M - Příprava na 1. zápočtový test - 1DP, 1DVK

M - Příprava na 1. zápočtový test - 1DP, 1DVK Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování materiálu povoleno pouze se souhlasem autora. Jiné využití než pro studenty autora povoleno pouze s uvedením odkazu na webové stránky http://www.jarjurek.cz Variace č.: 1

1. Číselné obory Číselné obory Přirozená čísla - označujeme N Potřebujeme-li přidat nulu, pak označujeme N 0. - jedná se o čísla 1, 2, 3, 4,... Nejmenší přirozené číslo je 1. Celá čísla - označujeme Z (Opět můžeme vytvářet např. Z +, Z -, či Z 0 +.) - tento číselný obor dostaneme, když k přirozeným číslům přidáme čísla opačná a nulu Racionální čísla - označujeme Q (Opět můžeme vytvářet např. Q +, Q -, či Q 0 +.) - jsou to všechna čísla, která můžeme vyjádřit zlomkem s celočíselným čitatelem i jmenovatelem. Iracionální čísla - nemají své označení, protože ho vlastně nepotřebujeme - patří sem např. čísla π, 2, 3, apod. Reálná čísla - označujeme je R (Opět můžeme vytvářet např. R +, R -, či R 0 +.) - jsou to všechna čísla, která můžeme zobrazit na číselné ose Komplexní čísla - označujeme je C - jsou to čísla, která už nelze zobrazit na jedné číselné ose, ale potřebujeme k tomu dvě na sebe kolmé osy (podobně jako pro zobrazení bodů v rovině). Rovinu, v níž čísla zobrazujeme, nazýváme Gaussovou rovinou. 2. Číselné výrazy Číselné výrazy, výpočty s reálnými čísly Výraz je matematický zápis, ve kterém se vyskytují čísla (např. 2, 76, 896), proměnné (např. x, y, z), znaky početních operací (např. +, -, :), případně i pomocné znaky (např. závorky). Pokud se ve výrazu nevyskytují proměnné, ale pouze čísla, hovoříme o číselném výrazu. Pozn.: Úpravy číselných výrazů budeme provádět zpaměti, tedy bez použití kalkulačky Přehled základních operací s číselnými výrazy 1. Sčítání (odečítání) číselných výrazů členy při sčítání nazýváme sčítanci, výsledek pak součet; při odečítání nazýváme číslo, od něhož odečítáme, menšenec, číslo, které odečítáme, menšitel a výsledek rozdíl při sčítání využíváme vhodně komutativnost, případně asociativnost jedná-li se o složitější čísla, postupujeme odzadu, podobně jako při sčítání (odečítání) písemném - pozor na odpovídající si řády! zlomky sčítáme (odečítáme) tak, že je nejprve převedeme na společného jmenovatele 2. Násobení číselných výrazů členy, které mezi sebou násobíme, nazýváme činitelé, výsledek pak jejich součin opět výhodně využíváme komutativnost nebo asociativnost složitější čísla si vynásobíme formou pomocného výpočtu pod sebe, případně můžeme využít některých dalších pomůcek (např. máme-li číslo vynásobit 25, je vhodné ho vynásobit stem a následně vydělit čtyřmi) násobíme-li desetinná čísla, má výsledek tolik desetinných míst, kolik jich měly všechny činitelé dohromady násobíme-li mezi sebou zlomky, pak součin jejich čitatelů lomíme součinem jejich jmenovatelů 1 z 31

