i subplot(,,);stem(,abs(x)) % vyreslenímodulů oeficientů DFT ve formě úseč e; vyreslenídojde v horním ze dvou obrá zů subplot(,,);stem(,phase(x)) % vyresleníargumentů oeficientů DFT ve formě úseč e; vyreslenídojde v spodním ze dvou obrá zů Obr66 Výstup MATLABu: Fourierovy oeficienty (nahoře modul, dole fáze v radiánech) Z výsledů plyne, že nenulové jsou pouze Fourierovy oeficienty X& = X& = 6 (číslování polí v MATLABu je od jednič y do, dežto naše číslování je od nuly do ) Argumenty obou oeficientů jsou nulové, resp π radiánů Argumenty nulových oeficientů jsou náhodnáčísla vznilá vlivem zaorouhlovacích chyb při výpoč tu z praticy nulových reálných i imaginárních slože oeficientů Z rovnice (67) pa vyplývá, že stejnosměrnásloža signálu je a amplituda harmonicé je X& =, což je v pořádu, protože analyzovaný signál je harmonicý o amplitudě 6

6 6 Disré tnísignály : b) =:6; s=sin(**pi/7-pi/); x=fft(s) x = Columns through i - i + i Columns through 7 + i + i i enulové jsou pouze oeficienty &X a & & X 6 = X abs(x) 3 3 phase(x) subplot(,,);stem(,abs(x)) subplot(,,);stem(,phase(x)) Zjistíme jejich moduly a argumenty: Obr67 Fourierovy oeficienty (modul + fáze) Z rovnic (66) a (67) plyne, že modul 3, je třeba násobit číslem /=/7, abychom zísali amplitudu harmonicé Je tedy /7 3, = Poč áteč ní fáze harmonicé je rovna argumentu oeficientu &X ( ), tj -,99 rad nebo -6 Argumenty ostatních oeficientů jsou opět náhodnáčísla vznilávlivem zaorouhlovacích chyb r 6 Měřením byly zjištěny následující vzory periodicého disrétního signálu (v tabulce jsou uvedeny vzory z periody): 6

7 Systé my, procesy a signály I - sbíra příladů s(),34 -,38, , ,987,9 Pomocí algoritmu DFT (FFT) zjistěte, z jaých harmonicých slože se signál sládá Opaovací perioda = 6 : Vý poč et oeficientů Fourierovy řady (vý pis programu z MATLABu): =:; s=[ ]; x=fft(s) x = % vý stup oeficientů FFT Columns through i i 4 - i Columns through i i X abs(x)/3 % amplitudy & phase(x) % fá ze arg X & ( ) m=abs(x);p=phase(x); subplot();stem(,m) subplot(3);stem(,p) modul=m/3;modul(:6)=zeros(,);modul()=m()/6; modul(4)=m(4)/6; faze=p;faze(:6)=zeros(,); subplot();stem(,modul) subplot(4);stem(,faze) Zápis disrétního signálu z harmonicých slože - viz vzorec (67): π π s 3 3 =, 88 +, 33cos, 333 +, 899 cos +, 998 +, 487( ) [rad] 6

8 6 Disré tnísignály a) c) b) d) Obr68 Výstup z MATLABu: a), b): moduly a argumenty oeficientů DFT; c), d): reduované amplitudové a fázové spetrum r 6 Urč ete oeficienty Fourierovy řady periodicého obdélníového signálu na obr69 Z oeficientů vypoč těte amplitudy a počáteč ní fáze harmonicých slože A= s() počet vzorů = w Obr69 Disrétní obdélníový signál X& n = s e = Ae = Ae = Ae w j π n w π w jn π jn j π n e π jwn e π jn w = e π jwn e π jn e e π jwn π jn e e π jwn π jn sin w n π = A, n n sin π Při úpravě byl použit vzorec pro souč et oneč né geometricé řady = aq = a = q q 63

9 Systé my, procesy a signály I - sbíra příladů Pro n = vychází &X ( ) = s( ) = Aw Proto mů žeme výslede zapsat v jediném tvaru Dosadíme onrétní hodnoty: &X ( n) w n sinc π = Aw (6) n sinc π n sinc π 3 &X ( n) = n sinc π a vypoč teme a zapíšeme do tabuly spolu s amplitudami harmonicých slože urč enými z rovnice (66): n &X ( n ) X ( n ) ϕ n [rad] S n,3333 4,64 4,64,4,9,9,839 3 x 4 -,64,64 π,4 - π,333 6 x 7,878,878,6 8,878,878-9 x - - π - -,64,64 π - x - 3,9,9-4 4,64 4,64 - Reduovaný tvar Fourierovy řady: s = &, , 4cos π / +, 839 cos 4π / +, 4cos 8π / + π +, 333cos ( π / π ), 6cos ( 4π / ) : Uá za řešenípomocímatlabu: s=[ ]; % zá pis jedné periody signá lu; prvnívzore je nyní nutno zvolit s indexem (při ruč ním odvozeníjsme jao prvnízvolili vzore č -), protože MATLAB vyhodnotítento vzore jao počáte signá lu x=fft(s,) x = Columns through i 9 - i - i 64

