Analyticé stanovení hodnoty Value at Ris a Expected Shortfall za předpoladu smíšeného normálního rozdělení pravděpodobnosti 1 Jiří Valecý, Aleš resta Abstrat Mezi největší nedostaty analyticého propočtu Value at Ris a Expected Shortfall patří bezesporu předpolad o normálním rozdělení pravděpodobnosti výnosů. Tyto vša mají rozdělení leptourticá a mnohdy i mírně zešimená. V těchto situacích vede předpolad o normálním rozdělení podhodnocení či nadhodnocení hodnoty VaR a ES oproti sutečnosti. Tento příspěve je věnován analyticému stanovení VaR a ES za předpoladu smíšeného normálního rozdělení pravděpodobnosti, s jehož pomocí lze charaterizovat typicé leptourticé rozdělení výnosů finančních ativ. V příspěvu je nejprve charaterizován způsob stanovení VaR a ES analyticou metodou za předpoladu normálního a poté smíšeného normálního rozdělení pravděpodobnosti výnosu. Dále jsou prezentovány metody odhadu parametrů pravděpodobnostního rozdělení, tj. metoda momentů a metoda maximální věrohodnosti. V závěru příspěvu jsou propočteny jednotlivé hodnoty VaR a ES, výsledy jsou porovnány. líčová slova Value at Ris, Expected Shortfall, smíšené normální rozdělení pravděpodobnosti, metoda maximální věrohodnosti, metoda centrálních momentů. 1 Úvod Metodologie Value at Ris (dále jen VaR) je poměrně rozsáhlou a propracovanou metodologií pro měření veliosti rizia a řízení eonomicého apitálu, jímž jsou tato rizia ryta. Jedná se tedy o metodologii apliovatelnou ja při řízení operačních a úvěrových rizi, ta při řízení rizi tržních (napřílad aciového, měnového, úroového, opčního a omoditního rizia). Dalším velmi rozšířeným a upřednostňovaným měřítem rizia před VaR je Expected Shortfall (dále jen ES). Jedná se de facto o očeávanou ztrátu, jež přeročí hodnotu VaR na dané hladině pravděpodobnosti. Hodnotu VaR i ES lze stanovit analyticy, na bázi historicé simulace nebo simulace Monte-Carlo. Analyticé řešení je velmi rychlou a jednoduchou metodou stanovení této hodnoty, avša její určení je podmíněno předpolady o pravděpodobnostním rozdělení výnosu ativa, tj. (1) stacionarita pravděpodobnostního chování; () neautoorelovanost a (3) normalita pravděpodnostního rozdělení. Zejména pa třetí předpolad je úsalím problému při propočtu obou měr rizi analyticou metodou, neboť empiricá rozdělení pravděpodobnosti finančních časových řad jsou leptourticá a mnohdy i zešimená. 1 Tento příspěve vznil v rámci podpory projetu SP/111. Ing. Jiří Valecý, Ph.D., VŠB Technicá univerzita Ostrava, Eonomicá faulta, atedra financí, Soolsá tř. 33, 71 1 Ostrava 1; e-mail: jiri.valecy@vsb.cz; Ing. Aleš resta, VŠB Technicá univerzita Ostrava, Eonomicá faulta, atedra financí, Soolsá tř. 33, 71 1 Ostrava 1; e-mail: ales.resta.st@vsb.cz.
