Transportní procesy Učební text Milan Hokr 23. září 2005 Fakulta mechatroniky a mezioborových inženýrských studií Technická univerzita v Liberci
OBSAH Předmluva...................................... 4 1. Úvod: fyzikální a matematický charakter konvekčně-difuzních procesů. 5 2. Transportníprocesyjakozákonyzachovánívefyzice............ 7 2.1 Vyjádřenízákladníchtransportníchprocesů...... 8 2.2 Konvekčníadifuznítoky odvození.......... 9 2.3 Převodtransportníchrovnicdobezrozměrnéformy........... 10 2.4 Okrajovépodmínkyproúlohytransportu........ 11 2.5 Cvičení: Řešení jednoduchých úloh integrálními transformacemi.... 12 2.5.1 Označeníadůležitévztahy............ 12 2.5.2 Difuznírovnice(vedenítepla)v1Dnekonečnéoblasti...... 13 2.5.3 Difuznírovnicevpolonekonečnéoblasti..... 16 3. Numerickémetodyprokonvekčně-difuznírovnici.............. 18 3.1 Analytickářešenízaspeciálníchpodmínek...... 19 3.1.1 Rovnicekonvekce...... 19 3.1.2 Rovnicekonvekce-difuze............. 19 3.2 Metodakonečnýchdiferencí... 20 3.2.1 Základnícharakteristika............. 20 3.2.2 Diferenčnívzorceaschémata.......... 21 3.2.3 Numerické vlastnosti konzistence, stabilita, konvergence.... 23 3.2.4 VonNeumannovametodavyšetřovánístability......... 26 3.3 VlastnostischématMKDprokonvekčně-difuznírovnici........ 27 3.3.1 Vlastnostijednoduchýchexplicitníchschémat.......... 27 3.3.2 Implicitníschémata..... 32 3.3.3 Obecnéparametrickéschéma........... 33 3.3.4 Parametrizacepomocí umělé difuze...... 34 3.4 Formulace metody konečných prvků pro konvekčně-difuzní rovnici... 36 3.4.1 Variačníformulaceametodakonečnýchprvků.......... 36 3.4.2 Diskrétníformulacev1Dslineárnímibázovýmifunkcemi.... 37 3.4.3 Petrov-Galerikovametoda upwinding..... 38
Obsah 3 3.5 Metodarozkladuoperátoru.... 39 3.6 Cvičení:VýpočetpodmínekstabilityFourierovoumetodou...... 42 3.6.1 Centrálníschémaprokonvekčnírovnici.... 42 3.6.2 Upwindschémaprokonvekčnírovnici..... 42 3.6.3 Centrálníschémaprodifuznírovnici...... 44 3.6.4 Upwindschémaprokonvekčně-difuznírovnici......... 44 3.6.5 Centrálníschémaprokonvekčně-difuznírovnici......... 45 3.7 Cvičení:Demonstračnínumerickévýpočty...... 46 3.7.1 Rovnicekonvekce...... 47 3.7.2 Konvekčně-difuznírovnice........... 48 3.7.3 PoužitíinteraktivníhoprogramuJBONE.... 49 4. Transportníprocesyvporéznímprostředí.................. 53 4.1 Definicespojitéhopopisuporézníhoprostředí..... 53 4.2 Prouděníkapalinyvporéznímprostředí........ 54 4.2.1 Darcyhoexperimentazákladníveličiny.... 54 4.2.2 Darcyhozákonve3D.... 55 4.2.3 Rovnicebilancehmoty... 56 4.2.4 Okrajovéapočátečnípodmínky........ 57 4.3 Transportrozpuštěnýchlátek... 58 4.3.1 Advekceadisperze..... 59 4.3.2 Počátečníaokrajovépodmínky........ 61 4.3.3 Sorpce............ 62 4.3.4 Vlivchemickýchadalšíchreakcí........ 66 4.4 Motivace:aplikacemodelůnaúlohypodzemníhoproudění...... 66 5. Nelineárníavícerozměrnétransportníúlohy................. 73 5.1 EulerovyaNavier-Stokesovyrovnicevkonzervativnímtvaru...... 74 5.2 Převodsystémurovnicna kanonický tvar...... 75 5.3 Nalezenířešenírovnicepomocícharakteristik...... 77 5.3.1 Rázovávlna......... 77 5.4 Modeldopravníhoproudu..... 79 5.5 Příkladyúpravysystémurovnicnakanonickýtvar... 84 5.5.1 Vlnovárovnice....... 84 5.5.2 Rovnicemělkévody..... 86 5.6 Konvekčně-reakčně-difuznírovnice............ 87 Doporučenáliteratura................................ 89
PŘEDMLUVA Tentodokumentsloužíjakostudijnímateriálpropředmět Transportníprocesy na Fakultě mechatroniky a mezioborových inženýrských studií Technické univerzity v Liberci. Učební text byl průbežně doplňován během prvních let výuky předmětu a zatím existuje jen v elektronické verzi, která je k dispozici ke stažení na stránkách Katedry modelování procesů. V současné době text pokrývá zhruba 90% probírané látky. Autor uvítá jakékoli připomínky a náměty k doplnění textu.
Kapitola 1 ÚVOD: FYZIKÁLNÍ A MATEMATICKÝ CHARAKTER KONVEKČNĚ-DIFUZNÍCH PROCESŮ Spojujícím tématem jednotlivých kapitol a nosným tématem předmětu jsou tzv. konvekčnědifuzní procesy. Typickými příklady jsou transport rozpuštěné látky nebo tepla v pohybující se kapalině a proudění viskózní tekutiny. S určitou mírou abstrakce lze tyto procesy vyjádřit jednotně tzv. konvekčně-difuzní rovnicí u t (D u)+ (vu)=0 (1.1) což je parciální diferenciální rovnice 2.řádu(u(x, t) je neznámá, D a v jsou parametry). Náplní předmětu(a obsahem tohoto dokumentu) jsou odvození a popis rovnice pro různé fyzikální případy, její zobecnění na složitější jevy a matematické metody řešení (analytické a numerické). Mezi parciálními diferenciálními rovnicemi(pdr) jde o důležitou speciální třidu úloh vyjadřují konkrétní úlohy reálné praxe a jejich numerické řešení vyžaduje speciální techniky. Příčina obtíží je v přítomnosti dvou procesů odlišného fyzikálního a matematického charakteru konvekce a difuze, první popsaný hyperbolickou PDR 1. řádu, druhý popsaný parabolickou PDR 2. řádu. Rozdílný charakter obou procesů a vlastnosti řešení řídící rovnice si můžeme snadno demonstrovat na jednoduché úloze transportu rozpuštěné látky v proudící vodě v 1D. Mechanismus tohoto procesu si přirozeně představíme tak, že látka je unášena spolu s proudící vodou(tzv. konvekce, funkce popisující rozložení látky v prostoru se jen posouvá včase)azároveňdocházíkpřenosulátkyzmístsvyššíkoncentracído míst s nižší koncentrací(tzv. difuze, funkce popisující rozložení látky v prostoru se rozmazává,snižujesestrmostamaximaaminimasepřibližují). Každému z procesů odpovídá jeden ze členů rovnice(1.1), samostná konvekce je popsána u u (vu)=0(hyperbolická1.řádu),samotnádifuze (D u)=0 t t (parabolická 2.řádu). Poznamenáme i rozdíl z pohledu termodynamického: konvekce jeprocesvratný(rovnicemásmyslipoobrácenísměrutokučasu),difuzejeproces
Kapitola 1. Úvod: fyzikální a matematický charakter konvekčně-difuzních procesů 6 nevratný(rovnicepoobrácenísměručasu,ev.znaménkakoeficientu Dnení rozumná nelze formulovat korektně definovanou úlohu). Numerické řešení se stává obtížné v případě, kdy konvekce je dominantní nad difuzí, cožsevyjadřujebezrozměrnýmpécletovýmčíslempe= vl,kde Ljecharakteristický D rozměr úlohy(v metrech). Velké Pe znamená významnější konvekci, malé Pe významnější difuzi. Typickými nežádoucími jevy při numerickém výpočtu jsou nefyzikální oscilace a tzv. numerické difuze(ve výsledku nuemrického řešení se projevuje větší difuze než jaká odpovídá koeficientu v rovnici). Další komplikované situace jsou spojeny s nelineárními členy v rovnici tj. pokud např. materiálové koeficienty závisí na neznámé veličině. V některých případech je chovánířešeníkvalitativněodlišnéatojenutnovzítvúvahupřiformulaciproblémuipři numerickém výpočtu.
