1 Nenulové toky. 1.1 Úvod. 1.2 Definice

1 Nenulové toky 1.1 Úvod Naším výchozím bodem bude grafová dualita. Nechť G je graf s daným vnořením v rovině, které určuje jeho duální graf G. V rámci duality si navzájem odpovídají například následující objekty: vrchol grafu G stěna grafu G, hrana grafu G hrana grafu G, kružnice grafu G minimální hranový řez v grafu G. Budeme se zabývat následující přirozenou a důležitou otázkou: jakou duální podobu má pojem obarvení? Předpokládejme tedy, že je dáno vrcholové obarvení c grafu G pomocí barev {1,..., k}. Na toto obarvení lze nahlížet také jako na obarvení stěn grafu G. Naším cílem je interpretovat jej v grafu G, aniž bychom se odkazovali na dané vnoření. Mimo jiné se tedy musíme vyhnout odkazům na stěny grafu G. Zorientujeme-li libovolně každou hranu e grafu G, můžeme jí jednoznačně přiřadit stěnu F e ležící vpravo a stěnu F e ležící vlevo od e při pohledu ve směru orientace. Označme výsledný orientovaný graf symbolem G a definujme hodnotu f(e) předpisem f(e) = c(f e ) c(f e ). Zdá se, že takto definovaná funkce f : E( G) Z by mohla zachycovat veškerou informaci o obarvení c. Jak uvidíme ve větě 1.5, je tomu skutečně tak. Jaké vlastnosti má zobrazení f? Především, vzhledem k tomu, že sousední stěny mají různé barvy, je každá hodnota f(e) nenulová. Další vlastnost je jemnější povahy. Uvážíme-li libovolný vrchol v a sečteme-li hodnoty f(e) na všech hranách vcházejících do v resp. z v vycházejících, ukáže se (viz důkaz věty 1.5), že tyto dva součty jsou stejné. Nikoli náhodou tento klíčový fakt připomíná zákon zachování objemu nebo Kirchhoffův zákon pro elektrické obvody. Jak uvidíme, zmíněné dvě vlastnosti postačují k definici pojmu, který v rámci rovinné duality odpovídá vrcholovému obarvení. Jde o tzv. nenulový tok a formálně jej zavedeme v následujícím odstavci. 1.2 Definice Nechť G je orientovaný graf, Γ je abelovská grupa a f : E( G) Γ je libovolné zobrazení. Pro Y E( G) definujeme f(y ) = e Y f(e). 1

Pro X V = V ( G) položíme + X = {e E( G) : e začíná v X a končí ve V X}, X = {e E( G) : e začíná ve V X a končí v X}, f (X) = f( + X) f( X). Je-li v vrchol, pak např. místo f ({v}) píšeme f (v). Γ-tok v neorientovaném grafu G sestává z orientace G a zobrazení f : E( G) Γ s vlastností, že pro každý vrchol v V (G) platí f (v) = 0. (1) Formálně tedy Γ-tok definujeme jako dvojici ( G, f). Platí-li rovnice (1), lze ji rozšířit i na množiny vrcholů: Tvrzení 1.1. Nechť ( G, f) je Γ-tok v grafu G a X V (G). Pak f (X) = 0. Důkaz. Uvážíme-li součet v X f(v) a rozepíšeme-li jej do příspěvků jednotlivých hran, pak příspěvky od hran, které začínají i končí v X, budou nulové (hodnota f(e) se pro počáteční vrchol přičte, pro koncový odečte). Uvážíme-li příspěvky od ostatních hran, zjistíme, že f (v) = f (X) v X a součet na levé straně je nulový, protože f (v) = 0 z definice toku. Řekneme, že Γ-tok je nenulový, pokud na žádné hraně nenabývá hodnoty 0. Třebaže každý graf má Γ-tok, nenulový Γ-tok v něm nemusí existovat. Jednou z překážek je přítomnost mostů: Důsledek 1.2. Má-li graf nenulový Γ-tok, pak neobsahuje most. Důkaz. Nechť ( G, f) je nenulový Γ-tok v G a nechť m je most. Uvažme množinu vrcholů X té komponenty grafu G m, do které vchází hrana m. Podle tvrzení 1.1 je f (X) = 0 a tedy f(e) = 0, což je spor s předpokladem, že f je nenulový tok. Nechť graf G má nenulový Γ-tok. Otočíme-li v příslušné orientaci směr zvolené hrany e a přiřadíme-li této otočené hraně hodnotu f(e), dostaneme opět nenulový tok. Odtud následující pozorování: 2