V taovém případě vede předpolad normality nadhodnocení VaR a ES na relativně vysoé hladině spolehlivosti a naopa podhodnocení při relativně nižší hladině spolehlivosti. Řešením tohoto problému je mimo jiné stanovení předpoladu, že veličina je charateristicá smíšeným normálním rozdělením. 3 Cílem tohoto příspěvu je porovnat jednodenní VaR a ES na 95% hladině spolehlivosti u vybraných indexů apitálového trhu za předpoladu normálního a smíšeného normálního rozdělení pravděpodobnosti, přičemž parametry jsou odhadnuty dvěma metodami, tj. metodou centrálních momentů a metodou maximální věrohodnosti. V příspěvu jsou tyto metody rovněž porovnány ve smyslu vality odhadu a dále je ověřeno, zda předpolad normálního rozdělení nad/podhodnocuje hodnotu VaR a ES. V příspěvu je nejprve vysvětleno analyticé stanovení hodnoty VaR a ES za předpoladu normálního rozdělení a posléze za předpoladu smíšeného normálního rozdělení pravděpodobnosti. Další část je věnována desripci metod odhadu parametrů smíšeného rozdělení, přičemž hlavní pozornost je věnována iterační metodě maximální věrohodnosti. Ve čtvrté části je stanovena hodnota VaR a ES za předpoladu smíšeného rozdělení, jehož parametry jsou určeny metodou centrálních momentů a metodou maximální věrohodnosti a tyto výsledy jsou porovnány ja mezi sebou, ta s hodnotami stanovených za předpoladu normálního rozdělení. V poslední části jsou výsledy shrnuty. Analyticé stanovení Value at Ris a Expected Shortfall Value at Ris je hodnota ztráty na dané hladině pravděpodobnosti α a odpovídá spodnímu α -vantilu rozdělení náhodné veličiny X %, tedy. iid de X t N ( µ, σ ) % a x = α VaR. P X% < x α = α, (1) Expected shortfall lze definovat jao očeávanou ztrátu přeračující hodnotu VaR na dané hladině pravděpodobnosti, tedy ( α ).1 Normální rozdělení pravděpodobnosti Normalizací rovnice (1) dostaneme rovnici ve tvaru de Z N (,1) ES = E X X < x. () α X% x x P ( X% µ α µ α µ < xα ) = P < = P Z < = α, (3) σ σ σ. Vzhledem rovnosti x α µ ( α ) σ 1 de Φ je inverzní funce distribuční funci standardního normálního rozdělení, a vzhledem tomu, že pro symetricé rozdělení pravděpodobnosti platí rovnost 1 Φ α = Φ 1 1 α, lze určit VaR analyticy, a to 1 = Φ, (4) VaR x 1 α 1 α σ µ = = Φ. (5) 3 Lze taé položit předpolad, že veličina má studentovo rozdělení nebo smíšené studentovo rozdělení.
Očeávaná ztráta představuje vážený průměr pravděpodobností hodnot x < x α, přičemž P X% <. Vzhledem rovnosti (1) lze ES zapsat ve tvaru suma vah je pravděpodobnost ( x α ) xα 1 α ES = x f x dx, (6) de f ( x ) je distribuční funce normálního rozdělení. Lze doázat, že platí a že ES lze spočítat dle rovnice xα α x f 1 ( x) dx = ϕ Φ ( α ) ( ) 1 1 ES α α ϕ α σ µ = Φ, (7) de ϕ a Φ je funce hustoty a distribuční funce standardního normálního rozdělení.. Smíšené normální rozdělení pravděpodobnosti Smíšené normální rozdělení pravděpodobnosti je taové rozdělení, jež je složeno z dílčích normálních rozdělení (omponent), přičemž aždé z nich odpovídá určitému režimu vývoje časové řady a nastává s pravděpodobností π. U finančních časových řad je dostatečná ombinace dvou až tří omponent (rostoucí, lesající a stagnující trh). Smíšené normální rozdělení je potom váženým součtem dílčích omponent, tedy G x, ( ;, ) de G x = F x, (8) π ( ; µ, σ ) = 1 F x µ σ je distribuční funce smíšeného normálního rozdělení a dílčího normálního rozdělení pravděpodobnosti se střední hodnotou µ a rozptylem σ a je počet omponent. Hodnotu VaR lze určit ze vztahu xα µ P X < x = G x = F x = P Z < = ( % α ) ( α ) ( α ;, ) π µ σ π α = 1 = 1 σ x α. (9) Za předpoladu platnosti vztahu (4) a (5), se hodnota VaR = najde řešením rovnice (9) pomocí cílového programování. Postup propočtu očeávané ztráty je analogicý postupu za předpoladu normálního rozdělení. Rozšířením rovnice (6) o pravděpodobnost jednotlivých omponent zísáme xα 1 ESα α π x f ( x) dx = 1 a za rovnosti a předpoladu smíšeného normálního rozdělení lze ES spočítat dle rovnice ES α xα = (1) 1 = σ ϕ ( σ α ) x f x dx x ( ( xα )) ( ). (11) = α 1 π σ ϕ σ 1 π µ = 1 = 1
3 Odhad parametrů smíšeného normálního rozdělení = je ompliovaný v tom, že nejsou známy realizace Odhad parametrů θ ( π, µ, σ ) procesu { Z }, jež by indiovaly, z terého režimu (omponentu) byla realizace procesu { X } generována. Nicméně lze odhadu použít metodu centrálních momentů nebo metodu maximální věrohodnosti, jež je řešena iteračním EM algoritmem. 3.1 Odhad metodou momentů Odhad parametrů smíšeného normálního rozdělení metodou centrálních momentů je prováděn následujícím způsobem. Nejprve jsou stanoveny momenty smíšeného normálního rozdělení, M M M M 1 3 4 = = 1 = 1 = 1 = 1 π µ, = π σ + µ 3 = π 3 µ σ + µ, a poté jsou dopočteny centrální momenty µ = M 1 σ = M M,, 4 4 = π 3σ + 6 µ σ + µ, 1, ( M 3 3M1M M1 ), ( M 4 M1M 3 M1 M M1 ) τ = σ + 3 3 4 4 κ = σ 4 + 6 3. Položením rovnosti centrálních momentů (13) a empiricých momentů jsou poté pomocí θ = π, µ, σ. více-riteriálního cílového programování nalezeny parametry 3. Odhad metodou maximální věrohodnosti Princip odhadu metodou maximální věrohodnosti spočívá v maximalizaci věrohodnostní funce pro smíšené normální rozdělení pravděpodobnosti, jež má tvar de θ ( π, µ, σ ) ( θ ) π ( µ σ ) = 1 (1) (13) f x; = g x;,, (14) =, je počet režimů (omponent) smíšeného rozdělení, pravděpodobnost -tého režimu a 1 g ( x; µ, σ ) = exp ( πσ ) ( x µ ) je funce hustoty normálního rozdělení se střední hodnotou µ a rozptylem σ. Věrohodnostní funce smíšeného normálního rozdělení je poté definována jao σ π je
N ; = ;,. (15) n= 1 = 1 ( θ ) π g ( x µ σ ) L X Odhad parametrů je prováděn iterační algoritmem EM (expectation-maximization), jenž se sládá ze dvou roů. V prvním rou (E-step) jsou pro výchozí parametry θ odhadnuty Z, jež indiují režim generující realizaci procesu jednotlivé realizace neznámého procesu { } { X }, a je zonstruován očeávaný logaritmus věrohodnostní funce (15). V druhém rou (M-step) je tato funce maximalizována a jsou zísány nové odhady parametrů roy jsou opaovány až dosažení onvergenčního ritéria. ( t 1) θ +. Oba Nechť je stanovena podmíněná pravděpodobnost, že daný režim vygeneroval realizaci x, p Z X θ, a dále lze tuto pravděpodobnost pomocí věty o podmíněné tedy ( t ) ;, ( t ) pravděpodobnosti dvou jevů vyjádřit ve tvaru p P A B ( Z; X, θ ) = P A = = 1 ( B) P ( B) ( ;, ) g ( x;, ) π g x µ σ π µ σ. (16) Úpravou logaritmu věrohodnostní funce (15) a apliací Jensenovy nerovnosti pro onvexní funce dle c log log log γ c = c γ γ = 1 = 1 γ = 1 (17) zísáme tvar očeávaného logaritmu věrohodnostní funce pro dané parametry l n= 1 = 1 n= 1 = 1 n= 1 = 1 X ; θ = log L X ; θ = log π g x; µ, σ = N N N ( µ σ ) log π g x;, p ( Z X θ ) ( θ ) ( Z; X, θ ) ( Z; X, θ ) t t ( ; µ, σ ) t t ( Z; X, θ ) = E log L X ;. V druhém rou je tato funce maximalizována s ohledem na parametry θ, tj. p p π g x ;, log p ( θ ) ˆ ( t+ 1) arg max X ; θ θ θ, tedy = l. (18) 4 Stanovení hodnot Value at Ris a Expected Shortfall Pro účel omparace propočtu jednodenního VaR a ES za předpoladu normálního a smíšeného normálního rozdělení byly zvoleny časové řady čtyř burzovních indexů, a to DAX,
