M - Matematika - třída 2DOP celý ročník

Transkript

1 M - Matematika - třída DOP celý ročník Učebnice obsahující učivo celého. ročníku. VARIACE Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete na

2 M - Matematika - třída DOP - celý ročník ± Nerovnice s absolutní hodnotou Nerovnice s absolutní hodnotou Postup řešení nerovnic s absolutní hodnotou je vlastně jakousi kombinací postupu řešení rovnic s absolutní hodnotou a řešení nerovnic. Ukázkové příklady: Příklad : Řešte v oboru reálných čísel nerovnici x + < 8 Řešení:. Stanovíme nulové body; v tomto případě jím je číslo (-). Nulové body znázorníme na číselné ose. Řešíme nerovnici pro případ, že x Î (- ; -); v tomto případě je vnitřek absolutní hodnoty záporný, proto ji změníme na závorku a u všech členů v této závorce změníme znaménko: (-x - ) < 8 -x - < 8 -x < 0 x > -0 Řešili jsme ale za předpokladu výše uvedeného intervalu, proto musíme udělat průnik obou intervalů: Řešením této části je tedy otevřený interval (-0; -) () 4. Řešíme nerovnici pro případ, že x Î <-; + ); v tomto případě je vnitřek absolutní hodnoty kladný, proto ji změníme na závorku a u všech členů v této závorce nezměníme znaménko: (x + ) < 8 x+<8 x<6 Řešili jsme ale za předpokladu výše uvedeného intervalu, proto musíme udělat průnik obou intervalů: Řešením této části je tedy zleva uzavřený interval <-; 6) () 5. Nyní uděláme sjednocení výsledků () a (), protože nerovnice má řešení, pokud platí kterýkoliv z nich: Celkovým řešením je tedy K = (-0; 6). Příklad : Řešte v oboru reálných čísel nerovnici x - + x < Řešení: Nulovým bodem je číslo :4:06 z 56

3 M - Matematika - třída DOP - celý ročník. x Î (- ; ) (-x + ) + x < -x + + x < 0x < 0 <... platí vždy Celkovým řešením první části je tedy K = (- ; ). x Î <; + ) (x - ) + x < x-+x< x < x <,5 Celkovým řešením druhé části je tedy K = <;,5). Provedeme sjednocení výsledků () a (): Celkovým řešením je tedy K = (- ;,5) () () Příklad : Řešte v oboru reálných čísel nerovnici: ³5 x - Řešení: Nulovým bodem je číslo,5. x Î (- ;,5) ³5 - x + -5 ³ 0 - x ( - x + ) ³0 - x x - 5 ³0 - x + 0 x - 4 ³0 - x + Celou nerovnici můžeme vykrátit dvěma; jedná se o kladné číslo, proto znak nerovnice se nezmění. 5x - 7 ³0 - x a) 5x - 7 ³ 0 Ù - x > 0 b) 5x Ù - x < 0 x ³ 7/5 Ù x < / x 7/5 Ù x > / x Î <7/5; /) x Î{} Celkovým řešením částí a), b) je x Î <7/5; /); je to ale za předpokladu, že platí interval x Î (- ;,5), proto musíme provést průnik: Tím je K = <7/5; /). x Î (,5; + ) ³5 x - -5 ³ 0 x :4:06 z 56

4 M - Matematika - třída DOP - celý ročník - 5.( x - ) ³0 x x + 5 ³0 x x ³0 x - Celou nerovnici můžeme vykrátit dvěma; jedná se o kladné číslo, proto znak nerovnice se nezmění. 8-5x ³0 x - a) 8-5x ³ 0 Ù x - > 0 b) 8-5x 0 Ù x - < 0 x 8/5 Ù x > / x ³ 8/5 Ù x < / x Î (/; 8/5> x Î{} Celkovým řešením částí a), b) je x Î (/; 8/5> ; je to ale za předpokladu, že platí interval x Î (,5; + ), proto musíme provést průnik: Tím je K = (/; 8/5>. Celkovým řešením je tedy sjednocení K a K, což je K = <7/5; /) È (/; 8/5> ± Nerovnice s absolutní hodnotou - procvičovací příklady. 080 K={}. 090 K=R K={} :4:06 K=R z 56

5 M - Matematika - třída DOP - celý ročník K={} K=R K = {,5} ± Soustava kvadratické a lineární rovnice Soustava kvadratické a lineární rovnice :4:06 4 z 56

6 M - Matematika - třída DOP - celý ročník Soustava kvadratické a lineární rovnice je soustava dvou rovnic, z nichž jedna rovnice je lineární a druhá rovnice je kvadratická. Takovouto soustavu řešíme zpravidla tak, že z lineární rovnice vyjádříme jednu neznámou a tu pak dosadíme do rovnice kvadratické. Využíváme tedy metodu dosazovací. Po vyřešení získané kvadratické rovnice o jedné neznámé dosadíme získané řešení do výrazu, kde jsme z původní lineární rovnice vyjádřili první neznámou a vypočteme ji. Výsledek zapíšeme tradičně uspořádanou dvojicí. Ukázkové příklady: Příklad : Řešte soustavu rovnic: x + y = 74 x - y = Řešení: x + y = 74 x - y = x= + y () æ+ y ö ç + y = 74 è ø ( + y ) 9 + y = y + 4 y + y = y + 4y + 9y = 666 y + 4y = 0 y, 4 æ4ö - ± ç -.(- 665) - ± ± 9 èø = = = y = 7 y = -95/ Dosadíme do rovnice () a vypočteme x: x = +.7 =5 æ 95 ö +.ç - è ø = - 59 x = Závěr: ì é ù ü P = í[5;7], ê- ;- ú ý ë û þ î Příklad : Řešte soustavu rovnic: x - y = 640 x:y=7: Podmínka řešitelnosti je, že y ¹ :4:06 5 z 56

7 M - Matematika - třída DOP - celý ročník Z druhé rovnice vyjádříme x: x = 7y/ () Dosadíme do rovnice první: æ 7y ö ç - y = 640 è ø 49 y - y = y - 9y = y = y = 576 y = 44 y = y = - Dosadíme do rovnice () a dopočteme x: x = 7. : = 8 x = 7. (-) : = -8 Závěr: K = {[8;]; [- 8;-]} ± Soustava kvadratické a lineární rovnice - procvičovací příklady K = {[0; -]} :4:06 6 z 56

8 M - Matematika - třída DOP - celý ročník K = {[; 0]} K = {[; 0]} K = {[0; 0], [; 4]} Řešte soustavu rovnic: ± Iracionální rovnice Iracionální rovnice Iracionální rovnicí nazýváme takovou rovnici, která má neznámou pod odmocninou :4:06 7 z 56

9 M - Matematika - třída DOP - celý ročník Při řešení iracionálních rovnic používáme zpravidla neekvivalentní úpravy (tj. takové úpravy, po jejichž provedení se může změnit řešení rovnice), proto musíme vždy provést zkoušku. Mezi neekvivalentní úpravy, které budeme u těchto typů příkladů používat, patří nejčastěji umocnění rovnice na druhou. Umocnění rovnice provedeme tak, že umocníme levou i pravou stranu rovnice. Pozn.: Umocněním obou stran rovnice na druhou dostaneme rovnici, pro kterou platí: Každý kořen původní rovnice je i kořenem této nové rovnice. Obráceně to ale neplatí! Ukázkové příklady: Příklad : Řešte rovnici: x - x + 0 = x - 0 Řešení: Umocněním rovnice na druhou dostaneme: x - x + 0 = (x - 0) x - x + 0 = x - 0x + 00 po úpravě: x=5 Zkouška: L = = 5 P = 5-0 = -5 L¹P Daná rovnice tedy nemá řešení. Příklad : Řešte rovnici: x +7 = x -5 Řešení: Umocněním dostaneme rovnici: x + 7 = (x - 5) Po úpravě x + 7 = x - 0x + 5 Dostali jsme kvadratickou rovnici, u níž zjistíme, že má kořeny a 9. Zkouška: L() = + 7 = 9 = P() = - 5 = - L() ¹ P() :4:06 8 z 56

10 M - Matematika - třída DOP - celý ročník Kořen tedy není řešením. L(9) = = 6 = 4 P(9) = 9-5 = 4 L(9) = P(9) Kořen 9 tedy je řešením zadané iracionální rovnice. Příklad : Řešte rovnici: 5-5 x = x - Řešení: Umocněním dostaneme rovnici: (5-5x) = (x - ) Po úpravě: x= Zkouška: L = 5-5. = - 5 Dále řešit nemusíme, protože v oboru reálných čísel neexistuje druhá odmocnina ze záporného čísla. Závěr tedy je, že iracionální rovnice nemá řešení. Příklad 4: Řešte rovnici: x+9 + x = 7 Řešení: Umocněním rovnice na druhou dostaneme: x x x x = 49 Po ekvivalentních úpravách: x x + 9 = 0-5 x Umocníme ještě jednou a dostaneme: 9x + 8x = x + 5x Po úpravě: 6x - 8x = 0 Kořeny této rovnice jsou čísla 6 a 5/6 Zkouškou se přesvědčíme, že kořenem zadané iracionální rovnice je pouze číslo 5/6. Příklad 5: Řešte rovnici: x + 9 = :4:06 9 z 56

11 M - Matematika - třída DOP - celý ročník Kromě běžného, už uvedeného, postupu můžeme zde použít i následující úvahu: Výraz na levé straně rovnice je definován pro libovolné reálné číslo a je pro libovolné reálné číslo nezáporný, proto rovnice x + 9 = 5 je ekvivalentní s rovnicí původní. Rovnice x + 9 = 5 má dvě řešení, a to x = 4 a x = -4. Tato řešení jsou tedy i řešeními rovnice původní. S ohledem na to, že jsme provedli pouze ekvivalentní úpravy, nemusíme v podstatě ani dělat zkoušku. Pro nezáporná čísla u, v je totiž u = v právě tehdy, když platí u = v. ± Iracionální rovnice - procvičovací příklady. 9-0, P = {9; -/} ± 94 Řešte rovnici: (x + )(. x - ) x.( - x ) = Nemá řešení P = {8; 4} 86 Řešte rovnici: :4:06 P = {0; } 0 z 56

12 M - Matematika - třída DOP - celý ročník (x + )(. x - 5) 4. 9 Řešte rovnici: 7 - x = 0-85 Řešte rovnici: P = {0; } 7. 88, / Nemá řešení ± Lineární rovnice s parametrem Rovnice s parametrem Rovnice s parametrem obsahují kromě neznámé (značíme obvykle x, y, z, apod.) ještě další písmenko zvané parametr (značíme obvykle a, b, c, apod.). Rovnice s parametrem řešíme obdobně jako rovnice klasické, s parametrem pracujeme tak, jako kdyby místo něj bylo zadáno nějaké reálné číslo. V závěru řešení rovnice musíme provést diskusi vzhledem k parametru. Zkoušku u těchto rovnice, vzhledem k tomu, že budeme používat samé ekvivalentní úpravy, provádět :4:06 z 56

