Vysoké učení technické v rně Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií Kolejní 906/4 6 00 rno http://www.utee.feec.vutbr.cz
ELEKTOTECHNK (EL) lok nalýza obvodů - speciální metody doc. ng. Jiří Sedláček, CSc. doc. ng. Miloslav Steinbauer, Ph.D. TEE FEKT VT
Obsah Metoda postupného zjednodušování Sériové a paralelní řazení Dělič napětí a proudu Metoda úměrných veličin Transfigurace hvězda / trojúhelník Princip superpozice Metoda náhradního zdroje Thèveninova věta Nortonova věta 3
Základní metody analýzy elektrických obvodů Metody analýzy Pro speciální případy niverzální metody - Metoda postupného zjednodušování - Metoda úměrných veličin - Transfigurace - Princip superpozice - Thèveninova a Nortonova věta - Přímá aplikace Kirchhoffových z. - Metoda smyčkových proudů (MSP) - Metoda uzlových napětí (MN) - Modifikovaná metoda uzlových napětí (MMN) 4
Metody pro speciální případy - metoda postupného zjednodušování Princip - postupné zjednodušování obvodu až na obvod obsahující jeden zdroj a jeden rezistor Řešení - postupná náhrada sériově řazených prvků paralelně řazených prvků Klady: jednoduchá metoda použití zákl. matem. operací vhodné pro ruční výpočty Zápory: zdlouhavá a pracná metoda analýza pouze jednodušších obvodů s jediným zdrojem postup řešení je individuální (vyžaduje zkušenost ) některé obvody nelze takto řešit (vyžadují např. aplikaci metody transfigurace obvodu) 5
Spojování zdrojů Sériové řazení zdrojů napětí n = + +... + n Paralelní řazení zdrojů proudu n = + +... + n 6
Spojování rezistorů Sériové spojení rezistorů n n n ( ) = + + + = + + + = = + + + n n n = j= j 7
Spojování rezistorů Paralelní spojení rezistorů Zkrácené značení: =... n n n 8
Spojování rezistorů Paralelní spojení rezistorů Zkrácené značení: =... n G G G n n G G = n G = j n j= j= G = / j G = G = / / G = / n n n ( ) = + + + = G + G + + G = G n Speciálně pro rezistory: = = + G = G + G + + G 3 9
Metoda postupného zjednodušování 0
Metoda postupného zjednodušování Příklad Metodou postupného zjednodušování určete všechny proudy v obvodu podle obrázku 4 = 50 Ω, = 450 Ω = 370 Ω, = 0 Ω 3 4 = 4 V 3 3 4
Metoda postupného zjednodušování Příklad 3 4 = 50 Ω = 450 Ω = 370 Ω = 0 Ω = 4 V 3 3 4 4 4 4 3 4 3 4. část přímý postup 3 3 = = 03 Ω + 3 3 = + 3 = 353 Ω. část zpětný postup = = 30,67 m = 3 = 3,8 V 4 = = 09, m 4 = = 67,98 m 3 3 = = 3 37,3 m = + 4 = 77, m
Metoda postupného zjednodušování - poznámky Přímý postup (jednoduchý): paralelní a sériové kombinace určíme celkový odpor a proud Zpětný postup (složitější) hledání proudů a napětí vyžaduje určitou invenci 3 G G 4 NELZE řešit přímo! (paralelní a sériové řazení nelze uplatnit) Nutno použít transfiguraci Y- 3
Dělič napětí ezistorový dělič napětí =? =? celkový odpor obvodu je = + a proud obvodem = + proto napětí = = + = = + Zlomek, kterým vstupní napětí násobíme, je bezrozměrný a nazývá se činitel přenosu napětí. 4
Dělič proudu ezistorový dělič proudu =? =? (G ) (G ) Protože = = G G + G jsou proudy větvemi : G = G = G G + G = G = G G + 5
