54. roční Matematicé olympiády Úlohy domácího ola ategorie 1. Určete všechny dvojice (a, b) reálných čísel, pro teré má aždá rovnic x + ax + b 0, x + (a + 1)x + b + 1 0 dva růné reálné ořeny, přičemž ořeny druhé rovnice jsou převrácené hodnoty ořenů první rovnice. Řešení. Nechť x 1, x jsou ořeny první rovnice. Potom x 1 + x a, x 1 x b, a protože druhá rovnice má ořeny 1/x 1 a 1/x, platí 1 x 1 + 1 x (a + 1), 1 1 b + 1. x 1 x Je tedy 1 b b + 1, což vede na vadraticou rovnici b + b 1 0, terá má ořeny b 1 a b 1. Pro b 1 máme (a + 1) 1 x 1 + 1 x x 1 + x x 1 x a 1, což je pro nenámou a lineární rovnice s řešením a 1 3. Obdobně pro b 1 dostáváme (a + 1) a, tato rovnice vša nemá řešení. Zoušou (je třeba ověřit, že ořeny jsou reálné) se přesvědčíme, že dvojice a 1 3, b 1 je (jediným) řešením úlohy. 1. Zjistěte, pro teré hodnoty parametru a má rovnice x + 3ax + 16a 0 dva růné ořeny, e terých jeden je druhou mocninou druhého. [a 4, a 4 7. Návod: Z rovnic x 1 + x 1 3a, x 1 x 1 16a plyne x 1 x 1 +1 16 3.]. Zjistěte, pro teré hodnoty parametrů a, b má rovnice x (a + 3)x + b 0 dva růné ořeny, teré jsou druhými mocninami ořenů rovnice x (a + 3)x + b 0. [(a, b) ( 1, 0) a (a, b) ( 3, 1)] 3. Zjistěte, pro teré hodnoty parametrů a, b má rovnice x +bx+b 0 dva růné ořeny, přičemž aždý nich je o 1 větší než ořen rovnice x + ax + b 0. [(a, b) ( 1, 3)] 1
. Je dán rovnoběžní AD. Příma vedená bodem D protíná úseču A v bodě G, úseču v bodě F a polopřímu A v bodě E ta, že trojúhelníy EF a GF mají stejný obsah. Určete poměr AG : G. Řešení. Z obr. 1 je vidět, že trojúhelníy AGD a GF jsou podobné podle věty D b x G y F A a Obr. 1 E uu. Příslušný poměr podobnosti je roven hledanému poměru AG : G. Onačíme-li proto b AD, x DG a y G, platí GF x/ a F b/, odud F F b b ( 1) b a DF DG + GF x + x ( + 1)x. Z podobnosti trojúhelníů EF DF dostáváme EF DF F F 1 x. Z rovnosti obsahů trojúhelníů EF a GF vyplývá odud po dosaení vyjde F F E F F G, 1 b 1 x b x. Je tedy 3 + 1 1, a protože 0, dostáváme pro hledané vadraticou rovnici 1 0. Úloe vyhovuje její ladný ořen 1 ( 1 + 5 ). Jiné řešení. Onačme AG, G y. Protože trojúhelníy EF a GF mají stejný obsah, mají stejný obsah i trojúhelníy GE a G. Proto platí E G. Z podobnosti trojúhelníů AG AE, DF EF, F E F G a AE AG postupně plyne y AG G A E D E F F E G A AG + y.
