SETRVAČNÍKY A JEJICH APLIKACE

SETRVAČNÍKY A JEJICH APLIKACE Studijní text pro řešitele FO a ostatní zájemce o fyziku Bohumil Vybíral Obsah Úvod 2 1 Prostorová rotace tuhého tělesa kolem nehybného bodu 3 1.1 Eulerovyúhly.... 3 1.2 Kinetickáenergierotujícíhotuhéhotělesa..... 4 1.3 Tenzorsetrvačnosti.... 6 1.4 Momenthybnosti..... 9 1.5 Volnéosy.... 11 1.6 Resalovavěta.... 13 2 Pohyb setrvačníku 15 2.1 Setrvačníkaproblematikařešeníjehopohybu... 15 2.2 Volnýsetrvačník..... 16 2.3 Setrvačníkpodrobenýpůsobenímomentusíly... 17 2.4 Preceseanutacetěžkéhosetrvačníku... 19 3 Příklady pohybu setrvačníku 22 3.1 Gyroskopickéjevyudopravníchstrojůvzatáčce... 22 3.2 Stabilizaceletudiskuastřely..... 25 3.3 LunisolárnípreceseZemě.... 28 3.4 Larmorovaprecese.... 30 4 Úlohy 31 A. Řešené úlohy 31 B. Neřešené úlohy 37 Výsledky neřešených úloh 39 Literatura 40 1

Úvod Předložený studijní text navazuje na dřívější texty[8],[9], které byly věnovány statice, kinematice a dynamice tuhého tělesa. V textu[9] jsme se vedle obecných zákonů mechaniky tuhého tělesa zabývali převážně jen jeho rotačním pohybem kolem nehybné osy a obecným rovinným pohybem. Předložený text rozšiřuje tyto poznatky o mechaniku prostorového pohybu tělesa kolem nehybného bodu a zabývá se především pohybem setrvačníku. Předpokládá znalost textu[9] anebo znalost základů dynamiky tuhého tělesa. Poznatky o pohybu setrvačníku jsou nejen zajímavé, ale i důležité pro aplikace v jiných oblastech fyziky(např. Larmorova precese v atomistice), v astronomii(lunisolární precese Země), v technice(např. gyroskopické jevy u dopravních prostředků), ve vojenství(stabilizace letu střely) a i ve sportu(let disku). Ve středolškolském učivu fyziky je věnováno dynamice rotačního pohybu tuhého tělesa málo místa a o prostorovém pohybu tělesa a o setrvačnících se nehovoří téměř vůbec. Důvody jsou především didaktické jde o obtížnou partii mechaniky. Nakonec přesné řešení obecného pohybu setrvačníku pohybovými diferenciálními rovnicemi není známo s výjimkou několika zvláštních případů. Předložený studijní text podává kromě několika rozšířujících poznatků o dynamice tuhého tělesa přibližnou teorii setrvačníku, která však je dostatečně přesná u technických setrvačníků(gyroskopů). Je zde také podán výklad některých aplikací teorie setrvačníků. Výklad je doplněn řešenými příklady a úlohami s uvedenými výsledky jejich řešení. Text je určen zájemcům o fyziku z řad středoškolských i vysokoškolských studentů a učitelům fyziky. Pro řešitele fyzikální olympiády kat. A, pokud je zařazen v daném soutěžním roce text k prostudování na téma SETRVAČNÍKY, ječástpředloženéhotextuvečláncích1.6,2.1,2.2,2.3,2.4a3.1povinnýtext k prostudování. Ostatní text se doporučuje rovněž prostudovat. 2

1 Prostorová rotace tuhého tělesa kolem nehybného bodu 1.1 Eulerovy úhly Zamezíme-li pohybu jednoho bodu tuhého tělesa, odebereme mu z původních šesti stupňů volnosti tři stupně. Tělesu tak zůstanou tři stupně volnosti a začne vykonávat prostorovou rotaci kolem nehybného bodu, kterým prochází okamžitá osa rotace. Příklad prostorové rotace tělesa je znázorněnnaobr.1.okamžitáosarotace o y prochází bodem A, který je nehybný vůči zvolené inerciální vztažné soustavě x, y, z. Vektor okamžitéúhlovérychlostirotace y tělesa,kterýležívose o,jeobecněfunkcí času, tj. jeho velikost i směr se ve zvolené inerciální soustavě mění. Je zřejmé, O ževektor můžemerozložitdotřívzájemně různých směrů. Jeden z těchto roz- A x z x kladů je možný do směrů rovnoběžných sosami x, y, zkartézkésoustavy.tento o rozklad na tři rotace o úhlových rychlostech x, y, zvšaknenízhlediskaklasifikace pohybu, které těleso vykonává, nej- zobr.1 výhodnější. Výhodný rozklad prostorové rotace na tři dílčí rotace zavedl již v polovině 18. století Leonard Euler a příslušné úhly se po něm nazývají Eulerovy úhly. Zvolme si inerciální kartézskou soustavu x, y, z, vůči níž budeme pohyb tělesa popisovat. S tuhým rotujícím tělesem pevně spojíme druhou kartézskousoustavu x, y, z (tajižnebudeinerciální).jejípočátek O položíme do hmotného středu tělesa. Předpokládejme, že nehybným bodem bude právě hmotnýstřed(toovšemnenínutnákinematickápodmínka).počátky O, O obou soustav ztotožníme a budeme předpokládat, že na počátku pohybu bude x x, y y, z z.našímúkolemjepopsatpolohusoustavy x, y, z po vykonání jisté rotace tělesa pomocí Eulerových úhlů, které se označují ϕ, ψ, ϑ. Zavedení Eulerových úhlů si znázorníme na pohybu kruhového disku, který nechťpůvodněleželvrovině y=0soustavy x, y, zakterýtrojímotočením převedemedovýslednépolohy x, y, z slibovolnouorientacíosvzhledem kinerciálnísoustavě x, y, z. 3

y y y ϑ x x 2 z z 1 ψobr. 2 ψ (uzlová z z 1 přímka) Obr.3 ϕ z x 1 x 1 O O x O O x Prvníotočeníprovedemekolemosy yoúhel ψ(obr.2),přičemžosa z, původnětotožnász,přejdedopolohy z 1 aosa x,původnětotožnásx,dopolohy x 1.Druhéotočenídiskuvykonámekolemnovéosy z 1,tzv.uzlovépřímky, oúhel ϑ(obr.3).přitomosa x 1přejdedopolohy x 2aosa y,původnětotožná s y,dokonečnépolohy y.třetíotočeníprovedemekolemtétoosy y oúhel ϕ,přiněmžosa x 2 přejdedokonečnépolohy x aosa z 1 dokonečnépolohy z (obr.3).vobr.3jsouznázorněnyrovněžúhlovérychlosti,,,kterépopisují rychlost změn Eulerových úhlů ϕ, ψ, ϑ a které leží v osách příslušných otočení. Eulerovy úhly jsou důležité zejména pro popis pohybu setrvačníku, odtud také dostaly názvy: ϕ...úhelvlastnírotace, ψ...precesníúhel, ϑ...nutačníúhel. Závěrem lze shrnout, že rotaci tělesa kolem nehybného bodu okamžitou úhlovourychlostí lzerozložitnatřirotacebuďkolemoskartézkésoustavy nebo kolem os Eulerových úhlů v souladu s rovností = x+ y+ z= + +. 1.2 Kinetická energie rotujícího tuhého tělesa V textu[9] jsme pojednali o rotaci tuhého tělesa vzhledem k nehybné ose, přičemž jako míru setrvačných účinků tělesa při této rotaci jsme zavedli veličinu 4

moment setrvačnosti vzhledem k nehybné ose: J= i m i r 2 i, (1) kde m i jeelementhmotnostituhéhotělesaar i jejehovzdálenostodnehybné osy. o viri O m i Přirotacikolemokamžitéosy obudepopissetrvačných účinků tuhého tělesa složitější. Vyjdeme ze vztahu pro kinetickou energii tělesa E k = 1 m i vi 2, (2) 2 kde rychlost i tého bodu vyjádříme užitím k Eulerovavztahuvi= ri, (3) Obr.4 přičemž veličiny jsou zřejmé z obr. 4. Rychlost vyjádříme v kartézských složkách užitím rozpisu vektorového součinu pomocí determinantu: vi= ri= i, j, ω x, ω y, ω z x i, y i, z i = =i(ω y z i ω z y i )+j(ω z x i ω x z i )+k(ω x y i ω y x i )= =iv xi +jv yi +kv zi. (4) Uvědomíme-lisi,že v 2 i = v2 xi + v2 yi + v2 zi,dostanemepodosazenído(2)vztah E k = 1 [ m i (ωy z i ω z y i ) 2 +(ω z x i ω x z i ) 2 +(ω x y i ω y x i ) 2] = 2 i = 1 m i (ω 2 2 yzi 2 2ω y ω z y i z i + ωzy 2 i+ 2 ωzx 2 2 i 2ω x ω z x i z i + ωxz 2 i+ 2 i + ω 2 x y2 i 2ω xω y x i y i + ω 2 y x2 i ). Složky úhlové rychlosti neobsahují sčítací index i. Můžeme je proto vytknout před sumační znak. Po přeskupení členů dostaneme i 5

