M - Příprava na 2. čtvrtletku - třída 3ODK Učebnice určená k přípravě na 2. čtvrtletní písemnou práci. Obsahuje učivo ledna až března. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete na www.dosli.cz.
± Vzájemná poloha Stereometrie Stereometrie je prostorová geometrie; zabývá se prostorovými útvary - tělesy. Vzájemná poloha přímek v prostoru Přímky v prostoru mohou být: rovnoběžné rovnoběžné různé (nemají žádný společný bod) rovnoběžné splývající (mají nekonečně mnoho společných bodů) různoběžné (mají právě jeden společný bod); zvláštním případem různoběžných přímek jsou přímky, které jsou na sebe kolmé. mimoběžné (nemají žádný společný bod, ale nejsou rovnoběžné) Vzájemná poloha rovin v prostoru Roviny v prostoru mohou být: rovnoběžné rovnoběžné různé (nemají žádný společný bod a vzdálenost obou rovin v kterémkoliv místě je vždy stejná) rovnoběžné splývající (mají nekonečně mnoho společných bodů a kterákoliv z obou rovin je vždy podmnožinou roviny druhé) různoběžné (mají nekonečně mnoho společných bodů, které vytvářejí přímku, zvanou průsečnice rovin); zvláštním případem různoběžných rovin jsou dvě roviny, které jsou na sebe kolmé. ± Krychle, kvádr, hranol Krychle 1 z 21
Krychle je prostorové těleso, které je tvořeno osmi vrcholy, šesti stěnami a dvanácti hranami. Důležité vzorce: S = 6.a 2... S je povrch krychle, a je hrana krychle V = a 3... V je objem krychle, a je hrana krychle u s = a.ö2... u s je stěnová úhlopříčka, a je hrana krychle u t = a.ö3... u t je tělesová úhlopříčka, a je hrana krychle Kvádr Kvádr je těleso, které je tvořeno osmi vrcholy, šesti stěnami, z nichž každé dvě protější jsou shodné a dvanácti hranami, z nichž zpravidla čtyři jsou vždy shodné. Důležité vzorce: Použité veličiny: a, b, c... délky hran kvádru S... povrch tělesa V... objem tělesa u s... stěnová úhlopříčka u t... tělesová úhlopříčka Zkratka CZ značí tzv. cyklickou záměnu, což představuje záměnu hran v odpovídajícím pořadí. S = 2.(ab + ac + bc) V = a.b.c u s = Ö(a 2 +b 2 )... CZ u t = Ö(a 2 +b 2 +c 2 ) Pozn.: Zvláštním případem je kvádr se čtvercovou podstavou 2 z 21
Pokud budeme uvažovat a = b, pak vzorce budou v následující podobě: S = 2a 2 + 4ac V = a 2.c u s = a.ö2 (pro podstavu) nebo u s = Ö(a 2 +c 2 ) (pro boční stěnu) u t = Ö(2a 2 +c 2 ) Hranol Hranol je prostorové těleso, které je tvořeno dvěma shodnými podstavami, které mohou mít tvar libovolného n-úhelníku, a pláštěm, který tvoří n obecně různých obdélníků. Pozn.: Pokud n-úhelník tvořící podstavu má všechny strany stejně dlouhé, pak nazýváme hranol pravidelný. V tomto případě plášť tvoří shodné obdélníky. Pozn.: Pokud má hranol kteroukoliv boční hranu kolmou k rovině podstavy, nazýváme ho hranol kolmý. Budeme se zabývat v dalších výpočtech pouze komými hranoly. Důležité vzorce: S = 2.S p + S Q V = S P. v... S P je obsah podstavy, S Q je obsah pláště... S P je obsah podstavy, v je výška tělesa Uvedené vzorce musíme vždy konkretizovat pro konkrétní zadané těleso. 3 z 21
