UNIVERZITA PARDUBICE Fakulta elektrotechniky a informatiky STAVOVÁ REGULACE SOUSTAVY MOTOR GENERÁTOR. Bc. David Mucha

UNIVERZITA PARDUBICE Fakula elekroechniky a informaiky STAVOVÁ REGULACE SOUSTAVY MOTOR GENERÁTOR Bc. David Mucha Diplomová práce 2017

Prohlášení Prohlašuji: Tuo práci jsem vypracoval samosaně. Veškeré lierární prameny a informace, keré jsem v práci využil, jsou uvedeny v seznamu použié lieraury. Byl jsem seznámen s ím, že se na moji práci vzahují práva a povinnosi vyplývající ze zákona č. 121/2000 Sb., auorský zákon, zejména se skuečnosí, že Univerzia Pardubice má právo na uzavření licenční smlouvy o užií éo práce jako školního díla podle 60 ods. 1 auorského zákona, a s ím, že pokud dojde k užií éo práce mnou nebo bude poskynua licence o užií jinému subjeku, je Univerzia Pardubice oprávněna ode mne požadova přiměřený příspěvek na úhradu nákladů, keré na vyvoření díla vynaložila, a o podle okolnosí až do jejich skuečné výše. Beru na vědomí, že v souladu s 47b zákona č. 111/1998 Sb., o vysokých školách a o změně a doplnění dalších zákonů (zákon o vysokých školách), ve znění pozdějších předpisů, a směrnicí Univerziy Pardubice č. 9/2012, bude práce zveřejněna v Univerziní knihovně a prosřednicvím Digiální knihovny Univerziy Pardubice. V Pardubicích dne 8. 5. 2017 Bc. David Mucha

Poděkování Tímo bych chěl poděkova svému vedoucímu panu Ing. Liboru Kupkovi Ph.D. za poskynuí informací i cenných rad, při vorbě éo diplomové práce. Dále chci poděkova své rodině a přáelům za podporu během celého sudia. V Pardubicích dne 8. 5. 2017 Bc. David Mucha

ANOTACE Diplomová práce se zabývá problemaikou savové regulace. Cílem práce je řídi savovým reguláorem sousavu moor-generáor. Před samoným návrhem reguláoru byla provedena idenifikace sousavy. Návrh paramerů reguláoru je možný dvěma meodami. Při řízení byly paramery reguláoru navrženy podle kvadraického kriéria. Sousava je připojena k počíači pomocí měřicí kary MF634. KLÍČOVÁ SLOVA Dynamický sysém, savový popis, savová regulace, esimáor, idenifikace. TITLE STATE FEEDBACK CONTROL OF MOTOR-GENERATOR SYSTEM ANNOTATION This diploma hesis deals wih sae conrol. Sae conrol of moor-generaor sysem was objecive of his work. As firs, sysem was indenified, hen he conroller was designed. Two ways of design of sae conroller can be deermined. As for sae conrol, linear quadraic crierion has been chosen for seings of conroller. Sysem was conneced o PC hrough MF634 measuring card. KEYWORDS Dynamical sysem, Sae space, Sae conrol, Esimaor, Idenificaion.

OBSAH Seznam zkraek a značek... 9 Seznam symbolů proměnných veličin a funkcí... 10 Seznam ilusrací... 12 ÚVOD... 14 1 DYNAMICKÝ SYSTÉM... 15 2 STAVOVÝ POPIS DYNAMICKÉHO SYSTÉMU... 17 2.1 Savový popis pro nelineární a lineární sysém... 17 2.1.1 Spojiý savový popis... 17 2.1.2 Diskréní savový popis... 19 2.2 Převod spojiého sysému na diskréní... 21 2.3 Savová rajekorie... 22 2.4 Vzah mezi vnějším a vniřním popisem... 23 2.4.1 Normální forma řidielnosi... 24 2.4.2 Normální forma pozorovaelnosi... 26 3 VLASTNOSTI DYNAMICKÉHO SYSTÉMU... 28 3.1 Dosažielnos a řidielnos... 29 3.2 Pozorovaelnos a rekonsruovaelnos... 30 3.3 Sabilizovaelnos... 31 4 ODHAD STAVU... 32 4.1 Esimáor úplného řádu... 33 4.2 Esimáor redukovaného řádu... 35 4.3 Kalmanova filrace... 38 5 STAVOVÁ REGULACE... 40 5.1 Regulační obvod s asaickým členem... 41 5.2 Meody návrhu reguláoru... 43 5.2.1 Návrh savového reguláoru meodou zadání pólů... 43 5.2.2 Návrh savového reguláoru s využiím kvadraického kriéria... 45 6 STABILITA SYSTÉMU... 47 7 IDENTIFIKACE... 49 7.1 Analyická idenifikace... 49 7.2 Empirická idenifikace... 49 8 LABORATORNÍ SOUSTAVA MOTOR-GENERÁTOR... 51 7

8.1 Popis sousavy... 51 8.2 Komunikace sousavy s PC... 53 9 NÁVRH STAVOVÉHO ŘÍZENÍ SOUSTAVY... 55 9.1 Idenifikace sousavy... 55 9.2 Určení vniřního popisu... 59 9.3 Návrh esimáoru... 62 9.4 Návrh reguláoru meodou přiřazení pólů... 65 9.5 Návrh reguláoru podle kvadraického kriéria... 68 9.6 Regulace sousavy PI reguláorem... 71 9.7 Regulace sousavy savovým reguláorem... 73 10 ZÁVĚR... 82 POUŽITÁ LITERATURA... 85 PŘÍLOHY... 86 8

SEZNAM ZKRATEK A ZNAČEK A/D Analogově digiální D/A Digiálně analogový MATLAB Marix Laboraory MIMO Muliple Inpu Muliple Oupu PC Personal Compuer PCI Express Peripheral Componen Inerconnec Express PID Proporcionálně-inegračně-derivační reguláor PI Proporcionálně-inegrační reguláor PCH Přechodová charakerisika PWM Pulse Widh Modulaion SISO Single Inpu Single Oupu 9

SEZNAM SYMBOLŮ PROMĚNNÝCH VELIČIN A FUNKCÍ a n, b n A, M koeficieny diferenciální rovnice maice sysému A, B maice spojiého esimáoru E B, N C C R E maice vsupu váhová maice savu rozšířená váhová maice savu D e E f Fs () F( z) g S G D S G R S G P H E váhová maice vsupu regulační odchylka jednoková maice obecná funkce spojiý obrazový přenos diskréní obrazový přenos obecná funkce maice dosažielnosi maice řidielnosi maice pozorovaelnosi maice esimáoru h J k K L vzdálenos dvou časových okamžiků kriérium diskréní čas kriérium váhová maice akční veličiny M R rozšířená maice sysému M, N maice diskréního esimáoru m n E N R P P E poče vsupních veličin řád sysému rozšířena maice vsupu kovarianční maice chyby odhadu vekor vlasních čísel 10

P N Q penalizační maice maice esimáoru Q R r r s T T u váhová maice odchylky savové veličiny maice reguláoru regulační zásah poče výsupních veličin Laplaceův operáor spojiý čas množina času; perioda vzorkovaní, s maice pomocné ransformace vsupní veličina; akční veličina U ( s), B( s ) Laplaceův obraz vsupní veličiny U( z) v w X() s x x S x M x E y Z-obraz vsupní veličiny vekor náhodného nezávislého šumu žádaná veličina Laplaceův obraz savové veličiny savová veličina rozšířená savové veličina měřená čás savového vekoru odhadovaná čás savového vekoru výsupní veličina Y ( s), B( s ) Laplaceův obraz výsupní veličiny Y( z ) z ω Z-obraz výsupní veličiny operáor Z-ransformace vlasní číslo vekor náhodného nezávislého šumu 11

SEZNAM ILUSTRACÍ Obr. 1.1 Řízený sysém... 15 Obr. 1.2 Dělení sysémů... 16 Obr. 2.1 Blokové schéma spojiého savového sysému... 19 Obr. 2.2 Blokové schéma diskréního savového sysému... 21 Obr. 2.3 Savová rajekorie ve savovém prosoru... 23 Obr. 3.1 Dosažielnos a řidielnos savu sysému... 30 Obr. 4.1 Schéma deerminisického esimáoru... 33 Obr. 4.2 Esimáor úplného řádu... 35 Obr. 4.3 Esimáor redukovaného řádu... 38 Obr. 5.1 Diskréní savový reguláor... 40 Obr. 5.2 Srukura regulačního obvodu s asaickým členem... 41 Obr. 6.1 Oblas sabiliy pro spojiý a diskréní sysém... 48 Obr. 7.1 Srukura idenifikace... 50 Obr. 8.1 Blokové schéma sousavy... 51 Obr. 8.2 Laboraorní model... 52 Obr. 8.3 Konekor laboraorního modelu... 53 Obr. 8.4 Spojení desek... 54 Obr. 9.1 Schéma k idenifikaci sysému... 55 Obr. 9.2 Měření saické charakerisiky... 56 Obr. 9.3 Saická charakerisika... 56 Obr. 9.4 Oblas pracovního bodu... 57 Obr. 9.5 Aproximace výsupní veličiny y()... 58 Obr. 9.6 Simulace přechodové charakerisiky... 58 Obr. 9.7 Přechodová charakerisika... 59 Obr. 9.8 Simulační schéma savové rajekorie... 60 Obr. 9.9 Průběh savové rajekorie... 61 Obr. 9.10 Průběh savu sysému... 61 Obr. 9.11 Simulační schéma esimáoru úplného řádu... 62 Obr. 9.12 Průběh výsupních veličin esimáoru úplného řádu... 63 Obr. 9.13 Simulační schéma esimáoru redukovaného řádu... 64 Obr. 9.14 Průběh výsupní veličiny a savu sysému... 65 Obr. 9.15 Regulační obvod... 66 12

Obr. 9.16 Regulační pochod pro volbu č. 1... 67 Obr. 9.17 Regulační pochod pro volbu č. 2... 67 Obr. 9.18 Regulační pochod pro volbu č. 3... 68 Obr. 9.19 Regulační pochod s měkkým reguláorem... 69 Obr. 9.20 Záznam akční veličiny měkkého reguláoru... 69 Obr. 9.21 Regulační pohod s vrdým reguláorem... 70 Obr. 9.22 Záznam akční veličiny vrdého reguláoru... 70 Obr. 9.23 Regulační obvod s PI reguláorem... 71 Obr. 9.24 Porovnání pochodů s PI reguláorem... 72 Obr. 9.25 Regulační pochod s PI reguláorem... 72 Obr. 9.26 Regulační pochod s PI reguláorem při působení poruchy... 73 Obr. 9.27 Schéma určené k filraci výsupní veličiny Obr. 9.28 Filrace výsupní veličiny y() y() laboraorní sousavy... 74... 74 Obr. 9.29 Regulační obvod určený k řízení laboraorní sousavy... 75 Obr. 9.30 Regulační pochod s vrdým reguláorem... 76 Obr. 9.31 Průběh akčního zásahu a regulační odchylky... 76 Obr. 9.32 Regulační pochod s měkkým reguláorem... 77 Obr. 9.33 Průběh akčního zásahu a regulační odchylky... 77 Obr. 9.34 Regulační pochod s měkkým reguláorem... 78 Obr. 9.35 Průběh akční veličiny a regulační odchylky... 79 Obr. 9.36 Regulační pochod s vrdým reguláorem... 79 Obr. 9.37 Průběh akční veličiny a regulační odchylky... 80 Obr. 9.38 Průběh regulačního pochodu se savovým reguláorem při působení poruchy... 80 Obr. 9.39 Průběh akční veličiny a regulační odchylky při působení poruchy... 81 13

