STANOVENÍ SPOLEHLIVOSTI GEOTECHNICKÝCH KONSTRUKCÍ J. Pruška, T. Parák
OBSAH: 1. Co je to spolehlivost, pravděpodobnost poruchy, riziko. 2. Deterministický a pravděpodobnostní přístup k řešení problémů. Definice základních pojmů z pravděpodobnosti a matematické statistiky (hustota pravděpodobnosti, střední hodnota, směrodatná odchylka, kvantil, kovariance, korelace, apod.). 3. Metoda Monte Carlo a LHS (latinské hyperkrychle). 4. Příklad použití metody Monte Carlo (posouzení svislé únosnosti základové půdy). 5. Zhodnocení metod. 2
1. Definice spolehlivosti, pravděpodobnosti poruchy, riziko Spolehlivost = schopnost systému (konstrukce) zachovávat požadované vlastnosti po celou dobu životnosti = pravděpodobnost, že požadované vlastnosti budou zachovány (p s ) p s = 1 p f kde p f je pravděpodobnost poruchy. Riziko H (hazard): H = p f * C f kde C f je průměrná očekávaná hmotná škoda, ke které by došlo při vzniku poruchy. 3
2. Deterministický a pravděpodobnostní přístup - deterministicky formulovaná podmínka spolehlivosti: R N E N - pravděpodobnostní přístup (funkce spolehlivosti): R E 0 kde R (odpor konstrukce = únosnost) a E (vnější zatížení) jsou náhodné veličiny s hustotami pravděpodobnosti f R (r) a f E (e). 4
2.1 Základní pojmy Náhodná veličina (například ϕ, c, E def, ze kterých dále určujeme R a E) může nabývat různých hodnot z určitého intervalu (a,b) a je charakterizována rozdělením hustoty pravděpodobnosti s jakou může těchto hodnot nabývat. Známe diskrétní a spojité náhodné veličiny. P b ( X ( a, b) ) f ( x) dx = a X Distribuční funkci v bodě x si na druhé straně můžeme představit jako plochu pod hustotou do bodu x. Hustota je derivace distribuční funkce. 5
Uvažujme spojitou náhodnou veličinu X s popsanou funkcí hustoty pravděpodobnosti f X (x). Pokud je g(x) funkce realizace náhodné veličiny X, pak průměrná hodnota: E Momenty: a) moment 1.řádu = průměr: b) moment 2.řádu = rozptyl: σ [ g( X )] g( x) f ( x)dx = [ X ] = x f ( x)dx µ x = E a z něj vyplívající směrodatná odchylka: 2 x X X [ ( ) ] 2 2 X µ x = ( x µ x ) f X ( x)dx = Var X = E Pozn.: pro normální rozdělení P P P σ x = Var X 2 N( µ, σ ) platí: ( X ( µ σ, µ + σ )) = 0, 689 ( X ( µ 2 σ, µ + 2σ )) = 0, 954 ( X ( µ 3 σ, µ + 3σ )) = 0, 997 6
c) moment 3.řádu = šikmost: α 3 = 3 ( x E X ) f X ( x) ( Var X ) 3/ 2 Šikmost je užitečná pro zjišťování asymetrie pravděpodobnostního rozdělení. Pro symetrická rozdělení platí. α 3 = 0 dx d) moment 4.řádu = špičatost: α 4 ( x E X ) f X ( x) 2 ( Var X ) dx 4 = 3 7
Pokud máme více náhodných veličin (n), nelze je generovat odděleně, pokud je mezi nimi nějaká závislost. Pro určení míry závislosti nám slouží kovariance a korelace. Kovariance je prvek kovarianční matice, která ječtvercová (n x n): cov ( X, X ) = E( X X ) ( E X )( E X ) i j i j i j kde i = 1,..., n a j = 1,..., n. Platí: cov ( X, X ) = Var( X ) i i i Normujeme-li kovarianci směrodatnými odchylkami, získáme korelaci náhodných veličin X i a X j : corr ( X, X ) i j = cov( X ) i X j ( sd X ) ( sd X ) i j Korelační koeficient může nabývat pouze hodnot z intervalu 1; 1. 8
Horním 100 p% kvantilem náhodné veličiny X ječíslo u p : Dolním 100 p% kvantilem náhodné veličiny X ječíslo v p : p ( 0 < p <1) kde a. v p ( X > u ) p P p = ( X < v ) p P p = = u 1 p Připomeňme, že v praxi se kvantily používají například v deterministickém přístupu, kdy používáme 5% horní kvantil od zatížení (častěji uváděný jako 95% kvantil, E N ) a 5% dolní kvantil od únosnosti konstrukce (R N ). 9
3. Metoda Monte Carlo (MC) Metody k řešení spolehlivosti (tj. výpočtu pravděpodobnosti poruchy) lze rozdělit na dvě základní skupiny: - simulační metody založené na metodě MC - aproximační metody Metoda MC pracuje na principu numerické simulace. Na základě generovaných pseudonáhodných čísel z intervalu 0 1 je možné generovat realizace náhodných čísel s určitým rozdělením pravděpodobnosti. Její distribuční funkce je Φ X ( x ). i i Nejprve je generováno pseudonáhodné číslo, index i označuje náhodnou veličinu inu a index j označuje číslo simulace. Realizace náhodné veličiny X i v j-té simulaci je získána podle vztahu: ( u ) 1 xi, j = Φ X i i, j ( ) 1 ve kterém je Φ X u inverzní i i, j distribuční funkce náhodné veličiny X i. 10
