Kružnice Pedagogická fakulta 2018 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/
& přímka Vzájemná poloha přímky a kružnice p 1 vnější přímka p 2 tečna s bodem dotyku T p 3 sečna X 1 X 2 tětiva Y 1 Y 2 průměr Y 1 S poloměr
Úhly v kružnici Věta (O obvodovém a středovém úhlu) Velikost středového úhlu je rovna dvojnásobku velikosti každého obvodového úhlu příslušného k témuž oblouku. Důkaz (Výčtem možností) AVB - obvodový úhel ASB - středový úhel a) S AV BSV - rovnoramenný SBV = BVS = α BSV = π 2α BSA = 2α
Úhly v kružnici Věta (O obvodovém a středovém úhlu) Velikost středového úhlu je rovna dvojnásobku velikosti každého obvodového úhlu příslušného k témuž oblouku. Důkaz (Výčtem možností) AVB - obvodový úhel ASB - středový úhel b) S je vnitřní bod úhlu AVB C SV k převedeme na úhly AVC, BVC AVB = AVC + BVC
Úhly v kružnici Věta (O obvodovém a středovém úhlu) Velikost středového úhlu je rovna dvojnásobku velikosti každého obvodového úhlu příslušného k témuž oblouku. Důkaz (Výčtem možností) AVB - obvodový úhel ASB - středový úhel c) S je vnější bod úhlu AVB C SV k převedeme na úhly AVC, BVC AVB = BVC AVC
Úhly v kružnici Věta (O obvodovém a středovém úhlu) Velikost středového úhlu je rovna dvojnásobku velikosti každého obvodového úhlu příslušného k témuž oblouku. Důkaz (Výčtem možností) AVB - obvodový úhel ASB - středový úhel d) pro tupý AVB C SV k převedeme na úhly AVC, BVC AVB = BVC + AVC
Úhly v kružnici Věta (O úsekovém úhlu) Úsekový úhel daného oblouku je shodný se všemi obvodovými úhly příslušnými k danému oblouku, Důkaz AB, t - úsekový úhel ABS je rovnoramenný DBS je pravoúhlý SD je osa úhlu ASB DSA = DSB = α DBS = π 2 α AB, t = α
Úhly v kružnici Aplikace: množina G všech vrcholů V úhlu AVB o velikosti α, jejíchž ramena procházejí body A B. konstrukce tečny daným bodem
π 3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825 34211706798214808651328230664709384460955058223172535940812848111745028410270193852110555964 46229489549303819644288109756659334461284756482337867831652712019091456485669234603486104543 26648213393607260249141273724587006606315588174881520920962829254091715364367892590360011330 53054882046652138414695194151160943305727036575959195309218611738193261179310511854807446237 99627495673518857527248912279381830119491298336733624406566430860213949463952247371907021798 60943702770539217176293176752384674818467669405132000568127145263560827785771342757789609173 63717872146844090122495343014654958537105079227968925892354201995611212902196086403441815981 36297747713099605187072113499999983729780499510597317328160963185950244594553469083026425223 08253344685035261931188171010003137838752886587533208381420617177669147303598253490428755468 73115956286388235378759375195778185778053217122680661300192787661119590921642019893809525720 