y Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy

Transkript

1 36 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY 2. STUPNĚ y 1 2 Obráek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy Věta: Je-li definována průměrová rovina sdružená s asymptotickým směrem, potom je s tímto směrem rovnoběžná. Důka: Je-li asymptotický směr dán vektorem u =(u, v, w), potom pro normálový vektor průměrové roviny sdružené se směrem u (a 11 u + a 12 v + a 13 w) +(a 21 u + a 22 v + a 23 w)y +(a 31 u + a 32 v + a 33 w)+ a 41 u + a 42 v + a 43 w = (1.8) podle (1.11) platí (a 11 u + a 12 v + a 13 w)u +(a 21 u + a 22 v + a 23 w)v +(a 31 u + a 32 v + a 33 w)w = a 11 u 2 + a 22 v 2 + a 33 w 2 +2a 12 uv +2a 13 uw +2a 23 vw =. (1.81) Ze vtahu (1.81) plyne, že průměrová rovina (1.8) je rovnoběžná s asymptotickým směrem u. Věta je dokáána. 1.1 Hlavní směry Uvažujme kvadriku a a 22 y 2 +a a 12 y+2a 13 +2a 23 y+2a 14 +2a 24 y+2a 34 +a 44 = (1.82) Ke každému neasymptotickému směru u =(u, v, w) kvadriky (1.82) umíme podle předchoí kapitoly přiřadit průměrovou rovinu, sdruženou s tímto směrem. Rovnice této roviny je (a 11 u + a 12 v + a 13 w) +(a 21 u + a 22 v + a 23 w)y +(a 31 u + a 32 v + a 33 w)+ a 41 u + a 42 v + a 43 w =. (1.83)

2 1.1. HLAVNÍ SMĚRY 37 Naší snahou nyní bude najít takový směr u, který bude kolmý na průměrovou rovinu (1.83) sdruženou s tímto směrem. Takový směr naveme směrem hlavním. Nejprve definice: Definice: Směr, který je kolmý k průměrové rovině s ním sdružené, se naývá hlavní směr kvadriky. Příklad: Hlavní směry a hlavní roviny kvadriky 2 +4y =. 5 y 5 1 Obráek 1.27: Hlavní směr u =(1,, ) 1 5 y 5 1 Obráek 1.28: Hlavní směr u =(, 1, ) 1

3 38 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY 2. STUPNĚ 1 1 y 5 1 Obráek 1.29: Hlavní směr u =(,, 1) 1 1 y 5 1 Obráek 1.3: Hlavní roviny kvadriky 2 +4y = Při hledání hlavních směrů kvadriky si uvědomíme, že normálový vektor n průměrové roviny (1.83) má souřadnice n =(a 11 u + a 12 v + a 13 w, a 21 u + a 22 v + a 23 w, a 31 u + a 32 v + a 33 w). (1.84) Vektor u je kolmý na rovinu (1.83) právě když u je kolineární s jejím normálovým vektorem n. To nastane právě když eistuje reálné číslo λ tak, že

