MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii
|
|
- Jan Bárta
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Řešené příklad na etrém a průběh funkce se zaměřením na ekonomii Bakalářská práce Veronika Kruttová Brno 008
2 Prohlášení: Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou práci Řešené příklad na etrém a průběh funkce se zaměřením na ekonomii vpracovala samostatně pod vedením RNDr. Jana Osičk, CSc. a uvedla v seznamu literatur všechn použité zdroje. V Brně dne Veronika Kruttová 1
3 Poděkování: Ráda bch poděkovala vedoucímu bakalářské práce RNDr. Janu Osičkovi, CSc za metodické vedení, cenné rad při jejím vpracování a čas strávený při konzultacích.
4 Obsah Úvod 4 1 Teorie 5 Řešené příklad na lokální a absolutní etrém 9 3 Etrém v ekonomii 14 4 Řešené příklad na průběh funkce Polnom Racionálnílomenéfunkce Goniometrickéacklometrickéfunkce Eponenciálníalogaritmickéfunkce Mocninnéfunkce Literatura 34 3
5 Úvod Hledání etrémů a všetřování průběhu funkcí je jednou ze základních aplikací diferenciálního počtu. Proto se student matematick zaměřených oborů seznamuje s řešením úloh na etrém a průběh funkcí zpravidla již v prvním semestru. Tato oblast matematik bývá probírána i na ekonomických oborech z důvodů širokého vužití etrémů v ekonomii. Tato práce je zaměřena pouze na všetřování funkcí jedné reálné proměnné. U čtenářů se předpokládá znalost diferenciálního počtu. V první kapitole naleznete tvrzení a definice užívané při řešení úloh na etrém a průběh funkcí. Použila jsem znění ze základní literatur[1], vět jsemuvádělabezdůkazůjensodkazemnaknihu,kdemůžepřípadnýzájemce důkaz nalézt. Druhá a čtvrtá kapitola obsahují řešené příklad na lokální a absolutní etrém a průběh funkcí. Zaměřila jsem se na složitější příklad ze zadání bakalářskýchzkoušekzminulýchletadoplnilajsemjepříkladz[1]a[]. Čtvrtá kapitola je rozdělena podle tpů všetřovaných funkcí. Třetí kapitola je věnována užití etrémů v ekonomii. Graf funkcí jsou vtvořen v programu MAPLE. Celá práce je vsázena sstémeml A TEXε. 4
6 Kapitola 1 Teorie V této kapitole budou uveden základní definice a tvrzení týkající se všetřování etrémů a průběhu funkce. Věta1.NechťmáfunkcefnaotevřenémintervaluIvlastníderivaci.Pak platí: 1.FunkcefjeneklesajícínaIprávětehd,kdž f () 0naI..FunkcefjerostoucínaIprávětehd,kdž f () 0naI,přičemž rovnost f ()=0neplatínažádnémpodintervaluintervaluI. Analogická tvrzení platí pro nerostoucí a klesající funkce Důkaz. Důkaz naleznete v[1] na straně 113. Důsledek. Nechť f má konečnou derivaci na otevřeném intervalu I. (a)je-li f () >0prokaždé I,pakjefrostoucínaI. (b)je-li f () <0prokaždé I,pakjefklesajícínaI. Definice3.Řekneme,žefunkce fmávbodě 0 : lokálnímaimum,eistuje-li O( 0 )tak,žeprokaždé O( 0 )je f() f( 0 ), lokálníminimum,eistuje-li O( 0 )tak,žeprokaždé O( 0 )je f() f( 0 ), ostrélokálnímaimum,eistuje-li O( 0 )tak,žeprokaždé O( 0 ) \ { 0 } je f() < f( 0 ), ostrélokálníminimum,eistuje-li O( 0 )tak,žeprokaždé O( 0 ) \ { 0 } je f() > f( 0 ). Lokální maima a minima nazýváme souhrnně lokální etrém. 5
7 Věta4.Nechťmáfunkce fvbodě 0 lokálníetrémanechť f ( 0 )eistuje. Pak f ( 0 )=0. Důkaz. Důkaz naleznete v[1] na straně 116. Věta5.Nechťjefunkce f spojitávbodě 0 amávlastníderivacivnějakémrzímokolí O( 0 ) \ { 0 }.Jestližeprovšechna O( 0 ), < 0,je f ( 0 ) > 0aprovšechna O( 0 ), > 0,je f ( 0 ) <0,pakmáfunkce fvbodě 0 ostrélokálnímaimum.(obdobnétvrzeníplatíproostrélokální minimum). Důkaz. Důkaz naleznete v[1] na straně 117. Věta6.Nechť f ( 0 )=0.Je-li f ( 0 ) >0,pakmáfunkce fvbodě 0 ostré lokálníminimum.je-li f ( 0 ) <0,pakmáfunkce fvbodě 0 ostrélokální maimum. Důkaz. Důkaz naleznete v[1] na straně 118. Definice7.Buďfunkce fdefinovanánamnožině M.Eistuje-lina Mnejvětší(nejmenší) hodnota funkce f, nazýváme ji absolutním maimem(absolutním minimem) funkce f na M. Absolutní minima a maima souhrnně nazýváme absolutními etrém. Jestližeted 0 Maplatí f() f( 0 )provšechna M,říkáme,že funkce f mána Mabsolutnímaimumvbodě 0.Podobněproabsolutní minimum. Definice8.Řekneme,žefunkce fjekonvenínaintervalui,jestližeprolibovolnétřibod 1,, 3 Itakové,že 1 < < 3,platí f( ) f( 1 )+ f( 3) f( 1 ) 3 1 ( 1 ). Řekneme, že funkce f je konkávní na intervalu I, jestliže pro libovolné tři bod 1,, 3 Itakové,že 1 < < 3,platí f( ) f( 1 )+ f( 3) f( 1 ) 3 1 ( 1 ). Pokud v definici nahradíme neostré nerovnosti ostrými, dostáváme definice pojmů ostré konvenosti a ostré konkávnosti na intervalu I. 6
8 Věta9.Nechť f mávlastníderivacinaotevřenémintervalu I.Pakje f konvení(ostřekonvení)na I právětehd,kdžjefunkce f neklesající (rostoucí) na I. Analogickétvrzeníplatípro fkonkávní(ostřekonkávní)na Ia f nerostoucí (klesající) na I. Důkaz. Důkaz naleznete v[1] na straně 14. Důsledek10.Nechť Ijeotevřenýintervalafmávlastnídruhouderivaci na I. (a)je-li f () >0prokaždé I,pakje fostřekonvenína I. (b)je-li f () <0prokaždé I,pakje fostřekonkávnína I. Definice11.Nechťmáfunkce fderivacivbodě 0 R.Je-litatoderivace nevlastní,předpokládámenavíc,žeje fspojitávbodě 0. Řekneme,že 0 jeinflenímbodemfunkce f,jestližeeistujeokolí O δ ( 0 ) takové,žefunkce f jeostřekonkávnínaintervalu( 0 δ, 0 )ajeostře konvenínaintervalu( 0, 0 +δ)anebonaopak.stručněříkáme,žefunkce f mávbodě 0 inflei. Věta 1. 1.Nechť 0 jeinfleníbodanechťeistuje f ().Pak f ()=0..Nechť f () =0aeistujeokolí O δ ( 0 )takové,žeplatí f () <0 prokaždé ( 0 δ, 0 )af () >0prokaždé ( 0, 0 + δ),nebo naopak.pakje 0 inflenímbodemfunkce f. 3.Nechť f ()=0af () 0.Pakje 0 inflenímbodemfunkce f. Důkaz. Důkaz naleznete v[1] na straně 17. Definice13.Buď 0 R.Přímka = 0 senazýváasmptotoubezsměrnice funkce f,jestližemá fv 0 alespoňjednujednostrannoulimitunevlastní,tj. lim f()=± nebo lim f()=± Přímka =a+b, a, b Rsenazýváasmptotousesměrnicífunkce f, jestliže platí lim (f() (a+b))=0nebo lim (f() (a+b))=0. + 7