Kapitola 2 TRANSPORTNÍ PROCESY JAKO ZÁKONY ZACHOVÁNÍ VE FYZICE Transportním procesem rozumíme děj, při kterém dochází k přesunu a transformaci nějakéveličinyvprostoruačase.běžnýmipřípadyjsoupřenos 1 tepla(vedenítepla, pohyb kapaliny s nehomogenní teplotou) transportovanou veličinou je teplota a šíření rozpuštěné látky(difuze, konvekce) transportovanou veličinou je koncentrace látky v kapalině. V závislosti na řídícím fyzikálním mechanismu se popis procesu bude lišit, ale vždy je založen na vyjádření bilance transportované veličiny v určitém místě prostoru. Rovnice bilance má pro každý typ procesu obdobný tvar, ale obecně může být různá pohybová rovnice(tj. závislost toku veličiny na jejím rozložení v prostoru) ta už je daná konkrétním typem procesu(konvekce, difuze,...). Jednotně můžeme vyjádřit bilanciveličiny Xtakto 2 : akumulace Xve V dt =přítok Xdo V odtok Xz V+produkce Xve V (2.1) přičemžrozměrrovnicejex/s.prohustotutokuveličiny X zavedemeoznačeníφ X (rozměrx/m 2 /s).níževyjádřímebilancivpřesnématematickéformě(integrálnía diferenciální),transportovanouveličinu Xvyjádřímeveforměobjemovéhustoty X V (jednotkax/m 3 ). pøítok X objem V odtok 1 Termínpřenosbybylplněčeskýekvivalenttermínutransport,vestaršíliteratuřesepoužívá označení přenosovéprocesy/jevy. 2 Označení Xbudepoužitoproveličinusamotnouijejíjednotku,významjevšakvždyzesouvislosti zřejmý. Důvodem je přizpůsobení značení použitého dle[2] ostatnímu textu.
Kapitola 2. Transportní procesy jako zákony zachování ve fyzice 8 2.1 Vyjádření základních transportních procesů Ukážeme, jak jednoduché procesy transportu odpovídají základním zákonům zachování ve fyzice(zz hmoty, energie a hybnosti) a lze je popsat strukturálně identickými matematickýmivztahy(pohybovérovniceakoeficienty).všechnyvztahyjsou difuzního charakteru tok veličiny je úměrný gradientu veličiny Φ X =konst X V x. (2.2) přičemžrozměrkonstantyjem 2 /s. Vztahy po řadě popisují transport rozpuštěné látky(vyjádřený koncentrací: hmotnost/objem), transport tepla(vyjádřeno hustotou energie: energie/objem, přičemž jako stavovou veličinu lze energii nahradit teplotou) a transport hybnosti, tj. vazkost proudící kapaliny. Poslední případ je poněkud méně názorný z toho důvodu, že bilancované/transportovaná veličina je vektorová a je nutno uvažovat speciálně definovanou úlohu pro to, aby transport hybnosti byl řízen pouze uvedeným vztahem a ne ještě konvekcí. ZZhmoty/difuzelátky Φ m = D c x ZZenergie/vedenítepla Φ E = a (ϱc pt) x ZZhybnosti/viskozita Φ p = ν (ϱv) x Význam značek je následující: c T v ϱ c p D a ν [kg/m 2 /s=m 2 s kg/m 3 /m] [J/m 2 /s] koncentrace teplota rychlost hustota tepelnákapacita koeficient molekulární difuze koef. teplotní vodivosti kinematická viskozita [kgm 2 s 1 /m 3 /s=pa] Vidímeanalogiijednakstavovýchveličin( něco najednotkovýobjem koncentrace c,hustotaenergie ϱc p Tahustotahybnosti ϱv).dálejeanalogiemezikoeficienty:všechny majírozměrm 2 /s. Druhouatřetírovnicijeobvykléformulovattéžsjinou stavovou veličinouajiným koeficientem: Φ E = λ T Φ p = η v (2.3) x x
Kapitola 2. Transportní procesy jako zákony zachování ve fyzice 9 kde λ=ϱc p a[w/m/k]senazývátepelnávodivost(vs.teplotnívodivost a;anglicky heat conductivity λ vs. thermal diffusivity a) a η = ϱν je dynamická viskozita. Transport hybnosti difuzního charakteru(přenos ve směru gradientu) lze názorně vyjádřit pro proudění kapaliny s polem rychlosti se stejným směrem a různou velikostí (např. laminární proudění v trubce uprostřed a na kraji). Transport hybnosti pak probíhá ve směru příčném(kolmém na směr rychlosti), přičemž tok hybnosti je vlastně smykové napětí(rozměr rovnice je Pa!). Uvedený vztah platí pro tzv. Newtonovskou kapalinu(viz předmět mechanika tekutin a příklad ve cvičení- kvadratické rozložení teploty resp. rychlosti napříč trubky). 2.2 Konvekční a difuzní toky odvození Z diskrétního vyjádření zachování veličiny X rovnice(2.1) odvodíme diferenciální rovnici[bude doplněn podrobný výpočet] X V + Φ X r X =0 (2.4) t V této podobě platí rovnice pro libovolný mechanismus transportu(nejen lineární konvekce a difuze), na jejím základě budeme vyjadřovat nelineární rovnice v kapitole 5. Dva základní typické mechanismy transportu, podstatně odlišného charakteru, jsou konvekceadifuze.prokonvekci 3 (přenosveličinyspolusnosnýmmédiem např. rozpuštěná látka s proudící vodou) platí a pro difuzi(rozptyl přenos ve směru gradientu hustoty) Φ konv X = vx V (2.5) Φ dif X = X V (2.6) Po dosazení do rovnice bilance(celkový tok jako součet difuzního a konvekčního toku) dostaneme konvekčně-difuzní rovnici: X V + (X V v) (D X V ) r X =0 (2.7) t Rovnice je parabolického typu(obsahuje první derivaci podle času a druhou derivaci podleprostoru).přítomnostprvníderivace( konvektivní člen (X V v))všakhraje vrovnicipodstatnouroli:pokudjedifuzníčlensdruhouderivací (D X V )malý, rovnice se vlastnostmi blíží k hyperbolickému typu(pouze první derivace). To je důležité např. při formulaci okrajových podmínek a při numerickém řešení rovnice. Poměr významnosti jednotlivých členů rovnice, a tedy celkový charakter fyzikálního děje, lze vyjádřit pomocí tzv. podobnostních čísel(bezrozměrných konstant). 3 Téžadvekce,termínkonvekceseněkdyužívávužšímsmyslu(např.stoupánítepléhovzduchuv atmosféře).