FTSE 1, česý PX a SP 5. Pro propočet byly zvoleny časové řady denních výnosů za období až 9. Nejprve je ověřeno, zda empiricá rozdělení časových řad jsou leptourticá a zešimená. Poté je proveden odhad parametrů funcí hustot pravděpodobnosti metodou centrálních momentů () a metodou maximální věrohodnosti (ML). Obě metody jsou posléze porovnány, zda dle odhadnutých parametrů lze generovat náhodné veličiny s pravděpodobnostním rozdělením odpovídajícímu empiricým. V poslední části je stanoven jednodenní VaR a ES na 95% hladině spolehlivosti a výsledy jsou porovnány. Na následujícím obrázu jsou zobrazeny histogramy jednotlivých časových řad a jsou zde rovněž zachyceny funce hustoty empiricých a normálních rozdělení pravděpodobnosti. Obr.1: Histogramy a empiricá rozdělení pravděpodobnosti časových řad DAX FTSE 1 Density 1 3 4 -.5.5.1.15 DAX Return Density 1 3 4 -.1 -.5.5.1 FTSE1 Return Density 1 3 4 PX -. -.1.1. PX Return Density 1 3 4 5 SP 5 -.1 -.5.5.1 SP5 Return Ja je z obrázu zřejmé, všechna empiricá rozdělení pravděpodobnosti vybraných tržních indexů jsou leptourticá a něterá zešimená. Pro omplexnost a ověření, že tomu ta opravdu je, byly provedeny něteré statisticé testy. Především byla testována šimost (sew = ) a špičatost (urtosis = 3) proti normálnímu rozdělení a byl proveden Shapiro-Wil test normality. V následující tabulce jsou uvedeny ja empiricé charateristiy polohy a variability, ta jsou zde v závorách uvedeny p-hodnoty provedených statisticých testů.
Tab.1: Empiricé charateristiy a p-hodnoty vybraných testů DAX FTSE 1 PX SP 5 Mean.... St.dev.16.13.16.14 Sew.348 (.).58 (.34) -.161 (.1).57 (.46) urtosis 7.8 (.) 9.39 (.) 14.395 (.) 1.13 (.) S-W test (.) (.) (.) (.) Z výše uvedeného vyplývá, že empiricá rozdělení vybraných časových řad nesplňují podmíny normality. Rozdělení indexu FTSE 1 a SP 5 jsou doonce zešimená (DAX doleva, PX doprava); špičatost je ve všech případech vyšší než 3, terá odpovídá rozdělení normálnímu. Dále bylo předpoládáno, že náhodný vývoj časových řad je charateristicý smíšeným normálním rozdělením pravděpodobnosti sládajícího se ze dvou omponent. Odhad parametrů byl proveden metodou momentů a metodou maximální věrohodnosti, přičemž oba odhady byly zísány pomocí iteračních algoritmů. V případě metody momentů byla použita Newton-Raphson metoda a u metody maximální věrohodnosti EM algoritmus popsaný výše. Odhadnuté parametry jednotlivých metod odhadu jsou zachyceny v následující tabulce a parametrizované funce hustoty pravděpodobnosti jsou znázorněny na Obr.. Tab.: Odhadnuté parametry smíšeného normálního rozdělení pravděpodobnosti. DAX FTSE 1 PX SP 5 ML ML ML ML µ 1 -.34%.33% -.7%.34%.65%.81% -.13% -.7% µ.9% -.94%.58% -.86% -.89% -.37%.3%.7% σ 1.687%.98%.965%.8%.961% 1.15%.476%.37% σ.68%.55%.434%.311% 3.699% 3.74%.183%.84% π 1.499.7.88.756.875.99.64.4 π.51.78.17.44.15.91.358.758 Ja je z výsledů Tab. zřejmé, rozdíly v odhadech jsou relativně velé. Nejvíce patrný je tento rozdíl v pravděpodobnostech režimů π 1 a π a v něterých případech (SP 5) ve směrodatných odchylách či střední hodnotě (DAX, FTSE 1). Na Obr. jsou znázorněna rozdělení pravděpodobnosti normálního, empiricého a dále parametrizovaná smíšená normální rozdělení zísaných metodou momentů a maximální věrohodnosti. Přestože jsou funce zísané pomocí obou metod velmi blízé empiricému rozdělení, je nezbytné ověřit, zda odhadnuté parametry charaterizují pravděpodobnostní rozdělení adevátně.