10654858632788659361533818279682303019520353018529689957736225994138912497217752834791315155 74857242454150695950829533116861727855889075098381754637464939319255060400927701671139009848 82401285836160356370766010471018194295559619894676783744944825537977472684710404753464620804 66842590694912933136770289891521047521620569660240580381501935112533824300355876402474964732 63914199272604269922796782354781636009341721641219924586315030286182974555706749838505494588 58692699569092721079750930295532116534498720275596023648066549911988183479775356636980742654 25278625518184175746728909777727938000816470600161452491921732172147723501414419735685481613 61157352552133475741849468438523323907394143334547762416862518983569485562099219222184272550 25425688767179049460165346680498862723279178608578438382796797668145410095388378636095068006 42251252051173929848960841284886269456042419652850222106611863067442786220391494504712371378 69609563643719172874677646575739624138908658326459958133904780275900994657640789512694683983 52595709825822620522489407726719478268482601476990902640136394437455305068203496252451749399 65143142980919065925093722169646151570985838741059788595977297549893016175392846813826868386 89427741559918559252459539594310499725246808459872736446958486538367362226260991246080512438 84390451244136549762780797715691435997700129616089441694868555848406353422072225828488648158 45602850601684273945226746767889525213852254995466672782398645659611635488623057745649803559 36345681743241125150760694794510965960940252288797108931456691368672287489405601015033086179 28680920874760917824938589009714909675985261365549781893129784821682998948722658804857564014 27047755513237964145152374623436454285844479526586782105114135473573952311342716610213596953 62314429524849371871101457654035902799344037420073105785390621983874478084784896833214457138 68751943506430218453191048481005370614680674919278191197939952061419663428754440643745123718 19217999839101591956181467514269123974894090718649423196156794520809514655022523160388193014 20937621378559566389377870830390697920773467221825625996615014215030680384477345492026054146
Obvod a obsah Obvod kružnice: o = 2πr Obsah kružnice: S = πr 2 Délka oblouku kružnice: l = α 2π o = 2παr 2π = αr Obsah kruhové výseče: S výseče = α 2π S = παr 2 Obsah kruhové úseče: S úseče = S výseče S = αr 2 2π = αr 2 2 2 1 2 r 2 sin α = 1 2 r 2 (α sin α)
Mocnost bodu ke kružnici Definice (Mocnost bodu ke kružnici) Mocnost bodu A ke kružnici k(s, r) nazýváme číslo M(A, k) = AS 2 r 2. M(A, k) > 0 A je vně k AS 2 r 2 = AT 2 > 0 M(A, k) = 0 A k AS 2 r 2 = 0 M(A, k) < 0 A je uvnitř k AS 2 r 2 = AD 2 < 0
Mocnost bodu ke kružnici Věta (Mocnost a sečna) Je dána kružnice k a bod A. Bodem A ved me libovolnou sečnu s kružnice k. Průsečíky sečny s a kružnice k označme X, Y. Pro body X a Y platí: { M(A, k) pokud A k nebo A je vně k (1) AX AY = M(A, k) pokud A je uvnitř k (2) Důkaz (1) AX AY = ( AP XP )( AP + YP ) AX AY = AP 2 XP 2 AX AY = AS 2 SP 2 (r 2 SP 2 ) AX AY = AS 2 r 2 = M(A, k)
