Základy matematiky pro FEK

Transkript

1 Základ matematik pro FEK 7. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 06/07 Blanka Šedivá (KMA) Základ matematik pro FEK zimní semestr 06/07 / 5

2 Jednostranné limit Definice: Vlastní limita ve vlastním bodě zprava Funkce f má v bodě 0 vlastní limitu zprava, ted lim f () = A 0 + pokud eistuje číslo A R, tak, že ε > 0 δ > 0 tak, že : ( 0, 0 + δ), 0, platí f () (A ε, A + ε) Definice: Vlastní limita ve vlastním bodě zleva Funkce f má v bodě 0 vlastní limitu zleva, ted lim f () = A 0 pokud eistuje číslo A R, tak, že ε > 0 δ > 0 tak, že : ( 0 δ, 0 ), 0, platí f () (A ε, A + ε) Jednostranné limit počítáme pouze pro vlastní bod. Blanka Šedivá (KMA) Základ matematik pro FEK zimní semestr 06/07 / 5

3 Ukázka funkcí, u nichž lim f () = A 0 + A A A A A A Blanka Šedivá (KMA) Základ matematik pro FEK zimní semestr 06/07 / 5

4 Vztah jednostranných a dvoustranných limit Věta o vztahu dvoustranné a jednostranných limit Funkce f má v bodě limitu právě tehd, kdž limita zleva se rovná limitě zprava. lim f () = lim f () = A lim f () = A Blanka Šedivá (KMA) Základ matematik pro FEK zimní semestr 06/07 4 / 5

5 Limita funkce a funkční hodnot V případech, kd jsme studovali limitní chování funkce f v okoĺı bodu 0 jsme ukázali, že funkční hodnota a limitní hodnota mohou, ale nemusí být shodné. Přitom bod, ve kterých jsou limitní hodnota a funkční hodnota funkce f shodné, jsou zajímavé, protože v těchto bodech je graf funkce nepřerušen. Matematick používáme termín, že funkce f je ve studovaném bodě spojitá. Blanka Šedivá (KMA) Základ matematik pro FEK zimní semestr 06/07 5 / 5

6 Spojitost f v bodě 0 Definice: spojitost funkce v bodě Funkce f je spojitá v bodě 0, pokud lim 0 f () = f ( 0 ). čti... řekneme, že funkce f je spojitá v (hromadném) bodě 0, pokud limita funkce f v bodě 0 je rovna funkční hodnotě v době 0... (a) O spojitosti má smsl mluvit pouze v takovém bodě, kd eistují další bod v jeho okoĺı (hromadný bod). (b) Funkce nemůže být spojitá v bodě 0, pokud limita v tomto bodě neeistuje nebo není konečná. (c) Pokud pracujeme s pojm jednostranná limita, lze definovat spojitost zleva a zprava v bodě 0 f je spojitá zprava/zleva v 0 def lim f () = f ( 0) 0 ± Blanka Šedivá (KMA) Základ matematik pro FEK zimní semestr 06/07 6 / 5

7 Ilustrace spojitosti a nespojitosti v bodě Spojitá funkce Nespojitá funkce f(0) f(0) = A = lim 0 f() A = lim 0 f() Spojitá pouze zprava Spojitá pouze zleva f(0) = lim 0+ f() lim 0+ f().5.5 lim 0 f() f(0) = lim 0 f() Blanka Šedivá (KMA) Základ matematik pro FEK zimní semestr 06/07 7 / 5

8 Lokální vlastnosti spojitých funkcí Věta o lokálních vlastnostech spojitých funkcí Necht funkce f je spojitá v bodě 0, pak (A) eistuje okoĺı bodu 0, ve kterém je funkce omezená (B) pokud f ( 0 ) 0, eistuje okoĺı, ve kterém funkce f zachovává znaménko. f(0) = A = lim 0 f() f(0) = A = lim 0 f() f(0) = A = lim 0 f() Blanka Šedivá (KMA) Základ matematik pro FEK zimní semestr 06/07 8 / 5

9 Algebraické vlastnosti spojitých funkcí a spojitost složené funkce (A) Jsou-li funkce f a g spojité v bodě 0, pak funkce f ± g, f g, f a f g, g() 0 jsou spojité v bodě 0. čti... součet spojitých funkcí je spojitá funkce... čti... součin spojitých funkcí je spojitá funkce... (B) Je-li funkce f spojitá v bodě 0 a funkce g spojitá v bodě f ( 0 ), pak funkce g(f ()) je spojitá v bodě 0. čti... složení spojitých funkcí je spojitá funkce... Blanka Šedivá (KMA) Základ matematik pro FEK zimní semestr 06/07 9 / 5

10 Bod nespojitosti V bodech nespojitosti platí lim f () f ( 0 ) 0 Klasifikace bodů nespojitosti Bod nespojitosti může být následujícího druhu: (A) Odstranitelná nespojitost, pokud jsou konečné a shodné. (B) Bod nespojitosti prvního druhu - skok, pokud lim f () jsou konečné a různé. 0+ lim f () a lim f () 0 0+ lim 0 f () a (C) Bod nespojitosti druhého druhu, pokud alespoň jedna z limit lim f () a lim f () je nekonečná nebo neeistuje Blanka Šedivá (KMA) Základ matematik pro FEK zimní semestr 06/07 0 / 5

11 Ilustrace bodů nespojitosti Odstranitelná nespojitost Nespojitost I.druhu - skok Nespojitost II. druhu 4 0 Blanka Šedivá (KMA) Základ matematik pro FEK zimní semestr 06/07 / 5

12 Spojitost funkce na uzavřeném intervalu I = a; b Definice funkce spojité na intervalu Funkce f je spojitá na uzavřeném intervalu I = a; b, právě tehd kdž je spojitá v každém vnitřním bodě intervalu a v krajních bodech je spojitá zleva resp. zprava. spojitá na a; b spojitá na (a; b) 4 a b 4 a b Blanka Šedivá (KMA) Základ matematik pro FEK zimní semestr 06/07 / 5

13 Globální vlastnosti spojitých funkcí Věta o kořenu spojité funkce Necht funkce f je spojitá na intervalu a; b a platí f (a) f (b) < 0, pak eistuje bod c a; b takový, že f (c) = 0. Důsledek: (Řešitelnost nelineárních rovnic) Necht funkce f je spojitá a; b a necht f (a) f (b), pak pro libovolné 0 f (a); f (b), eistuje alespoň jedno 0 takové, že 0 = f ( 0 ). Weierstrassova věta Je-li funkce f spojitá na intervalu a; b, pak je funkce f na tomto intervalu omezená. POZOR: Implikace naopak neplatí. Funkce omezená na intervalu nemusí být spojitá na intervalu. Blanka Šedivá (KMA) Základ matematik pro FEK zimní semestr 06/07 / 5

14 Ilustrace vět o kořenu spojité funkce 4 5 a b a Blanka Šedivá (KMA) Základ matematik pro FEK zimní semestr 06/07 4 / 5

15 Globální vlastnosti spojitých funkcí (A) Je-li funkce f spojitá na intervalu a; b, pak je f ( a; b ) opět interval nebo jednobodová množina. (B) Je-li f ostře monotónní na intervalu I a f (I ) je opět interval, pak f je spojitá. (C) Je-li f spojitá a prostá na intervalu I, pak eistuje funkce inverzní a je také spojitá na f (I ). Blanka Šedivá (KMA) Základ matematik pro FEK zimní semestr 06/07 5 / 5