Literatura: Kapitola 5 ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.

Transkript

1 Předmět: MA4 Dnešní látka: Metoda sítí pro 2D úlohy. Possonova rovnce. Vlnová rovnce. Rovnce vedení tepla. Lteratura: Kaptola 5 ze skrpt Karel Rektorys: Matematka 43, ČVUT, Praha, 2. Text přednášky na webové stránce přednášejícího.

2 Metoda sítí pro elptcké PDR ve 2D Přpomeňme, že u je zkrácený záps výrazu 2 u x u y 2 Úloha (s Drchletovou okrajovou podmínkou): u = f v Ω = (a, b ) (a 2, b 2 ), u = g na Γ. Dělení ve směru x s krokem h, body x = a + h, =,,...,M. Dělení ve směru x 2 s krokem h 2, body x j 2 = a 2 + jh 2, j =,,...,N. Uzly P,j (x, x j 2 ). Označme u,j = u(p,j ). Je-l u dostatečně hladká funkce, pak parcální dervace funkce u umíme vyjádřt pomocí hodnot u v uzlech a parametrů h a h 2 :

3 u (P,j ) = u +,j u,j +O(h 2 x 2h ), 2 u x 2 (P,j ) = u,j 2u,j + u +,j h 2 +O(h 2 ), u (P,j ) = u,j+ u,j +O(h2 2 x 2 2h ), 2 2 u x 2 2 (P,j ) = u,j 2u,j + u,j+ h 2 2 +O(h 2 2 ). Označíme-l f,j f(p,j ) a zavedeme U,j místo u,j, můžeme psát dferenční (sít ové) rovnce odpovídající vntřním uzlům sítě, např. uzlu P,j. Vztah u(p,j ) = f(p,j ) nahradíme rovností

4 U,j 2U,j + U +,j h 2 U,j 2U,j + U,j+ h 2 2 = f,j, kde =, 2,...,M, j =, 2,...,N. Hodnoty U,j, U M,j, kde j =,,...,N, a hodnoty U,, U,N, kde =,,...,M, jsou přímo určeny okrajovou podmínkou u = g na Γ. Dostáváme tedy systém (M )(N ) lneárních algebrackých rovnc s neznámým U,, U,2,..., U,N, U 2,, U 2,2,...,U 2,N,..., U M,, U N,2,...,U M,N. Neznámé uspořádáme do sloupcového vektoru û, hodnoty f,j do sloupcového vektoru f a koefcenty soustavy do (řídké) matce A. Řešíme soustavu Aû = f. Lze ukázat, že matce A je symetrcká a poztvně defntní. Často h h = h 2, zjednodušení dferenčních rovnc.

5 Specální případ: u =, čtvercová sít, tj. h = h 2. Rovnce U,j 2U,j + U +,j h 2 U,j 2U,j + U,j+ h 2 2 = f,j, kde h = h 2 a f,j =, přejde v (U,j 2U,j + U +,j ) (U,j 2U,j + U,j+ ) =, tedy U,j = U,j + U +,j + U,j + U,j+, 4 tj. artmetcký průměr hodnot v sousedních uzlech.

6 Obecné poznámky k řešení Possonovy rovnce s OP: Pokud Ω není obdélník, pak přblžné zachycení Drchl. okrajových podmínek. Př některých způsobech větší chyba dskretzace větší chyba metody. Vhodná aproxmace zajstí chybu metody η h max C(max(h, h 2 )) 2 (za předpokladu jsté hladkost přesného řešení u). Lze řešt úlohy s okr. podm. s dervací. Pro ( a u ) ( b u ) + qu = f, kde x x x y a, b C (Ω), q, f C(Ω), a, b c >, q, je a j U j 2Uj + U j + h 2 b j U j 2U j + U j+ h2 2 + q j Uj = f j.

7 Rovnce kmtání struny (vlnová rovnce) (příklad PDR hyperbolckého typu) 2 u t 2 = u a2 2 x 2 v Ω = (, L) (, T), u(x, ) = g (x), < x < L poč. výchylka u t (x, ) = g (x), < x < L poč. rychlost u(, t) = u(l, t) =, < t < T okraj. podm., přčemž a 2 = F ρ, kde F je síla, která napíná strunu, a ρ je délková měrná hmotnost struny.