13 M - Matematika - třída DOP - celý ročník nebudeme. Ukázkové příklady: Příklad : Řešte rovnici s reálným parametrem m a neznámou x. m. (x - ) = x + m Řešení: Nejprve se snažíme na levou stranu rovnice soustředit všechny členy obsahující neznámou a na pravou stranu všechny členy zbývající. Roznásobíme tedy nejdříve závorku: mx - m = x + m mx - x = m Na levé straně se snažíme osamostatnit neznámou x. Vytkneme ji tedy před závorku: x. (m - ) = m Celou rovnici nyní dělíme závorkou na levé straně. Vše ale můžeme pouze za podmínky, že m¹ x= m m - Nyní provedeme diskusi vzhledem k parametru m: Příklad : Řešte rovnici s reálným parametrem m a neznámou y: = 5- y m- Řešení: Za podmínky m ¹ můžeme odstarnit zlomek: = (5 - y). (m - ) Roznásobíme závorky: = 5m my + y Na levou stranu soustředíme členy obsahující neznámou, na pravou všechny zbývající: my - y = 5m - Na levé straně rovnice vytkneme y: y. (m - ) = 5m - Celou rovnici vydělíme závorkou na levé straně; vzhledem k platnosti podmínky uvedené v prvním kroku, to můžeme provést snadno: y= 5m - m- Provedeme diskusi vzhledem k parametru: :4:06 z 56

14 M - Matematika - třída DOP - celý ročník Příklad : Řešte rovnici s reálným parametrem c a s neznámou x: (x + ). (x - c) = x +c - 8 Řešení: x - cx + x - c = x + c - 8 x - cx = 6c - 8 x. ( - c) = 6. (c - ) Celou rovnici vydělíme ( - c), avšak za předpokladu, že stanovíme podmínku c ¹ : x = -6 Provedeme diskusi vzhledem k parametru: Příklad 4: Řešení: Uvážíme-li m ¹ 0, pak můžeme odstranit zlomky: y + 6y - 8y = 5m - 0my 0y + 0my = 5m Celou rovnici vydělíme číslem 5: y + my = m y. ( + m) = m Uvážíme-li m ¹ -, pak celou rovnici můžeme závorkou vydělit: y= m.( + m) Provedeme diskusi vzhledem k parametru: ± Lineární rovnice s parametrem - procvičovací příklady :4:06 z 56

15 M - Matematika - třída DOP - celý ročník :4:06 4 z 56

16 M - Matematika - třída DOP - celý ročník x- = (4 x + ) a a :4:06 5 z 56

17 M - Matematika - třída DOP - celý ročník :4:06 6 z 56

18 M - Matematika - třída DOP - celý ročník :4:06 Rovnice nemá smysl. 7 z 56

19 M - Matematika - třída DOP - celý ročník ± Kvadratické rovnice s parametrem Kvadratické rovnice s parametrem Kvadratické rovnice s parametrem řešíme úplně stejným způsobem jako lineární rovnice s parametrem. Opět vždy provádíme diskusi řešení vzhledem k parametru. V této diskusi zpravidla uvedeme, pro jakou hodnotu parametru má rovnice dvě různá reálná řešení, pro jakou hodnotu parametru má jeden dvojnásobný kořen a pro jakou hodnotu nemá v oboru reálných čísel řešení. Někdy je nutno také uvést, pro jakou hodnotu parametru vyjde lineární rovnice. Příklad: Proveďte úplnou diskusi následující kvadratické rovnice s parametrem m a neznámou x: (m - )x - (m + 9)x + 9m = 0 Řešení:. Pro m =... lineární rovnice. Předpokládejme, že m ¹ Vypočteme diskriminant této kvadratické rovnice: D = b - 4ac = [-(m + 9)] - 4.(m - ).9m = 9m + 54m + 8-6m + 08m = = -7m + 6m + 8 a) D > 0... reálné různé kořeny... nastane tehdy, jestliže: -7m + 6m + 8 > 0 :(-9) m - 8m - 9 < 0 : m - 6m - < 0 Vzniklý trojčlen rozložíme na součin. K tomu si vyřešíme pomocnou kvadratickou rovnici m - 6m - = 0 m, 6 ± 6-4..( -) 6 ± 48 6 ± 4 ± = = = = = ±. m = + Ö m = - Ö Hledaný rozklad je tedy: [m - ( + Ö)]. [m - ( - Ö)] < 0 Mohou nastat dvě situace: aa) [m - ( + Ö)] > 0 [m - ( - Ö)] < :4:06 8 z 56

20 M - Matematika - třída DOP - celý ročník Odtud: m > + Ö m < - Ö Závěr: Prázdná množina ab) [m - ( + Ö)] < 0 [m - ( - Ö)] > 0 Odtud: m < + Ö m > - Ö Závěr: m Î (-Ö; ) È (; +Ö) b) D = 0... Jeden dvojnásobný kořen... -7m + 6m + 8 = 0 :(-9) m - 8m - 9 = 0 : m - 6m - = 0 [m - ( + Ö)]. [m - ( - Ö)] = 0 m = + Ö m = - Ö nastane tehdy, jestliže: c) D < 0... V reálném oboru nemá řešení... nastane v doplňku situací a), b), tedy jestliže m Î (- ; -Ö) È (+Ö; + ) ± Kvadratické rovnice s parametrem - procvičovací příklady m = -0,4 nebo m = dva reálné různé kořeny jeden dvojnásobný kořen nemá řešení v R :4:06 9 z 56

21 M - Matematika - třída DOP - celý ročník :4:06 0 z 56

22 M - Matematika - třída DOP - celý ročník. 48 ± Lineární funkce s absolutní hodnotou Lineární funkce s absolutní hodnotou Jedná se o funkci lineární, tedy funkci danou rovnicí y = ax + b, která ale ve svém zápise obsahuje absolutní hodnotu. Ukázkové příklady: Příklad : Narýsujte graf funkce y = x - Řešení: Podobně jako při řešení rovnic nebo nerovnic s absolutní hodnotou nejprve stanovíme nulové body, tj. bod, v nichž jednotlivé absolutní hodnoty nabývají nulových hodnot. V tomto případě je nulový bod pouze jeden, a jím je číslo. Řešení máme tedy rozděleno na dvě části:. x < V tomto případě je vnitřek absolutní hodnoty záporný, proto absolutní hodnotu odstraníme tak, že ji změníme na závorku, ale před ní bude znaménko minus. Narýsujeme tedy graf funkce y = -(x - ), neboli y = -x +, ale z tohoto grafu využijeme pouze část, kde x <. x ³ V tomto případě je vnitřek absolutní hodnoty nezáporný, proto ji odstraníme tak, že ji změníme na závorku. Rýsujeme tedy graf funkce y = x -, ale z tohoto grafu využijeme pouze část, kde x ³ Závěr: :4:06 z 56

23 M - Matematika - třída DOP - celý ročník Příklad : Narýsujte graf funkce y = x - Řešení: Nulovým bodem je 0,5. x < 0,5 Rýsujeme graf funkce y = -x + a využíváme část, kde x < 0,5. x ³ 0,5 Rýsujeme graf funkce y = x - a využíváme část, kde x ³ 0,5 Závěr: ± Lineární funkce s absolutní hodnotou - procvičovací příklady :4:06 z 56

24 M - Matematika - třída DOP - celý ročník :4:06 z 56

25 M - Matematika - třída DOP - celý ročník :4:06 4 z 56

26 M - Matematika - třída DOP - celý ročník :4:06 5 z 56

27 M - Matematika - třída DOP - celý ročník. 77 ± Exponenciální funkce Exponenciální funkce Definice: x Exponenciální funkce je funkce, která je dána rovnicí y = a, kde a > 0 a zároveň a ¹ Grafem exponenciální funkce je křivka, kterou nazýváme exponenciála (exponenciální křivka). její průběh je velmi závislý na velikosti čísla a. Je-li a >, pak je průběh následující: Je-li 0 < a <, pak je průběh následující: x Je-li základ exponenciální funkce číslo 0, pak ji nazýváme dekadickou exponenciální funkcí. Má rovnici y = 0 Je-li základem exponenciální funkce číslo e (Eulerovo číslo), pak se funkce nazývá přirozená exponenciální x funkce. Má rovnici y = e :4:06 6 z 56

28 M - Matematika - třída DOP - celý ročník Pozn.: Eulerovo číslo e =, Vlastnosti exponenciální funkce: ± Exponenciální funkce - procvičovací příklady. Je dána funkce f: y = 0,5x-. Narýsujte graf funkce f( x ) a> :4:06 7 z 56

29 M - Matematika - třída DOP - celý ročník a> :4:06 8 z 56

30 M - Matematika - třída DOP - celý ročník :4:06 9 z 56

31 M - Matematika - třída DOP - celý ročník 0. Narýsujte graf funkce y = 0,5x :4:06 0 z 56

32 M - Matematika - třída DOP - celý ročník Je dána funkce f: y = 0,5x-. Narýsujte graf funkce f(x) :4:06 z 56

33 M - Matematika - třída DOP - celý ročník 6. x- Je dána funkce f: y = 0,5. Narýsujte graf funkce f( x ) Narýsujte graf funkce y = 0,5x :4:06 z 56

34 M - Matematika - třída DOP - celý ročník ± Logaritmická funkce Logaritmická funkce Definice: Logaritmická funkce je funkce, která je dána rovnicí y = logax. Jedná se o funkci inverzní k exponenciální funkci o stejném základu. Pozn.: Inverzní funkci získáme záměnou x a y v předpisu funkce. Grafy funkce a funkce k této funkci inverzní jsou souměrné podle osy I. a III. kvadrantu. y Pozn.: Zápis y = logax vyjadřuje totéž jako zápis x = a Graf logaritmické funkce se nazývá logaritmická křivka (logaritma). Průběh grafu logaritmické funkce v závislosti na velikosti a: :4:06 z 56

35 M - Matematika - třída DOP - celý ročník Funkční hodnoty logaritmické funkce se nazývají logaritmy. Vlastnosti logaritmické funkce: Při konstrukci grafu logaritmické funkce postupujeme zpravidla tak, že k zadané rovnici logaritmické funkce vytvoříme rovnici funkce k ní exponenciální. Graf vzniklé exponenciální funkce snadno narýsujeme a pak sestrojíme graf souměrný podle osy I. a III. kvadrantu. ± Logaritmická funkce - procvičovací příklady :4:06 4 z 56

