PLANIMETRIE 1) Vypočítejte velikost úhlu DAB v kosočtverci ABCD, jestliže ABD = 21 40 [136 40 ] 2) Vypočítejte velikost úhlu γ = ACB obecného trojúhelníku ABC, znáte-li velikost stran a = 8cm, b = 6 cm, c = 11 cm. Výsledek zaokrouhlete na desítky úhlových minut. [γ = 102 40 ] 3) Na plánu v měřítku 1 : 750 je znázorněn pozemek obdélníkového tvaru o rozměrech 15 cm a 9 cm. Vypočítejte, jaký je skutečný obsah pozemku zaokrouhlený na metry čtvereční. [S = 7 594 m 2 ] 4) Pravoúhlý trojúhelník má přeponu délky 12 cm. Jedna odvěsna je o 4 2 cm větší než druhá. Obsah trojúhelníku je: (A) 56 cm 2 (B) 28 cm 2 (C) 14 cm 2 (D) 112 cm 2 5) Délky základen lichoběžníku jsou a = 4,2 10 8 metrů, c = 8 10 7 metrů, výška v = 4,8 10 5 metrů. Určete obsah plochy lichoběžníku. [S = 1,2 10 14 m 2, resp. 12 10 13, apod. ] 6) Délky stran trojúhelníku jsou 8 cm, 9 cm a 13 cm. Podobný trojúhelník má obvod o 15 cm větší. Určete délku nejdelší strany podobného trojúhelníku. (A) 20 cm (B) 19,5 cm (C) 19 cm (D) 18 cm (E) žádná z uvedených možností 7) Pozemek zakreslený v plánku má být rozdělen rovnou hranicí ST na dvě části. Určete s přesností na desítky metrů délku hranice ST. (A) ST = 2 230 m (B) ST = 2 450 m (C) ST = 2 630 m (D) ST = 2 800 m (E) ST = 3 010 m 8) V pravoúhlém lichoběžníku jsou uvedeny úhly, které svírají úhlopříčky se dvěma sousedními stranami, a délka jedné strany. Přiřaďte daným úsečkám jejich délky: strana a E strana c D úhlopříčka f C (A) 10 sin 40 (B) (C) 10 sin 40 10 cos 40 (D) 10 tg40 (E) 10 tg40
9) Pozemek tvaru obdélníku je dočasně přerušen stavebním záborem (šedá plocha). Rovnoběžné hranice záboru na obvodu jsou dlouhé 15 m a 25 m. Jedna šikmá strana záboru, která je oplocena, má délku 236 m. Nyní se pokračuje v oplocování 190 m dlouhé strany pozemku. (A) Vypočtěte obsah plochy stavebního záboru. [S = 3 800 m 2 ] (B) S přesností na celé metry vypočtěte šířku pozemku (d). [d 165 m] 10) V pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem při vrcholu C má úhel CAB velikost α = 60. Strana AC má délku b = 6 3. (A) Vypočítejte délku strany BC. [ BC = a = 18] (B) Vypočtěte velikost výšky v na přeponu AB. [v = 9] 11) Úsek, který ve skutečnosti ujde deseti kroky, je na plánu zakreslen úsečkou délky 1 cm. Kruh na plánu má poloměr 2,5 cm. Kolika kroky se obejde po obvodu skutečný kruh? [157 kroky] 12) Obdélníková plocha o celkové rozloze 2 000 m 2 byla rozdělena rovnou hranicí na dva menší obdélníky. Velikosti ploch obou částí jsou v poměru 3 : 2. Větší část se od menší liší v délce jedné strany o 10 m. V jakém poměru jsou délky stran u větší z obou částí rozdělené plochy? (A) 5 : 6 (B) 4 : 5 (C) 3 : 4 (D) 2 : 3 (E) 1 : 2 13) Vzor na dlaždici tvoří čtyři shodné obdélníky a čtverec uprostřed. Obvod každého z obdélníků je 30 cm. (A) Jaký je obvod celé dlaždice? [o = 60 cm] (B) Jaký je obsah dlaždice? [S = 225 cm 2 ] 14) Okrasná část zahrady má tvar obdélníku, jehož rozměry se liší o jediný metr. Po úhlopříčce ji protíná pěšina dlouhá 29 metrů. Určete délku a šířku okrasné zahrady. [20 m x 21 m] 15) Na plánu jsou vyznačeny údaje pořízené při zaměřování vrtné věže V ze dvou stanovišť A a B. (A) Pod jakým zorným úhlem je možné od paty věže V sledovat obě stanoviště A a B současně? [35 ] (B) Určete s přesností na celé metry přímou vzdálenost stanoviště B od vrtné věže V. [1 849 m]
