Zadání bakalářské práce

Zadání bakalářské práce Ústav: Ústav fyzikálního inženýrství Student: Ondřej Wojewoda Studijní program: Aplikované vědy v inženýrství Studijní obor: Fyzikální inženýrství a nanotechnologie Vedoucí práce: Ing. Lukáš Flajšman Akademický rok: 217/18 Ředitel ústavu Vám v souladu se zákonem č.111/1998 o vysokých školách a se Studijním a zkušebním řádem VUT v Brně určuje následující téma bakalářské práce: Disperzní relace magnonických krystalů s netriviální prostorovou distribucí magnetické anizotropie Stručná charakteristika problematiky úkolu: Dynamika magnetizace s jejím podoborem magnonika je v současné době jedna z disciplín slibující zařízení pro budoucí logické obvody ve frekvenčním spektru v řádu terahertzů. K dosažení funkčnosti těchto obvodů, založených na magnonických zařízeních, je nutné navrhnout struktury se zakázaným pásem frekvencí, kde právě zakázaný pás frekvencí může být uměle vyvolán například periodickou prostorovou modulací aktivních vlastností magnetického média (magnetizace, tloušťka materiálu, ). Klasický přístup spoléhá na litografické metody a z nich plynoucí takzvané dvoukomponentní magnonické krystaly, kde jedním z komponent je magnetický a druhým nemagnetický materiál. Pokročilé materiály, jako například metastabilní fcc železo na měděném substrátu, slibují netušené možnosti přímého zápisu magnetických struktur do nemagnetické matrice. Jednou z již prokázaných možností je téměř kontinuální modulace saturační magnetizace materiálu s rozlišením v řádu desítek nanometrů. Další poměrně nově zjištěnou možností přípravy magnonických krystalů je cílená prostorová změna směru magnetické anizotropie opět s rozlišením zápisu pod 1 nanometrů. Cílem bakalářské práce je využít těchto vlastností a studovat odezvu popsaných krystalů pomocí mikromagnetických simulací a tyto výsledky aktivně začlenit do úvah o magnonických logických obvodech. Fakulta strojního inženýrství, Vysoké učení technické v Brně / Technická 2896/2 / 616 69 / Brno

Cíle bakalářské práce: 1) Proveďte rešeršní studii mikromagnetických simulací s přihlédnutím k výpočtu disperzních relací magnonických krystalů. 2) Navrhněte vlastní algoritmus výpočtu disperzních relací magnonických struktur. 3) Aplikujte výše zmíněný algoritmus na magnonické krystaly s prostorovou modulací magnetizace a uniaxiální anizotropie. 4) Studujte lom spinových vln na rozhraní dvou magnetických materiálů se změnou magnetizace/anizotropie a navrhněte analytický/ numerický model popisující chování spinové vlny na rozhraní. Seznam doporučené literatury: NIKITOV, S. A., et al. Spin waves in periodic magnetic structures-magnonic crystals. Journal of Magnetism and Magnetic Materials. 21, 236, 32 33. GUBBIOTTI, G., et al. Collective spin modes in monodimensional magnonic crystals consisting of dipolarly coupled nanowires. Applied physics letters. 27, 9, 923. STIGLOHER, J., et al. Snell s Law for Spin Waves. Physical review letters. 216, 117, 3724. Termín odevzdání bakalářské práce je stanoven časovým plánem akademického roku 217/18 V Brně, dne L. S. prof. RNDr. Tomáš Šikola, CSc. ředitel ústavu doc. Ing. Jaroslav Katolický, Ph.D. děkan fakulty Fakulta strojního inženýrství, Vysoké učení technické v Brně / Technická 2896/2 / 616 69 / Brno

3

M m = MdV, V V B = µ ( H + M ), µ H B ˆχ M = ˆχ H. 1

2 M E vým = A dv, V A M s A > A < E Z = µ M H ext dv, V H ext E d = 1 2 µ M H d dv, V H d H H d + H ext B = µ ( H d + M + H ext ) B = M s H d + H ext = M, M

