ZÁKLADY AUTOMATICKÉHO ŘÍZENÍ

VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ ZÁKLADY AUTOMATICKÉHO ŘÍZENÍ 3. týden doc. Ing. Renata WAGNEROVÁ, Ph.D. Ostrava 3 doc. Ing. Renata WAGNEROVÁ, Ph.D. Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava ISBN 978-8-48-354-4 Tento studijní materiál vznikl za finanční podpory Evropského sociálního fondu (ESF) a rozpočtu České republiky v rámci řešení projektu: CZ..7/../5.463, MODERNIZACE VÝUKOVÝCH MATERIÁLŮ A DIDAKTICKÝCH METOD

OBSAH ANALYTICKÁ IDENTIFIKACE... 3. Úvod... 4. Mechanické systémy... 4.3 Řešené příklady... 4.3. Příklad 3.: Přímočarý zrychlený pohyb... 4.3. Příklad 3.: Kyvadlo... 5.3.3 Příklad 3.3: Pohyb vázaného bodu - pohyb po nakloněné rovině... 7.3.4 Příklad 3.4: Pohyb tělesa v pružném prostředí... 8.3.5 Příklad 3.5: Pohyb dvojice vázaných těles... 9.4 Hydromechanické systémy....5 Řešené příklady....5. Příklad 3.6: Nádrž s volným odtokem kapaliny....5. Příklad 3.7: Nádrž s odčerpávání kapaliny....6 Elektrické obvody....6. Základní prvky... 3.6. Základní zapojení... 3.6.3 Dělič napětí... 4.6.4 Můstkové zapojení... 4.7 Řešené příklady... 5.7. Příklad 3.8: Výpočet děliče napětí, určení obrazového přenosu... 5.7. Příklad 3.9: Výpočet děliče napětí, určení obrazového přenosu... 6.7.3 Příklad 3.: Určete přenos můstkového zapojení... 6.7.4 Příklad 3.: Určete přenos můstkového zapojení... 8 POUŽITÁ LITERATURA... 9 CZ..7/../5.463

3 ANALYTICKÁ IDENTIFIKACE OBSAH KAPITOLY: Mechanické systémy Hydromechanické systémy Elektrické obvody MOTIVACE: umožňuje získání matematického popisu vlastností dynamických systémů na základě znalosti matematicko-fyzikálních zákonů. Nutná znalost je ovšem znalost struktury systémů, jeho prvků a vazeb. Takto získán matematický popis je nejpřesnější, ale tento postup vyžaduje hluboké znalosti fyzikálních jevů. CÍL: Budete umět definovat matematický popis pro tři základní typy systémů a to mechanické, hydromechanické a vybrané elektrické obvody. CZ..7/../5.463

4. ÚVOD Při analytické identifikaci převádíme reálnou soustavu na soustavu rovnic, které se dají pomoci lehkých matematických výpočtu převést na tvar, který lze dále převést pomoci Laplaceovy transformace na obrazový přenos. Ukážeme a popíšeme si jednotlivé systémy, pomocích kterých se dají v běžné praxi počítat pohyby těles, staticky a hydrostatický tlak. Nahlédneme i do elektrických obvodů. Jako první si uvedeme mechanické systémy.. MECHANICKÉ SYSTÉMY Důležitým předpokladem pro počítání mechanických systému je znalost tří Newtonových zákonu, jsou to:. (Každé těleso setrvává v klidu nebo v rovnoměrně přímočarém pohybu, pokud není nuceno vnějšími silami tento stav změnit.). Zákon síly (Velikost zrychlení hmotného bodu je přímo úměrná velikosti výslednice F sil působících na hmotný bod, a nepřímo úměrná hmotnosti hmotného bodu, a.) m 3. Zákon akce a reakce (Dvě tělesa na sebe navzájem působí stejně velkými silami opačného směru. Tyto síly vznikají a zanikají současně.) Konečný výsledek určíme sestrojením pohybových rovnic..3 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Řešené příklady do teorie o analytické identifikaci jsou čerpány ze skript [Farana 996]. Veškeré obrázky byli vytvořeny podle vzoru z výše zmiňovaných skript..3. Příklad 3.: Přímočarý zrychlený pohyb Základní veličiny pro tenhle vypočet jsou: dráha [ m], čas [ s] a rychlost [m s ]. Jejich vzájemný vztah určíme následujícím postupem. Vezměme krátký časový úsek t [s]. s v. () t Obdobně budeme předpokládat, že pokud bude v tomto krátkém časovém úseku na těleso působit konstantní zrychlení a dojde ke zvýšeni rychlosti o v, tedy platí: v s a t t. () Jestliže budeme v rovnici () zmenšovat časový úsek, tedy provedeme limitní přechod d, obdržíme diferenciální rovnici pro určení dráhy, kterou těleso urazí při působení zrychleni a : d s( a (. (3) dt Diferenciální rovnici (3) můžeme řešit velmi jednoduše, např. postupnou integrací, takže získáme následující vztah pro určeni dráhy s v čase t. Přitom předpokládáme, že čas se začíná počítat od okamžiku počátku pohybu CZ..7/../5.463