36 M - Matematika - třída DOP - celý ročník :4:06 5 z 56

37 M - Matematika - třída DOP - celý ročník 7. Určete definiční obor funkce a narýsujte její graf. f: y = log4x Narýsuj graf funkce y = log/(x + ) :4:06 6 z 56

38 M - Matematika - třída DOP - celý ročník :4:06 7 z 56

39 M - Matematika - třída DOP - celý ročník Určete definiční obor funkce a narýsujte její graf. f: y = log4x :4:06 8 z 56

40 M - Matematika - třída DOP - celý ročník Je dána funkce f: y = log/(x + ). Narýsuj graf funkce f( x ) :4:06 9 z 56

41 M - Matematika - třída DOP - celý ročník. Určete definiční obor funkce a narýsujte její graf. f: y = log4(-x) 5. Určete definiční obor funkce a narýsujte její graf. f: y = -log4x :4:06 40 z 56

42 M - Matematika - třída DOP - celý ročník Určete definiční obor funkce a narýsujte její graf. f: y = log4 x :4:06 4 z 56

43 M - Matematika - třída DOP - celý ročník 0. Je dána funkce f: y = log/(x + ). Narýsuj graf funkce f( x ).. Určete definiční obor funkce a narýsujte její graf. f: y = log4 x Je dána funkce f: y = log/(x + ). Narýsuj graf funkce f(x) :4:06 4 z 56

44 M - Matematika - třída DOP - celý ročník ± Logaritmy Logaritmy a jejich vlastnosti Definice logaritmu daného čísla: Logaritmus daného kladného čísla při základu a > 0 a zároveň a ¹ je takové číslo y, kterým musíme umocnit základ, abychom dostali logaritmované číslo x. Zapisujeme: loga x = y Û x = a y [Čteme logaritmus z čísla x při základu a] Určování logaritmů daných kladných čísel se nazývá logaritmování. Obrácená operace se nazývá odlogaritmování. Vlastnosti logaritmů: Logaritmus jedné při libovolném základu a > 0, a ¹ je roven nule. Logaritmus z čísla stejného, jakým je i základ, je roven jedné. Logaritmus z čísla většího než jedna je kladný, logaritmus z čísla menšího než jedna je záporný. Logaritmus při základu 0 se nazývá logaritmus dekadický. Logaritmus při základu e se nazývá logaritmus přirozený. Příklad : Vypočtěte log5 5 Řešení: Podle definice převedeme na výpočet 5 = 5 Odtud snadno zjistíme, že y = y Příklad : :4:06 4 z 56

45 M - Matematika - třída DOP - celý ročník Vypočtěte základ logaritmu, jestliže platí logz 6 = Řešení Podle definice převedeme na výpočet z = 6 Protože platí 6 = 6, pak z = 6 a odtud z = 6 Příklad : Určete, jaké číslo musíme logaritmovat, abychom při základu logaritmu 0, dostali číslo - Řešení: - Podle definice převedeme výpočet log0,x = - na tvar 0, = x. Odtud snadno vypočteme, že x = 0. ± Logaritmy - procvičovací příklady. 77 0, , , :4: z 56

46 M - Matematika - třída DOP - celý ročník , , , Stanovte číslo x, platí-li log0 = - 9 0, :4: z 56

47 M - Matematika - třída DOP - celý ročník 9. 8 Určete log4 (log4 4) 0. 0 Stanovte číslo x, platí-li log/0 x = /. 7 0, , / ± Věty o logaritmech Věty o logaritmech Podle definice logaritmů platí: loga x = y x = a loga x () Logaritmus daného kladného čísla x je takové číslo (loga x), kterým musíme umocnit základ - viz pravá strana výrazu (), abychom dostali logaritmované číslo - tj. x. x = a loga x y = a loga y xy = a loga xy. Nelze logaritmovat součet :4:06 46 z 56

48 M - Matematika - třída DOP - celý ročník logz (a + b) ¹ logz a + logz b. Logaritmus součinu je roven součtu logaritmů jednotlivých činitelů Důkaz: a = z logz a b = z logz b ab = z logz ab vše pro a > 0, b > 0, z > 0, z ¹ ab = z logz ab = z logz a.z logz b = z logz a + logz b Protože mocniny jsou si rovny a mají shodné základy, musí se rovnat i příslušné exponenty. Proto: logz ab = logz a + logz b Např.:. Logaritmus podílu je roven rozdílu logaritmů dělence a dělitele Důkaz: a = z logz a b = z logz b a logz a =z b b vše pro a > 0, b > 0, z > 0, z ¹ a logz a z logz a b =z = logz b = z logz a -logz b b z log z a = log z a - log z b b Např.: :4:06 47 z 56

49 M - Matematika - třída DOP - celý ročník 4. Logaritmus mocniny je roven součinu exponentu a logaritmu základu dané mocniny Důkaz: a = z logz a n ( a n = z logz a = z logz a ) n = z n.logz a n logz a = n. logz a Např.: ± Věty o logaritmech - procvičovací příklady. 40 Určete logz x, je-li x = a -.4 b. 45 x=a :4:06 48 z 56

50 M - Matematika - třída DOP - celý ročník x = a.b.z 40 Určete logz x, je-li x =. a. a Určete logzx, je-li x= a a :4:06 x = abc 49 z 56

51 M - Matematika - třída DOP - celý ročník x= a.6 b 5 c. 46 x = (a - b). a.b Určete logz x, je-li x = a-. b :4:06 50 z 56

52 M - Matematika - třída DOP - celý ročník 8. / Určete logz x, je-li x = a / b x = ab/c. 44 x= ab.6 ab 5z (n+) x = ab /z Určete logz x, je-li x= a. tga b. c :4:06 5 z 56

53 M - Matematika - třída DOP - celý ročník ± Exponenciální rovnice Exponenciální rovnice Exponenciální rovnice je taková rovnice, která má neznámou v exponentu. Exponenciální rovnici můžeme řešit zpravidla třemi postupy (využíváme v uvedeném pořadí):. Převodem obou stran rovnice na mocniny o stejném základu - v tomto případě využijeme vlastnost, že pokud má platit rovnost a mocniny na obou stranách mají stejné základy, musí se sobě rovnat i exponenty. Získáme tak většinou lineární nebo kvadratickou rovnici, kterou už umíme snadno vyřešit. Příklad : Řešte rovnici: x 8 æö ç = 56 è4ø Řešení: x 4 æö ç = 4 4 è4ø x æö æö ç =ç è4ø è4ø 4 Závěr: x = 4 Příklad : Řešte rovnici: x - = 7 0,5- x Řešení: x - = 7 x - x - x - 7 = x - x - = 7 4x - = x - 9 x = Závěr: x = / Příklad : Řešte rovnici: :4:06 5 z 56

54 M - Matematika - třída DOP - celý ročník x - + x - + x - = 448 x.( ) = 448 æ ö x.ç + + = 448 è 4 8ø 7 x. = x = 8.6 x = 9 Závěr: x = 9. Substitucí Substituce nám usnadní řešení, většinou dostaneme kvadratickou rovnici, výjimečně i lineární. Příklad 4: Řešte rovnici v oboru reálných čísel: 9 x +. x - = 0 Řešení: ( ) x +. x - = 0 Zavedeme substituci y = Dostaneme rovnici: y + y - = 0 (y - ). (y + ) = 0 x y = y = - Vrátíme se zpět k zavedené substituci: x a) = x 0 = x = 0 x b) = - x V tomto případě není řešení, protože je vždy větší než 0. Závěr: Rovnice má jediné řešení, a to x = 0.. Logaritmováním Tento postup používáme tehdy, pokud ani jedním z předchozích dvou postupů nelze řešení dosáhnout. Výsledem většinou pak obsahuje logaritmus. Příklad 5: Řešte rovnici: 5x x =5 Řešení: :4:06 5 z 56

55 M - Matematika - třída DOP - celý ročník Vzhledem k tomu, že nejsme schopni převést obě strany rovnice na stejný základ, použijeme postup, kdy celou rovnici zlogaritmujeme: 5x x log = log 5 5x. log = x. log 5 x. (5log - log 5) = 0 Součin je roven nule tehdy, když aspoň jeden z činitelů je roven nule, proto x = 0 (závorka být rovna nule nemůže). Poznámka: V některých případech se použije i kombinace substitučního postupu s postupem logaritmování. ± Exponenciální rovnice - procvičovací příklady. 40 Řešte rovnici: x x +m.x x -m = 7 Nemá řešení V oboru reálných čísel řešte rovnici: 446 x -6 log 7 = 5- x log Řešte rovnici: x 4 + x+4 =4 x + - x :4:06 54 z 56

56 M - Matematika - třída DOP - celý ročník Řešte rovnici: x.4 x - = 8 x , :4:06 55 z 56

57 M - Matematika - třída DOP - celý ročník Řešte rovnici: æ 4 ö ç è 5 ø x + 9. æ 5 ö.ç è 8 ø 4 x - = 5 Řešte rovnici v oboru reálných čísel: x. + - x 450 = 0 0. Řešte v oboru reálných čísel rovnici: æ 5ö ç - è 9ø - x æ9ö =ç è4ø 459 x -5-0, Řešte rovnici: 05- x = 7 - x Řešte rovnici: x æö æ5ö ç =ç è5ø èø :4:06-56 z 56

58 M - Matematika - třída DOP - celý ročník 7. 4 Řešte rovnici: 0,5- x = 56 x Řešte rovnici v oboru reálných čísel: x x. = x V oboru reálných čísel řešte rovnici: x + x + = 4 x + - x x = x = log / log 5 48 Řešte rovnici: x +. x + = 5 x +. x :4:06 57 z 56

59 M - Matematika - třída DOP - celý ročník 6. V oboru reálných čísel řešte rovnici: x + x+ 45 x-. 9 = 7 - x x ± Logaritmické rovnice Logaritmické rovnice Logaritmická rovnice je taková rovnice, v níž se vyskytují logaritmy výrazů s neznámou x, přičemž x patří do množiny reálných čísel. Základní logaritmickou rovnicí je rovnice typu a > 0, a ¹ Tato rovnice má pro libovolné b jediné řešení tvaru Logaritmické rovnice složitějších typů se nejprve upraví na tvar kde a > 0, a ¹, přičemž f(x) a g(x) nabývají kladných hodnot. K úpravám využijeme věty o logaritmování. Za těchto předpokladů pak platí: a dále řešíme rovnici bez logaritmů (protože jsme provedli odlogaritmování rovnice) :4:06 58 z 56

