Systé y se souvislý čase Ř EŠENÉPŘ ÍKLADY r Odvoď te řenosovou funkci a kolexní řenos RC č lánku na obr3, je-li vstue naětí u a vý stue naětí u Uvaž ujte R kω a C nf R u C u Obr3 Analyzovaný obvod řádu Č lánek vybudíe haronický naětí u t U cos t + ϕ, ( ) ( ) které je osáno Fourierový koeficiente U &c e j ϕ Obvod řejde do haronického ustáleného stavu, vý stuní naětí bude u t U cos t + ϕ ( ) ( ) a bude u říslušet koeficient U &c e j ϕ Jde o dělič naětí tvořený rezistore o odoru R a kaacitore o reaktanci /(jc) /(C) Proto K( ) K& ( ) C RC τ s č asová konstanta R RC + + RC krad / s ezní kitoč et + C c& c& + j + e jarctg + e jarctg, + r Nakreslete alitudovou a fázovou kitoč tovou charakteristiku č lánku z ř K& ( ) c& c& + j + e jarctg ateatický ois alitudové kitoč tové charakteristiky: K( ), + + 79
Systé y, rocesy a signá ly I - sbírka říkladů ateatický ois fázové kitoč tové charakteristiky: ϕ ( ) arctg arctg,,8 K[ ],6 77,,,, K,K,8K,K,6K K f 59Hz F [Hz] ϕ[ ] -5, -9, Obr K,K,8K,K,6K K F [Hz] Alitudová a fázová kitoč tová charakteristika obvodu z obr3 & Poznatky z říkladů a : RC člá nek s výstue na kaacitoru se chová jako filtr tyu dolní roust Za hranici ezi roustný a útluový á se se ovažuje ezní kitočet, res f, (8) č asová konstanta RC π RC ř i něž oklesne řenos na, 77 hodnoty řenosu na kitočtu Hz Fázový osuv člá nku na ezní kitočtu je - 5 Filtr je řádu, rotože obvod obsahuje jediný akuulační rvek a nejvyšší ocnina oerá toru v ř enosové funkci je : Příklad rograu v MATLABu ro vykresleníkitoč tových charakteristik: a[e-3 ]; b[ ]; f:5:e3; oega*i*f; hfreqs(b,a,oega); % zadá níkoeficientů jenovatele řenosové funkce K() % zadá níkoeficientů č itatele řenosové funkce K() % zadá nírozsahu kitoč tů a kroku výoč tu % řeoč et na kruhový kitoč et % výoč et kolexníkitoč tové charakteristiky (funkce z Signal Processing Toolboxu) 8
Systé y se souvislý čase agabs(h); % výoč et alitudové kitoč tové charakteristiky lot(f,ag); % vykresleníalitudové kitoč tové charakteristiky % haseangle(h); % říadný výoč et fá zové kitoč tové charakteristiky % lot(f,hase); % říadné vykreslenífá zové kitoč tové charakteristiky r 3 Vyoč těte reaktanci kaacitoru v ř na ezní kitoč tu 3 rad / s f & 59, Hz RC j X& c jr jkω k e Ω jc j C RC & Poznatek z říkladu: π Na ezní kitočtu RC člá nku z říkladu je velikost reaktance kaacitoru stejná jako odor rezistoru Přenos naětí tohoto RC děliče však není,5, nýbrž, 77, rotože naětí na R a na C nejsou ve fá zi, nýbrž jsou vzá jeně osunuta o 9 r Nakreslete alitudovou kitoč tovou charakteristiku č lánku z ř v logaritický ch souřadnicích: osa kitoč tu logaritická, řenos v decibelech ( K log K ) db (Viz obr5) K db + << log log >> log 3dB & Poznatky z říkladu: Logaritická alitudová kitočtová charakteristika obvodu řádu se dá dobř e aroxiovat dvěa asytotai - loenou čarou s kitočte lou, nad okles se strostí db/dekádu ( 6dB/oktávu) Pro obvod n-té ho řádu strost oklesu Na ezní kitočtu je ve skutečnosti okles o 3dB n db / deká du (9) : Příklad rograu v MATLABu ro vykreslová nílogaritických kitoč tových charakteristik: a[e-3 ]; b[ ]; f::e; oega*i*f; hfreqs(b,a,oega); % zadá níkoeficientů jenovatele řenosové funkce K() % zadá níkoeficientů č itatele řenosové funkce K() % zadá nírozsahu kitoč tů a kroku výoč tu % řeoč et na kruhový kitoč et % výoč et kolexníkitoč tové charakteristiky (funkce z Signal Processing Toolboxu) 8