Z výsledné rovnosti /y 1 + y/ dostáváme ( y ) y 1 0, a protože /y > 0, je y 1 + 5. 1. Onačme P průsečí úhlopříče onvexního čtyřúhelníu AD. Doažte, že trojúhelníy AP D a P mají stejný obsah, právě dyž A D.. Onačme P průsečí úhlopříče onvexního čtyřúhelníu AD a K, L průsečíy přímy vedené bodem P rovnoběžně se stranou A. Doažte, že rovnost KP P L platí, právě dyž A D. 3. Na stole leží hromáde o 1,, 3,..., amenech, de 3. V aždém rou vybereme tři libovolné hromády na stole, sloučíme je do jedné a přidáme ní jeden ámen, terý na stole dosud neležel. Jestliže po něolia rocích vnine jediná hromáda, není výsledný počet amenů dělitelný třemi. Doažte. Řešení. V aždém rou se počet hromáde menší o dvě. Aby vnila jedna hromáda, musí být na ačátu lichý počet hromáde, tedy m + 1. Na menšení počtu hromáde o m je třeba m roů. Při aždém přibude jeden amen, a proto je výsledný počet amenů p 1 + + 3 +... + (m + 1) + m (m + 1)(m + ) + m m + 4m + 1. Číslo m má jeden e tvarů m 3n, m 3n + 1, m 3n +. V prvním případě je p 18n + 1n + 1 3(6n + n) + 1, ve druhém 18n + 4n + 7 3(6n + 8n + ) + 1 a ve třetím p 18n + 36n + 17 3(6n + 1n + 5) +. Žádné těchto čísel není dělitelné třemi. Ponáma. Stačí ověřit, že p není dělitelné třemi pro m 0, m 1 a m [návodná úloha 1]. 1. Nechť p je polynom s celočíselnými oeficienty, n je celé a přiroené číslo. Doažte, že čísla p(n + ) a p(n) dávají při dělení číslem stejný byte.. Nechť n je celé číslo. Doažte, že číslo n 3 + n + 1 není dělitelné sedmi. 3. Na stole leží hromáde o 1,, 3,..., amenech, 5. V aždém rou vybereme 4 libovolné hromády, sloučíme je do jedné a ještě ní přidáme jeden amen jaéoliv další hromády. Určete všechna, pro terá po onečném počtu roů může vninout jediná hromáda. [ {5, 8, 11, 1, 14, 15, 17, 18} a všechna 0.] 3
4. Onačme V průsečí výše a S střed ružnice opsané trojúhelníu A, terý není rovnostranný. Poud má úhel při vrcholu veliost 60, je osa úhlu A osou úsečy VS. Doažte. Řešení. Nechť napřílad A <. Předpoládejme nejprve, že trojúhel ní A je ostroúhlý. Onačme D střed strany a P patu výšy vrcholu na stranu A (obr. ). Platí P cos 60 1 D, P V DS 90, V P A SD (obvodový úhel a polovina středového). Ze shod nosti trojúhelníů P V a DS vyplývá V S, P V DS. Trojúhel ní V S je tedy rovnoramenný, a osa úhlu A je ta i osou úhlu V S a současně osou strany V S. Je-li trojúhelní A pravoúhlý (obr. 3), je trojúhelní V S rovnostranný a osa úhlu V S je i osou strany V S. Je-li trojúhelní A tupoúhlý, doážeme tvrení úlohy stejně jao v případě os troúhlého trojúhelníu s tím rodílem, že bude V P SD 180 A. P V S D S A Obr. V A Obr. 3 1. Onačme V průsečí výše a S střed ružnice opsané trojúhelníu A. Vypočítejte veliost úhlu A, jestliže platí V S.. Nechť V je průsečí výše trojúhelníu A. Doažte, že body souměrně sdružené s bodem V podle stran trojúhelníu A leží na ružnici opsané tomuto trojúhelníu. 5. V oboru reálných čísel řešte rovnici x x + 4 5 x 7 7 x 5, de x onačuje největší celé číslo, jež nepřevyšuje číslo x (tv. dolní celou část reálného čísla x). Řešení. Každé reálné číslo x můžeme apsat ve tvaru x x + {x}, de x je celá část a {x} tv. lomová část čísla x. Zřejmě platí 0 {x} < 1, přičemž {x} 0, právě dyž x je celé. Odtud vyplývá, že x x < x + 1, přičemž rovnost x x platí, právě dyž x je celé; tyto nerovnosti často používáme při řešení úloh s celou částí. Onačíme-li x, dostaneme dané rovnice po odstranění lomu a ronásobení 7x 5x 5x + 0 7x 8 4