Pozn.: U zlomku horní číslo nazýváme čitatel, spodní jmenovatel 3. Dělení číselných výrazů číslo, které dělíme, nazýváme dělenec, číslo, kterým dělíme, nazýváme dělitel a výsledek podíl opět můžeme používat různé triky - např. chceme-li číslo dělit 25, pak ho vydělíme stem a následně vynásobíme čtyřmi dělíme-li mezi sebou desetinná čísla, postupujeme nejprve tak, že výpočet rozšíříme tak, aby v děliteli vymizelo desetinné číslo dělení často vyjadřujeme zlomkem Pozn.: Zlomky můžeme rozšiřovat (tj. můžeme násobit jejich čitatele i jmenovatele stejným číslem různým od nuly), dále je můžeme též krátit (tj. dělit jejich čitatele i jmenovatele stejným číslem různým od nuly). Při rozšiřování nebo krácení zlomků se nemění jejich hodnota. Zlomek je v základním tvaru, pokud už honelze dále krátit. dělíme-li mezi sebou dva zlomky, násobíme první zlomek (v nezměněné podobě) převrácenou hodnotou druhého zlomku Pozn.: Převrácenou hodnotu zlomku dostaneme tak, že jeho čitatele nahradíme jmenovatelem a naopak. Pokud u zlomku změníme jen znaménko, dostáváme zlomek opačný. Při této činnosti je jedno, zda napíšeme znaménko do čitatele, do jmenovatele nebo před zlomek. 4. Umocňování číselných výrazů umocňujeme-li desetinné číslo, pak výsledek má tolik desetinných míst, kolik je součin desetinných míst u původního čísla a exponentu mocniny umocňujeme-li číslo, které končí jednou nebo více nulami, pak umocníme tu část čísla, která vznikne po pomyslném odstranění nul a připíšeme tolik nul, kolik je součin jejich původního počtu a čísla v exponentu umocňujeme-li zlomek, pak umocňujeme jeho čitatele i jmenovatele druhé mocniny čísel do 20 musíme znát zpaměti 1 2 1 11 2 121 2 2 4 12 2 144 3 2 9 13 2 169 4 2 16 14 2 196 5 2 25 15 2 225 6 2 36 16 2 256 7 2 49 17 2 289 8 2 64 18 2 324 9 2 81 19 2 361 10 2 100 20 2 400 stejně tak musíme znát zpaměti třetí mocniny čísel do 10 1 3 1 2 3 8 3 3 27 4 3 64 5 3 125 6 3 216 7 3 343 8 3 512 9 3 729 10 3 1000 5. Odmocňování číselných výrazů provádíme-li zpaměti (nebo pomocí tabulek) druhou odmocninu desetinného čísla, musíme nejprve číslo upravit tak, aby obsahovalo sudý počet desetinných míst a zároveň toto číslo zapsané bez ohledu na desetinnou čárku bylo v rozmezí od jedné do tisíce. To provedeme tak, že buď přidáme nulu na konec čísla, případně provedeme zaokrouhlení. U výsledku pak přibude polovina desetinných míst z jejich původního počtu. 2 z 31

provádíme-li zpaměti (nebo pomocí tabulek) třetí odmocninu desetinného čísla, postupujeme úplně stejně, jen číslo v prvním kroku upravíme tak, aby počet desetinných míst byl násobkem tří. U výsledku pak přibude třetina desetinných míst z jejich původního počtu. jedná-li se o čísla naopak příliš velká (končí jednou nebo více nulami), provedeme zaokrouhlení tak, aby počet nul byl sudé číslo (pro druhou odmocninu) a číslo odpovídající násobku tří (pro třetí odmocninu) a zbytek čísla (po pomyslném oddělení nul) byl z rozmezí od jedné do tisíce. Po odmocnění posuneme desetinnou čárku o tolik míst doprava, kolik je polovina z celkového počtu nul (pro druhou odmocninu) nebo třetina z celkového počtu nul (pro třetí odmocninu) Pokud se v číselném výrazu vyskytují závorky, řešíme je na prvním místě s tím, že v první fázi odstraňujeme závorky kulaté, dále hranaté a nakonec teprve závorky složené. Ukázkové příklady: Příklad 1: Řešení: Příklad 2: Vypočtěte: Řešení: Příklad 3: Vypočtěte: 3 z 31

Řešení: Pozn.: Sejdou-li se při úpravě číselného výrazu, pak postupujeme tak, že dv ě shodná znaménka nahradíme znaménkem plus a dv ě opačná znaménka nahradíme znaménkem minus. 3. Číselné výrazy - procvičovací příklady Otázka: 1 240 4 z 31

Otázka: 2 číslo b a zapiš jeho převrácenou hodnotu Otázka: 3 Vypočtěte 3 Otázka: 4 Vypočtěte bez použití kalkulátoru: 2 2 1 1 14 2 ( 3) + 6,4 : ( 0,8) : (1,8 2,9) 4 2-7,1 Otázka: 5 5 z 31