ÚVOD Klasické meody opírající se např. o frekvenční analýzu, algebru přenosů, Laplaceovu a Z-ransformaci jsou na úsupu. Tyo meody jsou i přes svou jednoduchos posupně nahrazovány absraknější eorií sysémů. Teorie umožnuje deailnější eoreický rozbor. Díky němuž je možné řeši složiější úlohy, na keré klasické meody nemusí posačova. Meody savové eorie využívají meodické posupy, keré se řadu le využívají například v kvanové mechanice nebo eorii sabiliy. Výhoda savového prosoru spočívá v jednoné formulaci s využiím maic. Zápis je vhodný při řešení pomocí jednočipových mikropočíačů a následné inerpreaci. Tao práce se zabývá řízením sousavy moor-generáor ve savovém prosoru. Cílem je návrh a ověření činnosi vybraného savového reguláoru na laboraorní sousavě. Součásí návrhu je esimáor úplného a redukovaného řádu. Teoreická čás práce je členěna do více kapiol, keré na sebe navazují. První kapiola charakerizuje základní pojem z eorie sysémů. Jedná se o dynamický sysém, kerý je následně klasifikován do určiých říd. Druhá kapiola definuje savový popis spojiého a diskréního savového sysému. Dále je vysvělen převod mezi jednolivými verzemi savového popisu, savová rajekorie, vzah vniřního a vnějšího popisu. Následující kapiola objasňuje někeré vlasnosi dynamického sysému. Čvrá kapiola se věnuje odhadu savu pomocí esimáoru v úplné a redukované verzi. Další kapiola se zabývá návrhem savového reguláoru. Zmíněn je návrh reguláoru v konečném poču kroků regulace a reguláor navržen na základě kvadraického kriéria. Šesá kapiola sručně definuje oblas sabiliy pro spojiý i diskréní sysém. Na uo kapiolu navazuje idenifikace dynamického sysému. Osmá kapiola se věnuje popisu laboraorní sousavy moor-generáor, kerá je příomna na kaedře Řízení procesů. Součási kapioly je i popis připojení laboraorní sousavy k PC, edy k měřicí karě MF634. Poslední kapiola je prakickou čásí práce. V prakické čási práce je provedena idenifikace a návrh savového řízení. Po navržení esimáoru a savových reguláorů v simulacích, byl následně řízen laboraorní model moor generáor. Závěrem práce bude posouzení regulace při řízení dané sousavy. K řízení a simulaci je využi MATLAB a jeho nadsavba Simulink. 14

1 DYNAMICKÝ SYSTÉM Dynamickým sysémem je možné definova sysém, kerý se v čase vyvíjí. Jeho veličiny se mění v čase. Je-li eno sysém řízen, je na něj v každém časovém okamžiku vsupní veličinou u(). Ze sysému současně vysupuje výsupní veličina y(). působeno y() Při řízení dynamického sysému neposačuje k přesnému určení výsupního signálu pouze znalos okamžié hodnoy vsupního veličiny u(), výsup sysému závisí i na předchozím průběhu vsupního signálu možné pomocí zv. savu sysému. x() u(). Rozliši minulos a příomnos vývoje sysému, je Sav sysému si lze předsavi jako soubor vniřních veličin, kerý předsavuje vekor. Sav sysému daného sysému. x() v určiém čase obsahuje veškeré informace o předchozím chování Z výše uvedeného vyplývá, že znalos savu sysému x() a vsupní veličiny u(),v inervalu 0 1, definují výsupní veličinu určen vývojem savového vekoru x(). y(). Z předchozího plyne, že vývoj sysému je Znalos vývoje savu je důležiá, pokud je pořeba urči dynamické vlasnosi sysému. Dále plaí, že momenální sav i výsup dynamického sysému závisí nejen na momenálním vsupu, ale i předchozím (resp. počáečním) savu sysému (Šecha, 2005). Obr. 1.1 Řízený sysém Sysém lze členi podle určiých kriérií. Sysém může bý lineární nebo nelineární. Lineární sysém je sysém, jehož vzájemné vazby jsou lineární. V nelineárním sysému se vyskyují vazby nelineární. Dále rozlišujeme sysém se sousředěnými nebo rozloženými paramery. O sysém se sousředěnými paramery se jedná, když jsou jeho veličiny nezávislé na poloze v prosoru a mění se v čase. Naopak u sysému s rozloženými paramery jsou veličiny proměnné v čase i v prosoru. 15

Jsou veličiny sysému definované ve spojiém časovém inervalu spojiými funkcemi v čase, jedná se o spojiý sysém. Veličiny diskréního sysému jsou definovány množinou diskréního času a jsou funkcemi diskréními v čase. Sysém může bý deerminisický nebo sochasický. Deerminisický sysém je akový, u kerého je momenální sav a výsup přesně určielný předcházejícím savem a působícím vsupem. Opakem deerminisického sysému je sysém sochasický. U něj lze akuální výsup nebo sav urči pouze s jisou mírou pravděpodobnosi. Dále rozlišujeme sysém jednorozměrový a vícerozměrový. Jednorozměrový sysém je definován jedním vsupem a jedním výsupem. Označení akového sysému je SISO. Naopak vícerozměrový sysém vlasní více jak jeden vsup a minimálně jeden výsup, jeho označení je MIMO. Také rozeznáváme sysém na základě vzahů paramery k času. Rozlišujeme sysém invarianní a varianní. Sysém časově varianní je akový, když jsou jeho paramery proměnné v čase. Na základě změny paramerů sysému se mění i jeho vlasnosi v čase. Paramery sysému, kerý je časově invarianní, jsou neměnné a vlasnosi sysému se v čase nemění. Obr. 1.2 Dělení sysémů Dynamické vlasnosi sysému je možné popsa různými způsoby. Obecně se rozlišuje vnější a vniřní popis sysému. Vnější popis sysému vyjadřuje závislosi dynamických vlasnosí sysému, při kerých se jedná o závislosi mezi jeho vsupními a výsupními veličinami. Závislos ěcho veličin může bý vyjádřena například pomocí diferenciálních rovnic, přenosem, přechodovou funkcí. Při popisu je možné sysém chápa jako černou skříňku se vsupy a výsupy. Vniřní popis sysému definuje závislos mezi vsupní veličinou, savem sysému a výsupní veličinou. Závislos ěcho veličin je vyjádřena formou diferenciálních rovnic prvního řádu. Rovnice předsavují savový popis sysému. Jedná se o nejúplnější popis (Univerzia Tomáše Bai ve Zlíně). 16

2 STAVOVÝ POPIS DYNAMICKÉHO SYSTÉMU Jedná se o vniřní popis sysému. Použií savového popisu sysému je oproi jiným meodám popisu výhodnější. Jeho hlavní výhoda spočívá v jednoduché inerpreaci pomocí maicovém zápisu. Savový popis umožňuje popsa i sysémy s více vsupy a výsupy, u kerých je složiější vniřní srukura (Turek, 2007).Equaion Chaper (Nex) Secion 2 2.1 STAVOVÝ POPIS PRO NELINEÁRNÍ A LINEÁRNÍ SYSTÉM 2.1.1 Spojiý savový popis Nelineární spojiý dynamický sysém je popsán sousavou diferenciálních rovnic x( ) f x( ), u( ),, y( ) g x( ), u( ),, (2.1) kde x() u() y() je savová veličina, vsupní veličina, výsupní veličina, f, g obecné funkce, spojiý čas. Jsou-li funkce f a g nelineární, jedná se o savové rovnice spojiého nelineárního dynamického sysému. V případě lineárního sysému musí bý dané funkce vzhledem ke savu a řízení lineární. Lineární spojiý sysém je popsán savovou a výsupní rovnicí x( ) Ax( ) Bu ( ), (2.2) y( ) Cx( ) Du ( ), (2.3) kde x () je savová veličina, u () vsupní veličina, y () výsupní veličina. V rovnicích (2.2), (2.3) se dále vyskyují maice A, B, C, D, 17

kde a11 ( ) a12 ( ) a1n ( ) a21( ) a22( ) a2n( ) A an1( ) an2( ) ann( ) je maice sysému, rozměru ( nn), b11 ( ) b12 ( ) b1 m( ) b21( ) b22 ( ) b2 m( ) B je maice vsupu, rozměru ( n m), bn1( ) bn 2( ) bnm ( ) c11 ( ) c12 ( ) c1n ( ) c21( ) c22( ) c2n( ) C cr1( ) cr 2( ) crn( ) je váhová maice savu, rozměru ( rn), d11( ) d12 ( ) d1m ( ) d21( ) d22( ) d2m( ) D je váhová maice vsupu, rozměru ( r m). dr1( ) dr2( ) drm( ) Mění-li se někeré prvky maic A, B, C, D v čase, ak savová rovnice (2.2) a výsupní rovnice (2.3) popisují lineární časově varianní sysém. Pokud jsou všechny výše zmíněné maice konsanní, ak se jedná o sysém časově invarianní. veličina Sysém, kerý splňujíce silnou podmínku realizovaelnosi je akový, jesli že výsupní y() závisí pouze na savové veličině x(). Rovnice výsupu (2.3) posrádá vsupní veličinu u( ). Rovnice obsahuje pouze savové veličiny x(). Teno sysém obsahuje nulovou maici D. Časově invarianní sysémy jsou popsány savovou rovnicí a rovnicí výsupu x( ) Ax( ) Bu ( ), (2.4) y( ) Cx ( ). (2.5) V rovnicích (2.4), (2.5) obsahují všechny maice konsanní prvky. Poče prvků vekoru savu x () je n. Poče prvků udává řád sysému. 18

Lineární spojiý sysém v blokovém schémau, podle rovnic (2.2), (2.3) je znázorněn na obr. 2.1. Blok označený inegráorem předsavuje dynamiku sysému. Poče inegráorů je dán řádem sysému n (Univerzia Tomáše Bai ve Zlíně; Dosál, 2010). Obr. 2.1 Blokové schéma spojiého savového sysému 2.1.2 Diskréní savový popis Diskréní savový popis je podobný popisu spojiému. Diskréní sysémy jsou definovány množinou času T, ady v jednolivých navzájem izolovaných okamžicích. Co nasává, mezi ěmio okamžiky, není podsané. Diskréní čas lze znači k, kde k T...,0,1,2,.... Nelineární diskréní dynamický sysém je popsán sousavou rovnic x( k 1) f x( k), u( k), k, y( k) g x( k), u( k), k, (2.6) kde x( k) je savová veličina, u ( k) vsupní veličina, y( k) výsupní veličina, f, g obecná funkce, k diskréní čas, T perioda vzorkování. Když je diskréní sysém lineární, ak funkce f, g jsou lineární ke savu a řízení. Funkce f a g lze vyjádři analogicky jako u spojiého sysému pomocí maic. 19