E anis = K 1 sin 2 ϑ + K 2 sin 4 ϑ +, K i ϑ i K i H anis = 2K 1 µ M s, E cel = E vým + E Z + E d + E anis + E o, E o H ef = 1 µ E cel M. E cel / M ( E cel m) m

a) b) c) B ext d) Bext Ku

i d dt S = [ S,HZ ], H Z H Z = gµ Bµ S H ext, g µ B S x S x S y S z [S x,h Z ] = gµ Bµ (H y [S x,s y ] + H z [S x,s z ]). [S x,s y ] = i S z, [S y,s z ] = i S x, [S z,s x ] = i S y. [S x,h Z ] = gµ Bµ i (H y S z H z S y ). d dt S = gµ ( ) Bµ S H. H Hef dm = γµ M Hef, dt γ γ = ge/2m e g e m e d M dt = γµ M Hef + α M s M d M dt, α α γ

a) b) H ef H ef d M dt α s M d M dt d M dt M M B (t, r) = B ext e z + b (t, r), H (t, r) = H ext e z + h (t, r), B ext H ext b h h =, h b b =. b = ˆµ h. ˆµ ˆµ = µ (Î + ˆχ ),

Î ˆχ e iωt ˆµ ˆµ = µ 1 + χ iκ iκ 1 1 + χ χ = ω ω M ω 2 ω, 2 κ = ωω M ω 2 ω, 2, ω = γµ H ω M = γµ M S ψ ( ψ) = h = ψ. (1 + χ) (ˆµ ψ) =. [ 2 ] ψ x + 2 ψ + 2 ψ 2 z 2 y =, 2 ψ e i( k r ωt) (1 + χ) ( k 2 x + k 2 z) + k 2 y =. y

I. dielektrikum z H ext k d II. feromagnetikum y x III. dielektrikum x (1 + χ) ( k 2 x + k 2 z) =. (1 + χ) =, ( k 2 x + k 2 z) =. kz 2 = kx. 2 x k x k z ψ I (x,z ) = Ce kz +ik x, ψ II (x,z ) = ( A e kz + Be kz) e ikx, ψ III (x,z ) = De kz +ik x, y k z = k x k

1 Dielektrikum Dielektrikum M z M zmax Dielektrikum Dielektrikum k H ext H ext k 1 m z A,B,C,D Ce kd 2 = A e kd 2 + Be kd 2, De kd 2 = A e kd 2 + Be kd 2. b z b z = iµ κh x + µ (1 + χ) h z. Ce kd 2 = κ ( ) ( ) A e kd kd kd kd 2 + Be 2 (1 + χ) A e 2 Be 2, De kd 2 = κ ( ) ( ) A e kd 2 + Be kd kd 2 (1 + χ) A e 2 Be kd 2. ( kd (χ + 2 κ) e 2 (χ + κ) e kd 2 (χ κ) e kd 2 (χ + 2 + κ) e kd 2 ) ( A B ) =. ω 2 = ω (ω + ω M ) + ω2 M 4 ( 1 e 2k d ),

18 16 14 12 Damonův-Eshbachův mód FMR Maximální frekvence 1 8 2 4 6 8 1 12 14 16 k (rad/cm) 1 83 ka m 1 z dω d ω( k) k v g = ω2 Md 4ωe 2kd k = ω 2 FMR = ω (ω + ω M ). k ω 2 max = lim k [ ω (ω + ω M ) + ω2 M 4 ( 1 e 2k d )] = 1 4 (2ω + ω M ) 2.