Pozorování 1.3. Má-li graf G nenulový Γ-tok, pak pro libovolnou orientaci G existuje nenulový Γ-tok tvaru ( G, f). Zvláštní význam mají Γ-toky pro Γ = Z. Pro tento případ zavedeme ještě jednu definici. Nechť k je přirozené číslo. Nenulový k-tok v grafu G je Z-tok ( G, f) s vlastností, že pro každou hranu e E( G) platí 0 < f(e) < k. Nejmenší k, pro které má smysl nenulové k-toky zkoumat, je k = 2. Pozorování 1.4. Graf má nenulový 2-tok, právě když každý jeho vrchol má sudý stupeň. Cvičení 1.2.1. Ukažte, že graf K 4 nemá nenulový 3-tok. 1.2.2. Ukažte, že graf G má nenulový Z-tok, právě když neobsahuje žádný most. 1.2.3. Ukažte, že má-li graf nenulový k-tok, pak má nenulový k-tok s vlastností pro každou hranu e E( G). f(e) > 0 1.3 Toky a obarvení duálního grafu Naším cílem bude nyní upřesnit korespondenci mezi nenulovými toky ve vnořeném grafu G a obarveními duálního grafu G. Všimněme si, že pokud G obsahuje smyčky, nemá smysl hovořit o jeho vrcholových obarveních. Pro rovinné grafy se této situaci vyhneme, pokud se graf G neobsahuje mosty (viz cvičení 1.3.2). V obecném případě je nutné se omezit na tzv. cirkulární vnoření, tj. taková, pro něž je hranice každé stěny kružnice (cvičení 1.3.1). Věta 1.5 (Tutte). Nechť G je graf s daným vnořením v rovině. V G existuje nenulový k-tok, právě když duální graf G má obarvení k barvami. Důkaz. : Nenulový k-tok ( G, f) v G budeme interpretovat jako nenulový Z k - tok a použijeme ho k obarvení stěn grafu G prvky grupy Z k. Nejprve si uvědomme, že orientaci G grafu G přirozeně odpovídá orientace grafu G : hrana e odpovídající hraně e bude orientována z vrcholu Fe do vrcholu Fe (viz označení v odstavci 1.1). 3

Nechť dále P je tah v grafu G se zvolenou orientací o (která nemusí souviset s orientací hran v grafu G ). Definujme množiny hran P + a P předpisem a položme P + = {e : e je v G orientována souhlasně s o}, P = {e : e je v G orientována protichůdně k o}, f[p ] = f(p + ) f(p ). Nejprve tvrdíme, že pro libovolnou kružnici C v G je f[c ] = 0. (2) Množině hran kružnice C totiž, jak víme, v dualitě odpovídá minimální hranový řez C v grafu G. Pro jednu z komponent grafu G C (označme její množinu vrcholů X) dokonce platí Proto C + = + X, C = X. f[c ] = f(c +) f(c ) = f (X) = 0. Zvolme vrchol F V (G ) a definujme obarvení vrcholu F V (G ) předpisem c(f ) = f[p ], kde P je libovolná cesta z F do F v grafu G. Je třeba dokázat, že tato definice je korektní. K tomu stačí ukázat, že je-li P 1 nejkratší a P 2 libovolná cesta z F do F, pak f[p 1 ] = f[p 2 ]. Důkaz provedeme indukcí podle vzdálenosti F a F. Pro F = F tvrzení plyne z rovnosti (2). Nechť F F. Pokud se cesty P 1, P 2 neprotínají, pak tvrzení opět plyne z (2). V opačném případě nechť F je společný vrchol cest P 1 a P 2, který má od F nejmenší nenulovou vzdálenost na P 1. Označme úsek cesty P i mezi F a F symbolem P i a úsek mezi F a F symbolem P i. Cesty P 1 a P 2 tvoří kružnici a podle (2) je f[p 1] = f[p 2]. Z indukčního předpokladu máme f[p 1 ] = f[p 2 ] a tedy f[p 1 ] = f[p 2 ]. : Nechť c je obarvení stěn grafu G. Zorientujme libovolně hrany grafu G a označme výslednou orientaci G. Každé hraně e přiřaďme hodnotu f(e) = c(f e ) c(f e ) (viz odstavec 1.1). Zjevně f(e) 0. Dokážeme, že f je nenulový k-tok. Uvažme vrchol v V (G) a označme sousední hrany e 0,..., e d 1. Stěny obsahující vrchol v označme F 0,..., F d 1, a to tak, že stěna F i sousedí s hranami e i 4