Savové rovnice lineárního diskréního sysému jsou x( k 1) Mx( k) Nu ( k), (2.7) y( k) Cx( k) Du ( k). (2.8) kde x( k) u( k) je savová veličina sysému, vsupní veličina sysému, y ( k) výsupní veličina sysému. Rovnice (2.7), (2.8) obsahují maice M, N, C, D, kde M m11( k) m12( k) m1 n( k) m21( k) m22( k) m2n ( k) mn1( k) mn2( k) mnn( k) je maice sysému, rozměru ( nn), N n11( k) n12( k) n1 m( k) n21( k) n22( k) n2m ( k) nn1( k) nn2( k) nnm( k) je maice vsupu, rozměru ( n m), c11( k) c12( k) c1n ( k) c21( k) c22( k) c2n( k) C cr1( k) cr 2( k) crn( k) je váhová maice savu, rozměru ( rn), d11( k) d12( k) d1m ( k) d21( k) d22( k) d2m( k) D je váhová maice vsupu, rozměru ( r m). dr1( k) dr 2( k) drm( k) 20

Srukura lineárního diskréního sysému podle savových rovnic (2.7), (2.8) je zobrazena na následujícím obr. 2.2. Obr. 2.2 Blokové schéma diskréního savového sysému Dynamika sysému je realizována blokem, kerý je označen z 1. Blok předsavuje zpoždění o jeden krok. Signál na vsupu sousavy v čase k, se ak objeví na výsupu v čase k+1. Jsou-li maice M, N, C, D konsanní, ak sysém je invarianní (Dosál, 2010). 2.2 PŘEVOD SPOJITÉHO SYSTÉMU NA DISKRÉTNÍ V éo čási práce bude znázorněn převod spojiého sysému na diskréní. Spojiý sysém je popsán savovými rovnicemi (2.2), (2.3). Rovnice je možné popsa diskréním způsobem, je-li spojiý čas nahrazen diskréním časem k podle kh, (2.9) kde h je vzdálenos dvou, po sobě jdoucích okamžiků. U sysému jsou všechny veličiny měřeny jen v čase = kh. Současně plaí náhrada x( ) x( kh) x( k), y( ) y( k), u( ) u( k), (2.10) kde x () savová veličina ve spojié časové oblasi, x ( k) savová veličina v diskréní časové oblasi, h vzdálenos dvou časových okamžiků, u vsupní veličina, y výsupní veličina. Derivace savu x () je nahrazena v prvním přiblížení pomocí první diference 21

x ( k 1) h x( kh) 1 x( ) kh x( k 1) x ( k). (2.11) h h Dosadí-li se vzah (2.11) do savových rovnic, jsou získány nové rovnice x( k 1) ( E ha) x( k) Bhu ( k), (2.12) y( k) Cx( k) Du ( k), (2.13) kde x( k) u( k) y( k) savová veličina sousavy, vsupní veličina, výsupní veličina, E jednoková maice, A maice sysému, B maice vsupu, C váhová maice savu, D váhová maice vsupu, h vzdálenos dvou okamžiků. Tyo rovnice je možné považova za savové rovnice diskréního sysému. Sousava rovnic přibližně popisuje původní spojiý sysém, kerý je definován v diskréní množině času (Šecha, 2005). 2.3 STAVOVÁ TRAJEKTORIE Vývoj dynamického sysému je možné vyjádři pohybem bodu v n-rozměrném prosoru. Tomuo prosoru se říká savový. Souřadnice savového prosoru sysému voří savové veličiny x1, x2,..., x n. Všechny souřadnice pak voří výsledný savový vekor mění. x() T Savový vekor je definován: v každém časovém okamžiku souřadnice 1 2 3, kerý se v čase x( ) x ( ), x ( ), x ( ),..., x ( ). Vekor určuje n, keré vymezují polohu koncového bodu vekoru savu. Pohyb koncového bodu ve savovém prosoru je znázorněn savovou rajekorii (Modrlák, 2004). x1, x2,..., x n 22

Obr. 2.3 Savová rajekorie ve savovém prosoru 2.4 VZTAH MEZI VNĚJŠÍM A VNITŘNÍM POPISEM V kapiole je popsána meoda určení vniřního popisu. Určení vniřního popisu spočívá ve sanovení savových rovnic sysému z vnějšího popisu. Popis je uvažován na sousavě s jedním vsupem a výsupem (SISO). Exisuje několik zv. normálních varů savových rovnic, keré zjednodušují srukuru daného sysému. Zjednodušení srukury je možné vzhledem k vsupní, výsupní a savové veličině sysému. Kanonický var, kerý zjednodušuje srukuru sysému vzhledem k řízení, obsahuje jednoduchou maici řízení B. Podobně je na om kanonický var vzažený k výsupu sousavy. Ten obsahuje jednoduchou výsupní maici jednoduchou maicí A. Jordanův var je vzažený ke savové veličině. Vnější popis spojiého sysému je popsán obrazovým přenosem C. Dalším varem je Jordanův var, en má n1 n2 n1 n2... 1 0 n n1 ans an1s... a1s a0 Y( s) b s b s b s b B( s) Fs ( ), U ( s) A( s) (2.14) kde Fs () je obrazový přenos, U() s Laplaceův obraz vsupní veličiny, Y() s Laplaceův obraz výsupní veličiny, a n, b koeficieny diferenciální rovnice. n 23

Diferenciální rovnice v normalizovaném varu, kde přenosu je n n1 n1 n1 0 n1 0 a 1 n, kerá odpovídá předchozímu y ( ) a y ( )... a y( ) b u ( )... b u ( ) (2.15) (Šecha, 2005). 2.4.1 Normální forma řidielnosi Jedná se kanonický var vzažený k vsupní veličině sousavy. Při odvození éo formy je uvažován přenos sysému (2.14). Z přenosu je vyjádřen obraz výsupní veličiny Y() s Y ( s) B( s) U ( s) Y ( s) B( s), (2.16) U ( s) A( s) A( s) kde U ( s), A( s ) je Laplaceův obraz vsupní veličiny, Y ( s), B( s ) Laplaceův obraz výsupní veličiny. Výraz U() s As () je nahrazen pomocnou proměnnou X() s, pro kerou plaí Us () X ( s) A( s) X ( s) U ( s) (2.17) As () kde X() s je Laplaceův obraz savové veličiny. proměnnou Z konečné úpravy rovnice (2.17) lze získa diferenciální rovnici pro pomocnou x() n n 1 n1 1 0 x ( ) a x ( )... a x( ) a x( ) u ( ). (2.18) Pro obraz výsupní veličiny Y() s plaí n1 n2 n1 n2 1 0 Y ( s) B( s) X ( s) b s b s... b s b X ( s). (2.19) 24

Pro výsupní veličinu y() plaí n1 n2 n1 n2 1 0 y( ) b x ( ) b x ( )... b x( ) b x ( ), (2.20) kde a n, x() b n jsou koeficieny diferenciální rovnice, savová veličina, u() y() vsupní veličina, výsupní veličina. Složky vekoru savu se volí jako derivace pomocné veličiny x() x ( ) x( ), 1 x ( ) x( ), 2 x( ) x ( ), 1 2 x ( ) x ( ), 2 3 (2.21) n n1 x ( ) x ( ), x ( ) a x ( ) a x ( ) a x ( ) u( ). n n1 n 1 2 0 1 veličinu Z diferenciální rovnice (2.20) a derivací pomocné funkce (2.21) plaí pro výsupní y() y( ) b x b x... b x b x. (2.22) 0 1 1 2 n2 n1 n1 n Srukura maic A, B, C a D 0 podle (2.2), (2.3) je 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 A, B, C b0 b1 bn1, (2.23) 0 0 0 1 0 a0 a1 a2 a n1 1 kde A je maicí sysému, B maice vsupu, C váhová maice savu. Pro diskréní popis je srukura popisu sejná, s ím že maice A, B jsou nahrazeny maicemi M, N (Modrlák, 2004; Šecha, 2005). 25

2.4.2 Normální forma pozorovaelnosi Jedná se o kanonický var, kerý je vzažen k výsupní veličině sysému. Je dána diferenciální rovnice (2.15). Je nuné zavés složky vekoru savu x () jako lineární kombinace derivací vsupní a výsupní veličiny x ( ) y( ) b u( ), 1 n x ( ) a y( ) y( ) b u( ) b u( ), 2 n1 n1 n (2.24) x ( ) a y( ) a y( ) y ( ) b u( ) b u( ) b u ( ). n n1 n1 1 2 1 2 n kde a n, x() b n jsou koeficieny diferenciální rovnice, savová veličina, u() y() vsupní veličina, výsupní veličina. Z předchozích rovnic (2.24) je možné odvodi vzah pro následující sav x n 1 () n n 1 0 0 x ( ) a y( ) y ( ) b u( ) bnu ( ) 0. (2.25) Sav x 1 () je roven nule, proože výraz pravé srany je roven nule. Jak plyne n z diferenciální rovnice (2.15). Výsupní rovnice je y( ) x ( ) b u ( ). (2.26) Výsup 1 y() n lze dosadi zpěně do rovnic (2.24), přičemž derivace nahradí derivacemi savových veličin, keré jsou definovány vždy rovnicí předchozí. Poé je možné psá n y() a u() se 2 n1 1 1 n1 n1 n 3 n2 1 2 n2 n2 n n 1 1 n1 1 1 n n1 0 1 n 0 0 n x ( ) a x ( ) x( ) b a b u( ), x ( ) a x ( ) x ( ) b a b u( ), x ( ) a x ( ) x ( ) b a b u( ), x ( ) a x ( ) x ( ) b a b u( ) 0. (2.27) Poslední úprava rovnic (2.27) spočívá ve vyjádření derivací savových veličin na levou sranu rovnice. Úpravou jsou získány savové rovnice sysému. 26

Srukura maic A, B, C a ( 0) D podle (2.2), (2.3) je an1 1 0 0 bn1 bnan1 a 0 1 0 b b a n2 n2 n n2 A, B, C 1 0 0, (2.28) a 0 0 1 b b a 1 1 n 1 a0 0 0 0 b0 bna 0 kde A je maicí sysému, B maice vsupu, C váhová maice savu. Pro diskréní popis sysému je srukura popisu oožná. Maice A, B jsou nahrazeny maicemi M, N (Modrlák, 2004; Šecha, 2005). 27

3 VLASTNOSTI DYNAMICKÉHO SYSTÉMU Hlavní úlohou při řízení dynamického sysému je sanovení akové řídicí veličiny u( ), kerá způsobí změnu sysému z počáečního savu do savu koncového. Při exisenci akové řídicí veličiny u(), kerá oo způsobí se hovoří o řízení. Dosažení koncového savu je možné docíli několika způsoby. S ímo však souvisí opimalizace řízení. savu sysému. Podle oho, jaké jsou počáeční a koncové savy je rozlišována dosažielnos a řidielnos V sysému jsou měřielné veličiny obvykle vsupní a výsupní veličiny. Savové veličiny, nacházející se uvniř sysému, jsou měření časo nepřísupné. V krajním případě je jejích měření obížné. Sav sysému je určen na základě měření vsupního a výsupního signálu. Měření je možné provés na začáku, popř. na konci inervalu. Určuje-li se sav sysému na začáku inervalu měření, hovoří se o zv. pozorovaelnosi sysému. Je-li určení savu provedeno na konci inervalu, ak se jedná o zv. rekonsruovaelnos sysému.equaion Chaper (Nex) Secion 3 Pozorovaelnos a rekonsruovaelnos jsou významné při zjišťování dynamických vlasnosí sysému. V podsaě se jedná o experimenální idenifikaci sysému, při keré probíhá měření pozorovaelné čási sysému. S pozorovaelnosí a rekonsruovaelnosí je úzce spojen pozorovael savu sysému (Šecha, 2005). Při popisu vlasnosí je uvažován lineární spojiý sysém, kerý je popsán savovou rovnicí a rovnicí výsupu. Jedná se o sysém časově invarianní. x( ) Ax( ) Bu ( ), (3.1) y( ) Cx ( ). (3.2) Podobným způsobem je možné vlasnosi uvažova i pro sysém diskréní, kerý je popsán rovnicemi x( k 1) Mx( k) Nu ( k), (3.3) y( k) Cx ( k). (3.4) 28