Systé y, rocesy a signá ly I - sbírka říkladů agabs(h); agdb*log(ag); seilogx(f,agdb); % výoč et alitudové kitoč tové charakteristiky % řeoč et na decibely % vykresleníalitudové kitoč tové charakteristiky v log ose kitoč tu % haseangle(h); % říadný výoč et fá zové kitoč tové charakteristiky % seilogx(f,hase); % říadné vykreslenífá zové kitoč tové charakteristiky, K[dB] - 3 db okles se strostí - db/dekádu -, -,, K K f 59Hz F [Hz] ϕ[ ] -5, -9, Obr5 K K F [Hz] Kitoč tové charakteristiky obvodu z obr3 v logaritický ch souřadnicích r 5 Na vstu RC č lánku z ř řivedee haronické naětí ( ) ( Ω ) [ V] u t cos t, Ω π F, F khz Na základě znalosti řenosové funkce z ř vyoč těte naětí u a naětí na rezistoru Kolexní řenos na kitoč tu F khz: 3 π & jarctg 3 j K e 8 &, 57e + 3 π 3 Proto c& V, c& c& K & j8 &, 57e V C c& &, 3V, ϕ 8 ( ) 3 ( Ω 8 ) u t &, cos t V, 8
Systé y se souvislý čase ( ) ( ) ( ) R ( ) &, 975cos ( Ω + 9, ) j8 j9, u t u t u t c& c& c& &, 57e &, 988e C c& &, 975V R u t t R & Poznatky z říkladu: V Kitočet vstuního signá lu khz je odstatně vyšší než ezní kitočet člá nku /(πrc) 59Hz, takže výstuní naětí je již značně utlueno a rakticky celé vstuní naětí je na rezistoru Budee-li výstuní naětí odebírat z rezistoru, dostanee filtr tyu horní roust R R r 6 K( ) Vyoč těte řenosovou funkci RC č lánku z ř za ředokladu, ž e výstuní naětí je odebíráno z rezistoru R RC R RC + + + C & Poznatky z říkladu: + Př enosová funkce obvodu řádu je obecně ve tvaru K( ) a + a + b Koeficient b ř edstavuje kruhový ezní kitočet obvodu Č itatele je dá n ty filtru: U dolní rousti je a U horní rousti je a U fá zovacího člá nku je a - a b r 7 Na vstu RC č lánku z ř řivedee souč et naětí ( ) ( ) ( ) u t cos Ω t +, cos Ω t, Ω πf, F 5Hz, Ω πf, F 5kHz Vyoč těte naětí na kaacitoru a na rezistoru v haronické ustálené stavu Označ e syboly & jϕc K K e K& jϕr C C a R KRe kolexní řenosy ze vstuu na kaacitor a na rezistor Příklad vyřešíe oocí rinciu suerozice Signál cos( Ωt ) vyvolá naětí na kaacitoru [ ] ( ) ( ) ϕ ( ) u K Ω cos Ω t + Ω & 9, 995cos Ω t, 8 V C C C a na rezistoru [ ] ( ) ( ) ( ) u K Ω cos Ω t + ϕ Ω &, 3cos Ω t + 88, V R R R Podobně signá l, cos( Ωt ) vyvolá naětí na kaacitoru 83
Systé y, rocesy a signá ly I - sbírka říkladů [ ] 3 ( ) ( ) ϕ ( ) u, K Ω cos Ω t + Ω & 3, 8 cos Ω t 88, V C C C a na rezistoru u, K Ω cos Ω t + ϕ Ω &, 999cos Ω t +, 8 V [ ] ( ) ( ) ( ) R R R Podle rinciu suerozice tedy bude vý sledek 3 ( ) ( ) u u + u & 9, 995cos Ω t 8, + 3, 8 cos Ω t 88, V, C C C ( ) ( ) u u + u &, 3 cos Ω t + 88, +, 999 cos Ω t +, 8 V R R R & Poznatky z říkladu: Obě haronické složky, ř ichá zející na vstu RC člá nku současně, se rozdělí takto: rakticky celé naětí nízké ho kitočtu 5Hz se