P6 - Numercké řešení vedení tepla ve stěně Obsa: Stěna z omogennío materálu Stěna z různýc materálů Okraové podmínky Dvorozměrné vedení tepla
Rovnce vedení tepla Rovnce kontnuty (v 1D) dq qcd, x qcd, x qcd, x dx d A t x (W) (1) Rovnce kontnuty e vyádřením zákona zacování energe. akumulace = přítok - odtok dq T T T qcd, x mc Vc cadx Adx dt t t t x (W) (2) kde t(s) e čas, (kg/m 3 ) e obemová motnost, c (J/(kg K) e měrná tepelná kapacta. Po elmnac obemu Adx z rovnce (2) a dosazení transportní rovnce q cd,x = -dt/dx dostaneme: c T T t x x (W/m 3 ) (3) V případě uvažování konstantníc odnot materálovýc parametrů, c a dostaneme: 2 T T (4) 2 t c x q cd,x T dx A q cd, x q x cd, x dx Rovnce (4) se nazývá rovnce ednorozměrnéo vedení tepla v neustáleném stavu Z rovnce (4) se boužel vytratla nformace, že se edná o vyádření zákona zacování energe. Z tooto zákona budeme vycázet př formulac numerckéo řešení vedení tepla.
Stěna z omogennío materálu Stěnu rozdělíme na kontrolní obemy Uvažueme kontrolní obemy stenýc tloušťek Tepelná blance -téo kontrolnío obemu: dq dt q q 1m n, out, 2 (W) (5) Změna uloženéo (akumulovanéo) tepla v kontrolním obemu za čas dt se rovná rozdílu přcázeícío a odcázeícío tepelnéo toku. Levou stranu rovnce (5) vyádříme ako: dq mcdt (J) (6) kde m e motnost kontrolnío obemu v kg, c e měrná tepelná kapacta v J/(kg K) a dt e změna teploty -téo kontrolnío obemu. Hmotnost kontrolnío obemu můžeme vyádřt ako: m x m 2 1 (7) Po dosazení rovnce (6) do rovnce (5) dostaneme: 2 dt 2 x 1m c q q 1m dt (8) n, out, T 1 T 2 T T+1 q out, Zbývá dosadt za přtékaící a odtékaící ustotu tepelnéo toku. Předpokládáme směr zleva doprava: T-1 q n, x x x A = 1 m 2 Tn-1 Tn Obrázek 1: Rozdělení stěny na kontrolní obemy.
q q n, out, T T 1 T x T x 1 (W/m 2 ) (9) (W/m 2 ) (10) Po dosazení rovnc (9) a (10) do rovnce (8) dostaneme: dt T T T T xc dt x x 1 1 Zavedeme označení: C c x (J/(m 2 K)) (12) K x (W/m 2 K) (13) Potom dostaneme: dt C K T T K T T dt 1 1 (W/m 2 ) (11) (14) T T-1 K K C T+1 Obrázek 2: Scéma tepelné blance -téo kontrolnío obemu.
Numercké řešení rovnce (14) Základy ž znáte z přednášky 2. Dervace teploty podle času se naradí dskrétním vyádřením: dt T T dt (15) kde ndex označue odnotu teploty na počátku aktuálnío časovéo kroku a ndex new označue odnotu teploty na konc aktuálnío časovéo kroku. T T C K T T K T T 1 1 Teploty na pravé straně rovnce (16) můžeme vyádřt ako: new (W/m 2 ) (16) T T 1 T (17) kde e číslo od nuly do edné. = 0 explctní metoda, T = 1 mplctní metoda, T T ; T ; new = 0,5 metoda Crank-Ncolson, T 0,5 T T.