4 1.1. HLAVNÍ SMĚRY 39 platí n = λu. (1.85) Roepsáním vtahu (1.85) do souřadnic dostaneme soustavu rovnic a 11 u + a 12 v + a 13 w = λu a 21 u + a 22 v + a 23 w = λv a 31 u + a 32 v + a 33 w = λw, (1.86) kterou upravíme na tvar (a 11 λ)u + a 12 v + a 13 w = a 21 u +(a 22 λ)v + a 23 w = a 31 u + a 32 v +(a 33 λ)w =. (1.87) Soustava (1.87) je homogenní soustava tří lineárních rovnic o nenámých u, v, w. Jak námo lineární algebry, tato soustava má netriviální řešení právě když je determinant soustavy roven nule, tj. platí a 11 λ a 12 a 13 a 21 a 22 λ a 23 a 31 a 32 a 33 λ =. (1.88) Definice: Rovnice (1.88) se naývá charakteristická rovnice kvadriky. Charakteristickou rovnici (1.88) roepíšeme do tvaru λ 3 I 1 λ 2 + I 2 λ A 44 =, (1.89) kde jsme onačili I 1 = a 11 + a 22 + a 33, (1.9) I 2 = a 11 a 12 a 21 a 22 + a 11 a 13 a 31 a 33 + a 22 a 23 a 32 a 33. (1.91) Koeficienty I 1,I 2 a A 44 v rovnici (1.89) jsou ortogonální invarianty. To namená, že se při otočení a posunutí kartéské soustavy souřadnic jejich hodnota nemění. Odtud plyne, že ortogonálním invariantem je celá charakteristická rovnice (1.88). Kořeny charakteristické rovnice se tedy při měně kartéské soustavy souřadnic nemění. Obdobně je ortogonálním invariantem determinant a 11 a 12 a 13 a 14 =det a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34 (1.92) a 41 a 42 a 43 a 44 matice kvadriky (1.82). Determinant se také naývá diskriminant kvadriky. Charakteristická rovnice (1.88) je kubická rovnice s nenámou λ, jak plyne

5 4 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY 2. STUPNĚ roepsaného tvaru (1.89). Kořeny charakteristické rovnice naýváme vlastní čísla. Vlastním číslům odpovídají vlastní vektory. Při hledání hlavních směrů kvadriky (1.82) budeme postupovat následujícím působem. Nejprve určíme kořeny λ 1,λ 2,λ 3 charakteristické rovnice (1.89). Každému vlastnímu číslu λ i odpovídá vlastní vektor u i, který vypočítáme e soustavy (1.87), když a λ dosadíme λ i. Stačí nám k tomu nejvýše dvě rovnice (1.87), protože všechny tři rovnice jsou lineárně ávislé, jak plyne podmínky (1.88). Vlastní vektory jsou hledané hlavní směry kvadriky. Při výpočtu vlastních čísel a vlastních vektorů využijeme následující vlastnosti charakteristické rovnice kvadriky (1.89): Věta: 1) Charakteristická rovnice (1.89) je ortogonální invariant. 2) Rovnice (1.89) má všechny tři kořeny reálné. 3) Třem růným vlastním číslům odpovídají tři navájem kolmé vlastní vektory. 4) Vlastnímu číslu odpovídá asymptotický směr kvadriky. Důka: Ad 1) Rovnici (1.88) le napsat ve tvaru A λi =, (1.93) kde A je matice a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 (1.94) a I je jednotková matice 3 3. Je-li T ortogonální matice potom podle věty o násobení determinantů TAT 1 λi = T (A λi)t 1 = A λi. Tvrení je dokááno. Ad 2) Jak námo, kubická rovnice (1.89) má vždy alespoň jeden reálný kořen, který onačíme λ 1. Číslu λ 1 odpovídá vlastní vektor u 1. Zvolme kartéskou soustavu souřadnic tak, aby osa náležela směru u 1. Potom můžeme položit u 1 =(1,, ). Soustava (1.87), které vyhovují souřadnice vektoru u 1 =(1,, ), má nyní tvar (a 11 λ 1 ) 1+a 12 +a 13 = a 21 1+(a 22 λ 1 ) +a 23 = a 31 1+a 32 +(a 33 λ 1 ) =. (1.95)

