Kombinatorika Kombinatorika se zabývá vytvářením navzájem různých skupin z daných prvků a určováním počtu takových skupin. Kombinatorika se zabývá pouze konečnými množinami. Při určování počtu výběrů skupin daných vlastností velmi často používáme vztahy, ve kterých figuruje číslo zvané faktoriál. Faktoriál je definován pro všechna přirozená čísla n N a číslo 0. Platí: n! n (n 1) (n 2). 3 2 1 0! 1 Příklady k procvičení 1. Vypočtěte : a) 0! b) 1! c) 2! d) 3! e) 4! f) 5! g) 6! h) 10! i) 17! j) 23! 2. Zjednodušte a vypočtěte: a) 7! 5! 8! 4! b) 12! 11! 14! 13! b) 6! 2! 5! 0! 1! d) 3! 4! + 4! 5! e) 8 5! 6! 4 5! 7!
f) 2! 6! 5! 3! 4! 2! 2! g) 10! 11!+10! 9! 3. Zjednodušte za předpokladu, že hodnoty existují: a) (n+2)! (n+1)! b) (k 3)! (k 2)! c) (r+10)! (r+11)! d) (p 7)! (p 9)! e) (n 2)! n! f) (k+12)! (k+10)!
g) (p+2)! (p 1)! h) (n 1)! (n+1)! 4. Zjednodušte výraz: a) n 2 (n+4)! + 7n+35 (n+5)! b) (k 2)! (k 3)! (k 1)! (k 2)! c) 5 (n 6)! 5 (3n 10) n2 (n 5)! d) k2 10k (k 10)! + 10 (k 11)!
5. Určete číslo k, jestliže platí: (k + 3)! 42840 k! 6. Vypočtěte číslo k: k 35! + 37! 34! 7. Určete číslo k jestliže platí: 12 (k 3) (k + 1)! k!
Kombinatorická pravidla Pravidlo součinu: Počet všech uspořádaných k-tic, jejichž první člen lze vybrat n 1 způsoby, druhý člen po výběru prvního n 2 způsoby až k-tý člen n k způsoby, je roven součinu n 1 n 2. n k Pravidlo součtu: Jestliže A 1, A 2,, A k jsou konečné disjunktní množiny s počty prvků p 1, p 2,.., p n, pak počet prvků množiny A 1 A 2.. A n je roven součtu p 1 + p 2 + + p n. Příklady k procvičení: 1. Určete počet všech přirozených dvojciferných čísel. 2. Určete počet všech přirozených trojciferných čísel takových, že se v nich číslice neopakují. 3. Kolik různých možností máme při zamknutí zámku, u kterého se nastavuje čtveřice číslic 0 9. 4. Vypočtěte počet trojciferných čísel dělitelných pěti.
5. Kolik různých přirozených čísel větších než 400 lze sestavit z číslic 0,1,2,7,8? Žádné číslice se neopakují. 6. Z města A do města B vedou čtyři cesty. Z města B do města C vede pět cest. Kolik různých tras můžeme vybrat pro cestování z města A do C? 7. Máme k dispozici 12 žlutých, 10 červených a 11 oranžových gerber. Kolika různými způsoby lze uvázat kytičku obsahující tři květiny po jedné od každé barvy. 8. V hřebčíně mají 10 bílých a 8 černých závodních koní. Na závody mají vybrat dvojici koní. Kolik mají možností, pokud bude každý kůň jiné barvy? Jaký bude počet možností v případě, že budou oba stejné barvy?
Variace Nechť M je konečná množina obsahující n prvků. Variace k-té třídy z n prvků jsou všechny skupiny po k prvcích vybrané z množiny M, kde skupiny lišící se pořadím pokládáme za různé. Počet variací k-té třídy z n prvků určíme: V(k, n) n! (n k)! Permutace Pokud je k n vytváříme variace ze všech prvků množiny, které se liší pořadím. V takovém případě je nazýváme permutace a vypočteme: P(n) n! Příklady k procvičení: 1. Máme prvky a, b, c. Vytvořte všechny variace a) druhé třídy b) třetí třídy. 2. Vypište všechny variace třetí třídy z prvků a, b, c, d. 3. Kolik trikolór lze sestavit z pěti barev? V každé trikolóře se může barva vyskytovat pouze jednou.