10 6 Disré tnísignály Columns through i - - i + i i Columns 9 through i + i - + i i Columns 3 through + i 9 + i i ásledují příazy pro výpoč et reduovaného spetra a reslení obr 6, teré jsou obdobné jao v příladu a) c) b) d) Obr6 Výstup z MATLABu: a), b): moduly a argumenty oeficientů DFT; c), d): reduované amplitudové a fázové spetrum & Poznate z příladu: Vzorec pro výpočet Fourierový ch oeficientů periodicé ho obdé lníové ho signálu má v případě disré tního signálu jiný tvar než u signálu souvislé ho v čase Vzorec (6) neníuniverzální, platí jen pro lichý počet vzorů v šíř ce impulsu w r 6 Uvažujme dva signály s a s se stejnou opaovací periodou = V rámci jedné periody platí: s 3 = [ ], s [ 3 ] = Vypoč těte vzájemnou energii a vzájemný výon obou signálů v rámci jedné opaovací periody Použijeme vzorce (6) a (6) W = W = = 6 J, W 6 P = P = = =, W 6

11 Systé my, procesy a signály I - sbíra příladů Signály nejsou ortogonální, jejich vzájemnáenergie není nulová K ortogonalitě by napřílad došlo v případě s = 3 s = [ 3], r 63 Ověřte platnost Parsevalova teorému na signálu s z př6 Energii signálu s za periodu určíme snadno z jeho vzorů (vzorec 636): W = = J Stejný výslede musíme dostat z Fourierových oeficientů signálu (viz vzorec 636) : Uá za řešenív MATLABu: s=[ - 3]; x=fft(s); w=(norm(x))^/ w = % definice signá lu % vý poč et jeho Fourierový ch oeficientů % vý poč et energie; funce norm(x) počítá druhou odmocninu ze souč tu druhý ch mocnin modulů všech prvů vetoru x r 64 Urč ete cylicou onvoluci s 3 periodicých signálů s a s z př6 s = [ 3], s = [ 3 ] (definice cylicé onvoluce viz vzorec 63) s3 ( ) = s ( ) s( ) = s ( i) s ( i) i Výpoč ty uspořádáme do tabule pro =,,, 3 a 4 Z principu výpoč tu vyplyne, že cylicá onvoluce je periodicáse stejnou periodou jao je perioda signálů s a s = : i s ( i) s ( i) s ( i) s ( i) = s 3( ) =9 = : i s ( i) s ( i) s ( i) s ( i) = s 3( ) =6 66

12 6 Disré tnísignály = : i s ( i) s ( i) ( i) s i s = s = = 3: i s ( i) s ( 3 i) ( i) s i s = s = = 4: i s ( i) s ( 4 i) ( i) s i s = s =- Závěr: Cylicáonvoluce signálů s a s je periodicás periodou = Jedna perioda je dána vzory s 3 = 9 6 r 6 Ověřte na signálech z př64 platnost pouč y (63), terá říá, že Fourierovy oeficienty cylicé onvoluce dvou signálů jsou rovny souč inu Fourierových oeficientů těchto signálů : Ř ešenípomocímatlabu: s=[ - 3]; s=[- 3 ]; s3=[9 6 -]; x=fft(s) x = Columns through i i i Column 67

13 Systé my, procesy a signály I - sbíra příladů i x=fft(s) x = Columns through i i i Column i x3=fft(s3) x3 = Columns through i 7 + 9i 7-9i Column i x*x Columns through i 7 + 9i 7-9i Column i r 66 Vypoč těte cylicou onvoluci s 3 signálů s a s z př64 s = [ 3], s = [ 3 ] pomocí přímé a inverzní Fourierovy transformace Z (63) plyne, že cylicou onvoluci dvou signálů s a s můžeme urč it tato: Vypoč teme Fourierovy oeficienty signálů x a x pomocí DFT (vzorec 6) Vynásobením oeficientů dostaneme Fourierovy oeficienty cylicé onvoluce (vzorec (63) 3 Z Fourierových oeficientů určíme signál - onvoluci- inverzní DFT (vzorec 64) : Ř ešenípomocímatlabu: s=[ - 3]; % definice signá lu s s=[- 3 ]; % definice signá lu s x=fft(s); % Fourierovy oeficienty signá lu s x=fft(s); % Fourierovy oeficienty signá lu s x3=x*x; % Fourierovy oeficienty cylicé onvoluce s3=real(ifft(x3)) % cylicá onvoluce s3 =