Otázka: 6 Otázka: 7 Otázka: 8 3 Otázka: 9 6 z 31

Otázka: 10 Zjednoduš zlomek a potom jej převeď na desetinné číslo zaokrouhlené na tisíciny. -0,182 Otázka: 11 216 Otázka: 12 Otázka: 13 7 z 31

Otázka: 14 Otázka: 15 4 Otázka: 16 50 8 z 31

Otázka: 17 Otázka: 18 Otázka: 19 100 000 Otázka: 20 : -11,8 9 z 31

Otázka: 21-1 Otázka: 22 Otázka: 23 10 z 31

Otázka: 24 Otázka: 25 834 Otázka: 26 Vypočtěte a zaokrouhlete na desítky 20 Otázka: 27 206 Otázka: 28 11 z 31

Otázka: 29 Otázka: 30 Otázka: 31 12 z 31

Otázka: 32 Otázka: 33 a výsledek zaokrouhli na dvě desetinná místa -8,43 Otázka: 34 Zjednoduš: 13 z 31

Otázka: 35 Otázka: 36 Otázka: 37 bez zaokrouhlování Otázka: 38 262 14 z 31

Otázka: 39 2 Otázka: 40 Otázka: 41 15 z 31

Otázka: 42-0,16 Otázka: 43 0,23 Otázka: 44 Otázka: 45 Vypočtěte: 15,1 ( 2) 3 + 6,3: ( 0,7) [(2,5 3,7) : 4 625 + 15,1] 14 16 z 31

Otázka: 46 18,1 Otázka: 47-5 4. Procenta Procenta U příkladů, kde se vyskytují procenta, rozlišujeme t ři základní veličiny: - základ (100%)... z - procentovou část... č - počet procent... p První dvě z uvedených veli čin mají vždy stejnou jednotku (tzn. ob ě jsou například v kilogramech), zbývající t řetí je vždy uvedena v procentech. Zpravidla vždy dvě z uvedených veličin známe, třetí počítáme. Úlohy na procenta můžeme řešit několika postupy: 1. Řešení přes jedno procento (někdy též říkáme přes procentový trojřádek) Příklad 1: Vypočtěte, kolik je 64 % z 12,6 kilogram ů mouky. Řešení: 100 %... 12,6 kg mouky 1 %... 12,6 : 100 kg = 0,126 kg mouky 64 %... 64. 0,126 kg = 8,064 kg Závěr: 64 % z 12,6 kg mouky p ředstavuje asi 8 kg mouky. 2. Řešení trojčlenkou Příklad 2: Vypočtěte, kolik procent p ředstavuje 6 minut ze 2,5 hodiny 17 z 31

Řešení: 100 %... 2,5 h x %... 6 min = 0,1 h ------------------------------------------ U procent se vždy jedná o p římou úměrnost, proto "šipky by vždy vedly ob ě nahoru". Sestavíme výpočet: x = 100. 0,1/2,5 x = 4 % Závěr: Šest minut ze 2,5 hodiny p ředstavuje 4 %. 3. Řešení podle vzorce Příklad 3: Vypočtěte, z kolika kilometr ů představuje 8 metrů 20 %. Řešení: č = 8 m p = 20 % z =? -------------------------------- z = 100č/p z = 100. 8/20 z = 40 m = 0,04 km Závěr: Osm metrů představuje 20 % z 0,04 kilometru. Pozn.: Přehled všech tří vzorců: z = 100č/p č = zp/100 p = 100č/z 4. Řešení na kalkulačce (myšleno na takové, která má klávesu s označením procent) Klávesa s ozna čením procent má takovou vlastnost, že po jejím stisku se p ředchozí výpočet automaticky vynásobí stem, předcházelo-li dělení a naopak vyd ělí stem, předcházelo-li násobení. Jedná se tedy o zrychlení práce, nic víc. 5. Procenta - procvičovací příklady Otázka: 1 Cena ledni čky byla dvakrát snížena. Nejprve o 15 %, pozd ěji ještě o 5 % z nové ceny. Po tomto dvojím snížení cen se ledni čka prodávala za 2 584 korun. Jaká byla p ůvodní cena? 3 200 Kč 18 z 31