E k = 1 2 ω2 x m i (yi+ 2 zi)+ 2 1 2 ω2 y m i (x 2 i+ zi)+ 2 1 2 ω2 z m i (x 2 i+ yi) 2 i i ω x ω y m i x i y i ω x ω z m i x i z i ω y ω z m i y i z i. (5) i i Výsledek pro kinetickou energii bude možné zapsat ve formálně jednodušším tvaru po zavedení veličin, které charakterizují rozložení hmotnosti v tělese vzhledem k okamžité poloze osy rotace. Tyto veličiny jsou složkami tenzoru setrvačnosti. 1.3 Tenzor setrvačnosti Ve výrazu(5) vystupují členy se sumací přes celé těleso, které závisejí na rozložení hmotnosti vzhledem k uvažované poloze osy rotace a jsou tedy mírou setrvačných účinků tuhého tělesa při jeho prostorové orientaci. Přijmeme pro ně označení J xx = m i (yi+ 2 zi), 2 (6) i i i J yy = i m i (x 2 i + z2 i ), (7) J zz = i m i (x 2 i+ y 2 i), (8) J xy = J yx = i m i x i y i, (9) J xz = J zx = i m i x i z i, (10) J yz = J zy = i m i y i z i. (11) Těchto devět veličin tvoří složky obecnější veličiny, která charakterizuje setrvačné účinky tělesa při obecné rotaci a která se nazývá tenzor setrvačnosti. Lze je přehledně uspořádat do matice J pq = J xx, J xy, J xz J yx, J yy, J yz, (12) J zx, J zy, J zz kde p, q= x, y, z.veličiny J xx, J yy, J zz,ležícívhlavnídiagonálematice,se nazývají momenty setrvačnosti k osám uvažované kartézské soustavy. 6

z y x 2 i + y 2 i x i OObr. 5 m i y i z i x Např. u momentu setrvačnosti J zz se podlevýrazu(8)vyskytuječlen(x 2 i +y2 i ), který je podle obr. 5 druhou mocninou vzdálenostibodu m i odosy z.jezřejmé, že momenty setrvačnosti mohou mít jen kladnou hodnotu. Ostatníveličiny J pq,pro p q,které neleží v hlavní diagonále a mají smíšené koeficienty, se nazývají deviační momenty. Jsou vztaženy vždy ke dvěma různýmosám.platíproně J pq = J qp ajsou tedy symetrické vzhledem k hlavní diagonále. Tenzor setrvačnosti má tedy jen šest nezávislých složek. Deviační momenty mohou nabývat kladných, záporných a tedy i nulových hodnot. V každém tělese lze tedy vždy najít trojici vzájemně kolmých os x, y, z,nehybnýchktělesu,vzhledemknimžvšechnydeviačnímomenty vymizí.tedytransformacíos x, y, zdopolohy x, y, z lzepřevésttenzor setrvačnosti do tvaru J pq = J 1, 0, 0 0, J 2, 0 0, 0, J 3, (13) kde J 1 = J xx, J 2 = J yy, J 3 = J zzsenazývajíhlavnímomentysetrvačnostia příslušnéosy x, y, z hlavníosysetrvačnosti.leží-lipočátek O O vztažných soustav v hmotném středu tělesa hovoříme o hlavních centrálních momentech setrvačnosti a o hlavních centrálních osách setrvačnosti. Existují-li v homogenním tělese osy souměrnosti, jsou vždy hlavními centrálními osami setrvačnosti. Tak u homogenní koule jsou všechny osy, které procházejí jejím středem, hlavní centrální osy. Stejný výsledek platí i pro homogenní krychli, i když zde všechny osy procházející jejím středem nejsou osami geometrické souměrnosti (je to dáno tím, že všechny tři hlavní momenty setrvačnosti vzhledem k osám kolmým ke stěnám krychle jsou stejné J 1 = J 2 = J 3 = ma 2 /6).Všechnyosyvyznačenéčíslicemi1,2,3vtabulcena str.28,29vtextu[9](svýjimkouprvníhozdeuvedenéhopřípadu)jsouhlavnímicentrálnímiosamiamomenty J 1, J 2, J 3 hlavnímicentrálnímimomenty setrvačnosti. Po zavedení složek tenzoru setrvačnosti(6) až(11) můžeme kinetickou energii(4) zapsat výrazem E k = 1 2 J xxω 2 x+ 1 2 J yyω 2 y+ 1 2 J zzω 2 z+ J xy ω x ω y + J xz ω x ω z + J yz ω y ω z. (14) 7

Pokudrozložímeúhlovourychlost dosměruhlavníchosnasložky x, y, z bude kinetická energie E k = 1 2 (J 1ω 2 x+ J 2 ω 2 y + J 3 ω 2 z). (15) Má-li směrněkteréhlavníosysetrvačnostidostanemeznámývztah E k = 1 2 Jω2, (16) kde J je příslušný moment setrvačnosti. Příklad 1 α Složky tenzoru setrvačnosti tyče Vypočtěte složky tenzoru setrvačnosti tenké homogenní tyče o hmotnosti m a délce l,kterájesituovánavrovině z=0podleobr.6.složkytenzorusetrvačnosti počítejte k osám naznačené kartézské soustavy. y y l dξ x ξ y α O x O x z z Obr.6 Obr.7 Řešení Ztyčevyjmemeelementdξvobecnépoloze ξodpočátku O.Jehosouřadnice jsou(obr. 7) x=ξcosα, y= ξsinα, z=0. Pro hmotnost elementu platí Složky tenzoru setrvačnosti jsou J xx = (m) y 2 dm= m l sin2 α l dm= m l dξ. 0 ξ 2 dξ= 1 3 ml2 sin 2 α, 8

J yy = (m) x 2 dm= m l cos2 α l 0 ξ 2 dξ= 1 3 ml2 cos 2 α, J zz = (m) (x 2 + y 2 )dm= m l l 0 ξ 2 dξ= 1 3 ml2, J xy = J yx = (m) xydm= m l l sinαcosα J xz = J zx = J yz = J zy =0,protože z=0. 1.4 Moment hybnosti 0 ξ 2 dξ= 1 6 ml2 sin2α, Moment hybnosti tuhého tělesa jsme v[9] definovali výrazem L= iri pi= iri m ivi, (17) provedli jsme jeho výpočet pro rotaci tělesa kolem nehybné osy a dostali jsme výraz L=J. (18) Při výpočtu momentu hybnosti při rotaci tělesa kolem nehybného bodu dosadíme do(17) zavi Eulerův vztah(3) a provedeme rozpis vzniklého dvojného vektorového součinu podle vzorcea (b c) =b(a c) c(b a). Tak postupně dostanemel= i m iri ( ri)= i m i [ (ri ri) ri( ri)]= = i m i [ (x 2 i + y2 i + z2 i ) ri(ω x x i + ω y y i + ω z z i )], (19) kdejsmeskalárnísoučinyvektorů,rivyjádřiliprostřednictvímjejichkartézských složek. Moment hybnosti je tedy vektor, jehož kartézské složky mají velikost L x = ω x m i (yi+ 2 zi) 2 ω y m i x i y i ω z m i x i z i, i L y = ω x m i x i y i + ω y m i (x 2 i + z2 i ) ω z m i y i z i, i i L z = ω x m i z i x i ω y m i z i y i + ω z m i (x 2 i + y2 i ). i i 9 i i i i