60 M - Matematika - třída DOP - celý ročník Příklad : 4 5 Řešte logaritmickou rovnici log x - log x + log x = 8 Řešení: 4 5 log x - log x + log x = 8 log x - 4 log x + 5 log x = 8 4 log x = 8 log x = x = 00 Příklad : log x + log x + 7 log x = 0 Řešení: log x + log x + 7 log x = 0 log x + 0,5.. log x log x + 64 = 0 log x + log x + 8 log x + 64 = 0 log x = -64 log x = - x = 0,0 Příklad : log x + log x 4 - log x = 5 Řešení: log x + log x 4 - log x = 5 log x + 4log x - (/)log x = 5 (0/)log x = 5 log x = 0,75 x = :4:06 59 z 56

61 M - Matematika - třída DOP - celý ročník ± Logaritmické rovnice - procvičovací příklady x= log 4 log log x = , Nemá řešení :4: z 56

62 M - Matematika - třída DOP - celý ročník Řešte rovnici: 0. 0,0 48 Řešte rovnici: 5 log x 4 - log = 5 x x = 00 = log x = 0 log x x= 0,0 x = :4:06 0,5 6 z 56

63 M - Matematika - třída DOP - celý ročník x= / :4: z 56

64 M - Matematika - třída DOP - celý ročník ± Komplexní čísla Komplexní čísla Obor komplexních čísel je nejvyšším číselným oborem, s nímž se při studiu na střední škole seznámíme. Je vlastně jakousi nadmnožinou oboru reálných čísel. Znamená to tedy, že reálná čísla jsou zvláštním případem čísel komplexních. Komplexní čísla označujeme C. Na rozdíl od reálných čísel, která můžeme znázornit na číselné ose, čísla komplexní můžeme znázornit pouze tehdy, pokud máme osy svě (na sebe kolmé). Komplexní čísla tedy znázorňujeme uspořádanou dvojicí, podobně jako body v kartézské soustavě souřadnic. Pozn.: Uspořádaná dvojice je dvojice čísel, kde záleží na jejich pořadí. Tuto dvojici čísel zapisujeme do hranaté závorky. Rovina, v níž zobrazujeme komplexní čísla, se nazývá rovina komplexních čísel nebo také Gaussova rovina. Osa x se v Gaussově rovině nazývá osa reálných čísel (reálná osa) a nanášíse na ni reálná část komplexního čísla (tj. první složka uspořádané dvojice, která komplexní číslo představuje), osa y se nazývá osa ryze imaginárních čísel (imaginární osa) a nanáší se na ni imaginární část komplexního čísla (tj. druhá složka uspořádané dvojice, která komplexní číslo představuje). Komplexní číslo z znázorněné na obrázku tedy můžeme znázornit buď [a; a] nebo způsobem uvedeným v obrázku, a to z = a + a i. Tento zápis nazýváme algebraickým zápisem komplexního čísla. Číslo i se nazývá imaginární jednotka a platí: i = [0; ] :4:06 6 z 56

65 M - Matematika - třída DOP - celý ročník Pro imaginární jednotku platí: i = - i = -i 4 i = + 5 i =i 6 i = - atd... Algebraický tvar komplexního čísla Nechť je dáno komplexní číslo a = [a; a]. Jeho vyjádření ve tvaru z = a + ai se říká algebraický tvar komplexního čísla. Číslo a představuje reálnou část komplexního čísla, číslo a představuje imaginární část komplexního čísla. Výhodou tohoto vyjádření komplexního čísla je to, základní početní operace s komplexními čísly v algebraickém tvaru je možné provádět stejným způsobem jako kdyby šlo o reálné dvojčleny. Absolutní hodnota komplexního čísla Absolutní hodnota komplexního čísla představuje jeho vzdálenost od počátku souřadného systému (průsečíku reálné a imaginární osy). K jejímu určení tedy stačí znalost Pythagorovy věty. Platí vzorec: z = a + a Komplexní jednotka Komplexní jednotka je komplexní číslo z, jehož absolutní hodnota je rovna. Platí tedy z = Čísla komplexně sdružená Čísla komplexně sdružená označujeme. [čteme zet s pruhem] Velikost komplexního čísla z a velikost čísla k němu komplexně sdruženého se sobě rovnají :4:06 64 z 56

66 M - Matematika - třída DOP - celý ročník Součet komplexního čísla a čísla k němu komplexně sdruženého je číslo reálné. Součin komplexního čísla a čísla komplexně sdruženého je opět číslo reálné. Rovnost komplexních čísel Komplexní čísla z = a + bi a z = a + bi jsou si rovna, jestliže jsou si rovny jejich reálné a imaginární části, tj. platí a = a a zároveň b = b Součet komplexních čísel Pro komplexní čísla a = [a; a] a b = [b; b] ve tvaru a = a + ai, b = b + bi se definuje jejich součet tak, že se sčítají zvlášť reálné a zvlášť imaginární části obou komplexních čísel. Výsledný součet (např. komplexní číslo z) má potom následující souřadnice v Gaussově rovině Rozdíl komplexních čísel :4:06 65 z 56

67 M - Matematika - třída DOP - celý ročník Pro komplexní čísla a = [a; a] a b = [b; b] ve tvaru a = a + ai, b = b + bi se definuje jejich rozdíl tak, že se odčítají zvlášť reálné a zvlášť imaginární části obou komplexních čísel. Výsledný rozdíl (např. komplexní číslo z) má potom následující souřadnice v Gaussově rovině Součin komplexních čísel Pro komplexní čísla a = [a; a] a b = [b; b] ve tvaru a = a + ai, b = b + bi se definuje jejich součin tak, že se roznásobí reálné a imaginární části obou komplexních čísel (každý člen každým členem). Výsledný součin má potom následující souřadnice v Gaussově rovině Podíl komplexních čísel Pro komplexní čísla a = [a; a] a b = [b; b] ve tvaru a = a + ai, b = b + bi se definuje jejich podíl takto: :4:06 66 z 56

68 M - Matematika - třída DOP - celý ročník Výsledný podíl (např. komplexní číslo z) má potom následující souřadnice v Gaussově rovině Je patrné, že podíl dvou komplexních čísel ve tvaru zlomku se vypočte tak, že se zlomek rozšíří číslem komplexně sdruženým ke jmenovateli (děliteli). Goniometrický tvar komplexního čísla :4:06 67 z 56

69 M - Matematika - třída DOP - celý ročník Moivreova věta Moivreova věta říká, že součin dvou komplexních jednotek je opět komplexní jednotka, jejíž argument je roven :4:06 68 z 56

70 M - Matematika - třída DOP - celý ročník součtu argumentů obou činitelů. Z této věty plyne vztah pro n-tou mocninu komplexní jednotky: a vztah pro n-tou mocninu komplexního čísla: Příklad : Řešení: Příklad : Řešení: Příklad : Řešení: :4:06 69 z 56

71 M - Matematika - třída DOP - celý ročník Příklad 4: Řešení: Příklad 5: Řešení: Příklad 6: Řešení: :4:06 70 z 56

72 M - Matematika - třída DOP - celý ročník Příklad 7: Řešení: Příklad 8: Vypočtěte i 48 Řešení: Příklad 9: Řešení: Příklad 0: Řešení: Příklad : Řešení: :4:06 7 z 56

73 M - Matematika - třída DOP - celý ročník ± Komplexní čísla - procvičovací příklady , :4: z 56

74 M - Matematika - třída DOP - celý ročník. 64 -i , i i :4:06,8 7 z 56

75 M - Matematika - třída DOP - celý ročník i i :4:06 -i 74 z 56

76 M - Matematika - třída DOP - celý ročník x = ; y = ± Řešení kvadratických rovnic v oboru komplexních čísel Řešení kvadratických rovnic v oboru komplexních čísel Do této kapitoly spadají kvadratické rovnice, při jejichž řešení vychází diskriminant záporný :4:06 75 z 56

77 M - Matematika - třída DOP - celý ročník Pozn.: Už dříve jsme řešili kvadratické rovnice a rozlišovali jsme situace, kdy diskriminant byl větší než nula pak kvadratická rovnice měla dva reálné různé kořeny; pak jsme poznali situaci, kdy diskriminant vyšel roven nule - v tom případě měla kvadratická rovnice jeden dvojnásobný kořen a v případě, že diskriminant vyšel záporný, uváděli jsme dosud, že kvadratická rovnice nemá v oboru reálných čísel řešení. V oboru komplexních čísel však řešení má. Řešení kvadratických rovnic v oboru komplexních čísel je založeno na poznatku, že v oboru komplexních čísel umíme odmocnit i zápornou odmocninu. Platí totiž, že např. Ö(-4) = i. Ö Kvadratická rovnice x = -4 pak má tedy dvě různá řešení, a to x = i. Ö a x = -i. Ö V oboru komplexních čísel má tedy každá kvadratická rovnice s reálnými koeficienty řešení. Příklad : V oboru komplexních čísel řešte rovnici 7x + 5 = 0 Řešení: 7x + 5 = 0 7. (x + 5/7) = 0 x + 5/7 = 0 [x + i.ö(5/7)]. [x - i. Ö(5/7)] = 0 x = - i. Ö(5/7) x = i. Ö(5/7) Příklad : V oboru komplexních čísel řešte rovnici x - 4x + = 0 Řešení: D = b - 4ac D = (-4) = -8 -b± D a - (-4) ± - 8 x, =. 4 ± i. 8 x, = 6 4 ± i. x, = 6.( ± i. ) x, = 6 ± x, = x, = :4:06 76 z 56

78 M - Matematika - třída DOP - celý ročník Do této kapitoly můžeme zahrnout i rozklady trojčlenů na součin v oboru komplexních čísel. K jejich určení totiž využíváme s výhodou řešení pomocné kvadratické rovnice. Příklad : Rozložte v součin lineárních činitelů trojčlen 4x - x + 5 Řešení: Protože kořeny rovnice 4x - x + 5 = 0 jsou čísla x, = ± i. 56 = ± i 8 dostáváme: æ öæ ö 4 x - x + 5 = 4.ç x - - i.ç x - + i = è øè ø = ( x - - 4i )(. x - + 4i ) ± Řešení kvadratických rovnic v oboru C - procvičovací příklady :4:06 77 z 56