± Kvádr, krychle, hranol - ukázkové příklady 1. Trojboký hranol má podstavu tvaru pravoúhlého trojúhelníku, jehož odvěsny mají délky 3 cm a 4 cm. Výška hranolu je 0,25 m. Vypočtěte jeho objem. a = 3 cm b = 4 cm v = 0,25 m = 25 cm V =? ---------------------------------- 454 V = S p.v a. b V =. v 2 V = 150 cm 3 Objem hranolu je 150 cm 3. 2. V akváriu tvaru kvádru o rozměrech dna 25 cm a 30 cm je 13,5 litru vody. Vypočtěte, do jaké výšky voda sahá. a = 25 cm = 2,5 dm b = 30 cm = 3,0 dm V = 13,5 l = 13,5 dm 3 c =? --------------------------------- V = a.b.c 453 V c = a. b c = 1,8 dm = 18 cm c = 13,5 2,5.3,0 Voda v akváriu sahá do výšky 18 cm. 3. Je dána krychle o hraně 5,4 cm. Vypočtěte její tělesovou úhlopříčku. a = 5,4 cm u t =? -------------------------------- u t = a.ö3 u t = 5,4.Ö3 u t = 9,4 cm (přibližně) Tělesová úhlopříčka krychle má délku asi 9,4 cm. 452 ± Kvádr, krychle, hranol - procvičovací příklady 1. Nádrž má obdélníkové dno. Délka strany a = 30 dm a úhlopříčky u = 5 m. Za jak dlouho se naplní do výšky 200 cm, je-li přítok 2 l za sekundu? Čas vyjádřete v hodinách a minutách. 3 h 20 min 459 4 z 21
2. Trojboký hranol má podstavu tvaru pravoúhlého trojúhelníku, jehož odvěsny mají délky 3 cm a 4 cm. Výška hranolu je 0,25 m. Vypočítejte jeho povrch. 312 cm 2 3. Hranol s kosočtverečnou podstavou má jednu úhlopříčku podstavy 20 cm a hranu podstavy 26 cm. Hrana podstavy je k výšce hranolu v poměru 2:3. Vypočítejte objem hranolu. 18 720 cm 3 4. Bazén má tvar kvádru, jeho dno je čtvercové. Délka strany čtverce je 25 m. V bazénu je 937 500 litrů vody. Do jaké výšky sahá voda? 1,5 m 5. Objem trojbokého kolmého hranolu je 1 248 cm 3. Jeho podstavou je rovnoramenný trojúhelník, který má rameno délky 13 cm a výšku na základnu 5 cm. Vypočtěte tělesovou výšku hranolu. 20,8 cm 6. Nádoba tvaru kvádru se čtvercovou podstavou a výškou 56 cm byla naplněna po okraj vodou. Do nádoby bylo ponořeno těleso a přitom z nádoby vyteklo 7,5 litru vody. Po vyjmutí tělesa z nádoby poklesla hladina vody v nádobě o 12 cm. Vypočtěte, kolik litrů vody zbylo v nádobě. 27,5 l 7. Na obdélníkové zahradě o rozměrech 30 m a 16 m napršely 4 mm vody. Kolika desetilitrovým konvím toto množství odpovídá? 192 8. Hranol s kosočtvercovou podstavou má jednu úhlopříčku podstavy 20 cm a hranu podstavy 26 cm. Hrana podstavy je k výšce hranolu v poměru 2:3. Vypočítejte objem a povrch hranolu. Objem 18 720 cm 3 ; povrch 5 016 cm 2 9. Z dřevěné válcové klády poloměru 15 cm a délky 5 m o hustotě 750 kg/m 3 byl otesán trám o tloušťce 18 cm s největším možným obdélníkovým průřezem. Vypočítejte hmotnost trámu a počet % odpadlého materiálu. 162 kg, 39 % 10. Určete objem a povrch sloupu, který má podstavu tvaru kosočtverce s úhlopříčkami 60 cm a 144 cm. Výška sloupu je 2,5 m. Objem 1,08 m 3 ; povrch 8,7 m 2 11. Silniční násep má průřez tvaru rovnoramenného lichoběžníka o základně 16 m a 10 m, ramena délky 5 m. Kolik tun zeminy o hustotě 2 000 kg/m 3 je v náspu o délce 1 km? 104 000 t 458 465 469 471 456 466 472 463 470 462 5 z 21