5. mezinárodní onference Řízení a modelování finančních rizi VŠB-TU Ostrava, Eonomicá faulta, atedra Financí Ostrava 8.-9. září 1 Obr.: Empiricá a parametrizovaná rozdělení pravděpodobnosti DAX FTSE 1 45 5 45 4 35 3 5 15 1 5 Normal 4 35 3 Mixture 5 Mixture ML 15 1 5 Emp (=Epa) -,1 -,5,5,1,15 -,15 -,1 -,5 PX Mixture ML Emp(=Epa),5,1,15 7 Normal 35 Normal 6 3 5 5 Mixture Mixture ML 1 5 1,1, Mixture ML 3 Emp(=Epa) Mixture 4 15 -,1 Mixture SP 5 4 -, Normal -,15 -,1 -,5 Emp(=Epa),5,1,15 Toto bylo provedeno pomocí dvou-výběrového olmogov-smirnov testu ta, že byla dle odhadnutých parametrů generována náhodná veličina v počtu 1 a 1 scénářů a poté byl proveden dvou-výběrový S test. Výsledy testů v podobě p-hodnot jsou uvedeny v následující tabulce. Tab.3: P-hodnoty dvou-výběrového S testu a) malý vzore (1 scénářů) b) velý vzore (1 scénářů) DAX FTSE 1 PX SP 5..7.18. ML.114.93.77.13 DAX FTSE 1 PX SP 5..16. ML.18.48.19.5 Dle výsledů je zřejmé, že generované vzory dle parametrů odhadnutých metodou momentů neodpovídá rozdělení empiricému pro malý ani pro velý vzore. Naopa metoda maximální věrohodností dává velmi dobré výsledy již při malém vzoru s výjimou indexu SP 5. Z tohoto důvodu není odhadům dle metody dále přihlíženo. V posledním rou byl stanoven analyticý propočet jednodenního VaR dle rovnice (9) a ES dle (11) na 5% hladině významnosti, viz Tab. 4.
Tab.4: Jednodenní VaR a ES stanovený analyticou metodou na 95% hladině spolehlivosti a) Value at Ris DAX FTSE 1 PX SP 5 1.817% 1.774% 1.683% 1.95% ML 1.835% 1.545% 1.95% 1.557% Normal.567%.197%.569%.35% Rozdíl.73%.65%.618%.677% b) Expected Shortfall DAX FTSE 1 PX SP 5 5.77% 3.735% 4.737% 5.664% ML 5.11% 4.344% 4.316% 4.43% Normal 3.19%.756% 3.33%.83% Rozdíl -1.9% -1.589% -1.83% -1.67% Porovnáním výsledů z Tab. 4 lze říci, že za předpoladu normálního rozdělení je hodnota jednodenního VaR výrazně vyšší než za předpoladu smíšeného normálního rozdělení pravděpodobnosti, a to o,6 až,7 %. Hodnota VaR je ta nadhodnocena, což vede taé držbě zbytečně vysoého eonomicého apitálu pro rytí případného rizia. Naopa očeávaná ztráta je podhodnocena, a to o 1 % až téměř % proti smíšenému normálnímu rozdělení, což může mít za následe nedostatečného rytí rizia měřeného pomocí ES. Všechny uvedené hodnoty jsou procentuální a rozdíly pochopitelně narůstají, jsou-li vyjádřeny absolutně pomocí hodnoty investovaných prostředů. Údaje propočtené dle parametrů zísaných metodou jsou v tabulce uvedeny pouze pro omplexnost, ale pro neadevátní odhad parametrů rozdělení pravděpodobnosti není těmto výsledům přihlédnuto. 5 Závěr Příspěve byl věnován analyticému stanovení Value at Ris a Expected Shortfall za předpoladu smíšeného normálního rozdělení pravděpodobnosti. Nejprve byl charaterizován způsob stanovení VaR a ES analyticou metodou za předpoladu normálního a poté smíšeného normálního rozdělení pravděpodobnosti výnosu. Dále byly prezentovány metody odhadu parametrů pravděpodobnostního rozdělení, tj. metoda momentů a metoda maximální věrohodnosti. V závěru příspěvu byly propočteny a porovnány jednotlivé hodnoty VaR a ES. omparace propočtu jednodenního VaR