Obrázek 1: Vnoření grafu 2K 3 v projektivní rovině. a e i+1 (počítáme modulo d). Rozepišme součet e + v f(e) do příspěvků jednotlivých stěn. Příspěvek stěny F i, jejíž sousední hrany e i a e i+1 obě vycházejí z v, je c(f i ) c(f i ) = 0. Ostatní stěny přispějí právě jednou. Tytéž příspěvky, jen s opačnými znaménky, tvoří součet e v f(e). Odtud a f je skutečně k-tok. f (v) = 0 Pro grafy vnořené na obecné ploše nemusí platit ani jedna implikace věty 1.5. Uvažme graf G = 2K 3 (trojúhelník se zdvojenými hranami), vnořený v projektivní rovině jako na obrázku 1. Jeho duální graf je isomorfní s grafem K 4. Následující pozorování ukazují, že pro G neplatí implikace resp. věty 1.5: G má nenulový 2-tok, ale χ(g ) = 4, G nemá nenulový 3-tok (cvičení 1.2.1), ale χ(g) = 3. Cvičení 1.3.1. Ukažte, že pro vnoření grafu G v dané ploše jsou následující podmínky ekvivalentní: (i) G obsahuje smyčku, (ii) některá hrana grafu G sousedí z obou stran s toutéž stěnou, (iii) hranice některé stěny grafu G není kružnice. 1.3.2. Ukažte, že vnoření grafu G v rovině je cirkulární, právě když G neobsahuje most. 1.3.3. Kde se v důkazu jednotlivých implikací věty 1.5 používá rovinnost? 5

2 Základní vlastnosti toků 2.1 Nenulové Γ-toky Dokážeme překvapivý fakt, že je-li Γ konečná abelovská grupa, pak existence nenulového Γ-toku v grafu G nezávisí na její struktuře, ale pouze na její velikosti. Přesněji: Věta 2.1 (Tutte). Nechť Γ, Γ jsou konečné abelovské grupy stejné velikosti. Pak graf G má nenulový Γ-tok, právě když má nenulový Γ -tok. Důkaz. Pro orientovaný graf G definujme funkci φ Γ ( G) jako počet nenulových Γ-toků tvaru ( G, f). Nejprve dokážeme, že pro libovolnou hranu e, která není smyčkou, platí φ Γ ( G/e) = φ Γ ( G) + φ Γ ( G \ e), (3) kde G/e je orientovaný graf vzniklý kontrakcí hrany e (ve kterém připouštíme násobné hrany) a G \ e je orientovaný graf vzniklý jejím odstraněním. Mějme tedy hranu e = uv a označme U + = + (u) \ {e}, U = (u) a podobně V + = + (v), V = (v) \ {e}. Každé z těchto množin přirozeně odpovídají také množiny hran grafů G\e a G/e. Tyto množiny hran budeme označovat stejným symbolem. Označme symbolem w vrchol grafu G/e, který odpovídá zkontrahované hraně e. Množina hran, incidentních s vrcholem w, je tedy U + U V + V. Uvažme nenulový Γ-tok ( G, f) v grafu G. Protože platí f(u + ) f(u ) = f(e), f(v + ) f(v ) = f(e), v grafu G/e platí f (w) = 0 a dvojice ( G/e, f) je tedy rovněž nenulový tok. Podobně každému nenulovému Γ-toku ( G/e, g), pro který platí g(u + ) g(u ) 0, odpovídá nenulový Γ-tok ( G, g ), kde funkce g přiřazuje hraně e hodnotu f(u + ) f(u ) a na ostatních hranách je shodná s g. Pokud g(u + ) g(u ) = 0, pak toku ( G/e, g) neodpovídá nenulový Γ-tok v grafu G. V tomto případě je však nenulovým Γ-tokem dvojice ( G \ e, g) a vztah je opět vzájemně jednoznačný. Odtud plyne rovnost (3). 6