Kapitola 2. Transportní procesy jako zákony zachování ve fyzice 10 C plyn 2 konvekce difúze plyn 1 x x = konst. Obrázek 2.1: 2.3 Převod transportních rovnic do bezrozměrné formy jednotlivé příklady(cvičení) ukázky definice podobnostních čísel Pecletovo, Reynoldsovo poměr konvekce/difuze v přenosu tepla: Fourierovo(pronikání tepla do média), Nusseltovo(vedení tepla vs. přestup tepla) Poměr konvekce/difuze Pécletovo číslo Rovnice(2.7) pro koncentraci v bezrozměrné formě: kde C T + (C v v ) (1 C)=0 (2.8) Pe X= x L T= v t L C= c C 0 Pe= vl D. Zavedlijsmecharakteristickoudélku L,charakteristickoukoncentraci C 0 ajednobezrozměrné podobnostní číslo: Pécletovo Pe. Příklad: polonekonečná trubice ústící do nádrže(interval (0, + )) obrázek 2.1. Trubicíproudíčistávoda(směrem znekonečna donádrže)rychlostí vaznádrže sudržovanoukonstantníkoncentracílátky c selátkašířídifuzí(koeficient D)proti směru proudu vody a konvekcí je transportována zpět. Dojde k vytvoření ustáleného stavu. Rozložení látky v ustáleném stavu je popsáno rovnicí(nulová časová derivace) 0= D c vc (2.9) x Řešení rovnice je c =e c vx D =e Pe
Kapitola 2. Transportní procesy jako zákony zachování ve fyzice 11 Bezrozměrné Pécletovo číslo dává do souvislosti intenzitu konvekce a difuze a měřítko pozorování(souřadnice x charakteristické délka). Názorně: rychlost poklesu koncentrace je dána poměrem konvekce a difuze, ale zároveň délkovým rozměrem resp. měřítkem pozorování(podle toho jestli uvažujeme nekonečnou oblast nebo konkrétní těleso) ukázka na obrázku. Vliv vazkosti kapaliny Reynoldsovo číslo ReynoldsovočíslojeobdobouPécletovačísla(poměrmezi konvekčním a difuzním členem) pro Navier-Stokesovy rovnice(tj. konvekčně-difuzní transport hybnosti). Viz předmět Mechanikatekutin. Re= vd ν kde d je charakteristický rozměr, např. průměr trubky s proudící vodou nebo velikost obtékaného tělesa. PřizahrnutívlivugravitaceseuplatňujeFroudovočísloFr= v2 dg 2.4 Okrajové podmínky pro úlohy transportu Fyzikální význam okrajových podmínek(zadána hodnota nebo tok), příklady okr.p. v úlohách pro různé procesy vedení tepla, přenos látky. Dirichletova podmínka Zadaná hodnota transportované veličiny: teplo: dokonalé chlazení/zahřívání pevná teplota na hranici zadaná koncentrace a teplota ve vodě přitékající do řešené oblasti(při dominantní konvekcí) vstup dosystému Neumannova podmínka Zadána derivace veličiny na hranici, tj. tok: Typický příklad homogenní podmínka(nulový tok) izolovaná hranice. Newtonova/Cauchyova podmínka Typicky jde o vyjádření interakce: tok je funkcí hodnoty veličiny: tok přes polopropustnou vrstvu na hranici je úměrný rozdílu veličiny uvnitř(neznámáfce)avně(zadáno) proteploirozpuštěnoulátku
Kapitola 2. Transportní procesy jako zákony zachování ve fyzice 12 2.5 Cvičení: Řešení jednoduchých úloh integrálními transformacemi K řešení okrajových a počátečních úloh pro parciální diferenciální rovnice(pdr) lze použít integrální transformace, např. Laplaceovu nebo Fourierovu. Tyto transformace zobrazují funkce(určité třídy) na jiné funkce, přičemž operace derivování se transformují na algebraické operace. Tím v případě obyčejných diferenciálních rovnic převedeme úlohu na řešení algebraické rovnice a v případě parciální rovnice dostaneme po transformaci obyčejnou diferenciální rovnici nebo PDR o jedno nižší dimenze. Ve výkladu předpokládáme, že čtenář má základní znalosti o použití zmíněných transformací(na FM v předmětu Aplikovaná matematika). Transformaci je třeba volit v závislosti na intervalu proměnné v dané úloze tak, aby odpovídal definici transformace. Typicky se Fourierova transformace použije pro prostorové proměnné(interval(, + )) a Laplaceova transformace pro časovou proměnnou(interval(0, + )). 2.5.1 Označení a důležité vztahy Derivace: u t = u t Funkce normálního rozdělení pravděpodobnosti u xx = 2 u x 2 etc. (2.10) Používají se následující označení funkce erf(x) a erfc(x)(chybová funkce a komplementární chybová funkce), až na aditivní a multiplikativní konstanty jde o distribuční funkcinormálníhorozdělení( erf(x)+1 = F 2 norm (x)). erfc(x)= 2 e u2 du=1 2 x e u2 du=1 erf(x) (2.11) π π x 0 Laplaceova transformace L[f(t)]= f(t)e st dt=f(s) (2.12) Operace: 0 linearita L[c 1 f 1 (t)+c 2 f 2 (t)]=c 1 F 1 (s)+c 2 F 2 (s) derivacevt L[f (t)] L[f t (t)]=s F(s)+f(0+) jináderivace L[f x (x, t)]=(f(x, s)) x
Kapitola 2. Transportní procesy jako zákony zachování ve fyzice 13 Fourierova transformace F[f(x)]= 1 f(x)e iωx dx=f(ω) (2.13) 2π Operace: linearita F[c 1 f 1 (x)+c 2 f 2 (x)]=c 1 F 1 (ω)+c 2 F 2 (ω) derivacevx F[f (x)] F[f x (x)]=iω F(ω) jináderivace F[f t (x, t)]=(f(ω, t)) t Zobrazení konvoluce: F 1 f(x ξ)g(ξ)dξ =F[f(x) g(x)]=f(ω) G(ω) (2.14) 2π 2.5.2 Difuzní rovnice(vedení tepla) v 1D nekonečné oblasti Řešíme rovnici pro neznámou funkci u(x, t) v oblasti s počáteční podmínkou u t = Du xx (2.15) < x <+ t >0 (2.16) u(x,0)=δ(x), (2.17) kde δ(x) je Diracova funkce. Úlohu transformujeme Fourierovou transformací v proměnné x, obraz funkce označíme F[u(x, t)] = U(ω, t)(proměnná tmázdevýznamparametru).zdiferenciální rovnice(2.15) dostaneme du(ω, t) = D ω 2 U(ω, t) (2.18) dt a z počáteční podmínky(2.17) dostaneme U(ω,0)= 1 2π (2.19) tj. počáteční podmínku pro(nyní již obyčejnou) diferenciální rovnici(2.18). Převedli jsmetedypdrsproměnnými xatnaodesproměnnou t(vtomtookamžikuuvažujeme t jako proměnnou a ω jako parametr).
Kapitola 2. Transportní procesy jako zákony zachování ve fyzice 14 Řešení(2.18) s počáteční podmínkou(2.19) určíme např. metodou separace proměnných: U(ω, t)= 1 e Dω2 t (2.20) 2π Nyní toto řešení převedeme zpětnou transformací do původní proměnné x(opět seměnívýznam tjeparametraωjeproměnná).svyužitímpřevodníhovztahu 1 a ω 2 2 e (F 1 ) 4a 2 e a2 x 2 (zde a= 1 2 )dostaneme Dt Zobecněním této úlohy bude: obecná počáteční podmínka zahrnutíkonvekce(člen vu x vrovnici) Obecná počáteční podmínka u(x, t)= 1 2 1 e x2 4Dt. (2.21) π Dt Uvažujemenynítutéžrovnici(2.15)pro x R, t R +,alesobecnoupočáteční podmínkou, danou funkcí φ(x), tj. u(x,0)=φ(x), x R (2.22) Postupujeme analogicky zobrazením diferenciální rovnice i počáteční podmínky Fourierovou transformací v proměnné x a dostáváme du(ω, t) dt a z počáteční podmínky dostaneme = D ω 2 U(ω, t) (2.23) U(ω, 0) = Φ(ω) (2.24) kdeφ = F(φ),přičemž uvedenouoperacilzepoužítpouzeprotakovoupočáteční podmínku, pro níž existuje Fourierův obraz(tj. např. už ne pro Heavisideovu skokovou funkci). Řešenímtétoúlohyjefunkce(zpohleduřešeníODEjdeotutéžsituacijakou(2.19) - počáteční podmínka je konstanta, pouze závislá na parametru) U(ω, t)=φ(ω) e Dω2 t (2.25)