9 Věta14.Přímka = a+bjeasmptotoufunkce fpro tehd, kdž + právě f() lim + = a a lim (f() a)=b. + Analogickétvrzeníplatípro. Důkaz. Důkaz naleznete v[1] na straně 19. Důsledek15.Přímka = bjeasmptotoufunkce fpro + právě tehd, kdž lim f()=b.analogickétvrzeníplatípro. + 8
10 Kapitola Řešené příklad na lokální a absolutní etrém Příklad.1. Najděte lokální etrém funkce f: =lncos. Řešení:Funkcejedefinovánanamnožině,kdecos ( >0.Jednáseointerval π +kπ, π+kπ) pro k Z. Prvníderivacefunkce fje = sin. cos Bod,vekterýchbmohlnastatlokálníetrém,jsou =k π,kde k Z. Všetříme monotónnost funkce f- stačí na intervalu(0, π), funkce je totiž periodická. ( ( 0, π π ), π) ( ) ( π, 3π 3π,π) + + klesající klesající rostoucí rostoucí Lokálníetrémtedmohounastatvbodech =kπ, k Z.Pro klichéale není funkce definována, proto jsou lokální etrém pouze v bodech = kπ, k Z.Jdeolokálnímaimaajejichfunkčníhodnota f(kπ)=lncoskπ=0. 9
11 Příklad.. Najděte lokální a absolutní etrém funkce f na intervalu [ 3,3], f: =( )e. Řešení:Funkcejedefinovánanacelém R,jeteddefinovánainazkoumaném intervalu. Prvníderivacefunkceje = e (+1)( ).Nulovébodderivace jsou = 1a=.Všetřímeznaménkaderivacenazadanémintervalu: ( 3, 1) ( 1,) (,3) + klesající rostoucí klesající Lokálníetrémnastávajívbodech = 1a=.Jejichfunkčníhodnot jsou f( 1)= e. = 7,389(lokálníminimum)af()=e 4. =0,037 (lokální maimum). Abchom nalezli absolutní etrém, musíme vpočítat funkční hodnot v krajních bodech intervalu a porovnat je s nalezenými funkčními hodnotami lokálních etrémů. f( 3)=7e 6. =84 a f(3)=7e 6. =0,017 Absolutnímaimumfunkce fjevbodě = 3aabsolutníminimumfunkce fjevbodě = 1. Příklad.3.Najděteabsolutníetrémfunkce fnaintervalu[1,e], f: = ln. Řešení:Definičnímoboremfunkce fjemnožina D(f)=(0, ). Prvníderivacefunkce fje = (ln+1).nulovébodderivacejsou =0 a =e 1.Prvníztěchtobodůneležívdefiničnímoborufunkce fadruhý není ve zkoumaném intervalu. Funkčníhodnotvkrajníchbodechjsou f(1)=0af(e)=e.absolutní minimumnastávávbodě =1aabsolutnímaimumvbodě =e. 10
12 Příklad.4. Najděte lokální a absolutní etrém funkce f na intervalu [0,5], f: = Řešení: Funkce je definována v každém bodě intervalu. Prvníderivacefunkce fje =5 ( 1)( 3).Bod,vekterých =0, jsou =0, =1a=3.Nnívšetřímemonotónnostfunkce f : (0,1) (1,3) (3,5) + + rostoucí klesající rostoucí Vbodě = 1jelokálnímaimum, jehožfunkční hodnota f(1) =,a vbodě =3jelokálníminimum,jehožfunkčníhodnota f(3)= 6.Zbývá vpočítat funkční hodnot v krajních bodech: f(0)=1 a f(5)=66. Absolutnímaimumnastávávbodě =5aabsolutníminimumvbodě =3. Příklad.5. Najděte lokální a absolutní etrém funkce f na intervalu [ 1,6], 3 f: = +. Řešení: Definičním oborem funkce je množina R \ { }. První derivace funkce f je rovna = (4 ) 3 3 (+). Bod,vekterýchjeprvníderivacerovna0nebonenídefinovaná,jsou =0 a = 4. Všetříme znaménka derivace: ( 1,0) (0,4) (4,6) + klesající rostoucí klesající Vbodě =0jelokálníminimumsfunkčníhodnotou f(0)=0.vbodě =4jelokálnímaimum,jehofunkčníhodnotaje f(4). =0,4. V krajních bodech intervalu nabývá funkce hodnot: f( 1)=1 a f(6). =0,41. 11
13 Absolutnímmaimemfunkcenazadanémintervalujebod[, ]=[ 1,1] aabsolutnímminimemjebod[0,0]. Příklad.6. Najděte lokální a absolutní etrém funkce f na intervalu [,], f: =(+1) 3 +( 1) 3. Řešení: Definičním oborem funkce f je celá množina R. Funkce je sudá, protože f( )=( +1) 3+( 1) 3=( 1) 3( 1) 3+( 1) 3(+1) 3= =( 1) 3+(+1) 3= f(). První derivace funkce je rovna = 3 (+1) ( 1)+ 3 ( 1) (+1). 3 (+1)( 1) Bod,vekterýchjeprvníderivacerovna0nebonenídefinovaná,jsou = 1, =0a=1.Všetřímeznaménkaderivace: (, 1) ( 1,0) (0,1) (1,) + + klesající rostoucí klesající rostoucí Vbodech = 1a=1jsoulokálníminimaseshodnýmifunkčnímihodnotami f( 1)=f(1)= 3 4. =1,59.Vbodě =0jelokálnímaimum,jehož funkčníhodnotajerovna f(0)=. Zbývá vpočítat funkční hodnot v krajních bodech zadaného intervalu. Protože je funkce sudá, budou obě hodnot stejné. f( )=f(). =3,08. Funkcemáabsolutnímaimavbodech = a=aabsolutníminima vbodech = 1a=1. Příklad.7. Najděte lokální a absolutní etrém funkce f na intervalu [ 3,4], f: = Řešení: Definičním oborem funkce je množina R \ {1}. První derivace funkce f je rovna = ( )( +1) ( 1). Nulovýmbodempředchozírovnicejenazadanémintervalupouzebod =. 1
14 Všetříme znaménka derivace: ( 3,) (,4) + klesající rostoucí Bod =jelokálnímminimemfunkce f.jehofunkčníhodnotajerovna f()=3. Nní vpočítáme hodnot funkce v krajních bodech intervalu: f( 3 )=4,5 a f(4). =9,67. Z vpočítaných hodnot snadno určíme, že absolutní minimum funkce f na intervalu[ 3,4]jevbodě =aabsolutnímaimumjevbodě =4. Příklad.8. Najděte lokální a absolutní etrém funkce f na intervalu [ 5, 1], f: = 1 3. Řešení: Definičním oborem funkce je množina R \ {0}. První derivace funkce f je rovna = 3 3. Nulovým bodem předchozí rovnice je na zadaném intervalu pouze bod = 3. = 1,6.Všetřímeznaménkaderivace: ( 5, 3 ) ( 3, 1) + klesající rostoucí Vbodě = 3 jelokálníminimumsfunkčníhodnotou f( 3 ). =1,89. Zbývá vpočítat hodnot funkce v krajních bodech: f( 5)=5,04 a f( 1)=. Lokálníminimumvbodě = 3 jezároveňabsolutnímminimem.absolutnímaimumnastávávbodě = 5. 13