Dále odvodíme analogii vztahu (3) pro hranu e, která je smyčkou. Nenulovému Γ-toku ( G \ e, f) v takovém případě odpovídá Γ 1 různých nenulových Γ-toků ( G, f ), které se liší pouze hodnotou na hraně e. Odtud φ Γ ( G) = ( Γ 1) φ Γ ( G \ e). (4) Nyní můžeme přistoupit k vlastnímu důkazu věty. Nechť Γ a Γ jsou dvě abelovské grupy stejné velikosti a nechť G je orientace grafu G. Ukážeme indukcí přes E(G), že platí φ Γ ( G) = φ Γ ( G). (5) Rovnost je zřejmá, pokud G nemá žádné hrany. Jinak zvolme libovolnou hranu e E(G) a použijme vztah (4) resp. (3) podle toho, zda jde o smyčku nebo ne. 2.2 Grupové toky a k-toky Pro libovolný podgraf H orientovaného grafu G definujme jeho charakteristickou funkci χ H : E( G) Z předpisem { 1 pokud e H χ H (e) = 0 jinak. Ohodnocený orientovaný graf je dvojice ( G, f), kde G je orientovaný graf a f : E( G) Z je ohodnocení hran celými čísly. Zdroj (resp. stok) v takovém grafu je libovolný vrchol u, pro který platí f (u) > 0 (resp. f (u) < 0). Lemma 2.2. Nechť ( G, f) je ohodnocený orientovaný graf, v němž každá hrana má kladné ohodnocení. Potom funkci f lze vyjádřit jako f = k χ Hi, i=1 kde každý z podgrafů H i je orientovaná kružnice nebo orientovaná cesta ze zdroje do stoku ohodnoceného grafu ( G, f) (podgrafy se mohou opakovat). Důkaz. Indukcí podle součtu e E f(e). Pokud je tento součet nulový, věta platí. Pro podgraf H G definujme ohodnocený orientovaný graf ( G, f) H jako dvojici ( G, f ), kde G vznikne z G odstraněním všech hran grafu H s hodnotou 1, a funkce f je dána předpisem { f f(e) 1, pokud e E(H), (e) = f(e) jinak. 7

Obsahuje-li graf G orientovanou kružnici C, pak můžeme aplikovat indukční předpoklad na ohodnocený orientovaný graf ( G, f) C a k získanému součtu charakteristických funkcí přidat χ C. Pro důkaz věty tedy lze předpokládat, že G je acyklický. Každý acyklický orientovaný graf s alespoň jednou hranou obsahuje vrchol z s nulovým vstupním stupněm (d (z) = 0). Uvažme maximální orientovanou cestu P se začátkem ve vrcholu z. Z acykličnosti grafu G plyne, že koncový vrchol s cesty P má nulový výstupní stupeň. Protože všechna ohodnocení hran v grafu G jsou kladná, vrchol z je zdroj a vrchol s je stok. Aplikujeme indukční předpoklad na ohodnocený orientovaný graf ( G, f) P a k výslednému součtu přidáme charakteristickou funkci χ P cesty P, která v souladu s požadavkem vede ze zdroje do stoku. Tím je důkaz proveden. Další základní větu této kapitoly rovněž dokázal William Tutte: Věta 2.3 (Tutte). Graf má nenulový k-tok, právě když má nenulový Z k -tok. Důkaz. Implikace zleva doprava je triviální: stačí interpretovat hodnoty k-toku jako prvky grupy Z k. Dokážeme tedy opačnou implikaci. Nechť ( G, f) je nenulový Z k -tok. Definujme funkci f 0, která každé hraně přiřadí nejmenší kladnou hodnotu f 0 (e), která je kongruentní s f(e) modulo k (přesněji řečeno, která je prvkem třídy f(e)). Všimněme si, že dvojice ( G, f 0 ) vyhovuje následující definici. Označme ohodnocený orientovaný graf ( G, f ) jako vhodný, pokud (1) pro každou hranu e je 1 f(e) k 1, (2) pro každý vrchol v je f (v) dělitelné k. Jak víme, existuje alespoň jeden vhodný ohodnocený orientovaný graf. Vezměme tedy vhodný ohodnocený orientovaný graf ( G, f ) s nejmenším možným součtem S( G, f ) = f (v). v V (G) Můžeme předpokládat, že ( G, f ) není Z-tok, jinak je důkaz u konce. Pomocí lemmatu 2.2 vyjádřeme funkci f jako součet charakteristických funkcí kružnic a cest ze zdroje do stoku. Protože se nejedná o tok, musí výsledný součet obsahovat alespoň jeden člen χ P, kde P je cesta ze zdroje z do stoku s. Pro každou hranu e cesty P provedeme následující operace: otočíme její směr a nahradíme hodnotu f (e) hodnotou k f (e). Výsledkem je opět vhodný ohodnocený orientovaný graf ( G, f ) a platí S( G, f ) = S( G, f ) 2k, což je spor s volbou dvojice ( G, f ). Z toho plyne, že ohodnocený orientovaný graf ( G, f ) musel být Z-tok, a tedy i nenulový k-tok. 8

