Laplaceova transformace

Transkript

1 Lalaceova transformace EO2 Přednáška 3 Pavel Máša

2 ÚVODEM Víme, že Fourierova transformace díky řísným odmínkám existence neexistuje ro řadu běžných signálů dokonce i funkce sin musela být zatlumena Jak zajistit existenci transformace ro většinu funkcí (téměř všechny fyzikálně realizovatelné časové růběhy)? Zatlumíme si ji sami transformovanou funkci vynásobíme tlumící funkcí e ¾t

3 OD FOURIEROVY K LAPLACEOVĚ TRANSFORMACI Máme Fourierovu transformaci Abychom rozšířili očet transformovatelných funkcí, funkci f (t) zatlumíme Tlumení ale funguje ouze ro čas t 0, ro záorný čas naoak funkci zesiluje, musíme roto zavést odmínku t 0 Při analýze elektrických obvodů ale řešíme situace co se stalo o tom, co..., takže tato odmínka není omezující Historii obvodu oíšeme omocí očátečních odmínek (naětí kondenzátoru, roud cívkou v čase t = 0). F(¾; j!) = Z +1 Přímá Lalaceova transformace 0 f(t)e ¾t e j!t dt = Z +1 0 f(t)e (¾+j!)t dt = Z +1 0 f(t)e t dt e ¾t Pro σ = 0 řechází Lalaceova transformace na Fourierovu transformaci

4 Poznámka matematické fonty Pro Fourierovu a Lalaceovu transformaci se oužívají dva různé matematické fonty Můžeme se roto setkat se symboly Pro Fourierovu transformaci Fff(t)g Pro Lalaceovu transformaci Lff(t)g Poznámka Namísto oerátoru se někdy oužívá oerátor s / s se též nazývá komlexní frekvence

5 OBLAST KONVERGENCE Pro tlumící funkci e ¾t jsme definovali odmínku, že t 0 To ale nezaručuje, že (Fourierův) integrál funkce f(t)e ¾t konverguje Pro σ < 0oět funkce netlumí, ale zesiluje, záleží ale na charakteru funkce f(t) Pro určitou funkci f(t) integrál konverguje, ouze okud ¾>¾ min Ta část roviny, která vyhovuje této odmínce, se nazývá oblastí konvergence (ozor, nelést si s oblastí stability obvodu, kde se naoak budeme ohybovat v levé části roviny, nalevo od oblasti konvergence!!! óly divergují) Stabilní systém Je to obvod, který má ři libovolném omezeném vstuu omezený výstu Pasivní obvod vždy, okud obsahuje rezistor, s nulovým odorem mez stability Aktivní obvod (se zesilovačem) musí mít zětnou vazbu

6 PŘÍKLAD 1 PÓL V P ROVINĚ ól (jde až do ) P () = R =100Ð C =1mF ól 1 1+RC = 10 Fourierova transformace (frekvenční charakteristika)

7 PŘÍKLAD NULY A PÓLY V P ROVINĚ 3 D ohled na rovinu, ohled ze strany sigma omega óly P () = C(L + R) 2 LC + RC +1 Nuly: 01 =0; 02 = 100 Póly: 1;2 = 50 86:6j ohled na stejnou rovinu shora R =10Ð L =0:1H C =1mF óly nuly Fourierova transformace imaginární osa

8 Linearita vlastnost vzor obraz Posunutí v originále Věta o obrazu derivace Věta o obrazu integrálu Obraz konvoluce VYBRANÉ VLASTNOSTI LAPLACEOVY TRANSFORMACE nx a k f k (t) k=1 nx a k F k () k=1 f(t t 0 ) F () e t 0 df(t) dt Z t 0 f( )d f(t) g(t) = Z t 0 f( )g(t )d F () f(0 + ) 1 F () F ()G()

9 ZÁKLADNÍ SLOVNÍK LAPLACEOVY TRANSFORMACE Časová oblast Oerátorová oblast (obraz) Oblast konvergence Diracův imuls ±(t) Jednotkový skok (stejnosměrné naětí řiojené v čase t = 0) 1(t) Exonencielní imuls e at 1(t) a 1 ¾ 1 ¾>0 ¾> a sin(!t) 1(t)! 2 +! 2 ¾>0