3.1 DOSAŽITELNOST A ŘIDITELNOST Dosažielnos a řidielnos jsou vlasnosi maic A a B. Vlasnosi zkoumají vzahy mezi vsupy a vniřními savy sysému. Sav x ( 1) lineárního sysému je dosažielný, pokud exisuje časový okamžik 0 1,v konečného inervalu 1 0 a vsupní řídicí veličina u(), kerá sysém převede z počáečního savu x( ) 0 0 do savu žádaného x( ) 1. Kriérium dosažielnosi savu je definováno následujícím způsobem. Sav spojiého sysému, kerému se vlasnosi se nemění v čase, je úplně dosažielný, když hodnos maice dosažielnosi S n1 G B AB A B (3.5) D,,..., je rovna rozměru n kde veličina A B je maice sysému, maice vsupu. savového prosoru, Sav x ( 1) 0 lineárního sysému je řidielný, exisuje-li časový okamžik 2 1 a řídicí u(), kerá eno sysém změní ze savu x ( 1) do savu x ( 2) 0. Změna je provedena v konečném časovém inervalu 2 1. Kriérium řidielnosi savu je definováno následujícím způsobem. Sav spojiého sysému, jehož vlasnosi se nemění v čase, je úplně řidielný, když hodnos maice řidielnosi S n1 G B AB A B (3.6) R,,..., je rovna rozměru n savového prosoru. Kriéria (3.5),(3.6) jsou sejná. Z podmínek je parné, že u ěcho sysémů je každý dosažielný sav i savem řidielným. Sačí edy zkouma pouze jejich řidielnos. Podobným způsobem jako dosažielnos a řidielnos savu je možné definova i řidielnos a dosažielnos výsupu. Při určení řidielnosi a dosažielnosi výsupu lze vycháze z řidielnosi a dosažielnosi savu s ím, že sav x () je zaměněn výsupem y (). Výsup y ( 1) 0 lineárního sysému je řidielný, exisuje-li časový okamžik 2 1 a řídicí veličina u (), kerá eno sysém změní z počáečního výsupu y ( 1) 0 na koncový výsup y ( 2) Změna je provedena v omezeném časovém inervalu 2 1. 29

Kriérium dosažielnosi, řidielnosi výsupu je definováno následujícím způsobem. Výsup spojiého invarianního sysému je zcela dosažielný a řidielný je-li hodnos maice dosažielnosi, resp. řidielnosi kde D,R,,..., V n1 G CB CAB CA B (3.7) C je váhová maice savu, rovna rozměru n savového prosoru (Baláě,2003; Dosál, 2010). Obr. 3.1 Dosažielnos a řidielnos savu sysému 3.2 POZOROVATELNOST A REKONSTRUOVATELNOST Pozorovaelnos a rekonsruovaelnos jsou vlasnosi maic zkoumají vzahy mezi výsupy a vniřními savy sysému. A a C. Vlasnosi Sav x ( 0) lineárního sysému je pozorovaelný, pokud jej lze urči na základě budoucích hodno výsupního vekoru y() v konečném inervalu 0. Kriérium pozorovaelnosi savu je definováno následujícím způsobem. Sav spojiého invarianního sysému je plně pozorovaelný, jesliže hodnos maice pozorovaelnosi G S P C CA CA n1 (3.8) je rovna rozměru n savového prosoru, kde A je maice sysému, 30

C Sav váhová maice savu. x( ) 0 lineárního sysému je rekonsruovaelný, pokud jej lze urči na základě předchozích hodno vekoru výsupu y() v konečném časovém inervalu 0. I zde plaí, že sysém, jehož vlasnosi se nemění v čase je zcela pozorovaelný, ak se jedná i o sysém zcela rekonsruovaelný. Obráceně však podmínka neplaí (Modrlák, 2004; Šecha, 2005). 3.3 STABILIZOVATELNOST Další z vlasnosí dynamického sysému je sabilizovaelnos. Sysém je popsán savovou rovnicí (3.1). V rovnici může bý maice A nesabilní. Nesabilní maice A udává, že sysém je nesabilní. Sabilizaci lze provés v rámci zpěnovazebního reguláoru, kerý je dán rovnicí u( ) Rx ( ), (3.9) kde u() je akční veličina, x() R savy sousavy, maice reguláoru. Musí plai exisence maice R akové, že maice ( A BR ) v rovnici x( ) ( A BR) x ( ), (3.10) kde je sabilní. Pro vlasní čísla maice i jsou vlasní čísla maice. A BR plaí: Rei 0 pro i 1, 2, 3,..., n, Podmínka sabilizovaelnosi je v podsaě podmínkou pro sabiliu uzavřeného regulačního obvodu, ve kerém je nesabilní sousava. Vsupem zpěnovazebního členu jsou savové veličiny. Sysém, kerý je řidielný je i sabilizovaelný (Mikleš, 1986). 31

4 ODHAD STAVU Reálný proces je vyjádřen pomocí maemaického modelu, kerý je možné získa idenifikací. Maemaický model je definován savovými rovnicemi. V rovnicích figuruje savový vekor, kerý určuje vniřní sav sysému v určiém čase. Složky savového vekoru jsou neměřielné. Aby mohla bý uplaněná eorie savového prosoru při řízení dané sousavy, je pořeba neměřielný sav sousavy odhadova na základě měření vsupní veličiny u () a výsupní veličiny y(). Je-li získání savového vekoru provedeno ímo způsobem, ak je možné hovoři o odhadu savového vekoru. Odhad savového vekoru lze provés s využiím vhodně zapojených prvků. Tomuo zapojení se říká esimáor. V praxi však může bý výsupní veličina y() sysému zaížena šumovým signálem. Je-li šum příomný ve výsupní veličině, ak jsou ímo šumem zaíženy i savové veličiny. Šumový signál je pořeba za účelem řízení minimalizova. Odhad savu se v omo případě nazývá Kalmanovou esimací. Pokud výsupní veličina y() není zaížena šumem, ak lze předpokláda i jeho absenci ve savové veličině. V omo případě je označení esimace savu deerminisické. Teno esimáor je navržen Luenbergem, označuje se aké jako deerminisický esimáor. Základní myšlenka při návrhu deerminisické a Kalmanovy esimace je podmíněna znalosí savového modelu, edy jeho maic A, B, C, D příp. M, N, C, D. Je nuné, aby bylo možné měři vsupní a výsupní signál sousavy. Následně lze simulova uzavřený obvod, kerý obsahuje sousavu a esimáor. Esimáor je možné navrhnou pro spojiou i diskréní verzi savového popisu. Rozlišuje se esimáor úplného nebo redukovaného řádu (Modrlák, 2004).Equaion Chaper (Nex) Secion 4 32

4.1 ESTIMÁTOR ÚPLNÉHO ŘÁDU V případě úplného řádu esimáoru je jeho řád roven řádu sousavy n. Esimáor odhaduje všechny savy sousavy, keré jsou měřielné i neměřielné. Obr. 4.1 Schéma deerminisického esimáoru Chyba odhadu savového vekoru je vyjádřena xˆ( ) x( ) x ( ), (4.1) kde x() jsou savy sousavy, x () rozdíl skuečných a odhadnuých savů. Dále je pořeba vyjádři derivaci odhadu savového vekoru xˆ ( ) x( ) x( ) x( ) x( ) x ˆ( ), (4.2) kde x() je derivace savu sousavy, x () rozdíl odhadnuých a skuečných derivací savů. Deerminisický esimáor úplného řádu je definován rovnicí xˆ ( ) A xˆ( ) B u( ) H y ( ), (4.3) E E E kde x () jsou savy sousavy, A E maice sousavy v esimáoru, B E maice vsupu v esimáoru, H E maice esimáoru, 33

u() y() vsupní veličina sousavy, výsupní veličina sousavy. Dále je nuné urči maice AE, BE a H E, ak aby se vekor odhadu savu xˆ( ) blížil skuečnému vekoru savu x(). Po dosazení rovnice (4.3) do upravené rovnice (4.2) plaí x( ) Ax Bu A xˆ ( ) B u( ) H y( ) Ax( ) Bu( ) A x( ) E E E E A x( ) B u( ) H Cx( ) Du( ) A A H C x( ) E E E E E B B H D u( ) A x( ), E E E (4.4) kde A B C D maice sousavy, maice vsupu, váhová maice savu, váhová maice vsupu. Z (4.4) je možné vyjádři maice esimáoru A E a B E, s využiím výrazů: A A H C 0, B B H D 0. (4.5) E E E E Dosazením výrazů (4.5), keré definují podmínku auonomnosi esimace, do rovnice (4.4) lze předpokláda x( ) A x ( ). (4.6) E Maice esimáoru A E a B E jsou A A H C, B B H D. (4.7) E E E E Dosazením vzahu (4.2) do (4.6) je možné psá E E ˆ x( ) A x( ) A x( ) x ( ). (4.8) E E ( ) ˆ( ) ˆ( ) ( ) E ( ) ˆ( ) ˆ xˆ ( ) x( ) A x( ) xˆ ( ) Ax( ) Bu( ) Ax( ) Axˆ ( ) H C x x Ax Bu H C x x Axˆ( ) Bu( ) H y( ) y( ). E (4.9) Návrh esimáoru je edy následující. V prvním kroku návrhu esimáoru je spočíá E A E A H C de de, E E 1 2... 0, kde E je jednoková maice, 34

vlasní číslo. Následně mohou bý vyčísleny maice A, B, E E A A H C, B B H D, (4.10) E E E E (Kupka, 2016). Obr. 4.2 Esimáor úplného řádu 4.2 ESTIMÁTOR REDUKOVANÉHO ŘÁDU Rozdíl předchozího esimáoru a esimáoru redukovaného spočívá v om, že redukovaný esimáor je nižšího řádu, než je řád sysému veličiny, keré je možné měři. n. Esimace nezahrnuje savové Při návrhu je uvažován savový popis, kerý je popsán sousavou rovnic x( ) Ax( ) Bu( ), y( ) Cx( ) Du( ), (4.11) kde A maice sousavy, B maice vsupu, C váhová maice savu, D váhová maice vsupu, u () vsupní veličina sousavy, y () výsupní veličina sousavy, x () savy sousavy. 35