79 M - Matematika - třída DOP - celý ročník ± Stereometrie - Vzájemná poloha Stereometrie Stereometrie je prostorová geometrie; zabývá se prostorovými útvary - tělesy. Vzájemná poloha přímek v prostoru Přímky v prostoru mohou být: rovnoběžné rovnoběžné různé (nemají žádný společný bod) rovnoběžné splývající (mají nekonečně mnoho společných bodů) různoběžné (mají právě jeden společný bod); zvláštním případem různoběžných přímek jsou přímky, které jsou na sebe kolmé. mimoběžné (nemají žádný společný bod, ale nejsou rovnoběžné) Vzájemná poloha rovin v prostoru Roviny v prostoru mohou být: rovnoběžné rovnoběžné různé (nemají žádný společný bod a vzdálenost obou rovin v kterémkoliv místě je vždy stejná) rovnoběžné splývající (mají nekonečně mnoho společných bodů a kterákoliv z obou rovin je vždy podmnožinou roviny druhé) různoběžné (mají nekonečně mnoho společných bodů, které vytvářejí přímku, zvanou průsečnice rovin); zvláštním případem různoběžných rovin jsou dvě roviny, které jsou na sebe kolmé :4:06 78 z 56

80 M - Matematika - třída DOP - celý ročník ± Stereometrie - krychle, kvádr, hranol Krychle Krychle je prostorové těleso, které je tvořeno osmi vrcholy, šesti stěnami a dvanácti hranami. Důležité vzorce: S = 6.a V=a us = a.ö ut = a.ö S je povrch krychle, a je hrana krychle V je objem krychle, a je hrana krychle us je stěnová úhlopříčka, a je hrana krychle ut je tělesová úhlopříčka, a je hrana krychle Kvádr Kvádr je těleso, které je tvořeno osmi vrcholy, šesti stěnami, z nichž každé dvě protější jsou shodné a dvanácti hranami, z nichž zpravidla čtyři jsou vždy shodné. Důležité vzorce: Použité veličiny: a, b, c... délky hran kvádru S... povrch tělesa V... objem tělesa us... stěnová úhlopříčka ut... tělesová úhlopříčka Zkratka CZ značí tzv. cyklickou záměnu, což představuje záměnu hran v odpovídajícím pořadí. S =.(ab + ac + bc) V = a.b.c us = Ö(a +b )... CZ ut = Ö(a +b +c ) Pozn.: Zvláštním případem je kvádr se čtvercovou podstavou Pokud budeme uvažovat a = b, pak vzorce budou v následující podobě: S = a + 4ac V = a.c us = a.ö (pro podstavu) nebo us = Ö(a +c ) (pro boční stěnu) ut = Ö(a +c ) Hranol Hranol je prostorové těleso, které je tvořeno dvěma shodnými podstavami, které mohou mít tvar libovolného n-úhelníku, a pláštěm, který tvoří n obecně různých obdélníků. Pozn.: Pokud n-úhelník tvořící podstavu má všechny strany stejně dlouhé, pak nazýváme hranol pravidelný. V tomto případě plášť tvoří shodné obdélníky. Pozn.: Pokud má hranol kteroukoliv boční hranu kolmou k rovině podstavy, nazýváme ho hranol :4:06 79 z 56

81 M - Matematika - třída DOP - celý ročník kolmý. Budeme se zabývat v dalších výpočtech pouze komými hranoly. Důležité vzorce: S =.Sp + SQ V = SP. v... SP je obsah podstavy, SQ je obsah pláště... SP je obsah podstavy, v je výška tělesa Uvedené vzorce musíme vždy konkretizovat pro konkrétní zadané těleso. ± Krychle, kvádr, hranol - ukázkové příklady. V akváriu tvaru kvádru o rozměrech dna 5 cm a 0 cm je,5 litru vody. Vypočtěte, do jaké výšky voda sahá. Řešení: a = 5 cm =,5 dm b = 0 cm =,0 dm V =,5 l =,5 dm c=? V = a.b.c 45,5 V c= a.b,5.,0 c =,8 dm = 8 cm Voda v akváriu sahá do výšky 8 cm. c=. Je dána krychle o hraně 5,4 cm. Vypočtěte její tělesovou úhlopříčku. Řešení: a = 5,4 cm ut =? ut = a.ö ut = 5,4.Ö ut = 9,4 cm (přibližně) Tělesová úhlopříčka krychle má délku asi 9,4 cm. 45. Trojboký hranol má podstavu tvaru pravoúhlého trojúhelníku, jehož odvěsny mají délky cm a 4 cm. Výška hranolu je 0,5 m. Vypočtěte jeho objem. Řešení: a = cm b = 4 cm v = 0,5 m = 5 cm V=? V = Sp.v V = a.b.v :4:06 V = 50 cm Objem hranolu je 50 cm. 80 z 56

82 M - Matematika - třída DOP - celý ročník ± Krychle, kvádr, hranol - procvičovací příklady. Hranol s kosočtverečnou podstavou má jednu úhlopříčku podstavy 0 cm a hranu podstavy 6 cm. Hrana podstavy je k výšce hranolu v poměru :. Vypočítejte objem hranolu cm 465. Nádrž má obdélníkové dno. Délka strany a = 0 dm a úhlopříčky u = 5 m. Za jak dlouho se naplní do výšky 00 cm, je-li přítok l za sekundu? Čas vyjádřete v hodinách a minutách. h 0 min 459. Určete objem a povrch sloupu, který má podstavu tvaru kosočtverce s úhlopříčkami 60 cm a 44 cm. Výška sloupu je,5 m. Objem,08 m; povrch 8,7 m Kolik tun slámy lze v prostoru pod střechou domu 50 dm dlouhého a 8 m širokého, kde výška trojúhelníkového štítu je 50 cm, uskladnit, je-li hmotnost m lisované slámy 00 kg a prostor je možno zaplnit pouze na 75%? 5,75 t Podstava kolmého trojbokého hranolu je pravoúhlý trojúhelník s odvěsnou6 cm. Obsah největší stěny pláště je 0 cm a výška hranolu je cm. Vypočítejte objem tělesa. 88 cm Těleso tvaru kvádru s podstavou obdélníka (4 cm, cm) bylo naplněno vodou do výšky 0 cm. Vypočítejte objem tělesa ponořeného do vody, jestliže voda stoupne o cm. 864 cm Z dřevěné válcové klády poloměru 5 cm a délky 5 m o hustotě 750 kg/m byl otesán trám o tloušťce 8 cm s největším možným obdélníkovým průřezem. Vypočítejte hmotnost trámu a počet % odpadlého materiálu. 6 kg, 9 % Rozměry kvádru jsou v poměru ::6. Jeho tělesová úhlopříčka má délku 4 cm. Určete jeho povrch a objem. 88 cm Nádoba tvaru kvádru se čtvercovou podstavou a výškou 56 cm byla naplněna po okraj vodou. Do nádoby bylo ponořeno těleso a přitom z nádoby vyteklo 7,5 litru vody. Po vyjmutí tělesa z nádoby poklesla hladina vody v nádobě o cm. Vypočtěte, kolik litrů vody zbylo v nádobě. 7,5 l :4:06 8 z 56

83 M - Matematika - třída DOP - celý ročník 0. Hranol má podstavu tvaru pravoúhlého trojúhelníka. Přepona tohoto trojúhelníka měří 5 cm, jedna odvěsna cm. Objem hranolu je,5 dm. Vypočítejte výšku hranolu a jeho povrch. Výška 8 cm, povrch 6 cm 457. Na obdélníkové zahradě o rozměrech 0 m a 6 m napršely 4 mm vody. desetilitrovým konvím toto množství odpovídá? 9 Kolika 466. Povrch kvádru je 008 cm. Šířka kvádru je o 0% menší než jeho délka, výška kvádru je o 50% větší než jeho délka. Vypočtěte rozměry kvádru a objem kvádru. 074 cm 467. Silniční násep má průřez tvaru rovnoramenného lichoběžníka o základně 6 m a 0 m, ramena délky 5 m. Kolik tun zeminy o hustotě 000 kg/m je v náspu o délce km? t Objem trojbokého kolmého hranolu je 48 cm. Jeho podstavou je rovnoramenný trojúhelník, který má rameno délky cm a výšku na základnu 5 cm. Vypočtěte tělesovou výšku hranolu. 0,8 cm Bazén má tvar kvádru, jeho dno je čtvercové. Délka strany čtverce je 5 m. V bazénu je litrů vody. Do jaké výšky sahá voda?,5 m Hranol s kosočtvercovou podstavou má jednu úhlopříčku podstavy 0 cm a hranu podstavy 6 cm. Hrana podstavy je k výšce hranolu v poměru :. Vypočítejte objem a povrch hranolu. Objem 8 70 cm; povrch 5 06 cm Trojboký hranol má podstavu tvaru pravoúhlého trojúhelníku, jehož odvěsny mají délky cm a 4 cm. Výška hranolu je 0,5 m. Vypočítejte jeho povrch. cm Jaký objem má prostor pod střechou domu 50 dm dlouhého a 8 m širokého, je-li výška trojúhelníkového štítu v = 50 cm? 0 m Kolikrát se zvětší objem krychle s hranou dm, jestliže bude hrana -krát větší? 7 krát :4:06 8 z 56

84 M - Matematika - třída DOP - celý ročník 0. Kvádr má rozměry a = cm, b = 6 cm, c = 8 cm. stěnové úhlopříčky. 0 cm Vypočtěte velikost největší 46 ± Stereometrie - válec Válec Válec je prostorové těleso, které je tvořeno dvěma shodnými kruhovými podstavami a pláštěm. Důležité vzorce: S = p.r + p.r.v S = p d / + p.d.v V = p.r.v V = p.d /4.v S... povrch tělesa; r... poloměr podstavy, v... výška tělesa d... průměr podstavy V... objem tělesa Pozn.: Budeme se zabývat pouze tzv. rotačním válcem, což je takový válec, který může rotovat kolem své osy, která prochází středy obou podstav. Síť válce tvoří obdélník (rozvinutý plášť) a dva kruhy. ± Válec - ukázkové příklady. Na nátěr otevřeného sudu o průměru 60 cm a výšce 85 cm bylo spotřebováno 0,7 l barvy. Kolik barvy je potřeba na m, jestliže se sud natíral zvenku i zevnitř? Řešení: d = 60 cm = 6 dm v = 85 cm = 8,5 dm V0 = 0,7 l = 0,7 dm V=? Počítáme povrch válce bez jedné podstavy a výsledek musíme vzít dvakrát (dva nátěry): S = pd / + p.d.v S =,4.6 / +.,4.6.8,5 = 76,8 S = 76,8 dm =,77 m (přibližně) :4:06 V = V0/S V = 0,7 /,77 V = 0,9 l (přibližně) Na nátěr jednoho metru čtverečného sudu se spotřebuje přibližně 0,9 l barvy. 8 z 56