10 Časová oblast cos(!t) 1(t) Oerátorová oblast (obraz) Oblast konvergence 2 +! 2 ¾>0 Exonencielně tlumený sin e at sin(!t) 1(t) Exonencielně tlumený cos e at cos(!t) 1(t) t 1(t) t n Fázové osunutý sin U m sin(!t + ') 1(t) =! ( + a) 2 +! 2 ¾> a + a ( + a) 2 +! 2 ¾> a 1 2 ¾>0 n! 1(t) 1 ¾>0 n+1 = (A cos!t + B sin!t) 1(t) U m = A 2 + B 2 tan ' = A B A + B! 2 +! 2 ¾>0

11 Vyjdeme ze zětné Fourierovy transformace Zětnou Fourierovou transformací vyjádříme tlumenou funkci Odtud f(t) = 1 2¼ ZPĚTNÁ LAPLACEOVA TRANSFORMACE Z +1 1 f(t)e ¾t = 1 2¼ f(t) = 1 2¼ Z +1 1 F(j!)e j!t d! Z +1 1 F()e j!t d! F()e ¾t e j!t d! = Z +1 Záměnou integračních mezí dostaneme zětnou Lalaceovu transformaci 1 ff ()g = f(t) = 1 2¼j Z ¾+1 ¾ 1 okud je to možné, neoužíváme římo definiční integrál, ale snažíme se využít vlastností a známých obrazů ze slovníku 1 F()e t d! F()e t d

12 POSTUP PŘI HLEDÁNÍ ZPĚTNÉ LAPLACEOVY TRANSFORMACE Obvodovou funkci (nař. řenos P()) / veličinu (obraz naětí U(), obraz roudu I(), ) dostaneme ve formě racionálně lomené funkce, která je odílem dvou olynomů F () = P () Q() Nejrve musíme říadným dělením zajistit, aby olynom P() v čitateli byl nižšího řádu, nežli olynom Q() ve jmenovateli; současně můžeme ve jmenovateli vytknout koeficient u nejvyšší mocniny F () =R()+F 0 () =R()+ P 0 n 1() Q 0 () Najdeme kořeny olynomů v čitateli (nuly) i jmenovateli (óly) funkce Náhrada arciálními zlomky nyní závisí na charakteru ólů 1. Jednoduché reálné kořeny P 0 F 0 n 1 () = () K Q n i=1 ( i) = nx i=1 A i i F () = F () = F () = ( +100) ( 500)( 1500) F () =

13 2. Reálné kořeny s násobností α, β, γ P 0 F 0 n 1 () = () K( a ) ( b ) ( c ) = X A i X = ( a ) i + A j X ( b ) j + A k ( c ) k + i=1 j=1 3. Dvojice komlexně sdružených kořenů k= ( ) 3 = ( ) ( ) ( ) 2 = ( 0 i )( 00 i )=2 2 i + i 2 + 2i = 2 + a i + b i P 0 F 0 n 1 () = () K( 2 a a + b i ) ( 2 a b + b b ) = X A i + B i X = ( 2 a a + b a ) i + A j + B j ( 2 a b + b b ) j + i=1 j= ( )

14 Nyní zbývá najít konstanty A, B, 1. Metoda neurčitých koeficientů (orovnání koeficientů u stejných mocnin) 1. Funkci F () (o rozkladu na arciální zlomky) vynásobíme ůvodním jmenovatelem 2. orovnáme koeficienty u stejných mocnin oerátoru v čitateli ůvodní funkce F () = = ( ) 2( ) = = ( +100) ( 500)( 1500) = A ( +100) ( 500)( 1500) = A B 1500 = j ( 500)( 1500) =A( 1500) + B( 500) = (A + B) 1500A 500B A + B =5 1500A 500B = 500 B =5 A 1500A A = 500 A = 3 B =8 B 1500

15 2. Zakrývací ravidlo není univerzální, u násobných kořenů lze oužít ouze ro nejvyšší mocninu, ostatní koeficienty je nutné doočítat Ve funkci F () substituujeme za roměnnou hodnotu kořene i. Závorku, obsahující kořen i.musíme vyloučit (je nulová). Matematicky: lim F 0 () ( i ) i = lim! i!i Příklad: ( 500)( 1500) = A B 1500 A = ( 500) ( 1500) B = ( 500) ( 1500) Pn 1() 0 K Q n i=1 ( i) i ( i) i =500 = =1500 = = = = =8