5 resp. kde je t s( v( τ ) dτ + s, (4a) t t s( a( ) d v d + s σ σ + τ, (4b) t - čas, s ( - dráha, kterou těleso urazilo od počátku pohybu do okamžiku t, s - počáteční dráha tělesa, nejčastěji bude s, v ( - rychlost tělesa v čase t, v - počáteční rychlost tělesa, nejčastěji bude v, a ( - zrychlení tělesa v čase t. Rovnice (4) jsou matematickým modelem přímočarého pohybu. Přitom jak rychlost, tak zrychlení se mohou v průběhu pohybu měnit - mohou byt funkci času. což bude komplikovat jeho řešeni. Řešením některé z rovnic (4) pro konkrétní hodnoty získáme průběh dráhy tělesa v závislosti na čase. Můžeme tak učinit analyticky. Pro složitější vztahy je vhodné zvolit numerické řešení (přibližné)..3. Příklad 3.: Kyvadlo Budeme sledoval pohyb hmotného bodu o hmotnosti m [kg], který se pohybuje po svisle kružnici realizované otočně uloženou tyčí neproměnné délky l [m] a zanedbatelné hmotnosti za působení tíhové síly F G [N]. Tento děj se nazývá matematické kyvadlo (obr. 3.). Sestavíme pohybovou rovnici a rozepíšeme ji do os vhodného souřadnicového systému. CZ..7/../5.463

6 Obr. 3. Působení sil na koncový bod matematického kyvadla Po zavedení reakčního účinku tyče F B [N] bude její pohybová rovnice: ma F R + F G. (5) Protože známe předem směr tečny a normály, použijeme rozpis do směrů t (tečna) a n (normála): ma ( F mg cosϕ(, (6a) n R ma t ( mg sinϕ(, (6b) jinak také mϕ ( S mg cosϕ(, (7a) mϕ ( mg sinϕ(. (7b) Z vlastní pohybové rovnice si vyjádříme úhlové zrychlení: g ε ( ϕ ( sinϕ(, (8) l kde l - je délka tyče kyvadla, ϕ () t - úhlová dráha [rad], g - gravitační zrychlení - [m s ]. Rovnice (8) je zároveň matematickým modelem kyvadla, z něhož můžeme vytvoříme blokové schéma pro simulační program. CZ..7/../5.463