85 M - Matematika - třída DOP - celý ročník. 476 Vypočtěte obsah podstavy válce o objemu 6,8 l a výšce 0,5 m. Řešení: V = 6,8 l = 6,8 dm v = 0,5 m = 5 dm Sp =? V = Sp. v Sp = V / v Sp = 6,8 / 5 Sp =,56 dm Obsah podstavy válce je,56 dm. ± Válec - procvičovací příklady. Vypočtěte výšku válce o objemu 6,8 litru, je-li obsah podstavy,56 dm. Výška válce je 5 dm V nádrži tvaru válce o poloměru m je 94 hl vody. Voda sahá do dvou třetin hloubky nádrže. Jaký je objem celé nádrže? 4 hl 498. Nádoba tvaru válce má průměr podstavy 0,8 m a obsah podstavy je roven obsahu pláště. Kolik celých litrů vody můžeme nejvýše nalít do nádoby? Do nádoby můžeme nalít maximálně 00 litrů vody Kanystr tvaru pravidelného čtyřbokého hranolu o délce podstavné hrany 5 cm a výšce 40 cm je plný vody. Vodu jsme přelili do válce o stejné výšce. Jaký průměr má válec, jestliže je také plný? Válec má průměr 8, cm V nádrži tvaru válce o průměru 6 m je 94 hl vody. Voda sahá do dvou třetin hloubky nádrže. Jaká je hloubka nádrže? Hloubka nádrže je 5 m Při nátěru otevřeného sudu zvenku i zevnitř se spotřebuje 0,9 litru barvy na m. Sud má poloměr 0 cm a výšku 85 cm. Kolik barvy se na nátěr sudu spotřebuje? Na nátěr sudu se spotřebuje 0,7 litru barvy Kolik kilogramových plechovek ekologické barvy je třeba koupit k nátěru padesáti dvousetlitrových otevřených sudů na vodu, jejichž průměr je 60 cm? Výrobce udává, že kg barvy vystačí na plochu o obsahu 5 m. Je zapotřebí plechovek :4:06 84 z 56

86 M - Matematika - třída DOP - celý ročník 8. Nádoba tvaru válce má průměr podstavy 0,8 m a obsah podstavy je roven obsahu pláště. Do jaké výše naplníme nádobu vodou, chceme-li ji zaplnit ze 0%? Nádobu naplníme do výše asi 0,6 dm Kanystr tvaru válce s průměrem 8, cm a výškou 40 cm je plný vody. Vodu jsme přelili do jiného kanystru tvaru kvádru se čtvercovou podstavou a výškou jako má válec. Jaký je obsah podstavy kvádru, je-li po přelití vody také plný? Obsah podstavy kvádru je 65 cm Kolik litrů vody za sekundu může maximálně odvádět koryto, které má průřez půlkruh o poloměru 0,5 m, je-li rychlost proudu 80 cm za sekundu? Koryto může odvádět maximálně 4 litrů vody za sekundu. 478 ± Stereometrie - jehlan Jehlan Jehlan je prostorové těleso, které je tvořeno podstavou tvaru libovolného n-úhelníka a dále navíc jedním vrcholem, který nazýváme hlavní. U jehlanu, podobně jako u dalších prostorových těles, počítáme povrch a objem. V = Sp.v/ S = Sp + SQ Podstava je tvořena n-úhelníkem, plášť několika trojúhelníky, které mohou být i shodné. Shodné jsou tehdy, jestliže podstava je tvořena pravidelným n-úhelníkem. V tomto případě pak jehlan nazýváme pravidelný. Pozn.: Budeme se zabývat pouze tzv. kolmými jehlany, což jsou takové, které mají výšku kolmou k podstavě. Jehlan, který má za podstavu trojúhelník, nazýváme čtyřstěn. Význam má hlavně pravidelný čtyřstěn, který má podstavu i všechny stěny pláště shodné :4:06 85 z 56

87 M - Matematika - třída DOP - celý ročník ± Jehlan - ukázkové příklady. Objem pravidelného čtyřbokého jehlanu je 7,0 cm. Výška jehlanu se rovná délce podstavné hrany. Vypočítejte délku podstavné hrany a povrch jehlanu. Řešení: V = 7,0 cm v=a=? S=? V = Sp.v/ V = a / 48 Po dosazení: a = 6 cm Stěnová výška va: Po dosazení: va = 6,7 cm (přibližně) Obsah jedné stěny: S = a.va/ Obsah pláště: SQ = 4.S =.a.va Povrch jehlanu: Po dosazení: :4:06 S = SP + SQ = a +.a.va S = ,7 S = 6,5 cm (přibližně) Hrana jehlanu má délku 6 cm a povrch tělesa je 6,5 cm. 86 z 56

88 M - Matematika - třída DOP - celý ročník. Kolik korun bude stát natření střechy věžičky tvaru pravidelného čtyřbokého jehlanu o hraně podstavy 8,4 m a výšce tělesa 6,5 m, stojí-li kg barvy 6 Kč a z jednoho kilogramu natřeme m. Zaokrouhlete na stovky. Řešení: a = 8,4 m v = 6,5 m m0 = kg c0 = 6 Kč S0 = m c=? Je zapotřebí spočítat obsah pláště, proto musíme nejprve spočítat stěnovou výšku po dosazení dostáváme va = 7,74 m (přibližně) S = 4. a.va/ = a.va S =. 8,4.7,74 S = 0 m (přibližně) c = S/S0.c0 c = 0/.6 c = 68,5 Kč, což je přibližně 700 Kč Natření stříšky bude stát přibližně 700 Kč. ± Jehlan - procvičovací příklady. Vypočtěte objem pravidelného trojbokého jehlanu, je-li a = 7 cm, v = 5 cm. Objem pravidelného trojbokého jehlanu je asi 460 cm. 49. Vypočti povrch pravidelného čtyřbokého jehlanu, má-li hranu podstavy 4 cm a pobočnou hranu dlouhou 5 cm. Povrch pravidelného čtyřbokého jehlanu je asi 5 cm. 49. Vypočti povrch jehlanu s obdélníkovou podstavou, je-li a = 6 cm, b = cm, h = 0 cm, kde a, b jsou hrany podstavy a h je pobočná hrana. Povrch jehlanu je asi 74 cm Vypočtěte objem čtyřbokého jehlanu s lichoběžníkovou podstavou, je-li a = 7 cm, c = 4 cm, va = cm, v = cm. Objem jehlanu s lichoběžníkovou podstavou je 66 cm Ve čtyřbokém kolmém jehlanu jsou dány podstavné hrany a = 0 cm, a = 8 cm a tělesová výška v = 7 cm. Vypočtěte velikost pobočné hrany. Délka pobočné hrany je asi 0, cm :4:06 87 z 56

89 M - Matematika - třída DOP - celý ročník 6. Plášť pravidelného čtyřbokého jehlanu je čtyřikrát větší než podstava. Podstavná hrana má délku dm. Určete tělesovou výšku jehlanu. Tělesová výška jehlanu je asi,94 dm Vypočtěte objem pravidelného osmibokého jehlanu, jestliže hrana podstavy má délku cm a výška tělesa je 9 cm. Objem pravidelného osmibokého jehlanu je asi 0, cm Vypočti povrch jehlanu s obdélníkovou podstavou, je-li a = 0 cm, b = 8 cm a tělesová výška je 5 cm. Povrch jehlanu je 6 cm Žulový obelisk o výšce 8 m a stranou čtvercové podstavy 0,8 m se má ustavit na místo jeřábem. Jakou minimální nosnost musí jeřáb mít? Hustota žuly se počítá 800 kg/m. Jeřáb musí mít minimální nosnost tun Vypočtěte povrch a objem pravidelného čtyřbokého jehlanu, který má všechny hrany stejně dlouhé, je-li poloměr kružnice opsané podstavě 4 cm. Objem jehlanu je asi 4,7 cm, povrch asi 87,5 cm Vypočtěte objem pravidelného šestibokého jehlanu, který má hranu podstavy dlouhou 6 cm a výšku tělesa dlouhou 8 cm.. Objem jehlanu je asi 49,6 cm 55. Kolik korun bude stát natření střechy věžičky tvaru pravidelného čtyřstěnu s podstavou o obsahu 0 m, stojí-li natření jednoho metru čtverečního 5,5 Kč? Natření střechy bude stát 5 Kč. 5. Pobočné hrany o délce dm čtyřbokého jehlanu mají od obdélníkové podstavy odchylku Obsah podstavy je 0 cm. Jak velká je tělesová výška jehlanu? Tělesová výška jehlanu je asi 8,5 cm Vypočtěte objem pravidelného čtyřbokého jehlanu, který má boční hranu dvakrát delší než je hrana podstavy, je-li poloměr kružnice opsané podstavě 6 cm. Objem čtyřbokého jehlanu je asi 8,5 cm. 5 ± Stereometrie - kužel Kužel je prostorové těleso, které je tvořeno jednou podstavou a pláštěm. Podstava má tvar kruhu, plášť, kdybychom ho rozvinuli do roviny, bude mít tvar kruhové výseče :4:06 88 z 56

90 M - Matematika - třída DOP - celý ročník r v V s poloměr podstavy výška kužele hlavní vrchol strana kužele Vzhledem k tomu, že výše zobrazený kužel může rotovat kolem své výšky, nazýváme tento typ kužele rotační kužel. Budeme se zabývat právě takovými kuželi. U kužele počítáme, podobně jako u dalších těles, povrch a objem. Pozn.: Někdy se také kužel definuje jako těleso, které vznikne rotací pravoúhlého trojúhelníka kolem jedné z jeho odvěsen. Důležité vzorce: V = p.r.v S = p.r + p.r.s S V d V= p.d.v S = p.d + p.d.s 4 povrch tělesa objem tělesa průměr podstavy ± Kužel - ukázkové příklady :4:06 89 z 56

91 M - Matematika - třída DOP - celý ročník. Objem kužele je cm, jeho výška je 4 cm. Jaký je obsah podstavy kužele? Řešení: V = cm v = 4 cm Sp =? [cm ] V =. 499 Sp.v Sp=V/v Sp =./4 Sp= 9 cm Obsah podstavy kužele je 9 cm. Jak velký objem by měl kužel, který by vznikl rotací rovnoramenného trojúhelníku s úhlem při základně 5 a ramenem délky 0,75 m? 500 Řešení: Obrázek je jen ilustrační Výška tělesa je tedy zároveň výškou trojúhelníka. a = 5 s = 0,75 m V =? [m ] sin a = v/s v = s. sin a v = 0,75. sin 5 v = 0,75. 0,46 v = 0,6 95 m = 0, m (po zaokrouhlení) cos a = r/s r = s. cos a r = 0,75. cos 5 r = 0,75. 0,906 r = 0, m = 0,68 (po zaokrouhlení) :4:06 V = p r v/ V =,4.0,68.0,/ V = 0,55 m (po zaokrouhlení) V = 55 dm Objem kužele je 55 dm. 90 z 56