objeví na kaacitoru (výstu DP), rakticky celé naětí vyššího kitočtu 5kHz se objeví na rezistoru (výstu HP) Obvod tedy funguje jako kitočtová výhybka r 8 Jednocestně usěrněný haronický signál u(t) á tvar kladný ch ůlvln s oakovací kitoč te F Tento signál je vyhlazován RC č lene tyu dolní roust, který á ezní kitoč et olovič ní než je kitoč et ulsů: F f π Usěrněný signál je dobře osatelný svou stejnosěrnou slož kou, rvní a druhou haronickou (viz ř): ( ) 3 7 + 5 5 ( π ) + ( π ) [ V,s ] u t &,, cos Ft, cos Ft Vyoč ítejte sektru výstuního signálu a oocí Fourierovy řady nakreslete č asový růběh Pro výoč et Fourierovy řady výstuního signálu ouž ijee vzorec alitudové a fázové kitoč tové charakteristiky č lánku z říkladu Postuný dosazování kitoč tů /, a získáe hodnoty řenosu alitudy a fázového osuvu stejnosěrné slož ky, rvní a druhé haronické Z těchto údajů urč íe č leny Fourierovy řady vý stuního signálu ( ) & 3, 7, 75cos ( π 63 ), 5cos( π 76 ) [ V,s ] u t + Ft + Ft a nakreslíe č asový růběh Celý ostu je schéaticky znázorněn na obr6 r 9 Za jaký ch odínek se bude chování RC č lánku z ř blíž it chování ideálního řenosového č lánku? Jestliž e kitoč tové sektru vstuního signálu bude rozlož eno do oblasti kitoč tů f << f, kde f je ezní kitoč et č lánku V této oblasti je alitudová kitoč tová charakteristika řibliž ně konstantní a fázová charakteristika řibliž ně lineární - viz obr7: K, ϕ τ 8
Systé y se souvislý čase Obr6 Schéatické znázornění řešení říkladu 8 85
Systé y, rocesy a signá ly I - sbírka říkladů Pak signál rojde č lánke rakticky beze zěny tvaru, bude ouze na výstuu zož děn oroti vstuu o osunutí ϕ t RC τ s G Trocha teorie: Linearitu fázové charakteristiky ůž ee dobře sledovat tí, ž e ji zderivujee odle kitoč tu Dostanee kitoč tovou závislost tzv skuinového zož dění (grou delay) τ S : τ S d ( ) d ϕ () V říadě lineární fázové charakteristiky vychází skuinové zož dění konstantní nezávislé na frekvenci Závislost skuinového zož dění na kitoč tu znaená fázové zkreslení signálu K[ ],,8,6,, ϕ [ ],, & rad / s arctg -5, -9, Obr7 Detail kitoč tový ch charakteristik RC č lánku tyu DP v oblasti oč átku souřadnic r Urč ete řenosové funkce filtrů řádu, je-li vý stuní naětí odebíráno z těchto souč ástek: a) C, b) L, c) R, d) sériová kobinace L a C Uvaž ujte tyto araetry souč ástek: L H, C nf, R Ω u LC u R u L u C u R L C Obr8 Analyzovaný obvod řádu - sériový rezonanč ní obvod 86
Systé y se souvislý čase C LC, C R L RC LC R + + + + + + C L LC a) K ( ) b) K L( ), c) K ( ) 7 7 + + L LC R L RC LC R + + + + + + + + C L LC R R RC L R L RC LC R + + + + + + C L LC, R d) K ( ), LC L + C R + L + C & Poznatky z říkladu: LC + + RC + LC + LC R + + L LC 7 7 + + 7 + 7 + + Př enosová funkce je racioná lní loená funkce kolexního kitočtu j Jenovatel všech ř enosových funkcí jednoho systé u je stejný, nezá visí na volbě výstuu Nejvyšší ocnina kolexního kitočtu ve jenovateli udá vá řád systé u Č itatel řenosové funkce závisí na výběru výstuu, nejvyšší ocnina kolexního kitočtu v čitateli je axiá lně rovna řádu, tj