Kapitola 2. Transportní procesy jako zákony zachování ve fyzice 15 Zpětnátransformacevšakjižjesložitější,neboťnyníje ωproměnnáajdetedyosoučin dvou funkcí, který se zpětnou transformací převádí na operaci konvoluce, tj. u(x, t) = F 1 [Φ(ω) e Dω2 t ]= = φ(x) 1 1 e x2 4Dt = 2 Dt = 1 2 πdt + φ(x ξ)e ξ2 4Dt dξ (2.26) Tím jsme odvodili řešení v obecném tvaru, po kontrolním dosazení Diracovy funkce skutečně dostáváme totéž řešení jako v předchozí úloze(integrál se redukuje na bodovou hodnotu). Zajímavé je si všimnout, že integrál(2.26) existuje pro značně širší třídu funkcí φ(x) než pro které existuje Fourierův obraz(tj. pro které bylo toto řešení odvozeno). Vzniká tedy otázka, je-li po dosazení takové funkce φ(která nemá obraz), výraz(2.26) skutečně řešením původní úlohy. Přesnou odpověď dává funkcionální analýza, v jednoduchých případech se lze o vlastnostech výsledné funkce přesvědčit dosazením do rovnice(derivováním). Odvozené řešení je v souladu s principem superpozice integrál konvoluce vyjadřuje součet příspěvků od více bodových zdrojů(dirac, ev. spojitě rozložených) v počáteční podmínce(vzhledem k řešení úlohy s Diracovou počáteční podmínkou. Příkladem řešení pro funkci φ, která nemá Fourierův obraz je již zmíněná Heavisideova funkce. Např. pro počáteční podmínku u(x,0)= H(x)= 1 x <0 0 x >0 (2.27) dostáváme řešení u(x, t)= 1 2 πdt + x 1 e ξ2 4Dt dξ= 1 2 + x e ξ2 dξ= 1 erfc(x) (2.28) 2 Rovnice s konvekčním členem K řešení je možno buď použít transformací souřadnic(náhrada x vt, převedení na čistě difuzní rovnici) nebo rovněž přímo Fourierovou transformací. Ukážeme stručně rozdíl oproti difuzní rovnici, pro Diracovu počáteční podmínku(pro obecnou je to totéž). Zobrazená rovnice má tvar du(ω, t) dt =( ivω D ω 2 )U(ω, t) (2.29)
Kapitola 2. Transportní procesy jako zákony zachování ve fyzice 16 ařešení U(ω, t)= 1 2π e Dω2 t e ivωt (2.30) Dlepravidla F[f(x a)]=e iaω F(ω)dostáváme u(x, t)= 1 2 (x vt) 2 πdt e 4Dt, (2.31) tj.vidímerozdílvposunu pocharakteristice (zdenenítentotermínpřesný,jdeo parabolickou rovnici a tvar funkce se mění). 2.5.3 Difuzní rovnice v polonekonečné oblasti Tvar oblasti proměnných u PDR má podstatný vliv na řešení. V případě použití integrálních transformací znamená přizpůsobit volbu transformace a proměnné, eventuálně s přihlédnutím ke konkrétní počáteční a okrajové podmínce(transformovatelnost). Vpřípadědifuznírovnicevpolonekonečnémintervaluv prostoru použijemelaplaceovu transformaci v proměnné t, transformovaná úloha pak bude ODE 2. řádu s proměnnou x(na rozdíl od předchozích úloh s Fourierovou transformací, kde výsledkem byla ODE 1. řádu s proměnnou t). Roli potřebných podmínek(v tomto případě okrajových)budehrátobrazokrajovépodmínkyvbudě x=0achovánífunkcevnekonečnu (tedy dvě podmínky). Nynípodrobně.Řešímetedyrovnici2.15pro x R + a t R + spodmínkami u(0, t)=1 u(x,0)=0 (2.32) tj. např. na počátku studená tyč ohřívaná od konce a jinak izolovaná. Laplaceovou transformací L[u(x, t)] = U(x, s) dostáváme z diferenciální rovnice a z okrajové podmínky du(x, s) s U(x, s) u(x,0+)=d (2.33) dx 2 U(0, s) = 1/s (2.34) Díky nulové počáteční podmínce(nyní zahrnuta do transformované rovnice) jde o homogenní rovnici 2.řádu v proměnné x, s konstantní počáteční podmínkou(s je nyní parametr). Obecné řešení tedy je s s U(x, s)=k 1 exp( D x)+k 2exp( x) (2.35) D akonstanty k 1, k 2 určímezpodmínek U(0, s)=k 1 + k 2 =1/s U(, s)=k 2 =[konečnéčíslo] (2.36)
Kapitola 2. Transportní procesy jako zákony zachování ve fyzice 17 tj. k 1 =0ak 2 =1/s.Provedemenynízpětnoutransformaci(vproměnné s) [ ] 1 L 1 x s e ( ) s x D =erfc( 2 Dt ) (2.37)
Kapitola 3 NUMERICKÉ METODY PRO KONVEKČNĚ-DIFUZNÍ ROVNICI Zabývat se budeme řešením konvekčně-difuzní rovnice, popisující různé typy fyzikálních transportních procesů jak bylo zmíněno v předchozí kapitole tj. např. šíření rozpuštěné látky a tepla v proudící kapalině. Nejprve jsou uvedena analytická řešení pro vybrané úlohy se speciálními okrajovými a počátečními podmínkami, jejichž znalost je dobrým vodítkem při vyhodnocování výsledků numerických výpočtů. Hlavním obsahem textu pak je popis základní metody pro řešení parciálních diferenciálních rovnic, metody konečných diferencí(mkd), a prozkoumání jejích vlastností v závislosti na použité numerické variantě a hodnotě koeficientů rovnice. Ve většině případů je uvažována jednorozměrná úloha a rovnice s konstantními koeficienty, kdy je možno popisované jevy názorně demonstrovat. Pro úlohy vyšší dimenze je pak možné příslušné úvahy provést obdobně. Vyjdeme z obecné rovnice pro konvekčně-difuzní transport látky odvozené v předchozí kapitole(rovnice(2.7)), kterou zapíšeme pro jednorozměrnou oblast(úsečku nebo přímku) a jako neznámou funkci uvažujeme koncentraci látky c(x, t). Budeme uvažovat ustálené proudění s rychlostí v = konst, konstantní difuzní koeficient D, žádné chemické reakce ani jiné zdroje/propady. c t = v c x + D 2 c x 2 V matematicky zaměřených textech se zavádí jiné značení, např. a posuvná rychlost, b difuzní koeficient a u neznámá funkce. Píšeme tedy u t + a u x = u b 2 x2, (3.1) kdeklademe b 0(zfyzikálnípodstatydifúze-difuze)aa 0,cožodpovídáproudění vkladnémsmysluosy x.jakužjezevznikuapopisukoeficientů a, bpatrné,člen u x charakterizujekonvekciačlen 2 udifúzi. x 2
Kapitola 3. Numerické metody pro konvekčně-difuzní rovnici 19 Rovnice(3.1) je obecně parabolického typu, je však nutné vzít speciálně v úvahu případ b = 0,kdyčlensdruhouderivací(difuze)nenípřítomenarovnicejetedy typu hyperbolického. Z toho důvodu je obvykle nutné tento případ zkoumat zvlášť: zadávají se okrajové podmínky v jiné struktuře a numerické metody mohou mít odlišné vlastnosti. 3.1 Analytická řešení za speciálních podmínek 3.1.1 Rovnice konvekce Uvažujeme rovnici(3.1) pro speciální případ b = 0, tj, s nulovým difuzním členem u t + a u x ÚlohananekonečnéoblastiΩ=(, )spočátečnípodmínkou má jednoduché řešení =0 (3.2) u(x,0)=u 0 (x) x Ω (3.3) u(x, t)=u 0 (x at) x Ω, t >0 (3.4) resp. u=konst podélpřímek x at=konst (3.5) cožznamená,žeurčitýsignálseposouvázbodu x=0rychlostí avkladnémsmyslu osy x. Řešení lze snadno zobecnit i na úlohy na omezeném intervalu se zadanou okrajovou podmínkou na jednom z konců, v závislosti na znaménku rychlosti a(podmínka se zadávávbodě vtoku ). 3.1.2 Rovnice konvekce-difuze UvedemeopětřešeníúlohynanekonečnéoblastiΩ=(, ),tj.bezzadáníokrajových podmínek. Budeme uvažovat dvě základní okrajové podmínky, pro které lze zapsat řešení v přehledném tvaru. Počáteční podmínka ve tvaru Diracovy funkce Je-li uvažována fyzikálně idealizovaná situace, kdy na počátku je veškerá hmota soustředěna v jednom bodě a ve zbytku oblasti je koncentrace nulová, lze tuto situaci zapsat u(x,0)= M δ(x) (3.6) S
Kapitola 3. Numerické metody pro konvekčně-difuzní rovnici 20 kde M je celková hmota, vhodně normalizovaná, např. příčným průřezem S, a δ(x) je Diracova δ-funkce. Řešenítétoúlohyprovšechnybody x Ωalibovolnýčas t >0je u(x, t)= M [ 2S πbt exp (x ] at)2 4bt (3.7) což je funkce hustoty pravděpodobnosti gaussovského rozdělení. Počáteční podmínka ve tvaru skokové funkce Pro počáteční podmínku ve tvaru u(x,0)=u 0 pro x <0 (3.8) u(x,0)=0 pro x >0 (3.9) je řešení ve tvaru distribuční funkce gaussovského rozdělení u(x, t)= u [ 0 x at ] 2 erfc 2 bt x Ω, t >0 (3.10) kde erfc(x)= 2 e u2 du=1 2 x e u2 du=1 erf(x) (3.11) π π je tzv. komplementární chybová funkce. x 0 3.2 Metoda konečných diferencí 3.2.1 Základní charakteristika Metoda konečných diferencí(mkd), někdy též metoda sítí, spočívá v nahrazení derivací diferencemi, které aproximují derivace pomocí hodnot hledané funkce v několika blízkýchbodech.voblastiω (0, T),vnížhledámeřešení,sivolímesíťkonečnéhopočtu bodů a výsledkem metody pak jsou přibližné hodnoty hledané funkce v těchto bodech. Na rozdíl od jiných metod(metoda konečných objemů, metoda konečných prvků) je v případě MKD kladen požadavek tzv. strukturovanosti sítě, což znamená, že body sítě v R n ležínaprůsečícíchkřiveksdruženýchdo nskupinpřičemžkaždýbodmusíležet na právě jedné křivce z každé skupiny. Nejčastěji se pak používá pravoúhlá síť, kdy za jednotlivé skupiny volíme systémy rovnoběžek s příslušnou souřadnou osou. Strukturovanost sítě umožňuje nahradit skutečné souřadnice n celočíselnými indexy, udávajícími pořadí průsečíku na příslušné přímce(křivce).