12. Kolikrát se zvětší objem krychle s hranou 2 dm, jestliže bude hrana 3-krát větší? 27 krát 13. Kvádr má rozměry a = 3 cm, b = 6 cm, c = 8 cm. Vypočtěte velikost největší stěnové úhlopříčky. 10 cm 14. Hranol má podstavu tvaru pravoúhlého trojúhelníka. Přepona tohoto trojúhelníka měří 15 cm, jedna odvěsna 12 cm. Objem hranolu je 1,512 dm 3. Vypočítejte výšku hranolu a jeho povrch. Výška 28 cm, povrch 1 116 cm 2 15. Povrch kvádru je 1 008 cm 2. Šířka kvádru je o 20% menší než jeho délka, výška kvádru je o 50% větší než jeho délka. Vypočtěte rozměry kvádru a objem kvádru. 2 074 cm 3 16. Jaký objem má prostor pod střechou domu 150 dm dlouhého a 8 m širokého, je-li výška trojúhelníkového štítu v = 350 cm? 210 m 3 17. Rozměry kvádru jsou v poměru 2:3:6. Jeho tělesová úhlopříčka má délku 14 cm. Určete jeho povrch a objem. 288 cm 3 18. Kolik tun slámy lze v prostoru pod střechou domu 150 dm dlouhého a 8 m širokého, kde výška trojúhelníkového štítu je 350 cm, uskladnit, je-li hmotnost 1 m 3 lisované slámy 100 kg a prostor je možno zaplnit pouze na 75%? 15,75 t 19. Podstava kolmého trojbokého hranolu je pravoúhlý trojúhelník s odvěsnou6 cm. Obsah největší stěny pláště je 120 cm 2 a výška hranolu je 12 cm. Vypočítejte objem tělesa. 288 cm 3 20. Těleso tvaru kvádru s podstavou obdélníka (24 cm, 12 cm) bylo naplněno vodou do výšky 20 cm. Vypočítejte objem tělesa ponořeného do vody, jestliže voda stoupne o 3 cm. 864 cm 3 468 461 457 467 473 460 474 464 455 ± Válec Válec 6 z 21
Válec je prostorové těleso, které je tvořeno dvěma shodnými kruhovými podstavami a pláštěm. Důležité vzorce: S = 2p.r 2 + 2p.r.v S = p d 2 /2+ p.d.v V = p.r 2.v V = p.d 2 /4.v S... povrch tělesa; r... poloměr podstavy, v... výška tělesa d... průměr podstavy V... objem tělesa Pozn.: Budeme se zabývat pouze tzv. rotačním válcem, což je takový válec, který může rotovat kolem své osy, která prochází středy obou podstav. Síť válce tvoří obdélník (rozvinutý plášť) a dva kruhy. ± Válec - ukázkové příklady 7 z 21
1. Vypočtěte obsah podstavy válce o objemu 62,8 l a výšce 0,5 m. Návod: V = 62,8 l = 62,8 dm 3 v = 0,5 m = 5 dm S p =? ---------------------------------------- 476 V = S p. v S p = V / v S p = 62,8 / 5 S p = 12,56 dm 2 Obsah podstavy válce je 12,56 dm 2. 2. Na nátěr otevřeného sudu o průměru 60 cm a výšce 85 cm bylo spotřebováno 0,72 l barvy. Kolik barvy je potřeba na 1 m 2, jestliže se sud natíral zvenku i zevnitř? Návod: d = 60 cm = 6 dm v = 85 cm = 8,5 dm V 0 = 0,72 l = 0,72 dm 3 V =? ---------------------------------- 475 Počítáme povrch válce bez jedné podstavy a výsledek musíme vzít dvakrát (dva nátěry): S = pd 2 /2 + 2p.d.v S = 3,14.6 2 /2 + 2.3,14.6.8,5 = 376,8 S = 376,8 dm 2 = 3,77 m 2 (přibližně) V = V 0/S V = 0,72 / 3,77 V = 0,191 l (přibližně) Na nátěr jednoho metru čtverečného sudu se spotřebuje přibližně 0,191 l barvy. ± Válec - procvičovací příklady 1. V nádrži tvaru válce o průměru 6 m je 942 hl vody. Voda sahá do dvou třetin hloubky nádrže. Jaká je hloubka nádrže? Hloubka nádrže je 5 m. 2. Při nátěru otevřeného sudu zvenku i zevnitř se spotřebuje 0,191 litru barvy na 1 m 2. Sud má poloměr 30 cm a výšku 85 cm. Kolik barvy se na nátěr sudu spotřebuje? Na nátěr sudu se spotřebuje 0,72 litru barvy. 