neůže být větší než ve jenovateli G Trocha teorie - systéy řádu: Jenovatel je ve tvaru r Q + + r, () kde r rezonanč ní kitoč et (ro náš říklad r LC & 36 rad s f r & 53Hz ), Q č initel jakosti (ro náš říklad Q L R L C R & 3, 6 ) r Dojde-li k náhlé zěně úrovně signálu na vstuu obvodu řádu, bude obvod dokitávat do nového ustáleného stavu Dokity budou ít nižší kitoč et než je rezonanč ní kitoč et: kit r < r () Q Při Q,5 vychází kit Pro Q,5 bude systé tak utluený, ž e bude reagovat na zěny buzení onotó nně, nikoliv kitavě, i když se jedná o kitavý obvod Hovoříe ak o aeriodické rež iu V naše říkladu vychází Q 3,6, obvod je tedy nastaven na kitavý rež i,,, r Urč ete, jaký ty filtru (DP, HP, PP, PZ) ředstavuje obvod řádu z ř ři různý ch volbách vý stuu Pro nízké kitoč ty (f ) induktor ředstavuje zkrat a kaacitor rozojení 87
Systé y, rocesy a signá ly I - sbírka říkladů u, u u, u, u u L C R LC Pro vysoké kitoč ty (f ) induktor ředstavuje rozojení a kaacitor zkrat Pro rezonanč ní kitoč et ( f ( LC) ředstavuje zkrat u u, u, u, u u L C R LC π & 53Hz ) sériová kobinace induktoru a kaacitoru ulc, ur u, U L U C QU 3, 6U (obvod je v sériové rezonanci) Proto: a) DP, b) HP, c) PP, d) PZ Poznáka: Ověření tvrzení, ž e ři rezonanci je na L a C Q-krát větší naětí než na vstuu: Vyoč tee řenosovou funkci K,L ze vstuu na induktor ro rezonanč ní kitoč et Použ ijee vý sledku z ř: Obdobně vyjde ( jr ) ( j ) j & r L L ( r ) jr jq R R j R r + r + r r L L K, ( r ) K&, C jq Naětí na akuulač ních rvcích v rezonanci á tedy Q krát větší alitudu než vstuní naětí a je zde také fázový osun ± 9 Příklad je ož né vyřešit i tak, ž e se vykreslí alitudové kitoč tové charakteristiky jednotlivý ch zaojení r Prograe NAF byl navrž en filtr dle Č ebyševovy aroxiace, který slňuje ož adavky dané toleranč ní ole na obrázku Přenosová funkce filtru je ve tvaru 7, 9786 K( ) 3 7 +, 5 +, 7987 Vyoč těte: a) Rezonanč ní kitoč et a č initel jakosti b) Přenos filtru na kitoč tu Hz c) Přenos filtru na kitoč tu khz d) Přenos filtru na rezonanč ní kitoč tu K db db 3dB 5 [ f khz ] 5dB Obr9 Toleranč ní schéa alitudové kitoč tové charakteristiky filtru z ř 88
Systé y se souvislý čase 7 a) r, 7987 & 586, 7 rad s f r & 8, Hz, b) r Q 3, 5 Q &, 35, &, 9786 &, 78 $ 3dB, 7, 7987 c) K( j ) K& j j &, 78e j d) ( π ) e) ( r ) 7 3,, &, &, j9 K j j586 7 9e $, 69dB + fázový osuv - 9 r 3 Nakreslete alitudovou a fázovou kitoč tovou charakteristiku filtru dle Č ebyševovy aroxiace z ř v rozsahu kitoč tů Hz khz, znáte-li řenosovou funkci filtru z ř &, K( ) 9786 log db + ϕ ( ), 5 arctg, 7987 7 (, 7987 ) 3 (, 5 ) 3 7 7, + 8, je - li jenovatel zá orný +, je - li jenovatel kladný Vyoč tee a vykreslíe oocí oč ítač e dosazování do vzorců za π f, f, k Hz s logariticky roěnný kroke výoč tu (viz obr - výstu z rograu NAF) : Příklad rograu v MATLABu ro vykresleníkitoč tových charakteristik: a[ 5e3 7987e7]; % zadá níkoeficientů jenovatele řenosové funkce K() b[ 9786e7]; fe:5:e; oega*i*f; hfreqs(b,a,oega); agabs(h); agdb*log(ag); seilogx(f,agdb); % zadá níkoeficientů č