Zjednodušený postup výpočtu dle MC: - Generujeme realizace všech náhodných veličin vstupujících do výpočtu tak, jak bylo naznačeno. Tím získáme jeden set (sadu) vstupních hodnot. - Vygenerujeme N výpočtových setů (zpravidla je nutno generovat x*10 6 setů). - Provedeme N výpočtů a případy, kdy neplatí R E 0 označíme N f. - Dle elementární definice pravděpodobnosti pak spočteme pravděpodobnost poruchy: p f = N f N - Spolehlivost celého systému: p =1 p s f 11
3.1 Metoda Latinských hyperkrychlí (Latin Hypercube Sampling LHS) Zjednodušený postup výpočtu dle LHS: - Rozdělíme si interval distribuční funkce na N stejných dílků (zpravidla x*10 1 ), přičemž každý dílek má stejnou pravděpodobnost 1/N a může být vybrán právě jednou (náhodné permutace). - Generujeme N realizací náhodných veličin vstupujících do výpočtu a sestavíme N setů pro výpočet. - Provedeme N výpočtů. Další postup je shodný s metodou MC. Pozn.: Při generování realizací náhodných čísel je třeba vzít v úvahu závislost jednotlivých veličin za použití korelační matice. Toto platí i pro metodu MC. 12
4. Příklad použití MC posouzení svislé únosnosti zákl. půdy Příklad byl řešen jako porovnání s klasickým řešením dle ČSN 73 1001. Zde pouze řešení pomocí MC. Zadání: Posuďte svislou únosnost základové půdy pro případ rámové konstrukce založené na patkách. Výpočtové velikosti zatížení: H = 20 250 kn, µ H = 100 kn N = 350 650 kn, µ N = 500 kn M = 20 120 knm, µ M = 80 knm Podloží: c ef = 10 18 kpa ϕ ef = 22 27 γ = 18,5 kn/m 3 13
Vlastní výpočet byl proveden za použití programu Anthill. Program umožňuje zadávat vstupní parametry jako konstanty, veličiny se spojitým náhodným rozdělením i s diskrétním náhodným rozdělením. Rozdělení lze dle potřeby editovat, případně z naměřených hodnot sestavovat rozdělení vlastní. Pro zeminy se výpočtová únosnost Rd (naše R) základu s vodorovnou základovou spárou stanoví podle obecného vzorce: b b b b d d d d c c c c d d i d s N b i d s N d i d s N c R + + = 2 γ 1 γ 2 14 Napětí na základové spářeσ(naše E) se spočítá za použití vztahu: A ef N = σ
Hustoty pravděpodobností jednotlivých vstupních veličin: Horizontální síla H (lognorm. rozdělení) Normálová síla N (norm. rozdělení) Ohybový moment M (lognorm. rozdělení) Efektivní soudržnost c ef (norm. rozdělení) 15
Úhel vnitřního tření ϕ ef (norm. rozdělení) Objemová tíha γ (norm. rozdělení) Výsledky výpočtu, při N = 1*10 6 simulacích: Výsledné rozdělení svislé únosnosti základové půdy R d 16
Výsledné rozdělení kontaktního napětí v základové spáře σ Provedeme výpočet pravděpodobnosti poruchy, respektive spolehlivosti: 17
Odtud výsledná spolehlivost p s a pravděpodobnost poruchy p f : p p s f = 0,9513 100% = = 95,13% ( 1 0,9513) 100% = 4,87% Výstup z programu Anthill, který nám ukazuje průnik R a E, si můžeme představit, pro lepší pochopení, ve 3D. 18
5. Zhodnocení metod U deterministického přístupu můžeme pouze zkonstatovat, zda daná konstrukce vyhoví,či nevyhoví. Naproti tomu můžeme u pravděpodobnostního přístupu říci s jakou pravděpodobností nám konstrukce vyhoví (jakou má konstrukce spolehlivost p s ), resp. jaká je pravděpodobnost poruchy p f. Znalost této hodnoty nám velice pomůže při určování celkového rizika stavby. Připomeňme: H = p f * C f což je velice podstatné z ekonomického hlediska. Pro pravděpodobnostní výpočty můžeme použít simulační metodu MC nebo z ní odvozenou metodu LHS. Všeobecně se doporučuje používat metodu MC u analytických výpočtů a LHS u výpočtů, kde používáme MKP programy s ohledem na menší počet simulací. 19
Vstupní data - rozlišit deterministické a náhodné veličiny (data) - popis náhodných vstupních dat pomocí rozdělení hustoty pravděpodobnosti - určení závislosti mezi veličinami a zvolení korelace 20
Frekvenční funkce normálního a log-normálního rozdělění pro soudržnost 21
Otázka výběru metody - Vliv počtu výpočtů aritmetický průměr 22
Vliv počtu výpočtů směrodatná odchylka 23
Stochastická definice stupně stability FS Pravděpodobnost porušení p f : R vzdorující síly (náhodná veličina), S posouvající síly (náhodná veličina) p f R( c, ϕ ) = P FS = < 1 E ( γ ) 24
Příklad stabilita svahu Geometrie Deterministické Stochastické (c) 25
Ekvivalentní plastické přetvoření 26
Vodorovné posuny 27
Vliv korelace (Spearmanova) 28
Vliv typu rozdělení Bez korelace 29
Vliv typu rozdělení S korelací 30