Základní metody analýzy elektrických obvodů Metody analýzy Pro speciální případy niverzální metody - Metoda postupného zjednodušování - Metoda úměrných veličin - Transfigurace - Princip superpozice - Thèveninova a Nortonova věta - Přímá aplikace Kirchhoffových z. - Metoda smyčkových proudů (MSP) - Metoda uzlových napětí (MN) - Modifikovaná metoda uzlových napětí (MMN) 6
Metody pro speciální případy - metoda úměrných veličin Jen pro jednoduché lineární obvody, s jedním zdrojem Volíme fiktivní proud (např. ) nebo fiktivní napětí (např. V) jedné větve Počítáme postupně další veličiny odzadu směrem ke zdroji Vypočteme fiktivní napětí zdroje a koeficient k = / fikt Skutečné veličiny obvodu získáme z fiktivních vynásobením koeficientem k 7
Metody pro speciální případy - metoda úměrných veličin Příklad Metodou úměrných veličin určete všechny proudy v obvodu podle obrázku = 50 Ω, = 450 Ω = 370 Ω, = 0 Ω 3 4 = 4 V 4 3 3 4 volíme: = f f = f = 450 V f 3f = = 6 m 4f 3 f = f + 3f = 6 m f = f = 33,4 V f = f + f = 78,4 V f = = 3557 m 4 Koeficient úměrnosti: 4 k = = = 3,067 0 78,4 f f 3 3f f Skutečné proudy: = k = 67,98 m = k = 30,67 m = k = 37,3 m = k = 09, m 4 4f - 8
Základní metody analýzy elektrických obvodů Metody analýzy Pro speciální případy niverzální metody - Metoda postupného zjednodušování - Metoda úměrných veličin - Transfigurace - Princip superpozice - Thèveninova a Nortonova věta - Přímá aplikace Kirchhoffových z. - Metoda smyčkových proudů (MSP) - Metoda uzlových napětí (MN) - Modifikovaná metoda uzlových napětí (MMN) 9
Transfigurace trojúhelník ( ) hvězda (Y) ( ) ( + ) = + = 3 3 = 3 3 + + 3 3 Ω Zapojení musí být ekvivalentní: Y = 0 + 0 Ω Y ( + ) 3 3 + + 3 3 = + 0 0 ( + ) 3 3 + + 3 3 = + 0 30 0 0 3 3 30 ( + ) 3 3 + + 3 3 = + 0 30 3 3 Řešením této soustavy rovnic dostaneme transfigurační vztahy 0
Transfigurace trojúhelník ( ) hvězda (Y) 0 0 3 3 30 3 3 Transfigurace Y : =, =, = 3 3 3 3 0 0 30 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 Transfigurace Y : = + +, = + +, = + + 0 0 0 30 30 0 0 0 3 0 30 3 30 0 30 0 0
Transfigurace trojúhelník ( ) hvězda (Y) Příklad použití transfigurace 0 3 5 3 3 uzly 4 smyčky 0 4 3 43 3 3 4 4 4 4 5 uzlů smyčky 5 Původní zapojení 4 uzly 3 smyčky 0 5 53 5 3 4 4
Základní metody analýzy elektrických obvodů Metody analýzy Pro speciální případy niverzální metody - Metoda postupného zjednodušování - Metoda úměrných veličin - Transfigurace - Princip superpozice - Thèveninova a Nortonova věta - Přímá aplikace Kirchhoffových z. - Metoda smyčkových proudů (MSP) - Metoda uzlových napětí (MN) - Modifikovaná metoda uzlových napětí (MMN) 3
Princip superpozice Princip superpozice: Odezva na součet podnětů je rovna součtu odezev na jednotlivé podněty působící samostatně. Elektrické obvody: podněty = napětí/proudy nezávislých zdrojů odezvy = napětí/proudy prvků obvodu = = + = = + + = = = + = + ÚČNKY ZDOJŮ se v lineárních obvodech LNEÁNĚ SČÍTJÍ. 4
Princip superpozice Princip superpozice Platí jen v lineárních obvodech Účinky zdrojů se sčítají (superponují) Výpočet obvodových veličin (, ) se provede pro každý zdroj zvlášť, ostatní zdroje se nahradí vnitřním odporem: ideální zdroj ( ) rozpojením ideální zdroj ( = 0) zkratem 5
Princip superpozice Příklad 3 rčete proud a napětí na rezistoru. Z i Z G i Z Z = V, = Ω i i = 4, G = 0,5 S = 4 Ω 6
Princip superpozice Příklad 3 a určíme superpozicí i Z G i Z Z i + i G Z i G i Z =0 Z =0 = + = + 7