Vyjádříme-li tyto výsledky užitím složek tenzoru setrvačnosti(6) až(11) dostaneme přehledné vztahy L x = I xx ω x + I xy ω y + I xz ω z, (20) L y = I yx ω x + I yy ω y + I yz ω z, (21) L z = I zx ω x + I zy ω y + I zz ω z. (22) Bude-li volné tuhé těleso rotovat kolem jedné z hlavních os redukuje se výpočet momentu hybnosti na vztah(18). Příklad 2 Kinetická energie a moment hybnosti disku a) Kinetickou energii soustavy. b) SložkyLx,Ly,Lz momentu hybnosti soustavy. z y O 0 R Obr. 8 m r x Řešení a) Kinetická energie je dána vztahem(14). Nejprve určíme složky vektoru úhlovérychlosti.zdaného 0= yurčímevelikost xvyužitímpodmínky dokonalého odvalování disku neboli ω x = ω 0 R r. Tenký disk o hmotnosti m a poloměru r,kterýjeotočněuloženna rameni o poloměru R, jehož hmotnost zanedbáme, se dokonale odvaluje po vodorovné rovině(obr. 8). Jedáno 0.Prookamžik,kdypřechází přes kladnou poloosu x, vypočtěte: Současně z=0,protožepravýúhelmeziramenemaosouotáčeníjeneměnný. Z toho důvodu není nutné pro výpočet energie a momentu hybnosti počítat ty složky tenzoru setrvačnosti, jejichž index obsahuje písmenko z. Soustavajesymetrickákose x,protomomentsetrvačnostiktétooseje hlavním momentem setrvačnosti a osy x, y, z jsou hlavními osami setrvačnosti. Zřejmě platí J xx = J 1 = 1 2 mr2, J yy = J 2 = 1 4 mr2 + mr 2, J xy = J yx =0. 10

Pak kinetická energie E k = 1 2 ( Jxx ω 2 x+ J yy ω 2 y) = m 8 (6R2 + r 2 )ω 2 0. b) Moment hybnosti soustavy má složky, které vypočítáme ze vztahů(20), (21),(22).Neboli L x = m 2 rrω 0, L y = m 4 (r2 +4R 2 )ω 0, L z =0. 1.5 Volné osy Nejprve pojednáme o podmínkách, při kterých bude tuhé těleso v homogenním tíhovém poli v rovnováze, bude-li otočné kolem nějaké nehybné osy. Rozeznáváme dvojí rovnováhu: statickou a dynamickou. Aby těleso bylo ve statické rovnováze, musí osa rotace zřejmě procházet těžištěm, jinak by šlo o kyvadlo. Pak těleso při libovolném pozvolném otočení zůstane v klidu, protože moment tíhových sil vzhledem Rk těžišti je nulový. Tíhovou sílu, která působí na těleso, kompenzují reakce vyvolané jeho uložením v ložiskách. Je-li těleso v rovnováze statické, nemusí být při rotaci ještě v rovnováze dynamické. Při rotaci tělesa začnou na jeho elementy působit setrvačné síly, kterésouvisejísúhlovourychlostí asúhlovýmzrychlením.přirovnoměrné rotaci jsou to odstředivé síly(obr. 9). y o Fo Obr.9 R T Fo Obr. 10 O m i α i Fzi FiFxi y i α i x x z i i z Jejich působení kompenzují opět ložiska přídavnými reakcemir, které nejen zvyšují opotřebení ložisek, ale vzhledem k proměnnosti směru svého působení 11

např. vyvolávají neklidný chod strojů. Aby těleso bylo v dynamické rovnováze musí být nulový moment všech sil, tedy i sil setrvačných. Hledejme nyní podmínky, které musí být splněny pro rovnováhu tělesa při rotaci. Pro jednoduchost budeme předpokládat rovnoměrnou rotaci kolem osy y inerciálnívztažnésoustavy(obr.10).paknaelementy m i působívevztažné soustavěspojenéstělesemodstředivésíly,kterémajívelikost F i = m i ω 2 r i.pro kartézské souřadnice těchto sil v uvažované poloze tělesa platí F xi = F i cosα i = m i ω 2 x i, (23) F yi =0, (24) F zi = F i sinα i = m i ω 2 z i. (25) Pro jejich výslednice sumací přes celé těleso dostaneme F x = ω 2 i m i x i, F y =0, F z = ω 2 i m i z i. Vyjádříme-li tyto výsledky užitím souřadnic hmotného středu(srovnej s(11) v[9])dostaneme F x = ω 2 mx S, F y =0, F z = ω 2 mz S, (26) kde m je celková hmotnost tělesa. Aby všechny tyto síly byly nulové, musí být x S = y S = z S =0,tedyosarotacemusíprocházethmotnýmstředem. Aby těleso bylo v rovnováze, musí být i výsledný moment odstředivých sil kosám x, y, znulový.promomentsil(23)a(25)platí M x = i y i F zi = ω 2 i m i y i z i = ω 2 J yz, (27) M y = i z i F xi i x i F zi = ω 2 (J xz J zx )=0, (28) M z = i y i F xi = ω 2 i m i x i y i = ω 2 J xy. (29) I když bude osa rotace procházet hmotným středem bude na těleso v obecném případě působit moment sil o složkách(27),(29), který bude mít tendenci způsobit odklon deviaci rotační osy od původního směru. Aby tomu tak nebylomusíbýtdeviačnímomenty J xy, J yz nulové.přirotacinapř.kolemosy xbychomdostaliještěpodmínku J xz =0. Shrneme-li výsledky, dostali jsme z podmínkyf= 0 požadavek, že osa rotacemusíbýtcentrálníosouazpodmínkym=0požadavek,ževedletoho 12

musí být hlavní osou setrvačnosti. Těleso bude tedy v dynamické rovnováze, když bude rotovat podle jedné ze tří hlavních centrálních os setrvačnosti. Tyto osy se nazývají volné osy. Ložiska, do kterých osu rotace ukládáme, pak zachycují jen tíhové síly působící na těleso v homogenním tíhovém poli. Kdyby se dynamicky vyvážené těleso nacházelo v beztížném stavu, bylo by zatížení ložisek nulové. Jednoduchým pokusem lze ukázat, že utělesa,uněhož J 1 J 2 J 3,nejsou a) b) všechny volné osy v tělese rovnocenné. Zavěsíme-li např. na osu odstředivého stroje tyčku prostřednictvím ohebného vlákna bude při pomalé rotaci (obr. 11a) rotovat podle svislé osy. Při zvětšování otáček seosarotaceodchýlíodsvisléhosměrua při vysokých otáčkách se nastaví do vodorovné roviny(obr. 11b). I když udělíme tyčce impuls, abychom tento stav změnili, vrací se tyčka do vodorovné roviny. Stabilně rotuje kolem hlavní centrální osy, Obr. 11 vzhledem k níž má největší moment setrvačnosti. Teoretickýrozborukazuje(viznapř.[4],str.580),žeutělesa,kterémápro hlavnímomentysetrvačnostitřirůznéhodnoty J 1 > J 2 > J 3 jestabilnírotace nejenkolemhlavnícentrálníosy,vzhledemknížmánejvětšímoment J 1,ale ivzhledemkhlavnícentrálníose,vzhledemknížmánejmenšímoment J 3. Rotacekolemosy,vzhledemknížmámoment J 2,jelabilní. 1.6 Resalova věta dl dt =M, (30) Obecnou pohybovou rovnicí tuhého tělesa při jeho rotačním pohybu je druhá impulsová věta: podle níž je časová změna momentu hybnosti tělesa vzhledem k libovolnému pevnému bodu rovna výslednému momentu vnějších sil vzhledem k témuž bodu. Aplikacetétovětynařešenírotacetělesakolemnehybné osyjeprostáa byla řešena v textu[9]. Jednoduchost spočívá v tom, že moment hybnosti se počítápodlevztahul=j,kde Jjeprodanouosurotacekonstanta.Stejně jednoduše se řeší rotace tělesa kolem jedné z volných os. Při prostorové rotaci tělesa kolem pevného bodu nastávají při obecném použití rovnice(30) komplikace v tom, že osa rotace se vůči uvažované inerciální 13