4. Ve třetím ročníku se vyučuje 12 předmětů. Každý předmět se učí nejvýše jednu hodinu denně. Kolika způsoby lze sestavit rozvrh na jeden den, ve kterém se učí 6 různých předmětů? 5. Kolik trojciferných čísel lze napsat pomocí číslic 1, 2, 3, 4, 5, tak, aby se ani jedna číslice neopakovala? 6. Kolik šesticiferných a) sudých, b) lichých čísel lze zapsat pomocí číslic 0, 1, 2, 3, 5, 7, 8, 9,? Číslice se neopakují. 7. Do závodu nastoupilo 12 běžců. Kolik je teoreticky možných výsledků na první, druhé a třetí pozici v cíli závodu?
8. Z kolika prvků je možno vytvořit 90 variací druhé třídy? 9. Kolik různých výsledků může mít hokejový zápas, pokud každé z mužstev vstřelí nejvíce 3 branky? 10. Kolika různými způsoby může aranžérka vystavit 5 šampónů vedle sebe? 11. Kolika způsoby se může postavit do řady 10 dětí? Kolik bude možností, jsou-li mezi nimi dvojčata, která stojí vždy za sebou? 12. Kolik značek Morseovy abecedy je možno sestavit z teček a čárek pokud z nich tvoříme skupiny po 3 a 4 znacích?
Kombinace Nechť M je konečná množina obsahující n prvků. Kombinace k-té třídy z n prvků jsou všechny skupiny po k prvcích vybrané z množiny M, kdy u vybraných skupin nezáleží na pořadí vybraných prvků. Počet kombinací k-té třídy z n prvků určíme: K(k, n) Číslo ( n ) se nazývá kombinační číslo. k n! (n k)! k! (n k ) Příklady k procvičení: 1. Napište všechny kombinace a) 2. Třídy, b) třetí třídy z prvků a, b, c, d. 2. Kolik kombinací čtvrté třídy je možno vytvořit a) z 10 prvků b) z 20 prvků 3. Ve třídě je 30 žáků a 3 z nich budou zkoušeni. Kolika způsoby je možné je vybrat? 4. Ve třídě je 22 dívek a 9 chlapců. Kolika způsoby je možno vybrat delegaci, kterou budou tvořit a) dvě dívky a dva chlapci b) tři dívky a jeden chlapec
5. V osudí je 8 bílých a 10 černých koulí. Kolika způsoby je možno vybrat: a) dvě bílé a jednu černou kouli b) dvě bílé a dvě černé koule c) tři bílé a dvě černé koule d) dvě bílé a tři černé koule 6. V rovině leží 5 bodů, žádná trojice neleží na jedné přímce. Kolik různých přímek určených dvojicemi těchto bodů lze sestrojit? 7. Učitel matematiky má připraveno 15 snadných a 12 obtížných příkladů. Kolik různých zadání obsahujících 2 snadné a 2 obtížné příklady z nich může sestavit? 8. Pan Novák má ve skříni 5 kalhot, 4 saka, 8 košil a 7 kravat. Kolikerým způsobem se může obléci?
Pravděpodobnost Náhodný pokus pokus, jehož výsledek závisí pouze na náhodě Náhodný jev výsledek náhodného pokusu Pravděpodobností náhodného jevu A rozumíme číslo P(A) a m, kde a je počet příznivých výsledků náhodného jevu, m je počet všech možných výsledků náhodného jevu Vlastnosti pravděpodobnosti: I. Pravděpodobnost nemožného jevu P(N) 0 II. Pravděpodobnost jistého jevu P(J) 1 III. Pro pravděpodobnost náhodného jevu platí: 0 P(A) 1 IV. Pravděpodobnost opačného jevu je P(A ) 1 P(A) V. Pokud jev C spočívá v tom, že nastane jev A nebo jev B z navzájem se vylučujících jevů, pak P(C) P(A) + P(B) VI. Pokud jev D spočívá v tom, že nastanou současně nezávislé jevy A a B pak P(D) P(A) P(B) Příklady: 1. Jaká je pravděpodobnost, že při hodu hrací kostkou padne jednička? 2. Jaká je pravděpodobnost, že při hodu mincí padne rub? 3. Jaká je pravděpodobnost, že z balíčku hracích karet vytáhneme eso? 4. Jaká je pravděpodobnost, že při hodu hrací kostkou padne sedmička?