Příspěvek prvního zdroje Příklad 3 Zdroj Z je rozpojen Řešíme např. zjednodušováním, náhradou napěťového zdroje proudovým zdrojem, Z i Z Z Z = V, = Ω i = 4, G = 0,5 S = 4 Ω i G i i G i Z = 4,8 V, =, 8
Příspěvek druhého zdroje Příklad 3 Zdroj Z je nahrazen zkratem Řešíme např. zjednodušováním, Z i Z G i i Z G i Z Z = V, = Ω i i = 4, G = 0,5 S = 4 Ω = 3, V, = 0,8 9
Výsledek Příklad 3 a určíme superpozicí Z i Z =0 G i i Z =0 Z G i = 3, V, = 0,8 = 4,8 V, =, i Z G i Z ( ) = + = 4,8 + 3, =, 6 V ( ) = + =, + 0,8 = 0, 4 30
Nelineární obvody - superpozice Příklad pro s kvadratickou V charakteristikou: = a = a = + + = = + = a a ( ) = a + a + a = = + + a = a V NELNEÁNÍCH OVODECH NEPLTÍ PNCP SPEPOZCE! 3
Princip superpozice Lineární obvody i Nelineární obvody i i u i u 0 = + u 0 = + = + + u 3
Základní metody analýzy elektrických obvodů Metody analýzy Pro speciální případy niverzální metody - metoda postupného zjednodušování - metoda úměrných veličin - transfigurace - princip superpozice - metoda náhradního zdroje (Thèveninova a Nortonova věta) - přímá aplikace Kirchhoffových z. - metoda smyčkových proudů (MSP) - metoda uzlových napětí (MN) - modifikovaná metoda uzlových napětí (MMN) 33
Metoda náhradního zdroje Metoda vhodná v případě, že analyzujeme jednu větev obvodu hledání vnitřního odporu obvodu (např. pro výkonové přizpůsobení) výhodná pro řešení přechodných dějů ( akumulační prvek) lze použít i pro nelineární Lineární obvod a b i i i a b G i a b Thèveninova věta 853 Herman von Helmholtz prof. fyziky, erlín, včetně exaktního důkazu 883 znovuobjevil francouzský telegrafní inženýr Léon Charles Thèvenin (bez důkazu) Nortonova věta zavedena 96 Hans Ferdinand Mayer, pracovník firmy Siemens Edward Lawry Norton v interních materiálech firmy ell 34
Metoda náhradního zdroje Náhrada části obvodu ekvivalentním zdrojem: napětí ( i, i - Thèveninova věta) proudu ( i, G i - Nortonova věta) i 3 Z Z Z nebo i i G i 35
plikace náhradního zdroje Náhradní zdroje jsou vzhledem ke svorkám ekvivalentní s původním obvodem Stejné Z a Z pro stejné Z i Z i Z Z Z Z Z 3 Z i G i i Z Z 36
plikace náhradního zdroje Náhradní zdroje jsou vzhledem ke svorkám ekvivalentní s původním obvodem Stejné Z a Z pro stejné Z i Z i Z Z Z Z Z 3 Z i G i i Z Z 37
Výpočet parametrů náhradního zdroje Napětí náhradního zdroje je rovno svorkovému napětí původního nezatíženého obvodu Proud náhradního zdroje je roven svorkovému proudu nakrátko původního obvodu Při určování vnitřního odporu se zdroje proudu rozpojí a zdroje napětí nahradí zkratem 3 0 3 k 3 i i i i i G i i i = i 0 i = k i = 38
Metoda náhradního zdroje Příklad 4 Vypočítejte metodou Thèveninovy věty proud rezistoru 4 a a 3 4 4 i i 4 4 4 = i + i 4 b b a rčení i a rčení i 3 b V ab0 i = = ab0 3 = + + 3 3 b ab Ω i = = ab ( + ) 3 = + + 3 39
Metoda náhradního zdroje Příklad 4 Řešení pomocí Nortonovy věty a 3 4 4 i G i a 4 G 4 G 4 4 = i G G i + 4 b b a rčení i a rčení G i abk 3 b i = = abk = + 3 b ab Ω G i = G = ab = + ab GG G3 G + G 40
Metoda náhradního zdroje Příklad 5 V obvodu na obrázku vypočítejte pomocí Theveninovy věty napětí, proud a výkon rezistoru. 3 4 = 0 V = = 0 Ω 3 = 0 Ω, = 40 Ω 4 i i P i = + = i = rčení i rčení i + = = 6, 6 V 3 4 i + 3 + 4 i 3 4 i ( + ) 3 4 = = 8, 3 Ω + + 3 4 3 i 4 = = 0,588, = =, 76 V, P = = 6,90 W i i + 4