14 6 Disré tnísignály r 67 Signály s a s jsou podrobeny cylicé onvoluci, vznine signál s 3 Známe pouze signály s a s 3 (zapsány jsou vzory z periody): s 3 4 s 3 =,, 4, 3 =, Urč ete signál s Ú ol nalezení původního signálu, jehož onvoluce se známým jiným signálem je rovněž známa, je v praxi řešen velmi č asto (tzv deonvoluce) S využitím pouč y (63) můžeme použít tento postup: Algoritmem DFT vypoč teme Fourierovy oeficienty signálů s ( X & ) a s 3 ( X & 3 ) Z (63) vypoč teme Fourierovy oeficienty signálu s : X& X& X& = 3 3 Algoritmem zpětné DFT vypoč teme vzory signálu s : Uá za řešenímatlabem: s=[ 3 4];s3=[ 4 3]; % zadá nísigná lů s a s3 x=fft(s);x3=fft(s3); % vý poč et Fourierový ch oeficientů signá lů s a s3 x=x3/x; % vý poč et Fourierový ch oeficientů signá lu s real(ifft(x)) % vý poč et vzorů signá lu s Výslede: s =, 88, 8,, 6, 4 r 68 Vypoč těte vzájemnou orelač ní funci R (m) signálů s a s z př6 (viz vzorec 64): s = [ 3], s = [ 3 ] R ( m) = s ( ) s ( + m) = s ( ) s ( + m) = 4, Výpoč ty uspořádáme do tabule pro m =,,, 3 a 4 Z principu výpoč tu vyplyne, že vzájemná orelač ní funce je periodicáse stejnou periodou jao je perioda signálů s a s m = : s ( ) ( ) s s s , = R,( )= =, 69

15 Systé my, procesy a signály I - sbíra příladů m = : s ( ) s ( ) s s , = R,( )= =,6 m = : s ( ) s ( ) s s , = R,(+-++9)= =,4 m = 3: s ( ) s ( ) 3 s s , = R 3,(++++6)= = m = 4: s ( ) s ( ) 4 s s , = R 4,(--3++3)= =-, & Poznaty z příladu: Vzájemná orelačnífunce R signálů s a s je periodicá s periodou = Jedna perioda je dána vzory R = 6 3 / =,, 6, 4, Maximálníprve vetoru,4 je prve č Znamená to, že posuneme-li signál s o dva vzory doleva, bude mít spolu se signálem s největšívzájemný výon (z energeticé ho hledisa se budou jeden druhé mu nejvíce podobat) r 69 alezněte Fourierovy oeficienty vzájemné orelač ní funce R z př68 Ověřte platnost pouč y (644) 7

16 6 Disré tnísignály : Ř ešenípomocímatlabu: s=[ - 3]; s=[- 3 ]; r=[ 6 4 -]; x=fft(s); x=fft(s); xr=fft(r) xr = Columns through 4 % definice signá lu s % definice signá lu s % definice orelač nífunce R % vý poč et Fourierový ch oeficientů signá lu s % vý poč et Fourierový ch oeficientů signá lu s % vý poč et Fourierový ch oeficientů orelač nífunce i i i Column i conj(x)*x/ Columns through 4 % souč in omplexně sdružený ch Fourierový ch oeficientů signá lu s a Fourierový ch oeficientů signá lu s lomeno poč et vzorů (vzorec 644) i i i Column i r 6 Vypoč těte vzájemnou orelač ní funci signálů s a s z př6 = [ ], s = [ 3 ] s 3 pomocí algoritmů DFT a IDFT Z rovnic (643) a (644) vyplývánásledující postup: Vypoč teme Fourierovy oeficienty signálů s a s pomocí DFT (vzorec 6) Komplexně sdružené oeficienty signálu s vynásobíme oeficienty signálu s a vydělíme poč tem vzorů (viz vzorec 644) Dostaneme Fourierovy oeficienty vzájemné orelač ní funce 3 Vzájemnou orelač ní funci zísáme zpětnou Fourierovou transformací (vzorec 64) : Ř ešenípomocímatlabu: s=[ - 3]; s=[- 3 ]; x=fft(s); x=fft(s); xr=conj(x)*x/; r=real(ifft(xr)) r = % definice signá lu s % definice signá lu s % vý poč et Fourierový ch oeficientů signá lu s % vý poč et Fourierový ch oeficientů signá lu s % vý poč et Fourierový ch oeficientů vzá jemné orelač ní funce R (vzorec 644) % vý poč et vzá jemné orelač nífunce R 7