3. Kanystr tvaru pravidelného čtyřbokého hranolu o délce podstavné hrany 25 cm a výšce 40 cm je plný vody. Vodu jsme přelili do válce o stejné výšce. Jaký průměr má válec, jestliže je také plný? Válec má průměr 28,2 cm. 482 495 481 8 z 21
4. Kanystr tvaru válce s průměrem 28,22 cm a výškou 40 cm je plný vody. Vodu jsme přelili do jiného kanystru tvaru kvádru se čtvercovou podstavou a výškou jako má válec. Jaký je obsah podstavy kvádru, je-li po přelití vody také plný? Obsah podstavy kvádru je 625 cm 2. 5. Vypočtěte výšku válce o objemu 62,8 litru, je-li obsah podstavy 12,56 dm 2. Výška válce je 5 dm. 6. Kolik litrů vody za sekundu může maximálně odvádět koryto, které má průřez půlkruh o poloměru 0,5 m, je-li rychlost proudu 80 cm za sekundu? Koryto může odvádět maximálně 314 litrů vody za sekundu. 7. V nádrži tvaru válce o poloměru 3 m je 942 hl vody. Voda sahá do dvou třetin hloubky nádrže. Jaký je objem celé nádrže? 1 413 hl 8. Nádoba tvaru válce má průměr podstavy 0,8 m a obsah podstavy je roven obsahu pláště. Kolik celých litrů vody můžeme nejvýše nalít do nádoby? Do nádoby můžeme nalít maximálně 100 litrů vody. 9. Nádoba tvaru válce má průměr podstavy 0,8 m a obsah podstavy je roven obsahu pláště. Do jaké výše naplníme nádobu vodou, chceme-li ji zaplnit ze 30%? Nádobu naplníme do výše asi 0,6 dm. 10. Kolik kilogramových plechovek ekologické barvy je třeba koupit k nátěru padesáti dvousetlitrových otevřených sudů na vodu, jejichž průměr je 60 cm? Výrobce udává, že 1 kg barvy vystačí na plochu o obsahu 5 m 2. Je zapotřebí 33 plechovek. 497 496 478 498 479 480 477 ± Jehlan Jehlan 9 z 21
Jehlan je prostorové těleso, které je tvořeno podstavou tvaru libovolného n-úhelníka a dále navíc jedním vrcholem, který nazýváme hlavní. U jehlanu, podobně jako u dalších prostorových těles, počítáme povrch a objem. V = S p.v/3 S = S p + S Q Podstava je tvořena n-úhelníkem, plášť několika trojúhelníky, které mohou být i shodné. Shodné jsou tehdy, jestliže podstava je tvořena pravidelným n-úhelníkem. V tomto případě pak jehlan nazýváme pravidelný. Pozn.: Budeme se zabývat pouze tzv. kolmými jehlany, což jsou takové, které mají výšku kolmou k podstavě. Jehlan, který má za podstavu trojúhelník, nazýváme čtyřstěn. Význam má hlavně pravidelný čtyřstěn, který má podstavu i všechny stěny pláště shodné. ± Jehlan - ukázkové příklady 10 z 21