16) Jak dlouhý stín vrhá člověk vysoký 180 cm na vodorovnou podložku, jestliže světelné paprsky svírají s podložkou úhel 50. (A) 180 sin 50 (B) 180 sin 50 (C) 180 cos 50 (D) 180 tg50 (E) 180 tg50 17) Kolik kroků ušetříte (zaokrouhlete na desítky), přejdete-li čtvercový pozemek úhlopříčně, místo abyste jej obcházeli po dvou stranách obvodu celkem třemi sty kroky? [300 150 2 90] 18) Pozemek tvaru půlkruhu je třeba oplotit. Na rovnou část plotu se použije 28 metrů pletiva. Kolik celých metrů pletiva bude nejméně potřeba na zbytek plotu po oblouku? (A) 44 m (B) 48 m (C) 52 m (D) 56 m (E) jiný počet 19) Rovnoramenný trojúhelník ABC má při základně AB úhel velikosti α = CAB = 75 a délky ramen AC = BC = 10. Jakou délku má základna c = AB? (A) přibližně 4,9 (B) přibližně 5,2 (C) přibližně 5,5 (D) přibližně 5,8 (E) jinou délku 20) Plocha kruhu je o 20% menší, než je plocha čtverce. Vyjádřete, o kolik procent je plocha čtverce větší, než je plocha kruhu. [o 25%] 21) Plocha kruhové výseče tvoří 40% plochy kruhu. Určete středový úhel α kruhové výseče. [α = 144 ] 22) Ve kterém trojúhelníku leží ortocentrum (průsečík přímek, na nichž leží výšky trojúhelníku) vně trojúhelníku a současně na ose jedné strany trojúhelníku? (A) v rovnostranném trojúhelníku (B) v pravoúhlém trojúhelníku (C) v ostroúhlém trojúhelníku (D) v rovnoramenném tupoúhlém trojúhelníku (E) v žádném, popsaná situace nemůže nastat
23) Na vodorovné podložce je položena bedna tvaru krychle s hranou délky a. Bedna osvětlená slunečním světlem vrhá stín na podložku. Směr slunečních paprsků svírá s podložkou úhel α. (Směr je rovnoběžný se dvěma stěnami krychle). Jak dlouhá je hrana krychle, jestliže tgα = 2 3? (A) kratší než 2,4 m (B) 2,4 m (C) 2,5 m (D) 2,6 m (E) delší než 2,6 m 34) V pravoúhlém trojúhelníku PQR je odvěsna PQ rozdělena bodem X na dva úseky, z nichž delší má délku 33 cm. Druhá odvěsna PR měří 20 cm a délka příčky RX je 25 cm. Vypočtěte délku p strany QR. [p = 52 cm] 35) V trojúhelníku ABC leží proti stranám a, b, c úhly α, β, γ. Rozhodněte o každé následující trojici veličin, zda popisuje pravoúhlý trojúhelník s přeponou c či nikoliv. (A) b = 1; c = 2; α = 60 ANO NE (B) a = 1, b = 3, α = 60 (C) a = 2; c = 4; α = 30 (D) a = 2; b = 6; α = 30 ANO NE ANO NE ANO NE 36) Kolik ze čtyř zobrazených trojúhelníků má průsečík výšek vně trojúhelníku? (A) žádný (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4