8 Dskretzace Uzly sítě: (x, t k ) = (h, kτ), =,,...,M, k =,,...,N, h = L/M, τ = T/N, N a M jsou přrozená čísla. Za předpokladu hladkost funkce u v Ω: Dferenční rovnce 2 u x 2(x, t k ) = uk 2uk + u+ k h 2 +O(h 2 ), 2 u t 2 (x, t k ) = uk+ 2u k + u k τ 2 +O(τ 2 ). U k+ 2U k + U k τ 2 = a 2 Uk 2Uk + U+ k h 2, k =,,...,N, =,,...,M. Pětbodové schéma.

9 Toto schéma patří mez explctní metody, protože ze znalost přblžného řešení na k-té časové vrstvě explctně ( vzorečkem ) spočítáme řešení na k + -ní časové vrstvě. Z dferenční rovnce plyne U k+ = 2 ( τ 2 a2 h 2 k =,,...,N, =,...,M. Lze-l zvolt τ = h a, dostaneme U k+ ) U k +τ 2 a2 ( ) h 2 U k + Uk + U k, = U k + Uk + Uk, k =,,...,N, =,,...,M (explctní čtyřbodové schéma).

10 Okrajová podmínka U k = = Uk M, k =,,...,N. Počáteční výchylka U = g (x ), =,,...,M. Počáteční rychlost U = U +τg (x ), =,,...,M. Chyba metody řádu O(τ + h 2 ). Přesnější vztah pro přblžné řešení na. časové vrstvě by zlepšl chybu metody na O(τ 2 + h 2 ).

11 Stablta metody O metodě řekneme, že je stablní, pokud se chyba, které se dopustíme během výpočtu č př zadání počátečních podmínek, nebude zvětšovat.... slabě stablní, pokud se chyba... zvětšuje jen "mírně" (lneárně).... nestablní, pokud se chyba... "prudce" zvětšuje. Postačující podmínka, aby naše explctní metoda byla slabě stablní: τ h a ; slně stablní: τ < h a. Metoda je podmíněně stablní.

12 Příklad: Struna s počáteční nenulovou výchylkou a s nulovou počáteční rychlostí Struna v case

13 τ =.9 τ krtcke = τ =.996 τ krtcke = τ = τ krtcke = τ = 4 τ krtcke =

14 τ =.9 τ krtcke = τ =.996 τ krtcke = τ = τ krtcke = τ = 4 τ krtcke =

15 τ =.9 τ krtcke = τ =.996 τ krtcke = τ = τ krtcke = τ = 4 τ krtcke =

16 Implctní schéma U k+ 2U k + U k τ 2 [ = U k+ 2 a2 2Uk+ + U k+ + h 2 + Uk 2Uk h 2 + U k + Sedmbodové schéma. Př přechodu na novou časovou vrstvu (tj. (k + )-ní) je nutno vyřešt soustavu ln. alg. rovnc pro neznámé U k+, =,..., M s třídagonální regulární matcí. Metoda je stablní pro lbovolné τ > (nepodmíněně stablní). ].

17 Poznámka ke kmtání struny: vlastní čísla a vlastní funkce Hledejme řešení vlnové rovnce ve specálním tvaru: u(x, t) = v(x)s(t) Po dosazení do 2 u t 2 = a2 2 u x 2 dostaneme: v(x)s tt (t) = a 2 v xx (x)s(t) v Ω. Tedy (za předpokladu, že s a v ) s tt (t) s(t) = v xx(x) a2 v(x) (x, t) Ω. Obě strany se tudíž rovnají téže konstantě ˆλ. Odtud v xx ˆλ a 2 v =, v() = = v(l) okrajové podm., s tt ˆλs =.

18 Upravme v xx ˆλ ˆλ v = zavedením λ = a2 a 2. Dostaneme okraj. úlohu na ntervalu [, L]. v xx +λv =, v() = = v(l) Systém vlastních čísel a vlastních funkcí (snus; vlastní tvary). Ukázalo by se, že řešením druhé rovnce (pro s(t)) jsou také perodcké funkce (snus a kosnus). Z požadavku na splnění počáteční výchylky pak vyplyne, jaké násobky vlastních funkcí se objeví v řešení úlohy. Vlastní kmtočty struny: πn F/ρ, n =, 2,... L Větší napínací síla F zvýšení kmtočtu. Větší hustota materálu struny ρ snížení kmtočtu. Delší struna snížení kmtočtu.