itatele řenosové funkce K() % zadá nírozsahu kitoč tů a kroku výoč tu % řeoč et na kruhový kitoč et % výoč et kolexníkitoč tové charakteristiky (funkce z Signal Processing Toolboxu) % výoč et alitudové kitoč tové charakteristiky % řeoč et na decibely % vykresleníalitudové kitoč tové charakteristiky v log ose kitoč tu % haseangle(h); % říadný výoč et fá zové kitoč tové charakteristiky % seilogx(f,hase); % říadné vykreslenífá zové kitoč tové charakteristiky 89
Systé y, rocesy a signá ly I - sbírka říkladů f ax f r f - db/dek Obr Kitoč tové charakteristiky filtru z ř3 & Poznatky z říkladu: Mezní kitočet filtru (ro okles o 3dB) khz je větší než rezonanční kitočet f r (8,Hz) Na rezonanční kitočtu f r není axiu alitudové kitočtové charakteristiky Toto axiu je na nižší kitočtu f ax (77Hz) Fá zová charakteristika robíhá od do -8, na rezonanční kitočtu je fá zový osuv ř esně -9 G Trocha teorie: U DP řádu je axiu alitudové kitoč tové charakteristiky na kitoč tu tedy Toto axiu á velikost K ax r > > ax r ax kit Q, (3) Q Q kde K je řenos obvodu na nízký ch kitoč tech (f ) K, () r RC č lánek tyu horní roust je vybuzen obdélníkový iulse o výšce U V a šířce t i s: ( ) ( ) ( ) [ ] u t U t t t i 9
Systé y se souvislý čase Před řivedení iulsu byl kaacitor v článku vybit Vyoč těte sektrální funkci vý stuního signálu u (t) Uvaž ujte R kω, C nf C U R u u t i Obr RC č lánek tyu HP buzený obdélníkový iulse Použ ití vztahu (3) Odezva na obdélníkový iuls bude ve tvaru dvou jehlovitý ch exonenciálních iulsů - viz obr Dá se očekávat řesun energie signálu z nízkofrekvenč ní části sektra do oblasti vyšších kitoč tů u t ( ) u ( t) U, t [ s] Obr Reakce č lánku z obr na obdélníkový iuls Vý oč et: { } & ti j U( ) F u ( t) U tisinc e, j RC &K( ), + j RC { } ( ) ( ) U & ( ) u ( t) K & U & jrc j RC Ut t j i F isinc e + j + j ( ) e j 5 - sinc 5 ( ) sinc ( ) & 5 + U 6 t i 3 ( 5 ) sin + t i r 5 Vyoč těte a nakreslete závislost jednostranné sektrální hustoty energie vstuního a vý stuního iulsu RC č lánku z ř v kitoč tové rozsahu khz L U ti ti ( ) U& ( ) sinc sinc( 5 ), j π π π J Hz, 9
Systé y, rocesy a signá ly I - sbírka říkladů 6 &, j L ( ) U ( ) π π ( 5 ) sin + J Hz x -3 5 5 U & ( f ) [ V / Hz ] 3 5 f [ Hz] Obr3 Modul sektrální funkce odezvy RC č lánku na obdélníkový iuls & Poznatky z říkladu: Z obrá zků je zřejé, že rů chode iulsu filtre tyu horní roust došlo k značné u řesunu energie do vyšších sektrá lních áse Sektrá lní hustoty na výstuu dosahují o několik řádů nižších hodnot než na vstuu, což svědčí o konzuaci značné čá sti energie iulsu saotný filtre, konkré tně vnitř ní rezistore L, j ( f )[ J / Hz] x -6 L, j ( f )[ J / Hz] 8 6 8 6 6 8 f [ Hz] 6 8 f [ Hz] a) b) Obr Sektrální výkonová hustota energie iulsu na a) vstuu b) výstuu RC č lánku tyu horní roust r 6 Vyoč těte energii vstuního a vý stuního iulsu RC č lánku z ř Energie nejrve urč íe z č asový ch růběhů vstuního a výstuního signálu a ak ze sektrálních hustot energií Výočet z časových rů běhů : Energie vstuního iulsu: 9
