Přednáška 03 Přírodovědecká fakulta Katedra matematiky KMA/P506 Pravděpodobnost a statistika KMA/P507 Statistika na PC jiri.cihlar@ujep.cz
Diskrétní rozdělení
Důležitá diskrétní rozdělení pravděpodobnosti Alternativní rozdělení Binomické rozdělení Hypergeometrické rozdělení Poissonovo rozdělení A( p) Bi ( n; p) Hg ( N; M ; n ) Po ( ) Množina hodnot náhodných veličin s těmito rozděleními je nejvýše spočetná, hodnoty jsou izolované body na ose reálných čísel. Veličiny jsou definovány pomocí pravděpodobnostní funkce.
Definice alternativního rozdělení Definice: Nechť p je reálné číslo, 0 p 1. Budeme říkat, že náhodná veličina má alternativní rozdělení, a symbolicky zapisovat A( p), právě tehdy, když nabývá hodnot x 0;1, a její pravděpodobnostní funkce má tvar: x 1 x P p (1 p)
Věta: Nechť. Pak platí, že Vlastnosti alternativního rozdělení A( p) p E ) ( 1) ( 1 ) ( z e p z m z k e p z m ) ( ) ( p M k ) ( ) (1 ) ( p p D
Definice binomického rozdělení Definice: Nechť p je reálné číslo, 0 p 1, n N. Budeme říkat, že náhodná veličina má binomické rozdělení, a symbolicky zapisovat Bi ( n; p), právě tehdy, když nabývá hodnot x 0 ; 1; ; ; n, a její pravděpodobnostní funkce má tvar: P n x x nx p (1 p)
Vlastnosti binomického rozdělení Věta: Nechť Bi ( n; p). Pak platí, že x P x) 1 ( z n m ( z) ( pe 1 p) E( ) np E( ) n p np D( ) n p (1 p) np
Definice hypergeometrického rozdělení Nechť N, M, n N, 1 n N, 1 M N. Budeme říkat, že náhodná veličina má hypergeometrické rozdělení, a symbolicky zapisovat Hg ( N; M ; n), právě tehdy, když nabývá hodnot max od 0; n M N do min M ; N, a její pravděpodobnostní funkce má tvar: P M x N N n n M x
Vlastnosti hypergeometrického rozdělení Věta: Nechť Hg ( N; M ; n). Pak platí, že n M E( ) N nm M N n D ( ) 1. N N N 1
Definice Poissonova rozdělení Definice: Nechť 0. Budeme říkat, že náhodná veličina má Poissonovo rozdělení, a symbolicky zapisovat Po ( ), právě tehdy, když nabývá všech přirozených hodnot x 0;1; ;, a její pravděpodobnostní funkce má tvar: P e x x!
Vlastnosti Poissonova rozdělení Věta: Nechť Po ( ) x m. Pak platí, že P 1 ( z) e E( ) D( ) ( e z 1)
Souvislosti diskrétních rozdělení Veličina s binomickým rozdělením je součtem nezávislých náhodných veličin s alternativním rozdělením. Binomická veličina popisuje výběry s vracením, hypergeometrická veličina výběry bez vracení. Pravděpodobnostní funkce binomické veličiny je limitou pravděpodobnostní funkce hypergeometrické veličiny. Pravděpodobnostní funkce Poissonovské veličiny je limitou pravděpodobnostní funkce binomické veličiny.
Spojitá rozdělení
Důležitá spojitá rozdělení pravděpodobnosti Rovnoměrné rozdělení Exponenciální rozdělení Normální rozdělení Ro( a; b) Ex( A; ) No( ; ) Množina hodnot náhodných veličin s těmito rozděleními je interval na ose reálných čísel. Veličiny jsou definovány pomocí hustoty pravděpodobnosti.
Definice rovnoměrného rozdělení Definice: Nechť a, b jsou reálná čísla, a b. Budeme říkat, že náhodná veličina má rovnoměrné rozdělení, a symbolicky zapisovat Ro( a; b), právě tehdy, když její hustota pravděpodobnosti má tvar: f 1 pro x a; b b a f 0 pro x a; b
Vlastnosti rovnoměrného rozdělení Věta: Nechť jestliže Ro( a; b) f dx x a; b. Pak platí, že: 1, pak a b E( ) ( b a) D( ) 1 F x b a a
Definice eponenciálního rozdělení Definice: Nechť jsou reálná čísla, 0. Budeme říkat, že náhodná veličina má exponenciální rozdělení, a symbolicky zapisovat Ex( A; ), právě tehdy, když její hustota pravděpodobnosti má tvar: A, f x) 1 e xa pro ( x A; pro f 0 x A;
Vlastnosti exponenciálního rozdělení Věta: Nechť Ex( A; ). Pak platí, že jestliže x f dx A; 1, pak F 1 e xa m ( z) Az e 1 z E ( ) A D( )
Definice normálního rozdělení Definice: Nechť jsou reálná čísla, 0. Budeme říkat, že náhodná veličina má normální rozdělení, a symbolicky zapisovat No( ; ), právě tehdy, když její hustota pravděpodobnosti má tvar:, 1 f e pro x ;
Vlastnosti normálního rozdělení Věta: Nechť No( ; ). Pak platí, že m f E( ) dx ( z) D( ) e 1 z z
Další vlastnosti normálního rozdělení Nechť No( ; ),. Y a b, a 0 Pak platí, že Y No( a b; a ). No( ; ) U No(0;1) x No( ; ) F Nechť i No( i ; nechť. jsou nezávislé, Pak platí, že Y No( k i i ; ki i. i ) Y k i i )
Děkuji za pozornost