soustavě pohybuje. Neustále se přitom mění hodnota složek tenzoru setrvačnosti(12). Proto Leonard Euler již r. 1765 transformoval pohybovou rovnici (30) na neinerciální soustavu pevně spojenou s tělesem. Výhoda je v tom, že vůči této soustavě jsou složky tenzoru setrvačnosti již konstantní. Pracuje se dr přitom s hlavními momenty setrvačnosti. Řešení soustavy příslušných tří skalárních diferenciálních rovnic, nazývaných Eulerovy dynamické rovnice, je velmi náročnéajezcelamimomožnostitohototextu(viznapř.[1],[2],[4]). Pro přibližné řešení prostorové rotace tuhého tělesa se s výhodou používá geometrické interpretace druhé impulsové věty(30), kterou navrhl Francouz Résal. Tvar výrazu(30) je analogický výrazu dt =v, který definuje rychlost hmotného bodu. Vektorrje tedy analogický vektoru La vektorvje analogický vektorum. Rovnost dl/dt =Mnaznačuje, že vektormje mírou rychlosti změny vektorul. Neboli rychlost koncového bodu vektorulmomentu hybnosti tělesa je rovna výslednému momentumsil, který na těleso působí. Tato geometrická podoba druhé impulsové L L+dL věty se nazývá Resalova věta. PodletétovětysetedykoncovýbodvektoruL(obr. 12) posune za časový interval dt dl=mdt M o dl=mdt a změněný moment hybnosti budel+dl=l+mdt.má-limomentsíly MsměrvektoruLměnísejenvelikostL,a protože při rotaci kolem jedné volné osy je L=J,kde J=konst.,měnísejenvelikost úhlovérychlosti.je-linaopakmstálekolmý kl,měnísejensměrl,atímisměr. OObr. 12 14

2 Pohyb setrvačníku 2.1 Setrvačník a problematika řešení jeho pohybu Setrvačníkem(gyroskopem) nazýváme ve fyzice a v technice tuhé homogenní osově souměrné(rotační) těleso s velkým momentem setrvačnosti vzhledem k ose souměrnosti, která je současně hlavní centrální osou setrvačnosti a také volnou osou, vzhledem k níž je rotace tohoto tělesa stabilní. Setrvačníky se roztáčejí vzhledem k ose souměrnosti na vysoké otáčky(u technických setrvačníků bývápočetotáčekaž50000min 1 ).Tímzískávajívelkoukinetickouenergii (Jω 2 /2)avelkýmomenthybnosti(J ). Vlastnosti, že rotující setrvačník je nositelem velké kinetické energie, se využívá ke zrovnoměrnění chodu strojů, např. výbušných motorů. Takový setrvačník ovšem rotuje kolem pevné osy a řešení jeho pohybu v inerciální vztažné soustavě je jednoduché. Zajímavý pro nás bude setrvačník, u něhož bude v inerciální soustavě pevný jen jeden bod. Tímto bodem může být buď hmotný střed (těžiště) anebo jiný bod osy souměrnosti. Takový setrvačník bude vykonávat prostorový rotační pohyb, o kterém v článku 1.1 víme, že jej můžeme rozložit navlastnírotaci,naprecesiananutaci. Jak jsme již uvedli v předchozím článku, k přesnému řešení pohybu setrvačníku je zapotřebí řešit soustavu tří Eulerových dynamických rovnic, které jsou diferenciálními rovnicemi prvního řádu pro tři neznámé úhlové rychlosti. Jejich obecné řešení není známo. Řešení se v minulosti podařilo mimo obecný případ tzv. bezsilového setrvačníku ještě jen pro pět zvláštních případů symetrického těžkého setrvačníku, z nichž nejznámější je setrvačník ruské matematičky SoniKovalevskézr.1888.Vtomtopřípadějdeotěžkýsetrvačník,uněhož J 1 = J 2 =2J 3,přičemžboduchycení(resp.bodpodepření)ležínaosesymetricképodtěžištěm,kterésenacházívprůsečíkuhlavníchos1,2(řešeníviz např.v[4],str.614). V tomto textu bude podáno přibližné řešení pohybu symetrického homogenního setrvačníku, které spočívá v předpokladu, že setrvačník bude roztočen kolem volné osy osy symetrie, vzhledem k níž má největší moment setrvačnosti. K této ose mu bude udělen velký moment hybnosti. Moment síly, působící na setrvačník, vyvolá jen takovou precesi, případně nutaci, že lze zanedbat příspěvky k momentu hybnosti od precesních a nutačních pohybů, které setrvačník koná vzhledem k jiným osám. Tento předpoklad je u technických setrvačníků splněn dostatečně přesně, protože se tyto setrvačníky otáčejí velkými úhlovými rychlostmi a mají velké momenty setrvačnosti vzhledem k ose rotace. K přibližnému řešení pohybu setrvačníku s výhodou využijeme Resalovu větu. 15

2.2 Volný setrvačník Volným(bezsilovým, astatickým) setrvačníkem nazýváme gyroskop, u nejž moment vnějších působících sil je nulový. Nepůsobí-li na setrvačník jiné síly než tíhové, bude volným, když bude podepřen v těžišti(tzv. Maxwellův setvačník na obr. 13) anebo když osy, kolem nichž se může otáčet, procházejí těžištěm T, resp. hmotným středem(setrvačník v Cardanově závěsu na obr. 14). T 3 T dl =0 Obr. 13 Obr. 14 U volného setrvačníku jem=0. Roztočíme-li jej kolem jedné volné osy, kterájeosousymetrie,jel=j.pakpodledruhéimpulsovévěty(30)platí dt atudíž (31) je vektor stálé velikosti a stálého směru. Protože při rotaci kolem volné osy majívektoryl, stejnýsměr,shodnýsesměremosysymetriesetrvačníku, zachovává osa volného setrvačníku v prostoru(přesněji řečeno v inerciálnívztažnésoustavě)stálýsměr. 1 L=J =konst. 1 Pokudvolnémusetrvačníkuneudělímerotaciúhlovourychlostí 1jenvzhledemkjedné hlavnícentrálníose,nýbržidalšírotaciúhlovourychlostí 2vzhledemkjinéhlavnícentrální ose např. tak, že klepneme na vnitřní kruh Cardanova závěsu bude pohyb setrvačníku podstatně složitější. Pro výsledný moment hybnosti bude stále platitl=konst., avšak výslednáúhlovárychlost konst.osasetrvačníkubudevykonávattzvregulárníprecesi, 1 2 16

Vlastnosti volného setrvačníku zachovávat směr volné osy, kolem níž jej roztočíme, se využívá v letectví u indikačních a stabilizačních přístrojů, jako je např. umělý horizont indikující polohu letadla v mlze, zatáčkoměr, setrvačníkový kompas a tzv. automatický pilot, který slouží k automatickému řízení a ke stabilizaci kurzu letu letadla. Dále v raketové technice k řízení pohybu raket autankukestabilizacipolohyhlavněkanónupřistřelbězajízdyvterénu. U hlavňových střel se stabilizace jejich pohybu dosahuje tím, že se jím při pohybu v hlavni udělí rotace. Ke stabilizaci jejich letu v prostoru přispívají dále dva precesní pohyby vyvolané odporem prostředí. Těmto vlivům bude věnován odst. b) v čl. 3.2. Stálost směru osy rotujícího setrvačníku je také základem stability pohybu jednostopých vozidel(jízdního kola a motocyklu). 2.3 Setrvačník podrobený působení momentu síly Uvažujme setrvačník z minulého článku, o kterém jsme předpokládali, že byl roztočen přesně podle osy souměrnosti, tedy tak, že osa setrvačníku splývá se směremmomentuhybnostil=j.působí-linasetrvačníkvnějšímomentsíly, můžeme jej rozložit do směru osy setrvačníku a do kolmice na osu. Všimněme si odděleně účinků těchto složek. a) Moment síly působí v ose setrvačníku Bude-li moment síly působit v ose setrvačníku ovlivní pouze velikost momentu hybnosti setrvačníku, a tím i velikost úhlové rychlosti setrvačníku. Tento moment tedy setrvačník roztáčí nebo brzdí. Nechťvokamžiku t=0,kdyzačnemomentvelikosti Mpůsobitvose,má setrvačníkpočátečnímomenthybnostiovelikosti L 0 = Jω 0.Pakpodledruhé impulsové věty(30) bude platit L=Jω= L 0 + t Mdt, 0 neboli ω= ω 0 + t 0 M J dt. Bude-li M = konst., bude se rotace rovnoměrně zrychlovat(resp. zpomalovat); je to analogie rovnoměrně zrychleného(zpomaleného) pohybu hmotného bodu. b) Moment síly působící kolmo k ose setrvačníku Nechť nyní působí kolmo na osu setrvačníku(obr. 15) sílaf=konst., která vzhledem k těžišti T vyvolá momentm=konst.. Omezíme se na přibližné řešení za předpokladu, že poměrně malý momentmzmění v krátkém časovém intervalu t původní moment hybnostilo Ltak, aby L L. kterou si lze představit jako valení kužele spojeneého se setrvačníkem po vnitřní(popřípadě po vnější) ploše pevného kužele podrobněji viz např.[1],[2]. 17