kde Savový vekor voří dvě čási: x M () je měřená čás savu, x E () odhadovaná čás savu. Savová rovnice je x x() x M E () (), A11 A12 xm() B1 x( ) ( ). () u A A x B 21 22 E 2 (4.12) Odhadovaná čás savového vekoru je x ( ) A x ( ) A x ( ) B u ( ), (4.13) E 21 M 22 E 2 xˆ ( ) A xˆ ( ) B u( ) H x ( ), (4.14) E E E E E M x ( ) x ( ) x ˆ ( ), (4.15) E E E x ( ) x ( ) x ˆ ( ). (4.16) E E E kde A E maice sousavy v esimáoru, B E maice vsupu v esimáoru, H E maice esimáoru. S využiím předchozích rovnic je možné získa x ( ) A x ( ) A x ( ) B u( ) A x ( ) B u( ) H x ( ) E 21 M 22 E 2 E E E E M A x ( ) A xˆ ( ) A H x ( ) B B u( ). 22 E E E 21 E M 2 E (4.17) Při uvažování podmínky auonomnosi plaí A H 0, B B 0. (4.18) 21 E 2 E Dále s využiím AE A 22 je x ( ) A x ( ) A xˆ ( ) A x ( ). (4.19) E E E E E E E Výše uvedené lze použí za předpokladu, že maice A E je sabilní. Pokud maice sabilní není, ak je nuné použí pomocnou ransformaci. Pomocná ransformace je provedena následujícím způsobem xˆ x Qx ( ), (4.20) E E M 36

kde Q je maice esimáoru. Maice Q musí bý sanovena v průběhu návrhu esimáoru. xm( ) xm( ) E1 0 xm( ) 1 x( ) ˆ( ) ( ) ( ) x ˆ ( ) ( ) T x, (4.21) x x -Q E x E E 2 E kde T je maice pomocné ransformace. 1 E1 0 E2 0 Pro pomocnou ransformaci plaí: T T, -Q E2 Q E1 kde E jsou jednokové maice, různé velikosi. Savový vekor je xm ( ) M 1 x ( ) = + 1 ( ) ( ) T AT ( ) T B u x x E E E1 0 A11 A12 E2 0 xm ( ) E1 0 B1 2 21 22 1 E () u -Q E A A Q E x -Q E2 B2 A11A22Q A12 xm () B1 ( ), E () u P R x S () (4.22) P, R, S a x ( ) lze dopočía podle vzahů E P HE A21 A22Q QA11 QA12 Q, (4.23) R A A QA (4.24) E 22 12, S B B QB (4.25) E 2 1, x ( ) Px ( ) Rx ( ) Su ( ). (4.26) E M E Rovnice esimáoru je xˆ ( ) A xˆ ( ) H x ( ) B u ( ), (4.27) E E E E M E x ( ) xˆ ( ) Qx ( ), (4.28) E E M x ( ) x ( ) x ˆ ( ). (4.29) E E E xˆ ( ) Rx ( ) Axˆ ( ) ( P H ) x ( ) ( S B ) u( ) E E E E M E A R A ( x ( ) xˆ ( )) A x ( ). E E E E E E (4.30) 37

Maice A E musí bý sabilní. Sabiliu zajisíme volbou Q přidáním supně volnosi. Samoný návrh probíhá v několika krocích. Nejprve je určen deerminan E A E A QA kde ( ) de( )..., E 22 21 1 2 leží v záporné polorovině jednokové kružnice. Dále jsou určeny maice P, R, S Re 0; 1,2,3,..., edy í i i podle rovnic (4.23), (4.24), (4.25) a x ˆ ( ) x ( ), (4.31) E E x ( ) xˆ ( ) Qx ( ). (4.32) E E M Programové schéma je zobrazeno na následujícím obr. 4.3. Obr. 4.3 Esimáor redukovaného řádu Diskréní verze esimáoru je obdobou spojié verze. Maice AE, B E jsou nahrazeny maicemi ME, N E (Kupka, 2016). 4.3 KALMANOVA FILTRACE Kalmanovu filraci je možné využi je-li výsupní signál y () zaížen šumovým signálem. Výsky šumu ve výsupní veličině y () znamená, že šum se vyskyuje i ve savovém vekoru x (). Savové rovnice sysému jsou modifikovány do varu x( k 1) Mx( k) Nu( k) ω ( k), (4.33) y( k) Cx( k) v ( k), (4.34) 38

kde x( k) u( k) je savová veličina sousavy, vsupní veličina sousavy, y ( k) výsupní veličina sousavy, ω( k), v( k) vekor náhodného nezávislého šumu, M maice sysému, N maice vsupu, C váhová maice savu. Rovnice esimáoru je xˆ ( k 1) M xˆ ( ) N u( ) H y( k) Cx ˆ( k), (4.35) E E E kde ME, NE, H E jsou maice esimáoru. Chybu odhadu lze definova x( k 1) x( k 1) xˆ ( k 1) Mxˆ ( ) Nu( ) ω( k) Mxˆ ( ) Nu( ) H y( k) Cxˆ ( k). E (4.36) Je-li vyjádřena výsupní veličina y ( k), kerá se rovná y( k) Cx( k) v ( k). (4.37) Dále je možné vyjádři chybu odhadu E E x( k 1) M H C x( k) ω( k) H v ( k). (4.38) Při analýze chyby odhadu je parné, že vekory ω( k) a v ( k) jsou náhodné. Vekory přesavují náhodný proces. Maice M, C jsou definovány a maici H E je pořeba urči. Maici H E lze vypočía pomocí funkce kalman, kerou nabízí MATLAB. Synaxe příkazu je: [kes, HE, P]=kalman(sys, QN, RN, N N), kde kes je model Kalmanova esimáoru, H E maice Kalmanova esimáoru, P kovarianční maice chyby odhadu, Q kovarianční maice bílého šumu ω ( k), N R kovarianční maice vekoru šumu v ( k), N T N N kovarianční maice E ( k) ( k) ω v, (Modrlák, 2004). 39

5 STAVOVÁ REGULACE Teorie řízení ve savovém prosoru vychází ze znalosi savového popisu. S využiím savové eorii řízení je možné řídi i sysémy, u kerých běžná eorie řízení neposkyuje dobrých výsledků. Princip reguláoru ve savovém prosoru je založena na om, že přesune póly regulované sousavy. Póly regulované sousavy jsou definovány jmenovaelem přenosu. Návrh regulačního členu a návrh esimáoru savu probíhá nezávisle, j. bez inerakce. Nunou podmínkou savového řízení při výpoču akční veličiny je znalos savové veličiny. Dále bude uvažována diskréní verze reguláoru (Baláě, 2003). Obr. 5.1 Diskréní savový reguláor Sysém je definován maicemi M, N, C a D, kerá je nulová. Jedná se ak o ryze dynamický sysému. Maice M Pro sousavu plaí je sabilní. Equaion Chaper (Nex) Secion 5 x( k 1) Mx( k) Nu( k), y( k) Cx( k) Du( k), (5.1) kde x( k) u( k) y( k) je savová veličina, vsupní veličina, výsupní veličina, M maice sysému, N maice vsupu, C váhová maice savu, D váhová maice vsupu. Pro reguláor plaí r( k) Rx ( k), (5.2) kde r ( k) je regulační zásah, 40

x( k) R savová veličina, maice reguláoru. Akční zásah je definován u( k) w( k) r ( k), (5.3) kde u( k) w( k) je akční veličina, žádaná veličina. Z rovnice (5.2) je parné, že se jedná o savový proporcionální reguláor. 5.1 REGULAČNÍ OBVOD S ASTATICKÝM ČLENEM Výše zobrazený reguláor na obr. 5.1 nedokáže dosaečně odsrani účinky vnější poruchy. Jedná se edy o obdobu proporcionálního reguláoru, při kerém se vyskyuje rvalá regulační odchylka. Z ohoo důvodu je do obvodu začleněn asaický člen, kerý rvalou regulační odchylku odsraní. Do obvodu je přidán sumáor a blok předsavující zpoždění. Výsupem ěcho dvou bloků je další savová veličina x S ( k), keré je definována jako souče regulačních odchylek. jeden řád. Zavedením asaického členu do regulované sousavy je dynamika sousavy rozšířena o Obr. 5.2 Srukura regulačního obvodu s asaickým členem 41

Diskréní savový model sousavy, ryze dynamický, podle (5.1) je x( k 1) Mx( k) Nu( k), y( k) Cx( k), (5.4) kde x( k) u( k) y( k) je savová veličina, vsupní veličina, výsupní veličina, M maice sysému, N maice vsupu, C váhová maice savu. Pro nově zavedenou savovou veličinu x S ( k) plaí x ( k) x ( k 1) y( k), S S S x ( k 1) x ( k) y( k 1). S (5.5) Savovou veličinu x S ( k 1) lze vyjádři x ( k 1) x ( k) Cx( k 1) x ( k) C Mx( k) Nu( k) S S S x ( k) CMx( k) CNu( k). S (5.6) Pro savový popis regulované sousavy S R, kerý obsahuje rozšířenou dynamiku, plaí x( k1) M 0 x( k) N ( k), ( k1) ( k) u x CM E x CN S S x( k) y( k) C 0, S( k) x CR M N R R (5.7) kde M R je rozšířená maice sysému, N R rozšířená maice vsupu, C R rozšířená váhová maice savu. Rozšířený savový popis je definován x ( k 1) M x ( k) N u( k), R R R R y( k) C x ( k), R R (5.8) kde x R ( k 1) je rozšířený savový vekor, obsahující asaickou složku. 42

Ackermannova formule je varu 1 0 0 0 1 R R R G M, (5.9) R S R R kde G R je rozšířená maice řidielnosi, kerá je n1 GR N R MR N R MR N R. (5.10) Pro konečný poče kroků regulace plaí R n1 R M M. (5.11) Asaický člen způsobí, že reguláor je schopen regulova na nulovou regulační odchylku. Při návrhu je možné využí funkci acker. Synaxe oho příkazu je R R = - acker M, N, P, kde M N P je maice sysému, je maice vsupu, maice požadovaných pólů. (Kupka, 2016; Modrlák, 2004). 5.2 METODY NÁVRHU REGULÁTORU 5.2.1 Návrh savového reguláoru meodou zadání pólů Meoda je založena na volbě vlasních čísel uzavřeného regulačního obvodu. Polohou vlasních čísel v Gaussově rovině je ovlivněna dynamika regulačního obvodu. Jsou-li vlasní čísla volena nulová, ak se jedná o exrémní případ nasavení reguláoru. Reguláor vykoná regulaci v konečném poču kroků, přičemž využívá velkých akčních zásahů. Velké akční zásahy mohou vés k nesabilnímu chování sousavy. Regulace je však velmi rychlá. Poče kroků regulace je úměrný řádu sousavy n. Úkolem při řízení v konečném poču kroků spočívá ve sanovení akových hodno akční veličiny u ( k), aby bylo vyrovnáno vychýlení řízené sousavy. S využiím výše zmíněných výrazů (5.1), (5.2), (5.3) lze psá x( k 1) Mx( k) N w( k) r( k) M NR x( k) Nw( k), y( k) Cx( k) D w( k) r( k) C DR x( k) Dw( k). (5.12) 43