Otázka: 2 Zboží v hodnot ě 400 Kč bylo nejprve zdraženo o 10 % a pak zlevn ěno o 10 % z nové ceny. Ur čete jeho konečnou hodnotu. 396 Kč Otázka: 3 Obchodník prodal čtvrtinu zboží se ziskem 20 % a utržil za ni 1 680 Kč. Druhou čtvrtinu prodal se ziskem 10 %, další čtvrtinu za nákupní cenu a poslední čtvrtinu se ztrátou 5 %. Určete nákupní cenu zboží a obchodníkův zisk. Nákupní cena 5 600 Kč, zisk obchodníka 350 Kč. Otázka: 4 Vypočítejte jednu sedminu z 15 % z čísla 63. 1,35 Otázka: 5 Kolik procent je 1 minuta a 48 sekund ze 3 hodin? 1 % Otázka: 6 Jirka spořil na prázdninový výlet. V lednu uspořil dvě pětiny celé částky, v únoru polovinu toho co v lednu a v březnu 15 % celkové sumy. Do celé částky mu chybí ještě 150 Kč. Kolik bude stát celý výlet a kolik Kč naspořil v jednotlivých měsících? Celý výlet 600 Kč, v lednu naspořil 240 Kč, v únoru 120 Kč a v březnu 90 Kč. Otázka: 7 19 % z neznámého čísla je o 12 méně než 23 % z téhož čísla. Určete neznámé číslo. 300 Otázka: 8 Zmenšením neznámého čísla o 427 dostaneme 35 % jeho původní hodnoty. Které je to číslo? 656,9 19 z 31

Otázka: 9 Číslo 72 zvětšete o 25 %. O kolik procent budete muset číslo, které vám vyšlo, zmenšit, abyste opět dostal číslo 72? 20 % Otázka: 10 Rozhlasový přijímač, jehož původní cena byla 2 200 K č, byl po technickém zdokonalení zdražen o 20 %. Později byl o 15 % z nové ceny zlevn ěn. Jaká byla jeho kone čná cena? 2 244 Kč Otázka: 11 Kolik stála původně halenka, jestliže po slevě o 15 % stála 459 Kč? 540 Kč Otázka: 12 Zvětšíme-li neznámé číslo o 4 %, dostaneme 780. Určete neznámé číslo. 750 Otázka: 13 Pětina žáků třídy je nemocná, 40 % žák ů šlo na soutěž a ve třídě zůstalo 10 žáků. Kolik žáků má tato třída? 25 žáků Otázka: 14 Kolik procent činí 40,8 ze 120? 34 % Otázka: 15 V nově založeném sadu se ujalo 1 470 stromk ů, což je 98 % všech sazenic. Kolik stromk ů vysadili? 1 500 stromků 20 z 31

Otázka: 16 Sedlák vzal do m ěsta tři pětiny svých úspor a z této částky utratil 18 %. Kolik procent všech uspořených peněz mu zbylo? 89,2 % Otázka: 17 Cena ledni čky byla dvakrát snížena. Nejprve o 15 %, pozd ěji o 5 % z nové ceny. Po tomto dvojím snížení ceny se ledni čka prodávala za 9 690 K č. Vypočtěte její původní cenu. 12 000 Kč Otázka: 18 Z vyrobených výrobků bylo 21 vadných, to je 1,4 %. Kolik výrobků je bez vady? 1 479 Otázka: 19 V roce 1990 byla cena za 1 litr benzínu special 16 K č. Nyní stojí 19,20 Kč. O kolik procent se cena zvýšila? 20 % Otázka: 20 Pro nově budovanou cestu musel být delší rozměr obdélníkového pozemku zkrácen o 7 % a kratší o 8 %. Jaké jsou nové rozměry pozemku a o kolik procent se zmenšila jeho plošná výměra? Původní rozměry pozemku byly 60 m a 30 m. Nové rozměry: 55,8 m, 27,6 m; výměra se zmenšila o 14,4 %. Otázka: 21 Dva společníci si rozdělili zisk 66 000 Kč tak, že druhý dostal o 20 % více než první. Kolik dostal každý? První dostal 30 000 Kč, druhý 36 000 Kč. Otázka: 22 Vypočtěte, kolik procent je 18,5 ze 400. 4,625 % 21 z 31