Systé y se souvislý čase + ti ( ) i W u t dt U dt U t, J Energie výstuního iulsu (následující výoč et vyž aduje znalosti z oblasti ateatického oisu řechodný ch jevů v obvodech řádu): t, t i ): t ti ti t ti u ( t) U e W u ( t) dt 3 U e dt τ U e τ 5 τ τ J, t t i, ): ti t ti ti ti t ti ti u ( t) 3 U e e W u ( t) τ dt U e e dt U e τ τ 5 τ τ τ J t i W W + W U e τ τ & J ti Energie iulsu vycházejícího z RC č lánku je -krát enší než energie iulsu do něj vstuující Výočet ze sektrá lních hustot energie: Energie vstuního iulsu: + [ ] + ( ) sinc ( 5 ) W L, j d d π Použ ijee vzorec z nuerické ateatiky: + [ sinc( ax) ] Pak W, J π dx a Energie vý stuního iulsu: ( ) + 6 + sin 5 W L, j ( ) d d π + Použ ijee vzorec z ateatiky: + Pak W ( acx) ( cx) a ( e ) sin π dx, c a > + ( e ), &, J 93
Systé y, rocesy a signá ly I - sbírka říkladů r 7 Vyoč těte, jak je rozdělena energie vstuního a výstuního iulsu z ř do kitoč tový ch áse: a) ( ) khz, b) ( ) khz, c) ( 3) khz, d) (3 ) khz Řešení roveď te oocí MATLABu Energie v kitoč tové ásu (, ): Vstuní iuls: [ ] ( ), j ( ) ( 5 ) W, L d d π sinc Vý stuní iuls: ( ) 6 sin 5 W (, ) L, j ( ) d d π + Urč ité integrály vyoč tee v MATLABu oocí říkazu quad( hustota, oega, oega) kde hustota je název funkce, definující vzorec sektrální hustoty energie v M-souboru, oega a oega jsou dolní a horní integrač ní ez Vý sledky vý oč tů jsou shrnuty v tabulce kitoč tový rozsah vstuní iuls vý stuní iuls [khz] W[J] % z celkové energie W[J] % z celkové energie 9,8 9,8 3,63 36,3,7,7,3,3 3,67,67,6,6 3 3,36 3,36 3,9 3,9 & Poznatek z říkladu: Vstuní obdé lníkový iuls á v kitočtové rozsahu (, /šíř ka iulsu) (, )khz soustř eděno řes 9% své energie Po rů chodu horní roustí řádu se energie ve sektru ř eskuí do vyšších kitočtů V uvažované kitočtové rozsahu bude nyní jen asi 36% celkové energie výstuního iulsu Celková energie na výstuu je jen % z energie ř ivá děné do člá nku, 9% se tedy ř eění v telo ve filtru r 8 Uvaž ujte nelineární obvody se statický i řevodníi charakteristikai odle obr5 Na vstu ůsobí haronický signál ( ) ( Ω ) u t U cos t, U V, Ω π F, F khz Vyoč těte č asový růběh vý stuního naětí a zjistěte jeho sektrální slož ky U U a) u ( t) u ( t) U cos ( Ω t) + cos ( Ω t), 5 +, 5cos( Ω t)[ V ] 9
Systé y se souvislý čase u u u 3 u u u u u u u a) b) c) u u u u u u Obr5 Příklady nelineárních řevodních charakteristik a jejich obvodový ch realizací Ve výstuní signálu se objeví stejnosěrná slož ka a haronická slož ka na dvojnásobné kitoč tu než je kitoč et buzení 3 3 3 3 3 3 b) u ( t) u ( t) U cos ( Ω t) U cos( Ω t) + U cos( 3Ω t), 75cos +, 5cos 3 ( Ω t) ( Ω t) [ V] Ve výstuní signálu se objeví haronická slož ka na stejné a haronická slož ka na trojnásobné kitoč tu než je kitoč et buzení [ ] ( ) ( ) ( ) c) u t u t u t Vstuní signál bude ít ořezané záorné ůlvlny, bude jednocestně usěrněn Fourierova řada takového signálu je řešena v říkladu a obecný vzorec je ve vý sledcích ř 8k): U U U u ( t) + cos( Ω t) + cos( Ω t) cos( Ω t) + cos ( 6Ω t) & π π 3 35 5 7 ( Ω t) ( Ω t) ( Ω t) ( Ω t) [ V] &, 383 +, 5cos +, cos, cos +, 8cos 6 