1. Objem pravidelného čtyřbokého jehlanu je 72,0 cm 3. Výška jehlanu se rovná délce podstavné hrany. Vypočítejte délku podstavné hrany a povrch jehlanu. Návod: V = 72,0 cm 3 v = a =? S =? --------------------------------------------- V = S p.v/3 V = a 3 /3 483 Po dosazení: a = 6 cm Stěnová výška v a: Po dosazení: v a = 6,71 cm (přibližně) Obsah jedné stěny: S 1 = a.v a/2 Obsah pláště: S Q = 4.S 1 = 2.a.v a Povrch jehlanu: S = S P + S Q = a 2 + 2.a.v a Po dosazení: S = 6 2 + 2.6.6,71 S = 116,5 cm 2 (přibližně) Hrana jehlanu má délku 6 cm a povrch tělesa je 116,5 cm 2. 2. Kolik korun bude stát natření střechy věžičky tvaru pravidelného čtyřbokého jehlanu o hraně podstavy 8,4 m a výšce tělesa 6,5 m, stojí-li 1 kg barvy 63 Kč a z jednoho kilogramu natřeme 12 m 2. Zaokrouhlete na stovky. Návod: a = 8,4 m v = 6,5 m m 0 = 1 kg c 0 = 63 Kč S 0 = 12 m 2 c =? -------------------------------------------- 484 Je zapotřebí spočítat obsah pláště, proto musíme nejprve spočítat stěnovou výšku po dosazení dostáváme v a = 7,74 m (přibližně) S = 4. a.v a/2 = 2a.v a S = 2. 8,4.7,74 S = 130 m 2 (přibližně) c = S/S 0.c 0 c = 130/12.63 c = 682,5 Kč, což je přibližně 700 Kč Natření stříšky bude stát přibližně 700 Kč. 11 z 21
± Jehlan - procvičovací příklady 1. Vypočtěte objem čtyřbokého jehlanu s lichoběžníkovou podstavou, je-li a = 7 cm, c = 4 cm, v a = 3 cm, v = 12 cm. Objem jehlanu s lichoběžníkovou podstavou je 66 cm 3. 2. Vypočti povrch pravidelného čtyřbokého jehlanu, má-li hranu podstavy 4 cm a pobočnou hranu dlouhou 15 cm. Povrch pravidelného čtyřbokého jehlanu je asi 135 cm 2. 3. Ve čtyřbokém kolmém jehlanu jsou dány podstavné hrany a 1 = 20 cm, a 2 = 8 cm a tělesová výška v = 17 cm. Vypočtěte velikost pobočné hrany. Délka pobočné hrany je asi 20,1 cm. 4. Vypočtěte objem pravidelného osmibokého jehlanu, jestliže hrana podstavy má délku 3 cm a výška tělesa je 9 cm. Objem pravidelného osmibokého jehlanu je asi 130,3 cm 3. 5. Vypočti povrch jehlanu s obdélníkovou podstavou, je-li a = 16 cm, b = 12 cm, h = 20 cm, kde a, b jsou hrany podstavy a h je pobočná hrana. Povrch jehlanu je asi 714 cm 2. 6. Vypočtěte povrch a objem pravidelného čtyřbokého jehlanu, který má všechny hrany stejně dlouhé, je-li poloměr kružnice opsané podstavě 4 cm. Objem jehlanu je asi 42,7 cm 3, povrch asi 87,5 cm 2. 7. Vypočtěte objem pravidelného trojbokého jehlanu, je-li a = 17 cm, v = 35 cm. Objem pravidelného trojbokého jehlanu je asi 1 460 cm 3. 8. Žulový obelisk o výšce 18 m a stranou čtvercové podstavy 0,8 m se má ustavit na místo jeřábem. Jakou minimální nosnost musí jeřáb mít? Hustota žuly se počítá 2 800 kg/m 3. Jeřáb musí mít minimální nosnost 11 tun. 9. Vypočtěte objem pravidelného šestibokého jehlanu, který má hranu podstavy dlouhou 6 cm a výšku tělesa dlouhou 8 cm. Objem jehlanu je asi 249,6 cm 3. 10. Vypočtěte objem pravidelného čtyřbokého jehlanu, který má boční hranu dvakrát delší než je hrana podstavy, je-li poloměr kružnice opsané podstavě 6 cm. Objem čtyřbokého jehlanu je asi 381,5 cm 3. 11. Kolik korun bude stát natření střechy věžičky tvaru pravidelného čtyřstěnu s podstavou o obsahu 20 m 2, stojí-li natření jednoho metru čtverečního 5,25 Kč? Natření střechy bude stát 315 Kč. 490 493 486 489 494 485 491 492 535 532 533 12 z 21