a) b) d I:dielektrikum II:feromagnetikum y III:dielektrikum z H ext k x 1 8 6 4 Zpětné vlny FMR Minimální frekvence 2 2 4 6 8 1 12 14 16 k (rad/cm) x1 x 1 83 ka m 1 [ ( )] 1 e ω 2 kd = ω ω + ω M. kd k k [ ( )]] 1 e ωmin 2 kd = lim [ω ω + ω M = ω 2 k kd. ω 2 = ω (ω + ω M F ), F [ F = 1 + P (1 P ) ω ] M sin 2 (φ) cos 2 (φ) ω

a) b) I. dielektrikum z k y feromagnetikum d II. feromagnetikum y H ext x H ext ϕ k III. dielektrikum z x z x P P = 1 1 e kd. kd φ k H ext a) b) 18 18 16 14 12 1 8 Obecný vztah H k Obecný vztah H k Damon-Eshbach Zpětné vlny 6 6 2 4 6 8 1 12 14 16 2 4 6 8 1 12 14 16 k (rad/cm) x1 k (rad/cm) x1 16 14 12 1 8 φ=9 φ=7 φ=6 φ=4 φ=3 FMR φ=1 φ= φ 1 83 ka m 1

3 3 3

3 a) b) 3 H i d = 1 µ ˆN i,j M j. ˆN i,j = 1 ( ) 1 1 d x d y d z 4π r r (i k j k )d k e k + r r d r d r, k Ω Ω d k x,y z Ω r H vým = 2 A 6 m i m, µ M s d i m i i d i i i=1

M z M s -2 192 3 ps 192 24 ps 192 x1-7 18 ps 192 12 ps 192 6 ps 192-1 - x (cm) 2 y (nm) 192 42 ps 36 ps M z čas (ps) M s -1 1 x 1-7 x1-48 -1 1 x1-42 - 1 x1 36-1 - x 1 1 3-1 - 1 x1 24-1 -1 1 x1-18 -1 1 x1-12 6-1 -1-1 -1-1 x1-7 x (cm) x1-7 x (cm) x1-7 M z M s H anis = 2K 1 µ M s. ˆΓ y x

a) 1 8 1,8 b) 1 8 x1x -4 Čas (ns) 6 4,6,4 Amplituda Čas (ns) 6 4 M z M s 2,2 2 1 1 x (cm) x x1-4 1 1 x (cm) x1-4 c) d) 1 x1x -6 1 8 Čas (ns) 6 4 2 1 1 x (cm) x1-4 M z M s 1 Damonův-Eshbachův mód, 1 1, 2 2, k (rad/cm) x1x 1,8,6,4,2 Hustota stavů ˆΓ ˆΓ i,j win = ˆω i,j ˆΓi,j. ˆω ( ) ( ) πi πj ˆω = sin 2 sin 2, N x 1 N y 1 N x N y x y ˆΓ win ˆΠ ˆΓ win+det = ˆΓ win ˆΠ.

3 3 3 S 12 S 21 k D i = j=j max j=1 ω i (k i,j ),

m n - ( z - - 1-1 - 2-2 a) z (nm) - -1-1 -2 I -2-4 -3-2 -1 1 2 3 4 x (nm),6,4,2 B B max b) - z (nm) -1-1 -2 I/2 I I/2-2 -4-3 -2-1 1 2 3 4 x (nm) c),6,4,2 B B max Normovaná intenzita buzení 1,8,6,4,2 Anténa Koplanární vlnovod 1 2 3 4 6 k (rad/cm) x 1 1 1 B x z x

a) b) c) 1 1 1 1 2 4 6 8 k (rad/cm) x1 Damonův-Eshbachův mód Numerická IHS Analytická IHS Buzené prostorové frekvence 1 2 4 6 8 k (rad/cm) x1 2 4 6 8 k (rad/cm) x1 1 1,8,6,4,2 Normovaná hustota stavů 1 M s = 83 ka pj m A = 1,3 m α =,8 B ext = mt 1 1 1 D i i ω i (k i,j ) i j D i = j=j max j=1 ω i (k i,j ) F(h det ) j, F(h det ) j x

sin (ϑ i ) = n 2 sin (ϑ t ), n 1 n i ϑ i ϑ t x m x,i = A i e i(k x,ix+k y,i y ω i t), m x,r = A r e i( kx,rx ky,ry ωrt), m x,t = A t e i(kx,tx+ky,ty ωtt). A i e i(k y,iy ω i t) + A r e i( ky,ry ωrt) = A t e i(ky,ty ωtt) ω i = ω r = ω t k y,i = k y,r = k y,t. k y = k sin (ϑ)