5. Jaká je pravděpodobnost, že při hodu hrací kostkou nepadne šestka? 6. Jaká je pravděpodobnost, že při hodu hrací kostkou padne sudé číslo? 7. Jaká je pravděpodobnost, že při hodu hrací kostkou padne číslo menší než tři? 8. Jaká je pravděpodobnost, že při hodu dvěma hracími kostkami padnou na obou šestky? 9. Jaká je pravděpodobnost, že při hodu třemi mincemi padnou tři líce? 10. Vypočti, s jakou pravděpodobností odmaturuje student, který se do každého ze čtyř předmětů naučí jen 20 otázek z 25? 11. Určete, jaká je pravděpodobnost, že při hodu hrací kostkou: a) padne 6 b) nepadne 6 c) padne sudé číslo
12. V tombole je 50 cen a bylo prodáno celkem 250 losů. a) Jaká je pravděpodobnost výhry na jeden los? b) Jaká je pravděpodobnost výhry hlavní ceny? c) Jaká je pravděpodobnost výhry při koupi pěti losů? 13. Jaká je pravděpodobnost, že při výběru jedné karty z balíčku 32 karet, vybereme: a) srdcové eso b) srdcovou kartu 14. V sérii 35 výrobků jsou 4 vadné. Jaká je pravděpodobnost, že při náhodném výběru pěti výrobků mezi nimi budou dva vadné? 15. Ve třídě je 29 žáků, z toho 10 dívek. Jaká je pravděpodobnost, že v náhodně vybrané čtveřici budou 2 děvčata?
16. V osudí je 5 bílých a 9 červených koulí. Jaká je pravděpodobnost, že při náhodném výběru 3 koulí budou 2 červené a 1 bílá? 17. Jaká je pravděpodobnost, že při současném hodu dvěma hracími kostkami padne součet 6? 18. V osudí jsou 4 modré a 3 červené koule. Urči jaká pravděpodobnost, že při výběru 3 z nich budou mít všechny stejnou barvu. 19. Při rozdávání karet dostane hráč z balíčku 32 karet 8. Jaká je pravděpodobnost, že dostane: a) Nejvýše jedno eso b) Alespoň tři esa
20. Student si vytahuje 3 otázky z 10. Stihl se naučit jen polovinu. Jaká je pravděpodobnost: a) že si vytáhne otázku, na kterou se připravil b) že si nevytáhne žádnou otázku, kterou umí 21. V osudí je 5 bílých a 4 modré lístky. Jaká je pravděpodobnost, že při vylosování dvou lístků budou: a) oba lístky bílé b) oba lístky modré c) jeden bílý a druhý modrý 22. Vypočtěte pravděpodobnosti, že při hodu dvěma hracími kostkami padne: a) součet hodnot 11, b) součet alespoň 11, c) součet menší nebo roven 5 d) součet právě 2 23. Systém je tvořen třemi částmi. První pracuje s 95% spolehlivostí, druhá s 85% spolehlivostí a třetí se spolehlivostí 90%. Jaká je spolehlivost celého systému? Jaká je pravděpodobnost poruch?
Příklady k domácí přípravě 1. Vypočtěte: a) 14! 6! 7! 12! b) (n+4)! (n 2)! (n+3)! (n 3)! 2. Určete, kolika způsoby se mohou posadit na jednu lavičku 2 chlapci a 3 dívky: a) pokud je jejich sezení bez omezení b) pokud budou sedět vedle sebe nejdříve dívky a vedle chlapci? 3. Ve třídě je 12 dívek a 14 hochů. Kolika způsoby lze vybrat čtveřici tvořenou dvěma dívkami a dvěma hochy? 4. Kolik různých trojciferných čísel lze poskládat z číslic 1, 2, 3, 4, 5, 6 tak, že se neopakují? 5. Kolika způsoby je možno seřadit 7 dětí do zástupu? 6. Urči počet čtyřprvkových variací ze 6 prvků. 7. Vypočti počet permutací pětiprvkové množiny. 8. Urči hodnotu čísla ( 10 3 ) 9. Jaká je pravděpodobnost, že při hodu hrací kostkou padne číslo menší než 4? Jaká je pravděpodobnost, že při hodu dvěma kostkami padne součet 10? 10. Jaká je pravděpodobnost, že při výběru 4 členů ze skupiny 12 dívek a 10 chlapců vybereme: a) 2 chlapce? b) jen samé dívky?