Mocnost bodu ke kružnici Věta (Mocnost a sečna) Je dána kružnice k a bod A. Bodem A ved me libovolnou sečnu s kružnice k. Průsečíky sečny s a kružnice k označme X, Y. Pro body X a Y platí: { M(A, k) pokud A k nebo A je vně k (1) AX AY = M(A, k) pokud A je uvnitř k (2) Důkaz (2) AX AY = ( XP AP )( AP + YP ) AX AY = XP 2 AP 2 AX AY = r 2 SP 2 ( AS 2 SP 2 ) AX AY = r 2 AS 2 = M(A, k)
Mocnost bodu ke kružnici Konstrukce (Dáno: kružnice k, X, Y k, M(A, k) > 0. Sestrojte bod A XY ) Pro M(A, k) > 0 platí M(A, k) = AS 2 r 2 Bod A leží na XY a na kružnici l(s, AS = M(A, k) + r 2 ). Postup: 1 t; t je tečna ke k v bodě X 2 k 1 ; k 1 (X, M(A, k)) 3 Q; Q t k 1 4 l; l(s, SQ ) 5 A l XY
Mocnost bodu ke kružnici
Mocnost bodu ke kružnici Konstrukce (Dáno: kružnice k, X, Y k, M(A, k) < 0. Sestrojte bod A XY ) Pro M(A, k) < 0 platí M(A, k) = r 2 AS 2 Bod A leží na XY a na kružnici l(s, AS = r 2 + M(A, k)). Postup: 1 k t ; k t (XS) 2 k 1 ; k 1 (X, M(A, k)) 3 Q; Q k T k 1 4 l; l(s, SQ ) 5 A l XY
Mocnost bodu ke kružnici
& Kružnice opsaná k(s o, r) BS o S c sin γ = c 2r 2r = c sin γ = b sin β = S = 1 2ab sin γ S = abc 4r a sin α
& Kružnice vepsaná k(s v, ρ) ρ = S ABC = s (s a)(s b)(s c) s S ABC = S ABSv + S BCSv + S ACSv S ABC = 1 2 ρc + 1 2 ρa + 1 2 ρb S ABC = ρ a+b+c 2 = ρs AT c S v = ATb S v dle Ssu ( AS v, ρ, π 2 ) AT c = AT b = x BT c = BT a = y CT a = CT b = z a + b + c = 2x + 2y + 2z s = x + y + z s a = x xyz ρ = x + y + z
& Kružnice připsané k a, k b, k c
Vzájemná poloha 2 Definice (Soustředné kružnice) Dvě kružnice se nazývají soustředné když mají společný střed. Definice (Středná) Spojnice středů dvou kružnic se nazývá jejich středná. totožné soustředné k 2 uvnitř k 1 S 1 = S 2 S 1 = S 2 S 1 S 2 r 1 = r 2 r 1 r 2 S 1 S 2 < r 1 r 2
Vzájemná poloha 2 vnitřní dotyk k 1 a k 2 se protínají ve 2 bodech vnějši dotyk S 1 S 2 S 1 S 2 S 1 S 2 S 1 S 2 = r 1 r 2 r 1 r 2 < S 1 S 2 < r 1 + r 2 S 1 S 2 = r 1 + r 2
Vzájemná poloha 2 k 1 a k 2 leží vzájemně vně S 1 S 2 S 1 S 2 > r 1 + r 2
Vzájemná poloha 2 Definice (Ortogonální kružnice) Dvě kružnice, které se protínají, se nazývají vzájemně kolmé (ortogonální), jsou-li vzájemně kolmé jejich tečny ve společných průsečících. S 1 S 2 S 1 S 2 = r 2 1 + r 2 2
Stejnolehlost dvou kružnic Věta (Stejnolehlost dvou kružnic) Necht jsou dány dvě kružnice k 1 (S 1, r 1 ), k 2 (S 2, r 2 ). Platí, že: jsou-li k 1, k 2 soustředné, potom mezi nimi existuje 1 stejnolehlost. jsou-li S 1 S 2 a současně r 1 = r 2, potom mezi nimi existuje 1 stejnolehlost. jsou-li S 1 S 2 a současně r 1 r 2, potom mezi nimi existují 2 stejnolehlosti. Vnitřní stejnolehlost se středem I na úsečce S 1 S 2. Vnější stejnolehlost se středem E vně úsečky S 1 S 2.
