Osově namáhaný prut základní veličiny

Transkript

1 Pružnost a pevnost BD0 Osově namáhaný prut základní velčny ormálová síla půsoící v průřezu osově namáhaného prutu se získá ntegrací normálového napětí po ploše průřezu. da A Vzhledem k rovnoměrnému rozložení napětí ntegrál přechází v jednoduchý vztah A neo A Vztah mez normálovým napětím a poměrnou deformací je dán Hookovým zákonem E neo E Po dosazení z předchozí rovnce EA Poměrné přetvoření může ýt také způsoeno teplotním namáháním. V tomto případě záleží na rozdílu současné a původní teploty t a na součntel teplotní roztažnost t. t t t Změna teploty způsouje u statcky určté konstrukce pouze změnu deformační velčn, tedy poměrného přetvoření a posunutí. Slové velčny napětí a vntřní síly zůstávají nedotčeny. aopak u statcky neurčtě podepřených konstrukcí vznkají nenulové slové velčny. Vztah mez poměrnou deformací a posunutím je dán geometrckou podmínkou u Integrací vztahu se získá u d C Integrační konstantu C je možné určt z okrajové podmínky a tou je posun pro = 0. Pomocí tohoto známého posunu v odě a je možno vyjádřt posun v lovolném odě. u d a a d EA Pro velčny, E a A, konstantní v jednotlvých částech prutu, přejde ntegrál v sumační vyjádření u n l Statcky neurčté podepření - Slová metoda Př řešení statcky neurčtého osově namáhaného prutu je vhodná slová metoda. V slové metodě se nejdříve zvolí statcky určtá základní soustava oderáním vazy prot posunutí. Ve vazě půsola reakce, ta je uvažována jako neznámá síla. Vaza zajšťovala předepsaný (většnou nulový) posun odu prutu, ten se zajstí přídavnou podmínkou pro tento posun.

2 ásledně se vyjádří předepsaný posun uvolněného odu prutu, způsoený zatížením a neznámou reakcí. V této rovnc je jednou neznámou hledaná reakce a je tímto způsoem získána. Druhou reakc je pak možno určt ze statcké podmínky rovnováhy pro celý prut. Původní konstukce Zatěžovací stavy základní statcky určté soustavy + doplňující deformační podmínka. Statcky neurčté případy ohyová analoge Oecnou metodou pro řešení statcky neurčtých případů podepření taženého prutu je slová metoda. V určtých případech je možné použít snadnější metodu, která vychází z analoge s ohýaným prutem. Statcké dferencální podmínky pro ohýaný prut představují slovou podmínku do svslého směru a momentovou podmínku rovnováhy na dferencálním elementu prutu. Mají tvar : V q M V Statcká podmínka pro tažený prut n Geometrcká podmínka pro tažený prut u EA Pří zavedení susttuce q n V M EAu

3 Můžeme podmínky taženého prutu zapsat ve tvaru V q M V Tyto podmínky jsou odoné podmínkám statckým podmínkám pro ohýaný prut. Je možné je řešt stejným způsoem, jako se postupuje př řešení průěhů vntřních sl na ohýaném nosníku tedy počítat hodnoty vntřních sl ohýaného nosníku z podmínek rovnováhy na část nosníku. Prolémem jsou pouze okrajové podmínky na tomto fktvním nosníku zatíženým q (). Pokud chceme pracovat s normálovou slou jako s posouvající slou a s vodorovným posunem jako s momentem, musíme na fktvním nosníku zajstt, ay podepření vyjadřovalo takové okrajové podmínky pro posouvající síly a momenty, jaké jsou platné na skutečném nosníku pro normálové síly a vodorovný posun. Tyto podmínky se snadno splní pro tažený prut, ooustranně neposuvně upnutý. ormálové síly jsou v oou podporách nenulové, zatímco posunutí je nulové. a fktvním nosníku je třea zajstt nenulovou posouvající sílu a nulový moment. Tomu odpovídá prosté podepření nosníku. Uvedená formulace metody je omezena slovým zatížením a konstantní tuhostí. Pro určení průěhu normálových sl na skutečném nosníku stačí vyřešt průěh posouvajících sl na fktvním nosníku. Je třea dodržovat správné konvence (pro které yly odvozeny dferencální podmínky) pro zatížení a reakce př převádění ze skutečného nosníku na fktvní a zpět. Kladné osové zatížení je v kladném směru osy, kladné příčné zatížení je ve směru kladné osy z. Tuhý nosník zavěšený na táhlech V případech nosníků řemen zavěšených na táhlech předpokládáme, že táhla přenáší pouze normálovou sílu a jsou deformovatelná. aopak pokud je nosník dostatečně tuhý, zavádíme předpoklad dokonale tuhého prvku. Pro normálové síly v táhlech, popřípadě pro další reakce půsoící na nosník je možno napsat podmínky pro oecnou soustavu sl. Pokud se jedná o statcky neurčtou soustavu je počet statckých podmínek rovnováhy nedostačující a je třea přdat ještě další podmínky k určení zývajících sl. Tyto podmínky se nazývají geometrcké a určí se na základě geometrckých závslostí na deformované konstrukc. Z tohoto schématu se určí závslost mez jednotlvým protažením táhel. Pomocí vzorce pro protažení prutu l se tyto rovnce převedou na vztahy mez normálovým slam a tím se získají zývající podmínky pro určení sl v táhlech.