Prostředí 1 Prostředí 2 kt kr ϑ r ϑ i ϑ r ki sin (ϑ i ) = k r k i sin (ϑ r ) sin (ϑ i ) = k t k i sin (ϑ t ), k i 3 x a(x,y) b(x,y)

P = F(a) Q = F(b). P p Q p ( ) F R = F 1 (Pp ) F (Q p ) F (P p ) F (Q p ) H, H R 18 ϑ r = arcsin (n sin (ϑ i )), n = n i n r n i n r n =,48 8

a) 4 y (μm) 2 a(x,y) b) 2 Úhel lomu ( ) 2 1 1 d) 2 Úhel lomu ( ) Snellův zákon (spinové vlny) Mikromagnetická simulace Snellův zákon (optika) 1 2 3 4 6 Úhel dopadu ( ) 1 1 1 x (μm) c) 4 6 8 1 12 14 16 18 Externí pole (mt) Úhel lomu ( ) e) 18 16 14 12 Saturační magnetizace v prostředí 2 (ka/m) 1 16 17 18 19 2 21 22 17 16 1 14 b(x,y) 6 6 4 4 3 3 2 2 1 14 1 16 17 Saturační magnetizace v prostředí 1 (ka/m) ( ) 1 4 18 a(x,y) b(x,y)

17 1 1 14 kj/m 3 n =,7789 4 K u

a) b) Snellův zákon (spinové vlny) Snellův zákon (optika) 4 Mikromagnetická simulace 4 Úhel lomu ( ) 3 2 1 2 4 6 8 Úhel dopadu ( ) c) d) 4 4 Úhel lomu ( ) 3 2 1 1 2 2 Úhel lomu ( ) 3 2 1 Úhel lomu ( ) 4 3 3 1 1 2 Externí pole (mt) 2 1 1 2 3 K (kj/m ) u 1 4 18

ψ (x) = e ik x u (x).

y ˆM 1 ˆM2 ˆMi ˆMN 1 ˆMN...... d 1 d 2 d i d N 1 d N z x N y x Λ y x m i = A i cos (k i x) + B i k i sin (k i x), A i B i dm i dx = A ik i sin (k i x) + B i cos (k i x). ( ) mi V i = dm i. dx ( ) cos sin(k (ki d ˆM i = i ) i d i ) (k i ) k i sin (k i d i ) cos (k i d i ) V i+1 = ˆM ivi. V N = ˆM V 1, ˆM = N i=1 ˆM V 1 = e ik BΛ ˆM i. ( 1 1 ) V 1,

a) 2 b) 2 c) 2 d) 2 1 1 2 2 1 1, 1 1, 2 k (rad/cm) 1 Analytický model Integrální hustota stavů Pás zakázaných frekvencí 4 6 8 1 12 14 Externí pole (mt) 1,8,6,4,2 Normovaná IHS 2 1 1, 1 1, 2, 1 1, 2 k (rad/cm) 1 k (rad/cm) 1 e) f) Frekvence (MHz) 9 9 8 8 7 7 6 2 6 1 14 18 Externí pole (mt) 3,8 3,6 3,4 3,2 3 2,8 2 1 1 Energie (μev) Frekvence (MHz) 1,8,6,4,2 Normovaná hustota stavů 7 3 7 2,8 6 2,6 6 2,4 2,2 2 4 1 1 2 2 Velikost elementu (nm) Energie (μev) 8 136 ka m 1 Λ = N i=1 d i V 1 ˆM [ ( )] ˆM e ik BΛ 1 =. 1

a) 2 b) c) 2 2 2 1 1 Analytický model Integrální hustota stavů Pás zakázaných frekvencí, 1 1, 2 k (rad/cm) 1 2 1 1, 1 1, 2 k (rad/cm) 1 d) e) f) 2 2 2 2 1 1 4 6 8 1 12 14 Externí pole (mt) 2 1 1 2 1 1 2 1 1, 1 1, 2 k (rad/cm) 1 4 6 8 1 12 14 4 6 8 1 12 14 Externí pole (mt) Externí pole (mt) 1,8,6,4,2 1,8,6,4,2 Normovaná hustota stavů Normovaná integrální hustota stavů 12 248 8192 12 248 8192 2 1 1,8 618