Otázka: 23 Množství krve v lidském t ěle je přibližně 7,6 % hmotnosti t ěla. Kolik kg krve je v t ěle dospělého člověka o hmotnosti 75 kg? 5,7 kg Otázka: 24 Zboží, jehož p ůvodní cena byla 2 400 K č, bylo dvakrát zlevn ěno. Nejprve o 15 %, pozd ěji o 10 % z nové ceny. Ur čete konečnou cenu zboží a po čet procent, o kolik bylo zboží celkem zlevn ěno. Konečná cena 1836 Kč, zlevněno bylo o 23,5 %. Otázka: 25 V závodě je zaměstnáno 344 žen. Zbývajících 57 % zam ěstnanců jsou muži. Kolik zam ěstnanců má závod? 800 Otázka: 26 Na konci zimní sezóny byla slevn ěna bunda z 2 100 Kč na 1 800 Kč. O kolik % byla bunda zlevněna? 14,3 % Otázka: 27 Kolika procent ům původní ceny se rovná cena zboží, které bylo nejprve o 20 % zdraženo a potom byla jeho nová cena o 20 % snížena? 96 % Otázka: 28 Kolik procent je 21 ze 105? 20 % Otázka: 29 Na výměře 5 ha bylo sklizeno v určitém roce 19 tun obilí. V následujícím roce byla výměra pro osev obilí snížena o 12 %, ale hektarový výnos se proti předchozímu roku zvýšil o 12 %. Kolik tun obilí se v tomto roce sklidilo? 18,7 t 22 z 31

Otázka: 30 Cena ledni čky byla dvakrát snížena. Nejprve o 10 %, pozd ěji ještě o 10 % z nové ceny. Po tomto dvojitém snížení cen se ledni čka prodala za 4455 Kč. Vypočítejte její původní cenu. 5 500 Kč Otázka: 31 Podnik přispívá zaměstnancům na stravenky 3,30 K č na jeden ob ěd a zaměstnanci platí 78 % hodnoty ob ěda. Jaká je cena ob ěda? Kolik korun platí za ob ěd zaměstnanci? Oběd stojí 15 Kč, zaměstnanci platí 11,70 Kč. Otázka: 32 Z 800 výrobků bylo 16 vadných. Kolik procent výrobků bylo bez vady? 98 % Otázka: 33 Co je méně? 8 % z 500 g nebo 6 % z 1 kg. Odpověď zdůvodněte výpočtem. Méně je 8 % z 500 g. Otázka: 34 Za vykonanou práci si vyd ělali 3 pracovníci celkem 80 400 K č. Rozdělili se tak, že první dostal o 20 % více než druhý a t řetí o 15 % více než druhý. Kolik K č dostal každý z nich? První 28 800 Kč, druhý 24 000 Kč, třetí 27 600 Kč Otázka: 35 Z 1 600 součástek bylo 44 vadných. Kolik procent součástek bylo bez vady? 97,25 % Otázka: 36 Zmenšíme-li neznámé číslo o 427 dostaneme 65 % jeho hodnoty. Určete neznámé číslo. 1 220 23 z 31

Otázka: 37 Obchodník koupil dodávku materiálu a při prodeji vydělal 2 500 Kč následujícím způsobem. Třetinu dodávky prodal o 18 % dráž, čtvrtinu o 11 % dráž a zbytek o 5 % levněji než nakoupil. Kolik zaplatil dodavateli? Proveďte zkoušku. 37 500 Kč. Otázka: 38 Z jakého čísla je číslo 8 20%? 40 Otázka: 39 Jaká musí být prodejní cena výrobku, jestliže náklady na jeho výrobu jsou 300 K č a chci ho prodat se ziskem 20 % z prodejní ceny? 375 Kč Otázka: 40 Ze 700 výrobků bylo 20% vadných. Kolik výrobků bylo bez vady? 560 Otázka: 41 Turisté ušli první den výletu 35 % cesty, druhý den 41 %. Na poslední, t řetí den, jim zbývá ujít 15,6 km. Jak dlouhá byla celá cesta? 65 km 6. Poměr, trojčlenka Poměr Poměr je matematický zápis ve tvaru zlomku, p řípadně ve tvaru d ělení. Např.: 7 : 5 (čteme sedm ku p ěti) Jednotlivá čísla nazýváme členy poměru. Poměr může mít dva, ale i více členů. Má-li poměr více než dva členy, nazýváme ho poměr postupný. 24 z 31