19 Kmtání obdélníkové homogenní membrány 2 u t 2 = a2 ( 2 ) u x u y 2 v Q = Ω (, T), kde Ω = (, L) (, L), u(x, y, ) = g (x, y), (x, y) Ω poč. výchylka u t (x, y, ) = g (x, y), (x, y) Ω poč. rychlost u(x, y, t) = g 2 (x, y, t), (x, y) Ω, < t < T okraj. podm. Na Ω sít s uzly (x, y j ) = (h, jh), kde, j =,,...,M, h = /M. Časová proměnná dskretzovaná s krokem τ = /N.

20 Explctní dferenční schéma (dferenční rovnce v uzlu (x, y j ): U k+,j 2U k,j + Uk,j τ 2 k =,,...,N,, j =,,...,M. = a 2 Uk,j + Uk +,j + Uk,j + Uk,j+ 4Uk,j h 2, Využtí okrajové podmínky pro stanovení uzlových hodnot na Ω. Využtí počátečních podmínek pro stanovení uzlových hodnot v nulté a první časové vrstvě. Podmínka stablty a konvergence metody: τ h /( 2a). Schéma opět vede k explctnímu vyjádření vektoru U k+ = (U k+,, Uk+ 2,,...,Uk+ M,, Uk+,2,..., Uk+ M,2,..., Uk+ M,M )T.

21 Implctní schéma U k+,j = a2 2 2U k,j + Uk,j + a2 2 τ 2 U k+,j + Uk+ +,j + Uk+,j + Uk+,j+ 4Uk+,j h 2 U k,j + Uk +,j + Uk,j + Uk,j+ 4Uk,j h 2. Absolutně stablní; bodů (po pět v (k + )-ní a v (k )-ní časové vrstvě, jeden bod v k-té časové vrstvě). Pro přechod z (k )-ní a k-té časové vrstvy na (k + )-ní vrstvu je nutné vyřešt soustavu s řídkou, pásovou matcí s pět nenulovým prvky na jednom řádku.

22 Rovnce vedení tepla (jedna prostorová proměnná) u = a 2 2 u t x 2 v Q = (, L) (, T), a >, u(x, ) = g(x), < x < L počáteční teplota u(, t) = q (t), < t < T u(l, t) = q 2 (t), < t < T zadaná teplota levého konce, zadaná teplota pravého konce (q () = g(), q 2 () = g(l) podmínky souhlasnost) Řešením rozumíme každou funkc u(x, t), která je spojtá v Ω = Ω Γ, má v Ω spojté parcální dervace u/ t a 2 u/ x 2, splňuje v Ω PDR a na Γ\{T} (, L) splňuje okrajové podmínky a počáteční podmínku.

23 Dskretzace (vz vlnovou rovnc!!!) Uzly sítě: (x, t k ) = (h, kτ), =,,...,M, k =,,...,N, h = L/M, τ = T/N, N a M jsou přrozená čísla. Za předpokladu hladkost funkce u v Ω: 2 u x 2(x, t k ) = uk 2uk + u+ k h 2 +O(h 2 ), u t (x, t k ) = uk+ u k +O(τ). τ Dferenční rovnce Uk+ U k = a 2 Uk 2Uk + U+ k τ h 2, k =,,...,N, =,...,M. Využtí okr. a poč. podm.! Čtyřbodové explctní schéma: U k+ = U k +τ a2 ( ) h 2 U k 2Uk + U+ k.

24 Zaved me β = τa2 a U k+ h 2 = U k + τa2 ( U k h 2 2U k + U+ k ). upravme na U k+ = βu k +( 2β)Uk +βu k +. Matcově U k+ = AU k, kde 2β β.... β 2β β.. A =. β..... ; β β 2β pro jednoduchost q = = q 2 (nulová teplota na koncích).

