1 2.5 Kvazikonvexní kvazikonkávní funkce Funkce f se nazývá kvazikonvexní resp. kvazikonkávní pokud pro každé reálné číslo k je množina {X;f(X) k} resp. {X;f(X) k}konvexní. Platí: Funkce f je kvazikonvexní(kvazikonkávní) pokud prokaždoudvojicibodů xyat (01)platí: f(x) f(y) f(tx+(1 t)y) f(x) resp.f(x) f(y) f(tx+(1 t)y) f(y). Fce f se nazývá ryze kvazikonvexní resp. r.kvazikonkávnípokudprokaždoudvojicibodů xya t (01)platí: f(x) f(y) f(tx+(1 t)y) < f(x) resp.f(x) f(y) f(tx+(1 t)y) > f(y). Platí: Funkce f je kvazikonvexní právě když f je kvazikonkávní. Nechť f má spojité 2. parc. derivace.
2 Ohraničená Hessova matice( bordered hessian ) fce f: 0... x n... 2 f x 2 x 1 1 x n HB f = 2 f x 2 x 2... 2 f. x 2 x n............ x n x n... 2 f x 2 n Sestrojíme posloupnost determinantů(minorů): 0 x 2 B 2 = 2 f 2 f x 2 x 1 1 x 2 B 3 =... x 2 0 x 2 x 3 B n = HB f. x 2 x 2 1 x 2 x 3 x 2 2 x 2 x 2 x 2 2 x 3 x 2 x 3 x 3 x 2 x 3 x 2 3 Označme K= {[x 1...x n ] R n ;x 1...x n >0}.Pokud jsouvšechnydeterminantyzápornévk f jevkryze kvazikonvexní. Pokud determinaty střídají znaménko v Kpočínaje+1 fjevkryzekvazikonkávní.
3 Platí:Pokud fjevkryzekvazikonkávnípakjevn= {[x 1...x n ] R n ;x 1...x n 0}kvazikonkávní. Příklady kvazikonkávních funkcí: lineární funkce(ne ryze) Cobb-Douglasova(produkční)funkce f(xy) = Ax a y b ab (01)A >0 CESprodukčnífunkce f(xy) = A(tx a +(1 t)y a ) a 1 0 a<1a >0t (01) f(x)=x 2 x >0 f(xy)=(x+a)(y+b)xyab >0. Platí:(Ryze) konkávní fce je(ryze) kvazikonkávní opačnáimplikaceneplatí(např. y= x 2 x >0). Platí: Pokud je funkce ryze kvazikonkávní (kvazikonvexní) v konvexní množině M pak v bodě podezřelém z lokálního extrému nastává absolutní vázané maximum (minimum)vzhledemkm. Platí: Pokud je funkce ryze kvazikonkávní (kvazikonvexní) na konvexní vazbě M pak v bodě podezřelém z vázaného extrému nastává absolutní vázané maximum (minimum).
4 Homogenní funkce Funkce n proměnných f se nazývá homogenní stupně r pokud pro libovolné reálné číslo j platí: f(jx 1..jx n )=j r f(x 1..x n ). Pokud r=1 fjelineárněhomogenní. Např. Cobb-Douglasova(produkční) funkce f(x y) = Ax a y b jehomogennístupně a+bcesjelineárněhomogenní. Chain rule Mějme funkci n proměnných F a funkce jedné proměnné f 1..f n označme g(x)=f(f 1 (x)...f n (x)).pak platí g (x)= F (f 1 (x)) f 1(x)+..+ F x n (f n (x)) f n(x). Označíme-li h (x)= dh dx f i(x)=x i lzepsátsymbolicky: dg dx = F dx 1 dx +..+ F x n dx n dx. Je-li n=1jdeoderivacisloženéfunkce.
Indiferenční analýza Mějmeužitkovoufunkci U(xy)xy >0 U x U y >0. Indiferenčníkřivkaprohodnotu U 0 jegrafmnožiny {[xy] R 2 ;U(xy)=U 0 }. Platí: Pokud uvažujeme indif. křivku za graf funkce y proměnné xpak U(xy)=U 0 du dx =0 Chainrule: U x dx dx + U y dy dx =0 dy U dx = x Sklon indiferenční křivky neboli meznímírasubstituce(vespotřebě) xza y(mrsc)je dy dx = dy dx. Platí: Zpředpokladů U x U dy > 0plyneže y dx < 0tedy indiferenční křivky jsou klesající. Pokud BH U >0Ujeryzekvazikonkávníaindif.křivky konvexní. Tudíž M RSc je klesající. MRSc= dy U dx = x = MUx kde MUxresp. MUy U MUy y jsou funkce mezního užitku vzhledem k x resp. y. U y. 5
6 P a P b = Rozpočtovéomezeníjevazebnírovnice P x x+p y y= I kde P x resp. P y jecenastatku xresp. y Ijedůchod spotřebitele. Sklon linie rozpočtu neboli meznímírasubstitucevesměně(mrse)je P x P y. Platí: Optimum spotřebitele neboli vázané maximum nastávápokud MRSc=MRSe. Přebytek spotřebitele je rozdíl mezi celkovým užitkem který přinese množství statku a jeho tržní hodnotou. Problém nejnižších nákladů Mějmefunkcicelkovýchnákladů C(ab)=aP a +bp b při vazebnípodmínce Q(ab)=Q 0 kde Qjehladkáprodukční funkce s kladnými parciálními derivacemi vše pro ab >0. Platí:(Lze odvodit jako v předch. odstavci.) Vázané minimum nastává pokud Q a Q b = MRTSab=meznímíratechnickésubstituce aza b.
2.6. Kuhn-Tuckerovy podmínky (Optimalizace) Platí:Nechťvbodě C=[c 1..c n ]jemaximumfunkce f vzhledem k množině dané nerovnicemi g 1 (x 1..x n ) 0..g k (x 1..x n ) 0 x 1 0..x n 0. Sestavme Kuhn-Tucker-Lagrangian: L=f+λ 1 g 1 +..+λ k g k. Potom platí Kuhn-Tuckerovy podmínky: L 0x j 0x j L =0pro j=1..n x j x j L 0λ j 0λ j L =0pro j=1..k. λ j λ j Pro minimalizaci stačí maximalizovat f. Předpokládejme že f a všechny vazební funkce g j j = 1..kmajíspojitédruhéparciálníderivacev množině Ndanépodmínkami x 1 0..x n 0. Platí: Pokud f a všechny vazební funkce jsou konkávní vmnožině NpakbodsplňujícíK-Tpodmínkyjebodem maxima. Připomeňme že lineární a ryze konkávní funkce jsou konkávní. 7
8 Platí: Pokud f a všechny vazební funkce jsou kvazikonkávnívmnožině NpakbodsplňujícíK-Tpodmínkyve kterém je alespoň jedna parciální derivace f nenulová je bodem maxima.