37) Jaká je velikost úhlu β? (A) větší než 7 π 9 (B) β = 7 π 9 (C) β = 2 π 3 (D) β = 5 π 8 (E) menší než 5 π 8 38) Na obrázku jsou dvě rovnoběžné přímky p, q a přímka r, která je s nimi různoběžná, ale není na ně kolmá. Pro úhly α, β na obrázku platí: (A) tgα = tgβ a zároveň sin α = sin β (B) tgα = tgβ a zároveň cos α = cos β (C) cos α = cos β a zároveň sin α = sin β (D) sin α = sin β a zároveň cos α = cos β (E) sin α = sin β a zároveň cos α = cos β 39) Letadlo, které mělo původně letět přímo z Bratislavy do 800 km vzdálené Paříže, se při startu muselo kvůli špatnému počasí odchýlit od přímého kurzu o 60. Až po 300 km mohl pilot letadlo nasměrovat přímo na Paříž. O kolik kilometrů se takto prodloužila dráha letu? 40) Do úhlu velikosti 60 chceme vepsat kružnici s poloměrem 5 cm. Jak daleko od vrcholu úhlu musí být střed kružnice? (A) 10 3 cm (B) 10 cm (C) 10 3 3 cm (D) 5 3 3 cm (E) 5 cm [o 200 km] 41) Na obrázku je průřez zregulovaným korytem řeky. Na jednom břehu je ukazatel výšky hladiny řeky. Jak daleko od sebe jsou nakreslené rysky označující výšku hladiny 2 m a 5 m? (A) 6 m (B) 3 3 m (C) 3 3 2 m (D) 2 3 m (E) 3 2 m 42) Na obrázku je pozemek tvaru čtyřúhelníku s rozměry AB =40 m, BC = 30 m, CD =120 m. Jaký obvod má tento pozemek? (A) 220 m (B) 230 m (C) 310 m (D) 320 m (E) 370 m
43) Rovnostrannému trojúhelníku jsme vepsali i opsali kružnici. Jestliže r je poloměr vepsané kružnice, potom pro obsah S mezikruží platí: (A) S = 3πr 2 (B) S = 5 2 πr2 (C) S = 2πr 2 (D) S = 3 2 πr2 (E) S = πr 2 44) V trojúhelníku ABC na obrázku platí: CAB = 40, ABC = 85. Nechť D je takový bod strany AC, pro který platí BD = CD. Jakou velikost má úhel BDA? [110 ] 45) Označme γ velikost největšího úhlu trojúhelníka ABC, který má strany délky a = 4, b = 5, c = 7. Potom platí: (A) γ (0 ; 30 ) (B) γ (30 ; 60 ) (C) γ (60 ; 90 ) (D) γ (90 ; 135 ) (E) γ (135 ; 180 ) 46) Délka jedné odvěsny pravoúhlého trojúhelníka je 6, poloměr kružnice opsané tomuto trojúhelníku je 5. Jaký je obvod tohoto trojúhelníka? [24] 47) Na obrázku je rovnoramenný trojúhelník ABC se základnou AB =8 cm a ramenem BC 10 cm. Na rameni AC leží bod D. Trojúhelník ABC je podobný s trojúhelníkem DAB. Potom AD = (A) 6,4 cm (B) 6 cm (C) 5 cm (D) 3,6 cm (E) 2 cm 48) Je dán pravidelný desetiúhelník se stranou a = 2 cm. Které z uvedených čísel nejpřesněji udává jeho obsah? (A) 9,51 cm 2 (B) 20 cm 2 (C) 30,78 cm 2 (D) 31,84 cm 2 (E) 32,90 cm 2
49) Pod jakým úhlem (zaokrouhleným na desetiny stupňů) stoupá schodiště, jehož schody jsou 28 cm široké a 15 cm vysoké? (A) 61,8 (B) 57,6 (C) 43,5 (D) 32,4 (E) 28,2 50) Trojúhelník ABC má strany s délkami AB =11 cm, BC =7 cm, AC =8 cm, D ja pata výšky na stranu AB. Jaký poloměr má kružnice opsaná trojúhelníku DBC? (A) 8 cm (B) 7 cm (C) 5,5 cm (D) 4 cm (E) 3,5 cm 51) Lichoběžník ABCD je sestaven z rovnoramenného trojúhelníku APD a rovnoběžníku PBCD. Platí AD = DP = 20 cm, AP = 24 cm, CD = 18 cm. Vypočtěte obsah lichoběžníku ABCD. 52) Body M 1 A M 2 leží po řadě na rovnoběžkách p 1 a p 2. [S = 480 cm 2 ] (A) Sestrojte množinu všech bodů, které mají od přímek p 1 a p 2 stejnou vzdálenost. (B) Sestrojte množinu M všech bodů, které mají od bodu M 1 stejnou vzdálenost jako od bodu M 2.