15 Kapitola 3 Etrém v ekonomii Modelovým příkladem užití etrémů v ekonomii může být problém maimalizace užitku spotřebitele. Každého spotřebitele lze podle jeho preferencí charakterizovat nějakou užitkovou funkcí, která vjadřuje, jaký užitek mu přináší různé kombinace spotřebních statků. Jeho cílem je tento užitek maimalizovat. Ale spotřeba statkůjespojenaisurčitouújmou(obětí)veforměplatbzatentostatek. Množství peněžních prostředků spotřebitele je přitom omezené. Formální zápis této úloh b mohl vpadat například takto: ma[u( 1,..., n ); n p i i M, i 0], i=1 1,..., n množstvíjednotlivýchspotřebníchstatků u( 1,..., n ) užitkováfunkcespotřebitele p i jednotkovácenai téhostatku M množství peněžních prostředků spotřebitele Řešenímtétoúlohbblakombinacestatků 1,..., n,kterábudespotřebiteli při daném rozpočtovém omezení přinášet největší užitek. Eistuje mnoho dalších problémů k řešení- např. minimalizace nákladů firm, maimalizace zisku společnosti atd. V těchto úlohách jsou vesměs všetřován funkce více reálných proměnných, navíc s určitými podmínkami, tzn. jde o vázané etrém. Tto úloh se řeší jinými metodami, které přesahují rámec mé bakalářské práce, jež je primárně zaměřena na hledání etrémů a průběhu funkcí jedné reálné proměnné. Proto zde nebudu uvádět konktrétní řešené příklad. 14
16 Kapitola 4 Řešené příklad na průběh funkce V této kapitole budou řešen některé obtížnější úloh na průběh funkce. Pro přehlednost budou dělen podle tpu funkce. 4.1 Polnom Příklad 4.1. Všetřete průběh funkce Řešení: f: = ( 4) 3. 1.Definičníobordanéfunkceje D(f)=R.Snadnourčímeprůsečíkgrafu funkcesosami a.jezřejmé,žefunkceprocházípočátkem[0,0]a bodem[4,0].protože f( )= ( 4) 3 = (+4) 3,funkcenení ani sudá ani lichá.. Pro počítání derivací je vhodné zadanou funkci upravit = ( 4) 3 = První derivace funkce potom bude = =4( 1)( 4), odtudplne =0pro =1a=4.Všetřímeznaménkoderivace: (,1) (1,4) (4, ) + + klesající rostoucí rostoucí 15
17 Lokálníetrémnastávápouzevbodě =1,jdeolokálníminimuma jehofunkčníhodnota f(1)= Dále budeme všetřovat konvenost, konkávnost a hledat inflení bod. K tomu je potřeba vpočítat druhou derivaci. =1 7+96=1( 6+8)=1( )( 4). Všetříme znaménka derivace: (,) (,4) (4, ) + + konvení konkávní konvení Infleníbodjsouvbodech =a=4,jejichfunkčníhodnotjsou f()= 16af(4)=0. 4. Funkce nemá žádné asmptot. 5.Graffunkceje:
18 4. Racionální lomené funkce Příklad 4.. Všetřete průběh funkce f: = (+1)(4 3) + 3. Řešení: 1.Definičním oboremfunkce jemnožina R \ { 1,1} = (, 1) ( 1,1) (1, ).Průsečíksosou jsou [ 1,0] a [ 3,0] aprůsečík 4 sosou jebod[0,1].. V zadání funkce se vsktuje absolutní hodnota, proto je nutné funkcivšetřovatsohledemnato,zdaje 0nebo 0. (a)pro 0a 1mámefunkci Její derivace f 1 : = (+1)(4 3). + 3 = 6(3 7+) ( + 3). Bod,vekterýchjeprvníderivacerovnanule,jsou = 1 3 a =. Všetříme znaménka derivace: (0, 1) 3 (1,) (, ) rostoucí klesající rostoucí Vidíme,ževbodě = 1nastáválokálnímaimum,jehožfunkční 3 hodnota f( 1)= 5,avbodě =nastáválokálníminimum,jehož 3 4 funkčníhodnotaje f()=5. (b)pro 0, 1mámefunkci Její derivace f : = (+1)(4 3). 3 = 14(+3) ( 3). Bod,vekterýchmůženastatlokálníetrém,jsou = 3a=0. 17
19 Opět všetříme znaménka derivace: (, 3) ( 3,0) + klesající rostoucí Vbodě = 3tednastáválokálníminimumsfunkčníhodnotou f( 3)= Pro všetřování infleních bodů, konvenosti a konkávnosti je rovněž potřeba rozlišovat, zda jsme na intervalu(, 0] nebo[0, ). (a)pro 0jedruháderivace = ( + 3) 3. Bod,vekterýchmůženastatinflee,jsou =1a = 1 6 ( ). =3,08.Znaménkaderivace: (0,1) (1, 1 6 ( )) ( 1 6 ( ), ) + konkávní konvení konkávní (b)pro 0jedruháderivace = 14( ) ( 3) 3. Bod,vekterýchmůženastatinflee,jsou = 1a = 1 ( ). = 4,7.Znaménkaderivace: (, 1 ( )) ( 1 ( ), 1) ( 1,0) + konkávní konvení konkávní 18
20 4.Vzhledemkdefiničnímuoborufunkce,kterýje(, 1) ( 1,1) (1, ), je jasné, že funkce bude mít dvě asmptot bez směrnice ato = 1, =1.Průběhfunkcevokolítěchtoasmptotvšetříme pomocí limit: lim f()=, 1 lim f()=, 1 + lim f()=, 1 lim f()=. 1 + Zbývázjistit,zdamáfunkceasmptotsesměrnicí =a+b: lim ± f() lim ± Asmptotasesměrnicíjeted =8. 5. Nní můžeme sestrojit graf: =0=a, [ f() a]= lim f()=8=b. ±
21 Příklad 4.3. Všetřete průběh funkce Řešení: f: = 3 (+). 1. Definičním oborem funkce je množina R \ { }, funkce prochází počátkem.. Ve funkci se vsktuje absolutní hodnota, proto ji musíme všetřovat naintervalech(,0]a(0, )zvlášť. (a)pro >0mámefunkci Její první derivace je f 1 : 3 (+). = (+6) (+) 3. Bod,vekterýchjeprvníderivacerovna0nebobod,vekterých prvníderivaceneeistuje,jsou = 6, = a=0.protože anijedenztěchtobodůnesplňujepodmínku >0,budederivace na celém intervalu(0, ) buď pouze záporná nebo pouze kladná. Dosazenímlibovolnéhočíslaztohotointervaluzjistíme,že >0, zčehožplne,žefunkce fbudenaintervalu(0, )rostoucí. (b)pro 0mámefunkci Její první derivace je f : 3 (+). = (+6) (+) 3. Bod,vekterýchjeprvníderivacerovna0nebobod,vekterých prvníderivaceneeistuje,jsou = 6, = a=0.všetříme znaménka derivace: (, 6) ( 6, ) (,0] + klesající rostoucí klesající 0
22 Lokálníetrémnastávávbodě = 6.Jetolokálníminimum, jehožfunkčníhodnotaje f( 6)= 16 =13,5.Vbodě = 16 lokální etrém nastat nemůže, protože funkce f není v tomto bodě definovaná.vbodě = 0nastáválokálníminimumsfunkční hodnotou f(0)=0. 3. Nní budeme všetřovat konvenost, konkávnost a inflení bod. (a)pro >0jedruháderivacefunkce = 4 (+) 4. Bod,vekterýchjedruháderivacerovna0nebobod,vekterých druháderivaceneeistuje,jsou = a=0.protožetto bodnespadajídointervalu(0, ),budefunkce fnacelémtomto intervalu buď pouze konkávní nebo pouze konvení. To zjistíme dosazením libovolného čísla z tohoto intervalu do druhé derivace funkce.jelikož >0,budefunkce fnaintervalu(0, )konvení. (b)pro 0mámedruhouderivacifunkce = 4 (+) 4. Bod,vekterýchjedruháderivacerovna0nebobod,vekterýchdruháderivaceneeistuje,jsou = a=0.všetříme znaménka derivace: (, ) (,0) + + konvení konvení 4. Asmptotou bez směrnice bude vzhledem k definičnímu oboru funkce přímka =. Všetříme chování funkce v okolí této přímk: lim f()=, lim f()=. + Zbývázjistit,zdamáfunkceasmptotsesměrnicí =a+b. Pro vpočítámelimit: lim f() lim =1=a, [ f() ]= 4=b. 1