6 1.1. HLAVNÍ SMĚRY 41 Odtud dostáváme λ 1 = a 11,a 21 =,a 31 =. Po dosaení do charakteristické rovnice (1.88) obdržíme rovnici λ 1 λ a 22 λ a 23 a 32 a 33 λ =, (1.96) kterou upravíme na tvar ( λ1 λ ) a 22 λ a 23 a 32 a 33 λ =. (1.97) Rovnice (1.97) má kromě reálného kořene λ 1 ještě další dva kořeny dané rovnicí a 22 λ a 23 a 33 λ = λ2 λ(a 22 + a 33 )+a 22 a 33 a 2 23 =. (1.98) a 32 Diskriminant rovnice (1.98) le napsat jako součet čtverců (a 22 + a 33 ) 2 4(a 22 a 33 a 2 23) (a 22 a 33 ) 2 +4a Odtud plyne, že diskriminant je větší nebo roven nule. Kvadratická rovnice (1.98) a tedy i charakteristická rovnice kvadriky (1.89) mají reálné kořeny. Ad 3) Vlastnímu číslu λ 1 jsme přiřadili vlastní vektor u 1 =(1,, ). Soustava (1.87) má potom, jak jsme viděli v předchoí části, tvar (λ 1 λ)u = (a 22 λ)v + a 23 w = a 32 v +(a 33 λ)w =. (1.99) Dosaením vlastního čísla λ 2 λ 1 a λ do (1.95) dostaneme soustavu (λ 1 λ 2 )u = (a 22 λ 2 )v + a 23 w = a 32 v +(a 33 λ 2 )w =, (1.1) Nechť vektor u 2 = (, 1, ) je řešením soustavy (1.1). Potom dosaením souřadnic do (1.1) (λ 1 λ 2 ) = (a 22 λ 2 ) 1+a 23 = a 32 1+(a 33 λ 2 ) =, (1.11) dostaneme podmínky λ 2 = a 22,a 32 =.

7 42 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY 2. STUPNĚ Soustava (1.87) má potom tvar (λ 1 λ)u = (λ 2 λ)v = (a 33 λ)w =. (1.12) Dosadíme-li do rovnice (1.12) a λ hodnotu λ 3 λ 1 λ 2, potom pro vektor u 3 =(,, 1) dostaneme λ 3 = a 33. Ukáali jsme, že k navájem růným vlastním číslům λ 1 λ 2 λ 3, eistují tři vájemně kolmé vlastní vektory u 1 =(1,, ), u 2 =(, 1, ), u 3 =(,, 1). Ad 4) Jestliže λ =, potom dosaením do soustavy (1.87) dostaneme a 11 u + a 12 v + a 13 w = a 21 u + a 22 v + a 23 w = a 31 u + a 32 v + a 33 w =. (1.13) Odtud a 11 u 2 + a 22 v 2 + a 33 w 2 +2a 12 uv +2a 13 uw +2a 23 vw = u(a 11 u + a 12 v + a 13 w)+ v(a 21 u + a 22 v + a 23 w)+(a 31 u + a 32 v + a 33 w)= asměrdanývektorem(u, v, w) je podle (1.11) asymptotický. Definice: Průměrová rovina, která je kolmá ke směru, se kterým je sdružená (hlavnísměr), senaýváhlavní rovina kvadriky. Osa kvadriky je průsečnice dvou hlavních rovin (pokud eistují). Průsečík kvadriky s její osou se naývá vrchol kvadriky Transformace soustavy souřadnic v E 3 Uvažujme kvadriku, jejíž rovnice v nějaké kartéské soustavě souřadnic je a a 22 y 2 +a a 12 y+2a 13 +2a 23 y+2a 14 +2a 24 y+2a 34 +a 44 =. (1.14) Budeme koumat rovnici kvadriky (1.14) při měně kartéské soustavy souřadnic na jinou kartéskou soustavu souřadnic. Nechť kartéská soustava souřadnic (k. s. s.) je dána počátkem P a uspořádanou trojicí vájemně ortogonálních jednotkových vektorů e 1, e 2, e 3. Nechť souřadnice libovolného bodu X vprostorue 3 vtétok.s.s.jsou, y, tj. X =[, y, ]. V jiné k. s. s., která je dána stejným počátkem P a uspořádanou trojicí vájemně ortogonálních jednotkových vektorů e 1, e 2, e 3, má tentýž bod X souřadnice X =[,y, ]. Jak námo, vtah mei nečárkovanými a čárkova-