53) Obdélníkový a trojúhelníkový pozemek mají společnou hranici. Na plánu jsou rozměry uvedeny v metrech. Jaký je obsah obdélníkového pozemku vypočtený s přesností na m 2? (A) 979 m 2 (B) 1 732 m 2 (C) 1 928 m 2 (D) 1 958 m 2 (E) 2 298 m 2 54) Kolem kruhové travnaté plochy je 2 m široký chodník. Vnější okraj chodníku tvoří obrubník, jehož délka je 157 m. Vypočtěte obsah kruhové travnaté plochy a výsledek zaokrouhlete na desítky m 2. [S 1 660 m 2 ] 55) Přiřaďte ke každému trojúhelníku určenému trojicí veličin délku strany x (A E). D C E (A) x < 4 cm (B) x = 4 cm (C) x = 5 cm (D) x = 6 cm (E) x > 6 cm
56) Bod A je vrcholem trojúhelníku ABC s pravým úhlem při vrcholu B. Bod D je vrcholem trojúhelníku BCD s pravým úhlem při vrcholu D. M (A) V polorovině BCA sestrojte množinu všech bodů A *, které jsou vrcholy trojúhelníku A * BC s pravým úhlem při vrcholu B. (B) V polorovině BCD sestrojte množinu M všech bodů D *, které jsou vrcholy trojúhelníku BCD * s pravým úhlem při vrcholu D *. 57) Na obrázku jsou zakresleny tři rovinné útvary s vrcholy v mřížových bodech. Jaký je součet obsahů všech tří rovinných útvarů? (A) menší než 27,5 cm 2 (B) 27,5 cm 2 (C) 28,0 cm 2 (D) 28,5 cm 2 (E) větší než 28,5 cm 2 58) Ke vchodu do rodinného domku vede schodiště s pěti schody, které jsou 20 cm vysoké a 30 cm široké. Šikmá část zábradlí tvaru rovnoběžníku s vnitřními úhly α a β má stejný sklon jako schodiště. (A) Vypočtěte s přesností na stupně velikost úhlu α. [α 56 ] (B) Vypočtěte s přesností na cm délku d delší strany šikmé části zábradlí. [d 180 cm]
59) Ornament je složen z jednoho čtverce a čtyř půlkruhů, které jsou rozděleny vždy na tmavou a světlou polovinu. Čtverec má obsah 400 cm 2. Vypočtěte s přesností na cm2 obsah tmavé plochy ornamentu. [S 314 cm 2 ] 60) Délka odvěsny KL pravoúhlého trojúhelníku KLM je 14 cm. Na druhé odvěsně KM leží bod P. Obsah tupoúhlého trojúhelníku PLM je 56 cm 2. Vypočtěte v cm délku strany PM tupoúhlého trojúhelníku PLM. [ PM = 8 cm] 61) Uvnitř čtvercového pozemku se žáci učili obsluhovat měřicí přístroje teodolit a laserový dálkoměr. Našli si místo, z něhož viděli jednu stranu pozemku pod úhlem 60. Poté určili vzdálenost tohoto místa od krajních bodů sledované strany (120 m a 100 m). Jaký je obsah čtvercového pozemku? (A) 11 140 m 2 (B) 11 300 m 2 (C) 12 400 m 2 (D) 12 560 m 2 (E) jiný obsah 62) V rovině je dána přímka p a mimo ní dva různé body K, L. Na přímce p sestrojte následující body: (A) bod A, kde KAL = 180 (B) bod B, kde BK = BL
63) V pravoúhlé síti jsou v mřížových bodech umístěny vrcholy čtyřúhelníku ABCD. Jaký je obsah čtyřúhelníku ABCD? (A) (20 + 50) cm 2 (B) 37,5 cm 2 (C) (41 0,5 50) cm 2 (D) 39,5 cm 2 (E) jiný obsah 64) Přepona BC pravoúhlého trojúhelníku ABC měří 9 cm, odvěsna AC měří 4,5 cm. Druhá odvěsna AB je bodem X rozdělena na dva úseky. Úsek AX má délku 4,5 cm. Přiřaďte každému úhlu jeho velikost (A E). α = β = γ = D E A (A) 15 (B) 25 (C) 35 (D) 45 (E) jiná velikost 65) Rovnoběžník ABCD rozděluje úhlopříčka BD na dva shodné pravoúhlé trojúhelníky. Vypočtěte obvod rovnoběžníku ABCD. [o = 12 cm]