Důsledek 2.4. Graf G má nenulový 3-tok, právě když má nějakou orientaci G s vlastností, že pro každý vrchol v V ( G) platí Cvičení d + (v) d (v) (mod 3). 2.2.1. Dokažte, že má-li graf G nenulový k-tok, pak nějaká jeho orientace má pokrytí orientovanými kružnicemi s vlastností, že každá hrana je pokryta nejvýše (k 1)-krát. 2.2.2. Dokažte důsledek 2.4. 2.2.3. Dokažte, že kubický graf má nenulový 3-tok, právě když je bipartitní. 2.3 Nenulové 4-toky Spoj v grafu G je množina hran F E(G) s vlastností, že pro každý vrchol v platí d F (v) d G (v) (mod 2). Věta 2.5. Graf G má nenulový (Z 2 Z 2 )-tok, právě když obsahuje dva disjunktní spoje. Důkaz. Nechť G má nenulový (Z 2 Z 2 )-tok ( G, f). Označme prvky grupy Z 2 Z 2 zkráceně 00, 01, 10 a 11. Pro α Z 2 Z 2 definujme množinu F α = {e : f(e) = α}. (6) Zjevně f 00 =. Protože pro libovolný vrchol v platí f (v) = 00, musí být + v (F 10 F 11 ) = v (F 10 F 11 ) a každý vrchol v tedy musí být incidentní se sudým počtem hran v F 10 F 11. To ale znamená, že F 01 je spoj. Z analogické úvahy pro sjednocení F 01 F 11 plyne, že F 10 je spoj. Našli jsme tedy dva disjunktní spoje. Nechť naopak G obsahuje dva disjunktní spoje F a F. Libovolně zorientujme hrany grafu G a každé hraně e přiřaďme hodnotu 01 pokud e F, f(e) = 10 pokud e F, 11 jinak. Není těžké ověřit, že výsledná dvojice ( G, f) je (Z 2 Z 2 )-tok. Důsledek 2.6. Následující podmínky jsou pro graf G ekvivalentní: 9

(i) G má nenulový 4-tok, (ii) G má dva disjunktní spoje, (iii) množina E(G) má rozklad na tři disjunktní spoje. Důkaz. Ekvivalence (i) (ii) plyne z vět 2.1, 2.3 a 2.5. Implikace (ii) = (iii) je důsledkem pozorování, že jsou-li F, F disjunktní spoje, pak E(G)\(F F ) je rovněž spoj. Opačná implikace je triviální. Pozorování 2.7. Kubický graf má nenulový 4-tok, právě když má hranové 3- obarvení. Důkaz. Cvičení 2.3.2. Cvičení 2.3.1. Dokažte, že množina F E(G) je spoj, právě když její doplněk je cyklus (tj. graf se všemi stupni sudými). 2.3.2. Dokažte pozorování 2.7. 2.4 Tutteovy hypotézy William Tutte formuloval tři hypotézy, které zůstávají dodnes otevřené a řadí se k nejvýznamnějším kombinatorickým problémům. Každá z nich je nějakým způsobem inspirována výsledkem o barevnosti rovinných grafů. Jedním z takových výsledků je známá věta o čtyřech barvách: Věta 2.8. Každý rovinný graf bez smyček je obarvitelný 4 barvami. Jak plyne z věty 1.5, ekvivalentní formulací této věty je, že každý rovinný graf bez mostů má nenulový 4-tok. Přirozeně se můžeme ptát, zda by dokonce vůbec každý graf bez mostů mohl mít nenulový 4-tok. Odpověď zní ne ale protipříklady jsou spíše vzácné. Nejmenším z nich je Petersenův graf (viz cvičení 2.4.1). Petersenův graf ovšem má nenulový 5-tok (viz například obrázek 2). Tento fakt vedl Tutta k vyslovení následující hypotézy o 5-toku: Hypotéza 2.9. Každý graf bez mostů má nenulový 5-tok. Další Tutteova hypotéza, hypotéza o 4-toku, tvrdí, že přítomnost výše zmíněného Petersenova grafu je v jistém smyslu jedinou překážkou pro existenci nenulového 4-toku: Hypotéza 2.10. Každý graf bez mostů, který neobsahuje podrozdělení Petersenova grafu, má nenulový 4-tok. 10