Metoda náhradního zdroje Příklad 6 V obvodu na obrázku vypočítejte pomocí Theveninovy věty napětí, proud a výkon rezistoru 4. z 3 4 4 4 i 4 4 4 i 4 P = = i + i 4 4 4 4 = 4 4 4 i 4 = = i + 4 P = = 0 V 4 4 4 = =,5 W 4 4 4 0,50 = 0 V z = = = 0 Ω, = 0 Ω, = 40 Ω 3 4 3 i G G G 3 = 0! G 3 z i = + 0 + = Ω i 3 G + = = = 5 V Z ( G G ) i Z i G+ G 4
Metoda náhradního zdroje - maximální přenos výkonu Příklad 7 Pomocí věty o náhradním zdroji vypočtěte hodnotu rezistoru tak, aby do něj byl dodán maximální výkon. Vypočtěte napětí, proud a výkon rezistoru. = 0 Ω, = 50 Ω, 3 = 30 Ω, 4 = 0 Ω, =, = 50 V i i i = + i = = = = P rčíme i : 3 4 4 = + = 0 + 50 = 60 Ω. = 3 3 0 + = Ω 3 i = 3 + 4 = 40 Ω 3 i Pro maximální přenos výkonu musí být zátěž = i = 40 Ω 43
Metoda náhradního zdroje - maximální přenos výkonu Příklad 7 Pomocí věty o náhradním zdroji vypočtěte hodnotu rezistoru tak, aby do něj byl dodán maximální výkon. Vypočtěte napětí, proud a výkon rezistoru. = 0 Ω, = 50 Ω, 3 = 30 Ω, 4 = 0 Ω, =, = 50 V rčíme i pomocí MSP: 3 lternativně lze určit i pomocí MN: 4 3 4 S i G G 4 G 3 G i = = 50 V + + = ( ) 3 S 90 = 00 S =, S i = + 3 S = 50 30, = 6,6 V G + G G 0 = G G + G 3 0 0 = / =, 6 0 = i = = 6,6 V 3 0, 0, = = 5, 9 0 0, 0,3 0, = = 9, 9.0 0,, 6 3 44
Metoda náhradního zdroje - maximální přenos výkonu Příklad 7 Pomocí věty o náhradním zdroji vypočtěte hodnotu rezistoru tak, aby do něj byl dodán maximální výkon. Vypočtěte napětí, proud a výkon rezistoru. = 0 Ω, = 50 Ω, 3 = 30 Ω, 4 = 0 Ω, =, = 50 V i i = i = 40 Ω i = + i = P = = = 3 4 6,6 80 i = = = i 0,085 6,6 i = = = i i 8,3 V ( 8, 3) P = = = =,736 W 40 45
Metoda náhradního zdroje Příklad 8 V můstkovém zapojení určete proud G pomocí věty o náhradním napěťovém zdroji, je-li = V, = 0 Ω, = 40 Ω, 3 = 0 Ω, 4 = 0 Ω, G = 5 Ω. G G 3 4 i i G G G = i + i G 46
Metoda náhradního zdroje Příklad 8 V můstkovém zapojení určete proud G pomocí věty o náhradním napěťovém zdroji, je-li = V, = 0 Ω, = 40 Ω, 3 = 0 Ω, 4 = 0 Ω, G = 5 Ω. rčení napětí náhradního zdroje G G i 3 4 i 3 4 3 4 = = = 0,6 V 4 i 4 + 3+ 4 47
Metoda náhradního zdroje Příklad 8 V můstkovém zapojení určete proud G pomocí věty o náhradním napěťovém zdroji, je-li = V, = 0 Ω, = 40 Ω, 3 = 0 Ω, 4 = 0 Ω, G = 5 Ω. rčení vnitřního odporu náhradního zdroje G G 3 4 i i i 3 4 3 4 3 4 i + + 3 4 = + = 0 Ω 3 4 48
Metoda náhradního zdroje Příklad 8 V můstkovém zapojení určete proud G pomocí věty o náhradním napěťovém zdroji, je-li = V, = 0 Ω, = 40 Ω, 3 = 0 Ω, 4 = 0 Ω, G = 5 Ω. G G i i 3 4 3 4 3 4 i G = = = 0,6 V 4 i 4 + 3+ 4 i + + 3 4 = + = Ω 3 4 0 i G G + = i = i G 4,8 m 49
Metoda náhradního zdroje - rekapitulace Metoda vhodná v případě, že analyzujeme jednu větev obvodu hledání vnitřního odporu obvodu (např. pro výkonové přizpůsobení) výhodná pro řešení přechodných dějů ( akumulační prvek) lze použít i pro nelineární Thèveninova věta a i i a rčení i rčení i a Lineární obvod a i Lineární obvod b G i b a rčení G i b i G i Lineární obvod a b i Nortonova věta i b rčení i b 50
Konec Kolejní 906/4 6 00 rno Tel.: 54 49 5 Fax: 54 49 5 e-mail: steinbau@feec.vutbr.cz 5