a odtud Protože x, musí platit x 10 14 + 1. (1) 10 14 + 1 Každou nerovnic vyřešíme samostatně: < + 1. ( + 1) (10 14) 0 + 1 0 < ( + 1) (10 14) + 1 ( 7)( ), + 1 (, 1), 7 ; ( 3)( 5), + 1 ( 1, 3) (5, ). Protože je celé, máme {, 6, 7}. Rovnice má tedy tři řešení, terá dostaneme dosaením do vtahu (1): x 1, x 46 7, x 3 7. Něteré další vlastnosti celé části: Je-li celé, je x + x +. Je-li {x} + {y} < 1, platí x + y x + y ; je-li {x} + {y} 1, platí x + y x + y + 1. Nechť je přiroené číslo, > 1. Ke aždému reálnému číslu x existuje právě jedno i {1,,..., } taové, že {x} i 1, i ). Potom x + i 1 x < x + i, a proto x x + i 1. 1. Vyřešte rovnici x + x + 1 x +. [x 1]. Vyřešte rovnici x x + 1. [x { 1, 1}] 3. Vyřešte rovnici x + x 4x 1. [x { 1 4, 1 4, 1, 1}] 4. Vyřešte soustavu rovnic x y + 1 3, y 3x 1. [x 1 6, y 3 ] 6. Do ružnice o poloměru r jsou vepsány dvě ružnice 1, o poloměru 1 r, jež se vájemně dotýají. Kružnice l se vně dotýá ružnic 1, a s ružnicí má vnitřní doty. Kružnice m má vnější doty s ružnicemi a l a vnitřní doty s ružnicí. Vypočtěte poloměry ružnic l a m. Řešení. Onačme S, A,,, D středy ružnic, 1,, l, m a x, y poloměry ružnic l a m. od leží na přímce, terá procháí bodem S a je olmá na A (obr. 4). Z pravoúhlého trojúhelníu S máme podle Pythagorovy věty + x ) ) + (r x) a odtud x 1 3r. Onačme P, Q paty olmic bodu D na přímy A a S a u SP, v SQ. Jestliže u 1 r, je P D pravoúhlý trojúhelní a podle Pythagorovy věty ) ( + y v + u ) r. (1) 5
Tato rovnice platí i v případě u 1 r. l D m A S 1 Obr. 4 Podobně pravoúhlého trojúhelníu QD (jestliže Q ) anebo porovnáním protilehlých stran obdélníu (jestliže Q ) dostaneme ) ( 3 + y u + v r ). () 3 Navíc pravoúhlého trojúhelníu SP D máme (r y) u + v. (3) Odečtením rovnic (3) a () dostaneme 4 3 r 8 3 ry 4 3vr, tedy v r y. Podobně odečtením rovnic (3) a (1) vyjde r 3ry ur a odtud u r 3y. Dosaením do (3) a úpravou postupně dostaneme (r y) (r 3y) + (r y), r 8ry + 1y 0, (r 6y)(r y) 0. Odtud plyne, že y 1 r nebo y 1 6 r. Poloměr 1 r má ružnice 1, poloměr 1 6 r ruž nice m náorněná na obr. 4. Každá těchto dvou ružnic se dotýá ružnic, a l požadovaným působem. 1. Kružnice o poloměru 1 se dotýá evnitř ružnice 1 o poloměru 1. Příma p procháí středy ružnic 1 a. Vypočítejte poloměr ružnice, terá se dotýá přímy p a obou dvou ružnic 1 a. [ 4 9 ]. Každá ružnic 1,, 3 se dotýá vně dvou bývajících. Kružnice 1 a mají stejný poloměr r, ružnice 3 má poloměr 8 5 r. Všechny ružnice 1,, 3 mají vnitřní doty s ružnicí o poloměru 1. Vypočtěte poloměr r. [ 3 8 ] 3. Každá ružnic 1,, 3 se dotýá vně dvou bývajících. Kružnice 1 má poloměr 1, ružnice má poloměr a ružnice 3 má poloměr 3. Vypočítejte poloměry ružnic, teré se dotýají všech třech ružnic 1,, 3. [ 6 3 a 6] 6