Řešení úlo elostátnío kola 60. ročníku fyzikální olympiády Úloy narli J. Tomas 1,, 3) a V. Wagner 4) 1.a) Z ronosti ydrostatiký tlaků 1,5Rρ 1 g = 1 ρ g 1 = 1,5R ρ 1 = 3 R = 3,75 m. ρ 8 1 b) Označme ýšku kapaliny praém rameni. Pak platí: Rρ 1 g = ρ g = R ρ 1 ρ = R. bod Rozraní mezi kapalinami se posune o d = 1 = R 3 8 R = 1 R = 1,5 m. 8 ) Protože setračná odstřediá síla, která působí na obě kapaliny e odoroné části trubie, záisí na jeji motnosti, posune se rozraní mezi kapalinami dopraa. Při otáčení U-trubie působí na každý element motnosti dm = Sρdr setračná odstřediá síla, jejíž elikost záisí na zdálenosti r od osy otáčení df = dm ω r = Sρdr ω r. Celkoá setračná odstřediá síla působíí na kapalinu e odoroné části trubie naázejíí se e zdálenosti od r 1 do r od osy otáčení je určena integrálem r F = Sρω rdr = Sρω r r1. r 1 Na odoroný sloupe kapaliny o déle R a ustotě ρ 1 působí setračná odstřediá síla o elikosti F o1 = Sρ 1 ω R směrem dolea, na odoroný sloupe kapaliny o déle x a ustotě ρ 1 pak působí setračná síla o elikosti F o = Sρ 1 ω x směrem dopraa. Konečně na odoroný sloupe kapaliny o déle R x a ustotě ρ setračná síla o elikosti F o3 = Sρ ω R x směrem dopraa. Protože ladina praé části nádoby o zdálenost x stoupne a leé části nádoby o stejnou zdálenost klesne, musíme zít úau i změnu ydrostatiké tlakoé síly. Hydrostatiká tlakoá síla působíí zlea se sníží o F 1 = xρ 1 gs, tlakoá síla působíí zpraa se zýší o F = xρ gs. V ronoáze na rozraní kapalin nyní bude platit F o1 + F 1 = F o + F o3 F.
Po dosazení a zkráení ρ 1 ω R ρ 1ω x ρ ω R x + xρ 1 g + xρ g = 0, ρ 1 ω R ρ 1 ω x ρ ω R x ) + xgρ 1 + ρ ) = 0. Úpraou získáme kadratikou ronii x + xgρ 1 + ρ ) ω ρ ρ 1 ) R = 0, x + 0,081 75x 0,01 = 0. Ronii youje kladný kořen x = 6,7 m..a) Označme zdálenost pístu od leé základny a, od praé základny b a ýšku ále l. Na počátku děje platí: y 1 y = b 1) a a po jeo skončení y y = b 1. ) a 1 Ze zobrazoaí ronie 1 a + 1 b = 1 + 1 a 1 b 1 a z ronie a + b = a 1 + b 1 zjistíme, že ostrý obraz podrué znikne, když bude a 1 = b a b 1 = a. Ze ztaů 1) a ) plyne y = y 1 y aa 1 bb 1 = y 1 y y = y 1 y =,0 m. b) Označme V 1 počáteční objem leé části a V počáteční objem praé části nádoby, n 1 látkoé množstí jednoatomoéo plynu leé části nádoby a n látkoé množstí douatomoéo plynu praé části nádoby. Pro elkoý objem platí V = V 1 + V. 3) Protože poměr elikosti obrazu a předmětu je na počátku pokusu : 1 a na koni pokusu 1 : a průřez ále je stálý, je i poměr V V 1 =. V okamžiku zniku druéo ostréo obrazu na stínítku bude objem leé části nádoby V a praé části V 1. Protože tlak a teplota leé i praé části nádoby byly na počátku stejné, bude ze staoé ronie platit k = V V 1 = n n 1 =. 4)
V praé části nádoby se plyn izotermiky stlačil, tedy podle Boyle Mariotteoa zákona bude jeo konečný tlak V n p = p 0 = p 0 = kp 0 = 10 5 Pa, 5) V 1 n 1 stejný tlak bude i leé části nádoby. body ) Energie získaná z žároky se spotřebuje na zýšení nitřní energie plynu leé části nádoby a na prái nější sil při izotermikém stlačení praé části nádoby s yužitím ztaů 3), 4) a 5): Q = U + W = = 3 pv p 0 V 1 ) + p 0 V ln V = 3 V 1 [kp 0V V 1 ) p 0 V 1 ] + p 0 V V 1 ) ln k = = 3 [kp 0 V V ) ] V p k + 1 0 + p k + 1 0 V V ) ln k = k + 1 [ ] [ 3 k ln k 3 = p 0 V k 1) + = p k + 1 0 V + ] 3 ln = 390 J. Pro tepelný ýkon žároky platí P = U I = Q t = Q t UI = p [ ] 0V 3 k ln k k 1) + = UI k + 1 [ 3 = p 0 V + ] 3 ln = 310 s. body 3.a) Teplo se na rezistoru uolňuje s ýkonem P = U R = U S = U πr. Tento ρl ρl ýkon je přímo úměrný elikosti poru rezistoru bez podsta a rozdílu teplot mezi rezistorem a okolím P = α πrl t. Poronáním ztaů t = U πr α πrρl = U r α ρl. Zětší-li se rozměry rezistoru dakrát, bude teplotní rozdíl dakrát menší, tedy teplota rezistoru bude 5 C. body b) Doba olnéo pádu tělesa záisí na ýše a na tíoém zrylení τ = g. Tíoé zrylení záisí na motnosti planety a na jejím poloměru g = G M 4 R = G 3 πr3 ρ = G 4 3 πrρ. R Bude-li poloměr planety poloiční, bude tíoé zrylení dakrát menší a doba olnéo pádu ze stejné ýšky krát ětší. body