16 OPERÁTOROVÉ CHARAKTERISTIKY DVOJPÓLŮ u R (t) =Ri R (t) obraz derivace obraz integrálu i R (t) =Gu R (t) u L (t) =L di L(t) dt i L (t) = 1 L u C (t) = 1 C Z t 0 Z t 0 i C (t) =C du C(t) dt u L ( )d + i L (0 + ) i C ( )d + u C (0 + ) násobení oerátorem dělení oerátorem Kirchhofovy zákony latí i v oblasti obrazů okud (σ = 0) a vyloučíme očáteční odmínky Fourier, je sinusový zdroj HUS U L () =L I L () Li L (0 + ) I L () = 1 L U L() + i (0 L +) U C () = 1 C I () + u (0 C +) C I C () =C U C () Cu C (0 + )

17 NÁHRADNÍ OBVODY PRO OPERÁTOROVÉ CHARAKTERISTIKY DVOJPÓLŮ U C () = 1 C I () + u (0 C +) C I C () =C U C () Cu C (0 + ) očáteční odmínka zdroj naětí oerátorová imedance I L () = 1 L U () + i (0 L +) L očáteční odmínka zdroj roudu oerátorová admitance očáteční odmínka zdroj roudu U L () =L I L () Li L (0 + ) oerátorová imedance oerátorová admitance očáteční odmínka zdroj naětí

18 NÁHRADNÍ OBVOD A SVORKY REÁLNÉ SOUČÁSTKY Kaacitor byl nabit na naětí 10 V. Nejděte roud tekoucí kaacitorem. Sériový náhradní obvod Paralelní náhradní obvod Ohmův zákon u C (0 + ) I C () = R + 1 C = 10 C 1+RC Děličem roudu I 0 C () =Cu (0 R C +) R + 1??? Proud kaacitorem by měl být stejný??? Toto je reálný kaacitor!!! I C () =C 10 C = C 10 RC 1+RC RC 10CRC 10C(1 + RC) 10C = 1+RC 1+RC = 10 C 1+RC

19 V čase t = 0 tekl induktorem roud i L (0) = 2 A. Najdtěte Lalaceův obraz roudu tekoucího induktorem ro t > 0 a obraz naětí na induktoru ro t > 0. Paralelní náhradní obvod Sériový náhradní obvod I L () = i L (0) U L () = i L (0) I L () = Li L (0) R + L R R + L +i (0) L = i L (0) LR L + R = i L (0) LR L + R L U L () =Li L (0) L + R Li (0) = i L (0) LR L L + R μ 1 R = Li (0) L R + L R + L

20 S nulovými očátečními odmínkami dostáváme obdobné obvodové charakteristiky, jako u Fourierovy transformace, res. HUS Imedance a admitance včetně vstuních a výstuních u dvoj či vícebranů Z() = U() I() Y () = I() U() Přenos (naěťový, roudový, ) P () = U 2() U 1 () P I () = I 2() I 1 ()

21 PŘÍKLAD STEJNÝ, JAKO V MINULÉ PŘEDNÁŠCE U m Integrační článek na obrázku je vybuzen obdélníkovým imulsem dle obrázku. Vyočítejte časový růběh výstuního naětí. Kondenzátor nebyl řed řiojením zdroje nabit (nulová očáteční odmínka). ro nalezení obrazu využijeme slovníku Lalaceovy transformace obdélníkový imuls je suerozicí dvou skoků s amlitudou U m U 1 () = U m P () = 1 1+RC 1 e t 0 U 2 () =U 1 () P () = U m 1 1 e t 0 1+RC Hranatou závorku rozatím ignorujeme (nese informaci o časovém zoždění dvou růběhů) U2() 0 = A + B μ = U m 1 ³ RC + 1 ) u 0 2(t) =U m 1 e t RC RC 0 t 0 t Transformací hranaté závorky jsou dva jednotkové skoky h i u 2 (t) =U m (1 e t RC )1(t) (1 e t t 0 RC )1(t t0 )