Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK 11. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 13

Vybrané ekonomické aplikace diferenciálního počtu I Produkční funkce je popsána vztahem y() = 1 2, kde representuje pracovní sílu a y produkci. Předpokládejme, že se snížila z hodnoty 900 na hodnotu 896. Pomocí aproimace odhadněte změnu produkce. Předpokládáme, že celkové náklady firmy lze popsat pomocí vztahu C() = 0, 1 3 0, 25 2 + 300 + 100, kde odpovídá produkci firmy. Odhadněte jaký efekt na celkové náklady bude mít zvýšení produkce z hodnoty 6 na hodnotu 6, 1. Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 2 / 13

Vybrané ekonomické aplikace diferenciálního počtu II Náklady na výrobu jednoho kusu výrobku jsou 5 dolarů. Firma spočítala, že pokud prodejní cena výrobků bude, pak prodaný objem bude 15. Při jaké ceně bude firma maimalizovat svůj zisk? Denní náklady na přepravu zboží se skládají ze dvou částí: 1. konstantní náklady n k, které jsou rovny a = 5000 Kč za den a 2. proměnné náklady, které se zvětšují úměrně druhé mocnině rychlosti přepravy, tj. n v = k v 2, kde v je rychlost jízdy (v km za den) a k = 0.1 je koeficient úměrnosti. Určete, pro jakou rychlost v bude přeprava nejekonomičtější (náklady budou minimální) Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 3 / 13

Nákladová funkce C() Nákladová funkce zachycuje vztah mezi počtem vyrobených výrobků a náklady spotřebovanými na výrobu těchto výrobků. Obvykle předpokládáme, že se jedná o funkci rostoucí. Mezní náklady MC() vyjadřují o změnu nákladů C() vyvolanou změnou objemu a matematicky se jedná o derivaci nákladové funkce MC() = C () = C( + ) C() C() lim = lim 0 0 Průměrné náklady AC() vyjadřují jednotkové náklady pro počet vyrobených výrobků, tedy AC() = C(). Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 4 / 13

Vztah mezních a průměrných nákladů Věta o vztahu mezních a průměrných nákladů Pro nákladovou funkci C() platí, že (A) když MC > AC, pak AC je rostoucí, (B) když MC < AC, pak AC je klesající, (C) funkce AC je minimální v bodě 0, pro který platí, že AC ( 0 ) = MC ( 0 ). Zderivuji funkci AC podle d AC d = položím derivaci rovnu nule ( ) C() = C () C() 1 C () C() = 0 C () = C() 2 MC() = AC() Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 5 / 13

Grafická ilustrace vztahu mezních a průměrných nákladů 10 C() 10 MC() 8 směrnice tečny MC směrnice sečny AC 8 AC() 6 6 4 4 2 2 MC < AC MC > AC 0 1 2 3 4 0 2 4 6 8 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 6 / 13

Výnosová funkce R() a zisk Π() Výnosová funkce zachycuje vztah mezi počtem vyrobených výrobků a výnosy získanými z prodeje těchto výrobků. Obvykle předpokládáme, že se jedná o funkci rostoucí. Mezní výnosy MR() vyjadřují o změnu výnosů R() vyvolanou změnou objemu a matematicky se jedná o derivaci výnosové funkce MR() = R () = R( + ) R() lim 0 R() = lim 0 Průměrné výnosy AR() vyjadřují jednotkové výnosy pro počet vyrobených výrobků, tedy AR() = R(). Rozdíl mezi náklady a výnosy nazýváme zisk Π() = R() C() Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 7 / 13

Věta o maimalizaci zisku Funkce zisku Π() nabývá svého maima v bodě, pro který platí (R() C()) = 0 (R()) = (C()) MR() = MC() Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 8 / 13

Různé výnosových funkcí R() lineární výnosová funkce R() = p, obecná výnosová funkce R() = G(), kde G() = p a vyjadřuje skutečnost, že cena zboží p závisí na objemu zboží. Funkce G() je nazývána inverzní poptávkovou funkcí, protože je inverzní k funkci poptávkové = F (p). Protože zároveň platí, že G() = R() je inverzní poptávková funkce shodná s funkcí průměrných výnosů. Podle typu poptávkové funkce lze dále členit výnosovou funkci na výnosovou funkci s lineární poptávkovou funkcí, s eponenciální poptávkovou funkcí. Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 9 / 13

Lineární výnosová funkce R() = p pro derivaci platí R () = p marginální výnosy MR() = R () = p průměrné výnosy AR() = R() = p = p marginální a průměrné výnosy jsou shodné 10 MC() 30 R() 8 C() 6 MR() = AR() AC() 20 4 10 Π() 2 0 2 4 6 8 0 1 2 3 4 5 6 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 10 / 13

Obecná výnosová funkce s lineární poptávkovou funkcí poptávková funkce F (p) ve tvaru = a bp, a, b > 0, inverzní poptávková funkce G() má pak tvar p = a b 1 b a výnosová křivka R() = ( a b 1 b ) marginální výnosy MR() = (R()) = a b 2 b 30 R() 10 MC() C() 8 MR() AC() 20 6 4 AR() = G() 10 Π() 2 2 0 4 6 8 0 1 2 3 4 5 6 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 11 / 13

Obecná výnosová funkce s eponenciální poptávkovou funkcí poptávková funkce F (p) ve tvaru = k p r, k, r > 0, inverzní poptávková funkce G() má pak tvar p = ( k ) 1/r a výnosová křivka R() = ( k ) 1/r 10 MC() 30 R() 8 6 MR() AC() 20 C() 4 10 2 Π() 0 2 4 6 8 0 1 2 3 4 5 6 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 12 / 13

Elasticita ε poptávkové funkce Definice: Elasticita ε Vyjadřuje o kolik procent se zvýší objem, pokud cena p se zvýší o jedno procento a je dána vztahem ε = p p výraz znamená procentuální změnu objemu výroby a analogicky odpovídá procentuální změně ceny; p p pro lineární poptávkovou funkci F (p) = a bp, a, b > 0 platí ε =. b elasticita závisí na ceně; p a bp = bp bp a pro eponenciální poptávkovou funkci F (p) = k p r, k, r > 0 platí ε =. k ( r) p r 1 = r elasticita nezávisí na ceně. p k p r Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 13 / 13