4 3 1 2 2 1 1 2 2 3 1 3 1 2 1 Obrázek 2: Nenulový 5-tok v Petersenově grafu. Vzhledem k tomu, že Petersenův graf není rovinný, je tato hypotéza zesílením věty o 4 barvách. Konečně poslední z Tutteových hypotéz souvisí s Grötzschovou větou o barevnosti rovinných grafů bez trojúhelníků: Věta 2.11 (Grötzsch). Každý rovinný graf bez smyček a bez trojúhelníků je obarvitelný 3 barvami. V řeči toků: každý rovinný graf bez hranových řezů velikosti 1 a 3 má nenulový 3-tok. Tutteova hypotéza o 3-toku toto tvrzení zobecňuje i na nerovinné grafy: Hypotéza 2.12. Každý graf bez hranových řezů velikosti 1 a 3 má nenulový 3-tok. Doposud však není ani známo, zda každý graf s dostatečně velkou hranovou souvislostí má nenulový 3-tok. Cvičení 2.4.1. Dokažte, že Petersenův graf nemá nenulový 4-tok. 3 Existence nenulových toků V tomto odstavci použijeme výsledky z teorie matroidů, zejména větu o sjednocení matroidů, k odvození nutné a postačující podmínky pro existenci k hranově disjunktních koster v daném grafu. Pomocí této podmínky odvodíme dva výsledky F. Jaegera: každý graf bez mostů má nenulový 8-tok, 11

každý hranově 4-souvislý graf má nenulový 4-tok. Nejprve stručně připomeneme základní matroidové pojmy. 3.1 Matroidy Matroid je dvojice M = (E, I), kde E je konečná množina a I je neprázdný systém jejích podmnožin s vlastnostmi: (1) pokud I J a J I, pak I I, (2) pokud I < J a I, J I, pak pro nějaké x J \ I platí I {x} I. Množinu E označujeme jako nosnou množinu matroidu M, prvky systému I jako jeho nezávislé množiny. Maximální nezávislé množiny matroidu M jsou jeho báze. Jak vyplývá z axiomu (2), všechny báze matroidu M mají stejnou velikost. Ta se označuje jako hodnost r(m) matroidu M. Pojem matroidu vznikl jako společná abstrakce konceptu nezávislosti v lineární algebře a v teorii grafů. Odtud dva základní příklady matroidů: Nechť A je matice nad tělesem F se sloupci indexovanými množinou E = {1,..., k}. Matroid M(A) má nosnou množinu E a nezávislé jsou v něm ty množiny indexů, pro něž příslušná množina sloupců matice A je lineárně nezávislá. Nechť G je graf. V matroidu M(G) s nosnou množinou E(G) je množina F nezávislá, právě když (V (G), F ) je les. Pro matroid M = (E, I) a množinu X E můžeme definovat restrikci M X matroidu M na X jako dvojici (X, I X ), kde I X = {I I : I X}. Není těžké ověřit (viz cvičení 3.1.1), že M X je matroid. Jeho hodnost také označujeme jako hodnost množiny X v M a značíme r M (X). Cvičení 3.1.1. Ukažte, že restrikce M X matroidu M na množinu X je matroid. 12

3.2 Sjednocení matroidů Definujme důležitou operaci sjednocení matroidů, kterou zavedl Nash-Williams. Nechť M i = (E, I i ) (i = 1,..., k) jsou matroidy na společné nosné množině E. Sjednocení k 1 M i těchto matroidů je dvojice (E, I), kde I = {I 1 I k : I 1 I 1,..., I k I k }. Jak ukazuje následující věta (kterou uvádíme bez důkazu), sjednocení matroidů je opět matroid. Věta 3.1 (Nash-Williams; Věta o sjednocení matroidů). Dvojice k 1 M i je matroid. Hodnost množiny X E v tomto matroidu je rovna číslu k min ( r Mi (Y ) + X \ Y ). Y X i=1 Věta 3.2 (Edmonds). Matroid M = (E, I) obsahuje k disjunktních bází, právě když pro každou množinu X E platí k r M (X) + E \ X k r(m). (7) Důkaz. Matroid M má k disjunktních bází, právě když sjednocení k 1 M má hodnost k r(m). Podle věty 3.1 je tato podmínka splněna, právě když nerovnost (7) platí pro každou množinu X E. 3.3 Disjunktní kostry Věta 3.3 (Tutte, Nash-Williams). V grafu G existuje k disjunktních koster, právě když pro každý rozklad P množiny V (G) platí G/P k ( P 1). Důsledek 3.4. Každý hranově 2k-souvislý graf (k 1) obsahuje k hranově disjunktních koster. 3.4 Kostry a nenulové toky Nechť T V (G) je množina sudé velikosti. T -spoj je libovolný podgraf H G s vlastností, že vrchol v V (H) má lichý stupeň v H, právě když v T. Lemma 3.5. Každý strom obsahuje T -spoj pro libovolnou množinu T V (G) sudé velikosti. Věta 3.6 (Jaeger). Každý hranově 4-souvislý graf má nenulový 4-tok. Věta 3.7 (Jaeger). Každý graf bez mostů má nenulový 8-tok. 13