L LF Pak podle(30) platí Obr.15 M T L L= t. 0Mdt=M t Působí-li sílafnapř. v rovině nákresny (obr. 15), bude momentmpůsobit kolmo z nákresny. V témže směru se změní momentlo L. Osa setrvačníkusepaknastavídosměruvýslednéhomomentuhybnostil.účineksíly Fje tedy takový, že se osa setrvačníku sklápí do směru momentumvyvolanéhosilouf(tedykolmokesměrupůsobenísílyf,resp.dosměruosyvnucované silouf). c) Vliv vnější rotace na rotující setrvačník Roztočíme-li setrvačník vzhledem k jeho ose symetrie a osu uvedeme do rotačního(orbitálního) pohybu kolem osy rovnoběžné s osou vlastní rotace setrvačníku ve stejné orientaci jako setrvačník(obr. 16a), nenastane změna v pohybu setrvačníku setrvačník je ve stabilní poloze. Jakmile však obrátíme orientaci vnějšírotace(obr.16b),obrátíseosasetrvačníku(má-limožnost)o180 OM setrvačník je v labilní poloze. Tento jev lze vysvětlit užitím druhé impulsové věty. Je-li momentm, potřebný L tom k uvedení do orbitálního pohybu, L orientován opačně než vektorl, vznikne tendence k překlopení tohoto vektoru. Obr. 16a Obr. 16b Popsaný jev můžeme snadno demonstrovat setrvačníkem v Cardanově závěsu. Na základě tohoto jevu můžeme také vysvětlit, proč směr a orientace 18

úhlovérychlosti zvlastnírotacezemě(ajinýchplanet)jepřibližněstejná jakosměraorientaceúhlovérychlosti 0jejíhoorbitálníhopohybu(obr.17). 0 z S Z Obr. 17 2.4 Precese a nutace těžkého setrvačníku Názvem těžký setrvačník se označuje y rotující gyroskop v tíhovém poli uchycený g vboděmimojehotěžiště.můžejítosetrvačník podepřený v bodě O pod těžištěm Tpodleobr.18. Setrvačník roztočme úhlovou rychlostí kolem volné osy ξ osy rotační symetrie odkloněnéodsvisléosyoúhel ϑ(0 < ϑ π 2 ),kterýsenazývánutační úhel. Tím mu udělíme moment hybnosti = mgpůsobí L=J.TíhovásílaFG vzhledem k bodu O momentem o velikosti M= mgl 0 sinϑ, O ξm L=J Lsin ϑ ψ MA ϑ TFG kde mjehmotnostsetrvačníkual 0 vzdálenostbodů O, T.MomentMzřejměpůsobí kolmokroviněvymezenésvislicíaosou ξ setrvačníku. l O 0Obr.18 Podle Resalovy věty momentmvychýlí koncový bod A vektorulmomentu hybnostivesměrum.stejněsevychýlíiosa ξsetrvačníku.tímsesoučasně změnítakésměrvektorum,kterýzůstávástálekolmýkose ξ.proceszměny je spojitý a bod A bude opisovat kružnici. Tento pohyb setrvačníku se nazývá precese.úhlovourychlost= precesníhopohybu,kde je precesní úhel, určíme užitím Resalovy věty. Bod A bude vykonávat rovnoměrný pohyb 19

pokružniciopoloměru Lsinϑ=Jωsinϑ(vizobr.18)rychlostíovelikosti M= mgl 0 sinϑ.analogickyvztahuv= rprorychlostplatímezivektory M,,Lvztah M= L. (32) Pro velikost tohoto součinu dostaneme mgl 0 sinϑ=ωjωsinϑ. Odtud(ϑ 0) úhlová rychlost precesního pohybu Ω= mgl 0 Jω. (33) Jezřejmé,žetatoúhlovárychlostnezávisínanutačnímúhlu ϑ 0,tedyna odklonu osy ξ od svislice. Změní-li vektorlznaménko, roztočíme-li tedy setrvačník v opačném směru, a nezmění-li se momentm, změní se zřejmě znaménko úhlové rychlosti. Precesní pohyb potom probíhá v opačném směru. Předložené řešení neuvažuje s příspěvkem precesního pohybu k momentu hybnostil.jevšakdostatečněpřesnéproω ω. Skutečný pohyb setrvačníku je složitější. Působěním různých rušivých momentů sil, např. při dotyku osy setrvačníku s podložkou(nebo po udělení příčného impulsum t), udělíme setrvačníku další rotaci kolem jiné osy než je volná osa. Pak osa setrvačníku již nebude opisovat plášť precesního kužele s ϑ = konst.(obr.19a).nutačníúhel ϑsebudecyklickyměnitavzniklý přídavný pohyb se nazývá nutace. a) O ξ b) c) ϑ d)w Obr. 19 20

U výsledného pohybu v podstatě jde o skládání dvou kruhových pohybů, které opisuje určitý bod osy setrvačníku. Křivka, kterou tento bod opisuje, je tedy epicykloida. Může být obyčejná(obr. 19b), prodloužená(obr. 19c) nebo zkrácená(obr.19d).přitom pevnou kružnicibudereprezentovatkružnice, kterou opisuje uvažovaný bod osy při čisté precesi. Vytvořující kružnice, která se odvaluje po kružnici pevné, je dána vlastní nutací. Celkový pohyb, který vykonává tento setrvačník, se rovněž označuje jako pseudoregulární precese. 21

3 Příklady pohybu setrvačníku 3.1 Gyroskopické jevy u dopravních strojů v zatáčce Nezbytnou součástí dopravních strojů jsou rotující části. U pozemních strojů jsoutopředevšímkola;uletadel,lodíaraketjsoutozpravidlarotoryturbína kompresorů. Z fyzikálního hlediska představují tyto rotující části setrvačníky. Při změně směru pohybu(v zatáčce) se proto musí nutně projevovat gyroskopické(setrvačníkové) jevy, které nelze zanedbat. Jako příklady na pohyb setrvačníku v technické praxi uvedeme přehled těchto jevů u jednotlivých typů dopravních strojů. a) Letadlo, loď, raketa Moderní typy těchto strojů mají zpravidla turbínu a kompresor, jejichž rotory mají osu v podélné ose stroje. Výklad provedeme na případě proudového letadla (obr. 20). Moment hybnosti roztočených rotorů označímel. Chceme-li změnit směr pohybu stroje, musíme mu pomocí kormidel vnutit na jistou dobu rotační pohyb(hovoříme o vnuceném pohybu). Chceme-li např. zatočit vlevo, musí nastrojpůsobitmomentsílymv(naobr.20mířívzhůrukolmoknákresně). Tento moment však po dobu svého působení vyvolá precesní pohyb úhlovou rychlostí, přičemž podle(32) platí mezi uvedenými veličinami vztah L Mv= L. (34) Jezřejmé,žepřizatáčcevlevosebude zvedat předek letounu; letadlo bude těžké na ocas. Při zatáčce vpravo budenaopak těžkénanos.podobně se chová loď i raketa. Tento jev si můžeme snadno demonstrovat na klasickém vysavači prachu(doutníkového tvaru). Vnutíme-li mu rotaci kolem osy Mv kolménapodélnouosusklopísenám při jedné orientaci tohoto pohybu předek vysavače a při druhé orientaci za-obrdek 20 vysavače. Nyní popíšeme gyroskopický jev při vnuceném otáčení kvantitativně. Nechť otáčejícímu rotoru(setrvačníku) o momentu hybnostilvnucujeme rotaci např. vlevoúhlovourychlostí vpůsobenímmomentusílymv(obr.21).kdybytento rotor byl volným tělesem(neuloženým v ložiskách) sklápěla by se osa rotoru do směru vektorumv tak, že podle Resalovy věty by rychlost koncového bodu vektorulbylarovnamvavzniklabyprecese púhlovourychlostí.pokud 22