Regulovaná sousava musí bý rozvážena vniřně. Plaí x(0) 0, w( k) 0. Vývoj savového vekoru x( k) je x(0) 0, x(1) M NR x(0), x(2) M NR x(1) M NR x(0), 2 (5.13) x( n) M NR x(0). n Aby byl sysém sabilní, ak musí bý poloha vlasních čísel maice dynamiky uzavřeného obvodu M NR ve sabilní oblasi. V případě diskréní verze musí bý poloha vlasních čísle zmíněné maice uvniř jednokové kružnice. Určení polohy vlasních čísel pomocí volby maice reguláoru R pro SISO sysém je jednoznačné (n vlasích čísel a n prvků maice R). V případě sysému MIMO není určení polohy vlasních čísel jednoznačné. Pokud je reguláor navržen vhodně, ak počáeční rozvážení je možné v n krocích eliminova. Reguláor je navržen ak, že všechny vlasní čísla maice M NR jsou nulová a maice je nilpoenní. n x( n) M NR x (0) 0. (5.14) Princip návrhu je x( k 1) Mx( k) Nu( k), x Mx Nu M x MNu Nu 2 ( k 2) ( k 1) ( k 1) ( k) ( k) ( k 1). (5.15) Obecně pro sav x( k n) plaí x( k n) Mx( k n 1) Nu( k n 1) n n 1 n 2 M x( k) M Nu( k) M Nu( k 1) MNu( k n 1) Nu( k n 1). (5.16) Rovnici (5.16) je možné vyjádři obecně u( kn1 n n 1 ( k n 2 ( k n) ( k),,, u x M x N MN M N, u( k) (5.17) kde n1 G R je maice řidielnosi, kerá je rovna,,, N MN M N. Pro návrh regulace v konečném poču kroku plaí 44

u( kn1 n ( k n 2 ( k) u M x G R 0. (5.18) u( k) Nyní je vhodné vyjádři vekor akčních zásahů u( k n 1 u( k n 2 1 n 1 n GR M x( k) u( k) 0 0 0 1 GR M x ( k), (5.19) R uk ( ) kde R je maice reguláoru. Při éo meodě návrhu je využio Ackermannovy formule, kerá je rozdílná pro sysémy SISO a MIMO. Ackermannova formule definována pro sysém jedním vsupem a výsupem je 1 0 0 0 1 R G M, (5.20) R n n1 ( ) a a a, (5.21) 1 2 n n1 1 0 n n1 n1 1 0 ( M) M a M a M a E. (5.22) Pro sysém s více vsupy a výsupy je Ackermannova formule 1 0 0 0 R E G M. R Jak bylo uvedeno výše, ak polohu vlasních čísel pro sysém MIMO není možné urči jednoznačně. Při návrhu lze využi funkci acker, kerá je příomna v prosředí MATLAB (Kupka, 2016, Slapnička, 2010). 5.2.2 Návrh savového reguláoru s využiím kvadraického kriéria Při návrhu reguláoru se využívá kvadraické kriérium, keré vyjadřuje kvaliu regulačního pochodu. Kriérium je určeno v konečném časovém inervalu, v němž dojde k usálení přechodového děje. Základní myšlenka spočívá v om, že se hledá posloupnos akčních zásahů. Touo posloupnosí musí bý možné se dosa z jakéhokoliv savu do počáečního savu, myšleno ve savovém prosoru. Důležié je, aby posloupnos byla definována v minimálním poču kroků. 45

Formálně upravené kvadraické kriérium lze vyjádři ve varu J N 1 j1 T T T j j j j N N N x Qx u Lu x P x, (5.23) kde Q L je váhová maice odchylky savové veličiny, váhová maice akční veličiny, Maice Q a L jsou váhové. Jedná se symerické maice, jejichž vlasní čísla jsou kladná. Maice L je pro SISO sysém skalárem. Při návrhu reguláoru podle kvadraického kriéria je možné maicemi ovlivni rychlos a kvaliu regulačního pochodu. Pro akční veličinu u( k) a reguláor plaí Q, L a u( k) Rx ( k), (5.24) 1 1 T T T j j1 j1 j1. R G N P M L N P N N P M (5.25) Riccaiho rovnice je definována P T T 1 T j j1 j1 j j1 P Q M P M M P NG N P M. (5.26) Dále je rozlišována vrdá a měkká verze reguláoru. Rozdíl spočívá v penalizaci akční veličiny. Pro vrdý reguláor je maice L 0. Pro měkký reguláor je maice L 1. Maici P N je vhodné voli ak, aby vyšla veliká. Tím je docíleno rychlého usálení regulačního děje. Pro vrdý reguláor, kerý není penalizován, je například možné voli maice 0 0 0 0 0 0 Q 0 0 0, 0, N 0 100 0 L P. (5.27) 0 0 1 0 0 0 Pro měkký reguláor, kerý je výrazně penalizován, je maice možné zvoli 0 0 0 0 0 0 Q 0 0 0, 1, N 0 100 0 L P. (5.28) 0 0 1 0 0 0 (Kupka, 2016; Slapnička, 2010). 46

6 STABILITA SYSTÉMU Sabilia je základní požadavek, kerý je kladen na regulační obvod. Regulační obvod je sabilní, jesliže po vychýlení regulačního obvodu z rovnovážného savu a odeznění působících veličin, keré uo odchylku způsobily, se regulační obvod časem znovu vráí do původního rovnovážného savu. Sabilia dynamického syému je podmíněna polohou všech pólů přenosové funkce. Tedy kořenů charakerisického polynomu. Póly musí leže v určié oblasi komplexní roviny. Pro spojiý sysém se oblas nachází v levé polorovině Gaussovy roviny. V levé komplexní polorovině jsou sabilní póly a nuly. V pravé polorovině jsou nesabilní póly a nuly. Čím jsou sabilní póly více vzdáleny od imaginární osy, ím je přechodový děj více lumen. Přenosová funkce jeequaion Chaper (Nex) Secion 6 kde Ys () 1 adj se A F( s) C se A B D C B D, U( s) de se A Fs () je spojiý přenos sysému, (6.1) Y() s Laplaceův obraz výsupní veličiny, U() s Laplaceův obraz vsupní veličiny, C váhová maice savu E jednoková maice, A B D maice sysému, maice vsupu, váhová maice vsupu. Z přenosové funkce je parné, že charakerisický polynom je shodný s polynomem de se A. Kořeny jsou vlasní čísla maice A a jsou oožné s póly přenosové funkce. funkcí Zcela analogicky je možné uvažova i diskréní sysém, kerý je popsán přenosovou Y() z 1 adj se M F( z) C se M N D C N D, U( z) de se M kde F( z ) je diskréní přenos sysému, (6.2) Y( z ) Z-obraz výsupní veličiny, U( z ) Z-obraz vsupní veličiny, C váhová maice savu 47

E M N D jednoková maice, maice sysému, maice vsupu, váhová maice vsupu. V případě diskréního sysému je oblas sabiliy uvniř jednokové kružnice. Je důležié sledova polohu pólů a nul právě vůči éo kružnici (mez sabiliy). Póly a nuly, keré leží uvniř jednokové kružnice, jsou sabilní. Leží-li mimo uo oblas jsou nesabilní. Oblasi sabiliy jsou zobrazeny na obr. 6.1. Sabilní oblas pro spojiý sysém je zobrazena v levé čási obrázku. V pravé čási je znázorněna oblas sabiliy pro diskréní sysém (Baláě, 2003; Wagnerová, 2000). Obr. 6.1 Oblas sabiliy pro spojiý a diskréní sysém 48

7 IDENTIFIKACE Idenifikace je proces, při kerém je snaha získa maemaický popis reálného sysému. Při idenifikaci je pořeba sanovi paramery modelu a srukura. Srukurou je myšlen řád, yp diferenciální, diferenční rovnice (lineární, nelineární), sousava rovnic nebo přenos. Přenos sysému vyjadřuje maemaickou závislos výsupní veličiny na veličině vsupní. Paramery předsavují koeficieny rovnic nebo přenosu. Pokud je určována srukura, ak se jedná o srukurální idenifikaci. Při určování paramerů se jedná o paramerickou idenifikaci. Zkoumaný sysém lze idenifikova analyicky nebo empiricky. Analyická idenifikace je provedena na základě maemaicko-fyzikální analýzy a empirická idenifikace využívá experimenálního měření (Vrožina, 2012). 7.1 ANALYTICKÁ IDENTIFIKACE Analyická idenifikace využívá maemaického modelu, kerý je sesaven na základě maemaicko-fyzikální analýzy. Při odvozování se zpravidla vychází z echnologického nebo konsrukčního řešení sysému. Požadavek je kladen na respekování fyzikálních, chemických či maemaických zákonů, keré popisují probíhající děje v sysému. Jsou získány vzahy mezi sledovanými veličinami. Snaha je urči vzahy mezi vsupními a výsupními veličinami sousavy. Vzahy definují maemaický model, kerý vyjadřuje popis sysému. Přesnos maemaického modelu závisí na účelu jeho použií. Obecně lze říci, že čím podrobnější analýza je provedena, ím je model přesnější a výsižnější. Před idenifikací je nuné sanovi použií modelu, aby nebyl příliš složiý a nezahrnoval v sobě nepořebné deaily. K omuo přísupu jsou nuné velké znalosi z maemaické, fyzikální, echnologické oblasi. Analýza je časo složiá, proo je vhodné zjednodušova. Výhoda éo meody spočívá ve vyvoření absrakního modelu, kerý má velké uplanění. Na modelu lze následně provádě simulaci a není ak možné nenávrané poškození sysému (Vrožina, 2012). 7.2 EMPIRICKÁ IDENTIFIKACE Experimenální idenifikace vyšeřuje dynamické vlasnosi sysému. Meoda spočívá v om, že je provedeno idenifikačním měření. U éo meody je řeba příomnos fyzické sousavy, z keré jsou získána daa k následné idenifikaci. Daa poskyují informace výsupního signálu v závislosi na signálu vsupním. Na sousavu je pořeba působi vhodnými signály a 49

zaznamenáva odezvu výsupů. Výhoda éo meody spočívá v její jednoduchosi. Problém může nasa s cenovou náročnosí měřicího vybavení. Experimenální idenifikace není podmíněna velkými znalosmi, na rozdíl od analyické analýzy. Model ako získaný popisuje konkréní reálné zařízení. V praxi je časo využíváno obou kombinací. Nejprve je vyvořen maemaicko-fyzikální model. Model je následně zpřesněn pomocí da, keré jsou získaná měřením. Získané paramery z reálného sysému jsou dosazeny do modelu a ím je provedeno zpřesnění. Následně je provedena simulace vyvořeného modelu a jsou porovnány výsupní signály modelu a reálného sysému. Je však nuné, aby vsupní signál modelu a reálného sysému byl oožný. Výsupní daa ze simulace maemaického modelu a experimenálního měření, keré je provedeno na reálném modelu se mohou liši. Teno rozdíl je možné do určié míry odsrani vhodnou změnou parameru maemaického modelu. Změnu parameru je vhodné provés jen v určiém rozsahu, kerý je definovaný fyzikálními vlasnosmi sysému. K idenifikaci neznámých paramerů lze použí mnoho meod. Mezi nejpoužívanější meody paří meoda nejmenších čverců. Meoda se využívá při regresní analýze k aproximaci naměřených hodno nějakou známou funkcí. Meoda hledá vhodné kriérium, keré je sanoveno pomocí souču kvadráů odchylek daných průběhů. Experimenální idenifikaci lze provés dvěma způsoby. Idenifikaci je možné realizova on-line nebo off-line. On-line idenifikace je provedena v reálném čase přímo na reálné sousavě. U off-line idenifikace se provede měření s cílem získání da. Následuje jejich zpracování, keré je provedeno mimo zkoumané zařízení. Srukura idenifikačního schémau je znázorněna na obr. 7.1. Při off-line idenifikaci je k dispozici soubor měření, ve kerém je vekor vsupu u () a vekor výsupu y () v definovaném čase. Na obr. 7.1 je znázorněno schéma idenifikace. U off-line idenifikace blok idenifikovaná sousava je nahrazen souborem měření. Téo idenifikace je v práci využio (Vrožina, 2012; Noskievič, 1999). Obr. 7.1 Srukura idenifikace 50