25 Z U k+ = AU k plyne, že U k = A k U, k =,..., N, vektor U je ovšem přímo dán počáteční podmínkou!!! Vyšetření stablty metody (naznačení, jak se to dělá) Je nebezpečí, že není-l krok τ dostatečně malý, metoda bude nestablní? Lze ukázat, že vlastní čísla matce A jsou λ m = 4β sn 2 mπ 2M, kde m =,...,M. Pro velká M jest λ M 4β. Je-l β > /2, je 4β <, tedy aspoň jedno vlastní číslo matce A k v absolutní hodnotě neomezeně roste s rostoucím k (tj. jako 4β k. Z toho a z Geršgornovy věty plyne, že aspoň jeden prvek matce A k v absolutní hodnotě také neomezeně roste (vl. č. je v kruhu, který má "vzdálený" střed nebo velký poloměr, prvků matce A k je však stále stejný počet, aspoň jeden tedy musí neomezeně růst). Nestablta.

26 Je-l β /2, jsou vlastní čísla matce A k omezená konstantou nezávslou na M a N. Lze ukázat, že prvky matce A k jsou omezené, a že metoda je tudíž stablní. Protože β = τa2, je podmínka stablty uvedené explctní h2 metody dána nerovností τ h2 2a 2. Př nedodržení podmínky stablty pozorujeme jevy podobné ukázkám nestablního chování explctní metody sítí pro řešení vlnové rovnce. Čtyřbodové explctní schéma př volbě τ = h2 2a 2 : U k+ = ( ) U k 2 + Uk +.

27 Příklad: Tepelně zolovaný drát s počátečním rozložením teploty a s Drchletovou okrajovou podmínkou Teplota v case

28 τ =.25 τ krtcke =.25 h =.5 τ =.2875 τ krtcke =.25 h = Teplota v x=.5 (casove kroky).55 Teplota v x=.5 (casove kroky)

29 Drchletova okrajová podmínka je leckdy nerealstcká. Rovnce vedení tepla s Newtonovou OP u = a 2 2 u t x 2 v Q = (, L) (, T), a >, u(x, ) = g(x), < x < L, počáteční teplota, u x (, t)= α(q (t) u(, t)), < t < T, α > q je teplota prostředí vlevo (je-l vyšší než teplota drátu, drát se zleva zahřívá, jeho teplota klesá směrem dovntř, dervace teploty je na levém konc záporná), u x (L, t)= α(q 2(t) u(l, t)), < t < T, α > q 2 je teplota prostředí vpravo (je-l vyšší než teplota drátu, drát se zprava zahřívá, jeho teplota klesá směrem dovntř, tedy roste směrem k pravému konc, dervace teploty je na pravém konc kladná).

30 Jak dskretzovat Newtonovy OP? U k+ U k+ h ( ) = α U k+ q ((k + )τ). Hodnotu U k+ už můžeme znát (vz čtyřbodové schéma pro parabolckou rovnc). Pak je explctní vztah pro U k+ Obdobně pro U k+ M. U k+ = Uk+ + hαq ((k + )τ). +hα. V numerckém příkladu je α =, q = q 2 = ; stejná počáteční teplota jako u Drchletových OP:

31 Krátký časový krok stablní metoda. τ =.225 τ krtcke =.25 h =.5.5 Teplota v x=.5 (casove kroky)

32 τ =.25 τ krtcke =.25 h =.5 τ =.2875 τ krtcke =.25 h = Teplota v x=.5 (casove kroky).5 Teplota v x=.5 (casove kroky)

33 Nenulové zdroje "f " vedou na rovnc u t = a 2 2 u x 2 + f s patřčným počátečním a okrajovým podmínkam. Explctní schéma U k+ U k τ = a 2 Uk 2Uk + U k + h 2 + f k, kde f k = f(h, kτ).

34 I pro rovnc vedení tepla (s nulovou č nenulovou pravou stranou) lze použít mplctní schéma: U k+ U k τ = a 2 Uk+ 2Uk+ + U k+ + h 2 +f k, které vede na chybu metody O(τ + h 2 ). (Z té plyne, že ačkol stablta metody nezávsí na velkost časového kroku τ, přesto τ musí být řádově tak velké jako h 2, jnak by chyba způsobená krokemτ převládla a zcela znehodnotla přesnost získanou dskretzací prostorové proměnné.) Jné mplctní schéma (nepodmíněně stablní, s chybou O(τ 2 + h 2 )): U k+ U k τ [ = U k+ 2 a2 2Uk+ + U k+ + h 2 + Uk ] 2Uk + U+ k h 2.