66) Martin bydlí v ulici m, pravděpodobně v některém z domů A až D. Bratranec Petr bydlí ve druhé ulici p. Chlapci by na sebe viděli z oken svých domovů, kdyby jim ve výhledu nepřekážela věž V, k níž to mají vzdušnou čarou stejně daleko. Ve kterém domě bydlí Martin? (A) v domě A (B) v domě B (C) v domě C (D) v domě D (E) v některém z dalších vyobrazených domů 67) Ve čtvercové síti je umístěn rovnoběžník ABCD. (A) Vypočtěte obsah rovnoběžníku ABCD a výsledek uveďte v cm 2. [8 cm 2 ] (B) V rovnoběžníku ABCD určete poměr velikostí obou výšek. Výsledek uveďte v základním tvaru. [5 : 2] 68) Vnitřní úhel trojúhelníku ABC má velikost α = 40. Pro délky stran platí vztah a 2 + b 2 = c 2. Rozhodněte o každém z následujících tvrzení, zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE). (A) Nejdelší strana je c. ANO NE (B) Největší úhel má velikost 100. ANO NE (C) Trojúhelník je rovnoramenný. ANO NE (D) Osa strany b je rovnoběžná se stranou a. ANO NE 69) Trojúhelník ABC má délky stran a = 3 cm, b = 5 cm, c = 7 cm. Jaký je součet velikostí jeho dvou nejmenších vnitřních úhlů? (A) 22 (B) 38 (C) 60 (D) 105 (E) jiný součet
70) Rovnoběžné přímky p, q protínají přímku r v bodech P, Q. Vzdálenost rovnoběžek je 5, odchylka přímek p, r je 30. (A) Určete vzdálenost bodu P od přímky q. [5] (B) Vypočtěte vzdálenost bodů P, Q. [10] 71) Velikost dvou vnitřních úhlů trojúhelníku ABC jsou α = 2 π a β = 1 π. Vypočtěte velikost třetího vnitřního úhlu 5 4 trojúhelníku. [ 7π 20 = 63 ] 72) Trojúhelník ABC je určen délkami stran a = 9 cm, b = 15 cm, c = 10 cm. Jakou hodnotu (s přesností na setiny) má kosinus největšího vnitřního úhlu? (A) +0,49 (B) +0,12 (C) -0,24 (D) -0,49 (E) -0,76 73) V trojúhelníku JKL platí: cosφ = 5 3 Určete hodnotu sinφ. 74) Do kružnice se středem S a poloměrem r = 3 cm je vepsán šedý obrazec ASBCD. Vypočtěte obsah šedého obrazce ASBCD. Nezapomeňte uvést jednotku. [sinφ = 2 3 ] [S = 13,5 cm 2 ]
75) Jaká je délka úhlopříčky AC vypočtená s přesností na desetiny centimetru? (A) menší než 6,1 cm (B) 6,1 cm (C) 6,7 cm (D) 7,0 cm (E) větší než 7,0 cm 76) Vypočítejte obvod pravoúhlého lichoběžníku ABCD, s pravým úhlem při vrcholu, A jestliže: AB = 14 cm, AD = 5 cm, CD : AB = 2 7. Výsledek zaokrouhlete na jedno desetinné místo. [34,2 cm] 77) Vypočítejte, jakou vzdálenost (zaokrouhlenou na metry) musí urazit výletník k patě rozhledny, jestliže rozhledna je vysoká 58 m a vrchol rozhledny vidí pod úhlem 46. (A) 72 m (B) 59 m (C) 63 m (D) 56 m (E) žádná z uvedených možností
STEREOMETRIE 1) Pravidelná čtyřboký jehlan má délku hrany podstavy a = 6 cm a stěnovou výšku s = 8 cm. Vypočítejte objem jehlanu. Výsledek zaokrouhlete na celé číslo. 2) Je-li poloměr koule 0,8 cm, pak objem koule s čtyřnásobným poloměrem je větší: (A) 83krát (B) 70krát (C) 58krát (D) 64krát (E) žádná z uvedených možností 3) Vypočítejte objem a povrch rotačního kužele, je-li jeho výška 5,6 cm a délka jeho strany 7,6 cm. Výsledek zaokrouhlete na jedno desetinné místo. [V = 154,8 cm 3, S = 205,6 cm 2 ] 4) Ve válci je umístěn kužel o stejném průměru a výšce. Vypočítejte, kolik procent z objemu válce zaujímá kužel. Výsledek zaokrouhlete na jedno desetinné místo. [asi 33,3%] 5) Z následujících možností A E vyberte velikost hrany c kvádru, je-li délka zbývajících hran a = 6 cm, b = 8 cm a objem kvádru je číselně roven jeho povrchu. (A) 4,8 cm (B) 2,9 cm (C) 4,1 cm (D) 3,5 cm (E) žádná z uvedených možností 6) V uzavřeném skleněném kvádru s hranami délek 30 cm, 60 cm a 80 cm je obarvená kapalina. Postavíme-li kvádr na stěnu s rozměry 30 cm x 60 cm, dosáhne kapalina do výšky 40 cm. V jaké výšce bude hladina kapaliny, postavíme-li