8 LABORATORNÍ SOUSTAVA MOTOR-GENERÁTOR 8.1 POPIS SOUSTAVY Jedná se o laboraorní sousavu, kerá je vyvořena za účelem řízení. Na sousavě lze provádě maemaicko-fyzikální analýzu, experimenální idenifikaci, simulaci. Sousava je vořena z několika čásí. První čás voří sejnosměrný moor, kerý je spojen prosřednicvím pevné spojky ke sejnosměrnému generáoru. Oáčky generáoru jsou snímány pomocí achodynama. Schéma laboraorní sousavy je znázorněno na obr. 8.1. Obr. 8.1 Blokové schéma sousavy Sousava je napájená síťovým napěím 230 V/50 Hz. Vsupní napěí u(), kerým se řídí oáčky sejnosměrného mooru, je možné voli v rozsahu od 0 V do 10 V. Výsupní napěí je definováno napěím achodynama. Too napěí je rovněž výsupním signálem y() sousavy. Výsupní napěí je v rozsahu 0 V až 10 V. Laboraorní model dále obsahuje 12V zdroj, kerým jsou napájeny řídicí obvody. Na obr. 8.2 je zobrazen laboraorní model (Modrlák, 2006). 51

Obr. 8.2 Laboraorní model (Modrlák, 2006) 52

8.2 KOMUNIKACE SOUSTAVY S PC Komunikace sousavy se solním počíačem je zprosředkována pomocí mulifunkční měřicí kary MF634 od společnosi Humusof. Kara disponuje komplení sadou periferií pro běžné měřicí a řídicí aplikace. Ke karě jsou dosupné knihovny pro vývoj v MATLABu a ovladače Simulink Deskop Real-Time. Kara obsahuje osm 14-biových A/D převodníků, přičemž je možné vzorkova současně všechny kanály. Dále obsahuje osm 14-biových D/A převodníků. Digiální čás zahrnuje 4 kanály vsupů pro inkremenální snímače, 4 číače/časovače určené k měření frekvence, číání pulzů, generování PWM (Humusof s.r.o.). Na měřicí karě jsou v éo práci využiy analogové vsupy a výsupy. K laboraornímu modelu se lze připoji ke konekoru. Jednolivé signály konekoru laboraorního modelu jsou popsány na obr. 8.3. Obr. 8.3 Konekor laboraorního modelu Signály z konekoru laboraorní sousavy jsou připojeny na desku A pomocí plochého AWG kabelu, kerý obsahuje 26 vodičů. Ze svorkovnice desky A jsou vyvedeny pouze 3 signály, k připojení desky B. Jedná se o vsupní signál sousavy A0 (černý), výsupní signál N0 (bílý) a společná nula 0V (šedý). Tyo 3 signály, jsou připojeny na erminálovou desku B, edy na svorku číslo 1, 9, 20. Deska B je připojena k měřicí karě MF634 pomocí plochého vodiče, kerý obsahuje 40 vodičů. Kara je vsazena do sběrnice PCI Express, kerá je příomná na základní desce solního počíače. Spojení desky A s deskou B je zobrazeno na obr. 8.4. 53

Obr. 8.4 Spojení desek 54

9 NÁVRH STAVOVÉHO ŘÍZENÍ SOUSTAVY Tao kapiola je prakickou čásí práce. Kapiola obsahuje návrh savového řízení idenifikované sousavy moor-generáor s využiím MATLABu, resp. Simulinku a následné řízení laboraorní sousavy. Prakická čás začíná idenifikací laboraorního modelu. Idenifikací je získán přenos sysému, kerý předsavuje maemaický model. Z idenifikovaného přenosu je určen vniřní popis sysému. Na základě něj je proveden návrh esimáoru a savových reguláorů. Následně je provedeno řízení laboraorního modelu s využiím esimáor. Ke srovnání je sousava řízena PI reguláorem. Laboraorní sousava se mění v čase spojiě, z ohoo důvodu budou dále maice uvedeny pro spojiý savový popis. Pro pořeby diskréního reguláoru budou maice diskreizovány. Equaion Chaper (Nex) Secion 9 9.1 IDENTIFIKACE SOUSTAVY Při návrhu savového řízení sousavy moor generáor je provedena nejprve idenifikace dané laboraorní sousavy. Idenifikace je provedena off line způsobem. Daa, kerá byla získána měřením, jsou idenifikována mimo experimenální měření. Schéma je vyvořeno s využiím Simulink Deskop Real Time. Schéma slouží k záznamu da je zobrazeno na obr. 9.1. Obr. 9.1 Schéma k idenifikaci sysému V blocích Analog Oupu a Analog Inpu je možné voli mimo jiné i vzorkovací periodu. Jelikož se jedná o rychlou sousavu, ak je zvolena vzorkovací perioda 0,001 sekundy. Velikos periody je zvolena s přihlédnuím na maximální poče zracených vzorků. Na vsup sousavy je přivedena posloupnos hodno budící veličiny u () a bylo zaznamenáno chování modelu, keré popisuje výsupní veličina y (). Měření bylo provedeno v celém funkčním rozsahu sousavy moor generáor. Daa, kerá byla získána měřením laboraorní sousavy, jsou znázorněna na obr. 9.2. 55

Z obr. 9.2 je parné, že se může jedna o lineární sousavu. Dále je znázorněna saická charakerisika, kerá definuje závislos výsupní veličiny y() na vsupní veličině usáleném savu. Na obr. 9.3 je vidě, že rozdíl při zvyšování a snižování napěí je zanedbaelný. Téměř se jedná o lineární charakerisiku. Obr. 9.2 Měření saické charakerisiky u() v Obr. 9.3 Saická charakerisika 56

Z celého funkčního rozsahu sousavy (obr. 9.2) je vybrána oblas, ve keré bude snaha sousavu řídi. Pracovní oblas, kerá byla vybrána, se nachází v rozsahu od 4 V do 6,5 V. V omo rozsahu bude provedena idenifikace sysému. Při idenifikaci je nuné daa posunou do počáku, proože přenos získaný idenifikací je definován při nulových počáečních podmínkách. Obr. 9.4 znázorňuje oblas pracovního rozsahu, kerá bude podrobena idenifikaci. Obr. 9.4 Oblas pracovního bodu Při idenifikaci dochází k proložení měřených da zvoleným modelem. Cíl je nají paramery zvoleného modelu, ak aby došlo k co nejpřesnější shodě modelu s naměřenými day. V idenifikaci je využio funkce fminsearch, kerá hledá minimum funkce. Navrhovaný model obsahuje více proměnných. Hledaní minima začíná návrhem odhadovaných paramerů. Funkce vrací nalezené paramery modelu. Při hledání přenosu je důležié odhadnou řád sousavy, kerým budou daa proložena. Nabízí se přenos prvního, druhého a vyššího řádu. Vyšší řád přenosu obsahuje více časových konsan, z nichž někeré mohou bý zanedbaelné. Z oho důvodu daa byla aproximována přenosem prvního a druhého řádu. Na základě T E M E M kriéria, keré je formulováno: K ( y y ) ( y y ), byl zvolen aproximační přenos sousavy. Hodnoa kriéria vyjadřuje správnos proložení získaného modelu s naměřenými day. Při idenifikaci bylo rozhodnuo, s přihlédnuím na hodnou kriéria a poměru časových konsan, že daa vhodně vysihuje přenos druhého řádu. Na obr. 9.5 je zobrazen naměřený 57

výsup sousavy y(), kerý je proložen maemaickou závislosí. Maemaická závislos y m () definuje výsledný maemaický předpis, kerý předsavuje přenos idenifikovaného laboraorního modelu. Obr. 9.5 Aproximace výsupní veličiny Z obr. 9.5 je parné, že proložení da maemaickou funkcí je odpovídající. Cílem idenifikace bylo urči maemaický model, kerý je vyjádřen přenosem 0,9748 F( s). (9.1) 2 0, 00025s 0, 07608s 1 Přenos v normovaném varu je 3899, 2 FN ( s). (9.2) 2 1s 304,3s4000 Obr. 9.6 Simulace přechodové charakerisiky 58

Po sanovení přenosu je vhodné vykresli přechodovou charakerisiku. Přechodová charakerisika odpovídá odezvě sysému na jednokový skok při nulových počáečních podmínkách. Přechodová charakerisika je znázorněna na obr. 9.7. Obr. 9.7 Přechodová charakerisika Z přechodové charakerisiky lze konsaova, že se jedná o saickou sousavu. Proože se hodnoa výsupní veličiny y() při změně vsupní veličiny u() usálila na určié hodnoě. Také je parné, že se jedná o rychlou sousavu, proože dojde k usálení asi v čase 0,45 s. Sousava má velikos zesílení 0,97. Z přenosu (9.2) je možné urči póly přenosu s využiím MATLABu. Jedná se o kořeny jmenovaele. Oba póly přenosu jsou záporné. Jejich velikos je 290,4 a 13,7. 9.2 URČENÍ VNITŘNÍHO POPISU Z přenosu (9.2), kerý předsavuje vnější popis, lze vyjádři popis vniřní. U vniřního popisu je rozlišována normální forma řidielnosi a normální forma pozorovaelnosi. V normální formě řidielnosi jsou sanoveny maice z přenosu (9.2) následujícím varem A 0 1 0,, 1 0, 0. 4000 304,3 B 3899, 2 C D (9.3) V normální formě pozorovaelnosi jsou maice varu 59

A 304,3 1 0,, 1 0, 0. 4000 0 B 3899, 2 C D (9.4) varu Savový popis sysému, kerý obsahuje maice v normální formě řidielnosi (9.3), je ve 0 1 0 x( ) ( ) ( ), 4000 304,3 x 3899, 2 u y( ) 1 0 x( ) 0 u( ). (9.5) Jsou-li do savového popisu dosazeny maice (9.4), popis je 304,3 1 0 x( ) ( ) ( ), 4000 0 x 3899, 2 u y( ) 1 0 x( ) 0 u( ). (9.6) Sousavu definovanou savovým popisem, pro jednolivé formy, je možné simulova. Simulaci lze provés jeli na vsup sousavy přiveden jednokový skok. Simulační schéma je na obr. 9.8. Obr. 9.8 Simulační schéma savové rajekorie Simulační schéma je pro obě formy oožné. Jsou pouze přepsány maice A, B, C, D podle příslušných forem (9.3), (9.4). Dále bude zobrazen průběh savové rajekorie a jednolivých savů pro normální formu řidielnosi, kerá je dále v práci uvažována. Na obr. 9.9 je znázorněn průběh savové rajekorie. Na následujícím obr. 9.10 je znázorněn vývoj savu sysému. 60