Stejnolehlost dvou kružnic Věta (Stejnolehlost dvou kružnic) S 1 = S 2 H(S 1, r 2 r1 ) S 1 S 2 r 1 = r 1 H(I(středS 1 S 2 ), 1)
Stejnolehlost dvou kružnic Věta (Stejnolehlost dvou kružnic) S 1 S 2 r 1 r 1
Stejnolehlost dvou kružnic Věta (Stejnolehlost dvou kružnic) S 1 S 2 r 1 r 1
Stejnolehlost dvou kružnic Věta (Stejnolehlost dvou kružnic) S 1 S 2 r 1 r 1
Stejnolehlost dvou kružnic Věta (Stejnolehlost dvou kružnic) S 1 S 2 r 1 r 1
Stejnolehlost dvou kružnic Aplikace: sestrojení tečen dvou kružnic. S 1 S 2 r 1 r 1
Mongeova věta Věta (Mongeova věta) Jsou-li k 1, k 2, k 3 kružnice s nekolineárními středy a různými poloměry, pak platí pro vnější a vnitřní středy stejnolehlosti každých dvou z těchto kružnic: všechny 3 vnější středy stejnolehlosti (E 12, E 23, E 13 ) leží v přímce každé dva vniřní středy stejnolehlosti a jeden vnějši leží v přímce 3 vnitřní středy stejnolehlosti (I 12, I 23, I 13 ) neleží v přímce
Mongeova věta
Mongeova věta Věta (Mongeova věta) Důkaz Použijeme vlastnosti Mongeovy grupy Vnější stejnolehlost mezi k 1 a k 2 je H 12 (E 12, r 2 r1 ). Vnitřní stejnolehlost mezi k 1 a k 2 je H 12 (I 12, r 2 r1 ). Vnější stejnolehlost mezi k 2 a k 3 je H 23 (E 23, r 3 r2 ). Vnitřní stejnolehlost mezi k 2 a k 3 je H 23 (I 23, r 3 r2 ). Vnější stejnolehlost mezi k 1 a k 3 je H 13 (E 13, r 3 r1 ). Vnitřní stejnolehlost mezi k 1 a k 3 je H 13 (I 13, r 3 r1 ). H 13 = H 23 H 12 a E 13 leží na přímce E 12 E 23 H 13 = H 23 H 12 a I 13 leží na přímce I 12 E 23 atd.
Stejnolehlost - kružnicový dodatek Věta Každou přímou vlastní podobnost lze rozložit na stejnolehlost a otočení se stejným středem. Důkaz Přímá vlastní podobnost je zadána 2 páry odpovídajících si bodů X, Y X, Y. 1) XY X Y, potom existuje stejnolehlost. 2) XY X Y K XY X Y. Sestrojíme kružnice opsané k x (XX K ), k y (YY K ): 2a) k x, k y mají společný právě bod K rotace se středem K : X X 1, Y Y 1 a následně stejnolehlost se středem K : X 1 X, Y 1 Y.
Stejnolehlost - kružnicový dodatek Věta Každou přímou vlastní podobnost lze rozložit na stejnolehlost a otočení se stejným středem. Důkaz 2a)
Stejnolehlost - kružnicový dodatek Věta Každou přímou vlastní podobnost lze rozložit na stejnolehlost a otočení se stejným středem. Důkaz 2b) k x, k y mají společné body K, S obvodové úhly SXK = SX K ; SYK = SY K, takže použijeme rotaci se středem S o úhel XSX : X X 1, Y Y 1. a potom stejnolehlost se středem S : X 1 X, Y 1 Y.
Stejnolehlost - kružnicový dodatek Věta Každou přímou vlastní podobnost lze rozložit na stejnolehlost a otočení se stejným středem. Důkaz 2b)
Stejnolehlost - kružnicový dodatek Věta Každou nepřímou vlastní podobnost lze rozložit na stejnolehlost a osovou souměrnost, jejíž osa prochází středem stejnolehlosti. Věta Každá vlastní podobnost má právě jeden samodružný bod. Důkaz Důsledek předešlých dvou vět je, že existuje alespoň jeden samodružný bod. Kdyby existovali dva samodružné body, tak jejich vzdálenost se zachovává a jde o shodnost.
Chordála dvou kružnic Definice (Chordála) Množina bodů, které mají stejnou mocnost k dvoum nesoustředným kružnicím se nazývá chordála. Chordála je přímka kolmá ke středné (bez důkazu). Konstrukce k 1 k 2 ve dvou bodech
Chordála dvou kružnic Konstrukce k 1 k 2 v jednom bodě
Chordála dvou kružnic Konstrukce k 1 a k 2 nemají společný bod Použijeme třetí kružnici, která má 2 společné body s oběma kružnicemi. Průsečík jejich chordál se nazývá potenční střed a leží na chordále k 1 a k 2.