7.3.3 Příklad 3.3: Pohyb vázaného bodu - pohyb po nakloněné rovině Pohyb po nakloněné rovině je přímočarý zrychlený pohyb, při kterém těleso o hmotnosti m [kg] položené na nakloněnou rovinu se pohybuje směrem dolů s rovnoměrným zrychlením, které způsobí zemská gravitace (obr. 3.). Obr. 3. Pohyb bodu po nakloněné rovině Pohybová rovnice pro tento pohyb je: ma F + F F, (9) kde je G N T F G - gravitační síla, F N - normálová síla, F T - třecí síla. Pohybovou rovnici rozepíšeme do jednotlivých složek pravoúhlého souřadnicového systému, kde osa t (tečná) je shodná se sklonem roviny a osa n (normálová) je na rovinu kolmá. Platí tedy: ma F G sin α F T, (a) kde je F cosα +, (b) G F N a - zrychlení, α - úhel sklonu roviny. Pro třecí a normálovou sílu platí vztah: FT FN f, () kde je f - koeficient tření. Z rovnice () pak vyplývá ma F f cosα + F sinα. () G G Gravitační síla je přímo úměrná hmotnosti bodu: F G mg, (3) pak platí a g(sinα f cosα). (4) CZ..7/../5.463

8 Protože hodnoty g, f a α jsou konstanty, zrychlení a je tedy konstantní. Postupnou integrací rovnice (4) získáme vztah pro určení dráhy s v čase t. Přitom předpokládáme, že čas se začíná počítat od okamžiku počátku pohybu. Dráha je dána vztahem: kde je t [ g (cosα f sinα) + v] d + s( τ τ s, (5) t - čas s ( - dráha tělesa od okamžiku t, s -počáteční dráha tělesa, v - počáteční rychlost tělesa, a ( - zrychlení tělesa v čase t, g - gravitační zrychleni ( g 9,8ms ). Rovnice (5) je matematickým modelem pohybu po nakloněné rovině..3.4 Příklad 3.4: Pohyb tělesa v pružném prostředí Máme za úkol vyřešit pohyb tělesa o zadané hmotnosti m [kg], které je vázáno (upevněno) k tuhému rámu a v čase t s na něj začíná působit síla F [N]. Těleso opět zastoupíme hmotným bodem o hmotnosti m [kg], upevnění nahradíme působením pružiny s danou - - konstantou tuhosti k [N m ] a tlumičem s udaným koeficientem tlumení b [N s m ]. Na (obr. 3.3) je symbolicky zakreslena celá situace. Obr. 3.3 Těleso připoutané k tuhému rámu Na těleso působí čtyři síly, které musí být v rovnováze: m y ( + by ( + ky( F(, (6) kde je m - hmotnost tělesa, k - konstanta tuhosti pružiny (pružného upevnění), b - koeficient tlumení, y - poloha tělesa, CZ..7/../5.463

9 F - budicí síla, t - čas. Z rovnice (6) vyjádříme druhou derivaci polohy tělesa: F( ky( by ( y (. (7) m Získaná rovnice (7) je nehomogenní lineární diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty..3.5 Příklad 3.5: Pohyb dvojice vázaných těles Dalším příkladem je řešení pohybu dvou těles, z nichž jedno těleso o hmotnosti m [ kg ] je upevněno k tuhému rámu a k němu je upevněno těleso druhé o hmotnosti m [ kg ]. Vazbu - tělesa k rámu opět nahradíme působením tlumiče b [N s m ] a pružiny k [N m - ], vazbu mezi tělesy působením pružiny k [N m - ], jak vidíme na (obr. 3.4). Zátěžná síla F [ N ] přitom působí na druhé těleso. Obr. 3.4 Vázaná tělesa Pro řešení této soustavy těles provedeme nejprve uvolnění těles a zjištěni, jaké sily na ně působí, viz (obr. 3.5). CZ..7/../5.463

Obr. 3.5 Uvolnění sil Na základě uvolněni zapíšeme rovnice rovnováhy sil na obou tělesech: Fk + F ( + F ( F (, (8) kde je ( b a k F() t + F() t Ft (), (9) k a F k - síla vyjadřující vliv pružiny, F b - sila vyjadřující vliv tlumení, F a - sila vyjadřující vliv setrvačnosti při pohybu tělesa, F -zátěžná síla. V rovnicích (8) a (9) vyjádříme jednotlivé síly a obdržíme soustavu dvou diferenciálních rovnic druhého řádu, které popisuji chování těles: my + ky ky Ft, () Vektorový zápis: () ( ) m y + b y k y + y k + k. () my + by + ky F, m y y k k y F m + + y b y k k + k y. Z rovnic (3) a (3) opět vyjádříme druhé derivace polohy obou těles Ft () k[ y() t y() t] y () t, () m [ ] k y () t y () t k y () t b y () t () t. (3) m y CZ..7/../5.463