a ES za předpoladu normálního a smíšeného normálního rozdělení byla provedena pomocí časových řad čtyř burzovních indexů, a to DAX, FTSE 1, PX a SP 5 za období až 9. V příspěvu bylo ověřeno, že empiricá rozdělení vybraných časových řad jsou leptourticá a zešimená. Odhad parametrů funcí hustot pravděpodobnosti smíšeného normálního rozdělení byl proveden metodou centrálních momentů a metodou maximální věrohodnosti. Pomocí dvou-výběrového S testu bylo ověřeno, zda dle odhadnutých parametrů lze generovat náhodnou veličinu s totožným rozdělením pravděpodobnosti jao je rozdělení empiricé. Metoda momentů se zde uázala jao naprosto nevhodná. V poslední části příspěvu byl stanoven jednodenní VaR a ES na 95% hladině spolehlivosti. Z provedené omparace bylo ověřeno, že předpolad normálního rozdělení vede nad/podhodnocení hodnoty VaR a ES. V daném případě byla hodnota VaR nadhodnocena o,6 až,7 % proti předpoladu smíšeného normálního rozdělení, teré navíc na rozdíl od normálního plně (na 95% hladině spolehlivosti) odpovídá rozdělení empiricému. U hodnoty ES došlo naopa podhodnocení, a to o 1 až %.
Literatura [1] ALEXANDER, C.: Maret Ris Analysis. Chichester: Wiley, 8. [] BRANDIMARTE, P.: Numerical methods in finance and economics : a MATLAB-based introduction. Hoboem: Wiley, 6. [3] DANIELSSON, J.: The Value at Ris: ey Issues in the Implementation of Maret Ris. London: Ris Boos, 7. [4] DEMPSTER, A., LAIRD, N., RUBIN, D. (1977). Maximum lielihood from incomplete data via the EM algorithm. Journal of the Royal Statistical Society 39, s. 1-38. [5] JORION, P.: Value at Ris: The New Benchmar for Managing Financial Ris. New Yor: McGraw-Hill, 7. [6] LEWIS, N.C.: Maret Ris Modelling: Applied Statistical Methods for Practitioners. London: Ris Boos, 3. [7] MACAY, D.J.C.: Information Theory, Inference, and Learning Algorithms. Cambridge: University Press, 5. [8] MCLACHLAN, G., RISHNAN, T. (1997). The EM algorithm and extensions. Chichester: Wiley, 1997. [9] ZMEŠAL, Z.: Financial Models. Ostrava: VSB-TU Ostrava, 4. Summary Analytical solution of Value at Ris and Expected Shortfall conditioned by mixture normal distribution The assumption of normal probability distribution belongs to the biggest imperfections of analytical solution of Value at Ris and Expected Shortfall. However, the returns are rather distributed leptourtic and the empirical distributions are often sewed. In these cases, this assumption results in over- or underestimation of VaR and ES compared with the genuine values. This paper is devoted to analytical solution of VaR and ES under the assumption of normal mixture probability distribution by which it is possible to characterize the typical leptourtic distribution of financial assets return. Firstly, the analytical solution of VaR and ES under normal distribution and under normal mixture distribution condition is described. Next, the techniques of estimating parameters of probability distributions are presented, i.e. general method of moments and maximum lielihood. Finally, the particular Value at Ris and Expected Shortfall are calculated and the results are compared.