Obr. 9.9 Průběh savové rajekorie Obr. 9.10 Průběh savu sysému Průběh prvního savu x 1 () odpovídá výsupní veličině y (). Průběh druhého savu x 2 () odpovídá derivaci výsupní veličiny y (). Na inervalu od 0 sekundy do 0,011 sekundy je parný prudký nárůs hodnoy výsupu sousavy, kerý je charakerizován maximální hodnoou průběhu složky savu x 2 (). Nadále dochází k posupnému usálení výsupu, a proo hodnoa derivace výsupní veličiny y () konverguje k nule. 61

9.3 NÁVRH ESTIMÁTORU Návrh esimáru úplného a redukovaného řádu je proveden v omo oddíle. Sousava je popsána spojiým savovým popisem v normální formě řidielnosi 0 1 0 x( ) ( ) ( ), 4000 304,3 x 3899, 2 u C A B y( ) 1 0 x( ) 0 u( ). D (9.7) u( ), y( ) Popis obsahuje maice A, B, C, D, jejich znalos je při návrhu esimáoru nezbyná. Navržen je diskréní esimáoru úplného řádu. Při jeho návrhu esimáoru jsou signály diskreizovány pomocí bloku Zero-order hold. Ten předsavuje varovač nulého řádu. Při návrhu esimáoru je nuné vypočía maice M, N pomocí vzahů M e A T, (9.8) N A 1 ( M E) B. (9.9) maici K výpoču je pořeba znalos periody vzorkovaní T.V esimáoru je pořeba vypočía H E. Nuné je zvoli vhodné. Jelikož je sousava druhé řádu, ak je při návrhu nuné zada dva póly. Volba maice H E je aková, aby vlasní čísla 1 a 2 ležely uvniř jednokové 1,33 kružnice. Pro volbu vlasních čísel 1 2 0,2 je maice H E 330. Schéma esimáoru úplného řádu, kerý odhaduje savy sousavy je zobrazeno na obr. 9.11. 62

Obr. 9.11 Simulační schéma esimáoru úplného řádu Průběh odhadované výsupní veličiny sysému y _ odhad( ) a odhad savu x _ odhad( ) je zachycen na následujícím obr. 9.12. Teno esimáor odhaduje všechny savové veličiny, keré jsou měřielné y () i neměřielné x (). Obr. 9.12 Průběh výsupních veličin esimáoru úplného řádu 63

výpoče maic Dalším esimáorem, kerý lze navrhnou je esimáor redukovaného řádu. Sousava a M, N je uvažován analogicky. Ze vzahů (9.8) a (9.9) je možné získa maice podle následujících rovnic, s ím že je pořeba definova maici Q, HE M21 M22Q QM11 QM12 Q, (9.10) N N QN (9.11) E 2 1, M M QM. (9.12) E 22 12 Na obr. 9.13 je simulační schéma s esimaorem redukovaného řádu. Obr. 9.13 Simulační schéma esimáoru redukovaného řádu x (). Na obr. 9.14 je znázorněn průběh výsupní veličiny y () a odhad savového vekoru 64

Obr. 9.14 Průběh výsupní veličiny a savu sysému Redukovaný esimáor je nižšího řádu, než je řád sysému. Esimace nezahrnuje savové veličiny, keré jsou měřené y (). Teno esimáor je cilivý na chybu měření. 9.4 NÁVRH REGULÁTORU METODOU PŘIŘAZENÍ PÓLŮ Při návrhu reguláoru je využio Ackermannovy formule. Zde je pořeba vypočía maice M, N. Při návrhu je uvažován reguláor s asaickým členem. Maice savového popisu je nuné rozšíři. Rozšíření se provede následovně M r M CM 0 1, (9.13) N r N CN, (9.14) r 0 C C. (9.15) Jsou-li rozšířeny maice, ak lze vypočía maici reguláoru R r. Při výpoču je využio funkce acker. Funkce acker je definována řemi paramery: Rr acker( M r, N r,p r). 65

Vekor Pr shodný s počem řádků maice definuje póly uzavřeného regulačního obvodu. Poče prvků vekoru Mr. Vhodná volba polohy pólu je důležiá. Poloha souvisí s kvaliou, resp. rychlosí regulačního pochodu. Schéma na obr. 9.13 bylo rozšířeno o savový reguláor a asaický člen, jak je zobrazeno na obr. 9.15. Pr je Obr. 9.15 Regulační obvod Jak již bylo zmíněno, poloha pólů má vliv na rychlos regulačního pochodu. Pro názornos byly voleny póly, keré jsou obsaženy v následujícím vekoru Volba č. 1: P r 0,5 0,5 0,5. (9.16) Volba č. 2: P r 0,8 0,8 0,8. (9.17) Volba č. 3: P r 0,3 0,3 0,3. (9.18) Pr. 66

Průběhy regulačních pochodů z volby vekoru zobrazeny na následujících obr. 9.16, obr. 9.17 a obr. 9.18. Pr podle (9.16), (9.17) a (9.18) jsou Obr. 9.16 Regulační pochod pro volbu č. 1 Obr. 9.17 Regulační pochod pro volbu č. 2 67

Obr. 9.18 Regulační pochod pro volbu č. 3 Z výše uvedených průběhů na obr. 9.15, obr. 9.16 a obr. 9.17 je parné, že volbou pólů je možné ovlivni dynamiku regulačního pochodu. 9.5 NÁVRH REGULÁTORU PODLE KVADRATICKÉHO KRITÉRIA Při návrhu ohoo reguláoru je využio kvadraického kriéria. Keré se posupem času minimalizuje. Minimalizací kriéria je docíleno oho, že savové veličiny posupem času konvergují k nule. S ím však souvisí velikos akčních zásahů veličiny y (). u() a překmi regulované Způsob chování reguláoru v regulačním obvodu je ovlivněn penalizačními maicemi Q, L, P. Je možné penalizova regulační odchylku maicí Q nebo penalizova akční zásah N maicí L, případně maicí P N, kerou docílíme rychlého zklidnění regulačního pochodu. Při simulaci je využio schéma, sejné jako při návrhu pomocí volby pólů, keré je vyobrazeno na obr. 9.14. Simulace chování reguláoru, kerá je provedena pro měkkou verzi je na obr. 9.19 a obr. 9.20. Maice jsou 68

0 0 0 1000 0 0 Q 0 0 0, L 1, P 0 1000 0. N 0 0 1 0 0 1000 Obr. 9.19 Regulační pohod s měkkým reguláorem Obr. 9.20 Záznam akční veličiny měkkého reguláoru 69

Simulace chování reguláoru pro vrdou verzi je na obr. 9.21 a obr. 9.22. Maice jsou 0 0 0 1000 0 0 Q 0 0 0, L 0, P 0 1000 0. N 0 0 1 0 0 1000 Obr. 9.21 Regulační pohod s vrdým reguláorem Obr. 9.22 Záznam akční veličiny vrdého reguláoru 70

Z výše uvedených obrázku je parný rozdíl mezi vrdým a měkkým reguláorem. Měkký reguláor využívá menšího akčního zásahu, s ím souvisí delší doba regulace. V případě vrdého reguláoru je akční zásah velký a doba regulace je kraší. 9.6 REGULACE SOUSTAVY PI REGULÁTOREM Řízení laboraorní sousavy bylo nejprve provedeno s využiím PI reguláoru. Derivační složka reguláoru byla vynechána. Tao složka reguláoru je nevhodná, proože regulovaná sousava je zaížená šumem. Derivační složka by eno šum zesilovala, což je nežádoucí. Před samoným řízením reálného modelu, byl v Simulinku vyvořen regulační obvod s PI reguláorem. S využiím idenifikovaného přenosu a průběhu přechodové charakerisiky je možné zjisi dobu průahu a náběhu, společně se zesílením sousavy. Z ěcho ří paramerů lze dopočía paramery PI reguláoru. Jedná se výpoče, na základě Ziegler Nicholsovy meody z PCH. Vypočíané zesílení reguláoru je rovno 2,7 a inegrační časová konsana je 0,003 s. Vypočíané paramery reguláoru byly nasaveny v simulaci. Následně byly použiy při řízení reálného modelu. Paramery však nevykazovaly sejné výsledky, proo byly přizpůsobeny. Regulační obvod je zobrazen na obr. 9.23. Obr. 9.23 Regulační obvod s PI reguláorem Na následujícím obr. 9.24 je v horní čási zobrazen regulační pochod s PI reguláorem, kdy byl simulován model získaný idenifikací. V dolní čási obr. 9.24 je řízen laboraorní model PI reguláorem. 71

Obr. 9.24 Porovnání pochodů s PI reguláorem Při bližším zkoumání průběhu na obr. 9.24 lze konsaova následující. Doba, kdy se regulační veličina y() usálí na nové žádané hodnoě w() V případě řízení laboraorního modelu je docíleno usálení asi po 1 s. je v simulaci přibližně po 0,3 s. Na dalším obr. 9.25 je znázorněn průběh regulačního pochodu s PI reguláorem. Obr. 9.25 Regulační pochod s PI reguláorem 72

Regulační obvod, obsahující PI reguláor, byl esován při působení poruchy na výsupu sousavy. Působení poruchy bylo v čase 5 s a 7 s. Velikos hodnoy poruchy byla v obou případech rovna jedné, ale rozdílného znaménka. Regulační pochod je znázorněn na obr. 9.26. Obr. 9.26 Regulační pochod s PI reguláorem při působení poruchy 9.7 REGULACE SOUSTAVY STAVOVÝM REGULÁTOREM veličině Při řízení laboraorní sousavy je nuné eliminova šum, kerý paraziuje na výsupní y() dané sousavy. Vyskyuje-li se eno šum na výsupu sousavy, lze eno šum přepokláda i ve savové veličině x(). S využiím Kalmanova filru, je možné vliv ohoo šumu minimalizova. Kalmanův filr vychází z návrhu esimáoru úplného řádu. Schéma v Simulinku, na kerém je vhodně zapojen Kalmanův filr, je znázorněno na obr. 9.27. Na obr. 9.28 je znázorněn výsupní signál sousavy y () a filrovaný signál y () filr. Při návrhu Kalmanova filru je srukura zapojení oožná se srukurou esimáoru, kerý je vyobrazen na obr. 9.11. Výpoče maice MATLAB. Synaxe příkazu je [kes, HE, P]=kalman(sys, QN, RN, N N). H E je proveden pomocí funkce kalman, kerý nabízí 73

Obr. 9.27 Schéma určené k filraci výsupní veličiny laboraorní sousavy Obr. 9.28 Filrace výsupní veličiny Ze záznamu na obr. 9. 28 je parné, že došlo k jisé minimalizaci rozpylu šumového signálu. Při návrhu byly náhodně voleny koeficieny maic QN, RN, N N, proože šum vykazuje sochasické vlasnosi. S využiím ako filrovaného signálu mohlo dojí k realizaci regulačního obvodu. 74

Regulační obvod se skládá z filru, esimáoru a savového reguláoru. V podsaě byly schéma na obr. 9.15 a obr. 9.27 sjednoceny. Schéma pro řízení laboraorní sousavy je znázorněno na obr. 9.29. Obr. 9.29 Regulační obvod určený k řízení laboraorní sousavy N Savový reguláor byl navrhnu na základě kvadraického kriéria. Penalizační maice Q, P a L byly zvoleny v případě vrdého reguláoru: 0 0 0 100 0 0 Q 0 0 0, L 0, P 0 100 0. N 0 0 1 0 0 100 V případě měkkého reguláoru: 75