Kapitola 3. Numerické metody pro konvekčně-difuzní rovnici 21 y Backward difference u i Forward difference u i+1 y = u(x) u i-1 Central difference x x x i-1 i i+1 Obrázek 3.1: Grafické znázornění aproximace derivace pomocí diferenčních vzorců dopředný, centrální, zpětný. V dalším textu popíšeme varianty použití MKD pro konvekčně-difuzní rovnici(3.1) uvedenou v úvodu. Prostorová oblast je uvažována 1D, diferenční vzorce a způsob sestavení schématu jsou pro vyšší dimenze analogické. Řešení rovnice hledáme v dvourozměrném prostoru(proměnné x, t) a použijeme pravoúhlousíťsestejnýmikrokyato tvesměruosy ta xvesměruosy x.potom můžeme označit u n i = u(i x, n t) (3.12) 3.2.2 Diferenční vzorce a schémata Jak již bylo řečeno, diferenční vzorce jsou vztahy pro aproximaci derivace pomocí funkčníchhodnotvbodechsítě(obrázek3.1).lzejeodvoditvícezpůsoby,vtomtotextu pouze stručně naznačíme postup pomocí Taylorova rozvoje funkce v sousedních bodech sítě.chceme-linapř.aproximovatderivaci u x u x,uvažujemebody i+1ai 1: u i+1 = u i + x(u x ) i + x2 2 (u xx) i + O( x 3 ) (3.13) u i 1 = u i x(u x ) i + x2 2 (u xx) i + O( x 3 ) (3.14) kde pro přehlednost vynecháváme časový index n, který by byl všude stejný. Vyjádřímeliz(3.13)derivaci(u x ) i,dostaneme (u x ) i = u i+1 u i x (u x ) i = u i+1 u i x x 2 (u xx) i + O( x3 ) x + O( x) (3.15) tj.
Kapitola 3. Numerické metody pro konvekčně-difuzní rovnici 22 Tento vztah se nazývá dopředná diference. Provedeme-li totéž pro(3.14), dostaneme tzv. zpětnou diferenci (u x ) i = u i u i 1 + O( x) (3.16) x Společně se vztahy(3.15) a(3.16) nazývají jednostranné diferenční vzorce. Přesnější aproximaci lze pak získat pomocí centrálního diferenčního vzorce, k němuž dospějeme odečtením(3.14) od(3.13): (u x ) i = u i+1 u i 1 2 x + O( x 2 ) (3.17) Mocnina v posledním členu(o()) se nazývá řád aproximace daného vzorce, uvedené jednostranné diference jsou tedy aproximací prvního řadu a centrální diference aproximací druhého řadu. Jestliže vztahy(3.14) a(3.13) sečteme, dostáváme centrální diferenční vzorec pro druhouderivaci 2 u x 2 u xx (u xx ) i = u i+1 2u i + u i 1 x 2 + O( x 2 ) (3.18) ZTaylorovarozvojehodnot u i+2 a u i 2 pakzískámeobdobnýmiúpravamiijednostranné diference (u xx ) i = u i+2 2u i+1 + u i x 2 + O( x) (3.19) (u xx ) i = u i 2u i 1 + u i 2 x 2 + O( x), (3.20) které mají opět o řád nižší přesnost a pro námi uvažovanou rovnici nemají význam. Stejným postupem lze dostat vzorce pro časovou derivaci, např. dopředná diference je u n i (u t ) n i = un+1 i + O( t), (3.21) t a vede na explicitní schémata(viz níže), kterými se budeme obvykle zabývat. Numerické schéma explicitní a implicitní Dosadíme-li nyní do diferenciální rovnice za derivace příslušné diferenční výrazy, dostáváme vztah pro výpočet hodnot v uzlových bodech, označovaný výpočetní nebo numerické schéma. Použijeme-li např. pro rovnici konvekce centrální diferenci v x a dopřednou v t, dostáváme schéma u n+1 i u n i t + a un i+1 un i 1 2 x =0 tj. u n+1 i = u n i σ 2 (un i+1 u n i 1) i=1,..., N 1 (3.22)
Kapitola 3. Numerické metody pro konvekčně-difuzní rovnici 23 kde σ= a t x.jakjeihnedvidět,schémaumožňujenazákladěznalostihodnotvčase npouhýmdosazenímzískathodnotyvčase n+1,jetedyexplicitnívčase. Jiná situace nastává v případě, kdy se ve schématu vyskytují hodnoty pro novou časovou hladinu současně ve více uzlech(např. při použití zpětné diference pro časovou derivaci v předešlém příkladu). Vztahu pro jednotlivé uzly jsou pak provázané a jde o řešení soustavy lineárních rovnic. Takováto metoda se označuje jako implicitní. Okrajové podmínky Hodnotyvkrajníuzlech i=0ai=njetřebavyjádřitpomocíokrajovýchpodmínek původní diferenciální rovnice. Dirichletova podmínka nám dává přímo požadovanou hodnotu, v případě Neumannovy podmínky je třeba pro i = 0 použít dopřednou diferenciapro i=nzpětnoudiferenci u x = un+1 1 u n+1 0 + O( x) x=0 x u x = un+1 N x=n x un+1 N 1 + O( x) Např. při použití explicitního schématu dostáváme pro homogenní Neumannovu podmínku přímo u n+1 0 = u n+1 1 u n+1 N = un+1 N 1 (3.23) nazákladějižznámýchhodnot u n+1 1, u n+1 N 1. 3.2.3 Numerické vlastnosti konzistence, stabilita, konvergence Jak se lze přesvědčit na jednoduchých příkladech, výpočetní schéma získané dosazením diferenčních vzorců do diferenciální rovnice nemusí automaticky dávat uspokojivé výsledky. Numerické vlastnosti schématu a přesnost řešení se obvykle vyjadřují pomocí pojmů konzistence, stabilita a konvergence. Konzistence Pojem konzistence charakterizuje vztah mezi diferenčním schématem a řešenou diferenciální rovnicí. Lze jej vyjádřit podmínkou, že při zjemňování sítě( x, t 0) se hodnota výrazu vyskytujícího se v diferenčním schématu blíží hodnotě odpovídajícího výrazu v diferenciální rovnici. Tuto skutečnost je možno ověřit dosazením Taylorova rozvojevbodě(i, n)zaostatníčlenyveschématuatobezohledunato,jakýmzpůsobem bylo schéma odvozeno. Např. pro výše uvedené schéma(3.22) vyjádříme u n+1 i = u n i+ x(u t ) n i+ t2 2 (u tt) n i+ t3 6 (u ttt) n i+ O( t 4 ) (3.24)
Kapitola 3. Numerické metody pro konvekčně-difuzní rovnici 24 u n i+1 = u n i+ x(u x ) n i+ x2 2 (u xx) n i+ x3 6 (u xxx) n i+ O( x 4 ) (3.25) u n i 1 = u n i x(u x ) n i+ x2 2 (u xx) n i x3 6 (u xxx) n i+ O( x 4 ) (3.26) a po dosazení dostaneme u n+1 i u n i t + a un i+1 un i 1 x (u i + au x ) n i = = t 2 (u tt) n i + x2 6 a(u xxx) n i + O( t2, x 4 ) (3.27) kde na levé straně první dva členy vyjadřují diferenční schéma a třetí pak řešenou diferenciálnírovnici.výraznapravéstraněpakpro x, t 0jdeknuleaschéma je tedy s danou rovnicí konzistentní. Řád konvergence pravé strany udává řád přesnosti použitéhoschématu,vnašempřípaděmámeschéma1.řáduvčasea2.řáduvprostoru. Stabilita Vlastnost stability se vztahuje čistě k diferenčnímu schématu, bez zřetele na původní diferenciální rovnici. Vyjadřuje skutečnost, že numerická chyba(např. vlivem zaokrouhlovacích chyb v počítači), vzniklá v určitém místě výpočtu, nesmí v dalších krocích neomezeněrůst.označíme-li ū n i hodnotupřesnéhořešenívbodě(i x, n t),můžeme chybu zapsat ε n i = u n i ū n i (3.28) a podmínka stability pak dostává tvar lim n εn i K propevné t, (3.29) kde K je konstanta nezávislá na n. Obecnější definici stability je možno podat na základě chování samotného řešení s postupujícím časem. Podmínku lze stručně vyjádřit tak, že žádná složka počítaného řešení nesmí neomezeně růst. Přesněji můžeme tento principvyjádřitspoužitímmaticovéhozápisuschématu.označíme-li U n vektorřešení včase n t U n lze libovolné explicitní schéma zapsat ve formě u n 1. u n i. U n+1 = C U n (3.30)