12. Plášť pravidelného čtyřbokého jehlanu je čtyřikrát větší než podstava. Podstavná hrana má délku 1 dm. Určete tělesovou výšku jehlanu. Tělesová výška jehlanu je asi 1,94 dm. 13. Vypočti povrch jehlanu s obdélníkovou podstavou, je-li a = 10 cm, b = 8 cm a tělesová výška je 15 cm. Povrch jehlanu je 362 cm 2. 14. Pobočné hrany o délce 1 dm čtyřbokého jehlanu mají od obdélníkové podstavy odchylku 58 34. Obsah podstavy je 20 cm 2. Jak velká je tělesová výška jehlanu? Tělesová výška jehlanu je asi 8,53 cm. 487 534 488 ± Komolý jehlan Komolý jehlan Komolý jehlan je těleso, které vznikne z jehlanu klasického odříznutím jeho špičky. Pozn.: Budeme se zabývat pouze takovými komolými jehlany, kde rovina řezu je rovnoběžná s rovinou dolní podstavy jehlanu. Objem komolého jehlanu se vypočte tak, že sečteme obsahy obou podstav, k součtu připočteme druhou odmocninu součinu obsahů obou podstav a vzniklý výsledek vynásobíme jednou třetinou výšky jehlanu. ( S + S S S ) 1 V = v + 3 1 2 1. 2 Povrch komolého jehlanu se vypočte jako součet obsahů obou podstav a obsahu pláště tělesa. S = S 1 + S 2 + S Q Příklad 1: 13 z 21
± Kužel Kužel 14 z 21
Kužel je prostorové těleso, které je tvořeno jednou podstavou a pláštěm. Podstava má tvar kruhu, plášť, kdybychom ho rozvinuli do roviny, bude mít tvar kruhové výseče. r... poloměr podstavy v... výška kužele V... hlavní vrchol s... strana kužele Vzhledem k tomu, že výše zobrazený kužel může rotovat kolem své výšky, nazýváme tento typ kužele rotační kužel. Budeme se zabývat právě takovými kuželi. U kužele počítáme, podobně jako u dalších těles, povrch a objem. Pozn.: Někdy se také kužel definuje jako těleso, které vznikne rotací pravoúhlého trojúhelníka kolem jedné z jeho odvěsen. Důležité vzorce: 1 2 1 2 V = p. r. v V = p. d. v 3 12 S = p. r 2 + p. r. s 1 S = 1 p. d 2 + p. d. s 4 2 S... povrch tělesa V... objem tělesa d... průměr podstavy 15 z 21
± Kužel - ukázkové příklady 1. Plechová stříška tvaru kužele má průměr podstavy 80 cm a výšku 60 cm. Vypočtěte spotřebu barvy na natření této stříšky, spotřebuje-li se 1 kg barvy na 6 m 2 plechu. Návod: d = 80 cm v = 60 cm m 0 = 1 kg S 0 = 6 m 2 m =? [kg] --------------------------------------------------------- Natíráme pouze plášť kužele, proto S = p d.s/2 (1) Neznáme s, proto ho spočítáme pomocí Pythagorovy věty: s = s = v 2 æ d 2 ö + ç è ø 2 2 2 æ 80 ö 60 + ø ç è 2 501 s = 72,11 (po zaokrouhlení) Dosadíme do (1): S = 3,14. 80. 72,11/2 S = 9057 cm 2 = 0,91 m 2 (po zaokrouhlení) 1 kg... 6 m 2 m [kg]... 0,91 m 2 --------------------------------------- Jedná se o přímou úměrnost, proto m = 1. 0,91/6 m = 0,152 kg (o zaokrouhlení) Na natření stříšky je zapotřebí asi 0,152 kg barvy. 2. Objem kužele je 12 cm 3, jeho výška je 4 cm. Jaký je obsah podstavy kužele? Návod: V = 12 cm 3 v = 4 cm S p =? [cm 2 ] ---------------------------------------- 1 V = Sp. v 3 499 S p=3v/v S p = 3.12/4 S p= 9 cm 2 Obsah podstavy kužele je 9 cm 2. 16 z 21