rotoruložímedoložisek1,2takjetomutopohybusicezabráněno,avšakrotor působí na ložiska silamifg, které jsou vyvolány gyroskopickým momentem Mg. Tento moment určíme ze vztahu, který je analogický vztahu(34). Aby vzniklapreceseúhlovourychlostí ω v muselbypodleresalovyvětypůsobit moment síly Mg, pro který analogicky(34) platí Mg= v L, neboli Mg=L v= J v. (35) Velikost gyroskopického momentu je M g = Lω v sinϑ=jωω v sinϑ. (36) Jeho směr nejlépe určíme pravidlem Žukovského: Je-li setrvačník nucen vykonávat precesní pohyb, pak vzniká gyroskopický moment, který se snaží nejkratší cestou otočit osu rotace setrvačníku(vektorl) do směru osy vnuceného pohybu. Gyroskopický moment můžeme vyjádřit ještě ve tvaru l Fg= J v, kdefgjsoupřídavnésíly,kterýmipůsobíosarotorunaložiskoaljerameno těchtosil.jelikožsílyfgjsoukolménaosu,můžemeprojejichvelikostpsát L F g = Jωω v sinϑ. (37) l p Fg MvMg ϑ 2 v 1 T Mg v l Obr.21 Fg 23

Příklad 3 Gyroskopický moment u parníku Parníkje opatřen turbínou s osou v podélné ose lodě (srovnejsobr. 21). Vypočtěte velikost gyroskopického momentumg a velikost celkové tlakové sílyf1 v předním ložisku af2 v zadním ložisku, koná-li parník manévrovací otáčenívpravoúhlovourychlostí ω v = 0,250 rad s 1.Rotormáhmotnost m=18,5 10 3 kg,momentsetrvačnosti J =2100kg m 2 ajehotěžištěje uprostředrozpětí l=5,20mložisek;otáčkyrotorujsou n=540min 1. Řešení Podrobné řešení necháváme na čtenáři a uvádíme jen výsledky: M g = πnjω v 30 =2,97 10 4 N m, F 1 = mg 2 + M g =9,65 10 4 N, l F 2 = mg 2 M g =8,50 10 4 N. l b) Dvojstopá vozidla Chceme-li dvojstopým vozidlem (automobilem) zabočit např. vlevo, musíme prostřednictvím řízení působit na kola momentem sílymv (obr. 22). Podledruhé impulsové věty však tento moment bude mít tendenci způso- Fo r bit precesi úhlovou rychlostí. O Bude vyklápět vozidlo ze zatáčky gyroskopickým momentemmgobr. 22 podle (35). mg Gyroskopický účinek kol v zatáčce je tedy nepříznivý a spolu s odstředivými silamifo zmenšuje stabilitu dvojstopého vozidla v zatáčce, neboť působí vzhledemkbodudotykuokolasvozovkouklopnýmmomentemsíly. c) Jednostopá vozidla Základem jednostopého vozidla je kutálející se kolo, které při pohybu má vedle hybnostip=mvještěmomenthybnostil=j.vykloněnímkolazesvislé rovinyomalýúhel ϑ(vizobr.23a)vzniknepůsobenímtíhovésílyfg= momentmg, který pootáčí moment hybnostilve směrumg(obr. 23b), tj. ve vodorovném směru. L Mv v Mg 24

Kolo tak začne vykonávat vedle posuvného a rotačního pohybu ještě precesnípohyb.jezřejmé,žepřináklonukolanapř.vlevodojdekjehostáčenítaké vlevo. Vrátíme-li kolo zpět do svislé roviny, precese(a tím i zatáčení) ustane. Jízdní kolo a motocykl je tedy v zatáčce stabilní. PřiřízeníkolařidítkypůsobímenakolomomentemsilyMv,kterýmuvnucuje rotaci. Situace je analogická jako na obr. 22; vzniká tedy gyroskopický momentmg. V praxi L g zpravidla kombinujeme řízení bicyklu a motocyklu nakloněním s řízením řídítky. L a) b) S S MG ϑ FG FG O Obr. 23 O 3.2 Stabilizace letu disku a střely a) Disk Abypohybdiskubylstabilníadélkavrhu conejvětší,vrhájejsportovectak,žemu udělí na počátku pohybu rotaci kolem osy souměrnosti. Disk se tedy chová jako setrvačník. Gyroskopiské jevy při pohybu disku(a podobně střely) si nejsnáze můžeme vysvětlit a demonstrovat na pohybu lepenkového kotouče(papírového pivního tácku). Vrhneme-li kotouč levou rukou, bude při pohledu shora rotovat v kladném směru(tj. proti směru hodinových ručiček). Za pohybunanějbudepůsobitodporovýslednicir. PůsobištěRnení v důsledku aerodynamickýchpoměrůvtěžišti T,nýbržvbodě Cvesměrupohybupředním(obr.24). L MCR Fv T R R Obr. 24 25

Přeneseme-litutosíludotěžištěmusímepřipojitmomentMdvojiceR,R. Tento moment způsobí precesi, takže tácek vržený levou rukou se bude stáčet vpravo.složkafvsílyr působíjakovztlakovásíla. Pohyb disku je podobný, jen precese v důsledku velkého momentu hybnostila relativně malého momentumnení tak výrazná. Vztlaková sílafv nadnáší disk(zmenšuje tedy účinek tíhové síly) a zejména v sestupné části balistické křivky prodlužuje délku vrhu. Protože vztlaková síla je neustále kolmá k rovině kotouče(disku) a kotouč sevdůsledkuprecesenatáčí,vznikáodchylkavpohybunatustranu,nakterou se natáčí. U střel se této odchylce říká derivace(terminologicky by však bylo správnější hovořit o deviaci). b) Střela Ve vojenství je využito vlastností setrvačníku ke stabilizaci pohybu hlavňových střel,kterýmsevhlavniudělujerotace,atímimomenthybnostil.zapohybu působí na střelu odpor vzduchur, jehož působiště C je mimo těžiště směrem kešpicistřely(obr.25).sílardáváktěžišti TmomentMkolmýkroviněproložené osou střely a tečnou k trajektorii pohybu. Působením tohoto momentu bude střela vykonávat precesní pohyb. V důsledku tření vzduchu o povrch rotující střely, které je největší na čelní náporové straně střely, vzniká další moment síly, který zmenšuje nutační úhel ϑ. Působením tohoto momentu sleduje osa střelystáletečnukbalistickédrázestřelyadopadátaknacílšpicí.vevakuu R LM (např. na Měsíci) by naopak osa střely zachovávala směr osy hlavně a dopadla bynacíldnem,cožbynebylozhlediskaúčinkustřelyžádoucí. M l C vϑ T d Obr.25 Kvantitativní řešení naznačeného problému je složité. Jde o nalezení optimálního vztahu mezi velikostí momentu hybnostila velikostí momentu síly M. Moment hybnosti se dá pro danou střelu a její úsťovou rychlost ovlivnit její úhlovou rychlostí, tj. stoupáním závitů v hlavni. Moment sílymse dá ovlivnit především polohou působiště C sílyrvůči těžišti T střely. Toho se 26

dosahuje vhodnou konstrukcí pláště střely, zejména její přední částí, která má tvar ogivalu. Podrobnější analýzu precesního a nutačního pohybu střely lze nalézt v článku[10]. Příklad 4 Kinetická energie a precese střely Střelaráže(tj.vnějšíhoprůměru) d=100mmahmotnosti m=30,0kgbyla vystřelenazhlavněkanónupočáteční(tzv.úsťovou)rychlostí v 0 =900m s 1. Vhlavnibylastřeleudělenarotacetak,žesestřelazařezávaladozávituostoupání s=30d.vdůsledkukmituhlavněpřivýstřeluseosastřelyodchýlilaod tečnykdrázeomalýúhel ϑ.vevzduchubudenastřelupůsobitsílaodporu vzduchovelikosti R=2,00 10 3 Nvesměrurovnoběžnémstečnouktrajektorii, atovpůsobišti Cvzdálenémol=1,5dodtěžistě(vizobr.25). Vypočtěte: a) celkovou počáteční kinetickou energii střely, b) kolikotáčekprecesníhopohybusřelavykoná,je-lidobaletustřely t=64,1s a budeme-li předpokládat R = konst. Při výpočtu momentu stervačnosti považujte střelu zjednodušeně za válec. Řešení a) Pro celkovou počáteční kinetickou energii střely platí E k = 1 2 (mv2 0+ Jω 2 ), kde J= 1 2 m ( d 2 ) 2 a ω= 2π T, přičemž Tjedobapotřebnákjednéotáčcestřelyvhlavni,tj.kproběhnutí závitu výšky s. Platí tedy s=v 0 T= 2πv 0 ω, ztoho ω=2πv 0 s Pak po dosazení do hořejšího vztahu dostaneme [ E k = 1 2 mv2 0 1+ 1 2 = πv 0 15d. ( ) ] 2 π =1,22 10 7 J=12,2MJ. 30 b) Střela bude vykonávat precesní pohyb úhlovou rychlostí(33). Velikost momentusílyje M = Rlsinϑ=1,5Rdsinϑ,velikostmomentuhybnostije L=Jω= πmv 0d 120. Po dosazení do výrazu(33) dostáváme Ω= 180 π 27 R. mv 0