Kapitola 3. Numerické metody pro konvekčně-difuzní rovnici 25 kde C ječtvercovámatice,jejížprvkyjsouobecněfunkcí ta x.napříkladpro centrální schéma(3.22) má C tvar... σ 1 σ 2 2 σ 1 σ 2 2 σ 1 σ 2 2... Je-litedydánořešení U 0 včase t=0(počátečnípodmínka),pakprořešenívčase n t platí U n = C n U 0 (3.31) Tím dostáváme podmínku stability ve tvaru omezenosti posloupnosti norem kde K je jistá konstanta. Konvergence C n < K n (3.32) Výše uvedené pojmy konzistence a stability udávaly vlastnosti schémat zvlášť vzhledem k zmenšování kroků x, t a zvlášť pro rostoucí n při již dané diskretizaci. O konvergenci numerického řešení ke skutečnému pak hovoříme v případě hodnoty vpevnědanémbodě(x i, t n ) (i x, n t)ajetedytřebapřizjemňovánísítě( x, t 0) zároveň zvyšovat i a n tak, aby i x a n t zůstávaly konstantní. Označíme-li chybu vypočteného řešení v uvažovaném bodě pak pro konvergenci dostáváme podmínku ε n i = u n i ū(i x, n t) lim x, t 0 εn i =0 přikonstantníchhodnotách x i= i xat n = n t (3.33) odpovídající požadavku, že při zjemňování sítě konverguje vypočtené řešení ke skutečnému. Jak lze očekávat, konzistence, stabilita a konvergence spolu souvisí a přesné vyjádření tohoto vztahu dává Laxova věta: Pro korektně formulovanou úlohu a konzistentní diskretizační schéma je jeho stabilita nutnou a postačující podmínkou pro konvergenci Pojem korektně formulované úlohy se týká původní diferenciální rovnice a jejích okrajových podmínek, tj. spojitá závislost řešení na koeficientech. Uvedená věta umožňuje na základě vyšetření stability schématu získat úplnou informaci o případné konvergenci ke správnému řešení a tedy o použitelnosti schématu pro výpočet.
Kapitola 3. Numerické metody pro konvekčně-difuzní rovnici 26 3.2.4 Von Neumannova metoda vyšetřování stability Vyšetřování stability je obecně dosti složitá úloha, většina existujících metod se omezuje na lineární problémy, případně i s konstantními koeficienty. Dobře jsou vyřešeny případy, kdy je možno vyloučit nebo zanedbat vliv hranice. To nastává buď u nekonečné oblasti nebo pro periodické okrajové podmínky u oblasti konečné. Druhým případem se zabývá tzv. Von-Neumannova(též Fourierova) metoda, která vychází z předpokladu, žeřešenýintervaldélky Lnaose xlzeperiodickyopakovatapracujesrozklademvšech veličin(vlastního řešení a chyby) do konečné Fourierovy řady na intervalu délky 2L. Nejprvevyjádříme,jakýmzpůsobemsechybypřivýpočtušíří.Označíme ū n i přesné řešenídiferenčníchrovnicau n i vypočtenéřešení,kterésemůževlivemchybvpočátečních datech(mezi ně je možno zahrnout i chyby vzniklé v předchozích krocích výpočtu) lišit. Platí tedy u n i = ū n i + εn i (3.34) kde ε n i značíchybuvpříslušnémboděsítě.přiurčitémkrokuvýpočtupakrovnici schématu musí vyhovovat přesné řešení i řešení zatížené chybou. Odečtením těchto rovnic pak dostaneme vztah pro chyby v odpovídajících bodech sítě, který má stejný tvar jako původní vztah pro vlastní řešení. Například při použití schématu(3.22) pro rovnici konvekce platí pro chybu ε n+1 i ε n i = σ(ε n i+1 εn i 1 ) (3.35) Nyní provedeme rozklad chyby do Fourierovy řady, který je možno interpretovat jako rozklad vektoru chyby v n-tém časovém kroku E n =[ε n N,...,ε n 0,...,ε n N] T do2n+1prvkovébáze. N = L x označujepočetdiskretizačníchkrokůnaintervalu 0, L, místo něhož nyní uvažujeme dvojnásobný interval L, L. Jako bazické vektory použijeme harmonické funkce s jednotkovou amplitudou na L, L. Při uvážení diskretizacemohoujejichfrekvence,vyjádřenévlnovýmčíslem k j =2π/λ j,nabývathodnot násobkůnejmenšífrekvence,kteráodpovídávlnovédélce λ max =2L,aždomaximální Nnásobné,kteráodpovídánejmenšívlnovédélcenapříslušnésíti λ min =2 x.konstantnífunkcepakodpovídávlnovémučíslu k 0 =0acelkovětedymáme N+1funkcí odpovídajících hodnotám k j = j k min = j 2π 2L = j π N x j=0,1,..., N (3.36) Každounenulovoufrekvencijepakmožnovyjádřitdvojicíexponenciálníchfunkcí e Ik j i x a e Ik j i x,kde Ijekomplexníjednotka,čímždostávámepotřebných2N+1bazických
Kapitola 3. Numerické metody pro konvekčně-difuzní rovnici 27 vektorůachybujemožnopsát N N ε n i = Ej n eik j i x = Ej n jπ eii N (3.37) j= N j= N kde E n j jeamplituda j-tésložkyvn-témčasovémkroku.označíme-liještěfázovýúhel φ k j x= jπ N lze j-tousložkuchybyvyjádřitvjednoduchémtvaru E n j eiiφ.hodnota φvblízkosti0pak odpovídá nízkým frekvencím a v blízkosti π pak vysokým frekvencím. Analýzu stability pak provedeme dosazením složek do vztahu pro časový vývoj chyby(3.35), přičemž hledámetakovépodmínky,abyprožádné j(tj.aniprožádné φ)nebylaamplituda E n j s rostoucím n zesilována. 3.3 Vlastnosti schémat MKD pro konvekčně-difuzní rovnici 3.3.1 Vlastnosti jednoduchých explicitních schémat Uvádíme přehled podmínek stability, především v souvislosti s fyzikální podstatou uvažovaných dějů. Odvození některých vztahů je provedeno v příloze 3.6 a je vhodným námětem k procvičení. Upwind schéma pro rovnici konvekce Upwind způsobaproximacejefyzikálněpřirozenýprorovnicikonvekceaobecněpro hyperbolické diferenciální rovnice. Fyzikální proces konvekce (ve smyslu transportu obecnéveličiny)jevždyspojenspohybemvurčitémsměruatosdanouorientací. Upwind numerické schéma respektuje fyzikální orientaci procesu prostorová diskretizacejevolenanesymetrickytak,žeseprovýpočetberevúvahuhodnotaprotisměru pohybu. Konstrukce schématu je tak obecně závislá na řešené úloze, konkrétně koeficientu u prostorové derivace, vyjadřujícího rychlost posunu. V 1D případě jde o znaménko koeficientu avrovnici(3.2).popíšemesituacipro a >0,proopačnéznaménkoapoužitím symetricky otočeného výrazu vzhledem k indexu i(tj. např. dopřednou diferenci níže) bude analogická. Dosazenímzpětnédiferenceza u x dostaneme u n+1 i = u n i a t x (un i u n i 1) (3.38)