92 M - Matematika - třída DOP - celý ročník. Plechová stříška tvaru kužele má průměr podstavy 80 cm a výšku 60 cm. Vypočtěte spotřebu barvy na natření této stříšky, spotřebuje-li se kg barvy na 6 m plechu. Řešení: d = 80 cm v = 60 cm m0 = kg S0 = 6 m m =? [kg] Natíráme pouze plášť kužele, proto S = p d.s/ () Neznáme s, proto ho spočítáme pomocí Pythagorovy věty: s= æd ö v +ç èø s= æ 80 ö 60 + ç è ø 50 s = 7, (po zaokrouhlení) Dosadíme do (): S =, ,/ S = 9057 cm = 0,9 m (po zaokrouhlení) kg... 6m m [kg]... 0,9 m Jedná se o přímou úměrnost, proto m =. 0,9/6 m = 0,5 kg (o zaokrouhlení) Na natření stříšky je zapotřebí asi 0,5 kg barvy. ± Kužel - procvičovací příklady. Vypočti objem kužele, který má průměr podstavy roven výšce tělesa. Poloměr podstavy kužele je 7 cm. Objem kužele je 78 cm. 50. Vypočti povrch kužele, jehož strana je 0 cm a průměr podstavy je 0 cm. Povrch kužele je 5,5 cm. 5. Kužel má objem 8,7 cm a průměr podstavy 8 cm. Vypočti výšku tělesa. Výška kužele je 5 cm :4: z 56

93 M - Matematika - třída DOP - celý ročník 4. Vypočti povrch kužele, je-li jeho výška 5 cm a strana 7 cm. Povrch kužele je 68 cm Nálevka na litr má tvar kužele s poloměrem podstavy 0 cm. Jaká je výška nálevky? Výška nálevky je asi 9,6 cm Vypočti objem kužele s průměrem podstavy cm a výškou tělesa 0,5 m. Objem kužele je 97 cm V závodě na výrobu nápojového skla vyrábějí dva typy skleniček ve tvaru kužele. První typ o průměru 9 cm s výškou 6,5 cm a druhý typ o průměru 6 cm s výškou 4,5 cm. Která sklenička má větší objem? Vejdou se do některé z nich dl nápoje? Větší objem má sklenička. typu; dl nápoje se ale nevejdou do žádné skleničky Nádobka tvaru kužele o poloměru podstavy 0 cm a výšce 6 cm byla zcela naplněna vodou. Voda byla přelita do nádoby tvaru válce o poloměru podstavy cm. Jak vysoko byla voda v nádobě tvaru válce? Voda v nádobě tvaru válce sahala do výšky asi, cm Vypočti objem kužele o poloměru podstavy 5 cm, je-li výška tělesa rovna 9 cm. Objem kužele je 4 6 cm Kužel má objem 44 cm a výšku 7 cm. Vypočti poloměr podstavy tohoto kužele. Poloměr podstavy kužele je 9 cm Nádoba tvaru kužele s průměrem dna 60 cm a stranou délky 50 cm je zcela naplněna vodou. Vodu přelijeme do nádoby, která má tvar válce o poloměru dna 0 cm a výšce 0 cm. Kolik litrů vody je třeba do nádoby tvaru válce dolít, aby byla zcela naplněna? Do nádoby musíme dolít asi 8,8 litru vody. 54. Rotační kužel má obsah podstavy 8,6 cm a objem celého tělesa je,88 cm. Určete jeho výšku. Výška kužele je 4 cm Vypočti povrch kužele, který má výšku 6 cm a poloměr podstavy 0, m. Povrch kužele je 6 09 cm Kolik metrů krychlových je uloženo na hromadě tvaru kužele, je-li výška hromady,6 m a největší šířka hromady 7 m? Na hromadě je uloženo asi, m písku. 509 ± Stereometrie - koule Koule je prostorové těleso. Jedná se o těleso, které je tvořeno body, jež mají od jediného pevně zvoleného bodu vzdálenost menší nebo rovnu poloměru :4:06 9 z 56

94 M - Matematika - třída DOP - celý ročník U koule počítáme opět povrch nebo objem. r d poloměr koule průměr koule Povrch koule: S = 4p.r S = p.d Objem koule: 4 V =.p.r V =.p.d 6 ± Koule - ukázkové příklady.. Kolik metrů čtverečních materiálu bylo potřeba na zhotovení balonu pro vzduchoplavce, jestliže měl poloměr,5 m? Řešení: r =,5 m S =? [m ] S = 4.p.r = 4.,4.,5 S = 78,5 m Na zhotovení balonu bylo zapotřebí 78,5 m materiálu. 67 Vypočti objem koule o průměru 75 cm. 66 Řešení: d = 75 cm V =? [cm ] V =.p.d =., V = 0 78,5 cm = 0, m (po zaokrouhlení) Objem koule je asi 0, m. ± Koule - procvičovací příklady. Vypočti objem koule o poloměru 0,4 m. Objem koule je 68 dm :4: z 56

95 M - Matematika - třída DOP - celý ročník. Vypočti povrch koule o poloměru 0,7 m. Povrch koule je asi 6, m Jaký poloměr musí mít pouzdro tvaru koule, aby se do něho vešla krychle o hraně 0 cm a byla pevně uložena? Pouzdro musí mít poloměr asi 7,4 cm Vypočti povrch koule, která má objem 874 cm. Povrch koule je asi 44 cm Kolik litrů vody se vejde do akvária tvaru koule, mají-li být vodou zaplněny čtyři pětiny objemu celé koule o průměru 0,5 m? Do akvária se vejde asi 5, litru vody. 6 Vypočti objem koule o poloměru 5 cm. Objem koule je 589 dm. 60 Jaký průměr má kovová kulička, jestliže po vhození do válcové nádoby o průměru cm naplněné vodou hladina stoupne o mm? Kovová kulička má průměr asi mm. 6 Vypočti povrch koule o poloměru m. Povrch koule je asi 50, m. 606 Vypočti povrch koule o průměru 45 cm. Povrch koule je asi 6,6 dm. 607 Vypočti poloměr koule, jejíž objem je litr. Koule má poloměr asi 6, cm Vypočti objem koule, je-li její povrch 450 cm. Objem koule je asi 898 cm. 60. Kolik olověných kuliček o průměru 8 mm se odlije z kg materiálu o hustotě kg/m? Z uvedeného materiálu odlijeme asi kuliček.. Na nafukovací plážový míč se spotřebovalo, m materiálu, ze kterého 0 % činil odpad. Jak velký průměr má míč? Míč má průměr asi 0,5 m ± Pythagorova věta Pythagorova věta Věta: Obsah čtverce sestrojeného nad přeponou pravoúhlého trojúhelníka je roven součtu obsahů čtverců sestrojených nad oběma odvěsnami. Důkaz: :4:06 94 z 56

96 M - Matematika - třída DOP - celý ročník Na základě Eukleidovy věty o odvěsně platí: a = c. ca b = c. cb Sečteme-li pravé i levé strany obou rovnic, dostáváme: a + b = c. ca + c. cb = c. (ca + cb) = c. c = c CBD Platí také věta obrácená: Věta: Platí-li o stranách trojúhelníka ABC předpoklad, že c = a + b, pak jde o pravoúhlý trojúhelník s pravým úhlem při vrcholu C. Důkaz: Zvolme pravoúhlý trojúhelník A B C takový, aby při vrcholu C byl pravý úhel. Nechť jeho odvěsny jsou shodné se stranami AC a BC daného trojúhelníka ABC. Platí tedy: a = a b = b Pro přeponu trojúhelníka A B C platí Pythagorova věta: c = a + b = a + b = c Z toho vyplývá, že c = c Trojúhelník ABC je pak shodný s trojúhelníkem A B C (sss), proto i vnitřní úhel při vrcholu C (který je pravý) je roven vnitřnímu úhlu při vrcholu C. I ten je tedy pravý a to jsme měli dokázat. Ukázkové příklady: Příklad : Rozhodněte, zda trojúhelník daný třemi stranami o délkách 4 cm, 5 cm, 6 cm je pravoúhlý. Řešení: a = 4 cm b = 5 cm c = 6 cm c =? [cm] Podle Pythagorovy věty vypočteme pomocí předpokládaných odvěsen (tj. kratších stran) a, b délku pomyslné přepony c. Pokud bude platit c = c, pak je původní trojúhelník pravoúhlý. c = a + b = = 4 ¹ 6 Závěr tedy zní: Zadaný trojúhelník není pravoúhlý. ± Pythagorova věta - procvičovací příklady :4:06 95 z 56

97 M - Matematika - třída DOP - celý ročník. 50 4,9 cm. 44 cm. 4 0 m 4. 9,4 m ,06 cm ,6 cm :4:06 09 cm 96 z 56

98 M - Matematika - třída DOP - celý ročník. 49,78 cm ± Eukleidovy věty Eukleidovy věty. Věta o výšce Pata výšky C rozdělí stranu c na dvě části: ca, cb. Tvrzení: Trojúhelník AC C je podobný s trojúhelníkem CC B. Důkaz je zřejmý podle věty uu, neboť oba trojúhelníky obsahují úhly alfa a beta. Pozn.: Dva úhly, které mají na sebe kolmá ramena, jsou shodné. Z podobnosti trojúhelníků vyplývá: v ca = Þ v = ca.cb cb v Rovněž by se dalo vyjádřit se stejným závěrem: v cb = Þ v = ca.cb ca v Vzniklý závěr nazýváme Eukleidovou větou o výšce a můžeme ji slovně vyjádřit následující větou: Obsah čtverce sestrojeného nad výškou pravoúhlého trojúhelníka je roven obsahu obdélníka, jehož stranami jsou úseky strany c. Každou větu je nutno dokázat - důkaz už byl ale vlastně proveden výše.. Věta o odvěsně :4:06 97 z 56