Explctní metoda Po úpravě rovnce (16) dostaneme: K T T T 2T T C 1 1 t t new new T (18) t T 1 T T 1 x Obrázek 3: Scéma explctní metody. Po úpravě rovnce (18) dostaneme: T K T 12 K T K T C C C 1 1 Nevýodou explctní metody e, že nemusí být vždy numercky stablní. Podmínka pro stablní časový krok výpočtu se odvodí z: K 12 0 (20) C Stablta metody e ovlvněna tloušťkou kontrolnío obemu, vlastnostm materálu a délkou výpočtovéo kroku. (19)
Implctní metoda Po úpravě rovnce (16) dostaneme: K T T T 2T T C new new new 1 1 (21) t new t new T 1 new T T new T 1 x Obrázek 4: Scéma mplctní metody. Po úpravě rovnce (21) dostaneme: K T 12 K T K T T C C C new new 1 1 Vznká soustava rovnc A T= b, kdy matce A má třídagonální tvar. 0 0 0 0 0 new T 1 K K K new 0 1 2 0 T T C C C new T 1 0 0 0 0 0 Implctní metoda e vždy numercky stablní. (22) (23)
Stěna z různýc materálů a vrstev různýc tloušťek Kontrolní obemy nemusí mít stené tloušťky an materálové vlastnost (vz Obrázek 5). T-1 T T+1 T-1 K T K+1 T+1 x-1 x x+1 C Obrázek 5: Tepelná blance -téo kontrolnío obemu. T T C K T T K T T 1 1 1 kde: (W/m 2 ) (24) C c x (J/(m 2 K)) (25) K K 1 1 x1 x Rx, 2 2 1 1 x x Rx, 1 2 2 1 1 (W/(m 2 K)) (26) kde Rx představue vložený tepelný odpor. Jeo odnota e nulová, pokud exstue dokonalý tepelný kontakt stěn sousedícíc kontrolníc obemů.
Okraové podmínky Drcletova podmínka o Předepsue odnotu neznámé velčny na povrcu. o V našem případě se edná o předepsání odnoty teploty na povrcu stěny (vz Obrázek 6). T p K 1 T 1 K 2 T T 2 p T 1 T 2 C1 Obrázek 6: Předepsaná povrcová teplota. T1 T1 C K T T K T T 1 1 p 1 2 1 2 (27) Neumannova podmínka o Předepsue odnotu dervace neznámé na povrcu. o V našem případě se edná o předepsání odnoty tepelnéo toku. o Velm často se edná o adabatckou okraovou podmínku, kdy e odnota tepelnéo toku přes ranc předepsána nulovou odnotou (vz Obrázek 7). dokonalá tepelná zolace q=0 T 1 K 2 T 2 T 1 T 2 C 1 Obrázek 7: Adabatcká okraová podmínka. T1 T1 C 0 K T T 1 2 1 2 (28) Newtonova podmínka o Předepsue tok na ranc ako: tok = součntel přestupu rozdíl potencálů o Například tepelný tok prouděním = součntel přestupu tepla prouděním rozdíl teplot.
Častým případem okraové podmínky může být přestup tepla společně s předepsaným tokem (vz Obrázek 8). T re T ae sol GGt T p K 1 T 1 K K 2 T 2 ce T p T 1 T 2 T ae C 1 T K re re Obrázek 8: Přestup tepla prouděním a sáláním a solární záření dopadaící na venkovní povrc stěny. Tepelná blance v povrcovém uzlu: Gt K T T K T T G K T T (29) ce ae p re re p sol 1 p 1 0 Jnak zapsáno: K K T T K T T, kde ce re e p 1 p 1 0 T e G K T K T K K sol Gt ce ae re re ce re (30) Tepelnou blanc prvnío kontrolnío obemu e potom možné vyádřt ako: T1 T1 Kce Kre K1 C1 Te T1K2T1 T2 0 K K K ce re 1 (31)
Dvorozměrné vedení tepla y x T,+1 q N T -1, T, T +1, T -1, Kx, T +1, q W q E q S T,-1 y+1 y-1 y C T,+1 Ky,+1 T, Kx +1, Ky, T,-1 x -1 x x +1 Obrázek 9: Dvorozměrné vedení tepla - tepelná blance kontrolnío obemu. T T C q q q q w e n s kde: (32) C c x y (33) Tepelné toky do kontrolnío obemu sou vyádřeny: q Kx T T W 1,, q Kx T T E 1, 1,, q Ky T T S,, 1, q Ky T T N, 1, 1, kde: (34)
Kx Kx Ky Ky 1,, y x1 x 2 2, 1 1,, y x x 2 2 x y 1 y 2 2 x y y 2 2 1, 1,, 1, 1,, 1 (35)