Kapitola 3. Numerické metody pro konvekčně-difuzní rovnici 28 n+1 n i 1 i i+1 x a t dx dt = a Obrázek 3.2: Vyjádření CFL podmínky pro upwind schéma. kde, stejně jako výše, označíme σ= a t (3.39) x cožjetzv.courantovočíslo(někdytéžznačené C r ).Podmínkastabilityproupwind schéma(3.38) je 0 < σ 1 tj. t x (3.40) a a nazývá se CFL podmínka(courant, Friedrichs, Lewy). Pro danou rychlost a prostorovou diskretizaci jde o omezující podmínku na časový krok. Fyzikální význam CFL podmínky Vdanémčasovémkrokujeveschématu(3.86)hodnota u n+1 i vypočtenazhodnot u n i a u n i 1,beresetedyvúvahuhodnotavtomtéžboděnaose xavsousednímboděproti směru proudění(tj. princip upwind zmíněný v úvodu). Porovnáme nyní postup numerického výpočtu s tím, jakým způsobem se chová řešení diferenciální rovnice. Hodnota řešení rovnice konvekce(3.2) v bodě(x, t + t) je podle charakteristiky x at = konst rovna hodnotě v bodě(x a t, t). Při výpočtu pomocíupwindschématuje u n+1 i počítánojakováženákombinace u n i 1 a un i.numerický Výpočettedyrespektujefyzikálnízávislostpouzevpřípadě,žebod x i a tležímezi body x i a x i 1.TotonastaneprávěvpřípaděsplněníCFLpodmínky:0 < a t < x.
Kapitola 3. Numerické metody pro konvekčně-difuzní rovnici 29 Obdobnou úvahu je možno provést úpravou schématu do tvaru u n+1 i =(1 σ) u n i + σ un i 1 (3.41) kdevidíme,žehodnota u n i jekonvexníkombinacívýchozíchhodnot(vpřípaděsplnění CFL podmínky). V opačném případě je jeden z koeficientů záporný, což zjevně odporuje fyzikálnímu charakteru úlohy. Numerická difuze Typickýmjevemuupwindschématuaobecněuschémat1.řáduvprostorujevznik tzv. numerické difuze. Název je odvozen od skutečnosti, že vypočtené numerické řešení se chová jako řešení rovnice, kde by byl navíc přítomen i difuzní člen(případně difuzní člen s větším koeficientem, pokud by šlo o obecnou konvekčně-difuzní rovnici). Příčinoujeaproximace1.řádu:jestližechybaaproximacejeřádu O(u xx ),mátato chyba právě charakter difuzního členu(druhé derivace). Pomocní Taylorova rozvoje lze velikost tohoto členu odhadnout au x = a u i u i 1 x + 1 2 a x 2 u x 2(ξx i+(1 ξ)x i 1 )+O ( ) 3 u x 3 (3.42) kde parametr ξ 0, 1 udává polohu hodnoty druhé derivace v intervalu mezi dvěma uzly diskretizace. Hodnotu numerické difuze je možno udat přesněji, a to v závislosti na Courantově čísle D num = 1 a x(1 σ) (3.43) 2 apohybujesetedyodnulovéhodnotypročasovýkrokpřesněnamezistabilitydo hodnoty 1 a xpročasovýkrokblížícíseknule.vztahproobecnéčasověiprostorově 2 vážené schema(3.55) lze najít v[11]. Centrální schéma pro rovnici difuze Zrovnice u t = bu xx dostáváme použitím centrální diference(3.18) schéma kde Podmínka stability je u n+1 i = u n i + β(un i+1 2un i + un i 1 ) (3.44) β= b t ( x) 2 β 1 2 (3.45)
Kapitola 3. Numerické metody pro konvekčně-difuzní rovnici 30 ajejísmysllzeintuitivněvidětobdobnějakoucflpodmínky:veschématumusíbýt koeficient(1 2β)učlenu u n i (původníhodnotyvuvažovanémbodě)nezáporný. Vyjádřená podmínka pro časový krok je t ( x)2 2b (3.46) což může znamenat značné omezení při zjemňování sítě, vzhledem ke kvadratické závislosti na x. Upwind schéma pro konvekčně-difuzní rovnici Označení upwind setýkápouzekonvekčníhočlenu,udifuzenemávýznam(jdeofyzikálně symetrický děj). Schéma má po úpravě a zavedení výše uvedených bezrozměrných čísel tvar u n+1 i = u n i σ(un i un i 1 )+β(un i+1 2un i + un i 1 ) (3.47) Podmínka stability je resp. pro časový krok t= σ+2β 1 (3.48) 1 2b + a ( x) 2 x = ( x)2 2b+a x (3.49) Jevidět,žepro a 0nebo b 0přecházípodmínkavevztahyzískanépropříslušné speciální případy rovnice konvekce a rovnice difuze. Centrální schéma pro konvekčně-difuzní rovnici Tento případ je zajímavý v tom, že konvekce je diskretizována způsobem, který u rovnice bez difuzního členu vede na nestabilní schéma. Přítomnost difuze tedy schéma jistým způsobem stabilizuje,lzevšakočekávatobtíževpřípadě,kdykoeficientdifuzebude blízký nule(a tedy fyzikální proces bude blízký prosté konvekci). Schéma má tvar Podmínka stability je u n+1 i u n i + σ 2 (un i+1 un i 1 )=β(un i+1 2un i + un i 1 ) (3.50) σ 2 2β 1 (3.51) zapíšeme-li souhrnně obě podmínky, z nichž vždy jedna je silnější než druhá, v závislosti naplatnosti2β < σ(vizodvozenívpříloze).pročasovýkrokmápodmínkatvar ( ( x) 2 t min, 2b ) (3.52) 2b a 2
Kapitola 3. Numerické metody pro konvekčně-difuzní rovnici 31 σ σ=1 CFL Pe=2 Pe Obrázek 3.3: Grafické znázornění podmínek stability pomocí Pecletova a Courantova čísla a srovnání s CFL podmínkou. Viz též obr.3.8, vyjádření pomocí diskretizačních kroků x a t. Zavedeme tzv. Pecletovo číslo sítě(grid Peclet number) vztahem Pe= σ β = a x b (3.53) tedyjakopoměrmírykonvekceadifuze, 1 zároveňvsouvislostisjemnostísítě. Pomocí Pecletova čísla můžeme přehledně vyjádřit dělící hranici mezi situacemi, kdy je silnější jedna nebo druhá podmínka stability. Pro hodnoty Pe < 2 je výraznější vliv difuzeauplatňujesedruhánerovnostv(3.51),cožjepodmínka,kterábymuselabýt splněna při prosté difuzi. Pro hodnoty Pe > 2, tj. silnější konvekci, se uplatňuje první nerovnost v(3.51), kterou můžeme chápat např. jako omezení na Courantovo číslo σ. Z uvedené nerovností je zřejmá v úvodu zmíněná problematická situace pro úlohy s dominantní konvekcí, tj. s velkým Pecletovým číslem podmínka stability může být velmi restriktivní. Navíc v tomto případě stabilita ještě nezaručuje uspokojivé numerickévýsledky.ukazujese,žeprávěprope >2(vizvýšezmíněnoudělícípodmínku) vykazuje řešení oscilace kolem míst s velkým gradientem hodnot řešení u. Tento jev je demonstrován na příkladě v kapitole 3.7.