Poměr můžeme rozšiřovat a krátit, podobně jako zlomky. Platí zde i stejná pravidla, protože vlastně každý poměr můžeme napsat i ve tvaru zlomku. Poměr je v základním tvaru, jso-li jeho členy čísla navzájem nesoudělná. Příklad 1: Poměr 2,4 : 7,2 uveďte do základního tvaru. Řešení: 2,4 : 7,2 /* 10 24 : 72 /: 8 3 : 9 / : 3 1 : 3 Příklad 2: Následující poměr uveďte do základního tvaru: 2 1 : 3 8 Řešení: 2 1 : 3 8 /* 24 (společný násobek jmenovatelů) 16 : 3 --------------------------------------------------------- Změna čísla v poměru: Změnit dané číslo v poměru, znamená vynásobit toto číslo poměrem ve tvaru zlomku. Příklad 3: Číslo 25 změňte v poměru 7 : 2 Řešení: 7 175 25. = = 87,5 2 2 Výsledné číslo je 87,5. Je-li první člen poměru větší než druhý, jedná se o zvětšení. Je-li první člen poměru menší než druhý, jedná se o zmenšení. ---------------------------------------------------------- Rozdělení čísla v poměru: Pokud máme dané číslo rozdělit v poměru, musíme nejprve jednotlivé členy poměru sečíst. Následně určíme hodnotu jednoho dílu, a to tak že původní číslo dělíme získaným součtem. Na závěr spočteme hodnoty jednotlivých dílů, které vyjadřuje poměr. Příklad 4: 25 z 31

Číslo 81 rozdělte v poměru 2 : 7 Řešení: 2 + 7 = 9... počet dílů 81 : 9 = 9... hodnota jednoho dílu 2. 9 = 18... hodnota odpovídající prvnímu členu poměru 7. 9 = 63... hodnota odpovídající druhému členu poměru Dané číslo jsme tedy rozdělili na dvě čísla, a to 18 a 63. Jsou v poměru 2 : 7. ------------------------------------------------------------ Změna postupného poměru na jednoduché poměry: Z každého postupného poměru můžeme vytvořit jeden nebo více poměrů jednoduchých. Příklad 5: Je dán postupný poměr 2 : 5 : 7. Vytvořte z něj alespoň dva poměry jednoduché. Řešení: Vybereme kterékoliv dva členy poměru - tedy např. 2 : 5 a 2 : 7 Změna jednoduchých poměrů na postupný: Máme-li dva nebo více poměrů jednoduchých, můžeme z nich vždy vytvořit poměr postupný. Příklad 6: Jsou dány jednoduché poměry 2 : 7 a 3 : 8. Vytvořte z nich jeden poměr postupný. Řešení: Jednoduché poměry musíme nejprve upravit rozšířením nebo krácením tak, aby jeden z členů měly společný. Tedy např. 2 : 7 /*4 8 : 28 Nyní máme v obou poměrech člen 8 a toho využijeme: 8 : 28 3 : 8 Závěr: Hledaný postupný poměr může být 3 : 8 : 28 ------------------------------------------------------------ Trojčlenka Jak už sám název napovídá, jedná se o výpočet, kde figurují tři členy; přesněji řečeno tři členy známe a čtvrtý budeme počítat. Jedná se o postup, který má obrovské praktické využití, proto ho musí každý bezpečně ovládat. Pokud řešíme příklad pomocí trojčlenky, vždy nejprve sestavíme zápis, a to tak, že stejné veličiny musí být pod sebou a neznámou doporučuji vždy ponechat ve druhém řádku. V dalším kroku rozhodneme, zda jsou veličiny ve vztahu přímé nebo nepřímé úměrnosti. Zobrazíme si pomocné šipky. Bez jakéhokoliv dlouhého uvažování tam, kde máme neznámou (ve druhém řádku), uděláme šipku směrem nahoru. Jedná-li se o úměrnost přímou, pak na druhé straně bude šipka stejným směrem (tedy též nahoru) a jednáli se o úměrnost nepřímou, bude na druhé straně šipka opačným směrem (tedy dolů). Na základě šipek se stavíme výpočet, po jehož vyřešení obdržíme výsledek. 26 z 31