kvádr na stěnu s rozměry 30 cm x 80 cm? Tloušťku stěn kvádru neuvažujeme. (A) 20 cm (B) 25 cm (C) 30 cm (D) 35 cm (E) v jiné výšce 7) Ve čtvercové síti je zobrazena síť kvádru. Jednotkou délky je 1 díl, jednotkou obsahu je 1 čtverec a jednotkou objemu je 1 krychlička. Rozhodněte o každém z následujících tvrzení, zda je pravdivé (ANO) nebo nikoliv (NE). (A) Nejmenší stěna kvádru má obsah 10 čtverců. (B) Největší stěna má obsah 15 čtverců. (C) Objem kvádru je 30 krychliček. (D) Ve složeném kvádru jsou čtyři hrany s délkou 3 díly. ANO NE ANO NE ANO NE ANO NE 8) Váleček se kutálí po podložce. Po jedné celé otočce se posune o 25 cm. Jaký je poloměr podstavy válečku? (A) asi 4,0 cm (B) asi 4,1 cm (C) asi 4,2 cm (D) asi 4,3 cm (E) jiný poloměr
9) Kolik centimetrů měří poloměr koule, jejíž objem je 1 litr? (Údaj zaokrouhlete na desetiny) [r 6,2] 10) Přiřaďte ke každé úloze správné řešení (A F): (1) Kolik stěn má krychle? A (2) Kolik hran má osmiboký jehlan? F (3) Kolik vrcholů má dvanáctiboký hranol? E (4) Kolik stěn včetně podstav má hranol, který má 24 hran? B (A) 6 (B) 10 (C) 12 (D) 20 (E) 24 (F) jiný výsledek 11) Jaká je výška nádoby tvaru pravidelného šestibokého hranolu s podstavou o obsahu 0,5 dm 2, kterou tři čtvrtlitrové hrnky vody naplní až po okraj? (A) 37,5 cm (B) 17 cm (C) 15 cm (D) 11,5 cm (E) jiný výsledek 12) Koule má poloměr 0,3 m. Kolikrát větší je objem koule s dvojnásobným poloměrem? (A) 9x (B) 8x (C) 6x (D) 3x (E) méně než 3x 13) Truhlář opracovával rotační válec s poloměrem podstavy 2,5 dm a výškou 2 dm. Rovnoměrným broušením zmenši poloměr o 1 cm, výška válce byla zachována. 14) Vypočtěte, o kolik procent se zmenšil obsah pláště válce. [o 4%] 15) Dřevěný domeček je sestaven z krychle a pravidelného čtyřbokého jehlanu. Délka hrany krychle je stejně dlouhá jako výška jehlanu. Domeček je vtěsnán do plechovky tvaru válce s vnitřním průměrem podstavy 3 2 cm. Jaký je objem domečku? (A) menší než 38,0 cm 3 (B) 38,0 cm 3 (C) 41,5 cm 3 (D) 45,0 cm 3 (E) větší než 45,0 cm 3
16) Káď na ryby tvaru válce s podstavou o obsahu 14 000 cm 2 má objem 600 litrů. Káď je naplněná vodou pouze do tří čtvrtin. V jaké výšce ode dna (s přesností na cm) je vodní hladina? (A) 13 cm (B) 32 cm (C) 44 cm (D) 57 cm (E) v jiné výšce 17) Plechovky tvaru válce mají poloměr r = 3 cm a výšku v = 13 cm. Plechovky jsou po třech zataveny ve slídovém obalu. Obal obepíná plechovky od horního k dolnímu okraji a nepřekrývá podstavy plechovek. Rozvinutím rozstřiženého obalu vznikne obdélník. (A) Jaký je obsah obalu (s přesností na cm 2 ) (B) 479 cm 2 (C) 514 cm 2 (D) 543 cm 2 (E) 598 cm 2 (F) jiný obsah 18) Duté skleněné těžítko na spisy má tvar pravidelného jehlanu se čtvercovou podstavou. Podstava těžítka má rozměry 6 cm x 6 cm, výška těžítka je 6 cm. Tloušťku skla zanedbáváme. Když těžítko stojí na své čtvercové podstavě, je přesně do poloviny své výšky zaplněné barevnou tekutinou. Kolik cm 3 tekutiny obsahuje? (A) 189 cm 3 (B) 63 cm 3 (C) 60 cm 3 (D) 54 cm 3 (E) 36 cm 3 19) Věž kostela se čtvercovým půdorysem se stranou dlouhou 10 m má střechu tvaru pravidelného čtyřbokého jehlanu s výškou 12 m. Kolik by stálo pokrytí střechy měděným plechem, jestliže cena za pokrytí 1 m 2 je 5 000 Kč? [1 300 000 Kč]