Velikost úhlové rychlosti precesního pohybu tedy nezávisí na úhlu ϑ(pro velké ϑ by však střela ztratila v důsledku změny aerodynamických poměrů stabilitu). Doba jedné otáčky je T p = 2π Ω = π2 mv 0 90R, pro počet otáčet precesního pohybu během letu střely dostáváme n= t. T p Číselně: T p =1,48s, n=43,3. M 3.3 Lunisolární precese Země Země je velký setrvačník. Její pohyb po přibližně eliptické trajektorii ekliptice je řízen gravitačním polem Slunce a rušen gravitačním polem blízkého Měsíce. Protože Země má přibližně tvar zploštělého elipsoidu a protože její osa není kolmá k rovině ekliptiky ani k rovině měsíční trajektorie, neprochází výslednice gravitačních sil od působení Slunce a Měsíce hmotným středem S Země. Tento fakt si můžeme vysvětlit tak, že do elipsoidu Země vepíšeme kouli podle obr. 26. ke Slunci M F 1 > F 2 F1 S F2 L rovina ekliptiky ϑ Obr. 26 Pak na část zbylého prstence, která je blíže ke Slunci, působí větší přitažlivá sílaf1 než přitažlivá sílaf2 působící na jeho vzdálenější část. V důsledku toho vznikne popřenosusildohmotnéhostředu S momentmsilovédvojice. Jeho velikost se při pohybu Země mění. Největší je v době zimního slunovratu (polohajenaznačenanaobr.26)aletníhoslunovratu.naopakjenulovývdobě jarní a podzimní rovnodennosti. MomentMvyvolává základní solární precesní pohyb Země, jehož úhlová rychlost se mění v důsledku proměnnostim. Protože směrmíří na opačnou stranu roviny ekliptiky než úhlová rychlost vlastní rotace Země(tento směr udává vektorl), hovoříme o protiběžné precesi. Velikost i směr výsledného rušivého momentumponěkud ovlivňuje skutečnost, že kolem Země obíhá Měsíc, jehož eliptická trajektorie leží v rovině, 28

kterájevzhledemkroviněekliptikyskloněnao5 09.GravitačnívlivMěsíce jenezanedbatelnýaprojevujesetím,že moduluje momentm.tomáza následek, že se k základnímu solárnímu precesnímu pohybu superponuje druhotný lunární precesní pohyb a výsledkem je lunisolární precese, u níž se mění nutační úhel ϑ; vzniká tedy nutační pohyb. Perioda solární precese jeasi25725let,jetotzvplatónskýrok.středníhodnotanutačníhoúhluje ϑ=23 27,periodalunárníprecese(nutačníperioda)je18,61roku.Periodické změny nutačního úhlu jsou velmi malé, neboť zemská osa opisuje kolem svéstřednípolohynutačníelipsu,jejížvelkápoloosaje9,21 amalápoloosa 6,86 [11]. Lunisolární precese(resp. její astronomické důsledky) byla známa již starověkému astronomovi Hiparchovi z Nikaie v roce 140 př.kr. Srovnával astronomické souřadnice hvězd ze svých měření s výsledky měření svých předchůdců a zjistil, že ekliptikální délky hvězd vzrostly. Fyzikálně se tento jev podařilo vysvětlit až Newtonovi na základě jeho zákona všeobecné gravitace. Přímým astronomickým důsledkem lunisolární precese jsou postupné změny poloh hvězd při orientaci podle noční oblohy. Nyní sever určujeme podle známé hvězdy Polárky, pro staré Egypťany kolem r. 2600 př.kr. byla nejbližší jasnou hvězdou u světového pólu hvězda Thuban v souhvězdí Draka. V důsledku lunisolární precese se pozvolna mění poloha hvězd vůči rovníkové souřadnicové soustavě druhého druhu (spojené s jarním bodem). Zemská osa bude směřovat nejblíže k Polárce v roce 2115, kdyjejíodklonodsměrukpolárcebudejen21.vroce14100budeorientačním bodemprosvětovýpólhvězdavegavsouhvězdílyry,kolemr.21000tobudeopět Thuban. Polárka se ke světovému pólu znovu přiblíží kolem r. 28 000. Lunisolární precese má ovšem i závažnější důsledky. Při pohybu Země po ekliptické trajektorii dochází ke střídání ročních období v závislosti na úhlu, který svírá zemská osa se spojnicí středů Země a Slunce. Toto střídání ročních období se neopakuje přesně s periodou oběhu středu Země po ekliptické trajektorii(tato perioda se nazývá siderický rok). V důsledku lunisolární precese je za jeden platónský rok(tj. za 25 725 siderických roků) o jeden cyklus ročních období více než oběhů po ekliptické trajektorii. Problém časování ročních období komplikuje ještě skutečnost, že sklon roviny ekliptické trajektorie Země se v důsledku gravitačního působení ostatních planet nepatrněmění vsoučasnédoběsezmenšnujeo0,47 zarok,přičemžúčinektohoto pohybu poněkud zmenšuje vliv lunisolární precese na střídání ročních období. Problém se astronomicky vyřešil zavedením jarního bodu jako polohy Slunce na ekliptice(tj. na trajektorii zdánlivého ročního pohybu Slunce po obloze), v níž se nachází v okamžiku jarní rovnodennosti. Přesněji je to průsečík ekliptiky se světovým rovníkem, v němž se Slunce nachází při jarní rovnodennosti. Tento okamžik je astronomický počátek jara. V důsledku popsaných precesních pohybů není poloha jarního bodupevná,nýbržtentobodjdevstřícsluncio50,2528 zarok(tentoúdajplatilpro rok 1974). Proto je doba mezi dvěma průchody Slunce jarním bodem, tzv. tropický rok,vprůměruasio20minutkratšínežsiderickýrok. 29

3.4 Larmorova precese S gyroskopickými efekty se setkáváme i v atomistice. Na závěr tohoto textu si proto zjednodušeně vysvětlíme tutu aplikaci mechaniky. Elektron v atomu má v určitém stavu orbitální moment hybnosti a spin, tj. vlastní moment hybnosti a odpovídající magnetické momenty. Dostane-li se atom do vnějšího magnetického pole o indukcib, vzniká Zeemanův jev rozštěpení některých spektrálních čar v optickém spektru. Podle hrubé mechanisitické představy lze tento jev objasnit precesním pohybem roviny, v níž leží trajektorie, kterou koná elektron v coulombovském elektrostatickém poli jádra. Elektronu na určité trajektorii(obr. 27) přísluší moment hybnostil= =2m ewatakémagnetickýmomentm= ew,kde m e jehmotnostelektronu, e elementární náboj awplošná rychlost elektronu. Z hlediska gyroskopického efektu lze trajektorii považovat za elementární proudovou smyčku, jíž přísluší magnetický momentm, a také moment hybnostil. Jak se odvozuje v elektromagnetismu, bude na ni v poli indukcebpůsobit moment silové dvojice L M M=m B, kterýjekolmýkoběmavektorůmb,ma B tudížikl.působenímmomentumbude elektronová trajektorie konat precesi, která je zcela analogická precesi těžkého setrvačníku(čl. 2.4).Pro výpočet úhlové rychlosti precese užijeme Resalovy věty. Podle ní m M platí L sinϑ = M = m B sinϑ, ϑ neboli 2m e w sinϑ=e w B sinϑ. Pro ϑ 0 dostaneme Larmorovu úhlovou rychlost Ω= eb. 2m e Obr.27 Vkvantovéfyzice pojem trajektorieelektronu ztrácívýznamaproto ani představu o magnetickém momentu nelze vázat na představu o lineárním proudu. Avšak, i tak lze dokázat, že Zeemanův jev lze objasnit precesním pohybem vektoru orbitálního momentu hybnosti a také precesním pohybem spinu kolem vektorub=konst. Přitom velikost průmětu momentu hybnostili spinusdo směru vektorubse zachovává, a precese probíhá rovněž s LarmorovouúhlovourychlostíΩ= eb.larmorovouprecesísevysvětlujídiamagnetické vlastnosti 2m e látek(magnetik). 30