3.5 Doplnění: Nenulové 6-toky Věta 3.8 (Seymour, 1981). Každý graf bez mostů má nenulový 6-tok. 4 Dvojitá pokrytí kružnicemi 4.1 Hypotéza o dvojitém pokrytí kružnicemi Dvojité pokrytí grafu G kružnicemi je (multi)množina kružnic C s vlastností, že každá hrana e E(G) je obsažena právě ve dvou kružnicích z C Hypotéza 4.1 (Szekeres; Seymour). Pro každý graf G bez mostů existuje dvojité pokrytí kružnicemi. 4.2 Souvislosti s celočíselnými toky Věta 4.2 (Tutte). Následující vlastnosti grafu G jsou ekvivalentní: (i) G má nenulový 4-tok, (ii) G má dvojité pokrytí 3 kružnicemi, (iii) G má dvojité pokrytí 4 kružnicemi. 4.3 Orientovatelná dvojitá pokrytí Nechť C je dvojité pokrytí grafu G kružnicemi. Řekneme, že C je orientovatelné, pokud kružnice C C lze zorientovat tak, že každá hrana e E(G) je obsažena ve dvou kružnicích s protichůdnými orientacemi. Věta 4.3 (Tutte). Každý graf s orientovatelným dvojitým pokrytím k kružnicemi má nenulový k-tok. Pro k = 3, 4 platí i opačná implikace. 5 Perfektní párování v kubických grafech 5.1 Berge Fulkersonova hypotéza Hypotéza 5.1 (Berge; Fulkerson). V každém kubickém grafu bez mostů existuje 6 perfektních párování s vlastností, že každá hrana je obsažena právě ve dvou. Je-li kubický graf G hranově 3-obarvitelný, tvrzení hypotézy 5.1 je pro něj splněno triviálně (stačí vzít dvě kopie každého ze tří disjunktních perfektních párování). Obrázek 3 ukazuje, že hypotéza platí i pro Petersenův graf. 14

35 16 24 26 23 34 45 56 14 12 15 13 36 46 25 Obrázek 3: Šestice perfektních párování v Petersenově grafu obsahující každou hranu dvakrát. Hypotéza 5.2 (Fan, Raspaud 1994). Každý kubický graf bez mostů obsahuje perfektní párování M 1, M 2 a M 3 s vlastností M 1 M 2 M 3 =. Hypotéza 5.3 (De Vos). Existuje konstanta K s vlastností, že každý kubický graf bez mostů obsahuje K perfektních párování, jejichž průnik je prázdný. 5.2 Mnohostěn perfektních párování Nechť G je graf. Označme, jak je obvyklé, množinu všech funkcí z množiny E(G) do R symbolem R E(G). Takové funkce budeme v tomto odstavci nahlížet jako body v eukleidovském prostoru R E(G). Je-li f : E(G) R a X E(G), pak zkratka f(x) označuje součet hodnot f(e) přes e X. Charakteristická funkce množiny M E(G) je funkce χ M : E(G) R, definovaná předpisem { 1 pokud e M, χ M (e) = 0 jinak. Mnohostěn perfektních párování M(G) je konvexní obal množiny {χ M : M je perfektní párování v G.} Lichý řez v grafu G je takový hranový řez X E(G), že obě komponenty grafu G mají lichý počet vrcholů. Zlomkové perfektní párování v grafu G je funkce f : E(G) R s vlastnostmi: (i) 0 f(e) 1 pro každou hranu e E(G), (ii) f( v) = 1 pro každý vrchol v V (G), 15