ˆ 1 D(ω) dω, v g 12 248 12

a) b) 2 2 c) 2 1 2 1 1 Analytický model Integrální hustota stavů Pás zakázaných frekvencí, 1 1, 2 k (rad/cm) 1 2 1 1, 1 1, 2 k (rad/cm) 1 2 1 1, 1 1, 2 k (rad/cm) 1,8,6,4,2 Normovaná hustota stavů d) 2 2 1 1 e) f) 2 2 2 1 1 4 6 8 1 12 14 4 6 8 1 12 14 4 6 8 1 12 14 Externí pole (mt) Externí pole (mt) Externí pole (mt) 2 1 1 1,8,6,4,2 Normovaná integrální hustota stavů 136 ka m 8 ka m 12 248 8192 17 ka 136 ka m m 17 ka 136 ka 8 ka m m m 768

a) 2 1 % 8 % % b) 2 1 % 8 % 1 % % c) 2 1 % 8 % % % 1 2 1 1 d) 2 Analytický model Integrální hustota stavů Pás zakázaných frekvencí, 1 1, 2 k (rad/cm) 1 2 1 1 4 6 8 1 12 14 Externí pole (mt) 2 1 1, 1 1, 2 k (rad/cm) 1 e) 2 2 1 1 2 1 1, 1 1, 2 k (rad/cm) 1 f) 2 4 6 8 1 12 14 Externí pole (mt) 2 1 1 4 6 8 1 12 14 Externí pole (mt),8,6,4,2 1,8,6,4,2 Normovaná hustota stavů Normovaná integrální hustota stavů 17 ka m 136 ka m 8 ka m 17 ka m 136 ka m 8 ka m ka m 17 ka m 136 ka m 8 ka m 17 ka m 136 ka m 8 ka m 17 ka m 136 ka m 8 ka m ka m

a) 2 2 1 1 d) 2 2 1 1 Integrální hustota stavů, 1 1, 2 k (rad/cm) 1 4 6 8 1 12 14 Externí pole (mt) b) 2 2 1 1 e) 2 2 1 1, 1 1, 2 k (rad/cm) 1 4 6 8 1 12 14 Externí pole (mt) c) 2 2 1 1 f) 2 2 1 1, 1 1, 2 k (rad/cm) 1 4 6 8 1 12 14 Externí pole (mt) 1,8,6,4,2 1,8,6,4,2 Normovaná hustota stavů Normovaná integrální hustota stavů 136 ka m 17 ka m

y ˆM 1 K u d ˆM2 K u d z x x a) 2 b) c) 2 2 1 2 1 1 d) 2, 1 1, 2 k (rad/cm) 1 2 1 1 Analytický model Integrální hustota stavů Pás zakázaných frekvencí 4 6 8 1 12 14 Externí pole (mt) 2 1 1 e) 2, 1 1, 2 k (rad/cm) 1 2 1 1 4 6 8 1 12 14 Externí pole (mt) 2 1 1, 1 1, 2 k (rad/cm) 1 f) 2 2 1 1 4 6 8 1 12 14 Externí pole (mt),8,6,4,2 1,8,6,4,2 Normovaná hustota stavů Normovaná integrální hustota stavů 4 kj m 3 7 kj m 14 kj 3 m 3

y ˆM 1 ˆM2 K u d K u d α x α x 4 kj m 3 7 kj m 3 14 kj m 3

a) 2 b) 2 c) 2 1 2 1 1 d) 2 2 1 1 Analytický model Integrální hustota stavů Pás zakázaných frekvencí, 1 1, 2 k (rad/cm) 1 4 6 8 1 12 14 Externí pole (mt) 2 1 1 e) 2, 1 1, 2 k (rad/cm) 1 2 1 1 4 6 8 1 12 14 Externí pole (mt) 2 1 1 f) 2, 1 1, 2 k (rad/cm) 1 2 1 1 4 6 8 1 12 14 Externí pole (mt) 1,8,6,4,2,8,6,4,2 Normovaná hustota stavů Normovaná integrální hustota stavů α = α = 2 α = 7 α 9 7 2 α = α α = 2 α