4 Ukázka deformačních podmínek pro některá schémata Schéma klouově uložený prut, svslá táhla Deformační schéma: předpokládá se, že prut se otáčí kolem klouu, protažení táhel se rovná svslému posunu odu závěsu. (vodorovné posuny se zanedávají) Schéma klouově uložený prut na škmých táhlech Deformační schéma: předpokládá se, že prut se otáčí kolem klouu, protažení táhel se určí ze svslých posunů odů závěsu. (změny směru táhel a vodorovné posuny se zanedávají)

5 Podmínky pro svslé posuny lze určt z podonost trojúhelníků. w w w w Vztah mez svslým posunem a protažením táhla lze určt z pravoúhlého trojúhelníku na orázku, pokud zanedáme změnu úhlu naklonění táhla vodorovný posun místa závěsu. Získá se následující vztah w sn Po dosazení do deformační podmínky lze v konkrétním případě vyjádřt tyto podmínky v protažení táhel následovně: sn sn sn sn sn sn Schéma prut se zaráněným vodorovným posunem, svslá táhla Deformační schéma: předpokládá se posun a natočení prutu jako celku. Deformační podmínky lze získat z vyjádření směrnce nakloněné přímky.

6 Břemeno zavěšené na táhlech deformační metoda Břemeno a normálové síly v táhlech představují rovnný svazek sl, pro nějž je možno napsat dvě statcké podmínky rovnováhy. F, 0 F z, 0 Pokud je táhel více než dvě, jedná se o statcky neurčtou soustavu. Počet statckých podmínek rovnováhy nedostačující a je třea přdat ještě další podmínky k určení zývajících sl. Tyto podmínky se nazývají geometrcké a určí se na základě geometrckých závslostí na deformované konstrukc. V případě možného a vodorovného posunu u svslého posunu w konce táhla, je třea př vyjádření protažení táhla vzít oa tyto posuny v úvahu. ásledující orázek lustruje odvození závslost. (změna úhlu naklonění prutu se zanedává.) w. sn u. cos Pomocí vzorce pro protažení prutu l je možné dát do souvslost ormálové síly v táhlech a deformace táhel. V tomto případě je vhodnější za prmární neznáme s zvolt deformační velčny u, w a pomocí nch vyjádřt normálové síly v táhlech. L w. sn u. cos Odtud normálová síla

7 E A L w. sn u. cos Po dosazení deformačních vztahů do statckých podmínek se získá soustava dvou rovnc o pro dva neznámé posuny u, w. Po vyřešení posunů je možné je zpětně dosadt do deformačních vztahů a určt normálové síly v táhlech. Tento postup, kdy prmární neznámé jsou deformační velčny a soustavu rovnc tvoří statcké podmínky rovnováhy, se nazývá deformační metoda. V jednodušších případech je možné postupovat slovou metodou. Pak je třea v deformačních podmínkách vyloučt neznámé posuny, tak ay deformační podmínky představovaly vztahy mez protažením táhel. Tyto podmínky se vyjádří v normálových slách a přdají je k statckým podmínkám.