99 M - Matematika - třída DOP - celý ročník Trojúhelník AC C je podobný s trojúhelníkem ACB. Podobnost lze odůvodnit opět podle věty uu, neboť v obou trojúhelnících jsou opět úhly alfa i beta. Z podobnosti trojúhelníků vyplývá: cb b = Þ b = cb.c b c Rovněž by se dalo vyjádřit: ca a = Þ a = ca.c a c Vzniklé vzorce jsou matematickým vyjádřením Eukleidových vět o odvěsně. Protože každý pravoúhlý trojúhelník má dvě odvěsny, jsou vždy i dvě Eukleidovy věty o odvěsnách. Opět můžeme napsat matematickou větu: Obsah čtverce sestrojeného nad odvěsnou pravoúhlého trojúhelníka je roven obsahu obdélníka, jehož stranami jsou přepona a úsek přilehlý k dané odvěsně. Důkaz i této věty už byl vlastně proveden výše. Ukázkové příklady Příklad - určení druhé odmocniny pomocí Eukleidovy věty o výšce: Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku o délce x = Ö0 Řešení:. Číslo pod odmocninou rozložíme na součin libovolných dvou činitelů - např.. 5. Rovnost x = Ö0 upravíme do tvaru x = 0, resp. x =. 5. Zvolíme-li x = v, ca =, cb = 5, pak můžeme snadno použít větu o výšce. 4. Protože platí ca + cb = c, zjistíme, že přepona bude dlouhá + 5 = 7 5. Narýsujeme úsečku AB o délce Vyznačíme bod C a to tak, že je vzdálen od bodu A o délku Najdeme střed úsečky AB a uděláme půlkružnici k s tímto středem a poloměrem odpovídajícím polovině úsečky AB. 8. V bodě C vstyčíme kolmici, její průsečík s kruhovým obloukem označíme X. 9. Délka úsečky C X pak odpovídá hledané x = Ö0 Příklad - určení druhé odmocniny pomocí Eukleidovy věty o odvěsně: :4:06 98 z 56

100 M - Matematika - třída DOP - celý ročník Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku o délce x = Ö0 Řešení:. Číslo pod odmocninou rozložíme na součin libovolných dvou činitelů - např.. 5. Rovnost x = Ö0 upravíme do tvaru x = 0, resp. x =. 5. Zvolíme-li x = a, ca =, c = 5, pak můžeme snadno použít větu o odvěsně a. 4. Narýsujeme úsečku AB o délce Vyznačíme bod C a to tak, že je vzdálen od bodu B o délku. 6. Najdeme střed úsečky AB a uděláme půlkružnici k s tímto středem a poloměrem odpovídajícím polovině úsečky AB. 7. V bodě C vstyčíme kolmici, její průsečík s kruhovým obloukem označíme X. 8. Délka úsečky XB pak odpovídá hledané x = Ö0 ± Eukleidovy věty - procvičovací příklady. Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö7. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 4, 66. Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce., 54. Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö8. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 4, Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 4, Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö8. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 5, Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö4. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce., Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 4, Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö9. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 4, :4:06 99 z 56

101 M - Matematika - třída DOP - celý ročník 9. Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö9. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 4, Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce.,6 6. Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce., 6. Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 4, Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö5. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce., Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö0. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce., Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö8. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce., Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce., Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 4, Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce., Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 4, Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö8. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 4, :4:06 00 z 56

102 M - Matematika - třída DOP - celý ročník ± Střední geometrická úměrná a čtvrtá geometrická úměrná Střední geometrická úměrná Vraťme se zpět k Eukleidově větě o výšce: v = ca. cb neboli v = ca.cb Výška v pravoúhlém trojúhelníku je střední geometrickou úměrnou obou úseků. Eukleidovy věty proto využíváme ke konstrukci algebraických výrazů - zejména odmocnin. Příklad : Je dán kruh o poloměru r. Rozdělte jej kružnicí s ním soustřednou na dvě části, jejichž obsahy se sobě rovnají. Řešení: Označme poloměr zadaného kruhu r a poloměr kledané soustředné kružnice r. Pak má platit: r r = r r =.r Hledaný poloměr je tedy střední geometrickou úměrnou Čtvrtá geometrická úměrná Platí-li pro čtyři úsečky o délkách a, b, c, x vztah a c = b x pak úsečka x je čtvrtou geometrickou úměrnou úseček a, b, c v tomto pořadí. Příklad : Narýsujte čtvrtou geometrickou úměrnou úseček cm, 5 cm, Ö cm Řešení: Ze zadání musí platit vztah: :4:06 0 z 56

103 M - Matematika - třída DOP - celý ročník = 5 x Příklad : Narýsujte úsečku, která vyhovuje vztahu: a x= b Řešení: Zadaný vztah přepíšeme do tvaru x a = a b neboli b a = a x ± Střední a čtvrtá geometrická úměrná - procvičovací příklady. 4 Narýsujte úsečku délky x = (abc)/d, kde a, b, c, d jsou velikosti daných úseček :4:06 Pomocná úsečka y je čtvrtou geometrickou úměrnou úseček b, a, d. Úsečka x je pak čtvrtou geometrickou úměrnou úseček y, a, d. 0 z 56

104 M - Matematika - třída DOP - celý ročník. 4 Nechť a, b, c jsou délky tří daných úseček. Sestrojte čtvrtou úsečku délky x, která vyhovuje rovnici x = bc/a Úsečka x je čtvrtou geometrickou úměrnou úseček a, c, b. ± Výpočty rovinných útvarů - jednodušší příklady Výpočty rovinných útvarů Tato kapitola obsahuje řešení příkladů s využitím všech teoretických vlastností, se kterými jsme se seznámili v předcházejících kapitolách z planimetrie. Převážnou většinu příkladů budeme vždy řešit nejprve obecně, pak teprve dosadíme číselné hodnoty a na kalkulačce spočítáme výsledek, který vhodně zaokrouhlíme. Obecné řešení považujeme za hotové tehdy, obsahuje-li vzorec pouze proměnné, které máme v zápisu příkladu a výraz už nelze dále zjednodušit. ± Výpočty rovinných útvarů - procvičovací příklady ± Goniometrie a trigonometrie Tato kapitola se zabývá goniometrickými funkcemi, výpočty u pravoúhlého, ale i u obecného trojúhelníka. ± Orientovaný úhel Orientovaný úhel Orientovaným úhlem AVB se nazývá uspořádaná dvojice polopřímek VA, VB, kde V je jejich společný počátek, přičemž: VA je počáteční rameno úhlu VB je koncové rameno úhlu V je vrchol orientovaného úhlu Hodnota orientovaného úhlu je kladná, jestliže se počáteční rameno VA otáčí kolem vrcholu V směrem ke koncovému rameni VB proti směru chodu hodinových ručiček :4:06 0 z 56

105 M - Matematika - třída DOP - celý ročník Hodnota orientovaného úhlu je záporná, jestliže se počáteční rameno VA otáčí kolem vrcholu V směrem ke koncovému rameni VB po směru chodu hodinových ručiček. Stupňová a oblouková míra Velikost úhlů můžeme vyjadřovat jednak ve stupňové míře (plný úhel pak má 60 ) a dále v míře obloukové (plný úhel pak má velikosti p rad). Stupňová míra: :4:06 04 z 56

106 M - Matematika - třída DOP - celý ročník Oblouková míra: :4:06 05 z 56

107 M - Matematika - třída DOP - celý ročník p je tzv. Ludolfovo číslo a jeho hodnota je přibližně,4. Plný úhel má tedy hodnotu p rad, což je tedy přibližně 6,8 radiánů. K převodům velikostí úhlů ze stupňů na radiány a naopak můžeme výhodně využít např. trojčlenku. U číselné hodnoty úhlu v obloukové míře se obvykle jednotka rad vynechává. Příklad : Úhel o velikosti 5 převeďte do obloukové míry. Řešení: p rad 5... x rad Jedná se vždy o přímou úměrnost (šipky na obou stranách směrem vzhůru) x= p.5 p = rad 80 Pozn.: Výsledek můžeme klidně vyjádřit i ve tvaru 0,6 rad (přibližně) Příklad : Úhel o velikosti p/4 rad převeďte na stupně. Řešení: :4:06 p rad 06 z 56

108 M - Matematika - třída DOP - celý ročník x... p/4 rad Jedná se vždy o přímou úměrnost (šipky na obou stranách směrem vzhůru) p x = = 5o p Úhel má tedy velikost 5. Z předchozích postupů můžeme snadno odvodit vzorce pro převody jedním nebo druhým směrem:. Převod ze stupňů na míru obloukovou x= p.a o rad 80. Převod z radiánů na míru stupňovou x= 80.arad p ± Stupňová a oblouková míra - procvičovací příklady. 5 70, :4:06 07 z 56

109 M - Matematika - třída DOP - celý ročník , :4:06 08 z 56

110 M - Matematika - třída DOP - celý ročník ± Jednotková kružnice Jednotková kružnice Jednotková kružnice je taková kružnice, jejíž poloměr je. Využít ji můžeme například k odvození goniometrických funkcí platících pro pravoúhlý trojúhelník. ± Funkce sinus Funkce sinus Určení funkce z jednotkové kružnice: :4:06 09 z 56

111 M - Matematika - třída DOP - celý ročník V pravoúhlém trojúhelníku je funkce sinus určena jako podíl protilehlé odvěsny a přepony. Funkce sinus je tedy goniometrická funkce daná předpisem f: y = sina Poznámky: Funkce shora omezená: :4:06 0 z 56

112 M - Matematika - třída DOP - celý ročník Funkce zdola omezená: :4:06 z 56

113 M - Matematika - třída DOP - celý ročník Funkce periodická: :4:06 z 56

114 M - Matematika - třída DOP - celý ročník Funkce lichá: Funkce se nazývá kosekans a a zapisuje se y = cosec a :4:06 z 56

115 M - Matematika - třída DOP - celý ročník ± Funkce kosinus Funkce kosinus Určení funkce z jednotkové kružnice: V pravoúhlém trojúhelníku je funkce dána podílem přilehlé odvěsny a přepony. Funkce kosinus je funkce, která je dána předpisem f: y = cos a. Poznámky: Funkce sudá: :4:06 4 z 56

116 M - Matematika - třída DOP - celý ročník Funkce se nazývá sekans a, zapisujeme y = sec a ± Funkce tangens Funkce tangens Určení funkce tangens z jednotkové kružnice: :4:06 5 z 56

117 M - Matematika - třída DOP - celý ročník Funkce tangens a je goniometrická funkce definovaná pomocí funkcí sinus a kosinus a má tvar: V pravoúhlém trojúhelníku je funkce dána podílem protilehlé a přilehlé odvěsny. Poznámky: Funkce rostoucí: :4:06 6 z 56

118 M - Matematika - třída DOP - celý ročník ± Funkce kotangens Funkce kotangens Určení funkce z jednotkové kružnice: Funkce y = cotg a je goniometrická funkce, která je definována pomocí funkcí sinus a kosinus a má tvar: V pravoúhlém trojúhelníku je funkce definována jako podíl přilehlé odvěsny a protilehlé odvěsny :4:06 7 z 56

119 M - Matematika - třída DOP - celý ročník Poznámky: Funkce klesající: ± Řešení pravoúhlého trojúhelníka Řešení pravoúhlého trojúhelníka Mění-li se v pravoúhlém trojúhelníku velikost úhlu alfa, mění se i poměry délek stran v tomto trojúhelníku. Proto jsou v pravoúhlém trojúhelníku definovány tyto vztahy pro goniometrické funkce ostrého úhlu: :4:06 8 z 56