23 Takžeasmptotasesměrnicípro jepřímka = 4. Pro vpočítámelimit: f() lim = 1=a, lim [ f()+]=4=b. Asmptotasesměrnicípro jepřímka = Nní můžeme sestrojit graf:
24 4.3 Goniometrické a cklometrické funkce Příklad 4.4. Všetřete průběh funkce Řešení: f: =sin3 3sin. 1. Definičním oborem funkce je R, funkce je periodická s periodou π, protože f(+π)=sin(3+6π) 3sin(+π)=sin3 3sin=f(). Funkce je lichá, protože f( )=sin( 3) 3sin( )= sin3+3sin= f(). Průsečíksosou jsouvbodech =kπpro k Z.. První derivace funkce je =3cos3 3cos. Nulovébodtétorovnicejsou =k π derivace(stačí na intervalu(0, π)): pro k Z.Všetřímeznaménka ( ( 0, π π ), π) ( ) ( π,3 π 3 π,π) + + klesající rostoucí rostoucí klesající Takželokálníminimanastanouvbodech = π +kπ, k Z,jejich funkčníhodnota f( π +kπ)= 4alokálnímaimanastanouvbodech = 3π+kπ, k Z,jejichfunkčníhodnota f(3π+kπ)=4. 3. Druhá derivace funkce je = 9sin3+3sin. Nulovébodtétorovnicejsou =kπpro k Zabod,prokteréplatí sin =± 3,cožjsounaintervalu(0,360 )bod =55., =15., =35., =
25 Všetříme znaménka derivace: (0,55 ) (55,15 ) (15,180 ) (180,35 ) (35,305 ) (305,360 ) konkávní konvení konkávní konvení konkávní konvení Funkčníhodnotinfleníchbodůjsou f(k180 )=0,kde k Z, f(55 )=f(15 ). =,0, f(35 )=f(305 ). =,0. 4. Funkce f nemá žádné asmptot. 5. Nní můžeme sestrojit graf: 6 4 π π π π 4 6 4
26 Příklad 4.5. Všetřete průběh funkce Řešení: f: = +arccotg. 1.Definičnímoboremfunkceje R,průsečíksosou jebod[0, π].. První derivace funkce je =1 +1, bod,vekterýchjeprvníderivacerovna0,jsou = 1a = 1. Všetříme znaménka derivace: (, 1) ( 1,1) (1, ) + + rostoucí klesající rostoucí Vidíme,ževbodě =1nastáválokálníminimum,jehožhodnotaje f(1)=1+ π,avbodě = 1nastáválokálnímaimum,jehožhodnota je f( 1)= 1+ 3π. 3. Druhá derivace funkce je = 4 ( +1), rovnicejerovnanulepouzevbodě =0. (,0) (0, ) + konkávní konvení Bod =0jeinflenímbodem,zároveňiprůsečíkemsosou,jeho funkční hodnotu jsme spočítali výše. 4.Nníbudemezjišťovat,zdamáfunkceasmptot.Pro vpočítáme limit: lim f() lim =1=a, [ f() ]=0=b. 5
27 Takžeasmptotasesměrnicípro jepřímka =. Pro vpočítámelimit: lim f() lim =1=a, [ f() ]=π= b. Asmptotasesměrnicípro jepřímka = +π. 5. Nní sestrojme graf:
28 4.4 Eponenciální a logaritmické funkce Příklad 4.6. Všetřete průběh funkce Řešení: f: = ln. 1. Definičním oborem funkce je množina(0, ), funkce prochází bodem [1,0].. První derivace funkce je =ln +ln =ln (ln +). Jejínulovébodjsou =e. =0,14a=1.Všetřímeznaménka derivace na definičním oboru funkce: (0,e ) (e,1) (1, ) + + rostoucí klesající rostoucí Vbodě =e. =0,14nastáválokálnímaimum,jehofunkčníhodnota je f(e )=4e.Vbodě =1jelokálníminimum,jehožfunkční hodnotajerovna f(1)=0. 3. Druhá derivace funkce je rovna = 1 (ln +1). Předchozírovnicenabývánulvbodě = e 1. = 0,37.Všetříme konvenost a konkávnost: (0,e 1 ) (e 1, ) + konkávní konvení 4. Funkce nemá žádné asmptot. K sestrojení funkce je vhodné všetřit její chování v krajním bodě definičního oboru. Vpočteme proto limitu funkcepro 0zprava: lim ln =
29 5. Nní můžeme sestrojit graf: Příklad 4.7. Všetřete průběh funkce Řešení: f: =( )e 1. 1.Definičnímoboremfunkcemnožina R\{0}.Průsečíksosou jevbodě =.. První derivace funkce je rovna =e 1 +. Nulovébodjsou = a = 1.Všetřímeznáménkaderivace nadefiničnímoborufunkce f: (, ) (,0) (0,1) (1, ) + + rostoucí klesající klesající rostoucí 8
30 Lokálnímaimumnastávávbodě =,jehofunkčníhodnotaje f( )= 4e 1. = 6,6.Vbodě =1jelokálníminimumsfunkční hodnotou f(1)= e 1. = 0,4. 3.Druháderivacefunkce fje = 1 4e 1 (5 ). Nulovýboddruhéderivaceje = 5.Všetřímeznáménkaderivace nadefiničnímoborufunkce f: Vbodě = 5 nastáváinflee. (,0) (0, 5 ) ( 5, ) + konkávní konkávní konvení 4.Budemehledatasmptotsesměrnicívetvaru = a+b: lim ± f() lim ± =1=a, [ f() ]= 3=b. Asmptotasesměrnicífunkce fje = 3.Zbývávšetřitchování funkcevbodě =0,vekterémnenífunkce fdefinovaná. lim f()=0, 0 + lim f()=. 0 9
31 5. Nní můžeme sestrojit graf: Mocninné funkce Příklad4.8.Všetřeteprůběhfunkce fnaintervalu[0,3], Řešení: f: =(3 ). 1.Funkcemádvaprůsečíksosou atobod =0a=3.Funkceje spojitávkaždémboděintervalu[0,3].. První derivace funkce je tvaru = 3(1 ). Bod,vekterémmůženastatnazadanémintervaluetrém,je =1. 30
32 Všetříme monotónnost funkce: (0,1) (1,3) + rostoucí klesající Vbodě =1jelokálnímaimumsfunkčníhodnotou f(1)=. 3. Druhá derivace funkce je rovna = 3 4 (+1). Předchozí rovnice nemá na všetřovaném intervalu žádné nulové bod. Dosazenímlibovolnéhočíslazintervalu[0,3]zjistíme,že <0.To znamená,žefunkce fbudenacelémintervalu[0,3]konkávní. 4. Funkce nemá žádné asmptot. 5. Nní můžeme sestrojit graf:
33 Příklad 4.9. Všetřete průběh funkce 3 f: =. Řešení: 1.Vpočítámedefiničníoborfunkce f.vjdemeztoho,ževýrazpododmocninou musí být nezáporný a jmenovatel ve zlomku se nesmí rovnat nule.definičníoborbudemnožina(,0] (, ).. První derivace funkce je tvaru = ( 3) ( ) ( ). Bod, ve kterých je první derivace nulová nebo ve kterých není definovaná,jsoukrajníboddefiničníhooboru =0a=abod =3. Všetříme monotónnost funkce na D(f): (,0) (,3) (3, ) + klesající klesající rostoucí V bodě = 3 nastává lokální minimum. Jeho funkční hodnota je. f(3) = 5,. 3. Druhá derivace funkce je rovna = 3 ( ) 5. Druhá derivace není definovaná v krajních bodech definičního oboru. Všetříme znaménka derivace na D(f): (,0) (, ) + + konvení konvení 3
34 4.Budemehledatasmptotsesměrnicífunkce fvetvaru = a+b: Pro vpočítámelimit: lim f() lim =1=a, [ f() ]=1=b. Takžeasmptotasesměrnicípro jepřímka = +1. Pro vpočítámelimit: f() lim = 1=a, lim [ f()+]= 1=b. Asmptotasesměrnicípro jepřímka = 1. Nní všetříme, jak se bude funkce f chovat v krajních bodech definičníhooboru D(f): lim f()=0, 0 lim f()=. + Z poslední počítané limit plne, že funkce f bude mít asmptotu bezsměrnicevetvaru =. 5. Nní můžeme sestrojit graf:
35 Literatura [1] Došlá Z., Kuben J.: Diferenciální počet funkcí jedné proměnné, Masarkova univerzita, Brno 004 [] Jirásek F., Kriegelstein E., Tichý Z.: Sbírka řešených příkladů z matematik, 3.vdání, SNTL, Praha 1987, s [3] Studijní materiál předmětu Kvantitativní ekonomie vučovaného na Přírodovědecké fakultě pod kódem E5340. [4]RbičkaJ.:L A TEXprozačátečník,3.vdání,KONVOJ,Brno003 [5]LomtatidzeL.,PlchR.:SázímevL A TEXudiplomovouprácizmatematik, 1.vdání, Masarkova univerzita, Brno
{ } Ox ( 0) 4.2. Konvexnost, konkávnost, inflexe. Definice Obr. 52. Poznámka. nad tečnou
Konvenost, konkávnost, inflee 4.. Konvenost, konkávnost, inflee Definice 4... Nechť eistuje f ( ), D f. Řekneme, že funkce f ( ) je v bodě konkávní, jestliže eistuje { } O ( ) tak, že platí D : O( )\ f(
Vícec ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007
20. srpna 2007 1. f = 3 12 2. f = 2 e 3. f = ln Příklad 1. Nakreslete graf funkce f() = 3 12 Příklad 1. f = 3 12 Nejprve je třeba určit definiční obor. Výraz je vždy definován. Příklad 1. f = 3 12 f =
VíceOznačení derivace čárkami, resp. římskými číslicemi, volíme při nižším řádu derivace, jinak užíváme horní index v závorce f (5), f (6),... x c g (x).
9 Využití derivace 9.1 Derivace vyšších řádů Definice 1. Nechť funkce má derivaci v nějakém okolí bodu c D(f). Nechť funkce ϕ() =f () máderivacivboděc. Pak hodnotu ϕ (c) nazýváme derivací 2. řádu (2. derivací)
VíceMonotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
66 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné I. 5. Vyšetřování průběhu funkce Monotonie a lokální etrémy Důsledek. Nechť má funkce f) konečnou derivaci na intervalu I. Je-li f ) > 0 pro každé I, pak
VíceFunkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou
Funkce RNDR. Yvetta Bartáková Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Derivace funkce VY INOVACE_05 0_M Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Definice Mějme funkci f definovanou v okolí bodu 0. Eistuje-li
Více2.7. Průběh funkce. Vyšetřit průběh funkce znamená určit (ne nutně v tomto pořadí): 1) Definiční obor; sudost, lichost; periodičnost
.7. Průběh unkce Všetřit průběh unkce znamená určit ne nutně v tomto pořadí: deiniční obor; sudost, lichost; periodičnost, interval spojitosti a bod nespojitosti, průsečík grau unkce s osami, interval,
VíceSeminární práce z matematiky
Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Seminární práce z matematiky Vyšetřování průběhu funkcí Autor: Vyučující: Ondřej Vejpustek RNDr Eva Davidová Ostrava, 0 Taylorův polynom pro
VícePRŮBĚH FUNKCE - CVIČENÍ
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA PRŮBĚH FUNKCE - CVIČENÍ Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny
VíceDefinice derivace v bodě
Definice derivace v bodě tgϕ = f ( ) f () f () : = tgϕ = lim f f () tgϕ = f f () Obecně: f f f ( ) ( ) : = lim f ( + h) f f : = lim h h Derivace zleva (zprava): f ( ) : = lim f f ( ) f ( ) : = lim + +
VíceFUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného
VíceFUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného
VíceMATEMATIKA I - vybrané úlohy ze zkoušek v letech
MATEMATIKA I - vybrané úlohy ze zkoušek v letech 008 0 doplněné o další úlohy. část DIFERENCIÁLNÍ POČET funkcí jedné proměnné Další část ( integrální počet) bude vydána na konci listopadu 9. 9. 0 Případné
VíceAplikace derivace ( )
Aplikace derivace Mezi aplikace počítáme:. LHospitalovo pravidlo. Etrémy funkce (růst a pokles funkce) 3. Inflee (konávnost a konvenost). Asymptoty funkce (se i bez směrnice) 5. Průběh funkce 6. Ekonomické
VíceRolleova věta. Mějme funkci f, která má tyto vlastnosti : má derivaci c) f (a) = f (b). a) je spojitá v a, b b) v každém bodě a,b
Průběh unkce Rolleova věta Mějme unkci, která má tto vlastnosti : a) je spojitá v a, b b) v každém bodě a,b má derivaci c) (a) = (b). b Potom eistuje v a, alespoň jeden bod c, v němž ( c) : 1, 3 0 1 1
Více[ 5;4 ]. V intervalu 1;5 je funkce rostoucí (její první derivace je v tomto intervalu
1..1 Průběh funkce III (prohnutí Předpoklad: 111 Pedagogická poznámka: Při poctivém probírání b tato látka zabrala dvě celé vučovací hodin. Studenti z toho nebudou příliš nadšení, je zde příliš mnoho definic
VíceDigitální učební materiál
Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/4.080 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/ Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím
VíceDiferenciální počet funkcí jedné proměnné
Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 1 4. Derivace funkce 4.3. Průběh funkce 2 Pro přesné určení průběhu grafu funkce je třeba určit bližší vlastnosti funkce. Monotónnost funkce Funkce monotónní =
VíceLimita a spojitost funkce
Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu
VíceFunkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015
Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární
VíceLDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Průběh funkce ZVMT lesnictví 1 / 21
Průběh funkce Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
VíceLOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce)
Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA ČTVRTÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 5. srpna Název zpracovaného celku: LOKÁLNÍ EXTRÉMY LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maimum a minimum funkce) Lokální etrémy jsou body, v nichž funkce
Více1. Určíme definiční obor funkce, její nulové body a intervaly, v nichž je funkce kladná nebo záporná.
Matmatika I část II Graf funkc.. Graf funkc Výklad Chcm-li určit graf funkc můžm vužít přdchozích znalostí a určit vlastnosti funkc ktré shrnm do níž uvdných bodů. Můž s stát ž funkc něktrou z vlastností
VíceUniverzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta
Univerzita Karlova v Praze Pedagogická akulta DRUHÁ SEMINÁRNÍ PRÁCE Z DIFERENCIÁLNÍHO POČTU PRŮBĚH FUNKCE 000/001 Cirik, M-ZT Zadání: Vyšetřete průběh unkce ( ) : y Vypracování: ( ) : y Předně určíme deiniční
VícePRŮBĚH FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ
Dierenciální počet unkcí jedné reálné proměnné - 5 - PRŮBĚH FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ Cílem vyšetřování průběhu unkce je umět nakreslit její gra Obvykle postupujeme tak že nalezneme její maimální deiniční
Více7.1 Extrémy a monotonie
KAPITOLA 7: Průběh funkce [ZMA13-P38] 7.1 Extrémy a monotonie Řekneme, že funkce f nabývá na množině M Df svého globálního maxima globálního minima A v bodě x 0, jestliže x 0 M, fx 0 = A a pro každé x
VíceDiferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.
Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin
Vícey = 1/(x 3) - 1 x D(f) = R D(f) = R\{3} D(f) = R H(f) = ( ; 2 H(f) = R\{ 1} H(f) = R +
Funkce. Vlastnosti funkcí Funkce f proměnné R je zobrazení na množině reálných čísel (reálnému číslu je přiřazeno právě jedno reálné číslo). Z grafu poznáme, zda se jedná o funkci tak, že nenajdeme žádnou
VíceVyšetřování průběhu funkce pomocí programu MatLab. 1. Co budeme potřebovat?
Vyšetřování průběhu funkce pomocí programu MatLab K práci budeme potřebovat následující příkazy pro 1. Co budeme potřebovat? (a) zadání jednotlivých výrazů symbolicky (obecně) (b) řešení rovnice f()=0,
VícePoznámka. Je-li f zobrazení, ve kterém potřebujeme zdůraznit proměnnou, píšeme f(x) (resp. f(y), resp. f(t)) je zobrazení místo f je zobrazení.
2. ZOBRAZENÍ A FUNKCE 2.1 Zobrazení 2. 1. 1 Definice: Nechť A a B jsou množiny. Řekneme že f je zobrazení množiny A do množiny B jestliže (i) f A B (ii) ke každému z množiny A eistuje právě jedno y z množiny
VíceKapitola 4: Průběh funkce 1/11
Kapitola 4: Průběh funkce 1/11 Funkce monotonní 2/11 Věta: Necht je f spojitá a má derivaci na intervalu I. Potom platí (i) Je-li f (x) > 0 na I, je f rostoucí na I. (ii) Je-li f (x) 0 na I, je f neklesající
Více14. Monotonnost, lokální extrémy, globální extrémy a asymptoty funkce
. Monotonnost, lokální extrém, globální extrém a asmptot funkce Studijní text. Monotonnost, lokální extrém, globální extrém a asmptot funkce A. Rostoucí a klesající funkce Pojm rostoucí, klesající a konstantní
VíceKapitola 4: Průběh funkce 1/11
Kapitola 4: Průběh funkce 1/11 Funkce monotonní 2/11 Věta: Necht je f spojitá a má derivaci na intervalu I. Potom platí (i) Je-li f (x) > 0 na I, je f rostoucí na I. (ii) Je-li f (x) 0 na I, je f neklesající
VíceBakalářská matematika I
1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,
VíceIX. Vyšetřování průběhu funkce
IX. Vyšetřování průběhu funkce Úvodní poznámky: Cíl: vyšetřit průběh dané funkce f. Zahrnuje: základní vlastnosti: D(f), spojitost, limity v krajních bodech, průsečíky s osami souřadnic, intervaly, kde
VíceMETODICKÝ NÁVOD MODULU
Centrum celoživotního vzdělávání METODICKÝ NÁVOD MODULU Název Základy matematiky modulu: Zkratka: ZM Počet kreditů: 4 Semestr: Z/L Mentor: Petr Dolanský Tutor: Petr Dolanský I OBSAH BALÍČKU STUDIJNÍCH
VíceFunkce základní pojmy a vlastnosti
Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplín společného
VíceDiferenciální počet funkce jedné proměnné 1
Diferenciální počet funkce jedné proměnné Limita funkce Pojem limita můžeme česk vjádřit jako mez, případně hranice Zavedení pojmu limita si objasníme na příkladu Příklad : Funkce f ( ) Obr 6: Graf funkce
VíceNMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 17. února ( sin (π 2 arctann) lim + 3. n 2. π 2arctan n. = lim + 3.
Jednotlivé kroky při výpočtech stručně ale co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějaké tvrzení nezapomeňte ověřit splnění předpokladů. Jméno a příjmení: Skupina: Příklad 3 Celkem bodů Bodů 5 7 0
VíceDiferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy
Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy funkcí, průběh funkce) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 5. přednáška z AMA1 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz)
VíceVypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY
Vlastnosti funkcí Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Definiční obor Definiční obor funkce je množina všech čísel,
VícePříklady na konvexnost a inflexní body. Funkce f (x) = x 3 9x. Derivace jsou f (x) = 3x 2 9 a f (x) = 6x. Funkce f je konvexní na intervalu (0, )
Příklady na konvexnost a inflexní body. Funkce = x 3 9x. Derivace jsou f (x) = 3x 9 a f (x) = 6x. Funkce f je konvexní na intervalu (, ) a konkávní na intervalu (, ). Inflexní bod c =. 3 1 1 y = x 3 9x
VíceDerivace a monotónnost funkce
Derivace a monotónnost funkce Věta : Uvažujme funkci f (x), která má na intervalu I derivaci f (x). Pak platí: je-li f (x) > 0 x I, funkce f je na intervalu I rostoucí. je-li f (x) < 0 x I, funkce f je
VíceFunkce základní pojmy a vlastnosti
Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺın společného
VíceVypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY
Průběh funkce Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Průběh funkce Průběhem funkce rozumíme určení vlastností funkce
Více1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x.
1 LIMITA FUNKCE 1. 1 Definice funkce Pravidlo f, které každému z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné. Píšeme y f ( ) Někdy používáme i jiná písmena argument (nezávisle
VíceNMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 16. ledna 2009
Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, ale co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějaké tvrzení, nezapomeňte ověřit splnění předpokladů. Jméno a příjmení: Skupina: Příklad 3 5 Celkem bodů Bodů 8
VíceUniverzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta
Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z ÚVODU DO MATEMATICKÉ ANLÝZY FUNKCE 999/000 CIFRIK Funkce F a) Zadání: Vyšetřete bez užití limit a derivací funkci : y = { x } f Definice:
Více. (x + 1) 2 rostoucí v intervalech (, 1) a. ) a ( 2, + ) ; rostoucí v intervalu ( 7, 2) ; rostoucí v intervalu,
Příklad Najděte intervaly monotonie a lokální etrémy funkce f() = +. ( + ) ( rostoucí v intervalech (, ) a 7, + ) klesající v intervalu ( ), 7 5 5 v bodě = 7 5 je lokální minimum 4. Najděte intervaly monotonie
VíceKonvexnost, konkávnost
20. srpna 2007 1. f = x 3 12x 2. f = x 2 e x 3. f = x ln x Příklad 1. Určete intervaly, na kterých je funkce konvexní a konkávní a určete inflexní body f = x 3 12x Příklad 1. f = x 3 12x Řešení: Df = R
VíceCvičení 1 Elementární funkce
Cvičení Elementární funkce Příklad. Najděte definiční obor funkce f = +. + = + =, = D f =,. Příklad. Najděte definiční obor funkce f = 3. 3 3 = > 3 3 + =, 3, 3 = D f =, 3, 3. ± 3 = Příklad 3. Nalezněte
VíceDerivace funkce. existuje limita lim 0 ) xx xx0. Jestliže tato limita neexistuje nebo pokud funkce ff
Derivace funkce Derivace je základním pojmem v diferenciálním počtu. Má uplatnění tam, kde se zkoumá povaha funkčních závislostí určitých proměnných (veličin). V matematice, ekonomii, fyzice ale i v jiných
VíceNMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 4. února 2009
Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, ale co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějaké tvrzení, nezapomeňte ověřit splnění předpokladů. Jméno a příjmení: Skupina: Příklad 4 Celkem bodů Bodů 4 4
VíceAplikace derivace a průběh funkce
Aplikace derivace a průběh funkce Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného
VíceZlín, 23. října 2011
(. -. lekce) Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 3. října 0 Postup při vyšetřování průběhu funkce. Definiční obor funkce,
Více(Zavedení pojmu funkce, vlastnosti. Repetitorium z matematiky
Funkce Zavedení pojmu unkce, vlastnosti unkcí,lineární, kvadratické a mocninné unkce Repetitorium z matematik Podzim 01 Ivana Medková A Zavedení pojmu unkce V odorných a přírodovědných předmětech se často
VíceFunkce a lineární funkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce
VíceFunkce. Vlastnosti funkcí
FUNKCE Funkce zobrazení (na číselných množinách) předpis, který každému prvku z množiny M přiřazuje právě jeden prvek z množiny N zapisujeme ve tvaru y = f () značíme D( f ) Vlastnosti funkcí 1. Definiční
VíceDiferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné LOKÁLNÍ A GLOBÁLNÍ EXTRÉMY FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ LOKÁLNÍ EXTRÉMY
Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné - 4.1 - LOKÁLNÍ A GLOBÁLNÍ EXTRÉMY FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ LOKÁLNÍ EXTRÉMY Při hledání lokálních etrémů postupujeme podle následujícího programu Nalezneme
Více( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Užití derivací. x, x a, b : x x f x f x MATA P12. Funkce rostoucí a klesající: Definice rostoucí a klesající funkce
MATA P1 Užití derivací Funkce rostoucí a klesající: Deinice rostoucí a klesající unkce Funkce je rostoucí v intervalu (a,b), právě když platí: ( ) ( ) ( ), a, b : 1 1 1 Funkce je klesající v intervalu
VíceText může být postupně upravován a doplňován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na stažení souboru. Veronika Sobotíková
Tento text není samostatným studijním materiálem. Jde jen o prezentaci promítanou na přednáškách, kde k ní přidávám slovní komentář. Některé důležité části látky píšu pouze na tabuli a nejsou zde obsaženy.
VícePříklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6
Příklad 1 Vyšetřete průběh funkce: a) = b) = c) = d) =ln1+ e) =ln f) = Poznámka K vyšetřování průběhu funkce použijeme postup uvedený v zadání. Některé kroky nejsou již tak detailní, všechny by ale měly
VíceStručný přehled učiva
Stručný přehled učiva TU1M2 Matematika 2 pro LP17, LP18 4. Aplikace diferenciálního počtu 4.1 Rovnice tečny a normály Má-li funkce v bodě vlastní derivaci, pak je to směrnice tečny grafu funkce v tečném
VíceDerivace a průběh funkce příklady z písemných prací
Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací Vyšetřete průběh následuících funkcí. Příklad. = x +arctg( x ). D(f) =R.. Funkce e spoitá na R. 3. Funkce není lichá, sudá, ani periodická.. lim x ±
VícePro jakou hodnotu parametru α jsou zadané vektory kolmé? (Návod: Vektory jsou kolmé, je-li jejich skalární součin roven nule.)
Vybrané příklady ze skript J. Neustupa, S. Kračmar: Sbírka příkladů z Matematiky I I. LINEÁRNÍ ALGEBRA I.. Vektory, vektorové prostory Jsou zadány vektory u, v, w a reálná čísla α, β, γ. Vypočítejte vektor
VíceMATEMATIKA I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
Evropský polytechnický institut, s.r.o.. soukromá vysoká škola na Moravě Kunovice MATEMATIKA I. Dierenciální počet unkcí jedné proměnné RNDr. Jitka Jablonická Doc. RNDr. Daniela Hricišáková, CSc. Evropský
VíceVzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/ Anotace. Diferenciální počet VY_32_INOVACE_M0216.
Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ.1.07/1.5.00/34.0211 Zlepšení podmínek
VícePavlína Matysová. 5. listopadu 2018
Soubor řešených úloh Vyšetřování průběhu funkce Pavlína Matysová 5. listopadu 018 1 Soubor řešených úloh Tento text obsahuje 7 úloh na téma vyšetřování průběhu funkce. Každé úloha je řešena dvěma způsoby
VícePrbh funkce Jaroslav Reichl, 2006
rbh funkce Jaroslav Reichl, 6 Vyšetování prbhu funkce V tomto tetu je vzorov vyešeno nkolik úloh na vyšetení prbhu funkce. i ešení úlohy jsou využity základní vlastnosti diferenciálního potu.. ešený píklad
VíceMocninná funkce: Příklad 1
Mocninná funkce: Příklad 1 Zadání: Vyšetřete průběh mocninné funkce. Řešení: 1. Jako první si určíme definiční obor: D(f)=R. 2. Nyní si spočítáme zda je daná funkce sudá nebo lichá: Daná funkce je lichá.
VíceZáklady matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 10. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 016/017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 016/017 1 / 1 Použití derivace pro vyšetřování průběhu funkce
VíceKapitola 1: Reálné funkce 1/13
Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Číselné množiny 2/13 N = {1, 2, 3, 4,... }... přirozená čísla N 0 = N {0} = {0, 1, 2, 3, 4,... } Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4,... }... celá čísla Q = { p q p, q Z}... racionální
Vícef( x) x x 4.3. Asymptoty funkce Definice lim f( x) =, lim f( x) =, Jestliže nastane alespoň jeden z případů
3 Výklad Definice 3 Jestliže nastane alespoň jeden z případů lim =, lim =, + + lim =, lim =, kde ( D ), pak říkáme, že přímka = je asymptotou funkce f() v bodě f Jestliže lim ( k q) =, resp lim ( k q)
VíceMATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel
MATEMATIKA Příklady pro 1. ročník bakalářského studia II. část II.1. Posloupnosti reálných čísel Rozhodněte, zda posloupnost a n (n = 1, 2, 3,...) je omezená (omezená shora, omezená zdola) resp. monotónní
VíceUkázka závěrečného testu
Okruhy otázek pro závěrečný test ) Vlastnosti funkce ) Graf funkce ) Definiční obor funkce ) imita funkce ) Derivace funkce 6) Užití derivace 7) Matice 8) Řešení soustavy lineárních rovnic 9) Určitý integrál
VíceFunkce - pro třídu 1EB
Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému
Vícex 2(A), x y (A) y x (A), 2 f
II.10. Etrém funkcí Věta (nutná podmínka pro lokální etrém). Necht funkce f(, ) je diferencovatelná v bodě A. Má-li funkce f v bodě A lokální etrém, pak gradf(a) = 0. Onačme hlavní minor matice druhých
VíceObsah. Derivace funkce. Petr Hasil. L Hospitalovo pravidlo. Konvexnost, konkávnost a inflexní body Asymptoty
Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) / 46 Obsah Základní vlastnosti derivace Geometrický význam derivace Věty o střední hodnotě L Hospitalovo pravidlo 2 Etrémy Konvenost,
VíceKapitola 1: Reálné funkce 1/20
Kapitola 1: Reálné funkce 1/20 Funkce jedné proměnné 2/20 Definice: Necht M R. Jestliže každému x M je přiřazeno jistým předpisem f právě jedno y R, říkáme, že y je funkcí x. x... nezávisle proměnná (neboli
VíceMATEMATICKÁ ANALÝZA STUDIJNÍ OPORA PRO KOMBINOVANÉ
MATEMATICKÁ ANALÝZA STUDIJNÍ OPORA PRO KOMBINOVANÉ STUDIUM MATEMATICKÁ ANALÝZA RNDr. Vladimíra MÁDROVÁ, CSc., RNDr. Vratislava MOŠOVÁ, CSc., Moravská vysoká škola Olomouc, o.p.s., 8 Moravská vysoká škola
VíceMatematika I (KMI/PMATE)
Přednáška první aneb Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Úvod do matematické analýzy Osnova přednášky pojem funkce definice funkce graf funkce definiční obor funkce obor hodnot funkce
VíceLimita a spojitost LDF MENDELU
Limita a spojitost Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
VíceDERIVACE FUKNCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH
DERIVACE FUKNCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH Reálná funkce dvou proměnných a definiční obor Kartézský součin R R značíme R 2 R 2 je množina všech uspořádaných dvojic reálných čísel (rovina) Prvk R 2 jsou bod v rovině
VícePrůběh funkce II (hledání extrémů)
.. Průběh funkce II (hledání etrémů) Předpoklad: Pedagogická poznámka: Poslední příklad v běžné vučovací hodině nestíháme. Rchlost postupu je možné značně ovlivnit tím, kolik času dáte studentům na výzkumné
Více7B. Výpočet limit L Hospitalovo pravidlo
7B. Výpočet it L Hospitalovo pravidlo V prai často potřebujeme určit itu výrazů, které vzniknou operacemi nebo složením několika spojitých funkcí. Většinou pomohou pravidla typu ita součtu násobku, součinu,
VíceFunkce základní pojmy a vlastnosti
Funkce základní pojm a vlastnosti Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Pojem funkce Vlastnosti funkcí Inverzní funkce 4 Základní elementární funkce Mocninné Eponenciální Logaritmické
Více2. FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ
2. FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ Funkce 2.. Definice Říkáme, že na množině D reálných čísel je definována funkce f jedné reálné proměnné, je-li dán předpis, podle kterého je ke každému číslu x D přiřazeno právě
VícePřijímací zkouška na navazující magisterské studium 2014
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 4 Studijní program: Studijní obory: Příklad (5 bodů) Spočtěte Matematika MA, MMIB, MMFT, MSTR, NVM, PMSE, MDU Varianta A M xy dxdy, kde M = {(x, y) R
VíceNázev školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor. Matematika. Funkce. Vlastnosti funkce. Text a příklady.
Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název škol Moravské gmnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika. Funkce. Vlastnosti funkce. Tet a příklad. Ročník.
VícePrůběh funkce pomocí systému MAPLE.
Průběh funkce pomocí systému MAPLE. Vyšetřování průběhu funkce je komplení a někdy velmi obtížná úloha. V konkrétních aplikacích nás většinou zajímají jen některé otázky týkající se průběhu dané funkce.
VíceMatematika B 2. Úvodní informace
Matematika B 2 MIROSLAV KUČERA Úvodní informace Kontakt miroslav.kucera@vsfs.czvsfs.cz Studijní středisko Kladno IT oddělení 306B (kanceláře studijního oddělení) Konzultační hodiny Po Pá 8:30 15:00 možno
Více1 Množiny, výroky a číselné obory
1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou
VícePrůběh funkce pomocí systému MAPLE.
Průběh funkce pomocí systému MAPLE. Vyšetřování průběhu funkce je komplení a někdy velmi obtížná úloha. V konkrétních aplikacích nás většinou zajímají jen některé otázky týkající se průběhu dané funkce.
VíceFunkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,
VíceIV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel
Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:
Více1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU
Obsah 1. Pojmy... 2 1.1. Formule výrokového počtu... 2 1.2. Množina... 3 1.2.1. Operace s množinami... 3 1.2.2. Relace... 3 2. Číselné obory... 5 2.1. Uzavřenost množiny na operaci... 5 2.2. Rozšíření
VíceÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/1 BA06. Cvičení, zimní semestr
Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/1 BA06 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 2014 1 (1) Určete rovnici kručnice o
VíceČíselné množiny. Přirozená čísla (N) Množina všech přirozených čísel N={1,2,3 } Celá čísla (Z) Množina všech celých čísel Z={,-3,-2,-1,0,1,2,3, }
ÚVOD DO MATEMATIKY Číselné množin Přirozená čísla (N) Množina všech přirozených čísel N={1,2,3 } Celá čísla (Z) Množina všech celých čísel Z={,-3,-2,-1,0,1,2,3, } Racionální čísla (Q) Čísla která lze vjádřit
VíceDERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
Více2 Fyzikální aplikace. Předpokládejme, že f (x 0 ) existuje. Je-li f (x 0 ) vlastní, pak rovnice tečny ke grafu funkce f v bodě [x 0, f(x 0 )] je
Derivace funkce a jej geometrický význam Je dána funkce f) 3 6 + 9 + a naším úkolem je určit směrnici tečny v bodě [; f)] Pro libovolné lze směrnici sečny danou body [; f)] a [; f)] spočítat jako f) f)
VícePŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI
PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému
Více