Příklad 7: Tři kilogramy pomeran čů stojí 66,- Kč. Kolik korun bude stát p ět kilogramů pomerančů? Řešení: 3 kg pomerančů... 66,- Kč 5 kg pomerančů... x Kč (šipky by v tomto p řípadě vedly obě vzhůru) -------------------------------------------------- 5 x = 66. = 110 3 x = 110,- K č Pět kilogramů pomerančů bude stát 110,- K č. Příklad 8: Pět zaměstnanců postaví přístřešek za 7 dní. Kolik zam ěstnanců musíme na práci přibrat, má-li stavba být hotova už za 4 dny? Řešení: 5 zaměstnanců... 7 dní x zaměstnanců... 4 dny (šipky by v tomto p řípadě vedly vlevo vzh ůru a vpravo dolů) ------------------------------------------------- 7 x = 5. = 8,75 4 x = 8,75 zaměstnance 8,75-5 = 3,75 Přibrat bychom tedy měli 3,75 zaměstnance, což znamená z praktických d ůvodů, že musíme přibrat ještě 4 zaměstnance. ------------------------------------------------------------ Složená trojčlenka Jedná se vlastn ě o dva nebo více výpo čtů spojených do jednoho. Místo použití složené troj členky můžeme většinou bez problém ů použít dvakrát nebo vícekrát za sebou troj členku obyčejnou. Příklad 9: Šest dělníků opracuje za 5 sm ěn 1020 součástek. Za jak dlouho opracuje 10 d ělníků 2000 součástek při stejném výkonu? Řešení: 6 dělníků... 5 směn... 1020 součástek 10 dělníků... x směn... 2000 součástek ------------------------------------------------------------------------------ Střední šipka - bez uvažování sm ěrem vzhůru. Pak musíme rozhodnout, zda okrajové veli činy jsou s veli činou střední postupně ve vztahu přímé nebo nepřímé úměrnosti. Zde vychází u levé veli činy šipka dolů a u pravé šipka vzhůru. 6 2000 x = 5.. = 5,9 10 1020 x = 5,9 směny (přibližně) Deset dělníků opracuje 2000 sou částek zhruba za 5,9 sm ěny. 27 z 31

7. Poměr - procvičovací příklady Otázka: 1 Čtyři dělníci vyhloubí příkop za 18 dní. Kolik dělníků musíme přidat do pracovní skupiny, aby byl příkop hotov už za 12 dní? 2 dělníky Otázka: 2 Šest lidí splní určitý úkol za 12 hodin. Kolik času by potřebovalo na tuto práci 9 lidí? 8 hodin Otázka: 3 Rodina Novákova měla roční spotřebu cukru 60 kg. Rozhodla se ji v následujícím roce snížit v poměru 5:8. Skutečná spotřeba však činila 45 kg. O kolik procent byla plánovaná spotřeba překročena? 20 % Otázka: 4 Tři stejně výkonní sklená ři opravili okna školní budovy za 32 hodin. Za kolik hodin by tuto opravu provedli čtyři stejně výkonní sklená ři? 24 hodin Otázka: 5 Jestliže píce vystačí 300 kusům dobytka na dva týdny, kolika kusům vystačí na tři týdny? 200 kusům Otázka: 6 Plán má měřítko 1 : 2 500. Jakými rozměry bude na plánu zakreslena ovocná zahrada, má-li ve skutečnosti délku 425 m a šířku 240 m? 17 cm a 9,6 cm Otázka: 7 Číslo 6 zvětšete tak, aby bylo s hledaným číslem v poměru 3 : 7. 14 28 z 31

Otázka: 8 6 dělníků by vykonalo práci za 30 dn ů. Práce má být hotová za 20 dn ů. Kolik dělníků se musí na práci přibrat? 3 dělníci Otázka: 9 Barva se míchá s ředidlem v poměru 5:2. Kolik bude pot řeba barvy a kolik ředidla, má-li být výsledné směsi 1,4 litru? 1 litr barvy a 0,4 litru ředidla Otázka: 10 Jaká je výměra obdélníkové zahrady, když plot kolem celé zahrady m ěří 160 m a sousední strany jsou v poměru 3 : 2? 1 536 m 2 Otázka: 11 Šest strojů zpracuje zásobu materiálu za 15 sm ěn. Za kolik směn zpracuje tuto zásobu materiálu osm stejných stroj ů? 11,25 směny Otázka: 12 Na těleso působí dvě navzájem kolmé síly F 1, F 2, které jsou v poměru 3:4. Menší síla (F 1 ) má velikost 12 N. Najděte výslednici F po četně i graficky. F = 20 N Otázka: 13 Počet odpracovaných hodin dvou d ělníků při stejné hodinové mzd ě byl v poměru 5:7. Vypočtěte, kolik každý z nich dostal po 15% srážce dan ě, jestliže hrubá mzda pro oba d ělníky činí 6 960 Kč. První vydělal 2 465 Kč, druhý vydělal 3 451 Kč. Otázka: 14 Za 0,75 hodiny se vyfrézuje 36 zubů. Kolik minut trvá vyfrézování 50 zubů? 62,5 minuty 29 z 31