3. Jak velký objem by měl kužel, který by vznikl rotací rovnoramenného trojúhelníku s úhlem při základně 25 a ramenem délky 0,75 m? Návod: 500 Obrázek je jen ilustrační Výška tělesa je tedy zároveň výškou trojúhelníka. a = 25 s = 0,75 m V =? [m 3 ] ---------------------------------------------- sin a = v/s v = s. sin a v = 0,75. sin 25 v = 0,75. 0,4226 v = 0,316 95 m = 0,32 m (po zaokrouhlení) cos a = r/s r = s. cos a r = 0,75. cos 25 r = 0,75. 0,9063 r = 0,679 725 m = 0,68 (po zaokrouhlení) V = p r 2 v/3 V = 3,14.0,68 2.0,32/3 V = 0,155 m 3 (po zaokrouhlení) V = 155 dm 3 Objem kužele je 155 dm 3. ± Kužel - procvičovací příklady 1. Kolik metrů krychlových je uloženo na hromadě tvaru kužele, je-li výška hromady 2,6 m a největší šířka hromady 7 m? Na hromadě je uloženo asi 33,3 m 3 písku. 2. Vypočti objem kužele o poloměru podstavy 35 cm, je-li výška tělesa rovna 19 cm. Objem kužele je 24 361 cm 3. 509 504 17 z 21
3. Nádoba tvaru kužele s průměrem dna 60 cm a stranou délky 50 cm je zcela naplněna vodou. Vodu přelijeme do nádoby, která má tvar válce o poloměru dna 30 cm a výšce 20 cm. Kolik litrů vody je třeba do nádoby tvaru válce dolít, aby byla zcela naplněna? Do nádoby musíme dolít asi 18,8 litru vody. 4. Vypočti objem kužele s průměrem podstavy 32 cm a výškou tělesa 0,5 m. Objem kužele je 13 397 cm 3. 5. V závodě na výrobu nápojového skla vyrábějí dva typy skleniček ve tvaru kužele. První typ o průměru 9 cm s výškou 6,5 cm a druhý typ o průměru 6 cm s výškou 14,5 cm. Která sklenička má větší objem? Vejdou se do některé z nich 2 dl nápoje? Větší objem má sklenička 1. typu; 2 dl nápoje se ale nevejdou do žádné skleničky. 6. Nálevka na 1 litr má tvar kužele s poloměrem podstavy 10 cm. Jaká je výška nálevky? Výška nálevky je asi 9,6 cm. 7. Kužel má objem 1 441 cm 3 a výšku 17 cm. Vypočti poloměr podstavy tohoto kužele. Poloměr podstavy kužele je 9 cm. 8. Kužel má objem 83,7 cm 3 a průměr podstavy 8 cm. Vypočti výšku tělesa. Výška kužele je 5 cm. 9. Nádobka tvaru kužele o poloměru podstavy 20 cm a výšce 36 cm byla zcela naplněna vodou. Voda byla přelita do nádoby tvaru válce o poloměru podstavy 12 cm. Jak vysoko byla voda v nádobě tvaru válce? Voda v nádobě tvaru válce sahala do výšky asi 33,3 cm. 10. Vypočti objem kužele, který má průměr podstavy roven výšce tělesa. Poloměr podstavy kužele je 7 cm. Objem kužele je 718 cm 3. 11. Vypočti povrch kužele, který má výšku 16 cm a poloměr podstavy 0,3 m. Povrch kužele je 6 029 cm 2. 12. Rotační kužel má obsah podstavy 28,26 cm 2 a objem celého tělesa je 131,88 cm 3. Určete jeho výšku. Výška kužele je 14 cm. 13. Vypočti povrch kužele, jehož strana je 10 cm a průměr podstavy je 10 cm. Povrch kužele je 235,5 cm 2. 14. Vypočti povrch kužele, je-li jeho výška 15 cm a strana 17 cm. Povrch kužele je 628 cm 2. 514 505 510 502 506 507 515 503 512 508 511 513 ± Komolý kužel Komolý kužel 18 z 21