Ve výstuní signálu se objeví stejnosěrná slož ka a nekoneč ný oč et haronický ch slož ek na celistvý ch násobcích kitoč tu budicího signálu & Poznatky z říkladu: Prů chode haronické ho signá lu nelineá rní obvode došlo k rozšíř ení ůvodního jednočá rové ho sektra o řídavné haronické složky, které nebyly řítony ve vstuní signá lu Zá leží na tyu nelinearity, jaký bude charakter rozšíř ení sektra: olynoiá lní hladké závislosti výstuu na vstuu vedou na konečný očet sektrá lních čar, ostrá oř ezá ní vyvolají větší rozšíř ení Systé a) je řío oužitelný v alikaci zdvojovače kitočtu r 9 Uvaž ujte nelineární obvody se statický i řevodníi charakteristikai z ř8a) Na vstu ůsobí dvojice haronický ch signálů u t U cos Ω t, U V, Ω π F, F khz, ( ) ( ) ( ) ( Ω ) u t U cos t, U V, Ω π F, F khz Vyoč těte č asový růběh vý stuního naětí a zjistěte jeho sektrální slož ky 95
Systé y, rocesy a signá ly I - sbírka říkladů [ ] ( ) ( ) cos( Ω ) cos( Ω ) u t u t U t + U t U U U U + cos( Ωt ) + + cos( Ωt) + U U cos( Ωt ) cos( Ωt) U U U U + + cos( Ωt ) + cos( Ω ) + cos ( Ω + Ω ) + cos Ω Ω +, 5cos +, 5cos + cos + ( Ωt ) ( Ωt) ( Ω Ω ) t UU [ t] UU [( ) t] [ t] + cos [( Ω Ω ) t] [ V] Ve výstuní signálu se objeví stejnosěrná slož ka, haronické slož ky na dvojnásobcích kitoč tu vstuních signálů (khz a khz) a slož ky na souč tové a rozdílové kitoč tu (khz a 9kHz) r Na výstu systéu z ř9, obr 5a) zaojíe ásovou roust naladěnou na 9kHz s šířkou ása khz Zaište č asový růběh výstuního signálu ásové rousti v ustálené stavu & Využ ijee výsledku ř9 Na výstuu PP ohou být ouze sektrální slož ky z intervalu 8,5kHz až 9,5kHz: ( ) ( ) [ ] ( ) [ ][ ] u PP t U U cos Ω Ω t cos Ω Ω t V Na vstuu systéu ůsobí dva haronické signály o kitoč tech khz a khz, z výstuu odebíráe haronický signál o rozdílové kitoč tu 9kHz Takovéu zařízení se říká sěšovač r Na výstu systéu z obr5a) zaojíe ásovou roust naladěnou na khz s šířkou ása,khz Zaište č asový růběh výstuního signálu ásové rousti v ustálené stavu Využ ijee vý sledku ř9 Na vý stuu PP ohou bý t ouze sektrální slož ky z intervalu od 8,9kHz do,khz: ( ) ( ) [ ] [( ) ] [( ) ] ( ) [ ][ ] u PP t U U cos Ω + Ω t + U U cos Ω Ω t cos Ω + Ω t + cos Ω Ω t V Na vstuu systéu ůsobí dva haronické signály o kitoč tech khz a khz, z výstuu odebíráe souč et dvou haronický ch signálů o souč tové a rozdílové kitoč tu khz a 9kHz Na výstuu je tedy alitudově odulovaný signál s otlač enou nosnou na kitoč tu khz a dvěa ostranníi ásy Zařízení ředstavuje AM odulátor DSB-SC, signál u je nosná, signál u je odulač ní signál r Na vstu nelineárního obvodu s kubickou řevodní charakteristikou z ř8 b) řivádíe haronický signál u( t) U cos ( Ω t), U V, Ω π F, F 5kHz Vyoč těte č initel haronického zkreslení THD vý stuního signálu 96
Systé y se souvislý čase Vý oč et vý stuního signálu: 3 3 3 3 3 3 u( t) u ( t) U cos ( Ω t) U cos( Ω t) + U cos( 3Ω t), 75cos +, 5cos 3 ( Ω t) ( Ω t)[ V] Vý stuní signál je zkreslen ouze 3haronickou, která je však oěrně výrazná (/3 rvní haronické) Vý oč et THD - vzorec (5): THD, 5, 75 33, 3% 3 97