.4 HYDROMECHANICKÉ SYSTÉMY Pro zjištění analytické identifikace je nutné znát dva zákony:. Zákon zachování energie - Bernouliho rovnice (Při proudění kapaliny působí na její částice síly, které při posunutí po dráze konají práci. Sečtením elementárních prací mezi dvěma body dostaneme vztah pro celkovou mechanickou energii kapaliny podmínka rovnováhy sil Eulerova rovnice hydrodynamiky, její integrací po dráze dostaneme Bernouliho rovnici.) p + ρ v + hg konst.. Zákon zachování hmoty - rovnice kontinuity kapalin 3 Q m Q + Q konst. ;[ m s ] r S v r S v r S v konst. [wikipedia].5 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY.5. Příklad 3.6: Nádrž s volným odtokem kapaliny Provedeme analytickou identifikaci nádrže s volným odtokem kapaliny na (obr. 3.6) za předpokladu, že h ( je výška hladiny [ m ], P - plošný obsah hladiny [m ], q ( t ) je 3 objemový přítok [m s ] a q ( t ) je objemový odtok [ m 3 s ] (objemový tok), pro který platí q ( Aϕ gh( ). t Obr. 3.6 Schéma nádrže s volným odtokem Matematický model Pro elementární přírůstek objemu kapaliny v nádrži Pdh ( za elementární časový přírůstek dt platí bilanční rovnice Pdh( q( dt q( dt, (4) resp, po uvažování vztahu (34) Pdh( q( dt Aϕ gh(. (5) Po úpravě dostaneme nehomogenní nelineární diferenciální rovnici. řádu s konstantními koeficienty. CZ..7/../5.463

dh( P + Aϕ gh( q (. (6) dt.5. Příklad 3.7: Nádrž s odčerpávání kapaliny Je třeba analyticky identifikovat regulovanou soustavu na (obr. 3.7). Kde q ( ) je objemový 3 přítok kapaliny [m s ] (objemové toky), (, q ( ) - objemový odtok (odčerpávané průtočné množství) [m 3 s - ] t h - výška hladiny [ ] rychlost čerpadla [rad s - 3 - ], k - konstanta [m rad ]. m, P - plošný obsah hladiny [m ], ω ( - úhlová t Obr. 3.7 Schéma nádrže s odčerpáváním Matematický model Pro elementární přírůstek objemu kapaliny v nádrži Pdh() t za elementární časový přírůstek dt platí bilanční rovnice Pdh q ( dt q ( dt. (7) ( Po úpravě dostaneme diferenciální rovnici. řádu dh( P q( q(, (8) dt resp. dh( P q( kω (, (9) dt s počáteční podmínkou (počáteční výškou hladiny). h() h. (3) Diferenciální rovnici (7) můžeme napsat v ekvivalentním integrálním tvaru t h( [ q ( ) k ( )] d + h P τ ω τ τ. (3).6 ELEKTRICKÉ OBVODY Výčet zákonů, které platí v elektrických obvodech a které jsou pro nás důležité.. Ohmův zákon - Proud I v uzavřeném obvodu se rovná podílu elektrickému napětí U a odporu R vyskytujícího se v obvodu. CZ..7/../5.463