4 Úlohy A. Řešené úlohy 1. Složky tenzoru momentu setrvačnosti zalomeného hřídele Vypočítejte složky tenzoru setrvačnosti zalomeného hřídele,kterýjeuloženvložiskách A, B(obr28). Hmotnost hřídele je m, poloměr půlkružnic je r. r A O Obr. 28 y B r x Řešení Hřídel sestává ze dvou částí; z každé vyjmeme element o poloze ϕ(obr. 29). Souřadnice elementů: x = rsinϕ, x = rsinϕ, y = r(1 cosϕ), y = r(1 cosϕ), z = 0, z = 0, y r dϕ ϕ dm dm=µrdϕ. Délková hustota hmotnosti je O x µ= m 2πr. dm ϕ dϕ Složky tenzoru setrvačnosti: J xx =2 (m) y 2 dm=2µr 3 π 0 (1 cosϕ) 2 dϕ=2µr 3 π 0 Obr. 29 (1 2cosϕ+cos 2 ϕ)dϕ= [ =2µr 3 ϕ 2sinϕ+ ϕ ] π 2 +1 4 sin2ϕ =3µπr 3 = 3 0 2 mr2, 31

J yy =2 (m) J zz =2 x 2 dm=2µr 3 (m) J xy = J yx =2 π (x 2 + y 2 )dm=2µr 3 (m) 0 =2µr 3 =2µr 3 [ sin 2 ϕdϕ=µr 3 ϕ 1 ] π 2 sin2ϕ =µπr 3 = 1 0 2 mr2, π 0 π 0 (sin 2 ϕ+1 2cosϕ+cos 2 ϕ)dϕ= (2 2cosϕ)dϕ=4µπr 3 =2mr 2, } {{ } 2π xydm=2µr 3 π 0 π 0 sinϕ(1 cosϕ)dϕ= (sinϕ 1 2 sin2ϕ)dϕ =4µr 3 = 2 π mr2, } {{ } 2 J xz = J zx = J yz = J zy =0, protože z=0. 2. Roztáčení setrvačníku třecí spojkou Na dvou hřídelích jsou namontovány setrvačníky 1, 2, přičemž hří- 2 1 dele mohou být spojeny prostřednictvím třecí spojky S (obr. 30). Při rozpojené spojce je nejprve roztočensetrvačník1tak,žemá n 1 = 3000 otáček za minutu. Setrvačník2jenapočátkuvklidu.Poté je prostřednictvím třecí spojky připojen druhý hřídel a setrvačník se SObr. 30 začne postupně zrychlovat, až se oba setrvačníky budou otáčet stejnou úhlovourychlostíasoustavahřídelůbudemít n 12 =1800otáčekzaminutu. Prvnísetrvačníkishřídelemmámomentsetrvačnosti J 1 =6,0kg m 2. 32

Vypočtěte: a) Jakýjemomentsetrvačnosti J 2 druhéhosetrvačníkuishřídelem. b) Kolikmechanickéenergie E k soustavaztratilapřispojení. Řešení a) Platí zákon zachování momentu hybnosti J 1 ω 1 =(J 1 + J 2 )ω 12. Odtud ( ) ( ) ω1 n1 J 2 = J 1 1 = J 1 1 =4,0kg m 2. ω 12 n 12 b) E k = 1 2 J 1ω 2 1 1 2 (J 1+ J 2 )ω 2 12 =1 2 ( π 30 ) 2 n 1 (n 1 n 12)J 1 =118kJ. 3. Volně otáčivá tyč Tenkáhomogennítyčodélce lahmotnosti msevolněotáčípovodorovné dokonalehladkéroviněúhlovourychlostí 0kolemsvéhostředu.Zachytímeli náhle jeden konec tyče, začne se tyč otáčet kolem tohoto konce. Vypočtěte úhlovourychlost,kterousetyčnyníbudeotáčet,akolikmechanické energie E k přitétozměněztratí. Řešení Zákon zachování momentu hybnosti: J 0 ω 0 = Jω, 1 12 ml2 ω 0 = 1 3 ml2 ω ω= ω 0 4. Ztráta mechanické energie: E k = 1 ml 2 2 12 ω2 0 1 ml 2 2 3 ω2 = 1 ml 2 2 12 ω2 0 1 ml 2 ω0 2 2 3 16 = ml2 ω0 2. 32 33

4. Působení příčné síly na setrvačník y Na vzpřímený setrvačník o hmotnosti m roztočený úhlovou rychlostí kolemosysymetrie,vzhledemknížmá moment setrvačnosti J, působíme po krátkou dobu t siloufrovnoběžnou sosou x(obr.31).popištechovánísetrvačníku, tj. vypočtěte úhel ϑ, o který seza todchýlíjehoosa,apopištepohyb, který poté bude setrvačník vykonávat. Řešení l g F l 0 x m, J Obr. z 31 Osasetrvačníkuseodchýlívrovině x=0odosy yoúhel ϑ=arctg M t L Fl t Jω a setrvačník současně začne vykonávat precesní pohyb s úhlovou rychlostí (33): Ω= mgl 0 Jω. Osa setrvačníku bude opisovat kužel o vrcholovém úhlu ϑ úhlovou rychlostí, jejíž velikost na tomto úhlu nezávisí. O T 5. Precese disku na rameni Homogennídiskohmotnosti mapoloměru rjeotočněuložennarameni R zanedbatelné hmotnosti v sestavě podle obr. 32. Disk roztočíme velkou úhlovourychlostí kolemosysymetrie.popištepohyb,kterýbudedisk vykonávat. Řešení y Na disk působí moment tíhové síly m ovelikosti M = mgr. Rotující disk, jehož moment hybnosti má velikost O L=Jω= mr2 ω, 2 bude vykonávat precesi okolo osy y s úhlovou rychlostí o velikosti r x Ω= M L =2gR r 2 ω. g R Obr. 32 34

6. Gyroskopický moment setrvačníku v rámu Setrvačníkvetvaruválcovéhodiskuopoloměru rahmotnosti mseotáčí úhlovourychlostí ω 1 vúhlopříčcečtvercovéhorámuzanedbatelnéhmotnosti podleobr.33.rámseotáčíkolemsvisléosyúhlovourychlostí ω 2.Určete gyroskopický moment a reakce v ložiskách A, B, které jím budou vyvolány. Řešení Pro gyroskopický moment podle(35) platí B Mg= J 1 2, kde J= 1 2 mr2. Velikost gyroskopického momentu je tedy l 2 r 1 M g = 1 2 mr2 ω 1 ω 2 sinα= 2 4 mr2 ω 1 ω 2. VektorMg je kolmý k rámu a v dané poloze rámu míří před nákresnu. Reakce RA= RB,kteréjejvložiskáchkompenzují, leží v rovině nákresny a mají velikost 2 R A = R B = 4l mr2 ω 1 ω 2. α A!Obr. 33 m 7. Gyroskopický moment u letadla Otočné části leteckého motoru včetně vrtule mají moment setrvačnosti J = 25kg m 2.Vrtuleseotáčí n=2400otáčkamizaminutu.vypočtětegyroskopický momentmg působící na letadlo, které prolétá rychlostí v = 450 km/h pravotočivou zatáčku po vodorovné kružnici o poloměru R = 280 m. Jaký účinekbudemíttentomoment,kdyžsevrtulezpohledupilotaotáčíve směru rotace hodinových ručiček? Řešení Gyroskopický moment určíme pomocí vztahů: Mg= J v, ω= πn 30, ω v= v R, v, kde vjeúhlovárychlostvynucenérotace(obr.34).velikostgyroskopického momentu tedy je 35