Otázka: 15 Číslo 40 rozdělte v poměru 3:5. 1. díl... 15; 2. díl... 25 Otázka: 16 4,5 kg jablek stojí 81 Kč. Kolik stojí 2,5 kg? 45 Kč Otázka: 17 Směs s bodem tuhnutí -32 C můžeme připravit smísením vody, lihu a glycerínu v poměru objemů 4,3 : 4,2 : 1,5. Kolik vody a lihu je třeba přidat ke 4,5 litrům glycerínu, aby vznikla směs s daným bodem tuhnutí? 12,9 litru vody, 12,6 litru lihu Otázka: 18 Dva stroje vyrobí za 50 hodin 2 000 výrobk ů. Kolik strojů potřebujeme přikoupit, abychom za 30 hodin vyrobili 15 000 výrobk ů? 23 strojů Otázka: 19 Na plánu města zhotoveném v m ěřítku 1 : 1 500 má parcela tvaru lichob ěžníku délku základen 40 mm a 56 mm a výšku 30 mm. Vypo čtěte skutečnou výměru této parcely. 3 240 m 2 Otázka: 20 Počet žáků, kteří do školy dojíždějí, k počtu žáků, kteří docházejí pěšky, je dán poměrem 2:7. a) kolik žáků má škola, když dojíždějících je 96 b) kolik procent žáků školy dojíždí (zaokrouhlete na jedno desetinné místo). Ve škole je 432 žáků, dojíždí jich 22,2 %. Otázka: 21 Zemědělské družstvo zaselo na 192 ha oves, je čmen, žito a pšenici v pom ěru 1 : 1,4 : 1,8 : 2,2. Kolik hektar ů každého druhu obilí zaseli? 30 ha ovsa, 42 ha ječmene, 54 ha žita, 66 ha pšenice 30 z 31

Otázka: 22 Na plánu v měřítku 1 : 2 500 je zanesen pozemek tvaru obdélníka o rozm ěrech 2 cm, 4 cm. Vypočtěte, kolik hektar ů je výměra pole. 0,5 ha Otázka: 23 120 kg pomerančů se má rozdělit na dvě části tak, aby byly v poměru 12,6:9. Určete hmotnosti obou částí. 50 kg a 70 kg Otázka: 24 K upečení bábovky ze 4 vajec je pot řeba 160 g tuku, 240 g mouky, 200 g cukru. Kolik g tuku, mouky a cukru je pot řeba na upečení bábovky ze 3 vajec? 120 g tuku, 180 g mouky, 150 g cukru Otázka: 25 Jestliže la'b'l : labl = 2:3 a délka úsečky AB je 24 cm, kolik pak bude velikost úsečky A'B'? 16 cm Otázka: 26 Na záhonu kvetou bílé a žluté narcisy. Bílých je o 12 více než žlutých. Pom ěr počtu bílých a počtu žlutých je 7:4. Kolik kvete na záhonu narcis ů celkem? 44 narcisů Otázka: 27 Tři stejně výkonná čerpadla naplní nádrž za 72 minut. Za kolik minut se naplní nádrž osmi stejn ě výkonnými čerpadly? 27 minut 31 z 31

Obsah výukového materiálu 1. Číselné obory 2. Číselné výrazy 3. Číselné výrazy - procvičovací příklady 4. Procenta 5. Procenta - procvičovací příklady 6. Poměr, trojčlenka 7. Poměr - procvičovací příklady 1 1 4 17 18 24 28 27.10.2008 11:05:14 Powered by EduBase 2