20) Nápoj Kolaloka plní v závodě do plechovek ve tvaru válce s průměrem podstavy 8 cm a výškou 9 cm. Z průzkumu trhu vyplynulo, že lépe by se prodávali plechovky s polovičním objemem a průměrem podstavy 6 cm. Jakou výšku mají mít nové plechovky? (A) 6,75 cm (B) 7 cm (C) 8 cm (D) 10,25 cm (E) 12 cm 21) V kterém z následujících případů vznikne rotací trojúhelníka okolo osy o rotační kužel? 22) V jistém podniku musí podle bezpečnostních předpisů připadat na 1 pracovníka pracujícího v uzavřené místnosti aspoň 6 m 2 podlahové plochy této místnosti a aspoň 18 m 3 z objemu místnosti. Kolik nejvíc pracovníků může podle těchto předpisů pracovat v kanceláři o rozměrech 8 m x 5 m a výškou 2,5 m? [5] 23) Jestliže koule s poloměrem r má objem 8 m 3, potom koule s poloměrem 2r má objem: (A) 16 m 3 (B) 24 m 3 (C) 64 m 3 (D) 96 m 3 (E) 128 m 3 24) Výška rotačního válce je 4 cm. Osový řez válce má obsah 24 cm 2. Vypočtěte v cm 3 objem rotačního válce. [V = 36π cm 3 113 cm 3 ] 25) Hlavička s čepicí dřevěné figurky je vytvořena z polokoule (dolní polovina hlavy) a kužele (čepice). Poloměr polokoule je stejný jako poloměr podstavy kuželu. Objem kuželu je shodný s objemem polokoule. (A) Vyjádřete výšku v kužele v závislosti na poloměru r. [v = 2r] (B) Polokoule (dolní polovina hlavy) má objem 18π cm 3. Vypočtěte v centimetrech poloměr polokoule. [r = 3 cm]
26) Model krychle má kostru (všechny hrany) zhotovenou z drátu o celkové délce 144 cm. Stěny jsou z lepenky. Jaký je povrch krychle (obsah plochy použité lepenky)? (A) 864 cm 2 (B) 648 cm 2 (C) 578 cm 2 (D) 486 cm 2 (E) jiný výsledek 27) Síť tělesa tvoří tři čtverce a dva rovnostranné trojúhelníky. Určete počet hran složeného tělesa. 28) Do krabice taru krychle je vložen válec o objemu 570 cm 3. Válec se dotýká všech stěn krabice. Jaká je výška válce (zaokrouhlená na desetiny cm)? (A) menší než 8,4 cm (B) 8,5 cm (C) 8,7 cm (D) 9,0 cm (E) větší než 9,1 cm 29) Papírová čepice má tvar rotačního kužele. Po straně je slepena lepicí páskou. /Okraje papíru jsou k sobě přiloženy a v místě lepení se nepřekrývají.) Osovým řezem kužele je rovnostranný trojúhelník s délkou strany 16 cm. (A) Kolik cm 2 papíru je použito na čepici? (B) 96π cm 2 (C) 128π cm 2 (D) 192π cm 2 (E) 256π cm 2 (F) jiný počet 30) Obytná část domu má tvar krychle a střecha tvar jehlanu. Délka hrany krychle je 16 m a výška jehlanu 6 m. (A) Jak velká je plocha střechy? (B) 192 m 2 (C) 202 m 2 (D) 320 m 2 (E) 448 m 2 (F) 512 m 2
31) Káď tvaru kvádru je vodou naplněna po okraj. Vnější rozměry kádě jsou 5 cm, 120 cm a 60 cm. Tloušťka všech stěn i dna je 5 cm. Kolik litrů vody se vešlo do kádě? (A) méně než 57 litrů (B) 467,5 litrů (C) 495 litrů (D) 4 675 litrů (E) 56 925 litrů 32) Rozvinutý plášť kužele tvoří půlkruh. Délka strany kužele je 6 cm. Jaký je obsah pláště kužele? (A) 6π cm 2 (B) 8π cm 2 (C) 9π cm 2 (D) 12π cm 2 (E) 18π cm 2 33) Molitanová podložka je těleso tvaru půlválce. Průměr podstavy půlválce je 20 cm, délka půlválce je 70 cm. Přes podložku se přetáhne 70 cm dlouhý, těsně přiléhající návlek z pevné tmavé látky. Návlek nezakrývá ani jednu z obou podstavy půlválce. (A) Vypočtěte objem půlválce (tj. objem podložky) v litrech. [V 11 litrů] (B) Vypočtěte v cm 2 obsah pláště (tj. obsah plochy, kterou zakrývá tmavý návlek. [S 3 599 cm 2 ] 34) Kulička z plastelíny má poloměr 1 cm. Z osmi takových kuliček byla vytvořena jedna koule. Jaký je poloměr koule? (A) 8 cm (B) 4 2 cm (C) 4 cm (D) 2 2 cm (E) 2 cm