3 U I R. První Kirchhoffův zákon - popisuje zákon zachování elektrického náboje; říká, že v každém bodě (uzlu) elektrického obvodu platí, že: Součet proudů vstupujících do uzlu se rovná součtu proudů z uzlu vystupujících. 3. Druhý Kirchoffův zákon - formuluje pro elektrické obvody zákon zachování energie; říká, že: Součet úbytků napětí na spotřebičích se v uzavřené části obvodu (smyčce) rovná součtu elektromotorických napětí zdrojů v této části obvodu..6. Základní prvky Odpor ut () itr (), Us () IsR (). Obr. 3.8 Zapojení odporu Cívka di( u ( L, U() s Ls I() s. d( Z( s) Obr. 3.9 Zapojení cívky Kondenzátor ut () i( τ) dτ C, t U() s I() s. Obr. 3. Zapojení kondenzátoru.6. Základní zapojení Sériové zapojení Z Z+ Z CZ..7/../5.463

4 Obr. 3. Schéma sériového zapojení Paralelní zapojení Z ZZ Z + Z Obr. 3. Schéma paralelního zapojení Uvedeme si dva typy elektrických obvodů.6.3 Dělič napětí U() s Z() s Gs () U () s Z () s + Z () s.6.4 Můstkové zapojení U() s Gs () U () s viz příklad 3.. Obr. 3.3 Schéma děliče napětí CZ..7/../5.463

5.7 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Obr. 3.4 Schéma můstkového zapojení.7. Příklad 3.8: Výpočet děliče napětí, určení obrazového přenosu Vstupní impedance Z ( s) R + Ls. Výstupní impedance Z ( s). Obrazový přenos Obr. 3.5 Schéma děliče napětí U() s U() s L + R + Gs () R + Ls +. CZ..7/../5.463

6.7. Příklad 3.9: Výpočet děliče napětí, určení obrazového přenosu Obr. 3.6 Schéma děliče napětí Vstupní impedance Z ( s). Výstupní impedance Z RR ( s), R a R jsou konstanty R R + R Obrazový přenos u( s) R R G ( s). u ( ) s R + R +.7.3 Příklad 3.: Určete přenos můstkového zapojení Obr. 3.7 Schéma dvou děličů napětí CZ..7/../5.463

7 V první řadě si rozdělíme schéma dvou děličů: I II Obr. 3.8b Úprava děličů Vstupní impedance: Výstupní impedance: Obrazové přenosy: Obr.3.8a Úprava děličů Z ( R, s) ) Z ( s R. Z Z R + R, RC + () s + + R + + ( s). C s R+ U() s RC + + R + () R R + RC + + G s, U () s + RRCC s + ( RC + RC + RC ) s+ G () s U () s. U() s R + R+ Výsledný přenos: Gs () G() sg() s RRCC s + ( RC + RC + RC ) s+ ( Ts + ) ( Ts+ )( Ts+ ) T s + Tξ s+. CZ..7/../5.463

8.7.4 Příklad 3.: Určete přenos můstkového zapojení Obr. 3.9 Schéma můstkového zapojení Řešení dvou rovnic o dvou neznámých: rovnice jsou odvozeny z toku proudu u můstkového zapojeni U() s + R I() s + R I() s, U () s RI () s + I () s I () s R I () s, z první rovnice jsi vyjádříme proud I () s a dosadíme jej do druhé Výsledný přenos I RC + s) I ( ), C s R C + ( s U ( s) R U G( s) U RC C s R C + I + ( s) + + I C s RC R R + R + I C s ( R C s + ) ( s) ( s) TT s. ( T s + )( T s + ) ( s) RRCC s + ( s) I C s ( R C s + ) RRCC s + I ( s) ( R + ) RRCC s + R + I ( ) ( R + )( R + ) s C s ( s), CZ..7/../5.463

Použitá literatura 9 POUŽITÁ LITERATURA [] BOLTON, W. 99. Control engineering. New York: Longman scientific & Technical, 99. 37s. ISBN -58-979-. [] DORF, R. C. & BISHOP, R. H. 998. Modern Control Systems. Addison-Wesley : Harlow England 998. ISNB --3864-9. [3] FARANA, R. aj. 996. Programová podpora simulace dynamických systémů. Sbírka řešených příkladů. vyd. Ostrava: KAKI 996, 4 s. ISBN 8--9-5. CZ..7/../5.463