) Označme t stálý teplotní rozdíl zduu a ody, S por rybníka, l t měrné skupenské teplo tání ledu, λ součinitel tepelné odiosti ledu a ρ jeo ustotu. V daném okamžiku má led tloušťku x a za elmi krátkou dobu dτ znikne na jeo spodním poru rstička ledu tloušťky dx. Současně se lineární rozložení teplot ledu předozí tloušťky x změní na noé lineární rozložení teplot ledu na tloušťe x + dx. Teplo uolněné při obou proese odebere zdu nad jeo porem. l t dm + Sρ t dx = l tsρdx + Sρ t t dx = λs x dτ dτ = l tρ ρ xdx + λ t λ xdx τ = lt ρ λ t + ρ ) λ 0 xdx = l tρ λ t + ρ 4λ = k. Jestliže za 1 den znikla rsta o tloušťe, znikne za da dny rsta o tloušťe. d) Teplo, které dodáá zdroj stáléo proudu, slouží k ypařoání ody. Označme a šířku, b délku a počáteční ýšku kapalinoéo tělesa. Za krátkou dobu dt se ýška x ladiny změní o dx dx < 0) odpařením kapaliny o motnosti dm = ρ k ab dx. Za stejnou dobu zdroj dodá energii RI dt = ρ b ax I dt = l dm = l ρ k ab dx xdx = ρi l ρ k adτ = kτ. Integroáním ] τ0 [ x xdx = k dτ 0 Všena kapalina se ypaří za dobu τ 1 : 0 τ1 [ ] x 0 xdx = k dτ 0 Druá poloina obsau nádoby se odpaří za dobu = 8 = kτ 0 = 8 3 kτ 0. = = kτ 1 τ 1 = k = 4 3 τ 0 = 13 min. τ 1 τ 0 = k τ 0 = 4 3 τ 0 τ 0 = 1 3 τ 0 = 3,3 min. 4.a) Z kinetiké energie jádra železa určíme s yužitím nerelatiistiký ztaů jeo rylost ) ) E ki = m 0 = m 0 = Eki. =,
Po dosazení = 80,0 MeV 57,933 74 931,494 095 6 0,510 999) MeV = 0,101 9. Rylost dopadajíí jader železa určená nerelatiistiky je 0,101 9. Při yužití relatiistiký ztaů dostaneme = 1 = + E ki, 1 1 1 + E ki ). Po dosazení: = 1 1 ) = 0,101 5. 80 MeV 1 + 57,933 74 931,494 095 6 0,510 999) MeV Rylost dopadajíí jader železa určená relatiistiky je 0,101 5. body b) Výšku oulomboské bariéry E C získáme ze ztau iz studijní text př. 8): Z Fe Z Pb E C = α R 3 ). 0 AFe + 3 APb Po dosazení: E C = 1 6 8 197,3 MeV fm 137 1,3 fm 3 58 + 3 ) = 41 MeV. 08 Kinetiká energie atomů železa je 80,0 MeV a je tedy yšší než oulomboská bariéra. body ) Vypočteme klidoé energie: 58 6Fe ) = 57,933 74 931,494 095 MeV 6 0,510 999 MeV = 53 951,17 MeV, 08 8Pb ) = 07,976 65 931,494 095 MeV 8 0,510 999 MeV = 193 687,11 MeV, 66 108Hs ) = 66,130 045 931,494 095 MeV 108 0,510 999 MeV = 47 843,378 MeV. Energie reake je pak Q = [ A 58 r 6Fe ) + A 08 r 8Pb )) A 66 r 108Hs )] m u Po dosazení: Q = [57,933 74 + 07,976 65) 66,130 045] 931,494 095 MeV = = 05,040 MeV.
Pro sloučení jader platí zákon zaoání energie E ki + Q = E kf + E x, kde E x je exitační energie složenéo jádra. Vzledem k tomu, že na praé straně ronie jsou dě neznámé eličiny, použijeme ještě zákon zaoání ybnosti. Protože klidoá energie jádra železa je řádu 10 4 MeV a jeo kinetiká energie řádu 10 MeV, použijeme nerelatiistiký zta mezi ybností a kinetikou energií. E k = p p = E0 E k m 0 E k =. m 0 Zákon zaoání ybnosti pro naši reaki bude mít tar: p i = p f p i 58 6Fe ) = p f 66 108Hs ), E0 58 6 Fe) E ki = E 0 66 108 Hs) E kf, E 58 0 6Fe ) E ki = E0 66 108Hs ) E kf =E 66 0 108Hs ) E kf. V ronii jsme yužili poznatek, že klidoé energie jádra assia základním a exitoaném stau si jsou téměř rony. Z ronie yjádříme E kf Ekf = E 58 0 6Fe ) E ki 66 108 Hs) a dosadíme do zákona zaoání energie E x = E ki + Q E 58 0 6Fe ) E ki 66 108 Hs) = E ki 1 66 58 6Fe ) 108 Hs) ) + Q. Po dosazení ) 53 951,17 MeV E x = 80,0 MeV 1 + 05,040 MeV) = 14,0 MeV 47 843,378 MeV Exitační energie jádra assia je 14,0 MeV. 4 body d) Rylost jádra assia určíme z jeo kinetiké energie. 53 951,17 MeV 80,0 MeV E kf = = 61,0 MeV, 47 843,378 MeV = E kf 66 108 Hs) = 61,0 MeV = 0,0. 47 843,378 MeV Rylost jádra assia je 0,0.