35) Polovina kulové plochy je rozdělena na dvě části kulový vrchlík a kulový pás. Vzdálenost středu S kulové plochy od roviny řezu je SO = 12 cm. Polopřímka SO protíná kulovou plochu v bodě V, vzdálenost OV je 5 cm. Bod B leží na kulové ploše. (A) Vypočtěte v cm vzdálenost BS. [ BS = 17 cm] (B) Vypočtěte v cm 2 obsah kulového vrchlíku. [S = 170π cm 2 534 cm 2 ] 36) Ve skleněné krychli s hranou délky 8 cm je dutina tvaru čtyřbokého jehlanu. Objem dutiny je roven jedné čtvrtině objemu krychle. (A) Vypočtěte v cm 3 objem dutiny. [V = 128 cm 3 ] (B) Vypočtěte v cm hloubku h dutiny. [h = 6 cm] 37) Obsah jedné stěny krychle je 0,16 m 2. Vypočtěte objem krychle. [V = 0,064 m 3 ] 38) Bóje na moři má tvar tělesa sestaveného z válce a dvou polokoulí. Výška válce, poloměr válce i poloměr každé z obou polokoulí je 18 cm. Vypočtěte v cm 2 povrch tělesa. [S = 1 944π cm 2 6 107 cm 2 ] 39) Sklenice má tvar válce s vnitřním průměrem 12 cm, výška sklenice ode dna je 16 cm. Seříznutou špejli lze šikmo vložit do sklenice tak, že nepřečnívá přes okraj. Jaká je největší možná délka seříznuté špejle? (A) 17 cm (B) 18 cm (C) 19 cm (D) 20 cm (E) 21 cm
40) Pásový traktůrek na klíček se pohybuje pomocí dvou pásů. Každý pás je napnutý přes dvě shodná kola. Vnější plocha pásu je černá a vnitřní je bílá, tloušťka pásu se zanedbává. Jaký je obsah černé plochy jednoho pásu? (A) 4 (π + 10)cm 2 (B) 6 (π + 20)cm 2 (C) 6 (3π + 10)cm 2 (D) 12 (π + 5)cm 2 (E) 12 (π + 10)cm 2 41) Z rotačního válce se vyrábí herní figura. Polovina válce je opracována na rotační kužel, který tvoří klobouk figury. 41. 1. Jakou část objemu neopracovaného válce tvoří vyrobená figura? (A) 7 8 (B) 5 6 (C) 3 4 (D) 2 3 (E) 5 8 41. 2. Obvod podstavy válce je 30 cm a strana klobouku má délku 12 cm. Jaký je povrch klobouku? (A) 1,2 dm 2 (B) 1,4 dm 2 (C) 1,5 dm 2 (D) 1,8 dm 2 (E) jiný povrch
42) Přiřaďte ke každé zakreslené síti tělesa odpovídající název tělesa (A F). B C A D (A) pravidelný trojboký jehlan (B) pravidelný čtyřboký jehlan (C) pravidelný šestiboký jehlan (D) pravidelný trojboký hranol (E) pravidelný šestiboký hranol (F) nelze, útvar není sítí žádného tělesa 43) Tenisové míčky jsou natěsno baleny v plechovkách tvaru válce. Prodávají se po dvou, po třech nebo po čtyřech. Ve které plechovce vyplňují míčky 2/3 jejího objemu? (A) v libovolné plechovce (B) pouze v první plechovce (C) pouze ve druhé plechovce (D) pouze ve třetí plechovce (E) v žádné plechovce 44) Drátěný model pravidelného šestibokého hranolu s podstavnou hranou délky a = 8 cm má výšku v = 12 cm. Těleso se přelepí papírem, podstavy tmavým, plášť bílým. (A) Vypočtěte v cm největší možnou přímou vzdálenost dvou vrcholů drátěného hranolu. [20 cm] (B) Vypočtěte v cm 2 obsah bílého papírového pláště hranolu. [S = 576 cm 2 ]
45) Vypočtěte v litrech objem vzduchu ve stanu. Nezapomeňte uvést jednotku! [4 608 litrů] 46) Věžička má tvar rotačního kuželu. Velikost odchylky strany s od roviny podstavy je 50 a poloměr podstavy věžičky je 4 m. Je-li na natření 7 m 2 potřeba 1 kg barvy, pak na natření celé věžičky je zapotřebí (zaokrouhleno na kilogramy): (A) 15 kg (B) 11 kg (C) 9 kg (D) 13 kg (E) žádná z uvedených možností 47) Jestliže stěnová úhlopříčka krychle ABCDEFGH měří 6 cm, pak tělesová úhlopříčka této krychle zaokrouhlená na centimetry má délku: (A) 7 cm (B) 8 cm (C) 5 cm (D) 12 cm (E) žádná z uvedených možností