17 Systé my, procesy a signály I - sbíra příladů r 6 Ze signálů s a s je počítána vzájemnáorelač ní funce R Známe pouze signál s a orelač ní funci (zapsány jsou vzory z periody): s = 3 3 7, = [ ] R 8, 4 3, 3, 8, 6 6, 8 4, Urč ete signál s Je třeba nalézt původní signál, jehož orelace se známým jiným signálem je rovněž známa (tzv deorelace) S využitím vzorce (644) můžeme použít tento postup: Algoritmem DFT vypoč teme Fourierovy oeficienty signálů s ( X & ) a R ( X & R ) Z (644) vypoč teme Fourierovy oeficienty signálu s : X& X& X& = R 3 Algoritmem zpětné DFT vypoč teme vzory signálu s : Uá za řešenímatlabem: s=[ ]; R=[ ]; x=fft(s);x3=fft(r); x=8*x3/conj(x); s=real(ifft(x)) s = % zadá nísigná lu s % zadá nívzá jemné orelač nífunce % vý poč et Fourierový ch oeficientů s a R % vý poč et Fourierový ch oeficientů s % vý poč et vzorů s Signál s je tedy ve tvaru s = [ 9, 96 4, 9786, 8,, 648, 369, 849, ] r 6 Vypoč těte autoorelač ní funce R (m) a R (m) signálů s a s z př6 (viz vzorec 64): s = [ 3], s = [ 3 ] a) = s( ) s( + m) = s( ) s( + m) R m =, + + ( )( ) + =, R 33 3 R =, =, 6, R =, =, 4, R 3 =, =, 4 = 4, 7

18 6 Disré tnísignály R 4 =, =, 6 Proto R = [ 3, 6, 4, 4, 6] ultý č len R je největší ze všech a udávávadrát efetivní hodnoty signálu s (viz vzorec 647) b) R =, = 3,, R =, =, R =, =, R 3 =, =, R 4 =, = Proto R = [ 3, ] ultý č len R je největší ze všech a udávávadrát efetivní hodnoty signálu s (viz vzorec 647) r 63 alezněte Fourierovy oeficienty autoorelač ních funcí R a R z př6 Ověřte platnost pouč y (649) a) : Ř ešenípomocímatlabu: s=[ - 3]; x=fft(s); r=[ ]; fft(r) Columns through 4 % definice signá lu s % vý poč et Fourierový ch oeficientů signá lu s % definice autoorelač nífunce signá lu s % vý poč et Fourierový ch oeficientů autoorelač nífunce i i i Column i (abs(x))^/ Autoorelač ní funce se tedy dázapsat podle (64) a (6): R ( m) = 736e 764e 764e +, +, +, +, 736e = +, 8944cos, 4 +, 96cos, 8 ( π m) ( π m) % vý poč et Fourierový ch oeficientů autoorelač nífunce z vzorce (649) π π π π jm jm jm3 jm3 = 73

19 Systé my, procesy a signály I - sbíra příladů b) s=[- 3 ]; x=fft(s); r=[3 ]; fft(r) Columns through 4 % definice signá lu s % vý poč et Fourierový ch oeficientů signá lu s % definice autoorelač nífunce signá lu s % vý poč et Fourierový ch oeficientů autoorelač nífunce 7 - i - i - i Column + i (abs(x))^/ 7 % vý poč et Fourierový ch oeficientů autoorelač nífunce z vzorce (649) Autoorelač ní funce se tedy dázapsat podle (64) a (6): R ( m) = e e e e 7, +, +, +, +, =, 44 +, 88cos, 4 +, 88cos, 8 π π π π jm jm jm3 jm3 ( π m) ( π m) = r 64 Vypoč těte autoorelač ní funce signálů s a s z př6 s = [ 3], s = [ 3 ] pomocí algoritmů DFT a IDFT Z rovnic (648) a (649) vyplývánásledující postup výpoč tu autoorelač ní funce signálu s: Vypoč teme Fourierovy oeficienty signálu s pomocí DFT (vzorec 6) Druhé mocniny modulů oeficientů vydělíme poč tem vzorů (viz vzorec 649) Dostaneme Fourierovy oeficienty autoorelač ní funce 3 Autoorelač ní funci zísáme zpětnou Fourierovou transformací (vzorec 64) : Ř ešenípomocímatlabu: s=[ - 3]; s=[- 3 ]; x=fft(s); x=fft(s); xr=(abs(x))^/; xr=(abs(x))^/; r=real(ifft(xr)) r = % definice signá lu s % definice signá lu s % vý poč et Fourierový ch oeficientů signá lu s % vý poč et Fourierový ch oeficientů signá lu s % vý poč et Fourierový ch oeficientů autoorelač nífunce R (vzorec 649) % vý poč et Fourierový ch oeficientů autoorelač nífunce R (vzorec 649) % vý poč et autoorelač nífunce R 74

20 6 Disré tnísignály r=real(ifft(xr)) % vý poč et autoorelač nífunce R r = 3 7