Kapitola 3. Numerické metody pro konvekčně-difuzní rovnici 32 β (2β 1) β β (2β 1) β β (2β 1) β σ 1+σ σ 1+σ σ 1+σ Obrázek 3.4: Tvar matice implicitního schématu při použití centrální diference 2.řádu pro difuzi a při použití upwind diference pro konvekci. 3.3.2 Implicitní schémata Zmíníme dva charakteristické případy: upwind schéma pro konvekci a centrální schéma pro difuzi. Obdobně jako u explicitního schématu jsou pak kombinovány při diskretizaci konvekčně-difuzní rovnice. V obou případech jde o schéma nepodmíněně stabilní, tedy připouštějící použití libovolně velkého časového kroku. Úspora výpočetního času díky eventuálnímu provedení nižšího počtu časových kroků v daném intervalu je však vyvážena nutností řešení soustavy lineárních rovnic v každém kroku. Významný rozdíl co se týče charakteru matice je mezi konvekcí a difuzí. Výpočet samotné difuze vede na řešení soustavy se symetrickou maticí, zatímco konvekce vede na nesymetrickou matici. To je zřejmé již z přítomnosti hodnot v sousedních uzlech sítě centrální schéma je v tomto smyslu symetrické a upwind schéma(jednostranná diference) nesymetrické. V případě rozsáhlých úloh a velké řídké matice existují pro případ symetrických matic relativně spolehlivé a rychlé algoritmy(např. Krylovovské metody), zatímco řešení nesymetrické matice může způsobovat problémy. Symetrie či nesymetrie algebraické úlohy je sice bezprostředně dána použitým schématem, musíme si však uvědomit, že souvisí již s původním fyzikálním procesem difuze je symetrického charakteru a konvekce nesymetrického(je dána orientací proudění). Jak jsme již naznačili, zmíněné vlastnosti schémat a vzniklé jevy jsou obecné a obdobným způsobem se projevují i u jiných numerických metod, tedy konečných objemů 1 PřipomeňtesijinédefinicePecletovačíslavpodobnémsmyslu(poměrkonvekceadifuze)zajiných okolností,např.pe= vd D prohydrodynamickoudisperzivporéznímprostředí.uvědommesirovněž, že vzhledem k požadované bezrozměrnosti takovéhoto parametru, bude vždy k vyjádření vztahu mezi konvekcí a difuzí nezbytné zavedení jisté charakteristické délky pro numerickou metodu je to parametr sítě.
Kapitola 3. Numerické metody pro konvekčně-difuzní rovnici 33 a konečných prvků. 3.3.3 Obecné parametrické schéma Použití různých typů schémat, jak byly uvedeny výše, lze obecně kombinovat. Motivací jsou mimo jiné rozporné vlastnosti zmíněných základních přístupů, např. numerická difuze u upwind schématu(a obecně u schémat 1.řádu v prostoru) a oscilace u centrálního schématu. Obecné schéma zkonstruujeme tak, že s určitým váhovým koeficientem α nakombinujeme dopřednou a zpětnou diferenci v prostoru a s váhovým koeficientem ω hodnoty v časovémkroku nan+1.podrobnějetatoúvahaprovedenavknize[11].zaprostorovou derivaci v konvekčním členu tedy dosadíme (u x ) i α u i+1 u i x +(1 α) u i u i 1 x (3.54) Použitím α= 1 jdeocentrálníschéma,pro α=0nebo α=1pakvzávislostina 2 znaménku a dostaneme upwind schéma. V případě časové derivace nepůjde o vážení dopředné a zpětné diference, ale o vážení hodnotvdiskretizovanémkonvekčnímadifuznímčlenuvkrocích nan+1,kterése vyskytují v použité dopředné časové diferenci(pro zpětnou diferenci by byla situace obdobná,šlobyjenoposuno1včasovémindexu).schematickymůžemezapsat u n+1 i u n i t = ω(bu xx au x ) n+1 i +(1 ω)(bu xx au x ) n i (3.55) Dosazením prostorově vážené diference(3.54) za konvekční člen a centrální diference za difuzní člen můžeme obecné schéma s použitím bezrozměrných čísel Courantova σ a Pecletova Pe(viz(3.39) a(3.53)) zapsat následovně { σ u n+1 i u n i = (1 ω) Pe (un i+1 2u n i+ u n i 1) } σ[(1 α)u n i+ αu n i+1 (1 α)u n i 1 αu n i] { σ ω Pe (un+1 i+1 2un+1 i + u n+1 i 1 ) σ[(1 α)u n+1 i + αu n+1 i+1 (1 α)un+1 i 1 αun+1 i ] } (3.56) Ihnedjezřejmé,žepro ω=0jdeoexplicitníschémaapro ω=1oschémaimplicitní. Použitím symetrického váhovéhoparametru ω= 1 2 dostávámeschéma,označované jako Crank-Nicholsonovo. Toto schéma je druhého řádu přesnosti v čase a nepodmíněně stabilní(tj. pro libovolné kombinace koeficientů a diskretizace). I když jsme jej(vzhledem k výše uvedené formulaci pro hodnoty ω) terminologicky odlišili od implicitního
Kapitola 3. Numerické metody pro konvekčně-difuzní rovnici 34 schématu, jde pochopitelně opět o schéma implicitní v tom smyslu, že vyžaduje řešení soustavy lineárních rovnic v každém časovém kroku. Pro úplnost uvedeme vyjádření numerické difuze pro obecné schéma v závislosti na parametrech: [( ) ( 1 D num = a x 2 α + σ ω 1 )] (3.57) 2 (všimněte si, že numerická difuze je nulová např. pro Crank-Nicholsonovo schéma nebo pro explicitní upwind při σ = 1(mez stability)). 3.3.4 Parametrizacepomocí umělé difuze Ukážeme některé další zajímavé souvislosti mezi schématy líšícími se různým poměrem mezi upwind a centrální aproximací konvekce. Pro zjednodušení provedeme celé odvození jen pro rovnici konvekce, ale vzhledem k interpretaci výsledků by mělo být zřejmé, že úvahy jsou platné i pro konvekčně-difuzní rovnici. Ze vztahu(3.57) je vidět, že numerická difuze poměrně jednoduchým způsobem souvisí s parametrem α(váhový parametr v aproximaci konvekce). Tuto souvislost vyjádříme přesněji. Uvažujeme obecnou tříbodovou aproximaci konvekčního členu a explicitní schéma včase u n+1 i = a 1 u n i 1 + a 0u n i + a 1u n i+1 (3.58) kde a i jsoukoeficienty.typochopitelněbudouzávisetnakoeficientechrovniceadiskretizaci, ale na základě předchozího textu můžeme očekávat, že v jejich volbě bude jistá volnost(předtím jsme v aproximaci konvekce měli volný parametr α). Aby bylo tedy schéma konzistentní s rovnicí, musí platit: 1. a 1 + a 0 + a 1 =1 odpovídá konzervativnosti schématu(nultýřádpřesnosti) zkonstatníhorozložení neznámé funkce musíme v dalším kroku dostat tutéž neznámou hodnotu 2. a 1 a 1 = σ odpovídá aproximaci první derivace(1. řád přesnosti) Pokud tedy uvažujeme schéma 1. řádu přesnosti, máme předepsány dvě rovnice pro třineznámékoeficientyatedyjeden stupeňvolnosti vevolběparametrů.tojenázorně vidět při vyjádření řešení soustavy rovnic jako součtu obecného řešení homogenní soustavy rovnic(s nulovou pravou stranou) a partikulárního řešení původní soustavy. Jednoduchým ( výpočtem najdeme homogenní řešení γ (1, 2, 1) a partikulární např. σ,1, ) 2 σ 2,tj. ( σ (a 1, a 0, a 1 )= 2 2),1, σ + γ (1, 2,1)