y ˆM 1 K u d α ˆM2 K u d α x x α a) 2 b) 2 c) 2 1 2 1 1 Analytický model Integrální hustota stavů Pás zakázaných frekvencí, 1 1, 2 k (rad/cm) 1 2 1 1, 1 1, 2 k (rad/cm) 1 2 1 1, 1 1, 2 k (rad/cm) 1,8,6,4,2 Normovaná hustota stavů d) e) f) 2 2 2 2 1 1 2 1 1 4 6 8 1 12 14 4 6 8 1 12 14 4 6 8 1 12 14 Externí pole (mt) Externí pole (mt) Externí pole (mt) 2 1 1 1,8,6,4,2 Normovaná integrální hustota stavů α = α = 2 α = 4

Normovaná integrální hustota stavů Normovaná hustota stavů a) 2 b) 2 c) 2 1 2 2 2,8 1 1 1,6 1 d) 2 Analytický model Integrální hustota stavů Pás zakázaných frekvencí, 1 1, 2 k (rad/cm) 1 1 e) 2, 1 1, 2 k (rad/cm) 1 1 f) 2, 1 1, 2 k (rad/cm) 1,4,2 1 2 2 2,8 1 1 1,6 1 1 1,4,2 4 6 8 1 12 14 Externí pole (mt) 4 6 8 1 12 14 Externí pole (mt) 4 6 8 1 12 14 Externí pole (mt) 14 kj m 3 7 kj m 3 14 kj m 3 4 kj m 3 14 kj m 3 kj m 3 14 kj m 3 7 kj m 3 4 kj m 3

a) b) c) 1 1 1 m x m xmax m x m xmax m x m xmax -1 1 2 3 4 6 7 8 9 x (μm) -1 1 2 3 4 6 7 8 9 x (μm) -1 1 2 3 4 6 7 8 9 x (μm) 12,3 14,3 14,3

μ

k k 1 = 1 ( 2t ln ω 2 + 4(ω ) (ω + ω M1 )) + 1 ω M1 k 2 = 1 ( 2t ln ω 2 + 4(ω ) (ω + ω M2 )) + 1. ω M2 ( ) cos sin(k (k1 d) 1 d) ˆM 1 = (k 1 ) k 1 sin (k 1 d) cos (k 1 d) ( ) cos sin(k (k2 d) 2 d) ˆM 2 = (k 2 ). k 2 sin (k 2 d) cos (k 2 d) ( ) ˆM = ˆM cos sin(k (k1 d) cos (k 2 ˆM2 = 2 d) 1 d) sin(k 2 d) (k 1 k 2 ). k 1 k 2 sin (k 1 d) sin (k 2 d) cos (k 1 d) cos (k 2 d) y M 1 M 2 M s1 d M s2 d x y x

λ 1 = a + b 2k 1 k 2, λ 2 = a b 2k 1 k 2, a = k 2 1 sin(dk 1 ) sin(dk 2 ) + k 2 2 sin(dk 1 ) sin(dk 2 ) 2k 1 k 2 cos(dk 1 ) cos(dk 2 ). b = ( k 2 1 + k 2 2) 2 sin 2 (dk 1 ) sin 2 (dk 2 ) k 1 k 2 (( k 2 1 + k 2 2 k Bi ) sin(2dk1 ) sin(2dk 2 ) + 4k 1 k 2 ) + 4k 2 1k 2 2 cos 2 (dk 1 ) cos 2 (dk 2 ) λ i e ik Bi2d =. k B1 = ln (λ 1) 2d k B2 = ln (λ 2) 2d,.

1 17 ka m 1,3 pj m 26