Komolý kužel je těleso, které vznikne z klasického rotačního kužele odříznutím jeho špičky. Pozn.: Budeme se zabývat pouze takovým kuželem, kde rovina řezu je rovnoběžná s rovinou spodní podstavy kužele. Objem komolého kužele se vypočte jako jedna třetina součinu výšky kužele a Ludolfova čísla, násobená součtem druhé mocniny poloměru spodní podstavy, druhé mocniny poloměru horní podstavy a součinu obou poloměrů. Povrch komolého kužele je roven součtu obsahů obou kruhových podstav a obsahu pláště komolého kužele. S S + S + = 1 2 S Q Příklad 1: 19 z 21
Příklad 2: ± Koule - ukázkové příklady 1. Kolik metrů čtverečních materiálu bylo potřeba na zhotovení balonu pro vzduchoplavce, jestliže měl poloměr 2,5 m? Návod: r = 2,5 m S =? [m 2 ] --------------------------- S = 4.p.r 2 = 4. 3,14. 2,5 2 S = 78,5 m 2 Na zhotovení balonu bylo zapotřebí 78,5 m 2 materiálu. 2. Vypočti objem koule o průměru 75 cm. Návod: d = 75 cm V =? [cm 3 ] --------------------------- 1 V =. p. d 6 3 1 =.3,14.75 6 V = 220 781,25 cm 3 = 0,22 m 3 (po zaokrouhlení) Objem koule je asi 0,22 m 3. 3 617 616 20 z 21
± Koule - procvičovací příklady 1. Vypočti povrch koule o poloměru 0,7 m. Povrch koule je asi 6,2 m 2. 2. Vypočti povrch koule o průměru 45 cm. Povrch koule je asi 63,6 dm 2. 3. Vypočti povrch koule, která má objem 874 cm 3. Povrch koule je asi 442 cm 2. 4. Vypočti povrch koule o poloměru 2 m. Povrch koule je asi 50,2 m 2. 5. Na nafukovací plážový míč se spotřebovalo 1,2 m 2 materiálu, ze kterého 30 % činil odpad. Jak velký průměr má míč? Míč má průměr asi 0,52 m. 6. Kolik litrů vody se vejde do akvária tvaru koule, mají-li být vodou zaplněny čtyři pětiny objemu celé koule o průměru 0,5 m? Do akvária se vejde asi 52,3 litru vody. 7. Vypočti objem koule, je-li její povrch 450 cm 2. Objem koule je asi 898 cm 3. 8. Jaký poloměr musí mít pouzdro tvaru koule, aby se do něho vešla krychle o hraně 10 cm a byla pevně uložena? Pouzdro musí mít poloměr asi 17,4 cm. 9. Vypočti objem koule o poloměru 52 cm. Objem koule je 589 dm 3. 10. Vypočti poloměr koule, jejíž objem je 1 litr. Koule má poloměr asi 6,2 cm. 11. Jaký průměr má kovová kulička, jestliže po vhození do válcové nádoby o průměru 3 cm naplněné vodou hladina stoupne o 1 mm? Kovová kulička má průměr asi 11 mm. 12. Vypočti objem koule o poloměru 0,4 m. Objem koule je 268 dm 3. 13. Kolik olověných kuliček o průměru 18 mm se odlije z 1 kg materiálu o hustotě 10 600 kg/m 3? Z uvedeného materiálu odlijeme asi 31 kuliček. 605 607 609 606 614 611 610 615 603 608 612 604 613 21 z 21
Obsah Vzájemná poloha 1 Krychle, kvádr, hranol 1 Kvádr, krychle, hranol - ukázkové příklady 4 Kvádr, krychle, hranol - procvičovací příklady 4 Válec 6 Válec - ukázkové příklady 7 Válec - procvičovací příklady 8 Jehlan 9 Jehlan - ukázkové příklady 10 Jehlan - procvičovací příklady 12 Komolý jehlan 13 Kužel 14 Kužel - ukázkové příklady 16 Kužel - procvičovací příklady 17 Komolý kužel 18 Koule - ukázkové příklady 20 Koule - procvičovací příklady 21 29.3.2008 18:14:19 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz)