Číselné množiny. Přirozená čísla (N) Množina všech přirozených čísel N={1,2,3 } Celá čísla (Z) Množina všech celých čísel Z={,-3,-2,-1,0,1,2,3, }

Transkript

1 ÚVOD DO MATEMATIKY

2 Číselné množin Přirozená čísla (N) Množina všech přirozených čísel N={1,2,3 } Celá čísla (Z) Množina všech celých čísel Z={,-3,-2,-1,0,1,2,3, } Racionální čísla (Q) Čísla která lze vjádřit jako zlomek ( p ) p Z a q N q Iracionální čísla (I) Čísla která nejsou racionální Reálná čísla (R) Všechn bod číselné os Komplení čísla (C) -3,-2,-1,0 1,2,3,4,..

3 Funkce jedné proměnné Množství piv Nezávislá proměnná Pojm: Nezávislá proměnná () Závislá proměnná () Velikost poprsí () Nezávislá proměnná Inteligence () Závislá proměnná Nezávislá proměnná Je přeměněna pomocí funkce Na proměnnou = f Hodnota promile Závisí na množství vpitého alkoholu = 5. Inteligence a = 2 b = f(2) = 5.2 = 10 f() 7 f() Výstup závislá proměnná Závisí na množství vpitých piv Velikost poprsí Reálná funkce f je předpis, který každému reálnému číslu z dané množin přiřazuje právě jedno reálné číslo funkční hodnota funkce f() v bodě a Je takové číslo, pro které platí b=f(a)

4 Reálná funkce f je předpis, který každému reálnému číslu z dané množin přiřazuje právě jedno reálné číslo = Velikost poprsí () Nezávislá proměnná Inteligence () Závislá proměnná

5 Definiční obor D(f) Reálná funkce f je předpis, který každému reálnému číslu z dané množin přiřazuje právě jedno reálné číslo Množina všech reálných čísel, pro něž má daný analtický výraz smsl Grafick kolmý průmět grafu funkce f na osu D(f) = (0, ) D(f) = 0, ) = = ln 0 1 0

6 = 1 D(f) =, 0 0, D(f) = R {0} Nesmí být nula ln 1 Df = (0, ) Df = 0, ) Df = (0, ) Df =, 0 0,

7 Obor hodnot H(f) Reálná funkce f je předpis, který každému reálnému číslu z dané množin přiřazuje právě jedno reálné číslo Definice Oborem hodnot funkce f() budeme rozumět množinu všech R Ke kterým eistuje alespoň jedno D f tak, že = f Tuto množinu označujeme H(f) Grafick kolmý průmět grafu funkce f na osu H(f) = (, + ) H(f) = 0, ) = = ln 0 1 0

8 Složená funkce Nebudeme si uvádět definici g = f φ [g = f φ] Vnitřní funkce Vnější funkce Složená funkce a = + 3 g = a b c = a(b c ) + 3 ln 2 b = ln g = ln( 2 ) + 3 ln 2 ln 2 c = 2 g = b c a ln g g = b c = ln c g = ln ( + 3) 2

9 Prosté funkce Definice: Funkce f jedné proměnné je prostá na množině M D(f) R Jestliže pro 1, 2 M, 1 2 platí f( 1 ) f( 2 ) Reálná funkce f je předpis, který každému reálnému číslu z dané množin přiřazuje právě jedno reálné číslo = ln 1 = 0 = ln 3 = 1,096 = ( 2) =6 = (2) =6 = ln = , platí f 1 f( 2 ) 1 2 platí f 1 = f( 2 )

10 Funkce inverzní Tvrzení: Je-li dána prostá funkce f, pak k ní eistuje právě jedna funkce (f -1 ) Která splňuje: D(f -1 )=H(f) Každému D f 1 je přiřazeno právě to D f, pro které je f = Funkci f -1 nazveme inverzní k f Máme PROSTOU funkci f s D(f) a H(f) zadanou grafem a) Pak číslu D f je přiřazena funkční hodnota =f() viz šipk Změna způsobu přiřazení (funkční předpis) Číslu H(f) je přiřazeno novým funkčním předpisem Funkční hodnota =f -1 () Obrátíme směr přiřazování f()= 0 0 =f -1 ()

11 Monotonní funkce Definice: Mějme dánu funkci f a množinu M D(f) Jestliže pro 1, 2 M, 1 < 2 platí: Rze monotonní funkce i) f( 1 ) < f( 2 ), je funkce f rostoucí na množině M ii) f( 1 ) f( 2 ), je funkce f neklesající na množině M iii) f( 1 ) > f( 2 ), je funkce f klesající na množině M iv) f( 1 ) f( 2 ), je funkce f nerostoucí na množině M Monotonní funkce 1<3 0<1,096 = ln f( 1 ) 1,096 f( 1 ) f( 2 ) 7 f( 2 )

12 Funkce sudé a liché Definice: Funkci f jedné proměnné nazýváme sudou Jestliže graf (f) je souměrný podle os Funkci f nazýváme lichou, jestliže je graf (f) souměrný podle počátku. f je sudá funkce f(-)=f() pro D(f) f je lichá funkce f(-)=-f() pro D(f) ( 3 ) = 3 ( 1 3 ) = 1 3 (-) 2 = 2 (-1) 2 = 1 2 = 2 = 3 f(-1) f(1) f() f( )

13 Funkce omezená Definice: Funkci f nazveme shora omezenou, resp. zdola omezenou na M D f Právě tehd kdž eistuje reálné číslo K takové, že platí: D f je f() K resp. D f je f() K Funkci f nazveme omezenou na množině M D f Právě tehd kdž je zdola omezená na M a zároveň je shora omezená na M

14 Polnomické funkce Polnomická funkce n-tého stupně 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛 1 𝑥 𝑛 1 + 𝑎𝑛 2 𝑥 𝑛 2 + 𝑎1 𝑥 + 0 Kde 𝑛 𝑁0 𝐷 𝑓 = 𝑅 n Název funkce Předpis funkce Graf 𝑓 𝑥 =2 n=0 konstantní f()=a0 (a0 lze zvolit i a0=0) 𝑓 𝑥 =𝑥+1 n=1 lineární f()=a1+a0 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 𝑓 𝑥 = 𝑥2 n=2 kvadratická f()=a22+a1+a0 𝑓 𝑥 = 𝑥 2

15 Eponenciální funkce a > 1 a < 1 f = a f f = e = 2

16 Logaritmické funkce a R + \1, D f = R +, H f = R f = log a Logaritmus o základu a Logaritmická funkce je inverzní k eponenciální funkci a=10 dekadický logaritmus a=e přirozený logaritmus f f = log 10 = log e = ln Logaritmické identit 2 1 log a = log a log a log a. = log a + log a log a =. log a log a = log b log b a Jakoukoliv eponenciální funkci lze převést na funkci o základu e a = e lna = a = log a