(iii) f(x) 1 pro každý lichý řez X E(G). Věta 5.4 (Edmonds). Body mnohostěnu perfektních párování grafu G jsou právě zlomková perfektní párování v G. Místo věty 5.4 dokážeme její ekvivalentní formulaci, vyslovenou P. Seymourem. Nechť r 1. r-graf je r-regulární graf, který neobsahuje žádný lichý řez X velikosti X < r. Pro stručnost definujme rovnoměrné pokrytí grafu G jako systém perfektních párování v G s vlastností, že všechny hrany jsou obsaženy ve stejném počtu těchto párování. Věta 5.5 (Seymour). Pro každý r-graf existuje rovnoměrné pokrytí. 5.3 Aplikace: Sjednocení perfektních párování Věta 5.6 (Kaiser, Král a Norine, 2005). V každém kubickém grafu bez mostů G existují dvě perfektní párování, jejichž sjednocení obsahuje alespoň 3 E(G) /5 hran. 5.4 Petersenovská obarvení Hvězda v grafu G je množina všech hran, které jsou incidentní s nějakým vrcholem v (potřebujeme-li jej specifikovat, mluvíme o hvězdě u v). Nechť P je Petersenův graf. Petersenovské obarvení kubického grafu G je zobrazení f : E(G) E(P ) s vlastností, že obrazem každé hvězdy v grafu G je hvězda v Petersenově grafu (speciálně trojice různých hran). Hypotéza 5.7 (Jaeger). Každý kubický graf bez mostů má petersenovské obarvení. Tvrzení 5.8. Platí-li hypotéza 5.7, pak platí mj. i následující hypotézy: 1. hypotéza o 5-toku, 2. hypotéza o dvojitém pokrytí kružnicemi, 3. Berge Fulkersonova hypotéza. 5.5 Fanovská obarvení Fanovské obarvení kubického grafu G je přiřazení bodů Fanovy roviny F hranám grafu G s vlastností, že každá hvězda v G se zobrazí na trojici různých bodů ležících na jedné přímce roviny F. Pokud se v daném fanovském obarvení jako množiny barev přiřazených hvězdám v G objevuje pouze k přímek roviny F, označujeme jej jako fanovské obarvení pomocí k přímek. 16

Věta 5.9 (Škoviera a Máčajová). Kubický graf G má fanovské obarvení pomocí k přímek, právě když obsahuje množiny hran F 1, F 2, F 3, pro něž platí F 1 F 2 F 3 = a které mají pro různá k následující vlastnosti: k = 7 k = 6 k = 5 k = 4 všechna F i jsou spoje, F 1 je perfektní párování a F 2, F 3 jsou spoje, F 1 a F 2 jsou perfektní párování a F 3 je spoj, všechna F i jsou perfektní párování. Pozorování 5.10 (Holroyd a Škoviera). Každý kubický graf bez mostů má fanovské obarvení. Věta 5.11 (Škoviera a Máčajová). Každý kubický graf bez mostů má fanovské obarvení pomocí 6 přímek. Pozorování 5.12. Každý kubický graf bez mostů má fanovské obarvení pomocí 4 přímek, právě když platí Fan Raspaudova hypotéza. 6 F F - a T T -zobrazení Tento odstavec je zatím neúplný i s ohledem na definice a znění vět. Nechť G a H jsou grafy a Γ je abelovská grupa. Zobrazení f : E(G) E(H) je F F Γ -zobrazení z G do H, pokud pro každý Γ-tok h : E(H) Γ je složené zobrazení f h : E(G) Γ rovněž Γ-tok. Podobně T T Γ -zobrazení je definováno vlastností, že pro každou Γ-tenzi t : E(H) Γ je zobrazení (f t) Γ-tenzí. Pro Γ = Z 2 hovoříme prostě o F F 2 -zobrazení a T T 2 -zobrazení. Definujme kvaziuspořádání 2 na třídě všech grafů předpisem H 2 G, pokud existuje F F 2 -zobrazení z G do H. Je-li G 2 H 2 G, píšeme G 2 H. Pozorování 6.1. (i) G obsahuje most, právě když G 2 K 2, (ii) G je cyklus, právě když G 2 L, kde L je graf tvořený smyčkou na jednom vrcholu. Třída grafů obsahujících most tedy tvoří minimální prvek kvaziuspořádání 2. Nechť D k je graf se dvěma vrcholy a k násobnými hranami mezi nimi. Pozorování 6.2. Nechť k je liché. Potom: 17

(i) D k 2 G, právě když G obsahuje k po dvou disjunktních spojů, (ii) G 2 D k, právě když G obsahuje hranový řez liché velikosti k. Následující hypotéza je ekvivalentní hypotéze o petersenovském barvení: Hypotéza 6.3. Petersenův graf je jediný atom kvaziuspořádání 2. Podstatné, ale stále otevřené oslabení: Hypotéza 6.4. Kvaziuspořádání 2 má konečně mnoho atomů. Dobré kvaziuspořádání (WQO) je kvaziuspořádání, ve kterém neexistuje nekonečná množina navzájem neporovnatelných prvků ani nekonečná klesající posloupnost. Hypotéza 6.5. 2 je dobré kvaziuspořádání. Věta 6.6. Pro libovolné k existuje k-prvková množina grafů, navzájem neporovnatelných relací 2. Prvek kvaziuspořádání je řez, je-li s ním každý jiný prvek porovnatelný. Hypotéza 6.7 (Rizzi). Pro každé liché k je D k řez v kvaziuspořádání 2. 18